Disposizioni semplici Disposizioni semplici – esercizi

Disposizioni semplici
Una disposizione (semplice) di n oggetti in k posti (dunque 1 < k < n ) è ogni raggruppamento di k
oggetti, senza ripetizioni, scelti fra gli n oggetti dati, cioè ciascuno dei raggruppamenti ordinati di k
elementi che si possono formare con gli n elementi di un insieme.
I raggruppamenti si dicono disposizioni semplici di n oggetti distinti di classe k o presi a k a k.
Tale numero si indica con il simbolo Dn,k e si dimostra che
Dn,k  n  ( n  1)  ( n  2)  .....  ( n  k  1)
cioè il prodotto di k numeri consecutivi decrescenti a partire da n
Disposizioni semplici – esercizi
1
Con 10 oggetti distinti, quante quaterne
ordinate posso costruire?
Gli oggetti (10) sono distinti, i gruppi sono 4 (<10) e conta
l’ordine.
D10,4  10  9  8  7  5040
2
3
4
5
6
7
8
9
Se ho 10 ragazzi, in quanti modi posso
scegliere un portiere, un raccattapalle e
un arbitro?
I ragazzi (10) sono distinti e il portiere, il raccattapalle e
l’arbitro sono ruoli (3 < 10) diversi, conta l’ordine.
Ai 5 migliori studenti di una scuola,
vengono assegnati 3 premi di diverso
valore, per sorteggio. In quanti modi
diversi possono essere distribuiti i
premi?
Una società formata da 100 soci deve
nominare un presidente, un
vicepresidente, un segretario, e un
tesoriere. Quante scelte sono possibili?
Gli studenti (5) sono distinti e i premi (3 < 5) sono di
diverso valore, conta l’ordine.
In un plotone di 25 militari, bisogna
scegliere, un addetto alle pulizie, un
addetto alla cucina, e una sentinella.
Quante scelte sono possibili?
Quante parole, anche prive di significato
si possono costruire usando 3 lettere
distinte dell’alfabeto italiano?
I militari (25) sono distinti e i ruoli (3 < 25) diversi, conta
l’ordine.
In quanti modi diversi 7 persone si
possono sedere su 5 poltrone allineate
di un cinema?
Le persone (7) sono distinte e le poltrone (5 < 7) anche,
conta l’ordine.
Avendo a disposizione sei atleti per una
staffetta 4x100, in quanti modi posso
stabilire la successione ordinata degli
atleti?
In quanti modi 15 persone si possono
distribuire in 8 posti allineati al cinema?
Basta considerare le disposizioni semplici.
D10,3  10  9  8  720
D5,3  5  4  3  60
I soci (100) sono distinti e il presidente, il vicepresidente,
il segretario, e il tesoriere sono ruoli diversi, conta
l’ordine.
D100,4  100  99  98  97  94109400
D25,3  25  24  23  2760
Le lettere dell’alfabeto (21) sono distinte e le parole sono
formate da 3 < 21 lettere distinte, conta l’ordine.
D21,3  21  20  19  7980
D7,5  7  6  5  4  3  2520
D6,4  6  5  4  120
Le persone (15) sono distinte, i gruppi sono 8 (<15) e
conta l’ordine
D15,8  15  14  13  12  11  10  9  8
1
10
11
12
Calcolare il numero dei modi in cui uno
studente può scegliere ordinatamente
di leggere 5 libri da un insieme di 8
In una gara con 40 concorrenti, quante
sono le classifiche dei primi 3?
I libri (8) sono distinti e quelli da leggere (5 < 8) sono
ordinati. D8,5  8  7  6  5  4  6720
Tra tutti i numeri di 6 cifre, tutte diverse
tra loro, quanti sono quelli le cui prime
3 cifre sono dispari e le restanti pari?
Devo disporre in ordine, senza ripetizioni, tre cifre pari
scelte tra 5 (0,2,4,6,8)
D5,3  5  4  3  60 e poi , ad ognuna di queste 60
Gli atleti (40) sono distinti e il podio è formato da 3 posti,
conta l’ordine. D40,3  40  39  38  13680
disposizioni, devo “accodare” un qualsiasi delle altre
disposizioni delle tre cifre dispari, ordinate e senza
ripetizioni, scelte tra 5 (1,3,5,7,9)
D5,3  5  4  3  60
Il totale è perciò 60x60=3600
Per le disposizioni formula alternativa che usa il fattoriale Dn,k 
n!
n  k !
dove nk
0!=1
2
Permutazioni semplici
Una permutazione (semplice) di n oggetti è ogni raggruppamento di n oggetti distinti in n caselle,
cioè ciascuno dei possibili raggruppamenti di n elementi che differiscono solo per l'ordine in cui
ogni elemento compare.
Spieghiamo meglio.
Le permutazioni semplici degli oggetti di A sono le disposizioni semplici dei predetti n oggetti a n a
n. Si deduce che due qualsiasi permutazioni semplici differiscono solo per l’ordine con cui sono
disposti gli n oggetti distinti in esse contenuti.
Si indicano con il simbolo Pn e sono pari al prodotto di n numeri consecutivi decrescenti da n a 1
Pn  n  ( n  1)  ( n  2)  .....  3  2  1  n!
Il simbolo n ! indica il fattoriale di un numero ed è pari al prodotto di n numeri consecutivi
decrescenti da n a 1. Quindi dati n oggetti essi si possono “mettere in fila (o coda o colonna)” in n!
modi diversi.
Osservazioni
o
o
o
Un solo oggetto si può mettere in fila in un solo modo, quindi 1!  1 .
Se non ci sono oggetti l’unica fila possibile è quella vuota. Quindi 0!  1
Vale la regola n !  n  ( n  1)!  n  ( n  1)  ( n  2)!
Permutazioni semplici - esercizi
1
2
3
Cinque amici, Andrea, Baldo, Carlo,
Daria e Enrico si rivedono dopo tanto
tempo e decidono di fare una foto per
immortalare l’incontro. Si dispongono
allineati, secondo un ordine
prestabilito. Quante foto con
disposizioni diverse possono essere
scattate?
Anagramma di una parola di n lettere
distinte.
Nella 1° posizione ho 5 possibilità (i 5 amici), nella 2°
posizione ne ho 4 (devo escludere la scelta fatta
precedentemente), nella 3° ne ho 3, nella 4° ne ho 2, nella
5° una soltanto.
Permutazioni semplici di 5 elementi
Un negoziante deve eseguire 5
consegne in 5 posti diversi della città.
Determinare il numero di modi in cui
tali consegne devono essere effettuate.
Per la 1° consegna ha 5 possibili zone, per la 2° consegna
ne ha 4 (devo escludere la scelta fatta precedentemente),
nella 3° ne ha 3, nella 4° ne ha 2, nella 5° una soltanto.
Permutazioni semplici di 5 elementi
n  5  4  3  2  1  P5  5!  120
Permutazioni semplici
Pn  n !
n  5  4  3  2  1  P5  5!  120
4
4 persone hanno a disposizione 4 sedie;
in quanti modi le possono occupare?
Atleti distinti, conta l’ordine, gruppi di k elementi = n
Permutazioni semplici
P4  4!  4  3  2  1  24
3
5
6
7
Quanti anagrammi che iniziano con M
possono essere composti con la parola
MELA?
Dato che il primo posto è occupato dalla lettera M, basta
permutare le altre 3 lettere. Permutazioni semplici
I 20 bambini di una classe di asilo
vengono messi in fila dalla maestra. In
quanti modi possono disporsi?
In un mazzo di carte siciliane (formato
da 40 carte) , quanti sono i possibili esiti
della mischiata.
Permutazioni semplici
P3  3!  3  2  1  6
P20  20!
Si formano gruppi di 40 carte, formate da elementi
distinti.
Permutazioni semplici
P40  40!
8
9
Per il mio compleanno mi hanno
regalato 7 libri; in quanti sequenze
possibili posso leggere i 7 libri
Libri distinti, conta l’ordine, gruppi di k elementi = n
Permutazioni semplici
In quanti modi si possono disporre 3
ragazzi e 3 ragazze per una foto di
gruppo, sistemando i 3 ragazzi
accovacciati e le 3 ragazze in piedi
dietro di loro?
I ragazzi si possono disporre in 3! = 6 modi diversi.
Analogamente le ragazze si possono disporre in
altrettanti 3! = 6 modi distinti. Poiché la disposizione dei
ragazzi non influenza quello delle ragazze, il numero dei
modi complessivi è il prodotto dei singoli modi
P7  7!  7  6  5  4  3  2  1  5040
6  6  36
4
Disposizioni con ripetizione
Una disposizione con ripetizione di n oggetti in k posti è ogni raggruppamento di k oggetti scelti fra
gli n, ma senza l’obbligo di usare un oggetto al massimo una volta.
Dn' ,k  nk
Disposizioni con ripetizione - esercizi
1
Utilizzando i 3 simboli A,B, C, quante
stringhe di 5 lettere posso costruire?
Gli oggetti (3) sono distinti e si possono ripetere in
una sequenza ordinata di 5 >3 elementi.
Disposizioni con ripetizione:
D '3,5  35  243
2
Quante sono le possibili colonne del
totocalcio (attuale con 14 partite) ?
Gli oggetti (3) sono distinti e si possono ripetere in
una sequenza ordinata di 14 > 3 elementi.
Disposizioni con ripetizione:
D '3,14  314
3
Se si lancia 10 volte una moneta, quante
sono le sequenze possibili?
Poiché dal lancio di una moneta si può ottenere solo
T o C (2 oggetti), nella sequenza ordinata di 10
monete, si ripetono più volte.
Disposizioni con ripetizione.
D '2,10  210  1024
4
Una password è costituita da una sequenza
di 5 lettere (scelte fra le 26 dell’alfabeto
inglese), e da una sequenza di 3 cifre (da 0
a 9), lettere e cifre che si possono ripetere.
Quante password distinte sono possibili?
Le lettere (26) e le cifre (10) sono distinte e si
possono ripetere; poiché la costruzione della parte
letterale è indipendente da quella numerica, il
numero di password è dato dal prodotto di due
diposizioni con ripetizione
n  D '26,5  D '10,3  265  103
5
6
In un’urna sono presenti 3 palline di colore
rosso, nero, e bianco. Effettuando 4
estrazioni e rimettendo di volta in volta la
pallina estratta nell’urna, quante possibili
sequenze di colori ottengo?
Disponendo di bandiere di 7 colori diversi,
quanti messaggi differenti si possono
formare usando 4 bandiere per volta.
I colori (3) sono distinti e si possono ripetere in una
sequenza ordinata di 4 >3 elementi.
Disposizioni con ripetizione:
D '3,4  34  81
I colori delle bandiere (7) sono distinti e si possono
ripetere in una sequenza ordinata di 4 elementi.
Disposizioni con ripetizione:
D '7,4  74  2401
7
Quanti numeri di 3 cifre si possono
costruire con i primi 5 numeri naturali?
I numeri (5) si possono ripetere nella sequenza
ordinata di 3 cifre.
Disposizioni con ripetizione.
D '5,3  53  125
5