Esercizio 1

Esercizio 1
SESSO
Maschi
Femmine
DIFFICOLTÀ
AD ALZARSI
DALLA SEDIA
Sì
No
Sì
No
Indice di massa corporea
Numero
Media
Deviazione
soggetti
standard
34
27,6
2,7
51
26,5
2,4
64
36
28,4
27,1
2,8
2,5
1. Le variabili sono il sesso (qualitativa nominale F/M) e l’indice di massa corporea
(quantitativa continua espressa in Kg/m² dove l’indice può assumere anche valori <18,5 che
indicano una condizione di sottopeso e >50 indice di una super obesità).
2. La stima della prevalenza della difficoltà ad alzarsi nei maschi è pM = 34/85 = 0,4 e nelle
femmine pF = 64/100 = 0,64. L’intervallo di fiducia per la vera prevalenza nella popolazione
dei maschi e delle femmine, facendo ricorso al teorema centrale della statistica, risulta
quindi
IC95% per M = [0,40  1,96(0,400,60/85)] = [0,30 ; 0,50]
IC95% per F = [0,64  1,96(0,640,36/100)] = [0,55 ; 0,73]
Possiamo affermare, con una fiducia del 95%, che i maschi hanno una prevalenza della
difficoltà tra il 30% ed il 50% e le femmine tra il 55% ed il 73% e che la prevalenza nelle
femmine è maggiore di quella dei maschi.
Il modo più opportuno per confrontare con un intervallo di fiducia la prevalenza della
difficoltà tra maschi e femmine è calcolare l’intervallo per la differenza, che risulta:
IC95% per F - M = [(0,64 - 0,40)  1,96(0,400,60/85) + (0,640,36/100)] =
= [0,10 ; 0,17]
3. In questo caso gli intervalli di fiducia da calcolare sono relativi alla media di una
popolazione quando la deviazione standard della variabile nella popolazione è ignota, e
quindi i coefficienti per il calcolo vanno ricavati dalla distribuzione t di Student.
IC95% per M con difficoltà = [27,6  t(34-1); 0,0252,7/34] = [27,6  2,03452,7/34] =
= [26,7 ; 28,5]
IC95% per M senza difficoltà = [26,5  t(51-1); 0,0252,4/51] = [26,5  2,00862,4/51] =
= [25,8 ; 27,2]
IC95% per F con difficoltà = [28,4  t(64-1); 0,0252,8/64] = [28,4  1,99832,8/64] =
= [27,7 ; 29,1]
IC95% per F senza difficoltà = [27,1  t(36-1); 0,0252,5/36] = [27,1  2,03012,5/36] =
= [26,3 ; 27,9]
I valori della t sono stati calcolati con EXCEL.
Intervallo di fiducia al 95% per la media dell'indice di massa corporea
30.0
29.0
28.0
27.0
26.0
25.0
24.0
M con difficoltà
M senza difficoltà
F con difficoltà
F senza difficoltà
Commento: …..
Esercizio 2
L’intervallo si calcola facendo ricorso al teorema centrale della statistica.
a. IC95% per favorevoli = [0,55  1,96(0,550,45/100)] = [0,45 ; 0,65]
b. IC99% per favorevoli = [0,55  2,58(0,550,45/100)] = [0,42 ; 0,68]
c. IC99,73% per favorevoli = [0,55  3,00(0,550,45/100)] = [0,40 ; 0,70]
Esercizio 3
I limiti di fiducia per la proporzione  di favorevoli sono dati da:
{p  Z/2[p(1-p)/n]}.
Tenendo conto del dato trovato in precedenza (p=0,55) come stima di  per il calcolo della
numerosità del campione, si ha: [0,55  Z/2(0,550,45/n)] = [0,55  Z/20,50/n]. Quindi
poiché il candidato vincerà solo se avrà più del 50% dei voti, occorre che: Z/20,50/n < 0,05.
a. Per una fiducia al 95%, n > [1,960,50/0,05]², cioè n > 384,2 e quindi n almeno pari a 385.
b. Per una fiducia al 99,73%, n > [30,50/0,05]², cioè n > 900.