W - Dipartimento di Strutture per l`Ingegneria e l`Architettura
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UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI NAPOLI “FEDERICO II” FACOLTA’ DI INGEGNERIA DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA STRUTTURALE TESI DI LAUREA Modellazione Numerica d’Elementi Strutturali Sottoposti a Carichi da Esplosione Relatori Ch. mo Prof. Ing. Gaetano Manfredi Ch. mo Prof. Ing. Andrea Prota Candidato Giuseppe Della Porta Matr. 437/99 Correlatore Ing. Domenico Asprone ANNO ACCADEMICO 2005 – 2006 A quanti hanno saputo sostenermi con amore, spirito di sacrificio e sopportazione, a voi tutti va la mia gratitudine e il mio affetto “È la somma che fa il totale” Principe Antonio de Curtis In arte Totò INDICE Indice Introduzione ______________________________________ 7 Capitolo 1 _______________________________________ 10 Caratterizzazione dell’esplosione ____________________ 10 1.1 – Propagazione dell’onda d’urto (Shock Waves)__________________________ 12 1.1.1 – Esplosione al suolo_____________________________________________________14 1.1.2 – Esplosione in Aria _____________________________________________________16 1.1.3 –L’esplosione in centri abitati ______________________________________________23 1.2 – Inneschi__________________________________________________________ 26 1.3 – Dispositivi Esplosivi ________________________________________________ 28 1.4 – Materiali Esplosivi _________________________________________________ 30 Esplosivi Semplici ___________________________________________________________31 Esplosivi Composti __________________________________________________________33 Capitolo 2 _______________________________________ 36 Descrizione di un test d’esplosione su una piastra in c.a. _ 36 2.1 – Descrizione della Prova Sperimentale _________________________________ 37 2.2 – Evidenze Sperimentali______________________________________________ 41 2.3 – Finalità della Prova Sperimentale ____________________________________ 43 Capitolo 3 _______________________________________ 44 Modellazione delle azioni prodotte dall’esplosione. _____ 44 3.1 – Curva di pressione adottata _________________________________________ 46 Coefficiente d’equivalenza_____________________________________________________47 Distanza Ridotta Z ___________________________________________________________48 Picco di Pressione Δp(Z) ______________________________________________________50 Coefficiente Sperimentale α. ___________________________________________________50 Durata della Fase Positiva t+ ___________________________________________________51 Curva di Pressione P(Z, t) _____________________________________________________52 Capitolo 4 _______________________________________ 60 Metodi di Discretizzazione__________________________ 60 4.1 – Finite Element Method (FEM) _______________________________________ 60 4.2 – Classificazione dei Metodi Particellari ________________________________ 65 4.3 – Applicazione dei Metodi Particellari __________________________________ 68 4.4 – Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH) _____________________________ 69 4.4.1 – Metodi d’interpolazione SPH _____________________________________________72 4.4.2 – Teoria d’Approssimazione SPH ___________________________________________78 4.4.3 – Approssimazione di Derivate SPH_________________________________________80 Formula gradiente I ________________________________________________________80 Formula gradiente II _______________________________________________________81 4 INDICE Formula gradiente III_______________________________________________________82 Equazione di continuità in SPH_______________________________________________85 Equazione del Moto in SPH _________________________________________________86 Equazione dell’energia in SPH _______________________________________________89 4.4.4 – I limiti del Metodo SPH _________________________________________________91 Instabilità di tensione_______________________________________________________91 Condizioni di vincolo ______________________________________________________95 Capitolo 5 _______________________________________ 97 Modellazione Numerica con LS-Dyna Version 970. _____ 97 5.1 - Software LS-Dyna Version 970 _______________________________________ 97 5.2 – Modellazione della Prova Sperimentale_______________________________ 101 5.2.1 – Modello FEM ________________________________________________________102 5.2.2 – Modello SPH ________________________________________________________111 Capitolo 6 ______________________________________ 117 Legami Costitutivi del Calcestruzzo _________________ 117 6.1 – Pseudo – Tensor(Mat_016) _________________________________________ 117 6.2 – Concrete Damage (Mat_072) _______________________________________ 125 6.2.1 – Parametri che definiscono le superfici di rottura _____________________________128 6.4 – Dynamic Increase Factor (DIF) _____________________________________ 137 • Cowper and Symonds. __________________________________________________139 • Legame Tensione-Deformazione Parametrico. _______________________________139 • Curva di Strain-Rate. ___________________________________________________140 6.4.1 – Definizione della Curva di Strain-Rate ____________________________________140 6.4.2 – Origini della formulazione CEB-FIP ______________________________________141 6.3 – Equation of State Form 8 (Tabulated Compaction) _____________________ 149 Capitolo 7 ______________________________________ 161 Risultati delle Simulazioni Numeriche _______________ 161 7.1 – Prova Sperimentale I e II __________________________________________ 162 • • • • Modello FEM, suddivisione della piastra in 11520 Element_Solid, Prova 1: ________163 Modello FEM, suddivisione della piastra in 11520 Element_Solid, Prova 2: ________164 Modello SPH, suddivisione della piastra in 11520 Element_SPH, Prova 1: _________166 Modello SPH, suddivisione della piastra in 11520 Element_SPH, Prova 2: _________168 7.2 – Prova Sperimentale III ____________________________________________ 169 • • Modello FEM, suddivisione della piastra in 11520 Element_Solid, Prova 3: ________171 Modello SPH, suddivisione della piastra in 11520 Element_SPH, Prova 3: _________176 7.3 – Prova Sperimentale IV ____________________________________________ 181 CONCLUSIONI _________________________________ 186 Indice delle Figure _______________________________ 191 Indice dei Grafici ________________________________ 192 Indice delle Tabelle_______________________________ 193 5 INDICE Bibliografia _____________________________________ 195 Ringraziamenti __________________________________ 198 6 INTRODUZIONE Introduzione Nel campo dell’Ingegneria Civile si assiste ad un sempre crescente interesse nei confronti delle azioni dinamiche prodotte da esplosioni applicate alle strutture. Infatti, i recenti attacchi terroristici portati al cuore del mondo occidentale negli ultimi anni, hanno fatto sì che si alzassero i livelli di guardia dei paesi maggiormente colpiti ed interessati. La crescente preoccupazione dei paesi occidentali, ha quindi focalizzato l’attenzione sull’argomento della protezione di quelle strutture che, per le proprie sensibilità strategiche e sociali, rientrano tra i probabili obiettivi terroristici. Tra queste si annoverano le ambasciate, le sedi di governo, le basi militari e logistiche, ma anche scuole, ospedali, stadi, centri commerciali, luoghi di grande affollamento tra cui anche metropolitane, aeroporti e mezzi di trasporto collettivi. Lo stesso ambito scientifico si è adoperato per caratterizzare il comportamento di tali strutture sottoposte a carichi dinamici d’elevata intensità e breve durata, quali sono quelli prodotti dalle esplosioni. Il problema si presenta al quanto complesso, e si può articolare in tre diversi aspetti fondamentali, che sono così elencati: • Valutazione dei carichi dinamici prodotti da un’esplosione ed applicati su un elemento strutturale; • Caratterizzazione del comportamento meccanico dei materiali per uso strutturale, sottoposti a carichi dinamici d’elevata intensità; • Individuazione ed implementazione, mediante l’uso del calcolatore, di un metodo d’analisi numerico per la descrizione e soluzione del problema fisico-meccanico così definito. 7 INTRODUZIONE Per quanto concerne la valutazione delle azioni prodotte da un’esplosione, queste possono essere definite da curve di pressione d’elevate intensità ma di durata ridottissima. Di quest’onda di pressione è possibile considerare una fase positiva di sovrapressione e una negativa di depressione. Sperimentalmente si è potuto osservare come il calcestruzzo e l’acciaio, sottoposti a carichi dinamici d’elevata intensità, presentino dei valori di resistenza meccanica maggiori rispetto a quelle calcolate in condizioni di carico quasi statiche. Ad oggi ancora non appare chiaro il motivo fisico in virtù del quale si manifesta quest’incremento di resistenza. Ciononostante, per la modellazione di un elemento strutturale realizzato in c.a. non si può prescindere dal considerare tal effetto, che va sotto il nome di Strain-Rate-Sensitivity. Le metodologie d’analisi maggiormente impiegate, per la descrizione del fenomeno fisico, prevedono una complessa discretizzazione del continuo. A tal fine, è possibile distinguere diversi gruppi di metodi, tra cui: • Lagrangiani, utilizzati soprattutto per la discretizzazione d’elementi solidi, e per la risoluzione di problemi meccanici, in cui si osservano deformazioni non eccessivamente elevate; • Euleriani, utilizzati soprattutto in fluidodinamica, e a differenza dei precedenti offrono la possibilità di trattare problemi che prevedono grandi deformazioni; • ALE (Arbitrarian Lagrangian Eulerian), consentono di trattare deformazioni di qualsiasi entità, la loro precisione è funzione di quanto sia corretta la previsione delle deformazioni attese; 8 INTRODUZIONE • SPH (Smoothed Particle Hydrodynamics), appartengono ai metodi di tipo Meshfree, discretizza il continuo mediante un numero finito d’elementi particellari. L’oggetto del lavoro di tesi risiede nell’affrontare ognuna delle problematiche in precedenza descritte. Ragion per cui, si è scelto di modellare numericamente una prova sperimentale condotta su una piastra in c.a. sottoposta a carichi da esplosione. Nei capitoli successivi si descriveranno le metodologie adottate per il calcolo delle azioni esercitate sull’elemento strutturale prodotte dall’esplosione, e quelle utilizzate per la discretizzazione e l’analisi numerica della prova simulata. Inoltre, si farà un esplicito riferimento al codice di calcolo impiegato per la suddetta modellazione, e sulle scelte riguardanti il legame costitutivo implementato al fine di modellare il calcestruzzo armato, in modo tale da poter considerare il già menzionato effetto di Strain-Rate-Sensitivity. A conclusione della tesi si riporteranno i risultati ottenuti mediante l’utilizzo di due diversi metodi d’analisi, tra cui il tradizionale metodo degli elementi finiti (FEM), che rientra tra i metodi Lagrangiani prima citati, e il più innovativo Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH). Dal confronto operato tra i risultati conseguiti mediante i due metodi d’analisi, e tra gli stessi e quelli ottenuti in seguito alle prove sperimentali se ne trarranno le successive conclusioni. 9 CAPITOLO 1 – CARATTERIZZAZIONE DELL’ESPLOSIONE Capitolo 1 Caratterizzazione dell’esplosione L’esplosione è definita come un improvviso e violento rilascio d’energia meccanica, chimica o nucleare, normalmente con produzione di gas ad altissima temperatura e pressione[1]. Questo rilascio d’energia si attribuisce ad una trasformazione dello stato di una massa gassosa, solida o liquida, impiegata per la costruzione della carica esplosiva. Per Energia Meccanica s’intende la somma dell’energia Cinetica e di quella Potenziale, mentre l’Energia Chimica è causata della formazione o rottura di legami chimici di qualsiasi tipo. Con Energia Nucleare s’intendono tutti quei fenomeni in cui si ha la produzione di energia in seguito a trasformazioni nei nuclei atomici, quali possono essere fissioni o fusioni nucleari. I volumi di gas prodotti dall’esplosione sono circa 10000-30000 volte quelli iniziali, la temperatura che ne consegue raggiunge i 3000 gradi centigradi, mentre la pressione si aggira intorno alle 20000 atm con picchi di 150000 atm[2]. Il gas d’esplosione, ad elevata temperatura e pressione, si propaga nell’ambiente circostante sotto forma di un onda d’urto, che in assenza d’ostacoli si espande come una superficie sferica centrata nel centro dell'esplosione. Incontrando degli ostacoli esercita su di loro una forza tanto maggiore quanto la superficie investita, e quanto più vicina al centro dell'esplosione [1]. L’effetto distruttivo di un’esplosione dipende da vari fattori tra cui la velocità dell’esplosione, il calore e i gas da lei prodotti, e chiaramente dalle pressioni realizzabili. Di conseguenza gli effetti prodotti da esplosivi d’uso militare e civile sono chiaramente differenti, avendo caratteristiche diverse in particolar modo gli esplosivi militari tra cui quelli plastici, come il C-4, hanno un 10 CAPITOLO 1 – CARATTERIZZAZIONE DELL’ESPLOSIONE enorme potere distruttivo legato soprattutto alla loro elevata velocità di detonazione, all’effetto prodotto dall’onda di pressione sviluppata dall’esplosione, e in misura minore agli effetti prodotti dalle schegge. Gli esplosivi commerciali d’uso civile, impiegati per la demolizione di strutture esistente o per l’apertura di scavi in roccia, sono solitamente utilizzati con cariche intasate, in altre parole introdotte in fori realizzati nella roccia o nel terreno. Le esplosioni chimiche sono suddivise in deflagrazioni, nelle quali la propagazione della reazione chimica d’esplosione è una forma di combustione che procede nel materiale a velocità subsonica, e detonazioni, nelle quali la reazione chimica d’esplosione non è una combustione ma una decomposizione diretta della molecola d’esplosivo, innescata direttamente dall'onda d'urto, la reazione d’esplosione procede quindi alla velocità del suono in quella particolare sostanza attraverso tutto il materiale, e la pressione e temperatura finale dei prodotti di reazione sono quindi molto più elevati [1]. Per caratterizzare la potenza di un esplosivo è possibile condurre una prova sperimentale, che prevede l’esplosione di una carica all’interno di un blocco di piombo le cui dimensioni sono standardizzate. Eseguendo in seguito una misurazione del volume della cavità creatasi al suo interno, è possibile stabilire una correlazione tra la potenza della gelatina esplosiva, ritenuto uno degli esplosivi più potenti, con altre tipologie di cariche esplosive, associando convenzionalmente alla gelatina una potenza pari a 100 [1]. In ambito militare ma anche in campo civile si preferisce definire un carico esplosivo equivalente, calcolando dei coefficienti d’equivalenza rispetto al Trinitrotulene (TNT), per la quale si assume un coefficiente unitario [1]. 11 CAPITOLO 1 – CARATTERIZZAZIONE DELL’ESPLOSIONE 1.1 – Propagazione dell’onda d’urto (Shock Waves) I gas ad alta temperatura e pressione, prodotti dall’esplosione, sono confinati dal mezzo circostante, e si propagano al suo interno sotto forma di un’onda di pressione. L’onda d’urto produce effetti devastanti sia a breve sia a lunga distanza. Gli effetti a lunga distanza sono funzione del mezzo attraverso il quale avviene la propagazione. Infatti, la massima pressione del gas d’esplosione, dipende dalle caratteristiche fisico-meccaniche del mezzo che circonda la carica esplosiva, che sia aria, acqua o suolo. In aria si avrà uno spostamento d’aria, in acqua uno scoppio subacqueo, se invece l’esplosione avviene nel terreno l’onda d’urto si propaga allo stesso modo delle onde sismiche, arrecando quindi danni alle strutture adiacenti cosi come alle persone a contatto con la superficie investita dall’onda. L’eventuale presenza di una superficie di separazione, tra il gas prodotto dall’esplosione, e il mezzo attraverso il quale si propaga, produce al tempo stesso una riflessione e una trasmissione dell’onda di pressione al mezzo circostante (area o acqua). L’onda di riflessione, si muove in verso opposto all’onda di detonazione. Questa riflessione può essere di compressione o di rarefazione, a seconda che la densità del mezzo di propagazione è maggiore o minore di quella del gas d’esplosione [2]. Ad esempio, se la carica è applicata su una piastra infinitamente rigida di calcestruzzo armato, siccome la densità della piastra è molto maggiore rispetto a quella del gas prodotto dall’esplosione, l’onda di riflessione sarà di pressione, ed interamente rivolta verso l’alto. 12 CAPITOLO 1 – CARATTERIZZAZIONE DELL’ESPLOSIONE Allo stesso modo, l’intensità della pressione dell’onda trasmessa al mezzo circostante, è funzione della densità del mezzo. In ogni caso, all’aumentare della distanza dal centro d’esplosione, l’intensità di pressione tende a diminuire. L’onda esplosiva genera inizialmente una sovrapressione e in seguito in tempi più lunghi una depressione nota come risucchio, dovuta all’aria che torna violentemente verso il centro dell’esplosione. Gli effetti prodotti dall’azione combinata di queste due onde sono molto distruttivi, in quanto in alcuni casi la sola onda di pressione che impatta su un oggetto, quale può essere ad esempio un pannello in muratura, provoca su di lui inizialmente delle semplici lesioni, senza alterare la propria staticità, sarà poi l’onda di risucchio a provocarne il successivo crollo. Tutto ciò avviene in un periodo di tempo dell’ordine di grandezza di pochi millisecondi, tale da non far apprezzare l’effetto prodotto dalle due onde singolarmente. Gli effetti prodotti a breve distanza sono invece da attribuire ad onde d’urto pulsanti, le quali attraversano e si riflettono sulle superfici libere degli oggetti incontrati, provocando su di loro un incremento delle tensioni che ne determina la rottura. A questi si sommano gli effetti prodotti dalle fiammate, dai corpi incandescenti scagliati ad alte velocità, e dalla propagazione del calore che può essere causa d’incendi e d’ustioni gravi. In alcuni casi i danni prodotti a breve distanza possono essere aggravati dalla presenza all’interno dell’ordigno di chiodi o altri corpi contundenti (Bomba Sporca), quali schegge di vetro o acciaio di varie dimensioni, che l’esplosione scaglia ad alte velocità, tra i 1000 e 1500 m/s, possono provocare lesioni a persone e cose d’entità rilevanti [1]. 13 CAPITOLO 1 – CARATTERIZZAZIONE DELL’ESPLOSIONE 1.1.1 – Esplosione al suolo Ad esplosione avvenuta, dalle dimensioni radiali del cratere formatosi al suolo, e note le caratteristiche geotecniche dello stesso, sarà possibile risalire all’entità del carico esplosivo W. Noti, infatti, la tipologia del terreno, e con lui le sue caratteristiche fisiche e meccaniche, attraverso delle relazioni empiriche, è possibile calcolare il raggio del cratere R, attraverso la seguente espressione: R = kW n Dove con R s’indica il raggio del cratere, k è un coefficiente numerico adimensionale, che assume valori diversi in funzione del tipo di terreno, W è il peso della carica esplosiva, e infine n è l’indice di potenza dell’esplosivo stesso [3]. Questa formulazione empirica, ricavata quindi dalle evidenze sperimentali, è in accordo con la seguente teoria. Si prenda in considerazione una carica esplosiva, applicata per semplice contatto sulla superficie del suolo. Indichiamo rispettivamente con W ed E il suo peso e la sua Energia Specifica di esplosione, ovvero l’energia rilasciata dall’esplosione stessa. L’energia specifica necessaria alla rottura di un volume V di terreno sarà: Er = Vσrεr Dove, σr e εr sono rispettivamente la tensione e la deformazione di rottura del materiale attraversato dall’esplosione. L’energia specifica di rottura del materiale sarà: Es = σrεr 14 CAPITOLO 1 – CARATTERIZZAZIONE DELL’ESPLOSIONE Dall’uguaglianza di queste due espressioni, ricaviamo il volume di terreno asportato dall’esplosione, definito come segue: Er WβE = Es Es V = Sapendo che l’energia necessaria per provocare la rottura di un volume V di terreno, è uguale all’energia trasferita dalla carica al suolo (K=WβE). Nell’ipotesi in cui la densità di massa del suolo è inferiore rispetto a quella del gas prodotto dall’esplosione, approssimativamente si può considerare un cratere di forma semisferica. Per cui, sapendo che il volume della sfera si calcola come: 2π R V = 3 3 Sostituendo nella relazione precedente, ricaviamo l’espressione del raggio: R = 3 3E 2π E β 3 W = k 3 W s Avendo posto: k = 3 3E β 2π E s espresso quindi in funzione delle caratteristiche meccaniche del suolo e dell’energia d’esplosione della carica[3]. 15 CAPITOLO 1 – CARATTERIZZAZIONE DELL’ESPLOSIONE 1.1.2 – Esplosione in Aria Si vogliono descrivere gli effetti prodotti da un’esplosione che avviene in aria libera, considerata puntuale ed istantanea, alla quale corrisponde il rilascio di una certa quantità d’energia E. Ciò che interessa definire, è l’incremento di pressione del mezzo circostante la carica esplosiva, in un dato istante di tempo t, ad una certa distanza radiale R(t) dal centro d’esplosione, supponendo che sia di tipo sferico. Rispetto alle condizioni imperturbate del mezzo, alle quali corrisponde una certa pressione p1, in seguito al passaggio del fronte d’onda, si avrà una nuova pressione p2, maggiore di quella iniziale. L’ipotesi di base è che le trasformazioni di natura termodinamiche associate all’esplosione, siano adiabatiche, in altre parole comporteranno uno scambio di calore tra l’ambiente interno, in cui si ha l’esplosione, e quello esterno, in cui si ha la propagazione della stessa. Inoltre, l’aria attraverso la quale si propaga l’onda d’urto, è considerata come un gas politropico, per il qual è vera la seguente espressione: pvn = cost. Dove p è la pressione, v è il volume specifico per unità di massa, e n è un coefficiente numerico adimensionale, che assume valori diversi a seconda che la trasformazione del gas sia isoterma o adiabatica, in questo caso essendo adiabatica vale 4,21 [3]. Per definire la velocità, la pressione, e la densità di massa del mezzo attraversato dal fronte d’onda ad un generico istante di tempo t, sarà quindi necessario descrivere il moto del gas. 16 CAPITOLO 1 – CARATTERIZZAZIONE DELL’ESPLOSIONE Tale moto è univocamente determinato, una volta noti la densità di massa indisturbata dell’aria ρ1, l’energia sprigionata dall’esplosione E, ed una volta fissati l’istante di tempo t e la distanza radiale r dal centro d’esplosione. Dalla successiva relazione si ricava la posizione radiale del fronte d’onda ad un generico istante di tempo t: λ = r (ρ 1 Et 2 ) 1 2+k Dove k è un parametro adimensionale, che assume valore pari a 1, 2, o 3, a seconda che l’espansione del gas è monodimensionale, bidimensionale o tridimensionale [3]. Da cui, la posizione radiale dell’onda d’urto all’istante t sarà: ⎛ Et 2 R (t ) = β ⎜⎜ ⎝ ρ1 ⎞ ⎟⎟ ⎠ 1 2+k Dove β è una costante adimensionale, definita in funzione del rapporto politropico γ tra il calore specifico del gas a pressione costante, e a volume costante dell’aria[3]. Attraverso la precedente relazione, si è quindi in grado di individuare ad ogni istante, in seguito all’esplosione, la posizione del fronte d’onda. Noto R(t), si può calcolare la velocità con la quale si propaga l’onda d’urto nel mezzo circostante, come: U (t ) = 17 dR dt CAPITOLO 1 – CARATTERIZZAZIONE DELL’ESPLOSIONE Nel caso in questione si avrà: 2 U (t ) = β 2+ k 4+k 2 ⎛ E ⎜⎜ k ⎝ ρ1R ⎞ ⎟⎟ ⎠ 0 ,5 Bisogna quindi risolvere un sistema di tre equazioni nelle incognite v2, ρ2, p2, che indica rispettivamente la velocità, la densità di massa, e la pressione dell’aria in seguito al passaggio del fronte d’onda, ad una distanza radiale R(t), e all’istante di tempo t [3]. Le equazioni da scrivere per la risoluzione del problema, derivano dal principio di conservazione della massa, della quantità di moto, e dell’energia. Le soluzioni del sistema d’equazioni saranno: ρ 2 = ρ1 γ +1 γ −1 2U v2 = γ +1 p 2 2U 2 = ρ γ + 1 1 La sola densità di massa si esprime indipendentemente dalla velocità di propagazione dell’onda d’urto U [3]. Nota l’espressione della velocità di propagazione del fronte d’onda U, sostituendola in quella della pressione p2, si ottiene la pressione sul fronte d’onda: p 2 = β 4+ k (2 8E + k ) (γ 2 + 1) 1 R k Questa sarà quindi espressa in funzione dell’energia specifica d’esplosione E, del tipo di propagazione espressa mediante k, del rapporto tra il calore specifico a pressione e a volume costante γ, e della posizione radiale R [3]. 18 CAPITOLO 1 – CARATTERIZZAZIONE DELL’ESPLOSIONE La pressione del fronte d’onda è quindi una funzione inversamente proporzionale della distanza R dal centro d’esplosione. In particolar modo al variare della costante k, che come già detto assume valori diversi a seconda che la propagazione del fronte d’urto sia monodimensionale, bidimensionale, o tridimensionale, questa proporzionalità inversa sarà lineare, quadratica o cubica. Nel caso di propagazione tridimensionale, l’attenuazione della pressione sul fronte d’onda, sarà ancora più rapida all’aumentare della distanza radiale dal centro d’esplosione. Il picco di pressione, in altre parole la massima pressione conseguita in un punto generico dello spazio, a distanza R dal centro d’esplosione, si definisce come somma di 4 contributi: Δp = A1 A2 A3 + + + A4 2 R R R 3 Dove le 4 costanti, A1, A2, A3, e A4, sono determinate attraverso un’interpolazione lineare dei risultati numerici di prove sperimentali, che dipendono dal peso della carica esplosiva W, mediante la cosiddetta Distanza Ridotta, a sua volta definita come: Z = 3 R W Il concetto di distanza ridotta, s’introduce per individuare la distanza dal centro d’esplosione, alla quale due cariche esplosive, con la stessa energia specifica d’esplosione, ma con peso differente, W1 e W2, generano lo stesso effetto in termini di pressione. Analogamente, per due cariche esplosive con lo stesso peso W, ma con energie specifiche 19 CAPITOLO 1 – CARATTERIZZAZIONE DELL’ESPLOSIONE d’esplosione diverse, E1 ed E2, s’individua la distanza alla quale le due cariche generano la stessa pressione [3]. Nelle applicazioni pratiche, per la valutazione della pressione in un generico punto dello spazio, individuato dalla distanza ridotta Z dal centro d’esplosione, e in un generico istante di tempo t, sono impiegate formulazioni semiempiriche come la seguente: p (Z ,t) = p + y − p0 t ⎞ ⎛ = Δ p ( Z )⎜1 − + ⎟e t ⎠ ⎝ −α t t + Dove p+y è la massima pressione della fase positiva, p0 è la pressione in condizioni indisturbate del mezzo di propagazione, pressione atmosferica nel caso dell’aria, t+ è la durata della fase positiva di sovrapressione, α è un coefficiente di natura sperimentale definito in funzione della distanza ridotta Z, e Δp(Z) è il picco di pressione alla distanza ridotta Z [3]. La durata della fase positiva di sovrapressione, la si può valutare come segue (M. A. Sadowsky): t + = B ⋅ 10 −3 6 W R Dove, il tempo è espresso in secondi, B è una costante che si assume nella pratica pari a 1,3 [3]. 20 CAPITOLO 1 – CARATTERIZZAZIONE DELL’ESPLOSIONE p(Kg/cm2) py+ Fase positiva Fase negativa p0 px ta t+ t(s) Figura 1. 1 – Andamento qualitativo di una Curva di Pressione prodotta da un’esplosione. Per il picco di pressione Δp(Z), è possibile utilizzare diverse formulazioni d’origini sperimentali, proposte da vari autori, e riferite al solo TNT. In ogni caso, tali formulazioni sono estendibili a qualsiasi tipologia d’esplosivo, mediante l’introduzione di un coefficiente d’equivalenza al TNT. Questo coefficiente, è calcolato come il rapporto tra il calore specifico dell’esplosivo in questione, Q, e quello del TNT, QTNT [3]: q = Q Q TNT Per ognuna di queste espressioni, è possibile definire un campo di validità in funzione della distanza ridotta Z. Nei rispettivi campi 21 CAPITOLO 1 – CARATTERIZZAZIONE DELL’ESPLOSIONE d’applicazione, tra le varie formulazioni sussistono delle differenze. Nella pratica, si preferisce riferirsi ad un valore medio di quello calcolato con le singole formulazioni. Di seguito si riportano le espressioni per il calcolo del picco di pressione, e i rispettivi campi di validità [3]: • Brode H.L. 6, 7 +1 Δp ≥ 10 Kg / cm 2 3 Z 0,975 1,455 5,85 Δp ( Z ) = + + 3 − 0,019 Z Z2 Z Δp ( Z ) = 0,1 ≤ Δp ≤ 10 Kg / cm 2 • Petrowsky G.I. Δp ( Z ) = 10 ,7 −1 Z3 Z ≤1 • Sadowsky M.A. Δp( Z ) = 0,76 2,55 6,5 + 2 + 3 Z Z Z 1 ≤ Z ≤ 15 • Henrich J. 14 ,072 5,5397 0,3572 0,00625 + − + 0,05 ≤ Z ≤ 0,3 Z Z2 Z3 Z4 6,1938 0,3262 2,1324 Δp ( Z ) = − + 0,3 ≤ Z ≤ 1 Z Z2 Z3 0,662 4,05 3, 288 Δp ( Z ) = + 2 + Z ≥1 Z Z Z3 Δp ( Z ) = 22 CAPITOLO 1 – CARATTERIZZAZIONE DELL’ESPLOSIONE 1.1.3 –L’esplosione in centri abitati Nel momento in cui l’esplosione avviene in un centro abitato, la sua propagazione in aria può essere descritta come se avvenisse attraverso un insieme di canali [3]. In questo caso l’onda di sovrapressione incontrerà strade, piazze ed edifici, che ne determineranno delle riflessioni. Le strade sono quindi considerate come dei canali lateralmente confinati dalla presenza degli edifici. Si supponga di prendere in considerazione un’esplosione di tipo puntuale, che avviene ad una distanza R0 dalla sezione d’imbocco del nostro canale. L’onda d’urto prodotta dall’esplosione, inizialmente sferica, raggiunta la sezione iniziale del canale, si trasforma da sferica in piana. Questa trasformazione si deve alle riflessioni multiple dell’onda contro le pareti laterali del canale, e alle sovrapposizioni di queste ultime. In questo modo gli effetti dell’esplosione si risentono anche a distanze maggiori rispetto al caso d’assenza d’ostacoli. E’ interessante determinare la pressione prodotta nell’atmosfera ad una certa distanza r dal centro d’esplosione. In generale, si può affermare che questa sia pari a: p (r ) = A r Dove r è la distanza dal centro d’esplosione, ed A una costante [3]. Se s’indica con r = R1 la distanza dal centro d’esplosione della sezione iniziale del canale, dove la pressione vale p0, la costante A si calcola come: A = R1p0 23 CAPITOLO 1 – CARATTERIZZAZIONE DELL’ESPLOSIONE La pressione in una generica sezione x del canale sarà calcolata come: p(x) = p 0 R1 R1 + x Dove, p0 è la pressione calcolata sul fronte d’onda sferico alla distanza R0 dalla carica esplosiva [3]. Dalla precedente espressione si evince come all’aumentare della distanza dal centro d’esplosione si abbia una riduzione della pressione prodotta, essendo questa ultima inversamente proporzionale alla distanza x. In questa formulazione non si tiene conto del graduale passaggio della superficie d’onda da sferica a piana, dell’influenza delle onde di riflessione sulle pareti che limitano lateralmente il canale, e degli effetti dissipatevi dovuti alla rugosità delle pareti del condotto. E’ quindi necessario introdurre dei coefficienti correttivi che terranno conto di questi fenomeni. S’introduce quindi un coefficiente α, compreso tra 0 e 1, che moltiplicato per R0 riduce la distanza del centro d’esplosione dalla sezione d’imbocco [3]. Il coefficiente amplificativo Ω, che tiene conto della sovrapposizione delle onde di riflessione, tale coefficiente si assume sempre inferiore all’unità. Infine un termine esponenziale, in funzione del quale all’aumentare della distanza x lungo il canale, si ha una riduzione della pressione in virtù degli effetti dissipativi. Sperimentalmente, è possibile dimostrare che tali effetti dissipativi, siano funzione della rugosità delle pareti laterali del condotto, espresse mediante un coefficiente di attrito ξ, a sua volta funzione della dimensione trasversale del canale D, e dell’altezza relativa delle asperità h [3]. 24 CAPITOLO 1 – CARATTERIZZAZIONE DELL’ESPLOSIONE L’espressione corretta della pressione prodotta ad una generica ascissa x del canale sarà [3]: α p 0 R1 p(x) = e Ω (α R 1 + x ) − 0 ,4ξ x D Da questa formulazione, si evince che per ridurre la pressione è sufficiente aumentare la dimensione trasversale D del canale stesso. Questo si può fare realizzando delle camere d’espansione, che sono degli allargamenti della sezione trasversale corrente. A valle di questa camera d’espansione, nel momento in cui si ha un successivo restringimento del condotto, la pressione è calcolata come [3]: ⎛ S p1 = ⎜⎜ 2 p2 ⎝ S1 ⎞ ⎟⎟ ⎠ 0 ,8 Dove S1 e S2, sono rispettivamente la dimensione trasversale del condotto prima e dopo l’allargamento, cosi come p1 e p2, sono le relative pressioni, all’ingresso del canale d’espansione, e nel canale d’uscita, quest’ultima p2 sarà incognita. Quando lungo il canale principale, l’onda di sovrapressione incontra delle curve o delle diramazioni, la pressione che si avrà a valle del cambio di geometria del condotto, sarà valutata come un’aliquota della pressione iniziale p1: p2 = kp1 Dove k è un coefficiente di proporzionalità, che varia tra 0 e 1, e assume valori diversi in funzione del tipo di diramazione o cambio di geometria del canale [3]. 25 CAPITOLO 1 – CARATTERIZZAZIONE DELL’ESPLOSIONE 1.2 – Inneschi Gli Inneschi possono essere realizzati con spolette, corde di detonazione, micce d’accensione o detonatori, in grado di provocare l’esplosione nei tempi e nei modi desiderati; molti di questi elementi sono sufficientemente piccoli da poter essere facilmente nascosti in un veicolo e quindi passare inosservati ad un controllo [2]. In alcuni casi l’innesco di un esplosivo può indurre ad una reazione a catena, dovuto all’innesco successivo d’altri esplosivi nelle vicinanze. Ciò non sempre avviene, in quanto questo fenomeno e vincolato da una serie di fattori tra cui la distanza e la sensibilità degli esplosivi, la violenza dell’esplosione e il mezzo attraverso il quasi si propaga. La scelta del sistema d’innesco dipende non solo dal tipo d’esplosione e di danno che si vuole provocare ma anche dal tipo d’esplosivo. Fatta eccezione per la polvere nera che può facilmente essere innescata mediante l’accensione di una miccia, tutti gli altri esplosivi hanno bisogno di un detonatore[2]. La detonazione è un fenomeno chimico-fisico costituito da una esplosione che si propaga ad una velocità supersonica costante, che genera un'onda d'urto il cui campo di velocità a valle può essere ancora supersonico (detonazione forte) oppure subsonico (detonazione debole) [2]. La velocità di detonazione è una funzione della densità del solido impiegato per la costruzione della carica esplosiva. Superato un certo limite di densità, la velocità di detonazione tende a diminuire a causa delle difficoltà con le quali si sviluppano le reazioni chimiche, che sono artefici della detonazione stessa. I Detonatori utilizzati per innescare gli esplosivi normali sono solitamente dei tubi sottili d’alluminio o di rame, contenenti vari tipi d’esplosivi primari e secondari presenti in piccole 26 CAPITOLO 1 – CARATTERIZZAZIONE DELL’ESPLOSIONE quantità, che li rendono molto sensibili alle azioni esterne tra cui percussioni, shock e calore, per tale motivo vanno maneggiati con cautela e mai trasportati insieme all’esplosivo. Gli esplosivi primari sono molto sensibili agli urti, agli sfregamenti e al calore, sono usati nei detonatori per innescare l'esplosivo secondario. Gli esplosivi secondari, tranne qualche eccezione, non sono sensibili alle sollecitazioni meccaniche e termiche, e pertanto si possono definire stabili. I detonatori possono essere innescati a loro volta tramite uno shock non elettrico, i detonatori non elettrici si ottengono mediante l’accensione di una miccia vincolata alla sua estremità o da un pezzo di corda di detonazione, altresì da un detonatore elettrico costituito da un filamento imbevuto in una miscela incendiaria, che è resa incandescente al passaggio della corrente elettrica prodotta da una particolare batteria definita esploditore[2]. Mentre i detonatori non elettrici sono istantanei, quelli elettrici possono essere dotati di un dispositivo a tempo basato su un segnale elettronico che agisce a distanza, prodotto ad esempio da un semplice telefono cellulare, o basato su un periodo di innesco prefissato. Le spolette a tempo sono per lo più utilizzate per la detonazione d’ordigni militari (Bombe a Mano) [2]. Una gran varietà di detonatori è facilmente reperibile in commercio e con varie dimensioni, tra cui le corde di detonazione dette anche micce ordinarie a lenta combustione, utilizzate per l’innesco non elettrico dei detonatori stessi o d’altri esplosivi a debita distanza e con sufficiente ritardo di tempo. Queste sono realizzate con una polvere nera finissima che non emette odori identificabili, avvolta con un filo in una pellicola o in uno strato di plastica. Le stesse possono anche essere realizzate sostituendo alla polvere nera un esplosivo secondario ad alta velocità di 27 CAPITOLO 1 – CARATTERIZZAZIONE DELL’ESPLOSIONE detonazione, in questo caso si parla di “miccia detonante“, usata soprattutto per la detonazione contemporanea di più cariche disposte a distanza l’una dalle altre. 1.3 – Dispositivi Esplosivi E’ possibile individuare diverse tipologie di dispositivi esplosivi che si contraddistinguono per innesco, cariche esplosive e contenitore. Secondo i loro impieghi, tali ordigni si distinguono in tre diverse categorie, Militari, Commerciali o Civili ed “Improvvisati“. Gli Esplosivi Militari, come il trinitrotulene (TNT) e i vari esplosivi plastici tra cui il C-4, possono essere usati singolarmente o mescolati tra loro o con altre sostanze, tra cui la polvere d’alluminio, per migliorarne le prestazioni. Lo stesso esplosivo plastico molto diffuso negli Stati Uniti si ottiene proprio mescolando esplosivi secondari con sostanze plastiche quali ad esempio i polimeri sintetici. Questi esplosivi sono caratterizzati da una densità simile a quella dell’acqua, sono tolleranti alle condizioni d’umidità e resistenti alle temperature estreme, si presentano sotto forme e colori diversi fortemente dipendenti dai plastificanti e i coloranti utilizzati durante il processo di produzione. Data la loro tolleranza agli ambienti umidi possono essere facilmente nascosti in liquidi acquosi, facendo attenzione ad evitare i solventi organici nei quali potrebbero dissolversi. L’innesco avviene singolarmente o tra più carichi esplosivi attraverso l’uso di uno o più “blasting cap“ (cappuccio esplosivo) [2]. E’ stato provato che molti attacchi terroristici siano stati realizzati proprio avvalendosi d’ordigni militari, con la possibilità di nasconderli in solventi organici, quale il gasolio, a patto di isolare completamente 28 CAPITOLO 1 – CARATTERIZZAZIONE DELL’ESPLOSIONE l’esplosivo dal solvente stesso; il beneficio che se ne trae è quello di confondere l’odore dell’esplosivo rendendolo quindi meno intercettabile dai controlli di sicurezza tenuti dalle unità cinofile. Gli Esplosivi Commerciali d’uso civile si distinguono per dimensione, colore e consistenza, tra solidi e gelatinosi, tra questi maggiormente impiegati sono gli esplosivi da mina a base di Nitrato di Potassio o d’Ammonio, e la gelatina esplosiva formata per oltre il 90% da Nitroglicerina e la restante parte da Cotone Collodio. Questi ultimi si annoverano tra i più pericolosi, in quanto i rischi sono connessi soprattutto al trasporto e alla lavorazione, essendo, infatti, la Nitroglicerina, un materiale esplosivo molto suscettibile agli urti [2]. Tali esplosivi hanno una densità molta variabile, usualmente simile a quella dell’acqua, ciò li rende tolleranti al contatto con l’acqua stessa, sebbene alcuni esplosivi commerciali non possono essere detonati in completa immersione in acqua o in altri solventi. La detonazione avviene con un singolo “blasting cap“ dato che l’innesco di un solo contenitore di materiale esplosivo può provocare la detonazione di altri a lui adiacente (Reazione a Catena) [2]. Gli esplosivi commerciali non hanno una lunga vita utile, soprattutto se esposti per lunghi periodi ad elevate temperature, le quali possono provocare la fuoriuscita d’oli esplosivi o d’altri elementi. Molti di questi esplosivi, ed in particolar modo la Dinamite, emanano un forte odore, l’esposizione a tali vapori può causare rapidamente un’intensa emicrania della durata di alcuni minuti. 29 CAPITOLO 1 – CARATTERIZZAZIONE DELL’ESPLOSIONE Gli Esplosivi “Improvvisati, sono realizzati clandestinamente e artigianalmente, il loro potere distruttivo è funzione dei materiali impiegati e delle abilità tecniche degli stessi produttori. Tali ordigni presentano notevoli difficoltà, può, infatti, verificarsi una detonazione prematura o incompleta, oltre che la fuoriuscita di un forte vapore acido che può corrodere il contenitore metallico dell’esplosivo o decomporsi quando esposto al calore. I contenitori degli esplosivi maggiormente utilizzati sono tubi d’acciaio o di plastica con entrambe le estremità tappate, solitamente di grandi dimensioni e per tanto facili obiettivi delle tecniche d’ispezione, e per tale motivo sono usualmente nascosti negli scompartimenti di un veicolo [2]. 1.4 – Materiali Esplosivi I materiali esplosivi, utilizzati per la fabbricazione delle bombe sono di vario tipo. Questi possono essere distinti tra cariche concentrate e allungate a seconda che siano ammassate in modo globulare o disposte in tubi esplosivi. Possono essere interne o esterne a seconda che siano disposte in cavità realizzate nel corpo da far esplodere o semplicemente appoggiate su di essi. Si contraddistinguono in funzione delle loro caratteristiche chimiche, fisiche, del colore e dell’odore. Variano soprattutto da un luogo all’altro in funzione della loro reperibilità. Alcune pubblicazioni scientifiche attestano che i migliori materiali esplosivi rintracciabili negli Stati Uniti sono la Polvere Nera, utilizzata per la produzione di bombe a tubo, la Dinamite, una miscela di Nitrato di Ammonio e Oli Combustibili (ANFO), l’esplosivo al plastico (C-4) e il TNT, questi ultimi due utilizzati soprattutto per operazioni militari. I più usati esplosivi artificiali sono esplosivi chimici, che normalmente comprendono una rapida e violenta reazione d’ossidazione che produce 30 CAPITOLO 1 – CARATTERIZZAZIONE DELL’ESPLOSIONE una notevole quantità di gas ad alta temperatura. Sono esplosivi molto versatili, compatti, disponibili in quantità e in ogni tipo. Le caratteristiche chimiche e fisiche dei materiali esplosivi incidono chiaramente sui loro vari impieghi, tra cui quelli militari e purtroppo anche quelli terroristici. Tali caratteristiche influenzano la scelta operata dai terroristi tra i vari materiali per la costruzione del proprio ordigno, al fine di sottrarsi ai normali controlli di sicurezza all’interno degli aeroporti o altri luoghi controllati dai metal detector, ed altri dispositivi di sorveglianza. Molti materiali esplosivi appaiono sotto forma di polvere bianca o nera, solitamente con una struttura di tipo cristallina, ma quando caricate nel contenitore queste sono generalmente bagnate, al fine di evitare esplosioni premature, il che può chiaramente appesantirle e conferirgli una configurazione pastosa. E’ possibile distinguere diversi esplosivi utilizzati per la fabbricazione di bombe, tra cui Esplosivi Semplici, come il TNT (trinitrotulene), la NITROCELLULOSA e la NITROGLICERINA, ed Esplosivi Composti quali la DINAMNITE, la POLVERE NERA, gli esplosivi plastici (C-4; SEMTEX) e l’ANFO [2]. Esplosivi Semplici • Il TNT è il più comune tra gli esplosivi utilizzati per la produzione d’armi militari, si presenta sotto forma di polvere cristallina o a fiocchi, di colore variabile tra il giallo e il marrone acceso, se esposto all’ossigeno e ai raggi ultravioletti può subire uno scolorimento e una riduzione di stabilità all’impatto, data la sua composizione può essere sciolto per fargli assumere altre 31 CAPITOLO 1 – CARATTERIZZAZIONE DELL’ESPLOSIONE forme, è assolutamente inodore e può essere utilizzato come componente per molti altri esplosivi. • NITROCELLULOSA è un materiale altamente infiammabile costituito da cellulosa e acido nitrico. È più stabile e brucia più velocemente della polvere nera emettendo gas molto caldi. Esplode quando innescata, ed è solitamente impiegata per la produzione di propellente o più semplicemente per il lancio di proiettili in armi leggere; se asciutta è molto sensibile agli impatti, all’attrito e alle scintille. • NITROGLICERINA è un esplosivo molto potente tra i maggiori elementi utilizzati per la produzione d’ordigni. Allo stato puro si presenta come un liquido pesante di colore chiaro con la stessa consistenza di un olio; può essere assorbita dal corpo mediante inalazione o a contatto con la pelle inducendo stordimento e forte emicrania, oltre ad emettere fumi molto tossici durante la sua combustione. • RDX, conosciuto anche come ciclonite, esogeno o T4. É una nitroammina, ed è un materiale esplosivo ampiamente usato dai militari. Si presenta come un solido cristallino di colore bianco. E’ usato solitamente in miscele con altri esplosivi e plastificanti, oppure desensibilizzanti. È un esplosivo stabile e si può conservare per molto tempo se immagazzinato bene. E’ considerato il più potente tra tutti gli esplosivi militari. E’ prodotto facendo reagire l'acido nitrico concentrato sull'esammina, nitrato d’ammonio, acido acetico, ed anidride 32 CAPITOLO 1 – CARATTERIZZAZIONE DELL’ESPLOSIONE acetica. Comincia a decomporsi a circa 170°C, brucia piuttosto che esplodere, per farlo esplodere necessita di un detonatore, ed è molto sensibile quando cristallizzato a temperature inferiore ai 4°C [4]. Esplosivi Composti • DINAMITE è un esplosivo commerciale a differenza dei primi tre, che sono invece d’uso militare, realizzata con materiale poroso imbevuto con Nitroglicerina ed avvolto in un foglio di cera, in un cartone o in una pellicola di plastica di colore variabile secondo il produttore, solitamente confezionata come un tubo di diverso diametro. La Nitroglicerina impiegata per la sua realizzazione varia in percentuali comprese tra il 5% e il 90%, conferendogli un forte odore che può provocare immediati stordimenti; è solitamente innescata con una corda di detonazione o con un blasting cap. • POLVERE NERA è un esplosivo chimico tra i più vecchi conosciuti. Si realizza mediante una miscela di polveri tra cui Nitrato di Potassio o Nitrato di Sodio, Carbone di Legna e Zolfo. Il suo colore varia tra il nero e il marrone ed appare sottoforma di polvere sottile o granulare. E’ solitamente arricchita con della grafite che ha il compito di ridurre l’attrito tra i singoli granuli che potrebbe anche provocarne l’innesco accidentale, dato che questo materiale risulta molto sensibile all’attrito oltre che al calore, all’impatto e alle scintille, ciò fa di questo materiale esplosivo uno dei più pericolosi da maneggiare. Inoltre, risulta 33 CAPITOLO 1 – CARATTERIZZAZIONE DELL’ESPLOSIONE essere sensibile all’elettricità, pertanto deve essere lavorato con attrezzi di legno o di plastica a bassa conducibilità elettrica. Deve essere conservata asciutta data la sua sensibilità all’acqua e all’umidità che ne possono compromettere il corretto innesco. • C-4, noto anche come esplosivo al plastico per la sua composizione e modalità d’applicazione, è anch’esso un esplosivo usato per scopi militari, in particolar modo come carico per le demolizioni. E’ costituito da un materiale esplosivo (RDX) arricchito con degli additivi che lo rendono simile ad uno stucco facile da modellare. La peculiarità di quest’esplosivo è chiaramente la sua flessibilità che lo rende facile da modellare e da applicare su superfici irregolari, oltre che a un’elevata velocità di detonazione. • SEMTEX è un esplosivo plastico al pari del C-4 prodotto originariamente nell’Europa dell’Est, è costituito da due esplosivi il RDX e il PETN, arricchiti anch’essi con additivi che lo rendono flessibile e malleabile, è assolutamente inodore e caratterizzato da un colore che varia tra il giallo e il nero, preso singolarmente è un materiale relativamente innocuo che può facilmente essere manipolato. Per la sua detonazione si usa solitamente un blasting cap o una corda di detonazione. La sua vita utile si aggira intorno ai 10 anni oltre i quali iniziano a perdere la sua flessibilità diventando friabile o rigido. • ANFO è composto di una miscela di Nitrato d’Ammonio e Oli Combustibili. Il Nitrato è solitamente di colore bianco, ha una 34 CAPITOLO 1 – CARATTERIZZAZIONE DELL’ESPLOSIONE forma simile a quella di un fertilizzante ed è spesso imballato in contenitori impermeabili che servono ad evitare che possa perdere il suo potere e sensitività all’aumentare dell’umidità. Alcune variazioni si possono ottenere mescolando il Nitrato d’Ammonio con Enitrometano o con lo Zolfo. Ha una densità pari a circa l’85% di quella dell’acqua, non è sensibile alle temperature estreme e ciò nonostante deve essere tenuto asciutto e non può quindi essere nascosto in acqua [4]. Si riporta di seguito, una tabella illustrativa dei parametri d’alcuni esplosivi classici sopra elencati [3]: Esplosivo Volume specifico d’Esplosione V [l/Kg] Calore specifico d’Esplosione Q [Kcal/Kg] Temperatura d’Esplosione T [°C] Velocità di Detonazione D [m/s] Nitroglicerina 717 1470 4110 8000 Esogeno 908 1500 3850 8300 TNT 728 1000 2950 6800 Fulminato di Mercurio 304 368 4810 5400 Dinamite (62%) 634 1200 4040 6600 Tabella 1. 1 – Parametri che caratterizzano fisicamente alcuni materiali esplosivi 35 CAPITOLO 2 - DESCRIZIONE DI UN TEST D’ESPLOSIONE SU UNA PIASTRA IN C.A. Capitolo 2 Descrizione di un test d’esplosione su una piastra in c.a. Oggetto della tesi è stata la modellazione numerica di una piastra in c.a. sottoposta all’azione di un carico dinamico prodotto da un’esplosione. A tale fine, è stato necessario avvalersi dei risultati di una prova sperimentale, condotta presso il Dipartimento d’Ingegneria Civile, Architettonica ed Ambientale, dell’Università del Missouri-Rolla (USA). Realizzata per opera degli Ingegneri Pedro F. Silva, Binggeng. Lu & Antonio Nanni [5]. Nel caso specifico si tratta di una condizione d’esplosione (blast), di cui si vogliono descrivere gli effetti prodotti in termini di pressione, attraverso l’uso di una trattazione numerica di seguito riportata. Operando il confronto tra i risultati noti a priori del test sperimentale, e quelli della modellazione numerica, si ha la possibilità di verificare l’accuratezza della simulazione, che sarà tanto più attendibile, quanto maggiore sarà la fedeltà nella riproduzione della prova, e nel conseguimento di risultati simili a quelli ottenuti empiricamente. La simulazione numerica, è stata realizzata utilizzando il software di calcolo LS-DYNA Version 970 [11]. Il programma, è stato impiegato con il fine di implementare un metodo di calcolo numerico, per la discretizzazione prima e la risoluzione analitica poi, dell’elemento strutturale. Tra i possibili metodi a disposizione, si è scelto di implementare un Metodo Particellare di tipo Meshfree, in particolare lo Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH) [7]. Utilizzando lo stesso software, si è potuto ripetere la stessa simulazione, implementando un altro metodo di calcolo, il più tradizionale Metodo degli Elementi Finiti (FEM) [6]. 36 CAPITOLO 2 - DESCRIZIONE DI UN TEST D’ESPLOSIONE SU UNA PIASTRA IN C.A. In seguito, si è operato un confronto tra i risultati ottenuti, con i due diversi metodi impiegati, al fine di capire quale tra questi meglio si presta per la modellazione di un elemento strutturale sottoposto a carico da esplosione. 2.1 – Descrizione della Prova Sperimentale Il test si è svolto sottoponendo all’azione di un carico dinamico, una piastra in calcestruzzo armato. La sollecitazione dinamica è stata prodotta dalla detonazione di una carica esplosiva di peso W, sospesa in aria alla distanza R dal centro dell’elemento. Il materiale esplosivo utilizzato è l’RDX (Esogeno), considerato tra i più potenti esplosivi d’uso militare. Di seguito si descrivono: • Caratteristiche Geometriche della piastra in c.a. Le dimensioni in pianta sono 48x48 in (1,2x1,2 m), mentre lo spessore è di 3,5 in (0,0875 m). Le armature metalliche bidirezionali, sono disposte sul fondo della piastra, con copriferro di 0.5 in (0,0125 m). Le barre hanno sezioni trasversali di 0.11 in2 (φ9), e interasse di 6 in (0,15 m). Si ha quindi una percentuale d’armatura in entrambi le direzioni di 0,528%. • Condizioni di vincolo; I campioni di prova sono stati appoggiati su due travi parallele d’acciaio, con sezione a doppia T, le cui flangie avevano una larghezza di 6 in (0,15 m). Si possono osservare su entrambe le travi d’acciaio due file di spinotti metallici, a cui la piastra è stata 37 CAPITOLO 2 - DESCRIZIONE DI UN TEST D’ESPLOSIONE SU UNA PIASTRA IN C.A. vincolata, e che formano in questo modo un incastro su entrambi i bordi esterni. B y 0,15 1,2 φ9/15 cm A 1,2 A x 0,09 B Sezione A-A ; B -B 0,15 9φ9 Figura 2. 1 – Caratteristiche Geometriche della piastra, e dell’armatura metallica. Figura 2. 2 – Setup di Prova. 38 CAPITOLO 2 - DESCRIZIONE DI UN TEST D’ESPLOSIONE SU UNA PIASTRA IN C.A. Come si può notare, la piastra oltre ad essere geometricamente simmetrica, rispetto ad una coppia di assi cartesiani con origine nel centro, lo è anche nei confronti delle condizioni di vincolo e di carico, essendo la carica esplosiva applicata nel centro della piastra, ed essendo questa ultima semplicemente appoggiata su due lati. Di seguito si riportano, le proprietà dei materiali usati per la prova sperimentale [5]: Materiali Strain-rate [sec-1] Modulo di Elasticità di Young E [Kg/cm2] Rapporto di Poisson ν Acciaio 100 2,90E+07 0,3 Calcestruzzo 100 3,78E+06 0,2 Tabella 2. 1 – Proprietà elastiche dei materiali impiegati per la costruzione della piastra, allo Strain-Rate di 100 sec-1. Calcestruzzo Tensione di Rottura a Compressione [Kg/cm2] Tensione di Rottura a Trazione [Kg/cm2] Deformazione Ultima εu [‰] 717,13 195,8 4,76 Tabella 2. 2 – Proprietà dinamiche del calcestruzzo allo Strain-Rate di 100 sec-1. Acciaio Strain-rate [sec-1] Tensione di Snervamento [Kg/cm2] 1,00E-04 3958,28 174 5582,37 Tabella 2. 3 – Tensione di Snervamento dell’acciaio, per due diversi valori di StrainRate. 39 CAPITOLO 2 - DESCRIZIONE DI UN TEST D’ESPLOSIONE SU UNA PIASTRA IN C.A. Mentre per il calcestruzzo sono fornite le sole proprietà dinamiche (Strain-Rate di 100 sec-1), per l’acciaio, si fa distinzione tra la tensione di snervamento calcolata per condizioni di carico quasi statiche (StrainRate 1,00E-04 sec-1), e per le condizioni di carico dinamiche (StrainRate 174 sec-1). Da questi dati si nota un incremento della tensione di snervamento del materiale, all’aumentare della velocità di deformazione ε [sec-1], mentre il modulo di elasticità si mantiene costante. Note le caratteristiche meccaniche del calcestruzzo per condizioni di carico dinamiche, sono state da queste derivate le stesse caratteristiche in condizioni quasi statiche. Utilizzando la formulazione proposta dal bollettino CEB-FIP Model Code 1990 [20]. Ottenendo i seguenti risultati: Materiali Modulo d’Elasticità di Young E [Kg/cm2] Modulo d’Elasticità Tangenziale G [Kg/cm2] Calcestruzzo 179843,71 74934,88 Tensione di Rottura a Calcestruzzo Compressione [Kg/cm2] 212,65 Tensione di Rottura a Trazione [Kg/cm2] 28,67 Tabella 2. 4 – Proprietà del calcestruzzo, per velocità di deformazione quasi statica. 40 CAPITOLO 2 - DESCRIZIONE DI UN TEST D’ESPLOSIONE SU UNA PIASTRA IN C.A. 2.2 – Evidenze Sperimentali Si riportano ora i risultati delle prove eseguite, in termini di danno prodotto [5]: Test Peso della carica esplosiva RDX. W [Kg] Distanza della carica dal centro della piastra. R [m] Livello di Danno prodotto 1 0,10 0,91 I (No Cracking) 2 0,50 0,91 II (Minor Cracking) 3 0,90 0,30 III (Major Cracking) 4 1,71 0,20 IV (Severe Damage) Tabella 2. 5 – Condizioni di carico ed Evidenze Sperimentali ad esse associate. Dalle evidenze sperimentali si evince, che all’aumentare dell’entità del carico, e contemporaneamente al ridursi della distanza tra la piastra e il centro d’esplosione, si osservano danni crescenti in termini di fessurazione, fino a giungere alla condizione di rottura dell’elemento. Nelle immagini successive, sono raffigurati i risultati delle prove 3 e 4: Figura 2. 3 – Immagine della piastra in seguito alla terza Prova. 41 CAPITOLO 2 - DESCRIZIONE DI UN TEST D’ESPLOSIONE SU UNA PIASTRA IN C.A. Figura 2. 4 – Immagini della piastra in seguito alla quarta Prova. Si osserva che: • Al seguito della prima prova non si riscontrano danni percepibili; • Nel secondo caso si osservano piccole lesioni d’entità in ogni modo non apprezzabili; • Nel terzo caso la piastra presenta fessure rilevanti. Il quadro fessurativo che si presenta in questo caso è caratterizzato da lesioni radiali, che dal centro della piastra, ovviamente maggiormente sollecitata perché nelle immediate vicinanze della carica esplosiva, si estendono verso i bordi della stessa, con ampiezze decrescenti linearmente. La lesione maggiore nel centro della piastra misura un’ampiezza di circa 3 mm. La deformazione dell’elemento strutturale è data dalla somma di due aliquote, una deformazione elastica e una plastica. La deformazione plastica si manifesta mediante uno spostamento residuo, che si può misurare al termine della prova. La piastra presenta nel centro un abbassamento residuo di 21 mm, e di 11 mm in prossimità della mezzeria del bordo esterno. • Nella quarta ed ultima prova, aumentando il carico esplosivo e riducendo ulteriormente la distanza della carica esplosiva dal 42 CAPITOLO 2 - DESCRIZIONE DI UN TEST D’ESPLOSIONE SU UNA PIASTRA IN C.A. centro della piastra, si provoca la rottura della stessa, così come mostrato nella precedente immagine. 2.3 – Finalità della Prova Sperimentale Il test di prova è stato condotto con l’intenzione di verificare la validità del metodo DBD (Displacement Based Design method), usato nel valutare la dimensione del carico esplosivo W, e la distanza di tolleranza R, tali da produrre un livello di danno stabilito a priori [5]. Oggetto della ricerca era l’individuazione di uno strumento utile nel determinare, entro un grado di precisione ragionevole, il livello di vulnerabilità delle strutture esistenti. Inoltre, nel modellare un’esplosione è di fondamentale importanza definire un livello di danno tollerabile. Gli effetti prodotti da un’esplosione possono variare dal danno minore fino al completo collasso della struttura, con le conseguenti e considerevoli perdite di vite umane. Questo programma di ricerca ha mostrato risultati promettenti nell’impiego del metodo per predire il blast load (carico esplosivo), in termini di distanza e peso della carica esplosiva di sicurezza. Le evidenze sperimentali hanno mostrato che i livelli di danno realizzati erano simili ai valori predetti. Dato che le finalità della prova sperimentale e della tesi differiscono tra loro, si preferisce omettere la descrizione del metodo DBD, non essendo questo di nostro interesse. Sarà quindi sufficiente avvalersi dei dati dei test eseguiti e dei risultati da loro conseguiti, da utilizzare per la modellazione degli stessi. 43 CAPITOLO 3 – MODELLAZIONE DELLE AZIONI PRODOTTE DALL’ESPLOSIONE Capitolo 3 Modellazione delle azioni prodotte dall’esplosione. Al fine di valutare le azioni prodotte sulla superficie della piastra dall’esplosione, sarà necessario definire per ogni prova, la curva di pressione a cui la piastra sarà sottoposta. La curva di pressione definisce al variare del tempo, in un dato punto dello spazio alla distanza ridotta Z dal centro della carica, l’andamento della pressione generata dall’esplosione. Di questa curva di carico, è possibile distinguere una fase positiva ed una negativa. La fase positiva è dovuta all’incremento di pressione rispetto alla normale pressione atmosferica, mentre quella negativa si deve ad una depressione, in virtù del ritorno verso il centro di esplosione dell’aria che è stata spostata [3]. Nella modellazione effettuata dagli autori della prova sperimentale, l’onda di pressione è stata semplificata con una curva di carico triangolare. I parametri principali richiesti per definire la blast load sono il Picco di Pressione ΔPs, e la durata dell'impulso di blast td, o durata della fase positiva. Assumendo nullo il tempo d’arrivo ta del fronte d’onda sulla superficie piana, l’andamento qualitativo della curva di pressione sarà come mostrato nella successiva immagine [5]: P ΔPs td t Figura 3. 1 – Curva di Pressione semplificata, usata dagli autori per la modellazione della prova. 44 CAPITOLO 3 – MODELLAZIONE DELLE AZIONI PRODOTTE DALL’ESPLOSIONE Semplici espressioni possono essere usate per riferire ΔPs e td al peso della carica esplosiva e alla distanza, indicate rispettivamente con W e R. Il picco di pressione ΔPs, è valutato come una funzione inversamente proporzionale della distanza ridotta Z, secondo la formulazione proposta da H.L. Brode [5]. Al variare del campo di validità, ΔPs sarà definito come: 6, 7 +1 Δp ≥ 10 Kg / cm 2 3 Z 0,975 1,455 5,85 Δp ( Z ) = + + 3 − 0,019 Z Z2 Z Δp ( Z ) = 0,1 ≤ Δp ≤ 10 Kg / cm 2 Dove, la distanza ridotta Z si esprime in funzione di R e W così come segue: Z = 3 R W La durata della fase positiva, o impulso dell’esplosione td, si definisce sempre in funzione di R ed W, a partire dalle seguenti funzioni logaritmiche [5]: log log 10 ⎛ td ⎞ ⎜3 ⎟ ≅ − 2 , 75 + 1, 95 ⋅ log ⎝ W ⎠ ⎛ td ⎞ ⎟ ≅ − 2 , 75 + 0 , 27 ⋅ log 10 ⎜ 3 ⎝ W ⎠ 10 ⎛ ⎜ ⎝ ⎛ 10 ⎜ ⎝ 3 3 R ⎞ ⎟ W ⎠ Z ≤ 1, 0 R ⎞ ⎟ W ⎠ Z ≥ 1, 0 La curva di pressione così calcolata nel solo centro della piastra, è poi estesa all’intera superficie di carico. 45 CAPITOLO 3 – MODELLAZIONE DELLE AZIONI PRODOTTE DALL’ESPLOSIONE Nella nostra modellazione, sia il picco di pressione sia la durata della fase positiva sono stati valutati in maniera diversa. Per la definizione di una curva di pressione, che si avvicini quanto più verosimilmente alla descrizione del reale fenomeno fisico provocato dall’esplosione, si è preferito seguire un diverso metodo analitico, la cui trattazione teorica è stata esplicitata nel Capitolo 1. 3.1 – Curva di pressione adottata Essendo la piastra simmetrica, sia geometricamente, che per quanto concerne le condizioni di vincolo e di carico, sarà sufficiente definire la curva di pressione per un solo quarto della piastra. Per conseguire una maggiore accuratezza nella modellazione della prova, la piastra viene discretizzata in un numero finito d’elementi, d’uguali caratteristiche fisiche, geometriche e meccaniche. Si suddividerà quindi, la superficie di carico della piastra in elementi di dimensione 10x10 cm, sia lungo l’asse x sia y, del sistema di riferimento cartesiano introdotto. y F E D C B A A B C D E F 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 F E D C B A A B C D E x F Figura 3. 2 – Discretizzazione della superficie di carico. 46 CAPITOLO 3 – MODELLAZIONE DELLE AZIONI PRODOTTE DALL’ESPLOSIONE Limitando il calcolo al solo quadrante positivo del sistema di riferimento scelto, di origine coincidente con il baricentro della piastra, si definisce una curva di pressione per ogni superficie elementare. Data la discretizzazione adottata, e le dimensioni dei singoli elementi, saranno 36 le curve di pressione da definire, per un totale di 144 curve di carico per ognuna delle 4 prove sperimentali. Questa semplificazione, è resa possibile dalla simmetria d’applicazione del carico esplosivo, essendo questo centrato rispetto al baricentro della piastra stessa. Inoltre, la propagazione dell’onda di sovrapressione avviene in maniera sferica dal centro d’esplosione, essendo questo sollevato rispetto alla piastra e non ostacolato se non dalla piastra stessa, che n’è investita. La pressione sui singoli elementi, e in un dato istante di tempo, sarà quindi una funzione della sola distanza effettiva dal centro d’esplosione. La curva di pressione quindi si ripete identicamente sulle superfici di 4 elementi simmetrici rispetto al centro della piastra. Si descrive in seguito le operazioni successive, che si è scelto di adottare per definire la curva di pressione prodotta dall’esplosione, facendo riferimento all’i-esimo elemento di dimensioni finite, in cui è stata suddivisa l’area di carico. Coefficiente d’equivalenza Nel considerare il peso della carica esplosiva è necessario introdurre un coefficiente d’equivalenza che consente di esprimere il peso della carica esplosiva, usata nella prova sperimentale, in funzione del TNT (Trinitrotulene). L’esigenza di equiparare il peso di una qualunque carica esplosiva al TNT, nasce dalla necessità di impiegare formule empiriche nel calcolo della curva di pressione, ricavate attraverso prove 47 CAPITOLO 3 – MODELLAZIONE DELLE AZIONI PRODOTTE DALL’ESPLOSIONE sperimentali in cui il TNT è stato usato come materiale esplosivo di riferimento. Il coefficiente d’equivalenza q è dato dal rapporto tra i Calori Specifici d’Esplosione Qw, dei due materiali [3]. q= QRDX QTNT Dal coefficiente d’equivalenza si definisce il peso equivalente in TNT della carica esplosiva usata nel test sperimentale: WTNT = q ⋅ WRDX Nel caso specifico si avrà: Caratteristiche dell'esplosivo Qw Esplosivo [Kcal/Kg] RDX 1500 TNT 1000 Coefficiente d’equivalenza 1,5 q Tabella 3. 1 – Calore specifico degli esplosivi e Coefficiente d’Equivalenza. Ciò significa che, gli effetti prodotti da 1 Kg di RDX sono equivalenti a quelli prodotti da 1,5 Kg di TNT. Distanza Ridotta Z Noti i pesi equivalenti della carica esplosiva WTNT e le distanze effettive tra il centro d’esplosione e quello della superficie dell’i-esimo elemento Ri, è possibile calcolare la Distanza Ridotta Zi d’ogni elemento come [3]. 48 CAPITOLO 3 – MODELLAZIONE DELLE AZIONI PRODOTTE DALL’ESPLOSIONE Z = i Ri W TNT 3 Dove la distanza effettiva dal centro d’esplosione Ri è così definita: R i = a 2 + b i2 Così come si può semplicemente dedurre dalla seguente immagine, in cui si rappresenta la pianta e la sezione di un quarto di piastra, e l’iesimo elemento a lei appartenente: y Pianta della piastra A B C D E F 1 2 3 4 bi i 5 6 W Sezione Trasversale x a Ri Figura 3. 3 – Distanza effettiva dell’i-esimo elemento dal centro d’esplosione. 49 CAPITOLO 3 – MODELLAZIONE DELLE AZIONI PRODOTTE DALL’ESPLOSIONE Picco di Pressione Δp(Z) In funzione delle Distanze Ridotte, si definisce il picco di pressione Δp(Z), per ogni prova sperimentale e per singolo elemento in cui la piastra è stata in precedenza discretizzata. Si è scelto di definire Δp(Z) come la media dei valori forniti dalle varie formulazioni in precedenza esposte (Brode H.L. Henrich J.; Petrowsky G.I.; Sadowsky M.A.) [3], al variare della distanza ridotta, e quindi del relativo campo di validità, a differenza di quanto fatto nella definizione della curva di pressione semplificata, in cui si è scelto di adottare una sola delle precedenti formulazioni. Coefficiente Sperimentale α. Per definire la Curva di Pressione, è necessario esprimere in funzione della distanza ridotta Z, un coefficiente di natura sperimentale α. Tale coefficiente si può trovare tabellato [3], in funzione però di soli alcuni valori di Z. Mediante un’operazione d’estrapolazione, dai valori noti del coefficiente, è stato possibile ricavare una funzione di Z, che ci consentiva di trovare i diversi valori di α al variare della distanza ridotta. 50 CAPITOLO 3 – MODELLAZIONE DELLE AZIONI PRODOTTE DALL’ESPLOSIONE -0,7694 y = 2,651x Estrapolazione 2 R = 0,9539 3,5 3 2,5 2 α α Potenza (a) 1,5 1 0,5 0 0 20 40 60 Z Grafico 3. 1 - Estrapolazione numerica del coefficiente sperimentale α. Durata della Fase Positiva t+ È l’intervallo di tempo entro cui si annulla la sovrapressione prodotta dall’esplosione nell’aria circostante. L’espressione usata per la sua definizione è la seguente [3]: t + = B ⋅ 10 −3 6 W TNT Ri Allo stesso modo di quanto visto nella definizione della curva di pressione semplificata, anche in questo caso la durata della fase positiva si esprime in funzione di W e di R, ma attraverso una più semplice espressione semiempirica. 51 CAPITOLO 3 – MODELLAZIONE DELLE AZIONI PRODOTTE DALL’ESPLOSIONE Curva di Pressione P(Z, t) La curva di pressione non è altro che l’andamento della pressione prodotta dall’esplosione in un dato istante di tempo t, e ad una certa distanza ridotta Z. Analiticamente l’andamento della pressione può essere calcolato come segue [3]: t ⎞ ⎛ p ( Z , t ) = Δ p ( Z )⎜1 − + ⎟e t ⎠ ⎝ −α t t + Fissata la distanza ridotta Z, da cui dipendono il picco di pressione Δp(Z), e il coefficiente sperimentale α, attraverso quest’espressione si ottiene la curva di pressione al variare del tempo. Essendo Z a sua volta funzione della distanza effettiva dal centro d’esplosione R, al variare di questa otteniamo diversi valori di Z, e quindi diverse curve di pressione. Ragion per cui sarà necessaria definire per ogni elemento della piastra una curva di pressione diversa. Quindi, per semplicità d’esposizione si riportano di seguito i risultati conseguiti nella definizione di una singola curva di pressione, in particolare quella calcolata nel centro della piastra. Essendo, infatti, il centro della superficie superiore della piastra, il punto più vicino al centro d’esplosione, sarà anche quello maggiormente sollecitato. PROVA DATI 1 2 3 4 a (m) 0,91 0,91 0,30 0,20 bi (m) 0,000 0,000 0,000 0,000 Ri (m) 0,91 0,91 0,30 0,20 WRDX (Kg) 0,10 0,50 0,90 1,71 WTNT (Kg) Zi 0,15 1,71 0,75 1,00 1,35 0,27 2,57 0,15 Tabella 3. 2 - Distanza Effettiva Ri, Carico Equivalente WTNT, Distanza Ridotta Zi. 52 CAPITOLO 3 – MODELLAZIONE DELLE AZIONI PRODOTTE DALL’ESPLOSIONE Δp(Z)[Kg/cm2] Autore Campo di validità PROVA Brode H.L. Henrich J. Petrowsky G.I. Sadowsky M.A. 1 2 3 4 2,33 7,67 336,00 2149,19 Δp>10 Kg/cm2 2,21 8,23 315,82 1950,47 0,1<Δp<10 Kg/cm2 10,03 19,22 110,31 255,00 0,05<Z<0,3 3,93 7,98 125,01 710,81 0,3<Z<1 2,42 7,97 221,81 1248,47 Z>1 1,13 9,65 534,00 3429,69 Z<1 2,61 9,77 362,41 2208,72 1<Z<15 Tabella 3. 3 - Picco di Pressione Δp(Z), calcolato secondo le varie formulazioni, e per le singole prove sperimentali. I valori segnati in grassetto sono quelli compatibili con il campo di validità, per tanto impiegati nel calcolo del valore medio del Picco di pressione, per ogni singola prova. Prova 1 2 3 4 α 1,75 2,65 7,26 11,41 Δp(Z)[Kg/cm2] 2,41 8,66 326,77 1944,62 Tabella 3. 4 - Picco di Pressione medio, Coefficiente α. Durata fase positiva + t (s) + t (ms) PROVA 1 2 3 4 0,00090 0,00118 0,00075 0,00068 0,904 1,182 0,749 0,680 1,3 B Tabella 3. 5 - Durata della fase positiva t+, e costante numerica B. 53 CAPITOLO 3 – MODELLAZIONE DELLE AZIONI PRODOTTE DALL’ESPLOSIONE Curva di pressione calcolata nel centro della piastra. t (ms) 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 1,50 1,60 1,70 1,80 1,90 2,05 2,20 2,35 2,50 2,65 2,80 3,00 3,20 3,40 3,60 3,80 Prova 1 Prova 2 Prova 3 Prova 4 P(Z,t)[Kg/cm2] P(Z,t)[Kg/cm2] P(Z,t)[Kg/cm2] P(Z,t)[Kg/cm2] 2,41 2,07 1,77 1,51 1,28 1,08 0,90 0,75 0,62 0,51 0,41 0,33 0,25 0,19 0,14 0,10 0,06 0,03 0,00 -0,02 -0,04 -0,05 -0,06 -0,07 -0,08 -0,08 -0,09 -0,09 -0,09 -0,09 -0,09 -0,08 -0,08 -0,07 -0,07 -0,06 -0,05 -0,04 -0,03 -0,03 -0,02 -0,02 -0,01 -0,01 -0,01 0,00 8,66 7,41 6,33 5,40 4,59 3,90 3,30 2,78 2,34 1,95 1,63 1,35 1,11 0,91 0,73 0,59 0,47 0,36 0,27 0,20 0,14 0,09 0,05 0,02 -0,01 -0,03 -0,05 -0,06 -0,07 -0,08 -0,08 -0,08 -0,08 -0,08 -0,07 -0,06 -0,05 -0,04 -0,04 -0,03 -0,02 -0,02 -0,01 -0,01 -0,01 0,00 326,77 187,77 107,34 61,00 34,42 19,26 10,67 5,84 3,14 1,66 0,85 0,42 0,19 0,08 0,02 0,00 -0,01 -0,01 -0,01 -0,01 -0,01 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1944,62 778,80 309,94 122,43 47,93 18,56 7,09 2,66 0,98 0,35 0,12 0,04 0,01 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Tabella 3. 6 - Curve di Pressione P(Z, t), calcolate per le quattro prove sperimentali. 54 CAPITOLO 3 – MODELLAZIONE DELLE AZIONI PRODOTTE DALL’ESPLOSIONE Nel definire l’andamento della pressione al variare del tempo, si trascura per semplicità di calcolo, la determinazione del tempo d’arrivo ta, essendo irrilevante rispetto all’intera durata della curva di pressione. Il tempo d’arrivo si definisce come il tempo impiegato dal fronte d’onda ad impattare contro la superficie superiore della piastra. In realtà le curve di pressione dovrebbero essere traslate di una quantità pari a ta lungo l’asse delle ascisse. Il metodo sopra esposto sarà impiegato nella definizione delle curve di pressione, per ogni singolo elemento della piastra, al variare della distanza effettiva tra il centro d’esplosione e il baricentro dell’elemento, e per ognuna delle quattro prove sperimentali di cui si conoscono i dati iniziali. Di seguito si riportano le curve di pressione calcolate nel centro della piastra, e per ogni prova sperimentale. 55 Curva delle Pressioni Prova_1 3 t t ⎞ −α + ⎛ P ( Z , t ) = Δ p ( Z )⎜ 1 − + ⎟ e t t ⎠ ⎝ 2 56 P [Kg/cm2] 1 Prova_1 0 0,00 0,15 0,30 0,45 0,60 0,75 0,90 1,05 1,20 1,35 1,50 1,65 1,80 1,95 2,10 2,25 2,40 2,55 2,70 2,85 3,00 3,15 3,30 3,45 3,60 3,75 3,90 -1 t [ms] Curva delle Pressioni Prova_2 10 9 t t ⎞ −α + ⎛ P ( Z , t ) = Δ p ( Z )⎜ 1 − + ⎟ e t t ⎠ ⎝ 8 7 6 5 57 2 P [Kg/cm ] 4 3 2 1 0 0,00 0,15 0,30 0,45 0,60 0,75 0,90 1,05 1,20 1,35 1,50 1,65 1,80 1,95 2,10 2,25 2,40 2,55 2,70 2,85 3,00 3,15 3,30 3,45 3,60 3,75 3,90 -1 t [ms] Curva delle Pressioni Prova_3 330 310 t t ⎞ −α + ⎛ P ( Z , t ) = Δ p ( Z )⎜ 1 − + ⎟ e t t ⎠ ⎝ 290 270 250 230 210 190 58 P [Kg/cm2] 170 150 130 110 90 70 50 30 10 -100,00 0,15 0,30 0,45 0,60 0,75 0,90 1,05 1,20 1,35 1,50 1,65 1,80 1,95 2,10 2,25 2,40 2,55 2,70 2,85 3,00 3,15 3,30 3,45 3,60 3,75 3,90 t [ms] Curva delle Pressioni Prova_4 1850 t t ⎞ −α + ⎛ P ( Z , t ) = Δ p ( Z )⎜ 1 − + ⎟ e t t ⎠ ⎝ 1700 1550 1400 1250 1100 59 P [Kg/cm2] 950 800 650 500 350 200 50 0,00 0,15 0,30 0,45 0,60 0,75 0,90 1,05 1,20 1,35 1,50 1,65 1,80 1,95 2,10 2,25 2,40 2,55 2,70 2,85 3,00 3,15 3,30 3,45 3,60 3,75 3,90 -100 t [ms] CAPITOLO 4 – METODI DI DISCRETIZZAZIONE Capitolo 4 Metodi di Discretizzazione I metodi di discretizzazione che si sono scelti di impiegare per la simulazione numerica, sono il Finite Element Method (FEM) e lo Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH). Al termine della modellazione, avendo utilizzato entrambi i metodi per le stesse prove sperimentali, si avrà la possibilità di operare uno studio parametrico tra i due. Si potrà capire quale tra questi meglio si presta per la modellazione numerica di un elemento strutturale sottoposto a carichi da esplosione. Questo capitolo è dedicato ad una breve descrizione del più noto ed utilizzato FEM, a prescindere dal quale non sarebbe possibile introdurre i Meshfree Particle Methods. Infatti, questi ultimi sono stati sviluppati con l’intento di estendere i primi, ampliandone il raggio d’applicazione, e rendendoli più versatili. In seguito si dedicheranno maggiori attenzioni ai Meshfree Particle Methods, facendo riferimento in particolare allo Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH), impiegato nella modellazione. 4.1 – Finite Element Method (FEM) Sin dalla sua invenzione, risalente alla metà del secolo scorso, il metodo degli elementi finiti (FEM), è stato largamente impiegato per le computazioni numeriche nell’ambito ingegneristico [6]. Il FEM rientra tra i metodi approssimati per la risoluzione delle equazioni fondamentali della statica e della dinamica. La sua principale caratteristica risiede nella possibilità di suddividere un continuo in un numero discreto d’elementi, che non si sovrappongono 60 CAPITOLO 4 – METODI DI DISCRETIZZAZIONE nel dominio di nostro interesse. Tale operazione è così detta di Discretizzazione del continuo in Elementi Finiti. I singoli elementi sono vincolati tra loro da una mappa topologica, definita Mesh (Maglia), sopra la quale sono costruite le funzioni di interpolazione [6]. Ad ogni elemento in cui il continuo è stato suddiviso, vanno associate delle funzioni spostamento mediante il vettore spostamento così definito: s = s{x, y, z, t} Questi vettori sono definiti attraverso la funzione di spostamento dei singoli nodi [6]: ⎧u ( x , y , z , t ) ⎪ s ( x , y , z , t ) = ⎨v ( x , y , z , t ) ⎪ w(x, y , z , t ) ⎩ ⎫ ⎪ ⎬ = [N ]{Δ} ⎪ ⎭ Dove [N] è la matrice delle funzioni di forma, questa lega gli spostamenti generici all’interno dell’i-esimo elemento agli spostamenti dei nodi {Δ}, che lo individuano nello spazio. Le funzioni di forma sono in numero pari al numero di nodi della Mesh, e per definizione valgono 1 se calcolate nel nodo a cui si riferiscono, e 0 negli altri nodi dell’elemento i-esimo. Le funzioni di forma hanno un ruolo fondamentale nel metodo d’analisi, in quanto rappresentano il polinomio che approssima il valore esatto degli spostamenti, e determinano quindi la convergenza del metodo [6]. La Mesh assicura la compatibilità delle interpolazioni, sebbene non sempre le condizioni di compatibilità numerica coincidono con quelle fisiche del continuo stesso. 61 CAPITOLO 4 – METODI DI DISCRETIZZAZIONE In oltre, quando uno stesso corpo presenta caratteristiche locali diverse, o geometrie complesse, è necessario suddividerlo in un numero molto elevato di elementi finiti, realizzando quindi una maglia sempre più fitta, ed aumentando l’onere di computazione. Il FEM è quindi un metodo limitato, che necessità di modifiche e adeguamenti tra i suoi limiti si annoverano [6]: • La compatibilità numerica è sola un’approssimazione della reale compatibilità fisica del continuo. Questa approssimazione non sempre risulta essere precisa ed accurata. Basti pensare ad un’eccessiva distorsione della Mesh, che può provare il termine della computazione o in ogni modo un errore rilevante nella stessa; • Campi d’interpolazione d’elevati ordini di grandezza sono difficili da riprodurre per domini con geometrie arbitrarie e pluridimensionali. Ciò comporta una restrizione nell’applicare i metodi di computazione basati sugli elementi finiti, per la risoluzione di problemi pratici, come ad esempio per la simulazione di Plates e Shell (Piatti e Gusci), con alti gradienti d’elasticità e plasticità; • Quando s’impiegano contemporaneamente Mesh differenti per la simulazione numerica di uno stesso fenomeno fisico, è possibile ottenere modelli differenti di disintegrazione per uno stesso materiale. Tale fenomeno è noto come “suscettibilità” del FEM nei confronti della rottura graduale del materiale; 62 CAPITOLO 4 – METODI DI DISCRETIZZAZIONE • In alcune applicazioni, la Mesh stessa può essere fonte di disturbo nella computazione numerica. Un esempio ben noto è la simulazione del problema di localizzazione degli sforzi; • Questi Metodi tradizionali, presentano notevoli difficoltà d’applicazione per problemi che presentano deformabilità dei vincoli, superfici indipendenti, o interfacce in movimento; • Le funzioni di spostamento non sempre assicurano la continuità degli spostamenti richiesta tra gli elementi adiacenti, può essere quindi violata la condizione di congruenza. Per questi ed altri motivi l’operazione di discretizzazione con il metodo degli elementi finiti, non sempre risulta essere vantaggiosa nelle computazioni numeriche. Si rende quindi necessario un adeguamento del FEM, o almeno una ricerca di metodi alternativi da utilizzare in particolari applicazioni. Una prima soluzione è stata individuata nello sviluppo del così detto “Arbitrary Lagrangian Eulerian” (ALE). L’obiettivo di tale formulazione risiede nel rendere indipendente le caratteristiche del materiale dalla Mesh, così che la sua distorsione può essere minimizzata. Purtroppo, in alcune formulazioni con l’ALE, quali ad esempio modellazioni di fluidi o di grandi deformazioni del continuo, la distorsione della maglia è ancora presente, e ciò provoca errori nella computazione numerica. Inoltre, gli effetti di trasporto convettivi in ALE, spesso conducono ad oscillazioni spurie che hanno bisogno di essere stabilizzate da una diffusione artificiale o una stabilizzazione di Petrov-Galerkin. 63 CAPITOLO 4 – METODI DI DISCRETIZZAZIONE Per superare le difficoltà e i limiti sopra elencati, sarà quindi necessario trovare un nuovo metodo di discretizzazione del continuo. E’ in questa ottica che nascono i Meshfree Particle Methods (Metodi di Discretizzazione Particellari), con l’obiettivo di superare i limiti dei metodi FEM. I Meshfree Particle Methods, in quanto metodi numerici, presentano alcune caratteristiche in comune con altri metodi numerici, quali il già citato Metodo degli Elementi Finiti, o il Metodo delle Differenze Finite. Tuttavia si differenziano gli uni dagli altri in virtù dei processi d’implementazione. Attraverso questi metodi, è computazionalmente efficace e fisicamente accurato, discretizzare un continuo attraverso un set di punti nodali, o particelle distribuite nello spazio in maniera del tutto arbitraria, senza in pratica costrizioni di maglia, che provveda alla loro connessione. I vantaggi di tali metodi possono essere così elencati [7]. • E’ possibile trattare facilmente grandi deformazioni, essendo le connessioni tra i nodi generate come una parte della computazione stessa, che può subire variazioni nel tempo; • Il metodo interpreta facilmente il danno degli elementi del modello, tale capacità si dimostra molto utile per la modellazione della rottura graduale; • I nodi possono essere aggiunti piuttosto facilmente, cosi com’è possibile realizzare modifiche delle caratteristiche geometriche del continuo modellato; • E’ possibile usare modelli pluri-dimensionali del continuo, al fine di modellare grandi deformazioni di strutture a guscio sottili, come i nanotubi; 64 CAPITOLO 4 – METODI DI DISCRETIZZAZIONE • Mediante la discretizzazione Meshfree si possono rappresentare oggetti geometrici tridimensionali. 4.2 – Classificazione dei Metodi Particellari I metodi particellari possono essere classificati in conformità a due differenti criteri, principi fisici o formulazioni computazionali. Sulla base dei principi fisici, questi possono essere suddivisi in due differenti classi: quelli basati su modelli probabilistici, e su modelli deterministici [7]. In base alle formulazioni computazionali si possono suddividere in due diverse tipologie, a seconda che servono come approssimazione della Strong Form o della Weak Form, delle equazioni differenziali parziali (PDE) [7]. Per approssimare la Strong Form dell’equazione differenziale parziale, questa viene solitamente discretizzata da una tecnica di collocazione specifica, quale ad esempio lo Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH), il Vortex Method, il metodo generalizzato delle differenze finite, ed altri ancora. Sia l’SPH sia il Vortex Method, furono sviluppati inizialmente come metodi probabilistici, mentre attualmente per alcune applicazioni vengono impiegati come metodi deterministici. Ciononostante, la maggior parte dei metodi particellari appartenenti a questa categoria, sono basati su principi probabilistici, o usati come strumenti di simulazioni probabilistiche. Gli Strong Form Methods sono semplici da implementare, efficienti dal punto di vista computazionale, e non necessitano di alcuna integrazione nella definizione del sistema discreto di equazioni da risolvere. Tuttavia, 65 CAPITOLO 4 – METODI DI DISCRETIZZAZIONE spesso sono instabili e poco precisi, specialmente quando si discretizza l’elemento in un insieme di nodi distribuiti in maniera irregolare. In questa categoria è possibile distinguere tre metodi principali: le Dinamiche Molecolari, la simulazione diretta di Monte Carlo (DSMC), e il Lattice Gas Automaton (LGA), da cui deriva il Lattice Boltzmann Equation Method (LBE) [7]. Questo ultimo, è un esempio di come non tutti i metodi particellari possono essere considerati metodi Meshfree. In quanto il LBE richiede per la sua applicazione la definizione di una griglia, la cui funzione è assimilabile a quella di una maglia. Alla seconda classe di metodi particellari appartengono i Galerkin Methods. Questi sono usati per l’approssimazione della Weak Form della PDE; tra cui il Metodo degli Elementi Diffusi (DEM), Element Free Galerkin Methods (EFGM), Reproducing Kernel Particle Methods (RKPM), Metodo di partizione dell’unità (Partition of Unity Method), Meshless local Petrov-Galerkin Method (MLPG), ed altri ancora [7]. I Weak Form Methods, sono stabili e molto precisi, tuttavia richiedono una conoscenza sia complessiva sia locale, della Mesh realizzata, per la risoluzione del modello, per tanto non sono considerati dei veri e propri Meshfree Methods [7]. A questa classificazione esistono delle eccezioni, in quanto alcuni metodi particellari possono essere usati in ambo le posizioni, quella di forma forte, così come per la discretizzazione della forma debole. Un esempio è il Particle-in-Cell (PIC). Per tale metodo, infatti, è possibile distinguere due versioni, una per la Strong Form, e l’altra per la Weak Form. Per semplicità d’esposizione si riporta la seguente tabella grafica: 66 67 Metodi Probabilistici Meshless local Petrov-Galerkin Method (MLPG) Partition of Unity Method Reproducing Kernel Particle Methods (RKPM) Element Free Galerkin Method (EFGM) Tabella 4. 1 - Classificazione dei Metodi Particellari Lattice Gas Automaton (LGA) La Simulazione Diretta di Monte Carlo (DSMC) Le Dinamiche Molecolari Il Metodo Generalizzato delle Differenze Finite Vortex Method Metodo degli Elementi Diffusi (DEM) Galerkin Methods PDE Weak Form Formulazioni Computazionali PDE Strong Form Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH) Metodi Deterministici Principi Fisici Criteri di classificazione Meshfree Particle Methods CAPITOLO 4 – METODI DI DISCRETIZZAZIONE 4.3 – Applicazione dei Metodi Particellari In ambiti quali l’astrofisica, la biofisica, la biochimica e la biomedica, è facile imbattersi in corpi che possono essere modellati non come continui, bensì come insiemi di particelle. In questi casi, i metodi particellari rappresentano una scelta naturale per la simulazione numerica. Esempi rilevanti sono le simulazioni di fenomeni quali la formazione di sistemi stellari, movimenti di milioni d’atomi in uno stato di non equilibrio, ed interazioni dinamiche di varie molecole. In questo momento, i metodi particellari non sono quindi impiegati solo come metodi di discretizzazione, per la soluzione di problemi del continuo tridimensionale, come l’SPH, il Vortex Method, e i Galerkin Meshfree Methods, ma anche come modelli per la descrizione dei comportamenti fisici del continuo [7]. Gli ultimi esempi sono l’impiego del Lattice Boltzmann Equation Method (LBE), per la risoluzione di problemi di fluido-meccanica, e il Molecular Dynamics, per risolvere problemi inerenti alla meccanica della frattura [7]. I metodi Meshfree Galerkin, sono largamente impiegati per la risoluzione di problemi nell’ambito della meccanica dei corpi solidi. Tra questi la simulazione della rottura graduale, da molti ritenuta una delle più ostiche computazioni nell’ambito della meccanica della frattura. In tal senso, i metodi Meshfree offrono notevoli vantaggi rispetto ai tradizionali metodi degli elementi finiti. Per tale applicazione, infatti, si rende necessaria un’operazione detta di Remeshing, in altre parole di ricostruzione della maglia in seguito alla rottura. Questa operazione può essere invece evitata utilizzando un metodo Meshfree, quale il Galerkin o anche il Metodo di partizione dell’unità [7]. 68 CAPITOLO 4 – METODI DI DISCRETIZZAZIONE Tra gli altri, il Meshless Local Petrov-Galerkin (MLPG), sviluppato nel 1998 dagli studiosi Atluri e Zhu [7], risulta essere quello maggiormente impiegato per l’analisi di travi e strutture placcate, non essendo, infatti, necessaria una conoscenza complessiva della Mesh creata per il modello, ma è sufficiente una conoscenza locale del modello stesso. Un'altra applicazione in cui si preferisce usare un metodo di discretizzazione di tipo Meshfree, rispetto ai tradizionali metodi degli elementi finiti, è la modellazione della localizzazione degli sforzi. È possibile dimostrare, infatti, che i metodi Meshfree hanno la capacità di sostenere grandi distorsioni della maglia. Questo perché non c’è un coinvolgimento diretto della maglia nella simulazione. Invece, utilizzando il metodo FEM, avremmo un incremento della banda di taglio lungo l’i-esimo elemento vincolato, che compromette la simulazione del reale comportamento fisico dell’elemento stesso. La maglia in pratica non è più in grado di seguire, per grandi deformazioni, l’andamento reale del continuo, sotto l’azione dei carichi esterni. 4.4 – Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH) Tra i diversi metodi particellari di tipo Meshfree, ai fini della modellazione numerica, si è scelto di focalizzare l’attenzione sul metodo SPH. Lo Smoothed Particle Hydrodynamics, è uno dei principali metodi particellari impiegati nella meccanica computazionale. Tale metodo fu formulato nell’1977 simultaneamente da Lucy, Gingold & Monaghan, al fine di descrivere alcuni fenomeni Astrofisici, tra cui la formazione, l’evoluzione, e il collasso delle stelle, delle galassie, fino alla “Modellazione dell’intero Universo” [7]. 69 CAPITOLO 4 – METODI DI DISCRETIZZAZIONE Il movimento collettivo di questo insieme di particelle, è, infatti, assimilabile a quello di un liquido o di un flusso di gas, può quindi essere modellato utilizzando le equazioni che governano l’Idrodinamica Classica di Newton. L’SPH, fu ampiamente adottato come un efficiente tecnica computazionale, per la risoluzione di problemi di meccanica applicata, tra cui la fluido-dinamica, e l’ idrodinamica classica. Al contrario di un convenzionale metodo di discretizzazione, che suddivide un sistema continuo in un numero discreto di elementi finiti, l’SPH unifica un numero discreto di particelle, accomunate dalle stesse caratteristiche, quali massa e volume, generando così un campo continuo locale, con il fine di rappresentare il comportamento collettivo di un sistema discreto [7]. Basti pensare alle prime applicazioni in Astrofisica e nella Meccanica Quantistica, dove il sistema fisico reale a già per se discreto. In tal senso, l’SPH può essere considerato come un Metodo Particellare, basato su una tecnica di omogeneizzazione. La principale assunzione su cui si fonda il metodo SPH è che il valore di una funzione f ad un certo punto i può essere approssimato moltiplicando la stessa funzione per una funzione d’omogeneizzazione W (Kernel function), di ampiezza h, ed integrando sul dominio computazionale nel modo seguente [9]: fi = ∫ f ( x )W i ( x )dx dove fi = f(xi), mentre Wi (x) = W (x−xi, h) è la funzione d’omogeneizzazione. Questa integrazione avviene su un dominio costituito da un insieme di particelle, il cui volume elementare è definito 70 CAPITOLO 4 – METODI DI DISCRETIZZAZIONE dal rapporto tra la massa e la propria densità. E’ quindi necessario definire una Kernel Function W(x, h), individuando le coordinate del nucleo W, rispetto ad un generico sistema di riferimento cartesiano, e il periodo d’omogeneizzazione h (Smoothing Lenght). Di solito, nel tradizionale metodo SPH, si presume che la funzione d’omogeneizzazione soddisfi la condizione di normalizzazione nel proprio dominio di pertinenza: ∫W (x − x i , h ) dx = 1 In ogni modo, è facile dimostrare che questa condizione di normalizzazione per la funzione d’omogeneizzazione è valida solo per i punti interni al dominio, ma non è soddisfatta per i punti di confine. L’equazione precedente viene discretizzata come segue: fi = ⎛mj ⎞ ⎜ ⎟ f j W ij ∑ ⎜ ⎟ j =1 ⎝ ρ j ⎠ N Dove Wij = W(xj - xi, h), mj e ρj sono rispettivamente la massa e la densità di massa della j-esima particella, il rapporto tra questi due è il volume elementare associato alla particella stessa, N è il numero totale di particelle in cui si è discretizzato il continuo. Tale funzione sarà poi impiegata per approssimare la strong form di un equazione differenziale parziale (PDE), attraverso una complessa integrazione. Con il metodo tradizionale SPH tale approssimazione sarà: 71 CAPITOLO 4 – METODI DI DISCRETIZZAZIONE f xi = ∫ f ( x )W iix dx considerando la proprietà della funzione nucleo: ∫W iix dx = 0 L’equazione può essere riscritta come: f xi = ∫ [f (x) − f ( x i ) ]W ix dx Le approssimazioni particellari delle derivate parziali possono quindi essere scritte come: ⎛ m ⎜ ∑ ⎜ j =1 ⎝ ρ N fi = j j ⎞ ⎟ f ( x j ) − f ( x i ) ∇ i W ij ⎟ ⎠ [ ] Il valore numerico di una funzione f e le sue derivate parziali, possono essere quindi ottenuti con una funzione kernel su un insieme di particelle piuttosto che su una maglia. Questa è l'essenza del metodo tradizionale SPH. 4.4.1 – Metodi d’interpolazione SPH Essendo l’SPH un metodo Meshfree, l’interpolazione è costruita su un insieme di punti nodali, indipendenti tra loro e non vincolati da nessuna maglia o griglia. Questa operazione d’interpolazione è basata sul seguente concetto [7]: A(x ) = ∫ R n δ (x − x ' )A (x ' )d Ω x 72 ' ∀x ∈ Ω CAPITOLO 4 – METODI DI DISCRETIZZAZIONE dove δ(x) è la funzione Dirac Delta, definita a sua volte come il limite della seguente funzione δε(x) [7]. δ (x) = lim ε → 0 δ ε (x) con: δ ε (x) = x < −ε / 2 ⎫ ⎪ − ε / 2 < x < ε / 2 ⎬ ⎪ x > ε / 2 ⎭ ⎧ 0; ⎪ ⎨1 / ε ; ⎪ 0; ⎩ lim ε → 0 La funzione Dirac Delta, non può però essere impiegata né per un processo d’interpolazione, né tanto meno per un processo di collocazione, questo perché è una funzione di tipo generalizzata, in altre parole affetta da alcune patologie. Inoltre, manca d’alcune proprietà fondamentali, non essendo né continua né derivabile nel proprio dominio di definizione. Per superare tali inconvenienti, s’introduce uno Smooth Kernel W(x, h) (Nucleo omogeneo), al fine di utilizzare la funzione Dirac Delta per processi d’interpolazione e collocazione. L’SPH è quindi un operatore di media (Average Operator), definito nel seguente modo [7]: < A ( x ) >= ∫ R d ( ) ( ) W x − x ', h A x ' dΩ x' Ed approssimato come: ≈ N ∑ i =1 W (x − x I , h )A ( x I )Δ V I 73 CAPITOLO 4 – METODI DI DISCRETIZZAZIONE Dove la notazione < … > indica l’operatore di media, mentre h, come abbiamo già detto, è la Smoothing Lenght, in altre parole l’ampiezza o periodo d’omogeneizzazione, infine ΔVI è il volume elementare dell’iesima particella. Assumendo che il continuo ha una densità di massa distribuita uniformemente, possiamo dividerlo in un numero discreto d’elementi volumetrici, cui associa una massa mI. Ogni elemento volumetrico con massa può essere attribuito ad una particolare particella. Per cui avremo [7]: ΔVI = m ρ I I Dove con ρI indichiamo la densità di massa dell’i-esima particella. E’ possibile notare, che l’operatore di media <A(x)>, è una funzione della variabile spaziale x, infatti, <A(x)> può essere visto come una rappresentazione non locale di A(x). La funzione Kernel deve soddisfare le seguenti proprietà [7]: W (x,h) ≥ 0 ∫ R 3 W ( x , h )d Ω x = 1 W (x,h) → δ (x ) W (x,h) ∈ C k 0 ;h → 0 (R ) d ;k ≥ 1 La seconda proprietà è la cosiddetta condizione di normalizzazione, insieme alla terza sono proprietà comuni alla funzione Dirac Delta. La terza proprietà assicura la convergenza del metodo, l'ultima deriva dal requisito che la funzione deve essere derivabile più di una volta. 74 CAPITOLO 4 – METODI DI DISCRETIZZAZIONE Il vantaggio di usare un nucleo analitico, risiede nella possibilità di valutare una Kernel Function in un qualsiasi punto dello spazio, senza conoscere la distribuzione locale delle particelle. La rappresentazione a nucleo non solo consente di compiere una discretizzazione uniforme di un equazione differenziale parziale, ma fornisce anche uno schema interpolante per un insieme di particelle in movimento. Con l’SPH è quindi possibile trattare un corpo solido al pari di un fluido viscoso, cioè come un insieme di particelle, di assegnata massa e volume, indipendenti le une dalle altre. Sfruttando tali caratteristiche, questo metodo può essere impiegato per la risoluzione di problemi di natura meccanica. Ad esempio, Libersky applicando questo metodo ai solidi meccanici, è riuscito a simulare in 3D alcuni fenomeni, tra cui l’esplosione di una bomba, problemi di frammentazione, impatto e penetrazione di solidi. La simulazione d’impatti e penetrazioni con l’ausilio dell’SPH, sono state eseguite anche da Johnson, il quale impiega tale metodo per la modellazione di problemi inelastici, di danno e di grandi deformazioni. E’ possibile distinguere diverse funzioni Kernel, che sono comunemente impiegate nelle computazioni. Ad esempio, la Kernel Function può essere una funzione positiva di tipo Gaussiana, così definita [7]: W ( x, h) = 1 (π h ) 2 n/2 1≤ n ≤ 3 75 ⎡ x2 ⎤ exp ⎢ − 2 ⎥ , ⎣ h ⎦ CAPITOLO 4 – METODI DI DISCRETIZZAZIONE Dove n è la dimensione dello spazio in cui la funzione è definita, x è la coordinata rispetto ad un generico sistema di riferimento cartesiano dell’i-esima particella, ed h è la Smoothing Lenght. Altri esempi di Kernel Function sono la funzione di Spline cubica e quartica, di seguito definite [7]: Cubic Spline Function ⎧1 − 3 / 2 q 2 + 3 / 4 q 3 ; 0 ≤ q ≤ 1 ⎫ ⎪ ⎪ C ⎪ 1 ⎪ (2 − q )3 W (x, h) = n ⎨ ;1 ≤ q ≤ 2 ⎬ h ⎪ 4 ⎪ in altri casi 0 ; ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ Dove q = x/h; mentre C è il fattore di normalizzazione, che assume valori diversi in funzione della dimensione dello spazio in cui è definita la funzione: ⎧2 /3 ⎪ C = ⎨ 10 / 7 π ⎪1 / π ⎩ ; d = 1⎫ ⎪ ;d = 2 ⎬ ; d = 3 ⎪⎭ Quartic Spline Function C ⎧1 − 6 q 2 + 8 q 3 − 3 q 4 W ( x, h) = n ⎨ h ⎩ 0 ;0 < q < 1⎫ ⎬ ;q ≥ 1 ⎭ Dove la costante C è determinata dalla condizione di normalizzazione, che la funzione deve soddisfare. 76 CAPITOLO 4 – METODI DI DISCRETIZZAZIONE Vediamo come si sceglie l’ampiezza d’omogeneizzazione h (Smoothing Length). Fissata l’ampiezza d’omogeneizzazione h, questa definisce una regione che limita la maggior parte della funzione Kernel. La precisione dell’interpolazione dipende dal numero discreto di particelle contenute entro questa regione. La scelta della Smoothing Length è di fondamentale importanza nell’implementazione al computer del metodo SPH. Tale scelta, è solitamente operata in funzione della precisione d’interpolazione che si vuole conseguire. Per una data precisione del calcolo, infatti, è fissato il numero di particelle contenute nella regione definita da h. In realtà, non è possibile determinare univocamente l’ampiezza d’omogeneizzazione h, in quanto in una simulazione dinamica, la densità di particelle contenute in detta regione varia al variare del tempo. Per tanto, affinché si mantenga costante la precisione numerica e l’efficienza della computazione, la Smoothing Lenght dovrebbe variare anch’esso nel tempo. Per fare questo, è necessario scegliere una funzione Kernel di tipo Gaussiana, e assumere che ogni particella abbia approssimativamente la stessa massa Δm [7]. Si deve quindi assumere che: ∑ I ∈ Λ ∑ exp J ∈ Λ (x ⎧⎪ ⎨ − ⎪⎩ j − h x ) 2 i 2 ⎫⎪ ⎬ ⎪⎭ = γ = cos t Una volta scelta la massa da attribuire ad ogni singola particella Δm, in virtù dell’interpolazione SPH, potremo scrivere quanto segue: < ρ >= ∑ ∑ (π I∈Λ J ∈Λ 1 d /2 hd ) ⎧⎪ (x j − x i )2 exp ⎨ − h2 ⎪⎩ 77 ⎫⎪ γ (Δ m )2 2 ⎬ (Δ m ) = π d /2h d ⎪⎭ CAPITOLO 4 – METODI DI DISCRETIZZAZIONE Dove, con i pedici i e j s’indicano le generiche particelle appartenenti al domino Λ, d è la dimensione del dominio, e xi e xj le posizioni delle generiche particelle rispetto all’origine del sistema cartesiano. Da quest’ultima relazione possiamo quindi trarre la seguente conclusione [7]: h ∝ 1/ < ρ >1 / d Se tutte le particelle contenute nel dominio Λ hanno quindi la stessa quantità di massa Δm, e la stessa ampiezza d’omogeneizzazione h, questa ultima dovrà quindi essere proporzionale al reciproco dell’inverso della densità media delle particelle. Questo perché, la Smoothing Lenght è proporzionale al volume elementare ΔVi dell’i-esima particella, e quindi alla distanza di separazione tra le particelle stesse. 4.4.2 – Teoria d’Approssimazione SPH Essendo l’SPH un metodo di computazione numerico, in quanto tale è fondato su un insieme di principi e regole di approssimazione. Queste, sono le cosiddette regole di Monaghan, e rappresentano le linee guida per discretizzare un equazione differenziale [7]. Si possono distinguere quattro diverse regole d’approssimazione, proposte dallo stesso Monaghan. La prima di queste, è quella secondo cui è sempre meglio scegliere come funzione Kernel una funzione di tipo Gaussiana. Tra le varie funzioni Kernel, quella Gaussiana è la migliore nell’analizzare la coerenza fisica di un modello realizzato in SPH. 78 CAPITOLO 4 – METODI DI DISCRETIZZAZIONE La seconda regola d’approssimazione, è che l’insieme del prodotto di due funzioni, può essere approssimato dal prodotto degli insiemi individuali: < A ⋅ B >=< A > ⋅ < B > ( 2) Dove, A e B sono due funzioni, mentre <…> è l’operatore di media (Average Operator). La terza regola d’approssimazione è la seguente: (3) < ∇ A >= ∇ < A > ed è valida per ogni campo scalare A. La quarta regola di approssimazione, non è altri che una proprietà della terza regola sopra citata, ovvero: ( 4) < ∇ A >= ∇ < A > − A < ∇ W > Quando la funzione Kernel è limitata, il secondo termine del secondo membro della precedente equazione si annulla. Infatti, sfruttando la terza regola d’approssimazione (3), possiamo scrivere: < ∇ W >≈ ∇ < W > essendo: W ( x, h ) = ∑ W ( x − x j , h ) ΔV j j∈Λ In virtù della seconda proprietà della funzione Kernel, sostituendo si avrà: ∇ < W >≈ ∇ (1) = 0 79 CAPITOLO 4 – METODI DI DISCRETIZZAZIONE 4.4.3 – Approssimazione di Derivate SPH L’SPH viene impiegato per approssimare la Strong Form di un equazione differenzia parziale. Al contrario del metodo delle differenze finite, che per discretizzare un equazione differenziale parziale, impiega una griglia, l’SPH, essendo un metodo particellare di tipo Meshfree, discretizza la PDE sulla base delle sopra citate regole di approssimazione. Si possono distinguere tre diverse formule gradienti, per l’approssimazione di un equazione differenziale parziale [7]. Formula gradiente I Una formula d’approssimazione diretta, impiegando un metodo d’interpolazione SPH, può essere la seguente: ∇ A(x) = ∑ ∇W (x I∈Λ − x I , h )A I Δ V I (I ) Un’approssimazione così diretta è solitamente poco accurata, e spesso distrugge la proprietà di conservazione del sistema continuo associato. Quando l’approssimazione è combinata con un termine addizionale, che contiene un’espressione nulla del tipo <W(x,h)> = 0, questo può produrre un migliore risultato. Dalla regola d’approssimazione (3) di Monaghan, si ricava la formula approssimata del gradiente per un campo scalare A(xi) come: ∇ A(xI ) = ∑ (A j∈ Λ J 80 − A I )∇ W I ,J ΔV j CAPITOLO 4 – METODI DI DISCRETIZZAZIONE La stessa approssimazione è valida anche per un campo vettoriale A: ∇ ⋅ A(xI ) = ∑ (A j∈ Λ − A I )⋅ ∇ W J I ,J ΔV j Formula gradiente II Nella formulazione in SPH, la densità è una grandezza di fondamentale importanza. La densità di massa, infatti, stabilisce una correlazione che sussiste tra la massa e il volume di una singola particella. ρ I = mI ΔVI Per conseguire una precisione maggiore nella formulazione del gradiente d’approssimazione della PDE, è preferibile scrivere il gradiente del campo scalare e del campo vettoriale come segue: ∇ ⋅ A = [∇ ⋅ ( ρ A ) − A ⋅ ∇ ρ ] / ρ ∇ A = [∇ ( ρ A ) − A ∇ ρ ] / ρ Nella prima espressione A è un operatore scalare, nella seconda un operatore vettoriale. Quindi, il gradiente dell’interpolazione in SPH, può essere approssimato nel seguente modo: ρ I < ∇A >I = ∑ J∈Λ ( A J − A I )∇ IW 81 IJ m j ( II ) CAPITOLO 4 – METODI DI DISCRETIZZAZIONE Rispetto alla prima formulazione non si fa nient’altro che esprimere il volume dell’i-esima particella in funzione della sua densità di massa, e della massa stessa. Una simile formulazione può essere impiegata per approssimare il gradiente del campo vettoriale A, facendo distinzione tra i prodotti scalari, tensoriali, e vettoriali tra l’operatore gradiente e il campo vettoriale: → ρ scalare tensoriale vettoriale < ∇ ⋅A >I= − I → ρ → ρ I I ∑ J∈Λ A IJ ⋅ ∇ I W < ∇ ⊗ A >I= − < ∇ × A >I= ∑ J∈Λ ∑ J∈Λ ∇ IW m IJ j ⊗ A IJ m IJ A IJ × ∇ I W IJ m j Formula gradiente III Nonostante le precedenti formule d’approssimazione del gradiente siano sufficientemente accettabili, queste sono in ogni modo affette da una deficienza comune. Queste formulazioni, infatti, non sono simmetriche rispetto agli indici I e J dell’operatore A. Per ottenere un’approssimazione simmetrica del gradiente, è necessario introdurre una nuova regola d’approssimazione. Introduciamo quindi la successiva identità: ∇A ρ = A ρ σ ⎛ 1 ∇ ⎜⎜ 1 − σ ⎝ ρ ⎞ ⎛ A 1 ⎟⎟ + ∇ ⎜⎜ σ − 1 2 −σ ρ ⎠ ⎝ ρ 82 ⎞ ⎟⎟ ⎠ j CAPITOLO 4 – METODI DI DISCRETIZZAZIONE Dove σ è un numero intero. In base a questa identità è possibile scrivere la seguente regola di approssimazione SPH: ⎛ ∇A ⎜⎜ ⎝ ρ ⎞ ⎟⎟ = ⎠I ⎛ AJ ⎜ ∑ ⎜ 2 −σ ρ j∈ Λ ⎝ ρ I + σ J ρ σ I AI ρ 2 −σ J ⎞ ⎟⎟∇ I W ⎠ IJ m j A seconda che il parametro σ assumerà valore pari a 1 o 2, avremo le seguenti formule d’approssimazione del gradiente, sia per il campo scalare sia per quello vettoriale. Quando σ = 1, per il campo scalare A(x) avremo: < ∇A >I = ∑ J∈Λ ( A I + A J )∇ IW IJ ΔVJ ( IIIa ) Mentre, per il prodotto scalare tra l’operatore gradiente e il campo vettoriale A, si avrà: < ∇ ⋅A >I= ∑ J∈Λ ( A I + A J ) ⋅ ∇ IW IJ ΔVJ Quando invece σ = 2, per il campo scalare A(x) avremo: < ∇A ρ >I= ∑ ( J∈Λ A ρ j 2 j + AI ρ 2 I )∇ IW IJ m ( IIIb ) J Mentre, per il prodotto scalare tra l’operatore gradiente e il campo vettoriale A, si avrà: < ∇ ⋅A ρ >I= ∑ J∈Λ ( A ρ j 2 j + AI ρ 2 I 83 ) ⋅ ∇ IW IJ m J CAPITOLO 4 – METODI DI DISCRETIZZAZIONE L’SPH non è solo uno schema di interpolazione, ma fornisce anche un insieme di regole di approssimazione, che consentono di costruire un sistema dinamico discreto del continuo. Prima di capire come usare queste regole d’approssimazione, è necessario descrivere le leggi di conservazione nella meccanica del continuo. Queste sono [7]: • Equazione di Continuità dρ + ρ∇ ⋅v = 0 dt Dove ρ è la densità di massa, e v il campo vettoriale delle velocità. • Equazione del Moto dv 1 = − ∇ ⋅σ dt ρ Dove σ è la tensione di Cauchy. • Equazione dell’Energia dE 1 = − σ :∇v dt ρ Dove E è l’energia specifica interna, somma dell’energia Potenziale e di quella Cinetica. Esistono diversi modi per scrivere un’equazione differenziale in SPH, utilizzando le regole d’approssimazione, da impiegare in seguito nella pratica computazionale, tra cui l’equazione di Continuità, del Moto e 84 CAPITOLO 4 – METODI DI DISCRETIZZAZIONE dell’Energia, che serviranno per descrivere l’evoluzione nel tempo del contino discretizzato in SPH [7]. Equazione di continuità in SPH L’equazione di continuità SPH impiegata nella computazione, è ricavata da differenti regole d’approssimazione. Dall’equazione di continuità sopra indicata, introducendo l’operatore medio (<….>) si ottiene quanto segue: < dρ >= − < ρ ∇ ⋅ v > dt Utilizzando nell’ordine le regole d’approssimazione 2, 3 e 4, in precedenza elencate, il secondo membro dell’equazione di continuità può essere scritto come: ≈ − < ρ >< ∇ ⋅ v > regola 2 ≈ − < ρ > ∇⋅ < v > regola 3 ≈ − < ρ > ∇⋅ < v > + ρ v ⋅ < ∇ W > regola 4 Sapendo che: ∇⋅ < v >= N ∑ j =1 < ∇ W >= N ∑ J =1 m j ρ j m j ρ j v j∇ IW ∇ IW IJ IJ Sostituendole nell’equazione di continuità, scritta con le regole di approssimazione, si avrà: 85 CAPITOLO 4 – METODI DI DISCRETIZZAZIONE dρ dt I = ρ N I ∑ m j =1 ρ j (v I − v J )⋅ ∇ I W IJ j Quella appena scritta altri non è che l’equazione differenziale di continuità discretizzata come un equazione algebrica. Si è visto come, utilizzando le regole d’approssimazione dell’SPH, sia possibile discretizzare un equazione differenziale, in una più semplice equazione algebrica. Equazione del Moto in SPH Per descrivere l’evoluzione di un sistema utilizzando l’SPH, è necessario riscrivere le equazioni del moto in una forma discretizzata. In funzione del tipo di regola d’approssimazione del gradiente, impiegata per la discretizzazione dell’equazione differenziale del moto, si possono distinguere tre diverse equazioni del moto in SPH, usate nella pratica. Infatti, dalla seguente equazione del moto: < ρ dv dt >= − < ∇ ⋅ σ > (0 ) Dove, ρ è la densità di massa dell’i-esima particella, v è il campo vettoriale delle velocità, e σ la tensione di Cauchy, impiegando la IIIa regola d’approssimazione del gradiente (σ = 1), il secondo membro di quest’equazione può essere cosi discretizzato: − < ∇ ⋅ σ >≈ − N ∑ (σ J =1 I 86 + σ J )⋅ ∇ I W IJ ΔV J CAPITOLO 4 – METODI DI DISCRETIZZAZIONE Sapendo che la densità di massa si esprime come: ρ I = mI ΔVI Sostituendo si ottiene l’espressione discretizzata SPH dell’equazione del moto: m I dv dt I = − N ∑ J =1 ΔVIΔV J (σ I + σ J )⋅ ∇ I W (1 ) IJ Se invece di usare la regola d’approssimazione del gradiente IIIa, s’impiega la IIIb, per la quale σ = 2, dividendo per la densità di massa, l’equazione del moto può anche essere scritta come: < dv dt ∇ ⋅σ >= − < > ρ Impiegando la IIIb riferita al campo vettoriale σ, il secondo membro di quest’equazione può essere approssimato come: ∇ ⋅σ − < ρ >≈ − N ∑ J =1 ⎛ σ ⎜⎜ ⎝ ρ I 2 I − σ ρ J 2 J ⎞ ⎟⎟ ⋅ ∇ I W ⎠ IJ m J Moltiplicando ambo i membri dell’equazione per la massa mi, osi ottiene la seguente espressione dell’equazione del moto: m I dv dt I = − N ∑ J =1 m Im J ⎛ σ ⎜⎜ ⎝ ρ I 2 I − σ ρ J 2 J ⎞ ⎟⎟ ⋅ ∇ I W ⎠ IJ (2) Una terza espressione dell’equazione del moto, si può ottenere utilizzando la regola I d’approssimazione del gradiente. Infatti, sapendo 87 CAPITOLO 4 – METODI DI DISCRETIZZAZIONE che il secondo membro dell’equazione (0), in virtù della regola d’approssimazione 4, si può scrivere come: − < ∇ ⋅ σ >= − ( ∇⋅ < σ > − < σ >< ∇ W > ) Essendo la funzione Kernel limitata, per quanto già dimostrato, il secondo termine al secondo membro della precedente equazione, sarà nullo. Di conseguenza: − < ∇ ⋅ σ >= −∇⋅ < σ > Il cui secondo membro può essere discretizzato secondo la regola I d’approssimazione del gradiente, valida per il campo vettoriale σ: − ∇⋅ < σ >≈ N ∑ J =1 Δ V J (σ J − σ I ) ⋅ ∇ IW IJ Sostituendo l’approssimazione, e ricordando l’espressione della densità di massa ρ, l’equazione del moto diventa: m I dv dt I = − N ∑ J =1 ΔVIΔV J (σ J − σ I )⋅ ∇ I W IJ (3 ) In queste tre diverse espressioni dell’equazione del moto, il primo membro, che è chiaramente sempre lo stesso, fisicamente esprime la variazione nel tempo della quantità di moto. Infatti, la quantità di moto dell’i-esima particella, è data dal prodotto della massa mI, che è costante e quindi indipendente dal tempo, e della velocità vI, variabile in funzione del tempo. 88 CAPITOLO 4 – METODI DI DISCRETIZZAZIONE Equazione dell’energia in SPH Il secondo membro dell’equazione dell’energia, utilizzando la seconda regola d’approssimazione di Monaghan, può essere riscritto come: −< 1 ρ σ : ∇ v >≈ − < 1 ρ 2 σ : ( ρ∇ v ) >≈ − 1 < ρ2 > < σ >:< ρ∇ v > Questo termine, può essere ulteriormente discretizzato, impiegando la II regola d’approssimazione del gradiente per il campo vettoriale σ, l’equazione dell’energia può quindi essere espressa come: dE I ⎛ σ I ⎞ N = ⎜⎜ 2 ⎟⎟ : ∑ m J v IJ ⊗ ∇ I WIJ dt ⎝ ρ I ⎠ J =1 (1) Le equazioni discretizzate con il metodo SPH, non sempre preservano le caratteristiche fisiche del corrispondente sistema continuo, come l’energia e la quantità di moto. Questo problema incide notevolmente sulla precisione e la qualità delle soluzioni numeriche. Dal punto di vista computazionale, un buono schema d’interpolazione, dovrebbe essere almeno capace di rappresentare correttamente il moto di un corpo rigido. Purtroppo, il metodo d’interpolazione SPH non è in grado di rappresentare propriamente il moto di un corpo rigido. Ciò induce ad una serie d’ostacoli nella computazione numerica. Sebbene, un campo d’interpolazione non riesca a rappresentare il movimento completo del corpo rigido, essendo questo composto di una traslazione e una rotazione rigida, la sola traslazione può essere preservata in una computazione discreta. E’ possibile dimostrare che le equazioni di continuità e dell’energia, prima approssimate con il metodo SPH, sono degli invarianti Galileiani. 89 CAPITOLO 4 – METODI DI DISCRETIZZAZIONE Infatti, se si scrivono le equazioni di continuità e dell’energia rispetto ad un sistema di riferimento cartesiano assoluto, le stesse equazioni permangono inalterate in un sistema di riferimento cartesiano in moto relativo rispetto a quello assoluto. La posizione e la velocità della generica particella, in cui si è discretizzato il continuo, rispetto al riferimento relativo, possono essere così espresse: x ' = x + at v' = v + a Dove x’ e v’, sono rispettivamente la posizione e la velocità della particella rispetto al sistema di riferimento relativo, mentre x e v sono definite rispetto a quello assoluto, a e t sono invece l’accelerazione e l’istante di tempo. Ovviamente, la velocità si ottiene in funzione della posizione dividendo questa ultima per il tempo. L’equazione di continuità e dell’energia in SPH, scritte nel nuovo riferimento diventano quindi: dρ dt I = ρ dE I σ I = 2 ρI dt N I ∑ j =1 m ρ ∑ m (v N J J =1 ' I j (v ' I ) − v 'J ⋅ ∇ I W IJ j ) − V J' ⋅ ∇ I W IJ Dato che, la differenza tra le velocità in seguito al cambio di riferimento resta in ogni modo invariato: (v −v ) = (v −v ) ' I ' J I J le equazioni stesse saranno invarianti rispetto al riferimento cartesiano. 90 CAPITOLO 4 – METODI DI DISCRETIZZAZIONE 4.4.4 – I limiti del Metodo SPH I metodi SPH presentano notevoli vantaggi nelle computazioni numeriche, tra cui la facilità di trattare grandi deformazioni della Mesh, o la semplicità d’implementazione al calcolatore. Ciononostante, lo stesso metodo presenta una serie di limiti ed inconvenienti di seguito elencati [8]. • Instabilità di tensione; • Insufficienza di consistenza d’interpolazione; • Difficoltà nel far rispettare le condizioni di vincolo. Attraverso gli anni, sono state sviluppate varie tecniche per il miglioramento del metodo, e l’eliminazione delle varie patologie che si manifestano nelle computazioni numeriche, di seguito definite. Instabilità di tensione Si definisce in questo modo la situazione in cui, in una regione del dominio dove sussiste uno stato tensionale, il moto delle particelle diventa instabile. Ciò significa che, una piccola perturbazione della posizione delle particelle, può causare un esponenziale aumento della velocità delle stesse, che può indurle ad un moto oscillatorio. Diversi autori hanno condotto studi con il fine di individuare le cause di questo fenomeno, e in seguito per porvi rimedio. Per quanto attiene alle origini di tale fenomeno si fa riferimento ai risultati conseguiti dagli studi condotti da Sweegle [8]. 91 CAPITOLO 4 – METODI DI DISCRETIZZAZIONE Ipotizzando che le masse delle particelle adiacenti siano le stesse, e che sia soddisfatta la condizione secondo la quale: dW II =0 dx I i criteri di stabilità di Sweegle vengono di seguito elaborati. Considerando una distribuzione di particelle in cui la distanza tra due particelle successive è pari alla Smoothing Lenght h, assumendo l’origine del sistema di riferimento cartesiano coincidente con la generica particella XI, e facendo riferimento ad un semplice caso monodimensionale, la particella I+1 è posizionata alla distanza XI + h, mentre, il punto x in cui la derivata della funzione Kernel W’(x) si annulla, sarà compreso tra la particella XI e I+1, come di seguito mostrato. σ Trazione stabile instabile -W' h XI X X I+1 W' instabile stabile Compressione Figura 4. 1 – Instabilità d trazione delle particelle. 92 CAPITOLO 4 – METODI DI DISCRETIZZAZIONE Assumendo per convenzione che la tensione negativa sarà di compressione, e quella positiva di trazione, sarà possibile distinguere nel piano x-σ le seguenti situazioni [8]. Trazione (σ>0) • Nel tratto in cui la derivata della Funzione Kernel -W’(x) è crescente [-W’(x)>0], all’aumentare della variabile indipendente x le particelle si allontanano, e la tensione di trazione σ allo stesso tempo aumenta. Viceversa, al diminuire della variabile x le particelle si avvicinano, e la tensione σ si riduce. Il sistema in questo caso si definisce stabile. • Nel tratto in cui la derivata della Funzione Kernel -W’(x) è decrescente [-W’(x)<0], all’aumentare della variabile indipendente x le particelle si allontanano, e la tensione di trazione σ in questo caso diminuisce. Viceversa, al diminuire della variabile x le particelle si avvicinano, e la tensione σ aumenta. Il sistema in questo caso si definisce instabile. Compressione (σ<0) • Nel tratto in cui la derivata della Funzione Kernel W’(x) è crescente [W’(x)>0], all’aumentare della variabile indipendente x le particelle si allontanano, e la tensione di compressione σ diminuisce. Viceversa, al diminuire della variabile x le particelle si avvicinano, e la tensione σ aumenta. Il sistema in questo caso si definisce instabile. • Nel tratto in cui la derivata della Funzione Kernel W’(x) è decrescente [W’(x)<0], all’aumentare della variabile indipendente 93 CAPITOLO 4 – METODI DI DISCRETIZZAZIONE x le particelle si allontanano, e la tensione di compressione σ allo stesso tempo aumenta. Viceversa, al diminuire della variabile x le particelle si avvicinano, e la tensione σ si riduce. Il sistema in questo caso si definisce stabile. Tra le possibili soluzioni a questo problema Morris propose di introdurre una speciale Kernel Function, ma tale soluzione produce risultati soddisfacenti soltanto in alcuni casi particolari [8]. Dyka propose il cosiddetto Stress Point Method, l’idea principale su cui si fonda, risiede nell’introdurre dei punti addizionali, oltre a quelli introdotti per la rappresentazione delle singole particelle, nel momento in cui si vuole valutare lo stato tensionale o altri stati variabili. Mentre le variabili cinematiche, quali lo spostamento, la velocità, e l’accelerazione sono ancora riferite alle particelle SPH, a questi punti addizionali sono invece associati gli stati tensionali, o altri stati variabili nel tempo. Tali punti sono definiti Stress Point, e non sono niente altro che delle particelle fittizie. Di seguito si riporta una rappresentazione grafica: Figura 4. 2 - Stress Point Method in uno spazio bi-dimensionale. 94 CAPITOLO 4 – METODI DI DISCRETIZZAZIONE Condizioni di vincolo I metodi particellari in generale hanno delle difficoltà nel rafforzare le condizioni di vincolo essenziali. Per l’SPH, sono stati sviluppati dei metodi correttivi per risolvere questa patologia. Notevolmente impiegato nelle computazioni pratiche, è il così detto “Ghost Particle”, proposto da Randles e Libersky [8]. In virtù di questo metodo, si supponga che l’iesima particella i sia vincolata, mentre le altre particelle all’interno dello stesso dominio N(i), possano essere suddivise in tre sottoinsiemi: • I(i): punti interni al dominio, adiacenti la particella i; • B(i): punti di confine, adiacenti la particella i; • G(i): punti esterni al dominio, adiacenti la particella i. L’insieme N(i), può quindi essere espresso come l’unione dei tre sottoinsiemi descritti: N(i) =I(i)∪B(i)∪G(i) Dove G(i) sono appunto le particelle fantasma introdotte (Ghost Particle) [8]. In quest’approccio, si può ricavare l’equazione di vincolo per un generico campo scalare fi, infatti, assumendo: f j = fi ∀ j ∈ B (i ) f j = f bc ∀ j ∈ G (i ) Δ V j = Δ Vi 95 CAPITOLO 4 – METODI DI DISCRETIZZAZIONE la formula di correzione per il generico campo scalare f, è definita come segue: f i = f bc + ∑ (f j∈ I ( i ) ⎛ ⎜1 − ⎜ ⎝ − f bc )Δ V jW ij j ∑ ΔV W j∈ B ( i ) j ij ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ Dove: • fbc è il prescritto valore per x = xi; • ΔVj è il volume elementare della j-esima particella; • Wij è la funzione Kernel. Il principale vantaggio nell’utilizzare questa formula correttiva, risiede nel fatto che questa dipende esclusivamente dalle particelle interne, e non da quelle esterne (Ghost Particle). 96 CAPITOLO 5 – MODELLAZIONE NUMERICA CON LS-DYNA VERSION 970 Capitolo 5 Modellazione Numerica con LS-Dyna Version 970. Modellare numericamente una prova sperimentale significa riprodurre, grazie all’ausilio di un codice di calcolo, lo stesso elemento oggetto della sperimentazione. Le evidenze sperimentali serviranno per poter verificare l’attendibilità del modello creato al calcolatore, oppure i risultati dei test potranno essere impiegati per calibrare il modello stesso. Tutto ciò è finalizzato alla costruzione di un modello che consente di eseguire sperimentazioni numeriche, senza ricorrere necessariamente alle prove sperimentali da realizzare in laboratorio, con i costi e le problematiche che esse comportano. Individuate quali sono le principali finalità della modellazione numerica, bisogna poi in seguito scegliere tra i codici di calcolo strutturali a disposizione, quello da impiegare per la simulazione stessa. Ai fini della modellazione, si è scelto di impiegare il programma ad elementi finiti d’uso generale LS-Dyna Version 970 [11], che consente la simulazione di problemi complessi, ed è largamente accettato, come software d’analisi, per le più avanzate applicazioni dell'ingegneria. 5.1 - Software LS-Dyna Version 970 LS-Dyna è un programma di calcolo ad elementi finiti, che permette di analizzare dei comportamenti fisici altamente non lineari con dei metodi numerici detti espliciti o impliciti. Frequenti applicazioni si hanno nel caso di fenomeni in cui grandi deformazioni avvengono in un breve intervallo di tempo, come ad esempio in un Crash test, o in un’esplosione. 97 CAPITOLO 5 – MODELLAZIONE NUMERICA CON LS-DYNA VERSION 970 LS-Dyna conta numerosi utilizzatori nell’industria automobilistica, aeronautica, aerospaziale e nella formatura di metalli. Il calcolo accoppiato fluido-struttura permette di simulare l’interazione tra una struttura e un fluido come nell’aquaplanning o nella caduta di un recipiente contenente un fluido. Le origini del LS-Dyna risalgono alla metà degli anni settanta, quando fu sviluppata la sua prima versione, nota come DYNA3D, per opera del Lawrence Livermore National Laboratory. Il DYNA3D nasce come software d’analisi, sulla base della teoria degli elementi finiti, per la risoluzione di problemi strutturali e di meccanica del continuo. Grazie alla sua rapidità nell’integrazione delle equazioni del moto, è specialmente impiegato per la risoluzione di problemi dinamici. Figura 5. 1 - Modellazione di una Turbina con LS-Dyna. Essa possiede una libreria di materiali (Material Model), da poter impiegare nelle modellazioni, tra i quali sono inclusi materiali isotropicielastici, ortotropici-elastici ed elasto-plastici. Consente la simulazione d’elementi solidi, shell, beam, spring, e damper. Inoltre si possono 98 CAPITOLO 5 – MODELLAZIONE NUMERICA CON LS-DYNA VERSION 970 generare contatti tra superfici, in modo tale da considerare le interazioni tra corpi diversi. Col passare degli anni dal 1976 fino al 1988, il DYNA3D è stato di volta in volta arricchito con nuove caratteristiche e possibilità, riguardanti materiali ed elementi da modellare. Nelle versioni che si sono succedute sono stati apportati miglioramenti ai tempi d’integrazione, per la risoluzione delle equazioni del moto, riducendo notevolmente i tempi d’analisi, e consentendo discretizzazione sempre più fitte degli elementi. Verso la fine del 1988, dal DYNA3D nasce il più recente codice di calcolo LS-Dyna. Questa evoluzione del DYNA3D è dettata dalla crescente richiesta d’applicazioni automobilistiche. Gli sforzi per lo sviluppo del codice di calcolo furono intensificati, proprio per far fronte alla maggiore richiesta di risoluzione di problemi automobilistici. Agli inizi del 1989 la scrittura del codice passò dalla Lawrence Livermore National Laboratory (LLNL), alla Livermore Software Technology Corporation, California. Per opera della LSTC sono state migliorate diverse capacità del software. Da questo momento, per i successivi 18 anni, passando attraverso le diverse versioni del programma, dalla Version 940 fino alla recentissima Version 971, innumerevoli sono state le migliorie adottate. Tra queste si riportano di seguito solo alcune delle più innovative ed interessanti, che caratterizzano la versione più recente, impiegata per la modellazione numerica. Le sue capacità attuali consentono la soluzione di Nonlinear dynamics, Rigid body dynamics, Quasi-static simulations, Normal modes, Linear static, Thermal analysis, Fluid analysis, Eulerian capabilities, ALE (Arbitrary LagrangianEulerian), Fluid-structure interactions, FEM-rigid multi-body dynamics coupling (MADYMO, CAL3D), Underwater shock, Failure analysis, Crack propagation, Real-time acoustics, Design optimization, Implicit 99 CAPITOLO 5 – MODELLAZIONE NUMERICA CON LS-DYNA VERSION 970 springback, Multi-physics coupling, Structural-thermal coupling, Adaptive Remeshing, Smooth particle hydrodynamics, Element-free meshless method [11]. LS-Dyna utilizza per la soluzione delle equazioni del moto sia il metodo esplicito sia quello implicito. La disponibilità in un unico prodotto software di metodi sia espliciti sia impliciti è importante, perchè un singolo metodo di soluzione non è convenientemente applicabile in qualsiasi situazione. Con un solo prodotto, LS-Dyna, si è in grado di portare a soluzione le problematiche più diverse, tra cui: • Solid Mechanics. • Nonlinear elements for large deformations, Reduced and fully integrated, linear elements for eigenvalues, superelements, and linear structural analyses. • Dynamics: Explicit methods for short duration transient problems, implicit methods for static and long duration problems, instantaneously switch between methods, Fluid Mechanic. • Flow regim: Incompressible flow, Compressible flow, Acoustics. Il metodo esplicito è in pratica l'unico applicabile in diversi casi, come ad esempio le simulazioni d’impatto (crash e drop test), il metal forming (stampaggi a caldo e a freddo, laminazioni, imbottiture), le simulazioni d’eventi prodotti da esplosioni, sia in aria sia in acqua, oppure gli effetti prodotti dai terremoti sulle strutture. Può essere impiegato per le simulazioni su materiali non metallici quali compositi o schiume polimeriche. Le schiume sono i principali componenti, ad esempio, dei sedili d’auto e pertanto costituiscono un elemento di primaria importanza 100 CAPITOLO 5 – MODELLAZIONE NUMERICA CON LS-DYNA VERSION 970 per la sicurezza degli occupanti. In ultimo, ma non meno importante, con il metodo esplicito si è in grado di simulare tutte le fasi d’esercizio di un airbag, dall'esplosione della carica, al dispiegamento durante il gonfiaggio, all'impatto del corpo umano sul cuscino gonfiato, allo sgonfiaggio controllato. Tra le potenzialità del software in precedenza elencate, quelle che maggiormente ci hanno indotto a sceglierlo per la simulazione numerica, sono senza dubbio la possibilità di implementare due metodi di discretizzazione, dettagliatamente descritti nel capitolo precedente, il Finite Element Method (FEM), e lo Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH), e in secondo luogo la capacità del codice di calcolo di considerare grandi deformazioni che si verificano in un intervallo di tempo di pochi millisecondi, così come accade nella simulazione di un’esplosione. 5.2 – Modellazione della Prova Sperimentale Con l’ausilio del codice di calcolo LS-Dyna Version 970, si sono modellate le quattro prove sperimentali in precedenza descritte. Si è scelto di impiegare le seguenti unità di misura [12]. Lunghezze Tempo Pressione Massa Temperatura Densità [m] [s] [Pa] [Kg] [K] Kg/m3] Tabella 5. 1 – Unità di Misure adottate dal LS-Dyna Version 970. Tale modellazione è stata condotta utilizzando due metodi di discretizzazione differenti, il FEM e l’SPH. Si descrivono in seguito quali sono le caratteristiche dello stesso modello realizzato con i due metodi differenti. 101 CAPITOLO 5 – MODELLAZIONE NUMERICA CON LS-DYNA VERSION 970 5.2.1 – Modello FEM L’elemento strutturale piastra viene in questo caso realizzato mediante un Box_Solid [12]. Ovviamente la scelta del numero d’elementi che costituiscono il Box, e quindi la piastra, è effettuata in funzione del grado d’accuratezza che si vuole conseguire nel calcolo, associato al numero d’informazioni che da lui si vogliono ottenere, e tenendo presente che un numero eccessivo d’elementi solidi e di nodi che costituiscono la Mesh, incrementano i tempi d’analisi del processore. Questo perchè il numero d’equazioni che il processore dovrà risolvere aumenta all’aumentare del numero di nodi. La piastra è quindi suddivisa in 11520 elementi solidi (Solid Element) [12]. Ovviamente, trattandosi di una discretizzazione in elementi finiti, ad ognuno di questi saranno associate le stesse dimensioni geometriche e caratteristiche dei materiali. Le dimensioni del singolo elemento sono (2,5x2,5x1,8)cm3, in questo modo si avrà una maglia di 48x48 elementi distribuiti su 5 strati sovrapposti. Ogni elemento è contraddistinto da 8 nodi, ognuno dei quali a sua volta individuato, rispetto all’origine degli assi del sistema di riferimento coincidente con il baricentro geometrico della piastra, dalle sue coordinate cartesiane (x, y, z). Ad esempio per l’elemento individuato dal numero identificativo eid (element identification) = 1 si avrà: *ELEMENT_SOLID $# eid pid 1 1 n1 1 n2 2 n3 51 n4 50 n5 2402 n6 2403 n7 2452 n8 2451 Tabella 5. 2 – Element Solid. Dove con ni s’indica il numero identificativo del nodo che appartiene all’elemento, coincidente con uno dei suoi vertici, mentre pid è il numero identificativo della Part associata all’elemento. 102 CAPITOLO 5 – MODELLAZIONE NUMERICA CON LS-DYNA VERSION 970 La Part è un comando del codice di calcolo che consente di assegnare a più elementi le stesse proprietà, quali ad esempio lo stesso Material, la stessa Equation of State (EOS) e la stessa Section, richiamando semplicemente i rispettivi numeri identificativi (mid, eosid, secid) [12]. *PART $# title Part $# pid 1 secid 1 mid 1 eosid 1 hgid grav adpopt tmid Tabella 5. 3 – Part. Nella Section sono definite alcune proprietà, quali la formulazione dell’elemento, le regole d’integrazione o gli spessori nodali, secondo la tipologia d’Element a cui la Section è associata. Nel caso della Section_Solid si attribuisce all’elemento l’Element Formulation Optinon (elform) [12], in questo caso specifico si sceglie di considerare costante la tensione nel singolo elemento. *SECTION_SOLID_TITLE Section_Solid $# secid elform 1 1 aet Tabella 5. 4 – Section Solid. Costruito il modello geometrico della piastra, e la mappa topologica degli elementi finiti in cui questa è stata discretizzata, in seguito si definiscono le condizioni di vincolo e di carico. Per quanto riguarda le condizioni di vincolo, si crea un Set di Nodi [12], in altre parole un insieme di Nodi, a cui andrà poi in seguito associato la condizione di vincolo. In questo caso si è scelto di vincolare lungo l’asse y del sistema di riferimento cartesiano, i due bordi esterni della piastra. Il Set di nodi a loro corrispondente è il seguente: 103 CAPITOLO 5 – MODELLAZIONE NUMERICA CON LS-DYNA VERSION 970 *SET_NODE_LIST_TITLE Vincoli $# sid da1 37 $# nid1 nid2 1 50 393 442 785 834 1177 1226 1569 1618 1961 2010 2353 2402 2745 2794 3137 3186 3529 3578 3921 3970 4313 4362 4705 4754 5097 5146 5489 5538 5881 5930 6273 6322 6665 6714 7057 7106 7449 7498 7841 7890 8233 8282 8625 8674 9017 9066 9409 9458 9801 9850 10193 10242 10585 10634 10977 11026 11369 11418 11761 11810 12153 12202 12545 12594 12937 12986 13329 13378 13721 13770 14113 14162 147 196 539 588 931 980 1323 1372 1715 1764 2107 2156 2499 2548 2891 2940 3283 3332 3675 3724 4067 4116 4459 4508 4851 4900 5243 5292 5635 5684 6027 6076 6419 6468 6811 6860 7203 7252 7595 7644 7987 8036 8379 8428 8771 8820 9163 9212 9555 9604 9947 9996 10339 10388 da2 da3 da4 nid3 99 491 883 1275 1667 2059 2451 2843 3235 3627 4019 4411 4803 5195 5587 5979 6371 6763 7155 7547 7939 8331 8723 9115 9507 9899 10291 10683 11075 11467 11859 12251 12643 13035 13427 13819 14211 245 637 1029 1421 1813 2205 2597 2989 3381 3773 4165 4557 4949 5341 5733 6125 6517 6909 7301 7693 8085 8477 8869 9261 9653 10045 10437 nid4 148 540 932 1324 1716 2108 2500 2892 3284 3676 4068 4460 4852 5244 5636 6028 6420 6812 7204 7596 7988 8380 8772 9164 9556 9948 10340 10732 11124 11516 11908 12300 12692 13084 13476 13868 14260 294 686 1078 1470 1862 2254 2646 3038 3430 3822 4214 4606 4998 5390 5782 6174 6566 6958 7350 7742 8134 8526 8918 9310 9702 10094 10486 nid5 197 589 981 1373 1765 2157 2549 2941 3333 3725 4117 4509 4901 5293 5685 6077 6469 6861 7253 7645 8037 8429 8821 9213 9605 9997 10389 10781 11173 11565 11957 12349 12741 13133 13525 13917 14309 343 735 1127 1519 1911 2303 2695 3087 3479 3871 4263 4655 5047 5439 5831 6223 6615 7007 7399 7791 8183 8575 8967 9359 9751 10143 10535 104 nid6 246 638 1030 1422 1814 2206 2598 2990 3382 3774 4166 4558 4950 5342 5734 6126 6518 6910 7302 7694 8086 8478 8870 9262 9654 10046 10438 10830 11222 11614 12006 12398 12790 13182 13574 13966 14358 392 784 1176 1568 1960 2352 2744 3136 3528 3920 4312 4704 5096 5488 5880 6272 6664 7056 7448 7840 8232 8624 9016 9408 9800 10192 10584 nid7 295 687 1079 1471 1863 2255 2647 3039 3431 3823 4215 4607 4999 5391 5783 6175 6567 6959 7351 7743 8135 8527 8919 9311 9703 10095 10487 10879 11271 11663 12055 12447 12839 13231 13623 14015 49 441 833 1225 1617 2009 2401 2793 3185 3577 3969 4361 4753 5145 5537 5929 6321 6713 7105 7497 7889 8281 8673 9065 9457 9849 10241 10633 nid8 344 736 1128 1520 1912 2304 2696 3088 3480 3872 4264 4656 5048 5440 5832 6224 6616 7008 7400 7792 8184 8576 8968 9360 9752 10144 10536 10928 11320 11712 12104 12496 12888 13280 13672 14064 98 490 882 1274 1666 2058 2450 2842 3234 3626 4018 4410 4802 5194 5586 5978 6370 6762 7154 7546 7938 8330 8722 9114 9506 9898 10290 10682 CAPITOLO 5 – MODELLAZIONE NUMERICA CON LS-DYNA VERSION 970 10731 11123 11515 11907 12299 12691 13083 13475 13867 14259 10780 11172 11564 11956 12348 12740 13132 13524 13916 14308 10829 11221 11613 12005 12397 12789 13181 13573 13965 14357 10878 11270 11662 12054 12446 12838 13230 13622 14014 14406 10927 11319 11711 12103 12495 12887 13279 13671 14063 10976 11368 11760 12152 12544 12936 13328 13720 14112 11025 11417 11809 12201 12593 12985 13377 13769 14161 11074 11466 11858 12250 12642 13034 13426 13818 14210 Tabella 5. 5 – Set_Node_List Vincoli. Al Set di nodi così definito sono poi associate le condizioni di vincolo, bloccando gli spostamenti di tali nodi nelle direzioni x y e z, realizzando così un vincolo di tipo incastro. *BOUNDARY_SPC_SET_ID $# cid 1Incasro $# nsid cid 37 0 heading dofx 1 dofy 1 dofz 1 dofrx dofry dofrz Tabella 5. 6 – Boundary Condiction. Come si può notare, nella Card che definisce le condizioni di vincolo (Boundary Condiction) [12] una volta richiamato il nsid (Node Set Identification), corrispondente al Set di nodi creato in precedenza, si definiscono quali sono gli spostamenti e gli assi lungo i quali avvengono, oppure le rotazioni e gli assi rispetto ai quali si realizzano, che devono essere impediti. Una volta calcolate le curve di pressione che agiscono all’estradosso della piastra, così come descritto al Capitolo 3, queste dovranno essere definite nel modello e in seguito assegnate agli elementi solidi. Per definire una qualsivoglia curva, che indichi l’andamento della pressione in funzione del tempo, o che sia in ogni modo l’andamento di una variabile dipendente in funzione di un'altra indipendente (ese. Temperatura e Tempo), si utilizza il comando Define_Curve[12]. Questo comando consente di assegnare in maniera tabulata, nel piano (x, 105 CAPITOLO 5 – MODELLAZIONE NUMERICA CON LS-DYNA VERSION 970 y), i valori da associare alle due variabili, indipendente lungo l’asse delle ascisse e dipendente lungo l’asse delle ordinate. Inoltre, si possono anche definire dei fattori di scala e d’Offset sia per i valori lungo l’asse delle ascisse (sfa, offa), che per quelli definiti lungo l’asse delle ordinate (sfo, offo). Ad ogni curva si associa un nome (Title), e un numero identificativo lcid (Load Curve Identification) [12]. A titolo d’esempio si riporta una delle 36 curve di carico, definite per modellare l’effetto prodotto sulla superficie della piastra, investita dall’onda d’urto prodotta dall’esplosione: *DEFINE_CURVE_TITLE A-1 $# lcid sidr 1 0 $# a1 0.000 4.9999999e-005 9.9999997e-005 1.5000001e-004 1.9999999e-004 2.5000001e-004 3.0000001e-004 3.4999999e-004 3.9999999e-004 4.4999999e-004 5.0000002e-004 5.5000000e-004 6.0000003e-004 6.5000000e-004 6.9999998e-004 7.5000001e-004 7.9999998e-004 8.5000001e-004 8.9999998e-004 9.5000002e-004 0.00100000 0.00105000 0.00110000 0.00115000 0.00120000 0.00125000 0.00130000 0.00135000 0.00140000 0.00145000 0.00150000 0.00160000 0.00170000 0.00180000 0.00190000 0.00205000 0.00220000 0.00235000 0.00250000 0.00265000 0.00280000 sfa 1.000000 sfo 1.000000 o1 1.6806463e+005 1.4723016e+005 1.2860335e+005 1.1196810e+005 97128.437500 83906.765625 72142.164063 61688.882813 52414.949219 44200.937500 36938.789063 30530.804688 24888.658203 19932.556641 15590.442383 11797.274414 8494.3789063 5628.8549805 3153.0300293 1023.9760132 -796.94500732 -2344.4819336 -3649.8649902 -4741.1430664 -5643.4848633 -6379.4589844 -6969.2807617 -7431.0468750 -7780.9331055 -8033.3881836 -8201.3037109 -8328.1982422 -8239.0712891 -7994.9111328 -7643.4130859 -6993.4340820 -6273.6499023 -5543.2690430 -4839.4492188 -4184.0019531 -3588.2438965 106 offa offo dattyp CAPITOLO 5 – MODELLAZIONE NUMERICA CON LS-DYNA VERSION 970 0.00300000 0.00320000 0.00340000 0.00360000 0.00380000 0.00400000 0.00420000 -2893.4970703 -2310.4570313 -1829.9639893 -1439.5209961 -1125.7989502 Tabella 5. 7 – Curva di Pressione Tabulata. Grafico 5. 1 – Andamento della Curva di Pressione, calcolata per l’area di carico A-1 e relativa alla prima prova modellata. Lo stesso procedimento è ripetuto per le 36 diverse curve di pressione calcolate in precedenza, e per le quattro diverse condizioni di carico realizzate nelle altrettante prove sperimentali eseguite. Definite le curve di carico, bisognerà poi in seguito assegnare queste condizioni di carico agli elementi che costituiscono la piastra stessa. Per i modelli realizzati in FEM, si è scelto di applicare il carico in maniera distribuita. In questo caso sono stati definiti dei Set_Segment [12], vale a dire delle aree di carico, coincidenti con le stesse che abbiamo in precedenza definito per il calcolo delle curve di pressioni derivanti dall’esplosione. Per definire un Segment è sufficiente individuare 4 nodi che lo delimitano, il singolo Segment sarà quindi una 107 CAPITOLO 5 – MODELLAZIONE NUMERICA CON LS-DYNA VERSION 970 semplice area quadrata. Ogni Set_Segment sarà invece costituito da 4 Segment diversi, tra loro simmetrici rispetto al centro della piastra. Si ricorda, infatti, che la condizione di carico a cui la piastra è sottoposta è perfettamente simmetrica rispetto al centro della stessa, essendo la carica esplosiva posizionata ad una certa distanza dal suo centro. In definitiva avremo 36 Set_Segment, per un totale di 144 Segment [12]. *SET_SEGMENT_TITLE A-1 $# sid da1 1 $# n1 n2 14382 14186 12030 12034 14382 14378 12030 12226 da2 da3 da4 n3 14190 12230 14182 12222 n4 14386 12226 14186 12026 a1 a2 a3 a4 Tabella 5. 8 - Set_Segment. Ad ogni Set_Segment è poi associata la corrispondente curva di pressione, sapendo che questa si ripete identicamente per i 4 Segment a lei appartenenti. A tale fine si utilizza il comando Load Set_Segment [12], che consente di associare ad ogni ssid (Set_Segment Identification) la corrispondente lcid (Load Curve Identification), moltiplicata per un fattore di scala sf, il quale si assume unitario. Questo comando ci consente di applicare una pressione distribuita su un’area quadrilatera definita da 4 nodi. *LOAD_SEGMENT_SET $# ssid lcid 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11 11 12 12 13 13 sf 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 at 108 CAPITOLO 5 – MODELLAZIONE NUMERICA CON LS-DYNA VERSION 970 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 Tabella 5. 9 – Load Set_Segment. Figura 5. 2 - Sezione della Piastra sottoposta a Carico distribuito. Per realizzare un modello quanto più attendibile è possibile, sarà necessario attribuire a singoli elementi anche il proprio peso. Per fare questo è necessario creare una Set_Part_List, in altre parole una lista di Part alle quali associare un unico carico, il peso proprio. Si associa quindi alla Set_Part_List l’unica Part di cui disponiamo [12]. 109 CAPITOLO 5 – MODELLAZIONE NUMERICA CON LS-DYNA VERSION 970 *SET_PART_LIST_TITLE part list solid $# sid da1 1 $# pid1 pid2 1 da2 da3 da4 pid3 pid4 pid5 pid6 pid7 pid8 Tabella 5. 10 – Set_Part_List. Si definisce quindi un ulteriore curva, in questo caso semplicemente costate, essendo la forza peso sempre la stessa indipendentemente dal tempo, si definisce un Load_Body_Z [12], in cui si moltiplica la curva di carico in precedenza costruita per un fattore di scala sf, pari a 9,81 m/s2, l’accelerazione di gravità, e si associa la nuova condizione di carico all’intera Part. *DEFINE_CURVE_TITLE Peso $# lcid sidr 37 0 $# a1 0.000 0.00600000 *LOAD_BODY_PARTS $# psid 1 *LOAD_BODY_Z $# lcid sf 37 9.810000 sfa 1.000000 sfo 1.000000 o1 1.00000000 1.00000000 lciddr xc offa offo yc zc dattyp Tabella 5. 11 – Carico da Peso Proprio. Per completare il modello, non rimane altro che definire le caratteristiche meccaniche dei materiali, calcestruzzo e acciaio, utilizzati per la costruzione della piastra. A tal scopo si rimanda al Capitolo 6, in cui si descriveranno in maniera dettagliata i Material Model impiegati, il modo in cui si definisce l’Equation of State ad essi associati, ed infine le curve di Strain-Rate, che descrivono il miglioramento del comportamento dei materiali, per effetto dei carichi dinamici a cui sono soggetti. Queste ultime Card che definiscono il modello sono le stesse sia per il Metodo FEM sia per quello SPH. 110 CAPITOLO 5 – MODELLAZIONE NUMERICA CON LS-DYNA VERSION 970 Completato il modello in FEM per la prima condizione di carico, per costruire gli altri tre modelli rimanenti, sarà sufficiente copiare lo stesso modello modificando le sole curve di pressione riguardanti le altre tre condizioni di carico. 5.2.2 – Modello SPH In questo caso per creare l’elemento piastra, a differenza di quanto fatto per il modello FEM, non si costruisce una Mesh, bensì una mappa topologica di soli nodi. In questo caso, infatti, la piastra non è suddivisa in un numero discreto d’elementi finiti di forma prismatica, ma in un numero discreto d’elementi nodali, definiti particelle. Ad ogni particella è associata una massa ed una posizione nello spazio, individuata dalle tre coordinate (x, y, z), sempre rispetto all’origine degli assi del riferimento cartesiano considerato dal programma. Ad ogni nodo della mappa topologica costruita in precedenza, si associa un elemento particellare dotato di massa. La piastra è stata discretizzata in un numero totale di particelle pari a 11520. Essendo il numero di particelle coincidenti con quello degli Element Solid, in cui è stata discretizzata la piastra con il metodo FEM, si potrà operare il confronto tra i due metodi. Questi elementi particellari si distribuiscono su cinque superfici sovrapposte, ognuna delle quali costituita da 48x48 elementi particellari. Nel piano (x, y) le particelle distano tra loro 2,5 cm in entrambe le direzioni, mentre lungo l’asse z i cinque strati sono posti ad una distanza di 2,25 cm. La massa d’ogni singola particella è stata semplicemente calcolata dividendo il peso totale della piastra per il numero di particelle che la costituiscono. 111 CAPITOLO 5 – MODELLAZIONE NUMERICA CON LS-DYNA VERSION 970 Ptot = γs Vtot = 2500 Kg/m3 (0,09 x1,2 x1,2)m3 = 324 Kg ⇓ Mele = Ptot / Numele = 324 Kg / 6912 = 0,046875 Kg *ELEMENT_SPH $# nid pid 1 mass 1 0.04687500 Tabella 5. 12 – Element SPH. Ad ogni nid (Node Identification) è attribuita una particella di massa (mass) pari a 0,046875 Kg, ed una pid (Part Identification), a cui compete la stessa definizione data per la modellazione in FEM [12]. La differenza principale che sussiste tra la modellazione in FEM e quella in SPH, risiede nella definizione della Section da associare all’elemento modellato. Mentre per il metodo FEM si è attribuito all’elemento modellato una Section_Solid, in questo caso sarà ovviamente necessario definire una Section_SPH [12]. Questo comando consente di associare alcune proprietà alle singole particelle. *SECTION_SPH_TITLE SPH_section $# secid cslh 1 1.200000 hmin 0.200000 hmax 2.000000 sphini death 0.0001.0000E+20 start Tabella 5. 13 – Section SPH. Il parametro numerico di maggiore interesse che deve essere in questo caso definito, è la Smoothing Lenght (h), di cui già si è detto nel capitolo precedente. Il processore LS-Dyna utilizza una Smoothing Lenght variabile durante il tempo d’analisi. Il Processore calcola un valore iniziale di Smoothing Lenght (h0), come la massima tra le minime distanze tra ogni particella. 112 CAPITOLO 5 – MODELLAZIONE NUMERICA CON LS-DYNA VERSION 970 Ad ogni particella è associato la propria Smoothing Lenght, che varia nel tempo in accordo con la seguente equazione: d dt ( h ( t )) = h ( t ) div ( v ) Dove h(t) è la Smoothing Lenght in funzione del tempo, mentre div(v) è la divergenza del flusso. La Smoothing Lenght aumenta, quando le particelle si allontanano le une dalle altre e si riduce, quando aumenta la densità delle particelle. Esso varia in modo tale da mantenere costante il numero di particelle tra loro vicine. La Smoothing Lenght varia tra un valore minimo e uno massimo: H min ⋅ h0 ≤ h (t ) ≤ H max ⋅ h0 Non è possibile associare un valore unitario né a quello massimo né a quello minimo, Hmin e Hmax, in quanto così facendo si definirebbe una Smoothing Lenght costante al variare del tempo e dello spazio, e coincidente con quella iniziale h0 calcolata dal processore [11]. Nella Card della Section_SPH, è necessario definire oltre al valore minimo e massimo della Smoothing Lenght (hmin, hmax), anche una costante cslh, che moltiplica la Smoothing Lenght delle particelle. Tale valore deve essere compreso tra 1,05 e 1,3. Il valore di Default è uguale 1,2 ed è ritenuto accettabile per diverse problematiche. Valori inferiori all’unità sono ritenuti inammissibili, mentre quelli maggiori di 1,3 aumenterebbero i tempi di computazione del software. I parametri sphini, death e start, che definiscono la Card, individuano rispettivamente un valore iniziale della Smoothing Lenght, ed il tempo d’arresto e d’inizio dell’approssimazione. Nel primo caso se si definisce 113 CAPITOLO 5 – MODELLAZIONE NUMERICA CON LS-DYNA VERSION 970 un valore di sphini diverso dallo 0,0 si sovrascrive il valore iniziale h0 calcolato dal processore all’inizio del calcolo [11]. Una successiva differenza rispetto al modello costruito in FEM, riguarda la modalità d’applicazione dei carichi. Questi ultimi ovviamente non variano per le stesse prove che sono state modellate, al variare dei due metodi impiegati FEM e SPH. In questo caso essendo la piastra discretizzata in un numero finito d’elementi nodali (Element_SPH), è preferibile applicare il carico nodalmente. Si passa quindi da una condizione di carico distribuita ad una di carico concentrato. Ogni singolo elemento particellare che costituisce l’estradosso della piastra, sarà quindi soggetto ad una forza concentrata, d’intensità variabile da una particella all’altra, e diretta lungo l’asse z verso il basso. Per definire questa condizione di carico è quindi necessario costruire dei Set di nodi, allo stesso modo di quanto visto per la definizione delle condizioni di vincolo. Si definiranno quindi 36 Set_Node_List [12], ad ognuno dei quali apparteranno 64 nodi differenti, riconducibili alle 4 aeree di carico, simmetriche rispetto al centro della piastra, così come descritte in precedenza. *SET_NODE_LIST_TITLE A-1 $# sid da1 1 $# nid1 nid2 6885 6886 4773 4774 4681 4682 4777 4778 4677 4678 6789 6790 6889 6890 6793 6794 da2 da3 da4 nid3 6887 4775 4683 4779 4679 6791 6891 6795 nid4 6888 4776 4684 4780 4680 6792 6892 6796 nid5 6837 4725 4633 4729 4629 6741 6841 6745 nid6 6838 4726 4634 4730 4630 6742 6842 6746 Tabella 5. 14 – Set_Node_List Carico. 114 nid7 6839 4727 4635 4731 4631 6743 6843 6747 nid8 6840 4728 4636 4732 4632 6744 6844 6748 CAPITOLO 5 – MODELLAZIONE NUMERICA CON LS-DYNA VERSION 970 Per applicare il carico in modo concentrato su ogni particella, si usa il comando Load_Noad_Set [12]. In questo modo si attribuisce ad ogni Set di nodi la corrispondente Curva di Carico (Load Curve). Per tener conto che si sta passando da una pressione, e quindi una forza per unità di superficie, ad una forza concentrata, la curva di carico dovrà essere moltiplicata per un fattore di scala, pari all’area di carico che compete ad ogni singola particella, che sarà pari a (2,5x2,5) cm2. *LOAD_NODE_SET $# nsid 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 dof 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 lcid 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 sf -6.250E-4 -6.250E-4 -6.250E-4 -6.250E-4 -6.250E-4 -6.250E-4 -6.250E-4 -6.250E-4 -6.250E-4 -6.250E-4 -6.250E-4 -6.250E-4 -6.250E-4 -6.250E-4 -6.250E-4 -6.250E-4 -6.250E-4 -6.250E-4 -6.250E-4 -6.250E-4 -6.250E-4 -6.250E-4 -6.250E-4 -6.250E-4 -6.250E-4 -6.250E-4 -6.250E-4 -6.250E-4 -6.250E-4 -6.250E-4 -6.250E-4 -6.250E-4 -6.250E-4 -6.250E-4 -6.250E-4 -6.250E-4 cid m1 m2 m3 Tabella 5. 15 – Load_Node_Set. Dove il dof indica la direzione in cui il carico agisce, il fattore di scala invece si pone negativo perché il carico è applicato verso il basso. 115 CAPITOLO 5 – MODELLAZIONE NUMERICA CON LS-DYNA VERSION 970 Le altre Card che completano il modello in SPH equivalgono a quelle definite per il modello FEM. Per rendere più realistica la nostra modellazione, è stato considerato anche l’effetto di Damping, impostando lo stesso al valore tipico per un calcestruzzo del 5%. Questo comando consente, infatti, di considerare lo smorzamento della velocità con la quale si muovono gli elementi. Tra le varie possibilità si è scelto il Damping_Frequency_Range [12], che consente di applicare l’effetto di smorzamento alla Part dell’elemento. *DAMPING_FREQUENCY_RANGE $# cdamp flow fhigh 0.050000 0.100000 100.00000 psid 1 Tabella 5. 16 – Damping. Una volta assegnata la costante di Damping cdamp, si definisce un range di frequenze, flow e fhigh, entro cui si considera l’effetto di smorzamento. 116 CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZO Capitolo 6 Legami Costitutivi del Calcestruzzo Un aspetto cruciale di questa modellazione risiede nella definizione delle caratteristiche meccaniche del calcestruzzo. Il Software di calcolo LSDyna Version 970 implementa più di duecento Legami Costitutivi, ognuno dei quali impiegati per la modellazione di materiali differenti. Si ha quindi la possibilità di scegliere tra un’ampia gamma di Material Model, secondo gli obiettivi che si vogliono perseguire e dei modelli che si vogliono creare. In maniera molto sintetica è possibile classificare i Material Model in funzione del tipo di materiale da modellare, delle caratteristiche peculiari ad essi associate, e dei metodi di discretizzazione con essi compatibili. In particolar modo è possibile distinguere modelli finalizzati alla modellazione di materiali plastici, compositi, ceramici, fluidi, vetrosi, idrodinamici, metallici, gommosi, schiumosi ed infine terreni e calcestruzzi. Inoltre, nel caso specifico della modellazione realizzata era necessario scegliere un Material Model che consentisse di considerare il così detto effetto di Strain-Rate, e il raggiungimento della condizione di rottura (Failure) [12]. Tra tutti i Material Model quelli che meglio rispondono a dette necessità sono lo Pseudo Tensor (Mat_016) e il Concrete Damage (Mat_072). 6.1 – Pseudo – Tensor(Mat_016) Nell’analisi di strutture sottoposte a carichi da esplosione e per grandi valori di deformazioni, i codici di calcolo Lagrangiani basati sulla teoria 117 CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZO degli elementi finiti, necessitano di uno strumento efficace per la modellazione del comportamento del materiale. In particolar modo per la modellazione d’elementi in calcestruzzo armato, l’implementazione di un’efficiente Material Model si è dimostrata complessa e variabile. Diversi modelli sono propriamente adatti per descrivere il comportamento costitutivo del calcestruzzo, che va dalla risposta elastica del materiale fino alla sua rottura. Tra questi si annovera lo Pseudo Tensor, che risulta essere uno dei migliori. Questo modello può essere impiegato definendo due superfici in funzione della pressione media p, una di rottura massima σmax, e l’altra di Δσ tensione residua σr [13]. σmax = a0 + σr = a0 f + p a1 + a2 p p a1 f + a2 p P Figura 6. 1 – Superficie di rottura massima e residua. È necessario associare al modello del materiale un equazione di stato, essa fornisce il valore corrente della pressione p come una funzione della deformazione volumetrica. In funzione della pressione si definisce una 118 CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZO superficie di snervamento o di rottura (Yeld o Failure), che limita il secondo invariante della parte deviatorica del tensore tensionale. La superficie superiore indica la tensione massima di snervamento del materiale σmax, al variare della pressione p, mentre quell’inferiore la tensione di rottura σfailed. Come si può osservare le due superfici sono definite in funzione di cinque parametri a0, a1, a2, a0f e a1f, ai quali è quindi necessario associare un valore numerico nella Card del materiale. Il codice di calcolo impiegato ai fini della modellazione, suggerisce un metodo semplice per la definizione di detti parametri, l’Internal Generation [14]. Quando si utilizza questo tipo di materiale per la modellazione del calcestruzzo, si ha la possibilità di definire i parametri della Card del materiale, in funzione della sola resistenza a compressione del calcestruzzo non confinato f’c. Questa viene, infatti, assunta come la tensione di rottura a compressione σf. Tutto questo è reso possibile assumendo semplicemente un valore negativo per il parametro a0, ad esempio a0 = - 1 [14]. In questo modo il parametro –a0 è considerato come un fattore di conversione tra l’unità di misura usata dal LS-Dyna per la pressione, e la stessa espressa in psi [14]. Inoltre, questo Material Model consente di considerare anche la presenza di una percentuale di armatura di rinforzo, di cui se ne definiscono le caratteristiche meccaniche. Per i suddetti motivi, il Mat_016 è raccomandato per l’analisi d’elementi strutturali in cemento armato soggetti a carichi impulsivi. A titolo d’esempio, si riporta di seguito la Card del programma LS-Dyna attraverso il quale si definisce le caratteristiche del materiale, impiegato 119 CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZO nella modellazione della piastra, qualora si volesse usare l’opzione Internal Generation: *MAT_PSEUDO_TENSOR_TITLE C.A. $# mid ro g 1 2500.0000 7.3486E+9 $# sigf a0 a1 9.7896E+6 -1.000000 0.000 $# er prr sigy 1.9990E+11 0.300000 3.8820E+8 $# x1 x2 x3 0.000 0.000 0.000 $# x9 x10 x11 0.000 0.000 0.000 $# ys1 ys2 ys3 0.000 0.000 0.000 $# ys9 ys10 ys11 0.000 0.000 0.000 pr 0.200000 a2 0.000 etan a0f 0.000 lcp a1f 0.000 lcr b1 0.000 per 0.527980 x4 0.000 x12 0.000 ys4 0.000 ys12 0.000 x5 0.000 x13 0.000 ys5 0.000 ys13 0.000 x6 0.000 x14 0.000 ys6 0.000 ys14 0.000 x7 0.000 x15 0.000 ys7 0.000 ys15 0.000 x8 0.000 x16 0.000 ys8 0.000 ys16 0.000 Figura 6. 2 – Card Material Model_016. Dove: ro g pr sigf a0 Calcestruzzo Densità di massa Modulo di elasticità a taglio Rapporto di Poisson Tensione di rottura a compressione Coesione per er prr sigy etan Acciaio % di Armatura Modulo di Young Rapporto di Poisson Tensione di snervamento Tensione tangenziale Tabella 6. 1 – parametri che definiscono la Card del Material Model. Nel momento in cui al parametro a0 si associa un valore negativo, il numero identificativo da associare all’equazione di stato (EOSid) nella Part del modello, si pone uguale a zero. In questo modo sarà automaticamente generata un equazione di stato Tabulated Compaction (EOS 8) in funzione dei soli valori f’c, e del Rapporto di Poisson ν. Questo tipo d’approccio è troppo semplificativo, e non consente di controllare quanto fatto in automatico dal software. Per questo motivo è preferibile assegnare tutti i parametri richiesti dalla Card del materiale, ad ognuno dei quali si associa un significato fisico. Lo Pseudo Tensor considera in maniera dissociata la risposta deviatorica e quella sferica del calcestruzzo durante la fase di carico e ricarico. 120 CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZO Durante la fase di carico iniziale o di ricarico, la parte deviatorica si mantiene elastica fino a raggiungere la superficie iniziale di snervamento (Yeld Surface), raggiunta la quale può ancora aumentare fino a raggiungere la superficie di rottura massima (Max Surface). Quando il provino di calcestruzzo è poi scaricato, la parte deviatorica del tensore delle tensioni raggiunge la superficie di rottura residua (Residual Surface). Così come mostrato nella seguente figura [13]. Figura 6. 3 – Andamento della superficie di rottura corrente Δσ, in funzione della tensione sferica p. La superficie di rottura corrente Δσ che limita la parte deviatorica dello stato tensionale, è definita come una combinazione lineare di due superfici, Δσm e Δσr, a loro volta definiti in funzione della tensione sferica p [13]. Δ σ = η Δ σ m + (1 − η ) Δ σ 121 r CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZO Dove: Δ σ Δ σ = a m r = a 0 0 f + + p a1 + a a1 f 2 p + a p 2 p Con Δσm s’indica la superficie di rottura massima, mentre con Δσr quella residua [13]. Nelle precedenti espressioni compare la tensione sferica p, che a sua volta è definita in funzione delle tensioni normali: p = − (σ x + σ y + σ z ) 3 Il parametro η indica la funzione di migrazione tra la superficie di rottura residua e quella massima, ed è definito in funzione di λ, quest’ultimo è una misura della deformazione plastica effettiva, ed indica il danno accumulato dal materiale. La funzione η = η(λ) è di tipo lineare, e va da 0 a 1, e da 1 a 0 [13]. La superficie di snervamento iniziale Δσy (Yeld Surface), è compresa tra quella di rottura massima e residua, Δσm e Δσr, e si esprime come segue: Δ σ y = η y Δ σ m + (1 − η y )Δ σ r Dove ηy = η(0), in altre parole è il valore iniziale di η prima ancora che abbia inizio la plasticizzazione del materiale, i risultati provenienti da prove di compressione tri-assiale sul calcestruzzo, hanno mostrato che la superficie di snervamento iniziale Δσy, dovrebbe essere circa il 45% di quella massima. Dato che le due superfici diventano parallele per grandi 122 CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZO valori di p, esse non possono propriamente rappresentare il punto di transizione tra il comportamento duttile e quello fragile. Di seguito si descrive il significato delle superfici di rottura[13]: Figura 6. 4 – Superfici di Rottura. Compressive Meridian La Compressive Meridian indica l’andamento della Δσm, i dati per la sua costruzione si ottengono solitamente attraverso prove sperimentali condotte su provini di calcestruzzo sottoposti a compressioni assiali non confinati, e prove di compressione tri-assiali con vari livelli di confinamento. I test usuali non forniscono in ogni modo risultati per valori di pressione inferiori a f’c/3. Per il modello originale Pseudo Tensor, sono necessari almeno due livelli di confinamento diversi da zero affinché la Compressive Meridian sia definita da tre parametri a0, a1 e a2. Questi tre parametri che definisco la superficie di rottura massima 123 CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZO Δσm, solitamente sovrastimano gli sforzi, quando sono estrapolati per valori inferiori a f’c/3. Tensile Meridian È noto che la Tensile Meridian della superficie di rottura per il calcestruzzo è solitamente inferiore rispetto alla Compressive Meridian. Dati sperimentali suggeriscono che il rapporto tra la Tensile e Compressive Meridian, denotato da ψ, è compreso tra 0,5, quando le pressioni sono negative, e 1, per livelli di confinamento elevati. Tensile Cutoff La Tensile Cutoff è inserita proprio per cercare di limitare i difetti del modello per valori bassi di pressione, citati nella definizione della Compressive Meridian. La Tensile Cutoff limita la tensione principale massima allo sforzo di trazione ft. Ciò in ogni modo non risolve il problema per valori di tensione sferica compresa tra 0 e f’c/3. Pressure Cutoff Il modello originale incorpora una Pressure Cutoff, che impedisce alla pressione di andare sotto il valore di ft/3. La Pressure Cutoff, non incide per le prove di trazione monoassiale, mentre limita la differenza di tensione principale al valore di ft/2 per una prova di trazione biassiale, e a ft/3 per una tri-assiale. Entrambi questi limiti contrastano con le evidenze sperimentali, le quali mostrano che in entrambi i casi, la differenza di tensione principale Δσ dovrebbe raggiungere approssimativamente ft. Quantunque la Pressure Cutoff sia raggiunta, lo stato delle tensioni corrente rimane in ogni modo inalterato. 124 CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZO Il comportamento elastico del materiale è descritto con lo Pseudo Tensor mediante la definizione dell’equazione di stato Tabulated Compaction (EOS8). Infatti, assegnando nell’EOS8 l’Unloading Bulk Modulus che è una costante di elasticità definita in funzione del Modulo di Young E, e del Rapporto di Poisson ν : K = E 3 (1 − 2 ν ) automaticamente in funzione di K il programma definisce un'altra costante d’elasticità, che è il Modulo di elasticità a Taglio G. Ciononostante, lo Pseudo Tensor contiene una serie di difetti, tra cui l’incapacità di considerare la dilatazione a taglio, normalmente osservata sui provini di calcestruzzo sottoposti a sollecitazioni di compressione. Tali difetti sono stati corretti mediante l’introduzione del nuovo modello Concrete Damage (Mat_072) [13]. 6.2 – Concrete Damage (Mat_072) Una prima differenza rispetto al modello originale Pseudo Tensor risiede nella definizione di una nuova Pressure Cutoff pc. Per valori negativi di pressione, la funzione di migrazione η, serve non solo per scalare la superficie di rottura corrente da quella massima a quella residua, ma anche per aumentare la pc da –ft a 0. Ciò avviene controllando la pressione calcolata dall’equazione di stato, e facendola coincidere con pc se non sarà soddisfatta la condizione secondo la quale deve essere p ≥ pc [13]. 125 CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZO Dove pc è uguale a –ft, se non è raggiunta la superficie di rottura massima, ed è uguale a –ηft, se invece è raggiunta. Questa modifica può quindi sovrascrivere la pressione calcolata dall’equazione di stato[13]. p c ⎧ − ft = ⎨ ⎩− η ft L’altra innovazione riguarda le superfici di rottura. Nel Concrete Damage, infatti, è inserita una terza superficie, indipendente dalle precedenti due. Tale superficie rappresenta quell’iniziale di snervamento, ed è definita in funzione di tre nuovi parametri a0y, a1y e a2y, così come segue [13]: Δ σ y = a 0 y p + a1y + a 2 y p Per quanto concerne le restanti due superfici, già viste nel modello precedente, anche in questo caso sono apportate delle modifiche. Dato che il calcestruzzo ha uno sforzo residuo in trazione nullo, si assume tale anche il parametro indipendente dalla pressione p che definisce la superficie di rottura residua, aof = 0. Sempre a proposito della superficie di rottura residua, per considerare l’intersezione tra questa e quella di rottura massima in un punto di transizione tra il comportamento duttile e quello fragile, s’inserisce un nuovo parametro a2f, mentre nel modello originale questo parametro era uguale per entrambe le superfici. In conclusione la superficie residua adesso assume la seguente espressione [13]: Δ σ r = p a1 f 126 + a 2 f p CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZO Nel nuovo modello, la superficie di rottura corrente dopo aver raggiunto quella di snervamento iniziale, e prima ancora di raggiungere quella di rottura massima, è definita come una combinazione lineare delle due: Δ σ = η (Δ σ m − Δ σ y )+ Δ σ y Dove il parametro η è sempre compreso tra 0 e 1, ed è ancora definito come una funzione della misura di deformazione plastica effettiva λ. Una volta raggiunta la superficie massima, quella corrente di rottura è ottenuta come interpolazione tra quella massima e quella residua: Δ σ = η (Δ σ m − Δ σ r )+ Δ σ r Nel nuovo modello, la funzione di danno η = η(λ), è assegnata in maniera tabulata dall’utente come una serie di valori (η, λ). Al variare di λ si ottengono valori di η compresi comunque tra 0 e 1. Quando λ = 0 anche η = 0, quando λ = λm allora η = 1, e torna ad annullarsi, quando λ assume valori maggiori di λm [13]. Finche λ non decresce, Δσ tende ad assumere i valori di Δσy, Δσm e Δσr. Quando λ ≤ λm, allora Δσ si ottiene come un’interpolazione lineare tra Δσy e Δσm, viceversa quando λ > λm, allora sarà data dall’interpolazione tra Δσm e Δσr [13]. La superficie di rottura massima non subisce nessuna modifica rispetto a quella vista nel modello originale. Riassumendo, per il nuovo modello le tre superfici di rottura, quella massima, residua e di snervamento, sono rispettivamente definite come segue [13]: 127 CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZO Δ σ Δ σ Δ σ m r y = a = p + 0 a1 + a 2 p p a1 = a f 0 y + a + 2 f p p a1y + a 2 y p In prossimità del punto in cui si osserva la transizione tra il comportamento fragile e quello duttile del materiale, avremo che sia la Δσy sia la Δσr, saranno limitate dalla Δσm [13]. 6.2.1 – Parametri che definiscono le superfici di rottura Vediamo come si determinano i parametri a0, a1 ed a2 che definiscono la superficie di rottura massima Δσm. Questi tre parametri dovrebbero essere determinati mediante prove di laboratorio su provini di calcestruzzo sottoposti a sollecitazioni di compressione assiale, e prove di compressione tri-assiale per diversi livelli di confinamento. Purtuttavia è possibile ottenere una stima di questi tre valori anche numericamente. Il primo dei tre, a0, rappresenta, infatti, il punto d’intersezione della superficie di rottura massima con l’asse delle ordinate, Δσ(p=0) = a0 [13]. Il secondo parametro, a1, si definisce come l’inverso del minimo della funzione Δσ: ⎡ d ⎢ dp ⎣ ⎤ Δ σ ⎥ ⎦ 128 = p = 0 1 a1 CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZO Infine, per grandi valori di tensione sferica p, il denominatore del secondo termine dell’equazione che definisce Δσm, è governato dal termine a2p, in quanto a1 diventa insignificante: Δ σ − a0 → 1 a2 quando p→∞ Per definire la superficie di snervamento iniziale Δσy, è invece necessario determinare i valori dei parametri a0y, a1y e a2y. Da dati sperimentali è possibile affermare che tale superficie sia il luogo dei punti per Δσ = 0,45Δσm, per un percorso di compressione di tipo triassiale. Ciò vuol affermare che preso un generico punto di coordinate (p, Δσm), appartenente alla superficie di rottura massima, il corrispondente punto sulla superficie iniziale di snervamento (p’, Δσy) sarà definito come: Δ σ y = 0, 45 Δ σ m e p' = p − 0,55 Δσ m 3 Da cui p può essere espresso in funzione di p’, mentre nota l’espressione di Δσm, Δσy sarà calcolato come [13]: ⎞ ⎛ p ⎟⎟ Δ σ y = 0, 45 ⎜⎜ a0 + a1 + a 2 p ⎠ ⎝ Quindi, assumendo p’ = 0, avremo che Δσy = a0y, per ricavare gli altri due parametri sarà sufficiente risolvere un sistema di due equazioni nelle due incognite a1y e a2y. Quando non si conoscono le superfici di rottura per un nuovo calcestruzzo da modellare, per il qual è nota la sola resistenza a compressione del cls non confinato f’c,new, i parametri a0n, a1n ed a2n, che 129 CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZO definiscono la nuova superficie di rottura Δσn, possono essere calcolati a partire dai parametri noti di un altro calcestruzzo f’c,old. In questo caso viene suggerito di definire un fattore di scala r come il rapporto tra le resistenze a compressione del calcestruzzo non confinato, del nuovo e del vecchio calcestruzzo [13]: r= f c', new f c', old I nuovi parametri sono quindi calcolati come: a0 n = a0 r a1n = a1 a2 n = a2 / r Allo stesso modo si può pensare di calcolare i parametri che definiscono l’andamento della Yeld Surface (a0y, a1y ed a2y), mentre i coefficienti che determinano la Failure Surface (a1f ed a2f), si pongono uguali ad a1n ed a2n [13]. A tal fine si fa riferimento alle caratteristiche meccaniche del calcestruzzo impiegato per lo svolgimento di una prova sperimentale condotta presso un centro di ricerca Svedese, per la quale si prevedeva un blocco di calcestruzzo ad elevata resistenza, sottoposto ad un carico da impatto [19]. Le prove condotte sono state in seguito modellate con il codice di calcolo LS-Dyna Version 960. Note le caratteristiche meccaniche del calcestruzzo modellato, e in particolar modo la sua resistenza a compressione f’c,old, ed altresì note i parametri assegnati nella Card del Material Model Concrete Damage, alla luce di quanto detto in precedenza si sono calcolati i parametri relativi al calcestruzzo da modellare f’c,new: 130 CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZO Caratteristiche dei Materiali Old Material New Material Ec[Gpa] 58 Ec[Gpa] 17636643,45 Ec [Mpa] 58000 Ec [Mpa] 17636,64 f'c,old[Mpa] 153 f'c,new [Mpa] 13,79 f'c,old[Pa] 153000000 f'c,new [Pa] 13786202,43 Fattore di Scala 0,090105898 r Parametri LS-Dyna Version 970 a0,old a1,old a2,old 5,06E+07 4,56E+06 6,57E-10 a0,new a1,new = a1f,new a2,new = a2f,new a0y,old 2,28E+07 a0y,new 2,05E+06 a1y,old a2y,old 1,033 a1y,new a2y,new 1,033 0,465 1,46E-09 0,465 7,29E-09 1,62E-08 Tabella 6. 2 – Parametri numerici che definiscono le superfici di rottura d’input per LS-Dyna. Durante la fase di carico, la superficie di rottura corrente Δσ, migra tra la superficie di rottura massima e una tra quella di snervamento iniziale e di rottura residua [13]. Δ σ = η (Δ σ max − Δ σ min )+ Δ σ min Quando λ ≤ λm, allora Δσmin coincide con Δσy, viceversa, quando λ > λm in tal caso Δσmin coincide con Δσr. Allo stesso modo che per il Modello Originale Pseudo Tensor, anche in questo caso η si esprime come una funzione di λ, che indica la deformazione plastica effettiva. L’unica differenza risiede nell’espressione di λ, che in questo caso varia a seconda che la parte sferica del tensore delle tensioni p, sia maggiore o minore di 0 [13]. 131 CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZO Nell’originale Material Model (Mat_016), la misura della deformazione plastica effettiva λ, è definita come segue [13]: ε λ = dε p ∫ 0 ⎛ ⎜⎜ 1 + ⎝ p p ft ⎞ ⎟⎟ ⎠ b1 Dove l’incremento di deformazione plastica effettiva è dato da: dε p ( 2 / 3 )ε = p ij ε p ij Nel Concrete Damage sono apportate due modifiche nel definire il parametro λ. Innanzitutto, si introduce un fattore sperimentale rf, che tiene conto del miglioramento di velocità (rate enhancement), inoltre il parametro b1 è sostituito da b2 per valori di pressione minori di 0 [13]: λ = ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ε ∫ 0 ε ∫ 0 d ε p r f p r f p ⎛ p ⎜ 1 + ⎜ r f ⎝ d ε p ⎛ ⎜ 1 + ⎜ ⎝ p r f f f b 1 t ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ b 2 t ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ p ≥ 0 ; p < 0 ; Quando la pressione varia tra 0 e –ft, dove con ft s’indica la resistenza a trazione del calcestruzzo, il parametro λ rimane nullo, così come η. L’equazione di stato riduce la pressione a –ft e la mantiene costante. Per implementare la caduta di pressione, in seguito alla rottura per trazione, può essere aggiunto al danno deviatorico preesistente un incremento di danno volumetrico, ogni qual volta il percorso di tensione è chiuso al percorso che si osserva in un test di trazione tri-assiale. Per limitare gli 132 CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZO effetti di questo cambiamento, l’incremento del danno è moltiplicato da un fattore fd, definito come segue [13]: fd Dove ⎧ ⎪1 − = ⎨ ⎪0 ⎩ 3J 3J2 / p 0 ,1 3J 2 / p < 0 ,1 3J se / p 2 se 0 ≤ 2 ≥ 0 ,1 è il rapporto che misura la ristrettezza di tale 3J percorso, in cui p è la tensione sferica, mentre 2 = Δ σ , ed è la superficie di rottura per le tensioni deviatoriche. Il termine J2, che ivi compare nell’espressione di Δσ, è il secondo invariante del tensore delle tensioni, così definito: J 2 = σ 2 1 + σ 2 2 + σ 2 3 2 La misura della deformazione plastica effettiva modificata per il Concrete Damage, è incrementata da un Δλ, definito come segue [13]: Δ λ = b 3 f d k d (ε v − ε v , yeld ) Dove b3 è un parametro definito dall’utente, di cui si dirà in seguito, kd è un fattore scalare interno, εv è la deformazione volumetrica, e infine εv,yeld è la deformazione volumetrica quando si raggiunge lo snervamento del materiale [13]: k d = − ε k ;ε 3 ft v 133 v = − 1 ε 3 z CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZO Per determinare l’andamento della funzione di danno η = η(λ), che consente di definire la superficie di rottura corrente Δσ, è quindi necessario calcolare i tre parametri b1, b2 e b3 [13]. I parametri b2 e b3 governano l’andamento del ramo di softening della curva tensio-deformativa del materiale, per un calcestruzzo sottoposto ad una prova di trazione rispettivamente monoassiale e tri-assiale, quando la tensione si muove dalla superficie di rottura massima a quella residua. L’apertura delle fessure sul modello, sono in ogni modo dipendenti dalle dimensioni e dalle caratteristiche della Mesh. Un modo per eliminare questa dipendenza è imporre che l’area sottesa alla curva σ−ε sia uguale a Gf/h. Dove Gf è l’energia di frattura, ed h la dimensione del singolo elemento che costituisce la Mesh. Quando la localizzazione della fessura capita in un elemento, allora h coincide con wc, dove wc è l’ampiezza della fessura, ed è tipicamente contenuta tra 1 e 6 volte la dimensione massima degli inerti del calcestruzzo[13]. Invece, in accordo con i codici Europei (CEB, FIP) l’energia di frattura varia tra 40 e 175 N/m [22]. Questo modello assicura un’indipendenza dalle dimensioni della Mesh, che consente di apprezzare anche l’apertura delle fessure sul modello. Ciononostante, la mappa topologica della Mesh potrebbe incidere sull’orientamento delle fessure, sia in condizioni statiche sia dinamiche. Il parametro b2 è definito facendo variare l’andamento della curva σ−ε, definita per una prova di trazione monoassiale, fino a che l’area sottesa dalla curva non coincide con Gf/h. Lo stesso procedimento iterativo è eseguito anche nella determinazione di b3, con l’unica differenza che in questo caso si fa affidamento ai dati sperimentali provenienti da una prova di trazione tri-assiale idrostatica e non monoassiale. Questi due 134 CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZO parametri sono di fondamentale importanza, quando l’elemento analizzato è a debole armatura. Il parametro b1 è determinato allo stesso modo che per i precedenti, in questo caso il coefficiente numerico è tarato su dati sperimentali provenienti da test a compressione monoassiale al variare del livello di confinamento. Alla luce di quanto detto, la superficie di rottura corrente Δσ dipende indirettamente dai tre parametri b1, b2 e b3 [13]. È possibile, infatti, schematizzare le seguenti dipendenze: Δσ = f(η) → η = η(λ) → λ = f(b1 o b2), mentre l’incremento del parametro di danno Δλ = f(b3). A loro volta b1, b2 e b3 si esprimono come una funzione di Gf e h. Queste dipendenze sono implementate dallo stesso codice di calcolo LSDyna Version 970, al quale è necessario assegnare tra gli input che definiscono le caratteristiche del materiale, oltre ai parametri b1, b2 e b3, anche in maniera tabulata la curva di danno η = η(λ). Non avendo la possibilità di eseguire prove sperimentali finalizzate alla caratterizzazione dei materiali, si è costretti ad assumere per questi tre parametri b1, b2 e b3, tipici valori definiti per un calcestruzzo di scarsa qualità, al quale compete un basso valore d’Energia di Frattura Gf, così come per il calcestruzzo impiegato nello svolgimento delle prove sperimentali modellate. A detti valori sarà associata la corrispondente funzione di danno, definita così come descritto in precedenza: 135 CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZO Funzione di Danno η = η(λ) 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 Grafico 6. 1 – Funzione di Danno, calcolata per b1 = b2 = b3 = 0,1. Tra i due Material Model in precedenza descritti, Pseudo Tensor e il Concrete Damage, per la modellazione del calcestruzzo si è deciso di impiegare questo ultimo. Essendo, infatti, il Concrete Damage un evoluzione dello Pseudo Tensor. Di seguito per semplicità d’esposizione si riporta la Card del Material Model così come è stata definita per la modellazione della piastra: *MAT_CONCRETE_DAMAGE_TITLE C.A. $# mid ro pr 1 2500.0000 0.200000 $# sigf a0 a1 a2 1.3790E+6 4.68E+06 0.465 7.11E-09 $# a0y a1y a2y a1f a2f 2.11E+06 1.033 1.58E-08 0.465 7.29E-09 $# per er prr sigy etan 0.00528 1.999E+11 0.300000 3.8820E+8 $#lambda-1 lambda-2 lambda-3 lambda-4 lambda-5 0.000 0.02E-3 2.80E-03 41.0E-03 $#lambda-9 lambda-10 lambda-11 lambda-12 lambda-13 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 $# nu-1 nu-2 nu-3 nu-4 nu-5 0.000 1.000000 0.150000 0.000 b1 0.100000 lcp 38 lambda-6 b2 0.100000 lcr 39 lambda-7 b3 0.100000 nu-6 nu-7 nu-8 lambda-8 Tabella 6. 3 – Input per LS-Dyna del material Concrete Damage, definiti per la modellazione della piastra. 136 CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZO Dove, oltre ai parametri in precedenza descritti e calcolati, ao, a1, a2, aoy, a1y, a2y, a1f, a2f, b1, b2 e b3, sono presenti altri parametri che definiscono le caratteristiche del calcestruzzo: • mid è il numero identificativo del Material Model; • ro è il peso specifico del calcestruzzo; • pr è il Rapporto di Poisson; • sigf è la tensione di rottura a trazione del calcestruzzo, calcolata come un decimo di quella a compressione f’c. Le caratteristiche dell’armatura meccanica sono invece: • per indica la percentuale di armatura nella sezione; • er è il Modulo di Elasticità longitudinale di Young; • prr è il Rapporto di Poisson; • sigy è la tensione di snervamento dell’acciaio in condizione di carico quasi statiche. Con lcp (load curve principal) e lcr (load curve rinforcement), si richiamano rispettivamente le curve di Strain-Rate relative al materiale principale, il calcestruzzo, e al materiale di rinforzo, l’acciaio. Queste curve sono definite così come di seguito descritto [12]. 6.4 – Dynamic Increase Factor (DIF) Il Dynamic Increase Factor (DIF), è un coefficiente numerico adimensionale, che moltiplicato per la resistenza meccanica del calcestruzzo, calcolata in condizioni di carico quasi statico, fornisce una 137 CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZO misura delle caratteristiche dinamiche, al variare della velocità di deformazione ε (Strain Rate). La velocità di deformazione non è altro che la variazione della deformazione al variare del tempo [18]. Per la simulazione numerica, è di fondamentale importanza definire l’andamento del DIF in funzione della velocità di deformazione. Trattandosi di un elemento strutturale in cemento armato, sottoposto all’azione dinamica prodotta da un’esplosione, si avrà una velocità di deformazione molto elevate, comprese tra 10 sec-1 e 1000 sec-1 [17]. Per valori così elevati di Strain-Rate, le evidenze sperimentali hanno mostrato un incremento di resistenza del calcestruzzo sia a compressione ma soprattutto a trazione. Il DIF a compressione in alcuni casi è maggiore di 2, mentre per la resistenza a trazione può raggiungere valori maggiori di 6 [17]. Per l’armatura metallica di rinforzo, si può arrivare ad un incremento di resistenza maggiore del 50% [17]. Questo incremento di resistenza determina quindi un miglioramento del comportamento meccanico d’entrambi i materiali. Inoltre, essendo la risposta dell’elemento strutturale in c.a. molto dipendente dal comportamento a trazione del calcestruzzo, l’aumento di resistenza a trazione, enfatizza l’importanza che assume la descrizione del comportamento dinamico del materiale. Volendo quindi considerare il cosiddetto effetto di Strain-Rate, nel comportamento a compressione e a trazione del calcestruzzo, sottoposto ad un carico dinamico impulsivo, si è scelto di simulare numericamente la prova sperimentale impiegando il software LS-Dyna [11]. Infatti, tra i diversi legami costitutivi che si possono implementare con questo codice di calcolo strutturale, alcuni di questi forniscono la possibilità di 138 CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZO descrivere il comportamento costitutivo di un materiale in funzione della velocità di deformazione. Al variare del Material Model, scelto per la modellazione del materiale, il programma fornisce tre diverse opzioni nell’assegnare l’effetto di Strain-Rate [12]: • Cowper and Symonds. Questa prima scelta si fonda sulla teoria di Cowper and Symonds. In questo caso si assegnano nella Card che definisce le caratteristiche del materiale, due costanti C e p. In funzione delle quali il programma calcola un fattore amplificativo (DIF) del tipo: ⎞ ⎛ ⎜ ε ⎟ 1 + ⎜ ⎜ C ⎟⎟ ⎠ ⎝ • 1 p Al variare della velocità di deformazione ε , il fattore amplificativo che ne consegue, è moltiplicato per la resistenza meccanica del materiale, migliorandone il comportamento sotto l’azione di carichi dinamici. • Legame Tensione-Deformazione Parametrico. In questo caso, durante la fase d’input, s’inseriscono i tratti plastici del legame costitutivo del materiale, ricavati per diversi valori di ε , formando così una famiglia di legami costitutivi. In questo modo, al variare della velocità di deformazione, il programma attinge da legami costitutivi diversi, il valore della corrispondente tensione. 139 CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZO • Curva di Strain-Rate. Il modo più semplice per assegnare l’effetto di Strain-Rate, consiste nel definire una curva che lega alla velocità di deformazione il corrispondente DIF. Definita e in seguito assegnata la Curva di Strain-Rate alla Card del Material Model, al variare della velocità di deformazione, il programma estrapola da questa curva il corrispondente valore del DIF. Questo ultimo moltiplica la tensione di rottura a trazione σf, calcolata in condizioni di carico QuasiStatico, ed assegnata nella Card che definisce le caratteristiche meccaniche del materiale. Così facendo al variare della velocità di deformazione, e quindi del corrispondente DIF, si avranno valori variabili di resistenza a trazione. Sia lo Pseudo-Tensor sia il Concrete-Damage, che si è scelto di impiegare nella modellazione del calcestruzzo, utilizzano quest’ultima possibilità nell’assegnare l’effetto di Strain-Rate. Inoltre, mediante l’assegnazione di due curve ε –DIF, definite rispettivamente per il calcestruzzo e per l’acciaio, si avrà la possibilità di considerare il fenomeno in maniera disaccoppiata per i due materiali, tra i quali si considera il calcestruzzo principale e l’armatura di rinforzo secondaria. Ovviamente, ciò presuppone la conoscenza delle curve di Strain-Rate per entrambi i materiali. 6.4.1 – Definizione della Curva di Strain-Rate Nel definire l’andamento del DIF in funzione della velocità di deformazione, si è scelto di utilizzare il modello analitico proposto dal CEB-FIP Model Code 1990 [20]. Questo modello consente di calcolare, 140 CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZO in funzione della velocità di deformazione, il valore numerico del DIF per il calcestruzzo, sia a trazione sia a compressione. 6.4.2 – Origini della formulazione CEB-FIP La formulazione proposta per il calcolo del DIF in funzione della velocità di deformazione, nasce ovviamente da osservazioni sperimentali e modelli numerici. Queste prove, condotte per caratterizzare il comportamento a compressione e a trazione del calcestruzzo, sotto l’azione di carichi dinamici, hanno evidenziato come l’effetto di StrainRate sul calcestruzzo, sia a trazione sia a compressione, si possa esprimere attraverso un fattore adimensionale (DIF), inteso come il rapporto tra lo sforzo dinamico e quello statico. Le prove sono state condotte sottoponendo un provino di calcestruzzo cilindrico, di cui sono note a priori le caratteristiche meccaniche, per una velocità di deformazione Quasi-Statica, ad un carico dinamico-impulsivo. A diversi intervalli di velocità di deformazione si misurano valori differenti di sforzi di trazione o compressione dinamici. Il DIF è semplicemente calcolato come rapporto tra le due caratteristiche meccaniche, quella dinamica e quella statica. Operando un confronto tra i dati sperimentali disponibili, e i risultati conseguiti nel definire la curva di Strain-Rate con il modello teorico raccomandato dal CEB-FIP, si è giunti alla calibrazione del Model Code 1990, secondo il quale il DIF per sforzi di compressione per il calcestruzzo sarà dato da [20]. f c ⎛ ε ⎞ =⎜ ⎟ f cs ⎜⎝ ε s ⎟⎠ 1.026α ⎛ ε fc = γ s ⎜⎜ f cs ⎝ ε s per ε ≤ 30 s-1 1 ⎞3 ⎟⎟ ⎠ per ε > 30 s-1 141 CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZO Dove: • fc è lo sforzo di compressione dinamico alla velocità di deformazione ε; • fcs è lo sforzo di compressione statico alla velocità di deformazione εs ; • fc f cs è il Dynamic Increase Factor (DIF); • ε è la velocità di deformazione compresa tra 30 x 10-6 sec-1 e 300 sec-1; • εs = 30 x 10-6 sec-1, è la velocità di deformazione quasi statica a compressione; • log γ s = 6 . 156 α − 2 • α= 1 ⎛ f ⎞ ⎜⎜ 5 + 9 cs ⎟⎟ f co ⎠ ⎝ ; ⇒ γ s = 10 6 . 156 α − 0 . 492 ; fco = 10 Mpa Questa formulazione analitica, valida per il solo calcestruzzo in compressione, è stata ricavata su basi sperimentali. Invece, il DIF per gli sforzi di trazione è dato da [20]: f t ⎛ ε ⎞ =⎜ ⎟ f ts ⎜⎝ ε s ⎟⎠ 1.016δ ⎛ ε ft = β ⎜⎜ f ts ⎝ ε s per ε ≤ 30 s-1 1 ⎞3 ⎟⎟ ⎠ per ε > 30 s-1 142 CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZO Dove: • ft è lo sforzo di trazione dinamico alla velocità di deformazione ε; • fts è lo sforzo di trazione statico alla velocità di deformazione εs; • ft fts è il Dynamic Increase Factor (DIF); • ε è la velocità di deformazione compresa tra 3 x 10-6 sec-1 e 300 sec-1; • εs = 3 x 10-6 sec-1, è la velocità di deformazione quasi statica a trazione; • log β = 7 . 11δ − 2 . 33 ⇒ β = 10 • δ= 1 ⎛ f ⎞ ⎜⎜10 + 6 ts ⎟⎟ f co ⎠ ⎝ ; 7 . 11 δ − 2 . 33 ; fco = 10 Mpa Da queste espressioni si evince che, la relazione che sussiste tra il DIF e la velocità di deformazione ε, riportate in un grafico e in scala logaritmica, è di tipo bilineare, con un cambio d’inclinazione che si ha per ε = 30 sec-1. Inoltre, più scadente è la qualità del calcestruzzo adottato, e maggiore sarà il valore del DIF, essendo sempre più piccolo il valore dello sforzo di trazione o di compressione, misurato per una condizione di carico Quasi-Statica [20]. 143 CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZO Questo modello è stato impiegato per la simulazione numerica, nelle pagine a seguire si riportano in maniera schematica i risultati così ottenuti: Compres. εs' [sec-1] 30x10-6 Trazione εs' [sec-1] 3x10-6 Tabella 6. 4 – Velocità di deformazione quasi statica. fcs [Mpa] 13,79 fcs [Mpa] 1,38 fco [Mpa] α γ δ β 10,00 0,057 0,023 0,092 0,021 Tabella 6. 5 – Caratteristiche statiche del calcestruzzo e parametri numerici utilizzati per il calcolo delle curve di Strain-Rate. Si riportano di seguito le Curve di Strain-Rate impiegate nella modellazione: DIF Calcestruzzo ε' [sec-1] DIF compressione DIF trazione 0,000003 3,00E-05 3,00E-04 3,00E-03 3,00E-02 0,3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 32 -----1,000 1,145 1,312 1,503 1,721 1,971 2,053 2,103 2,139 2,167 2,191 2,211 2,228 2,244 2,258 2,307 1,000 1,241 1,541 1,912 2,373 2,946 3,656 3,902 4,053 4,164 4,252 4,326 4,389 4,444 4,493 4,538 4,670 144 CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZO 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60 62 64 66 68 70 72 74 76 78 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 100 2,354 2,399 2,443 2,485 2,526 2,565 2,603 2,640 2,677 2,712 2,746 2,780 2,812 2,844 2,876 2,906 2,936 2,966 2,994 3,023 3,050 3,078 3,104 3,131 3,156 3,182 3,207 3,232 3,256 3,280 3,304 3,327 3,350 3,372 4,766 4,857 4,946 5,031 5,114 5,193 5,271 5,346 5,420 5,491 5,560 5,628 5,694 5,759 5,822 5,884 5,945 6,005 6,063 6,120 6,176 6,231 6,285 6,339 6,391 6,443 6,493 6,543 6,593 6,641 6,689 6,736 6,782 6,828 Tabella 6. 6 – Curve di Strain-Rate per il calcestruzzo a Trazione e Compressione adottate nella modellazione. 145 CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZO DIF (Calcestruzzo) 10,0 DIF Compressione Trazione 1,0 1E-05 0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000 ' ε Grafico 6. 2 – Funzione Bilineare in scala logaritmica del DIF per il calcestruzzo. Dal grafico precedente si può facilmente osservare come l’aumento di resistenza a trazione sia più del doppio di quello a compressione, ed inoltre sì evidenzia l’andamento della curva bilineare, con il cambio d’inclinazione intorno al valore di ε = 30 sec-1. Per convenzione il codice di calcolo LS-DYNA considera positive le deformazioni di trazione e negative quelle di compressione [11], e così anche le rispettive velocità di deformazione. In conclusione, si è definita un'unica curva di Strain-Rate, assegnando per valori negativi di velocità di deformazione l’andamento del DIF a compressione, e per valori positivi l’andamento del DIF a trazione: 146 CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZO Grafico 6. 3 – Input in LS-Dyna della Curva di Strain-Rate a Compressione e Trazione per il calcestruzzo. Avendo già premesso che il Material Model scelto per la simulazione numerica permette di considerare in maniera disaccoppiata gli effetti benefici di Strain-Rate per l’acciaio e per il calcestruzzo, si dovrà definire la curva ε -DIF anche per l’acciaio. Per gli acciai da armatura lenta, il bollettino n° 187 del CEB-FIP suggerisce una formulazione analitica per il calcolo del DIF, basato sul modello di Johnson and Cook. Questo ultimo, infatti, è tra tutti i modelli teorici, quello che più si avvicina ai risultati dei test sperimentali condotti su questo tipo di materiale. Si ottengono così, per un tipico acciaio da carpenteria laminato a caldo la seguente formulazione, valida per la sola tensione di snervamento: ⎛ 6.0 ⎞ ⎛ ε ⎞ = 1+ ⎜ ⎟ln⎜⎜ ⎟⎟ ⎜ f ⎟ ε f ys ⎝ ys ⎠ ⎝ 0 ⎠ f yd 147 CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZO Dove: fyd è la tensione di snervamento dinamica; fys è la tensione di snervamento statica; ε è la velocità di deformazione; ε0 è la velocità di deformazione Quasi-Statica, e si assume pari a 5·10-10 s-1; Il DIF adoperato per l’acciaio sarà quindi dato da: DIF (Acciaio) fys [Mpa] 388,17 ε0' [sec ] ε' [sec-1] 5E-10 -1 0,0000000005 3,00E-05 3,00E-04 3,00E-03 3,00E-02 0,3 2 6 10 14 18 22 26 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 104 Ln(ε/ε0) 0,000 11,002 13,305 15,607 17,910 20,212 22,110 23,208 23,719 24,055 24,307 24,507 24,675 24,818 24,972 25,105 25,223 25,328 25,424 25,511 25,591 25,665 25,734 25,798 25,859 25,916 25,970 26,022 26,061 148 1,000 1,170 1,206 1,241 1,277 1,312 1,342 1,359 1,367 1,372 1,376 1,379 1,381 1,384 1,386 1,388 1,390 1,392 1,393 1,394 1,396 1,397 1,398 1,399 1,400 1,401 1,401 1,402 1,403 CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZO 108 112 116 120 124 128 132 136 140 144 148 152 156 160 164 168 172 174 26,099 26,135 26,170 26,204 26,237 26,268 26,299 26,329 26,358 26,386 26,414 26,440 26,466 26,492 26,516 26,540 26,564 26,575 1,403 1,404 1,405 1,405 1,406 1,406 1,407 1,407 1,407 1,408 1,408 1,409 1,409 1,409 1,410 1,410 1,411 1,411 Tabella 6. 7 – DIF a trazione adoperato per L’acciaio. DIF (Acciaio) 1,6 1,5 DIF 1,4 1,3 Trazione 1,2 1,1 1,0 0 20 40 60 80 100 120 140 160 ' ε Grafico 6. 4 – Curva di Strain-Rate a trazione adoperato per l’acciaio. 6.3 – Equation of State Form 8 (Tabulated Compaction) Nel momento in cui si sceglie di adottare i Material Model Pseudo Tensor o Concrete Damage per la modellazione del calcestruzzo, in entrambi i casi sarà necessario per la definizione del modello, associare a questi materiali un equazione di stato [11]. 149 CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZO Nella trattazione teorica dei due Material Model, si fa espressa richiesta dell’impiego dell’Equazione di Stato Tabulated Compaction. Questa equazione esprime la Pressione Media p in funzione della Deformazione Volumetrica εv [11]. p = C (ε v ) + γ T (ε v )E (6 . 1 ) La pressione così calcolata sarà impiegata dal software per la definizione delle varie superfici di rottura, in precedenza introdotte nella descrizione dei Legami costitutivi del calcestruzzo. Quella che indicata con p non è altro che la parte sferica del tensore delle tensioni, o tensione sferica, definita come il valore medio delle tensioni normali principali σ1, σ2 e σ3. Compito dell’utente è quello di assegnare in maniera tabulata i parametri C, γ, T ed E, da cui dipende la pressione. Dove: • C: Pressione espressa in Pa; • γ: Coefficiente numerico adimensionale; • T: temperatura espressa in gradi Kelvin; • E: è l’energia interna. Invece, la deformazione volumetrica εv è definita come il logaritmo naturale del volume relativo V (LnV = εv). La deformazione volumetrica εv di un elemento solido, quale ad esempio un semplice prisma di dimensioni iniziali x0, y0 e z0, definite in un sistema di riferimento (x, y, z), si può calcolare come: ε v = ΔV V − V0 = = ε1 + ε V0 V0 150 2 + ε 3 CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZO Dove: • V0 è il volume iniziale, V0 = (x0 y0 z0); • ΔV è la variazione di volume, ΔV = Δx Δy Δz Δx = εx xo ; Δy = εy yo ; Δz = εz zo; • V è il volume finale o relativo, V = V0 + ΔV; Pertanto, il volume relativo V, da cui dipende la deformazione volumetrica εv, si esprime come: V = (x0 y0 z0) + [(εx xo)(εy yo)(εz zo)] Attraverso semplici passaggi matematici, e semplificando i termini d’ordine superiore, si giunge alla seguente conclusione: V = V0 [1 + εx + εy + εz] ⇒ V = V0 [1 + εv] Sapendo che la deformazione volumetrica si esprime come somma delle tre deformazioni normali. In condizioni di simmetria assiale le due deformazioni radiali εx e εy sono tra loro uguali, quindi: εv = εz + 2 εx sapendo che il coefficiente di Poisson ν, esprime il rapporto che sussiste tra deformazione assiale e quella radiale, quest’ultima si esprime in funzione di quell’assiale come: εx = −ν εz ⇒ εv = εz (1- 2ν) 151 CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZO avendo assunto per convenzioni, positive le deformazioni assiali se di contrazione, e negative le rispettive deformazioni radiali di dilatazione. In definitiva il volume relativo V si esprime come: V = V0 [1 + εz (1- 2ν)] Per semplicità si assumerà un volume iniziale unitario (V0 = 1). Nella Card dell’EOS8 si possono tabulare fino ad un massimo di 10 valori di LnV. Ciononostante, anche soli due valori sono sufficienti per ottenere un’estrapolazione della pressione [11]. L’andamento della pressione in funzione della deformazione volumetrica, è illustrato nel successivo grafico [11]: Grafico 6. 5 – Legame costitutivo Pressione-Deformazione Volumetrica. Durante la fase di carico, la pressione segue l’andamento dettato dall’equazione 6.1, quando il materiale è invece scaricato, la pressione segue un percorso deformativo, la cui inclinazione è data dal Bulk 152 CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZO Modulus di Unloading, che è a sua volta funzione della deformazione volumetrica. Il Bulk Modulus è una costante di elasticità del materiale, definita in funzione del Modulo di Young e del Rapporto di Poisson: K = E 3 (1 − 2 υ ) Il Bulk Modulus viene calcolato in funzione del Modulo di Young dinamico Ed, allo Strain-Rate di 400 sec-1, essendo questo il massimo valore di velocità di deformazione che si consegue nella modellazione numerica, secondo CEB-FIP Model Code 1990 [20]. ν 0,2 ε' [sec-1] 400,00 Es [Mpa] 17636,64 Ed [Mpa] 27018,69 Ku [Pa] 1,501E+10 Tabella 6. 8 – Bulk Modulus. Ad ogni valore di εv in maniera tabulata è associato nella Card dell’Equazione di Stato il valore costante di K, così come sopra definito. Scaricando il materiale la pressione si riduce fino ad annullarsi, e si osserva un valore residuo di deformazione volumetrica. Durante la fase di ricarico, la pressione aumenta seguendo lo stesso percorso deformativo, fino a ricongiungersi con la curva descritta dall’equazione 6.1, nello stesso punto in cui inizia la fase di scarico, per poi continuare ad aumentare. 153 CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZO Assumendo γ = 0, l’Equazione di Stato si riduce in una forma più semplice: p = C (ε v ) In questo modo per definire l’Equazione di Stato sarà sufficiente assegnare, in maniera tabulata, ad ogni valore di εv il corrispondente valore di pressione p. Non avendo a disposizione dati provenienti da prove sperimentali, finalizzate alla caratterizzazione dei materiali impiegati per lo svolgimento della prova, si è costretti a ricavare numericamente questo legame costitutivo del calcestruzzo (εv – p). A tal fine si è utilizzato il modello numerico Microplane Model for Brittle-Plastic Material, proposto da Bažant Z P, Professore presso il Dipartimento d’Ingegneria Civile, della Northwestern University, Evanston [21]. Il modello formulato da Bažant e Prat nell’1988, è stato calibrato e verificato su base sperimentale, comparando i risultati numerici con i risultati di diverse prove di compressione tri-assiali. Le superfici di rottura sono definite dalle stesse funzioni utilizzate nel Microplane Model di Bažant and Prat 1988, per la relazione tensiodeformativa volumetrica e deviatorica. A noi interessa definire la relazione di tipo volumetrica, che sussiste tra la tensione e la deformazione (σv, εv). Nella teoria classica della plasticità, una volta definita la superficie di snervamento (Yeld Surface), la deformazione plastica inizia a crescere nel momento in cui la tensione raggiunge detta superficie. Invece, nel modello proposto le regioni elastiche e plastiche non sono separate, si 154 CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZO assume quindi che la transizione continua della superficie di rottura (Failure Surface) tra le due regioni, avvenga mediante una deformazione plastica equivalente [21]. La relazione tra tensione e deformazione volumetrica si può definire mediante la seguente relazione: σ f v ' c t −s ⎡⎛ ε pl ⎞ ⎛ ε pl ⎞ ⎤ Ec ⎟⎟ ⎥ ε ⎟ + ⎜⎜ = ⎢⎜1 + 1 − 2 υ ⎢ ⎜⎝ a ⎟⎠ b ⎠ ⎥⎦ ⎝ ⎣ pl Dove: • σv è la tensione volumetrica, che in condizione di carico idrostatiche sarà equivalente alla sola σ3. Essendo σv = p = (σ1 + σ2 + σ3)/3, in condizioni idrostatiche le tre tensioni principali sono uguali tra loro, quindi p = σv = σ3. • εpl è la deformazione plastica. Sapendo che la deformazione volumetrica è somma delle due aliquote, plastica ed elastica, sarà εpl = εv – εel. La deformazione elastica εel, viene calcolata come rapporto tra la pressione p, incognita del problema, e il Bulk Modulus, in precedenza calcolato. • f ’c è la resistenza a compressione del calcestruzzo non confinato. Il vantaggio nell’utilizzare questo metodo risiede proprio nella possibilità d’adimensionalizzare la tensione σv rispetto alle caratteristiche meccaniche del calcestruzzo, espresse mediante il parametro f’c. • a, b, s e t sono coefficienti numerici adimensionali, definiti mediante prove sperimentali. Nel momento in cui si definisce la superficie di rottura relativa ad uno stato tensionale idrostatico, tali coefficienti sono determinati mediante i risultati di prove 155 CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZO idrostatiche tri-assiali. Si è scelto di utilizzare i coefficienti definiti da Green and Swanson: a 0,000025 b 2,5 s 0,8 t 1,15 Tabella 6. 9 – Coefficienti numerici di Green and Swanson. All’equazione così descritta compete la seguente curva tensiodeformativa volumetrica [21]: Figura 6. 5 – Legame costitutivo Tensione-Deformazione Volumetrica. Fissato un valore di deformazione volumetrica εv, si calcola quella plastica εpl come: ε pl = ε v − ε el dove ε el = p K Dato che la pressione p, relativa alla deformazione volumetrica fissata, è l’incognita, sarà necessario ipotizzare un valore iniziale di pressione diverso da zero. Il valore di pressione p, per il quale si annulla la seguente differenza, sarà la soluzione del problema: 156 CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZO t −s ⎡⎛ ε pl ⎞ ⎛ ε pl ⎞ ⎤ p Ec ⎟ ⎟⎟ ⎥ ε − + ⎜⎜ ⎢⎜1 + 1 − 2 υ ⎢ ⎜⎝ f c' a ⎟⎠ b ⎝ ⎠ ⎥⎦ ⎣ pl = 0 Alla deformazione volumetrica εv corrisponde il valore di pressione p, per il quale la precedente differenza si annulla. Iterando questo procedimento per sette valori differenti di εv, si ottengono i seguenti risultati numerici: Legame p - εv εv p [Mpa] 0,000000 0,000E+00 0,007009 4,430E+01 0,028545 1,131E+02 0,049701 2,241E+02 0,060903 2,959E+02 0,070039 3,595E+02 0,134452 896,27 Tabella 6. 10 – Risultati Numerici del legame costitutivo calcolato. 157 CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZO Legame P - ε v 1000,0 900,0 800,0 -P [Mpa 700,0 600,0 500,0 400,0 300,0 200,0 100,0 0,0 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,160 −εv Grafico 6. 6 – Legame Tensio-Deformativo Volumetrico. In funzione della deformazione volumetrica, si calcola il volume relativo V, cosi come descritto in precedenza, se ne calcola il logaritmo naturale LnV, e si associa a lui il corrispondente valore di pressione p, espressa in Pa, così come richiesto nella Card dell’Equation of State [11]. V lnV P [Pa] 1,0000000 0,9929907 0,9714553 0,9502986 0,9390965 0,9299607 0,8655484 0,000000 -0,007034 -0,028960 -0,050979 -0,062837 -0,072613 -0,144392 0,000000000 44300397,98 113129376,66 224085069,19 295858999,46 359539685,41 896273020,00 Tabella 6. 11 – Valori Tabulati dell’equazione di stato. 158 CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZO Equazione di Stato 8 1,E+09 9,E+08 8,E+08 7,E+08 P[Pa] 6,E+08 EOS8 5,E+08 4,E+08 3,E+08 2,E+08 1,E+08 -0,200 -0,150 -0,100 -0,050 0,E+00 0,000 lnV Grafico 6. 7 – Equazione di Stato assegnata come input in LS-Dyna, per la modellazione della piastra in c.a. Per una Card dell’Equation of State che si va così a comporre: *EOS_TABULATED_COMPACTION $# eosid gama e0 vo 1 0.000 0.000 1.000000 $# ev1 ev2 ev3 0.000 -0.00703000 -0.02896000 $# ev6 ev7 ev8 -0.07261000 -0.14439000 $# c1 c2 c3 0.000 4.4300396e+007 1.1312938e+008 $# c6 c7 c8 3.5953968e+008 8.9627302e+008 $# t1 t2 t3 0.000 0.000 0.000 $# t6 t7 t8 0.000 0.000 0.000 $# k1 k2 k3 1.5010385e+010 1.5010385e+010 1.5010385e+010 $# k6 k7 k8 1.5010385e+010 1.5010385e+010 ev4 -0.05098000 ev9 ev5 -0.06284000 ev10 c4 2.2408507e+008 c9 c5 2.9585901e+008 c10 t4 0.000 t9 0.000 k4 1.5010385e+010 k9 t5 0.000 t10 0.000 k5 1.5010385e+010 k10 Tabella 6. 12 – Input per LS-Dyna dell’equazione di stato Tabulated Compaction. 159 CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZO Le Card così definite per il Concrete Damage, il DIF dei materiali impiegati, e l’Equation of State, si ripeteranno identicamente nei diversi modelli realizzati, sia in FEM sia in SPH. 160 CAPITOLO 7 – RISULTATI DELLE SIMULAZIONI NUMERICHE Capitolo 7 Risultati delle Simulazioni Numeriche In conclusione si è svolto uno studio parametrico tra i modelli realizzati con i due metodi descritti, FEM e SPH. Tale studio è reso possibile dalle evidenze sperimentali a disposizione. Operando, infatti, un confronto tra i risultati numerici forniti dalla modellazione, e quelli risultanti dalle prove sperimentali realmente condotte, sarà possibile valutare quale dei due metodi fornisce risultati numerici quanto più prossimi a quelli sperimentali. Per ogni prova sperimentale si avranno due modelli, uno realizzato in FEM e l’altro in SPH, entrambi costruiti secondo le modalità descritte nel corso della tesi. Per ogni elemento in cui è stata suddivisa la piastra, che sia questo un Element Solid o un Element SPH, si potranno leggere una serie d’informazioni al variare del tempo. Queste ad esempio possono essere le Tensioni, gli Spostamenti e le Velocità del singolo elemento, misurate lungo gli assi del sistema di riferimento cartesiano, o le rispettive risultanti di spostamento e velocità. Il codice di calcolo consente anche di osservare dei risultati inerenti al comportamento complessivo dell’intero elemento strutturale. A riguardo si possono misurare l’Energia Cinetica, Interna e Totale, lo Spostamento, la Velocità e l’Accelerazione del corpo rigido, nelle direzioni del sistema di riferimento cartesiano, e le rispettive risultanti. Per i singoli nodi si possono avere delle misure riguardanti le Coordinate, gli Spostamenti, le Velocità, le Accelerazioni, e gli Spostamenti Relativi. 161 CAPITOLO 7 – RISULTATI DELLE SIMULAZIONI NUMERICHE 7.1 – Prova Sperimentale I e II Per queste prime due condizioni di carico, le prove sperimentali non hanno mostrato risultati apprezzabili o quantificabili numericamente. In questi due casi sarà quindi sufficiente, per verificare la veridicità della modellazione, osservare che non si verifichino spostamenti, deformazioni o fessure di ampiezze apprezzabili sui modelli realizzati. In entrambi i casi si è stabilito un tempo di analisi di 0,1 sec, suddiviso in un numero complessivo di 52 Step. Ciò significa che il software restituirà un output del calcolo effettuato ogni 0,002 sec. Per i modelli realizzati in SPH, tenendo presente che questo metodo impiega un tempo maggiore per convergere numericamente, ad differenza del FEM, in questo caso si sceglierà un tempo di analisi di 0,2 sec, per un totale 102 Step, uno ogni 0,002 sec. Ai fini della modellazione, e alla luce delle evidenze mostrate dalle prove sperimentali, si è scelto di evidenziare la Deformazione Plastica Effettiva (Effective Plastic Strain), come risultato conseguito dalla modellazione delle prime due condizioni di carico. Non avendo la possibilità di effettuare nessun confronto numerico con i risultati della prova realizzata in laboratorio, in questo caso si preferisce mettere in evidenza le differenze che sussistono tra gli stessi modelli realizzati in FEM e in SPH. Abbiamo quindi confrontato allo stesso istante di tempo t = 0,1 sec, l’andamento della deformazione plastica effettiva, all’intradosso e all’estradosso della piastra. In maniera sintetica si riportano di seguito i risultati conseguiti per i due modelli: 162 CAPITOLO 7 – RISULTATI DELLE SIMULAZIONI NUMERICHE • Modello FEM, suddivisione della piastra in 11520 Element_Solid, Prova 1: Figura 7. 1 – Effective Plastic Strain misurato all’estradosso della piastra, Prova 1. Figura 7. 2 – Effective Plastic Strain misurato all’intradosso della piastra, Prova 1. 163 CAPITOLO 7 – RISULTATI DELLE SIMULAZIONI NUMERICHE Grafico 7. 1 - Spostamento Residuo, misurato nel centro della piastra all’estradosso. • Modello FEM, suddivisione della piastra in 11520 Element_Solid, Prova 2: Figura 7. 3 - Effective Plastic Strain misurato all’estradosso della piastra, Prova 2. 164 CAPITOLO 7 – RISULTATI DELLE SIMULAZIONI NUMERICHE Figura 7. 4 - Effective Plastic Strain misurato all’intradosso della piastra, Prova 2. Grafico 7. 2 - Spostamento Residuo, misurato nel centro della piastra all’estradosso. 165 CAPITOLO 7 – RISULTATI DELLE SIMULAZIONI NUMERICHE • Modello SPH, suddivisione della piastra in 11520 Element_SPH, Prova 1: Figura 7. 5 - Effective Plastic Strain misurato all’estradosso della piastra, Prova 1. 166 CAPITOLO 7 – RISULTATI DELLE SIMULAZIONI NUMERICHE Figura 7. 6 - Effective Plastic Strain misurato all’intradosso della piastra, Prova 1. Grafico 7. 3 - Spostamento Residuo, misurato nel centro della piastra all’intradosso. 167 CAPITOLO 7 – RISULTATI DELLE SIMULAZIONI NUMERICHE • Modello SPH, suddivisione della piastra in 11520 Element_SPH, Prova 2: Figura 7. 7 - Effective Plastic Strain misurato all’estradosso della piastra, Prova 2. Figura 7. 8 - Effective Plastic Strain misurato all’intradosso della piastra, Prova 2. 168 CAPITOLO 7 – RISULTATI DELLE SIMULAZIONI NUMERICHE Grafico 7. 4 - Spostamento Residuo, misurato nel centro della piastra all’intradosso. 7.2 – Prova Sperimentale III La terza condizione di carico, è quella che consente di osservare sperimentalmente i risultati più interessanti. Infatti, in questo caso si hanno misure effettuate al termine della prova, relative allo spostamento residuo valutato nel centro della piastra, e sulla mezzeria del bordo esterno non vincolato. Inoltre, si ha anche la misura della massima ampiezza della fessura, che si manifesta all’intradosso della piastra, per effetto dei carichi dinamici a cui è stata sottoposta. Si ha quindi la possibilità di operare un confronto tra i risultati conseguiti numericamente, mediante la modellazione, e quelli derivanti dalla prova sperimentale, eseguita in laboratorio. 169 CAPITOLO 7 – RISULTATI DELLE SIMULAZIONI NUMERICHE In questo modo si può verificare quale tra i due modelli, realizzati con i metodi FEM e SPH, meglio approssima i dati sperimentali a disposizione. A tal fine, si misurerà lungo l’asse Z lo spostamento che la piastra subisce nel centro e sul bordo, ed infine l’ampiezza della fessura che si presenta centralmente all’intradosso dell’elemento strutturale. La prova sperimentale ha evidenziato i seguenti risultati: Figura 7. 9 – Immagine della piastra in seguito alla terza prova. Wc [mm] Zr,c [cm] Zr,b [cm] 3 2,1 1,1 Tabella 7. 1 - Risultati numerici della terza Prova Sperimentale realizzata. Dove con Wc s’indica l’ampiezza della fessura misurata, con Zr,c, Zr,b, si indicano rispettivamente gli spostamenti misurati lungo l’asse Z in prossimità del centro e della mezzeria del bordo esterno non vincolato della piastra. 170 CAPITOLO 7 – RISULTATI DELLE SIMULAZIONI NUMERICHE • Modello FEM, suddivisione della piastra in 11520 Element_Solid, Prova 3: Così come per le prime due prove, anche in questo caso si è scelto un tempo d’analisi di appena 0,1 sec. Si può, infatti, osservare che il metodo numerico utilizzato, converge asintoticamente ad un valore finito dello spostamento in tempi brevissimi. Si riporta di seguito il risultato conseguito mediante la modellazione all’istante di tempo t = 0,1 sec. I nodi rispetto ai quali si sono misurati lo spostamento lungo l’asse Z, sono rappresentati nelle seguenti immagini, nelle quali è possibile osservare anche la deformazione che la piastra subisce, per effetto del carico a cui è sottoposta all’istante di tempo t = 0,1 sec. Per apprezzare anche la riduzione di spessore della piastra, si misureranno gli spostamenti residui sia per elementi superiori sia inferiori. Figura 7. 10 - Nodi centrali della Mesh. 171 CAPITOLO 7 – RISULTATI DELLE SIMULAZIONI NUMERICHE Figura 7. 11 - Nodi sul Bordo della Mesh. Si mostrano in seguito le deformazioni plastiche effettive all’estradosso e all’intradosso della piastra: 172 CAPITOLO 7 – RISULTATI DELLE SIMULAZIONI NUMERICHE Figura 7. 12 - Effective Plastic Strain misurato all’estradosso della piastra, Prova 3. Figura 7. 13 - Effective Plastic Strain misurato all’intradosso della piastra, Prova 3. 173 CAPITOLO 7 – RISULTATI DELLE SIMULAZIONI NUMERICHE Graficamente si rappresenta di seguito l’andamento degli spostamenti nodali al variare del tempo e in precedenza individuati sulla piastra. Grafico 7. 5 – Spostamenti misurati nel centro della piastra all’intradosso e all’estradosso. Grafico 7. 6 – Spostamenti misurati sul bordo della piastra all’intradosso all’estradosso. 174 CAPITOLO 7 – RISULTATI DELLE SIMULAZIONI NUMERICHE Grafico 7. 7 – Ampiezza della fessura misurata all’intradosso della piastra in posizione centrale. Per misurare l’ampiezza della fessura, si calcola la distanza che sussiste tra gli spostamenti di due elementi all’intradosso della piastra, adiacenti tra loro. Tale differenza si misura lungo l’asse X, essendo questa la direzione lungo la quale si ha l’apertura della lesione. A tale scopo sono stati individuati gli elementi 1176 e 1177 all’intradosso della piastra e in posizione centrale. In maniera sintetica si riportano di seguito i risultati numerici conseguiti: Cond. Vincolo b1 b2 b3 Incastrata 0.1 0.1 0.1 Damping t [sec] 5% 0,1 Tabella 7. 2 - Parametri che caratterizzano il modello in LS-Dyna Version 970. 0,82 Wc [mm] Tabella 7. 3 – Ampiezza numerica della Fessura misurata nel centro della piastra all'intradosso. 175 CAPITOLO 7 – RISULTATI DELLE SIMULAZIONI NUMERICHE Nodi centrali Estradosso Intradosso Nodi di bordo Estradosso Intradosso Zr,c [cm] 2,15 1,52 Zr,b [cm] 0,86 0,75 Tabella 7. 4 - Spostamenti residui, centrali e di bordo, misurati all’estradosso e all’intradosso della piastra. Dove i nodi 13206 e 1201, sono quelli centrali, mentre i nodi 12030 e 2377, sono quelli di bordo, rispettivamente superiori ed inferiori. Calcolando la differenza tra i due si può verificare di quanto la piastra si riduce di spessore. • Modello SPH, suddivisione della piastra in 11520 Element_SPH, Prova 3: Il metodo SPH, a differenza del FEM, presenta una maggiore instabilità. D’altra parte questo suo limite è già stato messo in evidenza nel Capitolo 5. Ne consegue che il tempo necessario d’analisi affinché si possono osservare dei risultati numerici asintotici ad un valore costante, deve essere maggiore di quello imposto nel caso precedente. A tal fine si è scelto di fare terminare l’analisi ad un istante di tempo t = 1,2 sec. Si riportano di seguito i risultati conseguiti mediante la modellazione all’istante di tempo t = 1,2 sec. I nodi rispetto ai quali si è misurato lo spostamento lungo l’asse Z, sono rappresentati nelle seguenti immagini, nelle quali è possibile osservare anche la deformazione che la piastra subisce, per effetto del carico cui è sottoposta all’istante di tempo t = 1,2 sec. 176 CAPITOLO 7 – RISULTATI DELLE SIMULAZIONI NUMERICHE A differenza del modello realizzato in FEM, non si ha la possibilità di individuare sia centralmente sia sul bordo un unico nodo, che sia questo sull’estradosso o l’intradosso della piastra. In questo caso abbiamo quindi scelto come elementi nodali di riferimento, quelli riportati nella seguente tabella: Particelle Centrali 10344 10345 5736 5737 1128 1129 10392 10393 5784 5785 1176 1177 Bordo 9240 9241 4632 4633 24 25 Tabella 7. 5 - Elementi nodali centrali e di bordo sulla piastra discretizzata in SPH. Di seguito si riportano le immagini della piastra all’istante di tempo t = 1,2 sec, sulla quale sono evidenziate alcune delle particelle di centro e di bordo, oltre alla deformazione della piastra stessa. Figura 7. 14 – Elementi Nodali Centrali e di Bordo. 177 CAPITOLO 7 – RISULTATI DELLE SIMULAZIONI NUMERICHE Figura 7. 15 – Elementi Nodali di Bordo. Si mostrano in seguito le deformazioni plastiche effettive all’estradosso e all’intradosso della piastra: Figura 7. 16 - Effective Plastic Strain misurato all’estradosso della piastra, Prova 3. 178 CAPITOLO 7 – RISULTATI DELLE SIMULAZIONI NUMERICHE Figura 7. 17 - Effective Plastic Strain misurato all’intradosso della piastra, Prova 3. Per quanto concerne gli spostamenti misurati al centro e sul bordo della piastra, e la conseguente misura dell’ampiezza massima della fessura, si rimanda ai successivi grafici: Grafico 7. 8 – Spostamenti misurati nel centro della piastra all’intradosso e all’estradosso. 179 CAPITOLO 7 – RISULTATI DELLE SIMULAZIONI NUMERICHE Grafico 7. 9 – Spostamenti misurati sul bordo non vincolato della piastra, all’intradosso e all’estradosso. Grafico 7. 10 – Ampiezza della fessura misurata nel centro della piastra all’intradosso. In maniera sintetica si riportano di seguito i risultati numerici conseguiti: Cond. Vincolo b1 b2 b3 Incastrata 0,1 0,1 0,1 Damping t [sec] 5% 1,2 Tabella 7. 6 - Parametri che caratterizzano il modello in LS-Dyna Version 970. 180 CAPITOLO 7 – RISULTATI DELLE SIMULAZIONI NUMERICHE 13 Wc [mm] Tabella 7. 7 – Ampiezza numerica della Fessura misurata nel centro della piastra. Particelle centrali Estradosso Intradosso Nodi di bordo Estradosso Intradosso Zr,c [cm] 15,0 11,8 Zr,b [cm] 10,61 10,42 Tabella 7. 8 - Spostamenti residui, centrali e di bordo, misurati all’estradosso e all’intradosso della piastra. Dove le particelle 10344 e 1128, sono quelle centrali, mentre 9240 e 24, sono quelli di bordo, rispettivamente superiori ed inferiori. Calcolando la differenza tra i due si può verificare la riduzione di spessore che la piastra subisce per effetto dei carichi cui è sottoposta. 7.3 – Prova Sperimentale IV Per la quarta prova sperimentale si sono realizzate delle condizioni di carico tali da produrre la rottura dell’elemento strutturale. In questo caso non si hanno quindi termini di confronto, tra l’evidenza sperimentale e la modellazione numerica, se non la rottura effettiva dell’elemento. Tuttavia, quest’ultima prova consente di apprezzare i vantaggi nell’utilizzare un metodo di discretizzazione particellare, quale l’SPH impiegato nella modellazione, a fronte degli insuccessi mostrati dalla modellazione effettuata in FEM. In questo caso infatti, emerge uno dei principali limiti del Finite Element Method, dato che le condizioni di carico sono tali da indurre una deformazione eccessiva della Mesh, realizzata per la discretizzazione dell’elemento continuo, che non 181 CAPITOLO 7 – RISULTATI DELLE SIMULAZIONI NUMERICHE consente al metodo numerico di convergere. Per tale motivo non si ha la possibilità di mostrare alcun risultato apprezzabile della modellazione effettuata, in quanto il codice di calcolo impiegato, data l’incapacità di gestire una distorsione eccessiva della maglia, non fornisce nessun risultato d’output del calcolo realizzato, in quanto la computazione numerica termina all’istante. Lo Smoothed Particle Hydrodynamics, consente di superare questo limite, come già annunciato nel capitolo dedicato alla descrizione dei due metodi di discretizzazione. Uno dei principali vantaggi di tale metodo risiede proprio nella capacità di trattare facilmente grandi deformazioni, essendo le connessioni tra i nodi generate come una parte della computazione stessa, che può subire variazioni nel tempo. Di conseguenza si riporteranno in questo caso i soli risultati relativi alla modellazione effettuata in SPH. Nelle immagini successive si evidenzia l’andamento della deformazione plastica effettiva, per due diversi istanti di tempo, per la piastra vista dall’alto e lateralmente. L’istante di tempo a cui si riferiscono le immagini successive è t = 0,02 sec. prima ancora che si consegua la condizione di rottura. 182 CAPITOLO 7 – RISULTATI DELLE SIMULAZIONI NUMERICHE Figura 7. 18 – Effective Plastic Strain all’estradosso, all’istante t=0,02 sec. Figura 7. 19 – Effective Plastic Strain nel piano (y, z), all’istante t = 0,02 sec. Le immagini successive invece si riferiscono all’istante successivo t = 0,04 sec. quando la piastra inizia a presentare segni di rottura. 183 CAPITOLO 7 – RISULTATI DELLE SIMULAZIONI NUMERICHE Figura 7. 20 – Effective Plastic Strain all’estradosso all’istante t = 0,04 sec. Figura 7. 21 – Effective Plastic Strain nel piano (y, z), all’istante t = 0,04 sec. Si vuole mostrare in seguito, il risultato della modellazione che si consegue all’istante di tempo t = 0,6 sec. in quest’immagine si possono osservare le particelle che sono rimaste vincolate, e che quindi non hanno subito spostamenti, e delle frange di calcestruzzo che restano a loro ancorate. 184 CAPITOLO 7 – RISULTATI DELLE SIMULAZIONI NUMERICHE Figura 7. 22 – Rottura della piastra all’istante t = 0,6 sec. 185 CONCLUSIONI CONCLUSIONI Alla luce dei risultati conseguiti mediante la modellazione numerica delle quattro prove sperimentali, si possono trarre le successive conclusioni. Per quanto concerne lo studio parametrico condotto tra i due metodi d’analisi adottati, FEM e SPH, per la modellazione d’elementi strutturali sottoposti a carichi da esplosione, si può affermare che fin quando le condizioni di carico inducono velocità di deformazioni sufficientemente basse, in particolar modo inferiori a 300 sec-1, a fronte di quelle che si possono ottenere per carichi da esplosione, come si evince dai risultati numerici in precedenza esposti, entrambi i metodi ben si prestano ai fini della modellazione. Tale dato emerge in particolar modo dai risultati che si ottengono per la modellazione delle prime due prove sperimentali, nelle quali si possono osservare risultati simili tra i due metodi, non essendoci, infatti, spostamenti apprezzabili della piastra in entrambi i casi. All’aumentare delle condizioni di carico, e facendo un esplicito riferimento alla terza prova simulata numericamente, si può apprezzare il vantaggio nell’utilizzare il Finite Element Method, piuttosto che il più innovativo Smoothed Particle Hydrodynamics. In virtù dei confronti operati tra i risultati numerici e quelli messi in evidenza dalla prova sperimentale, si osserva, infatti, che per la stessa condizione di carico, di vincolo, a parità di Strain-Rate, di legami costitutivi, e facendo variare il solo metodo d’analisi, il FEM restituisce risultati numerici più prossimi a quelli sperimentali. 186 CONCLUSIONI In questo caso si osserva la variabilità di risultati che si possono ottenere al variare dell’infittimento della Mesh realizzata, e dei valori numerici associati ai tre parametri b1, b2 e b3, già descritti nel Capitolo 6. Per ognuno dei due metodi, FEM e SPH, fissata la dimensione della Mesh realizzata, e facendo variare i soli valori numerici associati ai tre parametri sopra indicati, si ottengono risultati in termini di spostamenti residui differenti. Lo stesso risultato si può osservare mantenendo inalterati i valori numerici dei tre parametri sopra indicati, e facendo variare l’infittimento della Mesh in cui è stata suddivisa la piastra. Per i metodi FEM e SPH, dagli spostamenti residui misurati all’intradosso della piastra, rispettivamente sui nodi centrali e di bordo 1201 e 2377, e sulle particelle centrali e di bordo 1128 e 24, si riportano i seguenti risultati: FEM Mesh 6912 Element Solid 11520 Element Solid b1 0,1 1 0,1 1 b2 0,1 1 0,1 1 b3 t [sec] 0,1 0,1 1 0,1 0,1 0,1 1 0,1 Zr,c [cm] 1,2 1,06 1,47 0,99 Zr,b [cm] 0,6 0,47 0,74 0,45 Wc [mm] 0,45 0,004 0,82 0,36 Tabella 8. 1 – Variabilità dei risultati per il metodo FEM, al variare delle dimensioni della Mesh e dei parametri b1, b2 e b3. SPH Mesh 6912 Element SPH 11520 Element SPH b1 0,1 1 0,1 1 b2 0,1 1 0,1 1 b3 0,1 1 0,1 1 t [sec] 1,81 2,7 1,2 1,94 Zr,c [cm] 5,8 10 11,8 9 Zr,b [cm] 2,8 4 10,42 3,4 Wc [mm] 1,16 4,2 13 9,9 Tabella 8. 2 - Variabilità dei risultati per il metodo FEM, al variare delle dimensioni della Mesh e dei parametri b1, b2 e b3. 187 CONCLUSIONI Per il metodo SPH, data la sua maggiore instabilità numerica e la necessità quindi di tempi d’analisi maggiore affinché si possano osservare dei risultati finiti, avremo dei tempi d’analisi diversi rispetto a quelli adottati per il metodo FEM. Inoltre, nelle precedenti tabelle si evidenziano in grassetto i risultati ottenuti dalla modellazione. Da queste tabelle si evince che il metodo FEM rispetto all’SPH, è meno sensibile alla variazione sia dell’infittimento della Mesh, sia al variare dei parametri numerici b1, b2 e b3. Da quanto emerso si può quindi affermare che il metodo SPH, per questo caso specifico, necessità di una calibrazione su base sperimentale di tali parametri, i quali a loro volta come già evidenziato nel Capitolo 6, assumono valori diversi al variare della dimensione della stessa Mesh. Ai fini della modellazione, e per questo caso particolare, è quindi preferibile impiegare il metodo FEM, data la sua minor sensibilità nei confronti di tali fenomeni. Dai risultati di questa stessa prova, si può altresì mettere in luce l’attinenza del legame costitutivo Concrete Damage, proposto da Malvar, ai fini della modellazione del calcestruzzo. Tenendo presente che migliori risultati numerici si potrebbero conseguire, definendo i parametri richiesti dall’autore, attraverso lo svolgimento di prove sperimentali preposte alla caratterizzazione del calcestruzzo, così com’esposto nel Capitolo 6. Dai risultati della quarta prova modellata, emerge invece l’impossibilità di impiegare il metodo d’analisi FEM, data l’eccessiva deformazione indotta nella Mesh realizzata, e le conseguenti incapacità numeriche del metodo di gestire tale distorsione. In questo caso è quindi preferibile impiegare il metodo SPH, in quanto le singole particelle non essendo legate tra loro da costrizioni di maglia, 188 CONCLUSIONI non avranno problemi ad allontanarsi le une dalle altre simulando la rottura dell’elemento, sotto l’azione dei carichi a cui sono sottoposte. Un successivo risultato che questa prova mostra, è l’incremento di resistenza del calcestruzzo per gli effetti di Strain-Rate. Si può, infatti, osservare come il valore di tensione di trazione alla quale si ha la rottura dell’elemento, sia maggiore di quell’assegnata in condizione di carico quasi statica. Sulla base dei risultati conseguiti, e delle conclusioni che da loro si traggono, si potrà in seguito indirizzare la ricerca sui seguenti aspetti: • Le stesse prove sperimentali andrebbero modellate utilizzando altri metodi d’analisi, quali ad esempio quelli Euleriani, l’Arbitrarian Lagrangian Eulerian (ALE), o altri metodi di tipo Meshfree. • Si potrebbero realizzare simulazioni numeriche di prove sperimentali condotte su piastre interamente d’acciaio, o su elementi strutturali iperstatici, con il fine di valutare gli effetti di Strain-Rate, che potrebbero in questi casi essere più evidenti. • Altri studi potranno essere condotti sulla base dei risultati numerici conseguiti dalla simulazione della quarta prova, provando a modellare in questo caso interventi di rinforzo con materiali compostiti, messi tra loro a confronto, in modo tale da evitare che si possa conseguire la condizione di rottura dell’elemento, come già mostrato dalla dall’evidenza della prova sperimentale stessa. 189 modellazione e CONCLUSIONI • Si potranno calibrare mediante lo svolgimento di prove sperimentali specifiche, i parameri numerici richiesti dal modello Concrete Damage, per la caratterizzazione del calcestruzzo, a differenza di quanto fatto nell’elaborato di tesi, in cui si è pervenuti numericamente alla definizione di tali parametri. 190 INDICI DELLE FIGURE, DEI GRAFICI E DELLE TABELLE Indice delle Figure Figura 1. 1 – Andamento qualitativo di una Curva di Pressione prodotta da un’esplosione. ............................................................................................................ 21 Figura 2. 1 – Caratteristiche Geometriche della piastra, e dell’armatura metallica. 38 Figura 2. 2 – Setup di Prova. .................................................................................... 38 Figura 2. 3 – Immagine della piastra in seguito alla terza Prova.............................. 41 Figura 2. 4 – Immagini della piastra in seguito alla quarta Prova. ........................... 42 Figura 3. 1 – Curva di Pressione semplificata, usata dagli autori per la modellazione della prova. 44 Figura 3. 2 – Discretizzazione della superficie di carico.......................................... 46 Figura 3. 3 – Distanza effettiva dell’i-esimo elemento dal centro d’esplosione. ..... 49 Figura 4. 1 – Instabilità d trazione delle particelle. 92 Figura 4. 2 - Stress Point Method in uno spazio bi-dimensionale. ........................... 94 Figura 5. 1 - Modellazione di una Turbina con LS-Dyna. 98 Figura 5. 2 - Sezione della Piastra sottoposta a Carico distribuito. ........................ 109 Figura 6. 1 – Superficie di rottura massima e residua. 118 Figura 6. 2 – Card Material Model_016. ................................................................ 120 Figura 6. 3 – Andamento della superficie di rottura corrente Δσ, in funzione della tensione sferica p. .................................................................................................... 121 Figura 6. 4 – Superfici di Rottura. .......................................................................... 123 Figura 6. 5 – Legame costitutivo Tensione-Deformazione Volumetrica. .............. 156 Figura 7. 1 – Effective Plastic Strain misurato all’estradosso della piastra, Prova 1. 163 Figura 7. 2 – Effective Plastic Strain misurato all’intradosso della piastra, Prova 1. ................................................................................................................................. 163 Figura 7. 3 - Effective Plastic Strain misurato all’estradosso della piastra, Prova 2. ................................................................................................................................. 164 Figura 7. 4 - Effective Plastic Strain misurato all’intradosso della piastra, Prova 2. ................................................................................................................................. 165 Figura 7. 5 - Effective Plastic Strain misurato all’estradosso della piastra, Prova 1. ................................................................................................................................. 166 Figura 7. 6 - Effective Plastic Strain misurato all’intradosso della piastra, Prova 1. ................................................................................................................................. 167 Figura 7. 7 - Effective Plastic Strain misurato all’estradosso della piastra, Prova 2. ................................................................................................................................. 168 Figura 7. 8 - Effective Plastic Strain misurato all’intradosso della piastra, Prova 2. ................................................................................................................................. 168 Figura 7. 9 – Immagine della piastra in seguito alla terza prova............................ 170 Figura 7. 10 - Nodi centrali della Mesh.................................................................. 171 Figura 7. 11 - Nodi sul Bordo della Mesh. ............................................................. 172 Figura 7. 12 - Effective Plastic Strain misurato all’estradosso della piastra, Prova 3. ................................................................................................................................. 173 191 INDICI DELLE FIGURE, DEI GRAFICI E DELLE TABELLE Figura 7. 13 - Effective Plastic Strain misurato all’intradosso della piastra, Prova 3. ................................................................................................................................. 173 Figura 7. 14 – Elementi Nodali Centrali e di Bordo............................................... 177 Figura 7. 15 – Elementi Nodali di Bordo. .............................................................. 178 Figura 7. 16 - Effective Plastic Strain misurato all’estradosso della piastra, Prova 3. ................................................................................................................................. 178 Figura 7. 17 - Effective Plastic Strain misurato all’intradosso della piastra, Prova 3. ................................................................................................................................. 179 Figura 7. 18 – Effective Plastic Strain all’estradosso, all’istante t=0,02 sec.......... 183 Figura 7. 19 – Effective Plastic Strain nel piano (y, z), all’istante t = 0,02 sec...... 183 Figura 7. 20 – Effective Plastic Strain all’estradosso all’istante t = 0,04 sec......... 184 Figura 7. 21 – Effective Plastic Strain nel piano (y, z), all’istante t = 0,04 sec...... 184 Figura 7. 22 – Rottura della piastra all’istante t = 0,6 sec. ..................................... 185 Indice dei Grafici Grafico 3. 1 - Estrapolazione numerica del coefficiente sperimentale α.................. 51 Grafico 5. 1 – Andamento della Curva di Pressione, calcolata per l’area di carico A-1 e relativa alla prima prova modellata. 107 Grafico 6. 1 – Funzione di Danno, calcolata per b1 = b2 = b3 = 0,1. 136 Grafico 6. 2 – Funzione Bilineare in scala logaritmica del DIF per il calcestruzzo. ................................................................................................................................. 146 Grafico 6. 3 – Input in LS-Dyna della Curva di Strain-Rate a Compressione e Trazione per il calcestruzzo. .................................................................................... 147 Grafico 6. 4 – Curva di Strain-Rate a trazione adoperato per l’acciaio.................. 149 Grafico 6. 5 – Legame costitutivo Pressione-Deformazione Volumetrica. ............ 152 Grafico 6. 6 – Legame Tensio-Deformativo Volumetrico...................................... 158 Grafico 6. 7 – Equazione di Stato assegnata come input in LS-Dyna, per la modellazione della piastra in c.a.............................................................................. 159 Grafico 7. 1 - Spostamento Residuo, misurato nel centro della piastra all’estradosso. 164 Grafico 7. 2 - Spostamento Residuo, misurato nel centro della piastra all’estradosso. ................................................................................................................................. 165 Grafico 7. 3 - Spostamento Residuo, misurato nel centro della piastra all’intradosso. ................................................................................................................................. 167 Grafico 7. 4 - Spostamento Residuo, misurato nel centro della piastra all’intradosso. ................................................................................................................................. 169 Grafico 7. 5 – Spostamenti misurati nel centro della piastra all’intradosso e all’estradosso. .......................................................................................................... 174 Grafico 7. 6 – Spostamenti misurati sul bordo della piastra all’intradosso all’estradosso. .......................................................................................................... 174 Grafico 7. 7 – Ampiezza della fessura misurata all’intradosso della piastra in posizione centrale. ................................................................................................... 175 Grafico 7. 8 – Spostamenti misurati nel centro della piastra all’intradosso e all’estradosso. .......................................................................................................... 179 Grafico 7. 9 – Spostamenti misurati sul bordo non vincolato della piastra, all’intradosso e all’estradosso.................................................................................. 180 192 INDICI DELLE FIGURE, DEI GRAFICI E DELLE TABELLE Grafico 7. 10 – Ampiezza della fessura misurata nel centro della piastra all’intradosso............................................................................................................ 180 Indice delle Tabelle Tabella 1. 1 – Parametri che caratterizzano fisicamente alcuni materiali esplosivi . 35 Tabella 2. 1 – Proprietà elastiche dei materiali impiegati per la costruzione della piastra, allo Strain-Rate di 100 sec-1. 39 Tabella 2. 2 – Proprietà dinamiche del calcestruzzo allo Strain-Rate di 100 sec-1... 39 Tabella 2. 3 – Tensione di Snervamento dell’acciaio, per due diversi valori di StrainRate. ........................................................................................................................... 39 Tabella 2. 4 – Proprietà del calcestruzzo, per velocità di deformazione quasi statica. ................................................................................................................................... 40 Tabella 2. 5 – Condizioni di carico ed Evidenze Sperimentali ad esse associate..... 41 Tabella 3. 1 – Calore specifico degli esplosivi e Coefficiente d’Equivalenza. 48 Tabella 3. 2 - Distanza Effettiva Ri, Carico Equivalente WTNT, Distanza Ridotta Zi. ................................................................................................................................... 52 Tabella 3. 3 - Picco di Pressione Δp(Z), calcolato secondo le varie formulazioni, e per le singole prove sperimentali. .............................................................................. 53 Tabella 3. 4 - Picco di Pressione medio, Coefficiente α........................................... 53 Tabella 3. 5 - Durata della fase positiva t+, e costante numerica B. ......................... 53 Tabella 3. 6 - Curve di Pressione P(Z, t), calcolate per le quattro prove sperimentali. ................................................................................................................................... 54 Tabella 5. 1 – Unità di Misure adottate dal LS-Dyna Version 970. 101 Tabella 5. 2 – Element Solid................................................................................... 102 Tabella 5. 3 – Part. .................................................................................................. 103 Tabella 5. 4 – Section Solid. ................................................................................... 103 Tabella 5. 5 – Set_Node_List Vincoli..................................................................... 105 Tabella 5. 6 – Boundary Condiction. ...................................................................... 105 Tabella 5. 7 – Curva di Pressione Tabulata. ........................................................... 107 Tabella 5. 8 - Set_Segment. .................................................................................... 108 Tabella 5. 9 – Load Set_Segment. .......................................................................... 109 Tabella 5. 10 – Set_Part_List.................................................................................. 110 Tabella 5. 11 – Carico da Peso Proprio................................................................... 110 Tabella 5. 12 – Element SPH.................................................................................. 112 Tabella 5. 13 – Section SPH. .................................................................................. 112 Tabella 5. 14 – Set_Node_List Carico.................................................................... 114 Tabella 5. 15 – Load_Node_Set.............................................................................. 115 Tabella 5. 16 – Damping......................................................................................... 116 Tabella 6. 1 – parametri che definiscono la Card del Material Model. 120 Tabella 6. 2 – Parametri numerici che definiscono le superfici di rottura d’input per LS-Dyna................................................................................................................... 131 Tabella 6. 3 – Input per LS-Dyna del material Concrete Damage, definiti per la modellazione della piastra. ...................................................................................... 136 Tabella 6. 4 – Velocità di deformazione quasi statica. ........................................... 144 193 INDICI DELLE FIGURE, DEI GRAFICI E DELLE TABELLE Tabella 6. 5 – Caratteristiche statiche del calcestruzzo e parametri numerici utilizzati per il calcolo delle curve di Strain-Rate................................................................... 144 Tabella 6. 6 – Curve di Strain-Rate per il calcestruzzo a Trazione e Compressione adottate nella modellazione. .................................................................................... 145 Tabella 6. 7 – DIF a trazione adoperato per L’acciaio. .......................................... 149 Tabella 6. 8 – Bulk Modulus................................................................................... 153 Tabella 6. 9 – Coefficienti numerici di Green and Swanson. ................................. 156 Tabella 6. 10 – Risultati Numerici del legame costitutivo calcolato. ..................... 157 Tabella 6. 11 – Valori Tabulati dell’equazione di stato.......................................... 158 Tabella 6. 12 – Input per LS-Dyna dell’equazione di stato Tabulated Compaction. ................................................................................................................................. 159 Tabella 7. 1 - Risultati numerici della terza Prova Sperimentale realizzata. 170 Tabella 7. 2 - Parametri che caratterizzano il modello in LS-Dyna Version 970. .. 175 Tabella 7. 3 – Ampiezza numerica della Fessura misurata nel centro della piastra all'intradosso. ........................................................................................................... 175 Tabella 7. 4 - Spostamenti residui, centrali e di bordo, misurati all’estradosso e all’intradosso della piastra. ...................................................................................... 176 Tabella 7. 5 - Elementi nodali centrali e di bordo sulla piastra discretizzata in SPH. ................................................................................................................................. 177 Tabella 7. 6 - Parametri che caratterizzano il modello in LS-Dyna Version 970. .. 180 Tabella 7. 7 – Ampiezza numerica della Fessura misurata nel centro della piastra. ................................................................................................................................. 181 Tabella 7. 8 - Spostamenti residui, centrali e di bordo, misurati all’estradosso e all’intradosso della piastra. ...................................................................................... 181 Tabella 8. 1 – Variabilità dei risultati per il metodo FEM, al variare delle dimensioni della Mesh e dei parametri b1, b2 e b3. 187 Tabella 8. 2 - Variabilità dei risultati per il metodo FEM, al variare delle dimensioni della Mesh e dei parametri b1, b2 e b3. ..................................................................... 187 194 INDICI DELLE FIGURE, DEI GRAFICI E DELLE TABELLE Bibliografia 1. Camillo Belgrano. Gli esplosivi. Ed. Hoepli, Milano, 1973. 2. C. Giorgio. Tecnica degli esplosivi-Impiego degli esplosivi (2 vol.). Ed. Bianco, Udine, 1964. 3. A.Bacci, L’Esplosivistica in Campo Civile, pubblicato sugli Atti del “I° seminario Nazionale sugli Ordigni Esplosivi”, svolto presso il Comando Generale dell’Arma dei Carabinieri - III° Reparto Armamenti ed Equipaggiamenti Speciali. 4. H. von Dach, Der Totale Widerstand, Ed.SUOV, Biel, 1972 5. Pedro F.Silva, Binggeg. Lu & Antonio Nanni. Prediction of blast loads on the expected damage level by using displacement based method. Department of Civil, Architectural and Environmental Engineering, University of Missouri-Rolla, USA. 6. Francesco Cesari. Introduzione al Metodo degli Elementi Finiti. Ed. Pitagora, Bologna, ISBN 88-371-0013-2, 1989. 7. Shaofan Li, Wing Kam Liu, Meshfree Particle Methods. Springer, 2005. 8. Shaofan Li, Wing Kam Liu, Meshfree and Particle Methods and their applications. American Society of Mechanical Engineers, Appl Mech Rev vol 55, no 1, January, 2002. 9. M.B. Liu, G.R. Liu, K.T. Lam, A one-dimensional Meshfree particle formulation for simulating shock waves. Shock Waves, vol 13, pag 200-211, 2003. 10. Lu Young, Xu Kai, Numerical Simulation of Concrete Break-up under Blast Loading. Civil Engineering Research, January, 2004. 11. LS-DYNA, Theory Manual 2006 Version 970, Livemore Software Technology Corporation, LSTC Report. 195 INDICI DELLE FIGURE, DEI GRAFICI E DELLE TABELLE 12. LSTC (1999). LS-DYNA keyword user’s manual, non-linear dynamic analysis of structures, version 970. Livermore Software Technology Corporation, LSTC report. 13. Malvar L J, Crawford J E, Wesevich J W, Simons D: A Plasticity Concrete Material Model for Hydrocodes. International Journal of Impact Engineering, Vol. 19, No. 9-10, pp 847-873. Elsevier Science Ltd. 1997. 14. Leonard E Schwer, L. Javier Malvar, Simplified Concrete Modeling with Mat_Concrete_Damage_Rel3. JRI LS-Dyna User Week, August, 2005. 15. Bažant Z P, Fracture Mechanics of Concrete Structures, State-ofthe-Art and Proc. 1st Int. Conf. Breckenridge, CO, 1992, Elsevier Applied Science, Amsterdam. 16. Honggun Park, Jae-Yo Kim. Plasticity model using multiple failure criteria for concrete in compression. International Journal of Solids and Structures , Volume 42, Issue 8 , April 2005, Pages 2303-2322. 17. Ezio Cadoni, Kamil Labibes, Mario Berra, Marco Ginagrasso, Carlo Albertini. Influence of Aggregate size on Strain-Rate Tensile, Behavior of concrete. ACI Material Journal, no 98-M24, May-June, 2001. 18. Malvar L J, Crawford E J, Dinamic Increase Factor for Concrete. Twenty-Eighth DDESB Seminar. Orlando, FL, August 1998. 19. Mattias Unosson, Numerical simulations of penetration and perforation of high performance concrete with 75mm steel projectile. Defence Research Establishment Weapons and 196 INDICI DELLE FIGURE, DEI GRAFICI E DELLE TABELLE Protection Division SE-147 25 TUMBA, SWEDEN. November 2000. ISSN 1104-9154. 20. Comité Euro-International du Béton, CEB-FIP Model Code 1990, Redwood Books, Trowbridge, Wiltshire, UK, 1993. 21. Bažant Z P, Prat C, Microplane Model for Brittle-Plastic Material: Theory and Verification. Journal of Engineering Mechanics, Vol. 114, No. 10, October, 1988. ASCE, ISSN 07339399/88/0010. Paper No. 22823. 22. Comité Européen du Béton, CEB-FIP Model Code 90, Thomas Telford Service, London, 1993. 197 RINGRAZIAMENTI Ringraziamenti Il conseguimento di un obiettivo importante è difficile da raggiungere, quale una Laurea in Ingegneria, è una gioia che va condivisa con le persone più care. Appaiono scontati i ringraziamenti ai propri genitori per gli sforzi profusi nel corso di questi anni, per consentirmi di tagliare quest’importante traguardo, più appropriati sono invece i ringraziamenti nei loro confronti per la pazienza e la capacità di sopportare i tanti momenti di nevrosi, di stress ed esaurimento, che hanno pervaso il mio corso di studi. A tal proposito mi sembra più che opportuno ringraziare le mie care ed adorate sorelline, Rossana e Ylenia, costrette a subire la medesima sorte. Come non poter ringraziare la mia fidanzata Fabiana, per tutte le volte che mi è stata vicina ascoltando le mie telefonate e leggendo i miei messaggi pregni di ansie e paure prima di ogni esame. Un amico sempre fedele, capace di farmi ritrovare il sorriso nei momenti difficili, e che per tanto mi sento di ringraziare è il mio Beagle, nonostante le tavole dei progetti, gli appunti, le matite e le penne da lui distrutte. Lunga sarebbe la lista di amici e parenti da ringraziare, compagni di studi con i quali in questi anni ho condiviso le gioie per gli esami superati,e qualche immancabile amarezza. Ma in particolar modo ringrazio gli amici di sempre, i cari vecchi compagni del liceo, Mauro, Ferruccio, Gennaro, Luca, Marcello, Rocco, Mino, Fonzie e tutti gli altri che non me ne vogliano se non nominati, per tutte le serate passate insieme, le partite di pallone, le feste, le notti brave, le zingarate, e quanto altro fatto insieme che è servito a distogliermi dalle fatiche universitarie. Amici con i quali spero di 198 RINGRAZIAMENTI tornare a vivere momenti di spensieratezza, che tanto mi sono mancati in questi ultimi mesi di sacrifici. Un ringraziamento di vero cuore lo devo alle mie care nonne, a loro che hanno sempre pregato nella speranza di potermi presto vedere laureato, sono consapevole di dare loro e alla mia famiglia un enorme gioia. Il mio più grande rammarico è che i miei due meravigliosi nonni, entrambi di nome Giuseppe come me, non siano partecipi di questa stessa gioia. A loro va la mia gratitudine, per tutte le volte che mi hanno protetto ed aiutato, per tutte le preghiere che hanno sempre ascoltato. Infine, ma non per questo meno importante, non posso esimermi dal ringraziare il mio amico non che correlatore Ing. Domenico Asprone, per la pazienza, il tempo e la disponibilità che mi ha concesso. È stata per me una vera fortuna incontrarlo e conoscerlo nel momento più importante del mio percorso universitario. Insieme a lui ringrazio il Prof. Ing. Gaetano Manfredi e il Prof. Ing. Andrea Prota, per l’opportunità concessami di prendere parte a questo interessantissimo studio di ricerca. Ringrazio l’intero Dipartimento di Ingegneria Strutturale, dottorandi, ricercatori e tecnici di laboratorio, per la simpatia dimostratami. 199