Analisi statistica delle funzioni di consumo

Analisi statistica delle funzioni di consumo
Matteo Pelagatti
8 febbraio 2008
Indice
1
Elementi di teoria delle funzioni di consumo
1.1 Analisi statica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Analisi dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
3
2
Analisi empiriche
2.1 Prodotto interno lordo e spesa aggregate delle famiglie . . . . . .
2.2 Prodotto interno lordo e spese alimentari delle famiglie . . . . . .
4
4
8
Sommario
Con la presente breve dispensa si introduce lo studente all’analisi empirica delle funzioni di consumo. Nella prima parte si propone un ripasso
delle forme funzionali statiche e dinamiche più diffuse delle curve di consumo; nella seconda parte si analizzano dati reali per mezzo di tecniche di
regressione per dati economici.
I prerequisiti per la comprensione del contenuto di questa dispensa sono
nozioni elementari di
• regressione lineare sotto le ipotesi classiche,
• regressione lineare con errori autocorrelati,
• regressione lineare di serie storiche integrate.
Lo studente sprovvisto di tali nozioni può recuperarle attraverso la breve dispensa dal titolo “La regressione lineare applicata a dati economici”
disponibile sul sito e-learning di questo corso.
In un esempio viene presentata la regressione non lineare, che
complementa le nozioni di regressione date per note.
1
1
Elementi di teoria delle funzioni di consumo
1.1
Analisi statica
Questo filone di ricerca, il cui iniziatore può essere considerato Keynes, si propone
di studiare l’andamento del consumo in funzione (principalmente) del reddito:
C = c(R),
Ci = c(R),
oppure
dove i è un particolare settore (o bene) di consumo. Alcune quantità cui si farà
spesso ricorso nell’analisi delle varie funzioni di consumo sono le seguenti:
propensione media al consumo: quota di reddito dedicata al consumo:
c̄(R) =
C
,
R
propensione marginale al consumo: quota di un (piccolo) incremento di reddito
dedicata al consumo:
dC
,
c0 (R) =
dR
elasticità del consumo rispetto al reddito: crescita relativa del consumo in
funzione della crescita relativa del reddito:
e(R) =
dC R
c0 (R)
·
=
.
dR C
c̄(R)
Analizziamo ora le principali forme utilizzate per c(·) e le loro proprietà.
Formulazione Keynesiana (funzione lineare)
C = α + βR,
con α ≥ 0 e β ∈ (0, 1), da cui si ha:
c̄(R) = α
1
+β
R
c0 (R) = β
e(R) =
βR
.
α + βR
Si noti che in questo caso la quota di un incremento di reddito utilizzata per
il consumo è costante (β) e un “ricco”consuma la medesima quota dell’incremento di reddito di un “povero”. Questa ipotesi può sembrare irrealistica,
tuttavia quando si utilizzano le serie storiche di dati aggregati sembra essere valida. Quando, invece l’analisi è fatta su dati cross-section, cioè su un
insieme di individui o famiglie intervistati ad una dato tempo t, allora tale
ipotesi non è supportata dai dati. Ciò non è contradditorio, ma presuppone
solamente che, se da un lato un povero ha una propensione marginale al consumo più alta di un ricco, un paese tende a mantenere la medesima quota di
consumo rispetto al reddito, anche quando quest’ultimo cresce nel tempo.
2
Funzione semilogaritmica
C = α + β ln R,
con β > 0, da cui si ha:
1
(α + β ln R)
R
1
c0 (R) = β
R
β
e(R) =
.
α + β ln R
c̄(R) =
In questo caso, la propensione marginale al consumo è decrescente rispetto
al reddito e quindi un povero tende a consumare una quota maggiore del proprio incremento di reddito di un ricco. Un difetto della semilogaritmica è che
inizialmente (per R vicino a 0) la propensione media al consumo (la quota
di reddito dedicata al consumo) cresce con il reddito, tuttavia ciò potrebbe
non essere un problema se per il reddito più basso disponibile in una analisi
dei dati la propensione media fosse già decrescente.
Funzione funzione logaritmica o doppio-logaritmica
ln C = α + β ln R,
con β > 0, che ovviamente equivale a C = eα Rβ da cui si ricava:
c̄(R) = eα Rβ−1
c0 (R) = βeα Rβ−1
e(R) = β.
Per questa funzione l’elasticità della domanda al reddito è costante, mentre
propensione media e marginale sono proporzionali tra loro e decrescenti in
R se e solo se β < 1 (si ricordi che si è posto β > 0). Pertanto questa
funzione ha un significato economico solo se 0 < β < 1.
1.2
Analisi dinamica
Quando si suppone che la relazione tra reddito e consumo sia descritta da una
funzione del tipo Ct = c(Rt ) come nel precedente paragrafo, si sta assumendo
che le decisioni di consumo per l’anno t avvengono in funzione esclusivamente
in funzione del reddito del medesimo anno Rt (oltre che di eventuali altri fattori).
Questa ipotesi è poco verosimile, infatti un consumatore razionale cercherà di adattare il proprio consumo a quello che ritiene essere il suo reddito di lungo periodo,
e reagendo poco a variazioni di reddito che ritiene transitorie. Se l’informazione
principale sul reddito di lungo periodo fosse contenuta prevalentemente degli ultimi h anni di redditi, e limitandoci ad usare la funzione lineare, un modello in grado
di cogliere quanto descritto è il modello a ritardi distribuiti:
Ct = α + β0 Rt + β1 Rt−1 + . . . + βh Rt−h .
3
Se vi fosse un aumento unitario una tantum di reddito al periodo t = τ , il consumo
aumenterebbe in quel periodo di β0 , nel periodo successivo t = τ + 1 di β1 e così
via, ma dal periodo t = τ + h + 1 in poi quell’incremento una tantum non avrebbe
più alcun effetto sul consumo. I coefficienti βi rappresentano quindi la propensione
al consumo su variazioni di reddito avvenute a ritardi diversi. Se invece il reddito
aumenta definitivamente di un’unità, allora dopo h o più periodi la variazione del
consumo sarà di βs = β0 + β1 + . . . βh , che infatti prende il nome di propensione
marginale al consumo di lungo periodo.
Alternativamente, al fine di contenere il numero di parametri del modello, si
può utilizzare un modello di tipo autoregressivo:
Ct = α + βRt + φCt−1 .
Infatti, sostituendo ricorsivamente si ottiene
Ct = α + β(Rt + φRt−1 + φ2 Rt−2 + . . . + φh Rt−h ) + φh+1 Ct−h−1 ,
e nel caso |φ| < 1 i coefficienti φi decrescono con i fino a convergere a zero, col
risultato che sia il livello di consumi che variazioni temporanee di reddito remote
nel tempo non hanno più alcun effetto sulle decisioni di consumo attuali. Da un
punto di vista economico la condizione |φ| < 1 deve sussistere dato che non ha
senso che un incremento transitorio di reddito abbia una influenza permanente sul
livello di consumo.
2
2.1
Analisi empiriche
Prodotto interno lordo e spesa aggregate delle famiglie
Dal volume Istat “Contabilità nazionale. Conti economici nazionali. Anni 19702005”, Tavola 1, si sono estratte le serie storiche del Prodotto interno lordo a prezzi
di mercato (PIL) e delle Spese delle famiglie residenti (CONS), il tutto a prezzi correnti. Ai fini della nostra analisi l’utilizzo dei dati nominali (prezzi correnti) piuttosto che reali (prezzi costanti) non ha conseguenze, dato che entrambe le quantità
subiscono la medesima inflazione.
I grafici a dispersione in Figura 1 mostrano i grafici a dispersione e la retta di
regressione per le tre funzioni di consumo esaminate nel precedente paragrafo.
Evidentemente la relazione semi-logaritmica è da scartare. Per quanto riguarda la relazione lineare e quella doppio-logaritmica è necessario indagare oltre per
giungere ad una scelta univoca.
Prima di tutto è necessario rendersi conto se le serie storiche sono integrate
o stazionarie intorno ad un trend deterministico. Per fare questo eseguiamo i test
di radice unitaria (integrazione) ADF e di stazionarietà KPSS. Gretl consente di
eseguire il test ADF permettendo trend deterministici di tipo lineare e quadratico.
Dato che stiamo lavorando su dati nominali, ci aspettiamo una notevole crescita delle quantità dovuta alla svalutazione della moneta e quindi eseguiamo i test
consentendo anche un trend quadratico.
4
Funzione Keynesiana (lineare)
CONS × PIL
750000
500000
250000
100000
300000
500000
700000
900000
1100000
1300000
Funzione semi−logaritmica
CONS × LPIL
750000
500000
250000
10.5
14
11.0
11.5
12.0
12.5
13.0
13.5
14.0
12.5
13.0
13.5
14.0
Funzione (doppio−) logaritmica
LCONS × LPIL
13
12
11
10.5
11.0
11.5
12.0
Figura 1: Grafici a dispersione e retta di regressione per le variabili: a) PIL-CONS,
b) ln(PIL)-CONS, c) ln(PIL)-ln(CONS).
I risultati della Tabella 1 tendono a rilevare la presenza di radici unitarie (processi integrati) indipendentemente dal trend utilizzato e dalla trasformazione applicata alla variabile. A questo punto, è importante verificare se esistano relazioni di
cointegrazione tra le variabili grezze o tre le variabili in metrica logaritmica.
Confrontando i grafici degli errori delle dure regressioni mostrati in Figura 2
sembra che abbiano un comportamento “più stazionario”quelli relativi al modello
doppio-logaritmico.
Applicando il test ADF agli errori si ottiene ADF = −1.46 per il modello
lineare e ADF = −3.01, con soglie critiche al 1%, 5%, 10%, ripsettivamente pari
a -3.96, -3.37, -3.07. Tuttavia, come è stato già fatto notare nella dispensa sulla
regressione, quando il campione è di ampiezza moderata (qui n = 36) tali test
tendono a essere poco potenti, pertanto non rigettare l’ipotesi nulla potrebbe essere
dovuto ad un alta probabilità di errore di prima specie (accettare quando l’ipotesi
nulla è falsa). Questa affermazione è confermata dall’instabilità dei risultati quando
si applica il test di cointegrazione di Johansen (non spiegato in questo corso), che a
5
Test
Variabile
PIL
LPIL
CONS
LCONS
∗
KPSS (statistica∗ )
trend lineare
0.218
0.256
0.225
0.256
ADF (p-values)
trend lineare trend quadratico
0.048
0.981
0.058
0.974
0.163
0.960
0.129
0.913
Il valore critico al 5% è 0.146, quello all’1% è 0.216.
Tabella 1: p-values per il test ADF con trend lineare e quadratico.
Residui della regressione (= CONS osservata - stimata)
Residui della regressione (= LCONS osservata - stimata)
15000
0.025
10000
0.015
5000
0.005
0.02
Residuo
Residuo
0.01
0
0
-0.005
-5000
-0.015
-0.01
-0.02
-10000
-0.025
1970
1975
1980
1985
1990
1995
2000
2005
1970
1975
1980
1985
1990
1995
2000
2005
Figura 2: Errori di regressioni stimato per il modello lineare e quello doppio
logaritmico.
seconda della versione applicata ai dati in questione, fornisce risposte diverse (una
relazione di cointegrazione vs. stazionarietà delle serie attorno ad un trend).
Per quanto detto, si può ritenere che i residui della regressione del modello
doppio-logaritmico possano essere ritenuti stazionari, tanto più che in essi si possono rilevare chiaramente i movimenti congiunturali dovuti alle crisi petrolifere
degli anni ’70 e alla profonda crisi dell’inizio degli anni ’90.
Le stime OLS con errori standard robusti alla correlazione seriale sono riportati
in tabella 2. La statistica di Durbin-Watson (1.04) minore di 2 e il coefficiente di
autocorrelazione di prim’ordine prossimo a 0.5 (oltre che la Figura 2), ci suggeriscono di indagare la struttura di correlazione degli errori di regressione. In Figura
3 è riportato il correlogramma, e la prima correlazione risulta significativamente
diversa da zero. In realtà i test t in Tabella 2 sono già utilizzabili, in quanto basati
su errori standard HAC. Tuttavia è sempre consigliabile provare a modellare anche
l’autocorrelazione degli errori. Proviamo quindi a stimare il medesimo modello di
regressione, ma con errori AR(1).
L’output del modello regressivo con errori AR(1) è mostrato in Tabella 3. I
valori dei coefficienti stimati sono pressoché i medesimi del modello puramente regressivo. Anche le conclusioni dei test di significatività sono le medesime.
Correlogramma e statistica di Ljung-Box (non riportati) confermano la bontà del
modello.
6
Stime OLS usando le 36 osservazioni 1970–2005
Variabile dipendente: LCONS
Errori standard robusti rispetto alla correlazione seriale, ordine di ritardo 2
Variabile
const
LPIL
Coefficiente
Errore Std.
−0.556444
1.00117
0.0209956
0.00169771
Media della variabile dipendente
D.S. della variabile dipendente
Somma dei quadrati dei residui
Errore standard dei residui (σ̂)
R2
R̄2 corretto
Gradi di libertà
Statistica Durbin-Watson
Coefficiente di autocorrelazione del prim’ordine
Log-verosimiglianza
Criterio di informazione di Akaike
Criterio bayesiano di Schwarz
Criterio di Hannan-Quinn
statistica t
p-value
−26.5029
589.7197
0.0000
0.0000
12.2919
1.18698
0.00389086
0.0106975
0.999921
0.999919
34
1.04078
0.478913
113.306
−222.61
−219.44
−221.50
Tabella 2: Stime OLS con errori standard HAC di ln(CONS) su ln(PIL) e costante.
Osservazioni
• Un modo per svelare la regressione spuria dovuta alla regressione di un processo integrato su uno o più processi integrati, ma tra loro non cointegrati
consiste nell’inserire nella regressione una struttura autoregressivi (per es.
un AR(1)) nei residui di regressione. Nel nostro caso, l’inserimento dell’errore AR(1) nella regressione non ha cambiato la significatività della variabile
ln(PIL), che rimane altamente significativa.
• Dato che per le identità di contabilità nazionale PIL = CONS + INV −
IMPORT + EXPORT, nella regressione ln CONS = β0 + β1 ln PIL + εt ,
l’errore di regressione εt non può essere incorrelato con il regressore. Ciò
viola una delle condizioni sotto le quali il metodo OLS fornisce stime consistenti. Tuttavia, come già notato nella dispensa sulla regressione, quando
vi è presenza di cointegrazione tra le serie storiche, gli stimatori OLS tornano ad essere consistenti anche in mancanza dell’ipotesi di indipendenza dei
regressori dall’errore.
• La relazione da noi stimata tra consumo e reddito nazionale è data da
d
ln
C = −0.56 + 1.00 · ln R,
7
ACF dei residui
1
+- 1.96/T^0.5
0.5
0
-0.5
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Ritardo
PACF dei residui
1
+- 1.96/T^0.5
0.5
0
-0.5
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Ritardo
Figura 3: Autocorrelogramma errori di regressione modello doppio-logaritmico.
ovvero1
C = 0.57R,
che quindi si riduce al modello lineare di Keynes con costante nulla. Il fatto
che si sia dovuti passare attraverso a una trasformazione logaritmica delle
variabili è dovuto quindi solamente al miglior comportamento della parte
stocastica del modello sulle variabili trasformate.
Le funzioni collegate a questa funzione di consumo sono
c̄(R) = 0.57
c0 (R) = 0.57
e(R) = 1.
Pertanto il consumo aggregato è proporzionale al reddito nazionale e propensione media e marginale sono pari alla costante 0.57, mentre l’elasticità
è unitaria.
2.2
Prodotto interno lordo e spese alimentari delle famiglie
Si è visto nell’analisi condotta nel paragrafo precedente che in Italia, negli ultimi 35
anni, le spese aggregate delle famiglie sono cresciuto proporzionalmente al reddito
nazionale lordo. Nondimeno, ci si può aspettare che la composizione di tali spese
si sia modificata nel tempo. Da un lato perché nuovi prodotti si sono nel tempo
1
d
d
Si noti che ln C è la media condizionata di ln C, dato R e che la media condizionata di C dato
R è, sotto normalità, Ĉ = exp{ln C + 0.5σε2 }, dove σε2 è la varianza di εt , che nella nostra stima è
trascurabile (0.0001).
8
Stime ARMAX usando le 36 osservazioni 1970–2005
Variabile dipendente: LCONS
Variabile
const
φ1
LPIL
Coefficiente
Errore Std.
−0.557444
0.466709
1.00125
0.0293101
0.143607
0.00227782
statistica t
p-value
−19.0188
3.2499
439.5670
0.0000
0.0012
0.0000
12.2919
1.18698
0.000114806
8.33476e-05
117.860
−227.72
−221.38
−225.51
Media della variabile dipendente
D.S. della variabile dipendente
Media delle innovazioni
Varianza delle innovazioni
Log-verosimiglianza
Criterio di informazione di Akaike
Criterio bayesiano di Schwarz
Criterio di Hannan-Quinn
Tabella 3: Stima regressione con errori AR(1).
affacciati sul mercato e diffusi (si pensi ad esempio al TV-color negli anni ’70, al
VCR, al CD e al PC negli anni ’80, ai telefonini e ai servizi legati a Internet negli
anni ’90, ecc.), dall’altro perché i prezzi relativi dei beni e l’effetto reddito hanno
modificato il mix dei consumi delle famiglie italiane.
Ci si può quindi chiedere quale forma abbia la funzione di consumo per gli
alimentari, cui è naturale associare una spesa che cresce meno che proporzionalmente rispetto al reddito. Più tecnicamente, ci si aspetta una propensione media e
marginale al consumo decrescenti.
In Figura 4 sono mostrate le tre funzioni introdotte nella parte terorica e la
funzione radice quadrata
C = α + βR1/2 ,
con β > 0. Tale funzione è stata introdotta puramente per motivi empirici, dato che
nessuna delle precedenti funzioni sembra rappresentare adeguatamente il legame
tra spesa in alimentari e reddito. Le funzione derivate rilevanti sono
α
β
+ 1/2
R R
β
c0 (R) =
2R1/2
βR1/2
e(R) =
,
2α + 2βR1/2
c̄(R) =
e le propensioni media e marginale sono decrescenti in R.
Se si è disposti a abbandonare la linearità nei parametri dei modelli visti fin
qui, si può generalizzare la funzione appena vista a
C = α + βRγ ,
9
Funzione Keynesiana (lineare)
Funzione semi−logaritmica
ALIM × PIL
ALIM × LPIL
100000
100000
50000
50000
100000
600000
1100000
Funzione (doppio−) logaritmica
11
12
13
Funzione radice quadrata
LALIM × LPIL
14
ALIM × PIL1/2
11
100000
10
50000
9
11
12
13
14
250
500
750
1000
Figura 4: Grafici a dispersione e retta di regressione
per le variabili: a) PIL-ALIM,
√
b) ln(PIL)-ALIM, c) ln(PIL)-ln(ALIM), d) PIL-ALIM.
con
c̄(R) = αR−1 + βRγ−1
c0 (R) = βγRγ−1
βγRγ
e(R) =
.
α + βRγ
Tale funzione non può essere linearizzata in alcun modo e pertanto richiede
un software in grado di stimare modelli non lineari per mezzo dei minimi quadrati
(spesso detti NLS = nonlinear least squares). In generale un modello di regressione
non lineare assume la forma
yt = h(xt , β) + εt ,
dove h(·, ·) è una funzione arbitraria (con le prime due derivate continue), xt è
il vettore dei regressori, β è un vettore di parametri da stimare e εt è l’errore di
regressione. Sotto le assunzioni classiche su εt gli NLS godono delle medesima proprietà degli OLS, e i risultati legati al venire meno di alcune ipotesi sono
analoghi a quanto visto per la regressione lineare.
Gretl consente la stima di modelli non lineari per mezzo del menu NLS. Per
impostare la stima NLS del nostro modello in Gretl è necessario il seguente codice
da immettere nella procedura NLS:
genr alpha = -19383.6
genr beta = 117
10
genr gamm = 0.5
ALIM = alpha + beta * PIL^gamm
deriv alpha = 1
deriv beta = PIL^gamm
deriv gamm = beta * PIL^gamm * log(PIL)
dove, le prime tre righe fissano i valori iniziali dei parametri da stimare2 , che qui
sono basato sulla regressione OLS di ALIM sulla radice quadrata di PIL, la quarta
riga rappresenta il modello e le ultimi tre righe forniscono le derivate della funzione non lineare rispetto ai tre parametri. Il calcolo analitico delle derivate non è
strettamente necessario, infatti, nel caso le derivate non siano fornite dall’utente,
esse vengono approssimate numericamente, tuttavia se le derivate sono disponibili
analiticamente l’algoritmo è più veloce e i risultati più stabili.
L’output della stima del nostro modello è mostrata in Tabella 4.
Stime NLS usando le 36 osservazioni 1970–2005
Variabile dipendente: ALIM
Errori standard robusti rispetto all’eteroschedasticità, variante HC1
Parametro
α
β
gamm
Stima
−8123.7
23.7886
0.608351
Media della variabile dipendente
D.S. della variabile dipendente
Somma dei quadrati dei residui
Errore standard dei residui (σ̂)
R2
Criterio di informazione di Akaike
Criterio bayesiano di Schwarz
Criterio di Hannan-Quinn
Errore Std.
947.133
4.14070
0.0119847
statistica t
p-value
−8.5772
5.7451
50.7604
0.0000
0.0000
0.0000
63843.5
39437.0
3.23343e+07
989.862
0.999406
601.656
606.406
603.314
Tabella 4: Stime NLS della funzione di regressione ALIM = α + βPILγ + ε
Gli errori di regressione stimati (Tabella 5) sembrano stazionari3 e pertanto
possiamo ritenere la serie ALIM cointegrata con PILγ . Negli errori è presente
autocorrelazione al ritardo 1.
Il modello può essere completato consentendo all’errore di regressione di essere AR(1). Per potere inserire la corretta specificazione nel software si noti che
2
Le procedure di stima non lineari sono basate su algoritmi numerici che hanno bisogno di valori
iniziali, da cui partono nella ricerca del minimo.
3
Qui non è possibile applicare il test di Engle-Granger per la cointegrazione, dato che non sono
state prodotte tavole dei valori critici per la regressione non lineare del tipo utilizzato.
11
Residui della regressione (= ALIM osservata - stimata)
ACF dei residui
2000
1
+- 1.96/T^0.5
0.5
1500
0
-0.5
1000
Residuo
-1
0
500
1
2
3
4
5
6
7
8
Ritardo
PACF dei residui
0
1
+- 1.96/T^0.5
0.5
-500
0
-1000
-0.5
-1
-1500
0
1970
1975
1980
1985
1990
1995
2000
1
2005
2
3
4
5
6
7
8
Ritardo
Figura 5: Errori di regressione non lineari stimati e relativo autocorrelogramma.
l’equazione che si vuole stimare ha forma
yt = α + βxγt + ηt ,
con
ηt = φηt−1 + εt .
Risolvendo la prima equazione per ηt e sostituendo della seconda si ottiene
yt − α − βxγt = φ(yt−1 − α − βxγt−1 ) + εt ,
e risolvendo per yt si ha
yt = α + βxγt + φ(yt−1 − α − βxγt−1 ) + εt .
Una volta create le variabili ritardate yt−1 e xt−1 , quest’ultima equazione è un
modello di regressione non lineare e può essere stimato con gli NLS. La sintassi
per Gretl è
genr
genr
genr
genr
alpha = -19383.6
beta = 117
gamm = 0.5
phi = 0.8
ALIM = alpha + beta*PIL^gamm + phi*(ALIM_1 - alpha - beta*PIL_1^gamm)
deriv
deriv
deriv
deriv
alpha = 1 - phi
beta = PIL^gamm - phi*PIL_1^gamm
gamm = beta*PIL^gamm*log(PIL) - phi*beta*PIL_1^gamm*log(PIL_1)
phi = ALIM_1 - alpha - beta*PIL_1^gamm
L’output per il modello non lineare autoregressivo è mostrato in Tabella 5. Tutti
i coefficienti sono significativi e il coefficiente γ è significativamente diverso da 14 ,
condizione che farebbe del nostro modello un modello lineare.
La funzione di autocorrelazione è compatibile con l’ipotesi che l’errore di regressione non sia autocorrelato (Figura 6), e infatti il Ljung-Box (a ritardo 7) è non
significativo (Q(7) = 6.0160, p-value = 0.538 > 0.05).
4
Il valore 1 non è incluso nell’intervallo [γ̂ − 1.96 · Errore Std.(γ̂), γ̂ + 1.96 · Errore Std.(γ̂)]
12
Stime NLS usando le 35 osservazioni 1971–2005
Variabile dipendente: ALIM
Errori standard robusti rispetto all’eteroschedasticità, variante HC1
Parametro
Stima
Errore Std.
statistica t
α
β
γ
φ
−9387.6
26.3119
0.602043
0.685065
Media della variabile dipendente
D.S. della variabile dipendente
Somma dei quadrati dei residui
Errore standard dei residui (σ̂)
R2
Criterio di informazione di Akaike
Criterio bayesiano di Schwarz
Criterio di Hannan-Quinn
2359.57
10.1293
0.0263030
0.110550
−3.9786
2.5976
22.8887
6.1969
p-value
0.0004
0.0142
0.0000
0.0000
65472.3
38764.6
1.67376e+07
734.795
0.999672
565.049
571.271
567.197
Tabella 5: Stime del modello non lineare autoregressivo.
In Figura 7 si riporta la funzione di consumo di alimentari stimata, la propensione media al consumo di alimentari media e marginale e l’elasticità del consumo
di alimentari al reddito. Si invita lo studente a riflettere sui limiti che una tale
funzione di consumo presenta dal punto di vista economico.
13
ACF dei residui
1
+- 1.96/T^0.5
0.5
0
-0.5
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Ritardo
PACF dei residui
1
+- 1.96/T^0.5
0.5
0
-0.5
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Ritardo
Figura 6: Autocorrelogramma degli errori del modello non lineare autoregressivo.
120 000
0.15
100 000
80 000
0.10
60 000
40 000
20 000
200 000
400 000
600 000
800 000
1. ´ 106 1.2 ´ 106 1.4 ´ 106
200 000
400 000
600 000
800 000
1. ´ 106 1.2 ´ 106 1.4 ´ 106
200 000 400 000 600 000 800 000 1. ´ 106 1.2 ´ 106 1.4 ´ 106
0.85
0.16
0.80
0.14
0.75
0.12
0.70
0.10
0.65
0.08
0.60
200 000
400 000
600 000
800 000
1. ´ 106 1.2 ´ 106 1.4 ´ 106
Figura 7: Funzione di consumo di alimentari (sopra, sinistra), propensione media
(sopra destra), propensione marginale (sotto, sinistra) ed elasticità (sotto, destra).
14