Esercizi su Rappresentazioni di Dati e Statistica

Esercizi su Rappresentazioni di Dati e Statistica
Esercizio 1
Esprimete in forma percentuale e traducete in un aerogramma i dati della seguente tabella:
Nord
25 518 866
Centro
10 952 361
Sud
14 135 320
Isole
6 792 561
Totale
57 399 108
Soluzione
Per poter esprimere in forma percentuale occorre impostare una proporzione, per esempio
Totale : 100 = Nord : xNORD
e quindi
x NORD =
Nord
⋅100
Totale
Si avrà quindi
x NORD =
Nord
25518866
⋅ 100 =
⋅ 100 = 44,46%.
Totale
57399108
Per misurare l'ampiezza dell'angolo nell'areogramma, considerando che l’intera torta misura 360°,
occorre impostare la seguente proporzione
percentuale : 100 = x : 360
e quindi
x = percentual e ⋅ 3,6.
percentuale : 100 = x : 360
Riepilogando quanto detto avremo:
Regione
Popolazione
Percentuale
Angolo
Nord
25518866
44,46
160,05
Centro
10952361
19,08
68,69
Sud
14135320
24,63
88,65
Isole
6792561
11,83
42,60
Areogramma popolazione
Nord
Centro
Sud
1
Isole
Esercizio 2
In un campione estratto da una popolazione adulta, i genetisti trovarono 219 persone con
diabete mellito, 380 persone on una lieve forma di diabete e 3050 persone senza alcuna traccia di
diabete. Trovare le percentuali di ogni gruppo e rappresentare i dati mediante un aerogramma.
Soluzione
Il campione esaminato sarà costituito da un numero di persone pari a
N = 219 + 380 + 3050 = 3649.
Ragionando come nell' Esercizio 1 si avrà
Stato
Con diabete mellito
Con diabete lieve
Sano
Numero
219
380
3050
Percentuale
6,00
10,41
83,58
Angolo
21,61
37,49
300,90
Areogramma relativo alle analisi
con diabete mellito
con diabete lieve
sano
Esercizio 3
Consideriamo un campione di 10 esemplari di fiore di codolina, per ciascuno dei quali
misuriamo in cm la lunghezza della foglia superiore, indicata con X. I dati risultanti sono quelli
riportati in tabella. Calcolare la media, la mediana, l' intervallo divariazione, la varianza, lo scarto
quadratico medio e la distanza interquartile.
X
23,4
22,0
25,0
18,1
18,9
20,5
19,1
27,5
21,6
15,0
23,4
x8
25,0
x9
27,5
x10
Soluzione
Costruiamo innanzitutto una nuova tabella con i valori in ordine crescente:
15,0
x1
X
•
18,1
x2
18,9
x3
19,1
x4
20,5
x5
21,6
x6
22,0
x7
La media aritmetica sarà:
x=
x1 + ... + x n 15,0 + 18,1 + 18,9 + 19,1 + 20,5 + 21,6 + 22,0 + 23,4 + 25,0 + 27,5
=
= 21,11 .
n
10
2
•
Siccome n = 10 è pari la mediana sarà
xn + xn
Me =
•
2
2
+1
2
x 10 + x 10
=
2
2
2
+1
=
x 5 + x 6 20,5 + 21,6
=
= 21,05.
2
2
L' intervallo di variazione sarà
I V = x Max − x min = x10 − x1 = 27,5 − 15,0 = 12,5.
•
La varianza sarà
x12 + ... + x n2
− x2 =
n
2
2
2
2
2
2
15,0 + 18,1 + 18,9 + 19,1 + 20,5 + 21,6 + 22,0 2 + 23,4 2 + 25,0 2 + 27,52
=
− 21,112 = 11,79.
10
Var =
•
Lo scarto quadratico medio sarà
σ = Var = 11,79 = 3,43.
•
Per quanto riguarda la distanza interquartile, bisogna considerare che la mediana, detta anche
secondo quartile, divide l' insieme di partenza in due parti uguali,
{x1 , x 2 , x 3 , x 4 , x5 }
e
{x 6 , x 7 , x8 , x 9 , x10 }
Si chiama primo quartile, e si indica con q1, l' elemento di posto centrale del primo sottoinsieme, e
terzo quartile l' elemento centrale del secondo sottoinsieme, che si indica conq2.
La distanza interquartile è definita come
∆ = q3 − q1 .
Nel nostro caso si avrà
q1 = x 3 = 18,9
e
q3 = x 8 = 23,4
quindi
∆ = q3 − q1 = x8 − x 3 = 23,4 − 18,9 = 4,5 .
Esercizio 4
Calcolare l' altezza media, la mediana, l' intervallo di variazione, la varianza, lo scarto
quadratico medio e si disegni l’istogramma delle frequenze del campione rilevato dalla seguente
tabella:
3
Altezza in cm
Fass
153
2
158
4
163
16
168
40
173
63
178
47
183
20
188
6
193
0
198
2
Soluzione
•
L’istogramma delle frequenze del campione è il seguente
Frequenaza assoluta
Istogramma delle altezze
70
60
50
40
30
20
10
0
153
158
163
168
173
178
183
188
193
198
Altezza
Per risolvere i restanti punti, completiamo ora la tabella indicando il posto occupato da ciascun
elemento. Avremo
Altezza 153 158
163
168
173
178
183
188
193 198
Fass
2
4
16
40
63
47
20
6
0
2
x1,x2 x3,…,x6 x7,…,x22 x23,…,x62 x63,…,x125 x126,…,x172 x173,…,x192 x193,…,x198
x199,x200
A questo punto, poiché:
n = 2 + 4 + 16 + 40 + 63 + 47 + 20 + 6 + 0 + 2 = 200
•
La media aritmetica sarà:
x=
=
•
2 ⋅ 153 + 4 ⋅ 158 + 16 ⋅ 163 + 40 ⋅168 + 63 ⋅ 173 + 47 ⋅178 + 20 ⋅ 183 + 6 ⋅ 188 + 0 ⋅ 193 + 2 ⋅ 198
= 173,575
200
Siccome n = 200 è pari la mediana sarà
xn + xn
Me =
•
x1 + ... + x n
=
n
2
2
+1
2
x 200 + x 200
=
2
2
2
+1
=
x100 + x101 173 + 173
=
= 173.
2
2
L' intervallo di variazione sarà
I V = x Max − x min = x10 − x1 = 198 − 153 = 45.
4
•
La varianza sarà
Var =
=
x12 + ... + x n2
− x2 =
n
2 ⋅ 1532 + 4 ⋅ 158 2 + 16 ⋅ 1632 + 40 ⋅ 168 2 + 63 ⋅ 1732 + 47 ⋅ 178 2 + 20 ⋅ 1832 + 6 ⋅ 188 2 + 0 ⋅1932 + 2 ⋅ 198 2
−
200
− 173,575 2 = 50,04.
•
Lo scarto quadratico medio sarà
σ = Var = 50,04 = 7,07 .
Esercizio 5
Per ciascuna delle due serie pesoM e pesoF di dati, si disegni l’istogramma delle frequenze
relative. Si calcoli la media aritmetica, la mediana, l’intervallo di variazione, la varianza e lo scarto
quadratico medio.
pesoM = (56, 56, 57, 60, 62, 62, 64, 65, 65, 65, 65, 65, 66, 68, 70, 70, 70, 72, 75, 75, 81, 89, 90, 90,
96);
pesoF = (40, 40, 41, 42, 44, 45, 45, 45, 46, 46, 46, 47, 47, 48, 48, 48, 48, 48, 49, 49, 50, 50, 50, 50,
50, 50, 51, 51, 51, 51, 51, 52, 52, 52, 53, 54, 56, 57, 58, 58, 58, 59, 60, 62, 64, 65, 65).
Soluzione
La frequenza relativa Frel di un elemento della serie si ottiene dividendo, per il numero n di elementi
della serie, la frequenza assoluta Fass dell’elemento considerato.
Per esempio se si considera il numero 65 nella serie pesoM che è costituita da n = 25 elementi, si
ha: Fass = 5
Frel = 5/25 = 0.2 = 20 %.
56
57
60
62
64
65
66
68
70
72
75
81
89
90
96
Frequenza
assoluta
2
1
1
2
1
5
1
1
3
1
2
1
1
2
1
Frequenza
relativa
0,08
0,04
0,04
0,08
0,04
0,2
0,04
0,04
0,12
0,04
0,08
0,04
0,04
0,08
0,04
Istogramma delle frequenze relative di
pesoM
28%
frequenza relativa
Elementi
24%
20%
16%
12%
8%
4%
0%
56 57 60 62 64 65 66 68 70 72 75 81 89 90 96
peso
5
Considerando che per pesoF si ha n= 47 avremo:
40
41
42
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
56
57
58
59
60
62
64
65
•
Frequenza
assoluta
2
1
1
1
3
3
2
5
2
6
5
3
1
1
1
1
3
1
1
1
1
2
Istogramma delle frequenze relative pesoF
20%
16%
12%
8%
4%
0%
40 41 42 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 56 57 58 59 60 62 64 65
peso
La media aritmetica sarà:
xM =
x1 + ... + x n 2 ⋅ 56 + 57 + 60 + 2 ⋅ 62 + 64 + 5 ⋅ 65 + 66 + 68 + 3 ⋅ 70 + 72 + 2 ⋅ 75 + 81 + 89 + 2 ⋅ 90 + 96
=
= 70,16
n
25
xF =
•
Frequenza
relativa
0,04
0,02
0,02
0,02
0,06
0,06
0,04
0,106
0,04
0,12
0,11
0,06
0,02
0,02
0,02
0,02
0,06
0,02
0,02
0,02
0,02
0,04
frequenza relativa
Elementi
x1 + ... + xn 2 ⋅ 40 + 41 + 42 + 44 + 3 ⋅ 45 + 3 ⋅ 46 + 2 ⋅ 47 + 5 ⋅ 48 + 2 ⋅ 49 + 6 ⋅ 50
=
+
n
47
5 ⋅ 51 + 3 ⋅ 52 + 53 + 54 + 56 + 57 + 3 ⋅ 58 + 59 + 60 + 62 + 64 + 2 ⋅ 65
+
= 50,89
47
Siccome n è dispari la mediana sarà
M e = x n +1
2
quindi
M eM = x 25+1 = x13 = 66
M eF = x 47 +1 = x 24 = 50 .
2
•
2
L' intervallo di variazione sarà
I VM = x Max − x min = 96 − 56 = 44
•
I VF = x Max − x min = 65 − 40 = 25 .
La varianza sarà
6
2 ⋅ 56 2 + 57 2 + 60 2 + 2 ⋅ 62 2 + 64 2 + 5 ⋅ 652 + 66 2 + 68 2
+
25
3 ⋅ 70 2 + 72 2 + 2 ⋅ 752 + 812 + 89 2 + 2 ⋅ 90 2 + 962
+
− 70,16 2 = 87,63
25
VarM =
2 ⋅ 40 2 + 412 + 42 2 + 44 2 + 3 ⋅ 45 2 + 3 ⋅ 46 2 + 2 ⋅ 47 2 + 5 ⋅ 48 2 + 2 ⋅ 49 2 + 6 ⋅ 50 2 + 5 ⋅ 512
+
47
3 ⋅ 52 2 + 532 + 54 2 + 56 2 + 57 2 + 3 ⋅ 582 + 59 2 + 60 2 + 62 2 + 64 2 + 2 ⋅ 65 2
+
− 50,89 2 = 25,57
47
VarF =
•
Lo scarto quadratico medio sarà
σ M = Var = 87,63 = 9,36
σ F = Var = 25,57 = 5,06 .
Esercizio 6
Si devono ripartire 800 polli tra 1600 individui. Ecco 4 possibili criteri di suddivisione:
a) Si dà mezzo pollo a ciascun individuo.
b) Si dà un pollo a 800 persone e nulla ai restanti 800 individui.
c) Si danno due polli a 400 persone e nulla ai restanti 1200 individui.
d) Si danno tutti gli 800 polli a una persona e nulla ai restanti 1599 individui.
Per ciascuna di tali ripartizioni, calcolate la media aritmetica e lo scarto quadratico medio.
Soluzione
La media aritmetica è, logicamente, sempre la stessa, qualunque si la ripartizione considerata.
Facciamo comunque i calcoli.
Il numero di persone è n = 1600.
a) In questo caso ogni persona avrà mezzo pollo quindi x i =
1
per ogni i con una frequenza
2
assoluta di 1600. Quindi
x=
1
2 =1.
800
2
1600 ⋅
b) In questo caso 800 persone avranno un pollo e 800 non avranno alcun pollo quindi x i = 1
con frequenza 800 e x i = 0 con frequenza 800. Si avrà quindi
x=
800 ⋅ 1 + 800 ⋅ 0 1
= .
800
2
c) In questo caso 400 persone avranno due polli e 1200 non avranno alcun pollo quindi x i = 2
con frequenza 400 e x i = 0 con frequenza 1200. Si avrà quindi
7
x=
400 ⋅ 2 + 1200 ⋅ 0 1
= .
800
2
d) In questo caso una persona avrà 800 polli e i restanti 1599 non avranno alcun pollo quindi
x i = 800 con frequenza 1e x i = 0 con frequenza 1599. Si avrà quindi
x=
1 ⋅ 800 + 1599 ⋅ 0 1
= .
800
2
Quindi la media aritmetica è sempre ½. Calcoliamo ora lo scarto quadratico medio.
a) Si avrà:
2
1
1600 ⋅  
2
2 1

σ =
−  = 0.
1600
2
b) Si avrà
800 ⋅ 12 + 800 ⋅ 0 2  1 
1
σ=
−   = = 0,5 .
1600
2
2
2
c) Si avrà
400 ⋅ 2 2 + 1200 ⋅ 0 2  1 
3
−  =
≈ 0,866
1600
2
2
2
σ =
d) Si avrà
1 ⋅ 800 2 + 1599 ⋅ 0 2  1 
1599
σ =
−  =
≈ 19,99 .
1600
2
2
2
Esercizio 7
Per ottimizzare il lavoro in una ditta, il manager compie un' indagine. Un' analisi indica la
distribuzione d' età dei la
voratori, come segue:
Fascia d’età 20 < x < 25
15
Frequenza
25 < x < 30
46
30 < x < 35
49
35 < x < 40
33
40 < x < 45
28
45 < x < 50
14
Calcolare la media, la mediana, supponendo che l' età dei lavoratori coincida con la metà del
quinquennio. Si disegni l' istogramma delle frequenze.
8
Soluzione
Siccome l' età dei lavoratori coincide con la metà del quinquennio, si può direttamente considerare la
tabella che si ottiene facendo la media aritmetica degli estremi di ogni intervallo. Per esempio, per il
primo intervallo la metà del quinquennio si ottiene facendo
20 + 25
= 22,5 .
2
Avremo quindi
Fascia d’età
Frequenza
•
22,5
15
x1,…,x15
32,5
49
x62,…,x 110
37,5
33
x111,…,x 143
42,5
28
x144,…,x 171
47,5
14
x172,…,x 185
La media aritmetica sarà
x=
•
27,5
46
x16,…,x 61
15 ⋅ 22,5 + 46 ⋅ 27,5 + 49 ⋅ 32,5 + 33 ⋅ 37,5 + 28 ⋅ 42,5 + 14 ⋅ 47,5
= 33,99 .
185
La mediana sarà
M e = x n +1 = x 185 +1 = x 93 = 32,5 .
2
2
L' istogramma delle frequenze sarà il seguente:
Frequenze
Istogramma
55
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
22,5
27,5
32,5
37,5
42,5
47,5
Età
Esercizio 8
Il direttore di un' agenzia di viaggio compie un' indagine. Un' lisi
anaindica la distribuzione
d' età dei viaggiatori, come segue:
Fascia d’età 15 < x < 25
45
Frequenza
25 < x < 35
38
35 < x < 45
30
55 < x < 55
25
55 < x < 65
33
65 < x < 75
29
Calcolare la media, la mediana, supponendo che l' età dei viaggiatori coinci
da con la metà del
decennio. Si disegni l' istogramma delle frequenze.
9
Soluzione
Ragionando come nell’Esercizio 7 avremo la tabella:
Fascia d’età
Frequenza
•
20
45
x1,…,x45
40
30
X84,…,x 113
50
25
x114,…,x 138
60
33
x139,…,x 171
La media aritmetica sarà
x=
•
30
38
X46,…,x 83
45 ⋅ 20 + 38 ⋅ 30 + 30 ⋅ 40 + 25 ⋅ 50 + 33 ⋅ 60 + 29 ⋅ 70
= 42,5 .
200
La mediana sarà
xn + xn
Me =
2
2
+1
2
x 200 + x 200
=
2
2
+1
2
=
x100 + x101 40 + 40
=
= 40 .
2
2
L' istogramma delle frequenze sarà il seguente:
Frequenza
Istogramma
50
40
30
20
10
0
20
30
40
50
Età
10
60
70
70
29
x172,…,x 200