Segnali periodici Teorema di Fourier Filtri Serie di Fourier

Segnali periodici
Teorema di Fourier
Filtri
Edgardo Smerieri
PLS - AIF Scuola Estiva di Fisica
Genova 2009
Serie di Fourier
∞
V (t ) = a0 +
∑ (a
n
cos nω0t + bn sin nω0t )
n =1
T
a0 =
∫
1
V (t )dt
T
0
T
an =
∫
2
V (t ) cos (nω0t )dt
T
ω0 =
2π
T
0
T
bn =
∫
2
V (t ) sin (nω0t )dt
T
0
∞
V (t ) = ACC +
∑ A sin (nω t + ϕ )
n
0
n
n =1
2
1
Segnali periodici oggetto di misura
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Segnale triangolare bipolare antisimmetrico (dispari)
Segnale a onda quadra bipolare antisimmetrica (dispari)
Segnale a onda quadra bipolare simmetrica (pari)
Segnale a onda quadra unipolare antisimmetrica (dispari)
Segnale a onda quadra generica (dispari)
Segnale a dente di sega bipolare antisimmetrico (dispari)
Delta di Dirac
3
Segnale triangolare bipolare
antisimmetrico (dispari)
•
•
•
Il valore medio è nullo pertanto non c’è il termine costante
Sono presenti solo termini in “seno”
Sono presenti solo armoniche dispari
Vin(t)
+E
T/2 3T/4
T/4
T
t
V pp = 2 E
−E
4V pp
∞
∑
1
sin(2n + 1)ω0t
(−1) n
π 2 n =0
(2n + 1) 2
4V pp ⎛
1
1
1
⎞
Vin (t ) = 2 ⎜ sen ωt − sen 3ωt + sen 5ωt − sen 7ωt + LL⎟
9
25
49
π ⎝
⎠
Vin (t ) =
4
2
Segnale a onda quadra bipolare
antisimmetrica (dispari)
•
•
•
Il valore medio è nullo pertanto non c’è il termine costante
Sono presenti solo termini in “seno”
Sono presenti solo armoniche dispari
Vin
E
V pp = 2 E
T/2
−E
Vin (t ) =
Vin (t ) =
2V pp
π
∞
t
T
∑ 2n + 1 sin(2n + 1)ω t
1
0
n =0
2V pp ⎛
1
1
1
⎞
⎜ sin ω0 t + sin 3ω0 t + sin 5ω0t + sin 7ω0t + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⎟
3
5
7
π ⎝
⎠
5
Segnale a onda quadra bipolare
simmetrica (pari)
•
•
•
Il valore medio è nullo pertanto non c’è il termine costante
Sono presenti solo termini in “coseno”
Sono presenti solo armoniche dispari
Vin
E
T/4
−E
Vin (t ) =
Vin (t ) =
2V pp
π
∞
∑ (−1)
n =0
n
T/2
t
V pp = 2 E
1
cos(2n + 1)ω0t
2n + 1
2V pp ⎛
1
1
1
⎞
⎜ cos ω0t − cos 3ω0t + cos 5ω0t − cos 7ω0t + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⎟
π ⎝
3
5
7
⎠
6
3
Segnale a onda quadra unipolare
antisimmetrica (dispari)
•
•
•
Il valore medio è diverso da zero pertanto c’è il termine costante
Sono presenti solo termini in “seno”
Sono presenti solo armoniche dispari
Vin
E
V pp = E
T/2
Vin (t ) =
Vin (t ) =
V pp
2
+
V pp
2
+
2V pp
π
∞
t
T
∑ 2n + 1 sin(2n + 1)ω t
1
0
n =0
2V pp ⎛
1
1
1
⎞
⎜ sin ω0t + sin 3ω0t + sin 5ω0t + sin 7ω0t + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⎟
3
5
7
π ⎝
⎠
7
Segnale a onda quadra generica
(dispari)
•
•
•
Il valore medio è diverso da zero pertanto c’è il termine costante
Sono presenti solo termini in “seno”
Sono presenti solo armoniche dispari
Vin
Emax
V pp = Emax − Emin
Vdc =
Emin
Emax + Emin
2
T/2
t
T
∞
Vin (t ) =
E max + Emin 2( Emax − Emin )
1
+
sin(2n + 1)ω0t
2
π
2
n
+1
n =0
Vin (t ) = Vdc +
∑
2V pp ⎛
1
1
1
⎞
⎜ sin ω0t + sin 3ω0t + sin 5ω0t + sin 7ω0t + ⋅ ⋅ ⋅ ⎟
3
5
7
π ⎝
⎠
8
4
Segnale a dente di sega bipolare
antisimmetrico (dispari)
•
•
•
Il valore medio è nullo pertanto non c’è il termine costante
Sono presenti solo termini in “seno”
Sono presenti solo armoniche pari e dispari
Vin(t)
+E
T/2
T
Vin (t ) =
V pp
π
∞
∑ (−1)
n =0
n
V pp = 2 E
t
−E
1
sin(n + 1)ω0t
n +1
V pp ⎛
1
1
1
1
⎞
Vin (t ) =
⎜ sin ω0t − sin 2ω0t + sin 3ω0t − sin 4ω0t + sin 5ω0t + ⋅ ⋅ ⋅ ⎟
π ⎝
2
3
4
5
⎠
9
Segnale a delta di Dirac
•
•
Sono presenti solo termini in “coseno”
Sono presenti tutte le armoniche pari e dispari
Vin
+∞
Vin (t ) =
∑ δ(t − kT )
k = −∞
t
Vin (t ) =
Vin (t ) =
2
T
+∞
∑ cos nω t
0
n =0
2
[cos ω0t + cos 2ω0t + cos 3ω0t + cos 4ω0t + cos 5ω0t + ⋅ ⋅ ⋅]
T
10
5
Segnale a delta di Dirac
11
Filtri elettronici
FILTRO
Vin
Vout
Modifica l’aspetto del segnale d’ingresso agendo sull’ampiezza e
sulla fase delle sue componenti spettrali
Ad esempio con un segnale d’ingresso periodico descritto dalla serie di Fourier:
∞
Vin (t ) = ACC +
∑ A sin (nω t + ϕ )
n
0
n
n =1
in uscita si ha:
∞
Vout (t ) = BCC +
∑B
n
sin (nω0t + ϑ n )
n =1
12
6
I filtri analogici
Si distinguono in base al :
– Tipo di risposta in frequenza (LPF - HPF - BPF – BSF - APF)
– Tipo di circuito con cui si realizzano (Sallen Key - Reazione
multipla – etc.)
– Tipo di approssimazione (Butterworth - Chebyshev - Bessel
- etc. )
– Numero d’ordine del filtro
Possono inoltre essere:
– Attivi o passivi
– Dissipativi e non dissipativi
13
Risposta di un filtro LPF ideale
Vout
Vin
Non si può fisicamente
realizzare un filtro con una
risposta di questo tipo
Approssimazione
della risposta
f0
Un discorso analogo si può fare anche per gli altri tipi di filtro
f
14
7
Approssimazioni
Risposta di filtri passa basso
15
Risposta alla Butterworth
Vout
=
Vin
per ω = ω0 si ha
1
⎛ ω⎞
1 + ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ ω0 ⎠
2n
Vout
1
=
≅ 0.707
Vin
2
qualsiasi sia l’ordine n del filtro
In decibel il valore 0.707 corrisponde a – 3 dB
16
8
Il decibel
•
•
Indichiamo con Vout e Vin le ampiezze dei segnali
Il loro rapporto può essere espresso in decibel ovvero
Vout
Vin
= 20 log
dB
Vout/Vin
100
10
1
0.1
0.01
Vout
Vin
Vout/Vin in dB
+ 40
+ 20
0
- 20
- 40
17
Risposta di filtri passa basso
(in dB)
La pendenza asintotica oltre la
frequenza di cut-off è data
pendenza = − n ⋅ 20
dB
decade
18
9
Azione di un filtro LPF su alcuni
segnali tipici
Filtro LOW PASS
Vin
Vout
• In tutti i casi il filtro ha una frequenza di taglio di 4 KHz
• Il tipo di risposta del filtro è alla Butterworth
• L’ordine del filtro è 4
I segnali sono
– Onda quadra (a) a 217 Hz
– Onda quadra (b) a 646 Hz
– Dente di sega (a) a 490 Hz
– Dente di sega (b) a 1302 Hz
– Campioni di Sinusoide a 2315 Hz
– Campioni di un segnale a 2315 Hz con prima e terza armonica
19
Onda quadra (a)
•
•
•
Onda quadra a 217 Hz
Fondamentale a 217 Hz – 17a Armonica 3689 Hz
Filtro passa basso con 4 kHz di frequenza di taglio
Ingresso
Uscita
20
10
Onda quadra (b)
•
•
•
Onda quadra a 646 Hz
Fondamentale a 646 Hz – 5a Armonica 3230 Hz
Filtro passa basso con 4 kHz di frequenza di taglio
Ingresso
Uscita
21
Dente di sega (a)
•
•
•
Dente di sega a 490 Hz
Fondamentale a 490 Hz – 8a Armonica 3920 Hz
Filtro passa basso con 4 kHz di frequenza di taglio
Ingresso
Uscita
22
11
Dente di sega (b)
•
•
•
Dente di sega a 1302 Hz
Fondamentale a 1302 Hz – 3a Armonica 3906 Hz
Filtro passa basso con 4 kHz di frequenza di taglio
Ingresso
Uscita
23
Segnale sinusoidale campionato
•
•
•
Segnale sinusoidale campionato
Fondamentale a 2315 Hz
Filtro passa basso con 4 kHz di frequenza di taglio
Ingresso
Uscita
24
12
Segnale campionato con 1a e 3a
armonica
•
•
•
Segnale campionato con due componenti di onda quadra : la
fondamentale e la terza armonica
Fondamentale a 2315 Hz – 3a Armonica 6945 Hz
Filtro passa basso con 4 kHz di frequenza di taglio
Ingresso
Uscita
25
Triangolare
•
•
•
Triangolare a 245 Hz
Fondamentale a 245 Hz – 16a Armonica 3920 Hz
Filtro passa basso con 4 kHz di frequenza di taglio
L’uscita com’è ?
Ingresso
26
13
Schema a blocchi del generatore
del singolo segnale
Oscillatore
Sinusoidale
Seno
Coseno
Polarità
±
Amplificatore
al
sommatore
La frequenza delle diverse armoniche è fissa
27
Generatore di segnale
sinusoidale a 100 Hz
Ampiezza e polarità
Generatore di segnale
sinusoidale a 200 Hz
Ampiezza e polarità
Generatore di segnale
Ampiezza e polarità
sinusoidale a 300 Hz
Generatore di segnale
sinusoidale a 800 Hz
Ampiezza e polarità
Generatore di segnale
sinusoidale a 900 Hz
Ampiezza e polarità
Generatore di segnale
sinusoidale a 1000 Hz
Ampiezza e polarità
Sommatore
Schema a blocchi del dispositivo per la
generazione di segnali periodici
28
14
Dispositivo per la generazione di segnali
periodici basato sul teorema di Fourier
29
Dispositivo per la generazione di
segnali periodici - Particolare
Frequenza
Tipo di
segnale
Polarità
Regolazione
ampiezza
del segnale
Inserimento armonica
e tipo armonica
Punto di
prelievo del
segnale per
la misura
dell’ampiezza
30
15
Dispositivo per la generazione di
segnali periodici - Particolare
Punto a cui connettere la sonda
Segnale d’uscita
all’oscilloscopio
Voltmetro in DC
Sonda per la misura dell’ampiezza
31
Misurazioni
Generatore di segnali
periodici
tramite somma di
componenti di Fourier
Filtro
Passa
Basso
Oscilloscopio 2
o
Multimetro 2
Oscilloscopio 1
o
Multimetro 1
32
16
Filtro LPF 2° ordine
alla Linkwitz-Riley
È formato da due filtri identici del primo ordine posti in cascata
La frequenza di taglio di ognuno è di 482 Hz
Il filtro complessivo è del secondo ordine
L’attenuazione alla frequenza di taglio è di 6 dB
33
Risposta in frequenza
del filtro alla Linkwitz-Riley
34
17
Metodologia di misura
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Scegliere il tipo di onda
La frequenza della componente fondamentale è 100 Hz ed è prefissata
Il numero massimo di armoniche con cui si può ricostruire il segnale è prefissato
nel numero di 10 (massima frequenza 1000 Hz)
L’ampiezza massima delle singole componenti è 10 V
Individuare il tipo di armoniche presenti nel segnale
Regolare l’ampiezza e la fase della singola armonica con il multimetro 1 (in DC)
posto all’uscita del generatore di segnale
Alla fine attivare tutte le componenti di Fourier
Osservare con l’oscilloscopio 1 il segnale in uscita dal generatore e fare le misure
relative
Costruire il filtro e collegarlo all’uscita del generatore
Osservare il segnale in uscita dal filtro con l’oscilloscopio 2 e fare le misure
relative
35
18