Appunti di Controlli Automatici 1

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A p p u n ti di Co n tr o l l i A u to m a ti c i 1
C a p it o lo 8 – p a r t e I I I
I l pro ge tto d ei r eg o la to r i
L A COMPENSAZIONE MEDIANTE RETI CORRETTRICI ............................................................... 2
Introduzione................................................................................................................... 2
Compensazione per aumento della costante di guadagno ................................................... 4
Compensazione mediante rete ritardatrice........................................................................ 6
Compensazione mediante reti anticipatrici ..................................................................... 10
Compensazione mediante reti a ritardo e anticipo........................................................... 13
L A RETROAZIONE TACHIMETRICA ...................................................................................... 19
Introduzione ad un servomeccanismo di posizione .......................................................... 19
La retroazione tachimetrica .......................................................................................... 20
Vantaggi della retroazione tachimetrica......................................................................... 23
Esempio ....................................................................................................................... 28
Esempio ....................................................................................................................... 31
Appunti di “Controlli Automatici 1” – Capitolo 8 parte III
L
Laa cco
om
mp
peen
nssaazziio
on
nee m
meed
diiaan
nttee rreettii cco
orrrreettttrriiccii
Introduzione
Consideriamo un sistema avente funzione di risposta armonica ad anello aperto
G(jω). Supponiamo che tale sistema sia stabile in anello aperto e supponiamo
inoltre che i diagrammi di Bode del modulo e della fase di G(jω) siano quelli
riportati nella figura seguente:
G ( jω)
dB
T ( jω )
dB
= 0 dB
20 log 10
ω B1
ω B3
ω B2
1
= 20 log 10 A 0
f
log 10 ω
arg G ( j ω )
ω0
log 10 ω
-45°
-90°
-135°
mf>0
-180°
-225°
-270°
Supponiamo di chiudere il sistema in un anello di reazione negativa
caratterizzato da una rete di reazione con funzione di risposta armonica H(jω)=f
costante in frequenza.
+
+
G(jw)
-
H(jw)=f
Mandando, sul diagramma dei moduli di G(jω), la retta orizzontale per
20log 10 (1/f), sappiamo di poter studiare la stabilità dell’amplificatore ad anello
Autore: Sandro Petrizzelli
2
Compensazione - Retroazione tachimetrica
chiuso mediante una valutazione del margine di fase (mf, individuato nel
diagramma delle fasi): si nota in figura che tale margine risulta essere positivo
(leggermente inferiore a 45°), da cui deduciamo che il sistema ad anello chiuso, con
questa scelta del fattore di reazione f, risulta essere stabile.
E’ evidente che, se aumentiamo l’entità della reazione aumentando il valore di f,
le cose cambiano, in quanto la retta per 20log 10 (1/f) si abbassa, la pulsazione di
transizione ω0 (cioè la pulsazione in corrispondenza della quale il guadagno d’anello
T(jω
ω )=f⋅⋅ G(jω
ω ) assume modulo unitario) si sposta verso destra e il margine di fase si
riduce fino a diventare negativo, come per esempio accade nella figura seguente:
G ( jω )
dB
T ( jω )
dB
= 0 dB
20 log
ω B1
ω B3
ω B2
10
1
= 20 log
f
10
A0
log 10 ω
arg G ( j ω )
ω0
log 10 ω
-45°
-90°
-135°
-180°
mf<0
-225°
-270°
Esiste dunque un valore critico f C del fattore di reazione in
corrispondenza del quale si ottiene un margine di fase nullo: per valori
di f superiori a f C , il sistema è instabile in anello chiuso, mentre per valori inferiori
a f C esso rimane stabile.
A questo valore critico del fattore di reazione corrisponde anche un valore critico
del guadagno d’anello, che sarà ovviamente
TC = f C G 0
(dove G 0 è il guadagno statico del sistema in anello aperto), oltre il quale il sistema
è instabile ad anello chiuso.
Può tuttavia capitare che si sia obbligati a progettare il sistema in modo che
abbia un guadagno d’anello T maggiore di T C : in questi casi, è necessario prendere
dei provvedimenti necessari ad aumentare il margine di fase pur conservando il
valore desiderato di T. Le tecniche volte ad aumentare il margine di fase prendono
il nome di tecniche di compensazione.
3
Questi discorsi valgono ovviamente anche nel caso in cui la retroazione sia
unitaria (per cui f=1 e quindi i diagrammi di T(jω)=H(jω)⋅G(jω) coincidono con quelli
di G(jω), per cui si può far riferimento direttamente a quest’ultima funzione). Noi
considereremo, nel seguito, solo casi di retroazione unitaria.
Lo studio della compensazione di un sistema di controllo si esegue dunque
dapprima sul diagramma di risposta armonica, cercando di soddisfare i dati di
specifica che a tale diagramma si possono direttamente o indirettamente riferire. In
un secondo tempo, una volta definito il progetto di massima, si opera una messa a
punto, impiegando il luogo delle radici e/o il contorno delle radici.
Nella prima fase, come si può intuire dall’esempio di poco fa, sono largamente
utilizzati i diagrammi di Bode, che presentano il vantaggio di una notevole
semplificazione grafica (per la possibile approssimazione asintotica dei termini
elementari), immediatamente legata all’espressione analitica della funzione di
trasferimento.
Compensazione per aumento della costante di guadagno
Nei sistemi di tipo 0 e di tipo 1, la stabilità si può sempre ottenere mediante una
diminuzione della costante di guadagno. Per renderci conto di questo, serviamoci di
un esempio concreto.
Consideriamo un sistema che abbia la seguente funzione di risposta armonica ad
anello aperto:
G ( jω) =
K
ω 
ω 

1 + j 1 + j

10 
100 

2
Si tratta di un sistema del 3° ordine, stabile ed a fase minima (cioè senza zeri a
parte reale positiva), con un reale polo doppio alla pulsazione 100(rad/sec) ed un
polo reale alla pulsazione 10(rad/sec). Entrambi i poli si trovano sull’asse reale
negativo. La costante statica di guadagno è K.
Supponiamo di chiudere il sistema in un anello di retroazione unitaria:
otteniamo un sistema ad anello chiuso avente funzione di risposta armonica
G 0 ( jω) =
G ( jω)
K
=
2
1 + G ( jω) 
ω 
ω 
1
+
j
1
+
j


 +K
10 
100 

Sappiamo bene che la stabilità di questo sistema dipende dal valore di K e può
essere studiata, indifferentemente, tramite il luogo delle radici (osservando per
quali valori di K ci sono eventuali poli che passano nel semipiano destro di Gauss)
oppure mediante i diagrammi di Bode o di Nyquist (valutando il margine di fase o,
in alternativa, quello di guadagno). Visto che abbiamo a disposizione l’espressione
di G(jω), studiamo la stabilità del sistema ad anello chiuso mediante il diagramma
di Nyquist di G(jω), riportato nella figura seguente per due distinti valori di K (K=40
e K=40/6):
4
La figura mostra che il sistema presenta un margine di fase M F negativo (indice
quindi di instabilità) per K=40, mentre presenta un margine di fase M’ F positivo
(indice cioè di stabilità) per K=40/6.
Potevamo arrivare alle stesse conclusioni utilizzando anche i diagrammi di Bode
di G(jω), riportati nella figura seguente:
5
Anche in questo caso, si osserva che il sistema presenta un margine di fase M F
negativo per K=40, mentre presenta un margine di fase M’ F positivo per K=40/6: in
pratica, la riduzione di K fa si da diminuire la pulsazione di crossover di G(jω),
senza però variare il diagramma delle fasi, in modo quindi da comportare un
progressivo aumento del margine di fase fino a valori positivi. Scegliendo allora il
valore di K necessario ad ottenere il desiderato valore del margine di fase, il
progetto della compensazione è concluso.
Questo è dunque un esempio classico in cui la riduzione del guadagno, ottenibile
ovviamente mediante un regolatore da porre in cascata al sistema controllato,
comporta il raggiungimento della stabilità del sistema in retroazione.
Compensazione mediante rete ritardatrice
Una correzione, come quella illustrata nel paragrafo precedente,
consistente nella semplice riduzione della costante di guadagno del
sistema
in
anello
aperto
costituisce
un
intervento
spesso
sconsigliabile, in quanto sappiamo che i sistemi in retroazione funzionano
tanto meglio, in termini di prontezza e insensibilità ai disturbi, quanto maggiore è il
guadagno d’anello e quindi, nel caso di retroazione unitaria, quanto maggiore è la
costante di guadagno in anello aperto. Spesso, i dati di specifica relativi agli errori
a regime impongono un valore minimo della costante di guadagno, cui corrisponde
un comportamento dinamico non soddisfacente. Bisogna allora procedere in altro
modo.
Consideriamo nuovamente il sistema considerato nell’esempio precedente:
G ( jω) =
40
ω 
ω 

1 + j 1 + j

10 
100 

2
In particolare, come si nota nell’espressione riportata, consideriamo un valore 40
del guadagno statico del sistema in anello aperto, supponendo che questo valore sia
imposto proprio da specifiche sugli errori a regime.
Abbiamo visto, nel paragrafo precedente, che questo valore di K comporta
instabilità del sistema in retroazione, in quanto corrisponde ad un margine di fase
negativo. Dobbiamo allora trovare il modo di far diventare positivo questo margine
di fase.
E’ possibile ottenere questo obbiettivo ponendo in cascata al sistema controllato
una rete ritardatrice, la cui funzione di risposta armonica ha notoriamente
espressione
G C ( jω) =
1 + jατω
1 + jτω
L’effetto di questa rete sul sistema controllato può essere facilmente compreso
considerando i suoi diagrammi di Bode:
6
Dal diagramma dei moduli si deduce che essa attenua le alte frequenze, cioè
diminuisce il guadagno ad alta frequenza (senza ovviamente influire sulla costante
di guadagno K propria del sistema controllato), mentre dal diagramma delle fasi si
deduce che essa introduce un ritardo di fase.
In particolare, con riferimento al sistema che stiamo considerando, una prima
possibile scelta dei parametri α e τ è la seguente: α=0.17 e τ=6.67(sec). Con questa
scelta, i diagrammi di Bode della rete ritardatrice risultano essere i seguenti ( 1):
La figura seguente illustra dunque l’effetto della rete ritardatrice posta in cascata
al sistema controllato:
1
Diagrammi ricavati con il programma Matlab
7
L’azione della rete ritardatrice è quello di abbassare il guadagno ad alta
frequenza, in modo da ridurre la frequenza di crossover ad un valore tale da
ottenere un margine di fase positivo.
Il principio di fondo dell’uso di una rete ritardatrice è dunque
quello di ottenere il margine di fase desiderato mediante una
riduzione del guadagno ad alta frequenza e senza modificare la
costante di guadagno del sistema; per ottenere questo, come mostrato
nell’esempio, si sfrutta l’attenuazione introdotta della rete ad alta frequenza.
Tuttavia, nell’adottare questo procedimento bisogna fare attenzione al ritardo di
fase che la rete stessa introduce. Se la costante di tempo τ relativa al polo della rete
ritardatrice viene scelta di valore sufficientemente elevato, la corrispondente
pulsazione 1/τ di rottura risulta di valore abbastanza più basso rispetto alla
pulsazione di intersezione, il che, pur non influendo sulla costante di guadagno e
quindi sugli errori a regime, può diminuire eccessivamente la banda passante e, di
conseguenza, la prontezza del sistema. Allora, conviene scegliere un valore di α
inferiore (cioè imporre una maggiore attenuazione), in modo da poter tollerare un
certo ritardo di fase ad opera della rete; in tal modo, si può scegliere un valore di τ
inferiore, così da elevare il valore della pulsazione di crossover.
Nella figura seguente è riportata dunque una nuova scelta della rete ritardatrice,
con valori α=0.111 e τ=0.714 inferiori rispetto a quelli considerati nella figura
precedente:
8
L’effetto della nuova rete sul sistema è indicato nella figura seguente:
Si osserva chiaramente un miglioramento della banda passante rispetto a prima.
Un progetto che segua questa impostazione deve essere condotto per tentativi,
ma non risulta comunque troppo gravoso, data la modesta precisione che
normalmente si richiede nell’imposizione di un dato margine di stabilità: nel caso
indicato in figura, si è scelto un valore dell’attenuazione pari ad α=1/9 e un valore
della costante di tempo pari a τ=1/1.4 sec.
9
La rete ritardatrice si usa con vantaggio nei sistemi in cui si
vuole ottenere un elevato guadagno a bassa frequenza e la cui
stabilizzazione è difficile perché il ritardo di fase corrispondente
alla pulsazione di crossover di G(jω) è molto elevato. Una tale
situazione è rappresentata nella figura seguente, dove il diagramma (a) si riferisce
al modulo di G(jω) non compensato, mentre il diagramma (b) si riferisce al prodotto
tra G(jω) e la G C (jω) della rete ritardatrice:
Molti amplificatori elettronici da usarsi controreazionati (tipicamente gli
amplificatori operazionali) sono appunto caratterizzati da una risposta armonica
che, in assenza di compensazione, è del tipo (a) della figura precedente, ossia con
una elevata pendenza, dovuta al fatto che, al crescere della frequenza, le capacità
parassite presenti nei vari stadi di amplificazione vengono a manifestare la loro
presenza quasi contemporaneamente. Gli amplificatori operazionali vengono spesso
stabilizzati mediante una rete ritardatrice.
L’inconveniente fondamentale della rete ritardatrice è la riduzione del guadagno
alle alte frequenze e quindi la riduzione della banda passante, il che si traduce in
una risposta transitoria meno pronta e in una neutralizzazione dei disturbi ad alta
frequenza meno efficace.
Concludiamo, perciò, dicendo che l’uso di una rete ritardatrice
contribuisce a ridurre solo parzialmente gli inconvenienti che si
riscontrerebbero stabilizzando il sistema mediante una semplice
riduzione del guadagno.
Compensazione mediante reti anticipatrici
Nel paragrafo precedente si è dunque visto come l’effetto stabilizzante delle reti
ritardatrici sia legato più propriamente all’attenuazione alle alte frequenze che non
al ritardo di fase (che, da solo, costituirebbe anzi un effetto nocivo).
Il meccanismo di intervento di una rete anticipatrice è del tutto differente, in
quanto viene in questo caso sfruttato l’anticipo di fase che la rete anticipatrice è in
grado di introdurre sulla funzione di risposta armonica del sistema.
Per comprendere questo, ricordiamo che i diagrammi di Bode di una rete
anticipatrice sono del tipo seguente:
10
Il diagramma dei moduli evidenzia che la rete introduce una attenuazione il cui
valore massimo è 20 log 10 α , dove α è una quantità compresa tra 0 ed 1 (per cui quel
logaritmo è negativo, a testimonianza appunto che si tratta di una attenuazione).
Dal diagramma delle fasi, invece, si osserva che la rete introduce un anticipo di
fase, il cui valore massimo ϕ m = arcsin
pulsazione ω mx =
1
τ α
1− α
si ottiene in corrispondenza della
1+ α
.
Allora, a livello intuitivo si può pensare di procedere nel modo seguente:
§
in primo luogo, dato il diagramma di Bode della funzione G P (jω) (cioè della
funzione di risposta armonica del sistema controllato), si va a leggere la
fase ϕ = arg G ( jω 0 ) in corrispondenza della pulsazione di crossover ω0 , in
modo da determinare il margine di fase mf = ϕ + 180° del sistema non
compensato;
§
se il margine di fase non va bene (perché è negativo oppure perché è troppo
basso), si determina l’anticipo di fase ϕ m che è necessario introdurre per
ottenere il margine di fase mf ' = ϕ + ϕ m + 180° desiderato;
§
fissato ϕ m , si può immediatamente ricavare il coefficiente di attenuazione
della rete anticipatrice, che vale α =
§
1 − sin ϕ m
;
1 + sin ϕ m
fissato α, resta da determinare τ: bisogna imporre che il massimo anticipo
di fase venga introdotto dalla rete in corrispondenza della pulsazione di
crossover ω0 di G P (jω), il che significa che bisogna imporre la condizione
ω0 = ω m =
1
τ α
.
In effetti, questo procedimento teorico non funziona sempre ed il motivo è nel
fatto che la rete anticipatrice, oltre ad introdurre un anticipo di fase, introduce
11
anche una attenuazione, per cui la frequenza di crossover del sistema compensato
non è più quella (ω0 ) di G P (jω), ma ha un valore più basso. A causa di ciò, è
possibile che il procedimento appena descritto non porti al margine di fase voluto.
Per renderci conto meglio di questo aspetto, facciamo un esempio concreto.
Consideriamo un sistema avente la seguente funzione di risposta armonica ad
anello aperto:
G ( jω) =
40
ω 
ω 
ω 

1 + j 1 + j
1 + j

10 
100 
700 

I diagrammi di Bode di questa funzione sono indicati nella figura seguente:
In corrispondenza della pulsazione di crossover ω 0 ≅ 200(rad / sec) , si legge un
valore della fase di G P (jω) pari a circa ϕ = −160° , cui corrisponde quindi un margine
di fase mf = 180° + (−160°) = 20° +20°. Deduciamo, dunque, che il sistema è stabile se
lo chiudiamo in un anello di retroazione unitaria.
Supponiamo, tuttavia, di voler ottenere un margine di fase più alto, ad esempio
di +45°. Andiamo allora ad imporre la condizione
45° = mf ' = ϕ
+2
180
1
4
4
3° + ϕ m = 20° + ϕ m
mf
dalla quale si ricava che la rete anticipatrice deve introdurre un anticipo di fase
ϕ m =25°. In base alla relazione α =
1 − sin ϕ m
, ϕ m =25° corrisponde ad α=0.406.
1 + sin ϕ m
12
L’altra condizione da imporre è a questo punto che ω 0 = ω m =
1
τ α
: sostituendo i
valori di ω0 e di α, si ottiene una costante di tempo τ=0.00785.
Con questi valori, andando a tracciare i diagrammi di Bode di G C ( jω)G P ( jω) , si
trova che il margine di fase vale 40°, che non è il valore che ci aspettavamo (anche
se è abbastanza vicino).
Si procede, allora, in altro modo per la determinazione di τ:
§
in
primo
luogo,
una
volta
attenuazione A max [dB] = 20 log 10
calcolato
α,
si
determina
la
massima
1
introdotta dalla rete anticipatrice;
α
§
noto il valore A max , si va sul diagramma dei moduli di G P (jω) e si individua
la frequenza alla quale G ( jω) dB = A max [dB] ;
§
a questo punto, si impone che questa sia la frequenza ω m =
1
τ α
in
corrispondenza della quale la rete anticipatrice introduce il massimo
anticipo di fase.
Volendo raffinare ancora di più il procedimento, anziché scegliere il massimo
anticipo di fase mediante la formula mf’-mf=ϕ m , si considera la formula
mf '− mf + ε = ϕ m , dove l’angolo ε viene preso solitamente inferiore a 10°.
Compensazione mediante reti a ritardo e anticipo
La rete a ritardo e anticipo presenta il vantaggio di unire in sé i requisiti delle
reti anticipatrice e ritardatrice precedentemente esaminate.
La funzione di trasferimento di una rete a ritardo e anticipo è nella forma
seguente:
G (s ) =
(1 + τ1s )(1 + τ 2s ) = (1 + τ1s )(1 + τ2s )
(1 + τ a s )(1 + τ bs ) 1 + τ 2 s (1 + ατ s )

α 
1
dove ricordiamo che τ1 τ 2 = τ a τ b .
La mappa dei poli e degli zeri è la seguente:
Im
-pb
-z1
-z2
-pa
13
Re
I diagrammi di Bode della corrispondente funzione di risposta armonica G(jω)
sono rappresentati nella figura seguente:
Il diagramma dei moduli evidenzia che il sistema non attenua né amplifica il
α 1 
,
 ; per
 τ 2 ατ 1 
segnale in ingresso finche esso ha pulsazione ω esterna all’intervallo 
pulsazioni comprese in tale intervallo, invece, c’è una attenuazione che raggiunge il
valore massimo, pari ad
α=
z1 p b
=
< 1 , per pulsazioni comprese nell’intervallo
pa z 2
1 1
 , .
 τ 2 τ1 
Per quanto riguarda, invece, il diagramma delle fasi, si osserva che la rete
introduce un ritardo di fase sui segnali con pulsazione ω inferiore alla pulsazione
naturale ωn , mentre introduce un anticipo di fase sui segnali con pulsazione
superiore alla pulsazione naturale. In corrispondenza di ωn , invece, la rete non
introduce alcuno sfasamento.
Al fine di illustrare come si progetta una rete a ritardo e anticipo per effettuare
una compensazione, consideriamo ancora un sistema avente funzione di risposta
armonica
G ( jω) =
40
ω 
ω 

1 + j 1 + j

10 
100 

2
Dai diagrammi di Bode di questa funzione si osserva che essa presenta una
margine di fase M F leggermente negativo, cui corrisponde quindi instabilità in
anello chiuso. Dobbiamo necessariamente compensare e lo facciamo mediante una
rete ritardo e anticipo.
14
Una prima possibilità è quella di voler ottenere uno specifico margine di fase M’ F .
Si procede, in questo caso, nel modo seguente.
Intanto, per ottenere un margine di fase M’ F , è necessario che la fase di
G C ( jω)G ( jω) valga –180°+M’ F in corrispondenza della frequenza di transizione.
Allora, si va ad individuare la frequenza ω in corrispondenza della quale la fase di
G(jω) vale –180°+M’ F : nel nostro esempio, tale pulsazione vale approssimativamente
60(rad / sec) .
Dato che la rete a ritardo e anticipo non introduce alcuno sfasamento in
corrispondenza della pulsazione ωn , si fa in modo che risulti proprio
ωn =60(rad/sec).
Fatto questo, il passo successivo consiste nel determinare il valore di α tale che
il diagramma dei moduli di G C ( jω)G ( jω) intersechi l’asse delle ascisse proprio in
corrispondenza di ωn : si deve cioè fare in modo che ωn diventi la nuova frequenza di
transizione.
L’esito di questo procedimento è riportato nella figura seguente:
15
Basta dunque progettare la rete scegliendo i valori opportuni di ωn e di α. Al
contrario dei casi precedenti, non è necessario in questo caso procedere per
tentativi.
Un’altra possibilità di impiego di una rete a ritardo e anticipo è quello in cui si
vuole imporre, anziché un margine di fase, un determinato margine di guadagno
M’ A . Si procede nel modo seguente:
§
in primo luogo, per ottenere un margine di guadagno M’ A , è necessario che
il modulo di G C ( jω)G ( jω) valga 1/ M’ A in corrispondenza della frequenza
alla quale la fase di G C ( jω)G ( jω) vale -180°;
§
allora, si va ad individuare la frequenza ω in corrispondenza della quale la
fase di G(jω) vale −180° : nel nostro esempio, tale frequenza vale
approssimativamente 100(rad / sec) ;
§
dato che la rete a ritardo e anticipo attenua di α in corrispondenza della
pulsazione ωn , si fa in modo che risulti proprio ωn =100(rad/sec);
§
fatto questo, il passo successivo consiste nel determinare il valore di α tale
che il modulo di G C ( jω)G ( jω) valga 1/M’ A in corrispondenza di ωn .
Graficamente, questo procedimento è riportato nella figura seguente:
Anche in questo caso, non è necessario in questo caso procedere per tentativi.
16
Sia che si imponga il margine di fase finale sia che si imponga il margine di
ampiezza finale, basta dunque determinare α e ωn in modo opportuno. Il
dimensionamento della rete, però, non è ancora completo, in quanto bisogna
scegliere il rapporto tra le due costanti di tempo a numeratore (o a denominatore,
visto che i due rapporti sono legati dal valore di α) di G C (jω). Per effettuare questa
scelta, per esempio, si può usare il criterio per cui il margine di fase rimanga
abbastanza elevato anche per notevoli variazioni del guadagno rispetto al valore di
progetto. Un altro criterio potrebbe anche riguardare delle specifiche riguardanti la
banda passante o le proprietà filtranti del sistema.
E’ opportuno anche osservare che i due procedimenti illustrati prima
per la compensazione comportano fondamentalmente l’uso della rete a
ritardo e anticipo come una rete ritardatrice: in entrambi i casi, infatti,
si sfrutta principalmente l’attenuazione della rete, con il vantaggio, rispetto alla
rete ritardatrice classica, di un minore taglio delle frequenze elevate. Ovviamente,
la rete si può anche usare come anticipatrice, ossia sfruttando
fondamentalmente l’anticipo di fase che essa introduce per pulsazioni
superiori a ω n : in questo impiego, la rete a ritardo e anticipo presenta il
vantaggio, rispetto alla rete anticipatrice, di non richiedere alcuna amplificazione
ausiliaria, visto che presenta guadagno statico unitario; d’altra parte, essa non
esalta le alte frequenze, dando quindi luogo ad una minore prontezza di risposta.
In generale, quindi, la rete a ritardo e anticipo consente un intervento sulla
funzione di risposta armonica molto più articolato che non le semplici reti
ritardatrice e anticipatrice. Ci sono dei casi, specialmente quando sono imposte
alcune specifiche riguardanti il guadagno oppure l’attenuazione a determinate
frequenze, in cui risulta utile l’impiego di particolari reti anticipatrici, che abbiano
un valore diverso del guadagno a bassa frequenze e ad alta frequenza. Per esempio,
una rete a ritardo e anticipo con attenuazione delle basse frequenze è quella
illustrata nella figura seguente:
Viceversa, una rete a ritardo e anticipo con attenuazione delle alte frequenze è
illustrata nella figura seguente:
17
18
L
Laa rreettrro
oaazziio
on
nee ttaacch
hiim
meettrriiccaa
Introduzione ad un servomeccanismo di posizione
Lo schema di un servomeccanismo di posizione con motore elettrico in corrente
continua è riportato nella figura seguente:
Lo schema a blocchi ad esso corrispondente è il seguente:
L’ingresso e l’uscita del sistema sono delle posizioni angolari, indicate
rispettivamente con θ 1 e θ 2 . Mediante dei potenziometri, queste posizioni angolari
vengono convertite in segnali elettrici (rispettivamente v 1 e v 2 ) i quali vengono tra
loro sottratti e amplificati utilizzando un amplificatore elettronico con ingresso
differenziale (avente uno stadio di uscita con potenza adeguata). L’uscita
dell’amplificatore alimenta direttamente il circuito di armatura di un motore in
corrente continua ad eccitazione indipendente: tale motore, attraverso un riduttore
ad ingranaggi, provvede a variare la posizione angolare θ 2 (cioè l’uscita) in direzione
tale da diminuire il segnale errore v a =v 1 -v 2 . All’equilibrio (corrispondente al motore
fermo), questo segnale errore è nullo, il che comporta chiaramente che θ 2 =θ 1 , cioè
che ci sia il perfetto inseguimento dell’ingresso da parte dell’uscita.
19
La retroazione tachimetrica
Abbiamo in precedenza esaminato come compensare un sistema in anello aperto
in modo che il corrispondente sistema ad anello chiuso rispetti determinate
specifiche di stabilità (espresse in termini di margini di fase) e di precisione
(espresse in termini di errori a regime); ci siamo principalmente occupati della
compensazione mediante reti correttrici (in particolare reti ritardatrici, reti
anticipatrici e reti a ritardo-anticipo): si trattava cioè di progettare un controllore
G C (s) da porre in cascata al sistema controllato G P (s) in modo che il corrispondente
sistema in anello chiuso G 0 (s) rispettasse le specifiche volute.
yD(s)
+
-
+
controllore
plant
GC(s)
GP(s)
y(s)
(lo schema è evidentemente riferito al caso di una retroazione negativa unitaria)
Ci sono dei casi in cui la correzione non viene fatta sul percorso
di segnale diretto, come nello schema appena riportato, ma sul
percorso di retroazione: questo accade, in particolare, quando è possibile
generare un segnale di correzione derivativo mediante un opportuno trasduttore
sensibile alla derivata della variabile controllata y(s), oppure misurando una
grandezza diversa dalla variabile controllata ma della quale tale derivata è
funzione.
Una applicazione tipica di questa correzione è data dai servomeccanismi di
posizione con retroazione tachimetrica, in cui un segnale derivativo viene
generato da una cosiddetta dinamo tachimetrica, collegata come nello schema della
figura seguente:
Nella figura seguente è rappresentato lo schema a
servomeccanismo di posizione con retroazione tachimetrica:
20
blocchi
di
un
Vr
+
+
+
-
-
+
Ω
AK m
1 + τs
θ
Kr
s
Kt
Kp
In questa figura, si è indicato con A il guadagno dell’amplificatore, con K m la
costante del motore, con τ la costante di tempo del motore, con K r , K t e K p le
costanti, rispettivamente, del riduttore, del generatore tachimetrico e del
potenziometro.
Con le classiche regole di riduzione degli schemi a blocchi, possiamo facilmente
modellare la parte racchiusa entro la linea tratteggiata mediante un’unica funzione
di trasferimento:
AK m
1 + AK m K t
τ
1+
s
1 + AK m K t
In base a questa espressione, la retroazione tachimetrica su Ω ha dunque
l’effetto di diminuire, nello stesso modo, la costante del motore, che adesso è
AK m
, e la costante di tempo dello stesso motore, che adesso è
1 + AK m K t
τ
τ' =
.
1 + AK m K t
K' m =
Possiamo dunque riscrivere la funzione di trasferimento del blocco appena
semplificato nella forma
modo seguente:
Vr
K' m
, in modo da ridisegnare lo schema a blocchi nel
1 + τ' s
+ +
-
K' m
1 + τ' s
Ω
Kr
s
θ
Kp
21
A questo punto, i due blocchi nel ramo diretto sono in cascata, per cui li
sostituiamo con un unico blocco
K' m K r
:
s(1 + τ' s )
K' m K r
s(1 + τ' s)
Vr
+ +
-
θ
Kp
Ci
siamo
così
ricondotti allo schema generale di un sistema chiuso in
retroazione, dove la funzione di trasferimento in anello aperto è
K' m K r
, mentre
s(1 + τ' s )
quella del trasduttore è K p (costante): deduciamo che abbiamo a che fare con un
sistema la cui funzione di trasferimento ad anello chiuso ha espressione
G 0 (s ) =
1+
K'm K r
K' m K r
s(1 + τ' s)
=
K p K ' m K r s (1 + τ' s ) + K p K ' m K r
s(1 + τ' s )
In realtà, useremo solo più avanti questa formulazione della funzione di
trasferimento in anello chiuso, per cui dobbiamo fare qualche altro passaggio a
partire dallo schema a blocchi di partenza, riportato nuovamente nella figura
seguente per comodità:
Vr
+
+
-
+
-
+
Ω
AK m
1 + τs
Kr
s
θ
Kt
Kp
In questo schema, possiamo spostare a valle del riduttore (K r /s) il punto di
prelievo della retroazione tachimetrica: così facendo, se poniamo K = AK m K r e
τd =
Kt
, lo schema a blocchi diventa il seguente:
KrKp
22
Vr
+
K
s(1 + τs)
+
-
θ
K p (1 + τ d s)
Questo schema evidenzia la correzione di tipo derivativo introdotta
nell’anello e, in particolare, nel ramo di retroazione: la presenza della
retroazione tachimetrica comporta la modifica della funzione di trasferimento del
trasduttore, che dalla semplice costante reale K P diviene pari a H(s ) = K p (1 + τ d s) .
Vantaggi della retroazione tachimetrica
Una volta individuato lo schema a blocchi più utile del servomeccanismo di
posizione con retroazione tachimetrica, il nostro scopo è quello di calcolare la
costante di velocità del sistema in anello chiuso sia in presenza di retroazione
tachimetrica sia in assenza di retroazione tachimetrica. Per fare questo calcolo,
dobbiamo tuttavia richiamare preventivamente alcune nozioni teoriche relative al
cosiddetto errore riferito all’ingresso.
Consideriamo un generico sistema G(s) chiuso in un anello di retroazione con
funzione di trasferimento del trasduttore H(s):
R(s)
+
E(s)
G(s)
C(s)
H(s)
In base a questo schema, si indica con e(t) l’errore per il segnale a valle della
giunzione sommante, mentre si usano i simboli e i (t) ed e u (t) per indicare,
rispettivamente, l’errore riferito all’ingresso e l’errore riferito all’uscita, espressi
in relazione ad un dato comportamento ideale.
Se l’obbiettivo del controllo è l’inseguimento ed il comportamento ideale è
descritto dalla equazione c( t ) = K C r ( t ) , l’errore riferito all’ingresso (che è l’unico che
ci interessa in questo momento) è definito come
e i (t ) =
K C r ( t ) − c( t )
c( t )
= r(t) −
KC
KC
Calcoliamo la trasformata di Laplace di questa quantità:
23
G (s)
R (s )


K C R (s) − C(s)
G (s )
C(s)
1 + H (s)G (s)
R (s) =
E i (s ) =
= R (s ) −
= R (s ) −
= 1 −
KC
KC
KC
 K C (1 + H (s)G (s) ) 
 1 + H(s )G (s ) − G (s ) / K C 
R (s)
= 
1
H
(
s
)
G
(
s
)
+


In base a questa espressione si pone
G e (s) =
G (s )
K C + G (s)(K C H (s) − 1)
in modo tale da poter scrivere che
E i (s ) =
1
R (s )
1 + G e (s )
La funzione G e (s) prende il nome di funzione di trasferimento dell’errore ed è
evidentemente funzione di G(s), H(s) e K C .
Volendo riferirsi ad uno schema a blocchi, possiamo dunque rappresentare il
legame tra E i (s) ed R(s) nel modo seguente:
R(s)
+
E i (s)
C(s)/KC
Ge(s)
Questo è uno schema a blocchi di un sistema in retroazione unitaria, dove
l’errore di sistema coincide con l’errore riferito all’ingresso che a noi interessa e
dove, però, la funzione di trasferimento non è quella del sistema che stiamo
studiando, bensì una funzione legata a G(s), H(s) e K C .
Possiamo allora utilizzare le classiche definizioni di errori a regime con
riferimento a questa G e (s). Ad esempio, consideriamo l’errore nella risposta al
gradino unitario R(s)=1/s: abbiamo che
1
1
=
s→ 0 1 + G ( s)
1 + lim G e (s)
e
e r = lim
s→ 0
La quantità lim G e (s)
s→ 0
è ancora una volta una costante di posizione, che
indichiamo con K P,e per indicare il fatto che è riferita alla funzione di trasferimento
G e (s):
er =
1
1 + K P ,e
24
Passiamo invece all’errore di velocità, corrispondente alla differenza tra l’uscita e
l’ingresso nel caso in cui l’ingresso sia una rampa unitaria: possiamo scrivere in
questo caso che
E i (s ) =
1/ s2
1
1
1
1

→ e V = lim sE i (s) = lim
=
=
s→ 0
s → 0 1 + G (s ) s
1 + G e (s )
lim [(1 + G e (s) )s ] lim sG e (s )
e
s →0
La quantità
s→ 0
lim sG e (s ) è una costante di velocità: indicandola con K V,e ,
s→ 0
concludiamo che l’errore di velocità vale
eV =
1
K V ,e
Questi dunque i richiami teorici necessari. Possiamo applicare questi concetti al
fine di calcolare l’errore di velocità riferito all’ingresso nel nostro servomeccanismo
di posizione con retroazione tachimetrica, del quale riportiamo ancora una volta lo
schema a blocchi:
Vr
+
+
-
K
s(1 + τs)
θ
K p (1 + τ d s)
Trattandosi di una retroazione non unitaria, non dobbiamo far altro che
determinare la funzione di trasferimento dell’errore G e (s), in modo da calcolare
l’errore di velocità riferito all’ingresso mediante la formula e V =
1
K V ,e
dimostrata
poco fa.
L’espressione generale della G e (s) è stata prima richiamata:
G e (s) =
G (s )
K C + G (s)(K C H (s) − 1)
K
e H(s) = K p (1 + τ d s) ; inoltre, se definiamo
s(1 + τs)
l’errore riferito all’ingresso come e i ( t ) = v r (t ) − K P θ( t ) , ciò equivale a porre K C =1/K P ,
Nel nostro caso, abbiamo G (s ) =
per cui la funzione di trasferimento dell’errore assume la seguente espressione:
K
KK p
s (1 + τs)
G e (s ) =
=
1
K
((1 + τ d s) − 1) s(1 + τs) + KK p τ d s
+
K p s(1 + τs)
25
A questo punto, abbiamo che
e V,e =
1
1
=
=
K V , e lim sG e (s)
s→ 0
lim s
s→0
1
KK p
=
s (1 + τs) + KK p τ d s
1
KK p
=
1
+ τd
KK p
1 + KK p τ d
Questo è dunque l’errore di velocità in presenza di retroazione tachimetrica.
Con un procedimento del tutto analogo, si può trovare che l’errore di velocità, in
1
, da cui deduciamo che la
KK p
assenza della retroazione tachimetrica, vale solo
retroazione tachimetrica aumenta l’errore di velocità (o, ciò che è
lo stesso, diminuisce la costante di velocità). Il motivo di questo fatto è
che la presenza del generatore tachimetrico, quando l’uscita non è costante,
influisce sul segnale di retroazione.
Allora, per eseguire un confronto corretto dell’effetto della retroazione
tachimetrica con quello di altri sistemi di correzione la cui introduzione NON
modifica la costante di velocità, è necessario fare una ipotesi preliminare: bisogna
supporre che, nonostante la presenza della retroazione tachimetrica,
la costante di velocità (e quindi l’errore di velocità) rimanga
invariata. Questo è possibile solo apportando un opportuno incremento del
guadagno A dell’amplificatore: in pratica, si calcola la costante di velocità KV in
assenza di retroazione tachimetrica e quindi si va a determinare il valore del
guadagno A dell’amplificatore tale che la costante di velocità KV,e in presenza di
retroazione tachimetrica sia ancora uguale a K V . Vediamo allora cosa si ottiene in
questo modo.
Abbiamo detto poco fa che, in assenza di retroazione tachimetrica, l’errore di
velocità vale 1/K⋅K P , il che significa che la costante di velocità valga K V =K⋅K P . In
presenza di retroazione tachimetrica, invece, abbiamo trovato prima che la costante
di velocità vale
K V ,e =
K 1K p
1 + K1K p τ d
dove con K 1 abbiamo indicato il nuovo valore del guadagno. Dobbiamo allora
imporre che K V,e sia pari a K V :
K1K p
1+ K1K p τd
= KK p 
→ K 1 =
K
1− K1K p τd
Avendo detto che K V =K⋅K P , possiamo adesso porre K= K V /K P , per cui deduciamo
che deve essere
K1 =
KV
1
K P 1 − K1K p τ d
Siamo a questo punto in grado di confrontare, in termini di stabilità in anello
chiuso, il sistema con retroazione tachimetrica e quello senza retroazione
tachimetrica.
Consideriamo prima il sistema senza retroazione tachimetrica e con costante di
guadagno K:
26
Vr
+ +
-
K
s(1 + τs)
θ
KP
La funzione di trasferimento in anello chiuso di questo sistema è
K
K
K
s(1 + τs)
τ
=
=
G 0 (s) =
KK p
KpK
s(1 + τs) + KK p
1
s2 + s +
1+
s(1 + τs)
τ
τ
Il sistema con retroazione tachimetrica, con guadagno K 1 dato dalla formula
prima ricavata al fine di ottenere una uguale costante di velocità col sistema
precedente, è invece il seguente:
Vr
+ +
-
K
s(1 + τs)
θ
K p (1 + τ d s)
La funzione di trasferimento in anello chiuso di questo sistema è
K1
K1
K1
s(1 + τs)
τ
G ' 0 (s ) =
=
=
K P K1
s (1 + τs) + K P K 1 (1 + τ d s )
1
K
K
K K
+

P
1τd 
1 + (1 + τ d s )
s2 + 
s + P 1
s(1 + τs)
τ
τ


Sia in presenza sia in assenza di retroazione tachimetrica, abbiamo dunque due
poli, caratterizzati da un coefficiente di smorzamento δ e da una pulsazione
naturale ωn , aventi espressioni abbastanza complicate. Confrontando tuttavia i
valori di δ e di ω n in presenza ed in assenza della retroazione
tachimetrica, si trova che entrambi aumentano, dello stesso fattore,
con la retroazione tachimetrica. Ciò significa, ad esempio, che, se i due poli
si trovano nel semipiano sinistro e sono complessi coniugati, si allontanano
maggiormente dall’asse immaginario mentre si avvicinano a quello reale: questo
comporta una maggiore prontezza di risposta e un maggiore margine di stabilità,
che sono quindi i vantaggi della retroazione tachimetrica.
27
Ribadiamo che il confronto appena fatto vale solo se la costante di velocità del
sistema con retroazione tachimetrica viene resa uguale a quella del sistema senza
retroazione tachimetrica.
Esempio
Consideriamo un sistema avente la seguente funzione di trasferimento in anello
aperto:
G (s ) =
K
s (1 + Ts )
2
Il diagramma di Nyquist di questo sistema è del tipo illustrato nella figura
seguente:
Da qui si deduce che, per qualsiasi valore del guadagno K e della costante di
tempo T, il sistema è instabile una volta chiuso in un anello di reazione unitaria:
infatti, il diagramma polare circonda il punto critico e quindi, in base al criterio di
stabilità di Nyquist, il sistema in anello chiuso presenta almeno un polo a parte
reale positiva.
Esistono almeno altri quattro metodi per arrivare alla stessa conclusione. Un
primo modo è quello analitico, che consiste nel ricavare l’espressione analitica della
funzione di trasferimento in anello chiuso, in modo da conoscere l’equazione
caratteristica e quindi da determinare analiticamente i poli in anello chiuso:
G 0 (s ) =
G (s )
K
K
=
= 3
2
1 + G (s) K + s (1 + Ts) Ts + s 2 + K
L’equazione caratteristica è Ts 3 + s 2 + K = 0 e non è risolvibile per via analitica.
Allora, un secondo modo, basato anch’esso sulla conoscenza dell’equazione
caratteristica del sistema in anello chiuso, consiste nel costruire la tabella di
Routh:
3
T
0
2
1
K
1 − KT 0
0
K
0
28
In questa tabella, supponendo chiaramente T e K entrambi positivi, si osserva la
presenza di una permanenza (prime due righe) e due variazioni, da cui si deduce
che il sistema in anello chiuso presenta due poli a parte reale positiva.
Un terzo metodo si basa sul tracciamento del luogo delle radici del sistema, che è
fatto nel modo seguente:
Im
Re
Si osserva che i due poli, i quali in anello aperto si trovano entrambi nell’origine,
passano nel semipiano destro per qualsiasi valore di K.
Infine, l’ultimo modo per indagare sulla stabilità in anello chiuso è quello di
individuare il margine di fase del sistema, da leggere sul diagramma polare o, più
comodamente, sui diagrammi di Bode, che per il sistema in esame sono del tipo
seguente:
Si osserva subito un margine di fase di circa -45°, indicativo ancora una volta di
instabilità del sistema in retroazione.
Dobbiamo dunque necessariamente operare una correzione. Proviamo, per
esempio, usando la retroazione tachimetrica.
29
Non dobbiamo far altro che dimensionare un controllore (da porre nel ramo
di retroazione e non sul ramo diretto) che abbia la seguente funzione di
trasferimento:
G C (s ) = 1 + Td s
Per scegliere il valore di T d , abbiamo ancora una volta più modi. Usiamo ad
esempio il criterio di Routh.
La funzione di trasferimento in anello chiuso ha la seguente espressione:
K
G (s )
s (1 + Ts)
K
K
=
= 2
= 3
G 0 (s ) =
2
K
1 + G (s)G C (s )
1+ 2
(1 + Td s ) s (1 + Ts) + K(1 + Td s) Ts + s + KTd s + K
s (1 + Ts)
2
L’equazione caratteristica è Ts 3 + s 2 + KTd s + K = 0 e la corrispondente tabella di
Routh è fatta nel modo seguente:
3
T
KTd
2
1
K
1 KTd − KT
0
0
K
0
Per avere tre permanenze di segno sulla prima colonna deve semplicemente
risultare T d >T. Questo risultato è confermato, ad esempio, dal luogo delle radici di
G (s )G C (s ) , che è fatto nel modo seguente:
Si può ovviamente vedere la cosa anche in termini di diagrammi di Bode di
G (s )G C (s ) , che risultano fatti nel modo seguente:
30
Esempio
Consideriamo un sistema avente la seguente funzione di trasferimento in anello
aperto:
G (s ) =
K
(s − 1)(s − 3)
Si tratta di un sistema instabile in anello aperto, dato che presenta due poli a
parte reale positiva. Il suo luogo delle radici ed il suo diagramma polare sono
riportati nelle seguenti figure:
Entrambi i diagrammi mostrano che il sistema è instabile anche in anello chiuso
per qualsiasi valore del guadagno statico K. In particolare, si osserva che, per
ottenere stabilità in anello chiuso, è necessario deformare il diagramma polare in
modo che esso venga a circondare in senso antiorario il punto critico. Questo
31
obbiettivo si può conseguire usando la retroazione tachimetrica, la quale modifica
il luogo delle radici nel modo seguente:
In base a questa figura, il sistema risulta stabile a partire solo da un certo valore
del guadagno statico K, corrispondente alla situazione in cui i due poli vengono a
trovarsi sull’asse immaginario. Vediamo allora i dettagli analitici del procedimento.
La funzione di trasferimento in anello chiuso, in presenza di un regolatore del
tipo G C (s) = 1 + Td s posto sul ramo di retroazione, ha la seguente espressione:
K
G (s )
(s − 1)(s − 3)
K
=
= 2
G 0 (s) =
K
1 + G (s )G C (s )
(1 + Td s ) s + (KTd − 4 )s + (4 + K )
1+
(s − 1)(s − 3)
Da questa espressione deduciamo immediatamente i valori della parte reale dei
due poli del sistema: si tratta infatti di − (KTd − 4 ) . Dobbiamo allora semplicemente
imporre che questa parte reale sia negativa: ciò accade evidentemente se KT d >4,
ossia se K >
4
.
Td
Fissato quindi T d , quella condizione corrisponde alla stabilità del sistema in
anello chiuso: considerando che T d è generalmente piccola, deduciamo che è
necessario un valore abbastanza grande di K.
e-mail: [email protected]
sito personale: http://users.iol.it/sandry
32

Appunti di Controlli Automatici 1

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