Esercitazione 2 - People.unica.it

Università degli studi di Cagliari
LAUREA MAGISTRALE - ANNO ACCADEMICO
2012-2013
CORSO DI COMPORTAMENTO MECCANICO DEI
MATERIALI
GRUPPO D
“Analisi dello stato di sforzo di un provino,
sottoposto ad un carico di trazione variabile,
mediante il metodo della fotoelasticità”
REPETTO EMANUELE
CADEDDU MARCELLO
SCINTU MAURO
DEMURU MARCO
ZANDA NICOLA
PIREDDA NICOLA
MURRU GIOVANNI
Introduzione
L'obiettivo dell'esercitazione proposta è quello di analizzare e valutare l'andamento dello
stato tensionale di un provino sottoposto ad un carico di trazione variabile nel tempo.
Per poter eseguire la prova è stato utilizzato un banco di trazione manuale ed un provino in
policarbonato a sezione variabile e con la presenza di intagli. La fig.1 riporta l'assemblaggio
della strumentazione.
Fig.1
Fotoelasticità bidimensionale:
La fotoelasticità bidimensionale studia le lastre piane soggette ad uno stato piano di
tensione. Affinchè una lastra piana sia soggetta ad uno stato piano di tensione è necessario
che :
• Lo spessore (d) della lastra sia costante e piccolo rispetto alle altre dimensioni;
• Le forze esterne siano uniformemente distribuite sullo spessore e parallele al piano
medio della lastra( x, y)
In questo caso il campo tensionale nell'intorno di un punto è definito dalle seguenti
componenti : бx , бy, τxy ;
Come vediamo dalla figura 1.1c, se facciamo riferimento ai piani principali, lo stato di
tensione è definito dalle due tensioni principali б1, б2 e dall'angolo Ɵ che individua
l'orientamento delle tensioni principali rispetto ad un asse di riferimento.
Le tre tensioni бx , бy, τxy sono legate tra loro dalle seguenti relazioni :
• Equazioni di equilibrio in coordinate cartesiane :
• Equazioni di congruenza :
Dove X e Y sono le componenti delle forze di massa per unità di volume e ѵ è il coefficiente
di poisson.
Effetto fotoelastico :
La fotoelasticità si basa sul fenomeno noto come birifrangenza accidentale meccanica cioè
sulla dipendenza degli indici di rifrazione di taluni materiali trasparenti non cristallini dallo
stato di tensione.
E' noto che alcuni materiali, tipicamente resine plastiche, hanno un comportamento ottico
isotropo quando non sono soggetti a sforzi, che diventa anisotropo se sottoposti a sforzi.
Quando una luce polarizzata (a) si propaga attraverso una lastra di materiale di spessore t
avente queste caratteristiche, se X e Y sono le direzioni degli sforzi principali, il vettore di
luce polarizzata si suddivide in due componenti (E1, E2) nelle direzioni degli assi principali
di sforzo, che si propagano a velocità differenti.
La velocità di propagazione (V1, V2) dei due campi all'interno del modello e quindi i
relativi indici di rifrazione n1 e n2 (dove n=c/V) dipendono dalle tensioni principali б1 e б2.
La relazione di MAXWELL-NEUMANN esprime il legame esistente tra le sollecitazioni
principali e gli indici di rifrazione:
n1- n2 = C (б1 - б2)
dove C rappresenta la costante fotoelastica del materiale utilizzato.
Il concetto sopra citato è rappresentato nella figura 2.1
Grazie a questo fenomeno, a seconda della configurazione adottata per il polariscopio, si è
in grado di valutare l'entità dello sforzo e delle deformazioni.
All'uscita del modello i due campi luminosi, a causa della diversa velocità di propagazione
risultano sfasati di un certo tempo chiamato ritardo spaziale dato da :
= d (n1 - n2 )
POLARISCOPIO PIANO :
Il polariscopio piano è costituito da una sorgente di luce (monocromatica) e da due
polarizzatori lineari con assi di trasmissione ortogonali. Il polarizzatore posto vicino
all'osservatore è di solito chiamato analizzatore.
In generale, se il polariscopio è inclinato di un angolo ɷ rispetto all'asse orizzontale x
possiamo scrivere :
dove:
• δ= /λ rappresenta il ritardo relativo;
• ∆ = C * d (σ1 - σ2 ) , rappresenta il ritardo spaziale ;
La relazione mostra che l'intensità luminosa emergente non è costante ma bensì, tale
intensità dipende da δ e da Ɵ; essa risulta nulla nei punti del modello nei quali si verifica
una delle seguenti condizioni :
• δ = N (con N intero :0, 1, 2......), "Le frange corrispondenti a questa condizione
rappresentano il luogo dei punti per il quale è costante la differenza delle
tensioni principali"
• Ɵ = ɷ , "Le frange corrispondenti a questa condizione rappresentano il luogo
dei punti nei quali l'orientamento delle tensioni principali ( Ɵ ) è costante ed
uguale all'inclinazione dell'analizzatore rispetto all'asse di riferimento"
Queste considerazioni possono essere comprese meglio analizzando la fig 2.2.
fig 2.2- Polariscopio piano: orientamento delle tensioni principali(Ɵ) e del polariscopio (ɷ) rispetto
all'asse X di riferimento.
POLARISCOPIO CIRCOLARE :
L' esercitazione prevede l'utilizzo del polariscopio in configurazione circolare, in modo tale
da mettere in evidenza l'andamento (o variazione ) delle ISOCROMATICHE nel provino,
per poterne analizzare lo stato di sforzo.
Uno schema di polariscopio in configurazione circolare è riportato in fig.2.2
Fig.2.2
Il polariscopio circolare lo si può ottenere interponendo tra il polarizzatore e l'analizzatore
due lamine a 1/4 d'onda, che introducono quindi un ritardo pari ad un quarto della lunghezza
d'onda; queste trasformano il raggio di luce polarizzata piana in luce a polarizzazione
circolare.
Di seguito sono riportate le relazioni fondamentali che governano il polariscopio circolare.
L'intensità della luce incidente sull'analizzatore sarà ora pari a :
In questo caso l'intensità diventerà zero quando si avrà:
δ= N
con N= ordine di frangia. Una volta noto il valore di N ricavato dalle prove sperimentali, la
differenza delle tensioni principali è data dalla seguente relazione :
б1 - б2 = F * N
dove F= ʎ/ C*d è definita come la costante di frangia del modello.
Fatte queste precisazioni possiamo riassumere il tutto dicendo che :
• Polariscopio piano mette contemporaneamente in evidenza le ISOCROMATICHE
(relative al carico applicato) e solo le ISOCLINE per il quale Ɵ =ɷ ;
• Polariscopio circolare mette in evidenza le ISOCROMATICHE ovvero, il luogo dei
punti in cui è costante la differenza delle tensioni principali σ1 – σ2 ;
Come detto in precedenza, l'obiettivo è osservare l'andamento delle sollecitazioni al variare
del carico nel tempo. Questo può essere fatto osservando la variazione, e la corrispondente
estinzione dei colori relativi alle frange isocromatiche.
Si sa infatti che la luce bianca (o policromatica) comprende le varie radiazioni dello spettro
visibile, con lunghezza d'onda che varia da λ=400 nm (violetto) a λ=700 nm (rosso). Di
conseguenza, le isocromatiche appaiono colorate perchè, per un dato ritardo assoluto " ", il
ritardo relativo δ= /λ (dal quale dipende la condizione di estinzione) varia con la
lunghezza d'onda.
La relazione che esprime il legame tra ritardo assoluto ( ) e le sollecitazioni è la seguente :
∆ = C * d (σ1 - σ2 )
Per cui, nei punti in cui (σ1 - σ2 ) = 0 avremo che ∆ = 0 e quindi δ = 0 qualunque sia λ. Ciò
vuol dire che tutti i colori vengono estinti indipendentemente dalla loro lunghezza d'onda.
Questo porta alla conclusione che la frangia di ordine zero appare nera.
Nei punti in cui il ritardo assoluto è diverso da zero si estinguono i colori aventi lunghezza
d'onda pari a λ=∆/δ . Tutte queste considerazioni portano alla conclusione che il colore
osservato è il complementare del colore estinto.
La tabella 1 riportata sotto mostra che all'aumentare del ritardo i colori si estinguono, per
n=1, dal violetto al rosso. I colori complementari osservati (detti del 1° ordine) vanno dal
giallo al verde debole. E' da sottolineare il fatto che al variare dell'ordine (n=1, 2, 3...) si ha
una variazione dei colori complementari osservati a causa di estinzioni multiple.
COLORE
OSSERVATO
COLORE
ESTINTO
tutti
nero
nessuno
grigio
nessuno
Luce bianca
Violetto (n=1)
giallo
Blu (n=1)
Arancione
Verde (n=1)
Rosso
Giallo (n=1)
Violetto
Arancione (n=1)
Blu (intenso)
Rosso (n=1)
Verde (debole)
SVOLGIMENTO ESERCITAZIONE
La sezione del provino utilizzato per eseguire la prova è riportata in fig. 3. Come si può
notare la parte inferiore ha una larghezza minore rispetto alla parte superiore; inoltre si può
notare che vi è la presenza di curvature e spigoli vivi.
In prima approssimazione, sulla base di considerazioni di tipo teorico, sottoponendo il
provino ad un carico di trazione crescente nel tempo si possono fare due considerazioni:
• A parità di carico applicato, la parte inferiore (quella più stretta) sarà soggetta ad una
sollecitazione maggiore rispetto alla sollecitazione agente sulla parte superiore. Ciò è
dovuto alla differenza della sezione resistente.
• Curvature e spigoli vivi costituiscono centri di intensificazione degli sforzi e quindi,
a parità di carico applicato, la sollecitazione agente sarà quella massima e quindi
verrà moltiplicata per un determinato fattore K >1 (fattore di concentrazione degli
sforzi).
Fig. 3
Tutte queste considerazioni verranno messe in evidenza durante l'esecuzione della prova.
Ovviamente i risultati ottenuti durante lo svolgimento della prova si discostano da quelli
previsti per via teorica in quanto il provino non è perfettamente simmetrico, ed inoltre il
carico potrebbe non essere perfettamente assiale. Nonostante ciò i risultati ottenuti sono
abbastanza attendibili. Fatte queste precisazioni attraverso l'analisi di alcune fotografie
scattate durante la prova, si vede se vi è una corrispondenza biunivoca tra analisi teorica e
risultato pratico. Si ricorda che le fotografie sono state scattate in successione con carico
crescente.
STEP 1
Posizionamento del provino e verifica l'eventuale presenza di tensioni residue.
Come si vede dall'immagine il provino in assenza di sforzo assume una colorazione BiancoGrigio e questo conferma l'assenza delle sollecitazioni residue.
In realtà, volendo essere pignoli, si nota la presenza di una colorazione che tende al bianco
in corrispondenza degli spigoli. Questo conferma la presenza di tensioni residue.
STEP 2
Si sottopone il provino ad un determinato carico assiale in direzione verticale.
Come si può osservare, all'aumentare del carico la parte inferiore è quella che si colora per
prima assumendo un colore giallo (che poi tende all'arancione). Questo va a confermare
quanto detto in precedenza. Infatti, a parità di carico la sollecitazione agente nella parte
inferiore è maggiore rispetto a quella agente nella parte superiore che in questo caso risulta
quasi scarica.
STEP3
All'aumentare del carico si vede che la parte inferiore passa dal giallo all'arancione fino a
notare una colorazione che tende al rosso nella zona laterale. Nella zona superiore, in
accordo con la teoria, si può notare come dal Bianco-Grigio si passa al giallo. Questa foto
mostra, trascurando l'effetto che si ha nei punti di attacco alla struttura, come solo nella zona
centrale e più precisamente nella zona degli spigoli vivi, compare per la prima volta il
violetto (di passaggio) relativo ai colori osservati del primo ordine. In base a questo risultato
si può dire che la sollecitazione massima (a parità di carico) relativa all'intero provino si ha
proprio in questi punti.
STEP 4
Aumentando sempre di più il carico si nota come nella zona inferiore si osserva la
variazione dall'arancione al violetto (di passaggio), mentre nella parte superiore si va dal
giallo all'arancione.
Anche in questa foto si evidenzia un risultato importante in quanto per la prima volta, in
corrispondenza degli spigoli vivi, si presenta la colorazione BLU a conferma del fatto che
anche questa volta è la zona più sollecitata.
Questo è un risultato importante in quanto con un ulteriore incremento di carico si dovrebbe
passare dal blu al verde chiaro e quindi passare ai colori osservati del 2° ordine.
STEP 5
Come ci si aspettava, all'aumentare del carico, in corrispondenza degli spigoli vivi, si è
passati dalla colorazione blu alla colorazione verde (di passaggio). In questa zona si assiste
al transito di tutti i colori del primo ordine. Al successivo incremento di carico si dovrebbe
osservare nuovamente il giallo (che questa volta sarà più intenso.)
Si noti come nella zona inferiore sussiste ancora la colorazione violacea che tende a
diventare blu.
Nella parte superiore si passa dall'arancione al violaceo.
La foto seguente mostra ulteriormente le considerazioni sopra citate.
Da questa foto si nota subito la comparsa del giallo di 2° ordine in corrispondenza degli
spigoli vivi, ed inoltre il passaggio dal BLU al VERDE nella parte inferiore e dall' arancione
al viola nella parte superiore.
Conclusioni
La prova ha avuto lo scopo di mostrare la distribuzione degli sforzi lungo il provino;
tuttavia si può affermare con certezza che sono stati commessi degli errori. Si consideri la
seguente foto.
Dalla teoria è noto che lontano dalle anomalie geometriche lo sforzo è costante e quindi il
colore dovrebbe essere lo stesso. Il particolare 1 mostra una piccola variazione che va da
una tonalità giallo – verde fino ad arrivare al violetto, mentre nella parte superiore invece ci
si avvicina di più al risultato atteso in quanto il colore è quasi costante.
I particolari 2, 3 e 4 fanno riferimento ad anomalie geometriche e quindi zone di
intensificazione degli sforzi; in accordo con la teoria l'immagine mostra come gli sforzi in
queste parti appaiono nettamente superiori rispetto al resto del provino. Tuttavia nei
particolari 2 e 3 si nota che i colori e quindi gli sforzi non sono perfettamente simmetrici.
Il particolare 4 infine mostra che le alette risultano scariche e che gli sforzi in
corrispondenza delle gole ancora una volta non sono perfettamente simmetrici.
Questi errori sono dovuti al fatto che il provino non è perfettamente simmetrico nella
geometria e che il carico non è puramente di trazione ma può presentare delle componenti
spurie di momento flettente a causa del non perfetto posizionamento del provino nel banco
prova.
A meno di questi errori si può affermare che non ci si discosta eccessivamente dalla teoria in
quanto le immagini confermano che la parte inferiore del provino è soggetta a uno sforzo
maggiore rispetto alla parte superiore, e che le anomalie geometriche sono i punti più
sollecitati del provino.
Stima della costante di frangia.
Per la stima della costante di frangia è stato utilizzato un provino di policarbonato, avente sezione
rettangolare. Tale provino è stato caricato a flessione su quattro punti, mediante un sistema manuale
vite-madrevite. La configurazione di carico in questione, genera nel tratto compreso tra gli appoggi
interni un momento flettente costante. Possiamo schematizzare il sistema come segue:
Noto lo spostamento imposto tramite la madrevite ai due appoggi superiori, rispetto a quelli
inferiori è stato ricavato il valore della forza applicata, mediante l’equazione della deformata:
=
∙
6∙
∙
∙
+3
+3
Nota la forza, si può ricavare la sollecitazione nella zona centrale, dove le azioni interne sono
costanti. Il momento flettente vale:
MF = F ⋅a
Dove a è la distanza tra il supporto interno e quello esterno, che vale 25 mm.
La sollecitazione vale dunque:
σ=
M F ⋅ y max
I
Dove I è il momento di secondo ordine baricentrico:
b ⋅ h3
I=
12
La relazione da cui si vuole stimare la costante di frangia F, è la seguente:
σ1 − σ 2 = F ⋅ n
Dove n è il numero di frange.
Per l’azione normale, e quindi anche per la flessione, la differenza tra le due sollecitazioni
principali è pari proprio a quella presente in un determinato punto, come si può notare dai
cerchi di Mohr. Nel nostro caso è quella valutata con la formula di Navier. Una volta contato
il numero di frange in quello stesso punto l’unica incognita rimane dunque la costante di
frangia F.
In sede sperimentale, ci sono state delle complicazioni. Prima di applicare il carico si è
notato, attraverso il polariscopio, un’isocromatica gialla su tutta la superficie del provino.
Questo è sintomo di una tensione normale residua sul provino, costante su tutta la
superficie. Non si può dedurre a priori il segno di tale sollecitazione perché la sollecitazione
corrispondente ad un’isocromatica è proporzionale alla differenza tra le sollecitazioni
principali e non a quella effettivamente presente sul provino.
Ruotando la vite, è stato applicando gradualmente il carico e si è monitorata l’evoluzione
delle isocromatiche.
Partendo dall’unica isocromatica presente, è comparsa gradualmente dall’alto del provino
verso il basso prima una seconda frangia e poi via via, sempre dall’alto, delle altre. La
distribuzione delle isocromatiche è cambiata durante la fase di carico, traslando dall’alto al
basso. Tale traslazione è avvenuta in concomitanza ad un aumento del numero di frange e
quindi dalla diminuzione del loro spessore. L’applicazione del carico è stata interrotta
quando è comparsa nella zona superiore del provino una frangia di colore nero, che
corrisponde ad una sollecitazione in quella zona nulla, ottenuta per un valore dello
spostamento della vite di 2 mm rispetto alla situazione indeformata.
L’assenza di sollecitazione sulla parte superiore del provino, ci permette di dedurre che la
tensione residua è di compressione. La flessione imposta al provino per mezzo del torchio
ha caricato le fibre superiori a trazione, scaricando la compressione iniziale.
Un aumento del carico ha fatto traslare ulteriormente verso il basso la frangia nera. Essendo
questa la zona in corrispondenza in cui le fibre sono scariche longitudinalmente coincide
essa coincide con l’asse neutro. Le fibre superiori ad esso sono tese e quelle inferiori
compresse.
Per la stima della costante di frangia, si è riportato, per comodità, il livello di carico alla
situazione rappresentata nella foto, cioè con asse neutro in prossimità della parte superiore
del pezzo. In questa situazione, data ormai per certo la presenza di compressione residua, la
situazione è la seguente:
La tensione residua
di compressione è costante su tutta la sezione. Il secondo andamento
è quello della tensione generata dal carico imposto con la vite, il cui valore massimo σ è
calcolabile con la formula di Navier, ricavando la forza F come visto prima. L’ultima
distribuzione è rappresentativa dello stato tensionale teorico
corrispondente alla foto.
Nelle fibre superiori vale:
+
=
=0
dai cui si ricava:
=
Nelle fibre inferiori invece:
+
=2∙
=
In definitiva, nella parte inferiore si ha un valore di sforzo doppio rispetto a quello che si
avrebbe avuto se il provino non avesse tensioni residue. Osservando le frange e contandole
partendo dal nero (n=0), si è trovato per la zona inferiore n=2.8.
CALCOLI
Sezione:
b=2.85 mm
h=29.4 mm
Il cui momento di inerzia vale:
I=6035
Per il policarbonato si è assunto un modulo di elasticità longitudiale E=2500 MPa.
Dall’equazione della deformata risulta, per uno spostamento di 2 mm, un carico applicato
F= 828 N.
= 20693
A questo corrisponde un momento flettente
sollecitazione
= 50.4
e dunque una
.
= 100.8
La sollecitazione teorica al bordo inferiore vale
Sostituendo
=
"
−
""
Nell'equazione
∙$ =
"
−
Ed esplicitando F si ottiene:
=
$
= 36
""
.