Pratica, Ingegneria e Scienza in Cardano e Saccheri

MATEMATICI A PAVIA: CARDANO E SACCHERI
Gianmario Motta [email protected]
OGGETTO E SCOPO DEL LAVORO .................................................................................................... 2
PRATICA, INGEGNERIA E SCIENZA NEL RINASCIMENTO: IL RUOLO DI CARDANO ....... 2
L’APPROCCIO PRATICO ALLA MECCANICA E LEONARDO .......................................................................... 3
L’APPROCCIO UMANISTICO ALLA SCIENZA: LA RISCOPERTA DELLA MATEMATICA E DELLA MECCANICA
ANTICA ..................................................................................................................................................... 6
CARDANO E L’ALGEBRA ........................................................................................................................... 7
Cronologia di Cardano (da: Paolo Colussi www.storiadimilano.it ) ................................................ 8
Lo sviluppo della matematica ............................................................................................................. 9
CARDANO E LA SCIENZA FISICA .............................................................................................................. 11
De Rerum Varietate .......................................................................................................................... 11
Il De Subtilitate e la sospensione cardanica ( il “giunto cardanico”) ............................................. 12
Gli anelli cinesi ................................................................................................................................. 14
SACCHERI E IL QUINTO POSTULATO DI EUCLIDE ................................................................... 15
IL QUINTO POSTULATO DI EUCLIDE ........................................................................................................ 15
L’ANALISI DI SACCHERI ......................................................................................................................... 17
CONCLUSIONE ...................................................................................................................................... 18
SINTESI ................................................................................................................................................... 18
UNA GRIGLIA PER POSIZIONARE I CONTRIBUTI ALLO SVILUPPO DELLA CONOSCENZA SCIENTIFICA ......... 19
RINGRAZIAMENTI ............................................................................................................................... 22
RIFERIMENTI ........................................................................................................................................ 22
Testi e saggi ...................................................................................................................................... 22
Siti web consultati ............................................................................................................................. 24
Oggetto e scopo del lavoro
Questo lavoro èparte di una vasta celebrazione del quarantennale di Ingegneria della
Universitàdi Pavia; in questo ambito si propone di ricordare i contributi alla matematica
ed alla meccanica di Cardano e di Saccheri, sena alcuna pretesa di completezza od
originalità. Poichéla biografia dei due ègiàcompiutamente esposta del lavoro di
Capelo (2001), mi sono focalizzato sul posizionamento di Cardano e di Saccheri nella
scienza del loro tempo e sul loro contributo allo sviluppo della scienza e della tecnica.
Pratica, ingegneria e scienza nel Rinascimento: il ruolo
di Cardano
Cardano, ènotorio, ha interessi molto diversificati, che abbracciano una gamma di
conoscenze eccezionalmente ampia anche per una epoca universalistica ed
enciclopedica come il Rinascimento. Cardano ha scritto moltissimo. Le Opera Omnia
pubblicate molto dopo la sua morte (1663) comprendono approssimativamente 5.000
pagine in-folio su due colonne , scritte in latino e, in misura marginale, in italiano, come
il curioso dialogo Se la qualitàpuòtrapassare di subietto in subietto (tomo II, p. 668).
In questo breve saggio ci concentriamo sul Cardano matematico-meccanico ed
ingegnere. Mostreremo come l’approccio di Cardano alla scienza fisica (e alla
matematica) sia quello di un geniale curioso, grande divoratore di libri, che ama
collezionare fugaci e brillanti analisi sugli argomenti piùdisparati. Considereremo in
particolare il Cardano che emerge da tre opere. Le prime due, De rerum varietate e De
subtilitate, mostrano un Cardano appassionato letteralmente a qualunque genere di
questioni1 dalla esistenza dei demoni alla geometria . Il De subtilitate, un best seller
molto curato, con indice analitico2,contiene la descrizione di due argomenti famosi, il
giunto cardanico (in realtàuna sospensione) e gli anelli di Cardano. La terza, Practica
Aritmetice (1539) èimportante poichédimostra la straordinaria familiaritàdi Cardano
con i problemi di calcolo algebrico ben prima della pubblicazione della Ars Magna
(1545), che ha consacrato Cardano come scopritore della omonima formula per la
risoluzione delle equazione di terzo grado.
La eterogeneitàdelle invenzioni che abbiamo citato, ovvero (a) una invenzione
meccanica (sospensione cardanica) (b) un rompicapo (gli anelli cardanici) (c) una
scoperta matematica (la equazione cardanica), cui vanno aggiunte la analisi del gioco
dei dadi, le scoperte di fisiologia e medicina ecc., evidenzia la universalitàdel
personaggio, del tutto coerente con lo sviluppo storico della scienza nel Rinascimento.
Questa infatti evolve secondo linee distinte, con una sorta di giustapposizione di
1
Cardano stesso spiega che il de Subtilitate (che avràben tre edizioni) èorientato alla ricerca delle cause
mentre i de Rerum Varietate riorganizza riflessioni varie ed èquindi un lavaoro piùdi organizzazione di
spunti tratti da letture ed osservazioni. Non casualmente, entrambe le “invenzioni” sugli anelli e sulla
sospensione sono nel de Subtilitate.
2
Elio Nenci mi segnala che l’indice analitico si trova frequentemente nei trattati del Rinascimento, a
stampa e manoscritti, e che ètipico (ma non esclusivo) delle opere di scuola aristotelica e di medicina.
Spesso l’indice corrisponde specularmene alle note messe a margine del trattato, evidenti nelle fotografie
dei manoscritti richiamate di seguito.
approcci. Uno stesso campo di indagine - per esempio la matematica - èpercorso da
scuole diverse, che includono gli scienziati umanisti che pubblicano le edizioni critiche
dei matematici antichi (p.e. Maurolico e Commandino per la geometria, Piccolomini per
la meccanica, Palladio e Barbaro per la architettura), gli ingegneri pratici che
costruiscono e disegnano macchine (p.e. Leonardo da Vinci, Francesco di Giorgio ed
altri), i trattatisti (celeberrimo Luca Pacioli) per finire con gli algebristi (p.e. Tartaglia,
Cardano e, successivamente Bombelli e Viéte). Le “scuole” si rifanno a sistemi
dottrinali spesso non espliciti e qualche volta contradditori.
L’approccio pratico alla meccanica e Leonardo
Non èpossibile parlare di Cardano fisico-meccanico senza menzionare Leonardo da
Vinci (1452 -1519). Leonardo opera a Pavia e si occupa di idraulica; pare che sia amico
del padre di Cardano. Se non come persona, la cultura ingegneristica, che Leonardo
impersona insieme con Francesco di Giorgio, senz’altro influenza l’ambiente in cui
Cardano opera.
In uno studio classico sugli ingegneri del Rinascento, Gille (1964) osserva che la nostra
visione del rinascimento èdominata da Leonardo, ingegnere e genio universale. La
figura di Leonardo scienziato - ingegnere èpromossa da un teorico della scienza, Pierre
Duhem (1861-1916), che dedica a Leonardo tre volumi dal significativo titolo “Études
sur Léonard de Vinci, ceux qu’il a lu et ceux qui l’ont lu” (1909-13). Duhem presenta
un Leonardo erudito, imbevuto di quella scienza medievale sulla statica e sulla
geometria elaborata da Giordano Nemorario, Brandwardine ed altri. Anche se la
storiografia moderna (Taton 1966) dimostra che Leonardo è, come anche i suoi
contemporanei affermano, uomo “senza lettere”, la vastitàdegli interessi di Leonardo
resta sorprendente.
Dal nostro punto di vista, Leonardo èemblema di un paradigma scientifico empirico,
basato sulla osservazione e sulla esperienza, sulla raccolta di fatti, sulla costruzione di
macchine e congegni. Leonardo non conosce il greco, non ha sistematicamente studiato
i testi scientifici classici (Euclide, Archimede ed altri) e non ha un approccio sistematico
alla costruzione della conoscenza. Tuttavia Leonardo studia gli stessi problemi
matematici di Cardano, cercando semplicemente di capire, non di spiegare od analizzare
criticamente come Cardano invece fa costantemente nel de Subtilitate (fig. 1)3.
3
Gille (1964) nota : Questa scienza ha carattere totalmente pratico ed èfatta sopra tutto di osservazioni
[…] Leonardo non aveva abbastanza la stoffa dello scienziato o comunque non aveva un sapere
abbastanza organizzato.
Figura 1 Leonardo e la radice cubica nel Codice Atlantico Foglio 395 - recto, A. Sul sito della
Biblioteca Ambrosiana (www.ambrosiana.it) si legge che lo scritto qui sopra illustrato non èdi
Leonardo ma rappresenta invece uno dei mezzi con cui Leonardo conobbe la soluzione geometrica del
problema della radice cubica o delle due medie proporzionali. Rispetto alle piùnote pagine del codice
Arundel (fogli 178 v - 179 v) contenenti una imperfetta traduzione del testo di Giorgio Valla, questa
dimostrazione si distingue in quanto il rapporto tra le due linee su cui s’imposta il discorso è1 : 8
(come Luca Pacioli nella Summa) invece di 1 : 2, ma figura e testo sono molto vicini alla seconda
soluzione riferita nel codice Arundel.
Questo approccio pratico resiste anche quando Leonardo lavora con Luca Pacioli. Come
ènoto, la Summa di Pacioli, pubblicata nel 1494 a Venezia, èuna grande enciclopedia
che espone sistematicamente tutte le dottrine matematiche del tempo, inclusa la
aritmetica commerciale e la partita doppia. Il rapporto fra Pacioli e Leonardo èmolto
stretto. Infatti, per il trattato di Pacioli sulla sezione aurea De divina proportione (1509),
Leonardo disegna i celebri e magici disegni di poliedri (fig.2). Nemmeno il contatto
quotidiano con la geometria spinge Leonardo verso la astrazione teorica4.
Le macchine attraggono Leonardo, che ha continua e lunga frequentazione dei
problemi di ingegneria idraulica. Nel 1493 lavora con ogni probabilitàalla bonifica dei
canali della Lomellina e alla regimazione dei canali del Novarese (allora dominio
Visconteo). Nel 1498-99 partecipa ai lavori di prosciugamento della regione di
Vigevano ed infine, durante il suo soggiorno a Roma, si occupa del prosciugamento
delle Paludi Pontine - e il suo progetto èapprovato da Leone X il 14 dicembre 1514, ma
non eseguito (Gille 1964).
4
Taton (1966) riporta una serie di osservazioni sull’approccio “senza lettere” di Leonardo. Per esempio,
Leonardo costruisce facilmente i poligoni a 3, 6, 8, 8, 24 ma si accontenta di soluzioni approssimative per
i poligoni a 5 e 7 lati. In generale i metodi di Leonardo sono diretti ed elementari e possono portare solo a
scoperte episodiche ed incidentali (come il baricentro della piramide).
Figura 2 Dodecaedro disegnato da Leonardo da Vinci per il trattato di Luca Pacioli de Divina
Proportione ( www.ambrosiana.it )
Leonardo èeccellente osservatore: per esempio distingue i fili d’acqua di una cascata o
la struttura del corpo e dei muscoli, ed èaiutato da una abilitàstraordinaria nel disegno
(Gille 1964). Tuttavia la originalitàdi Leonardo èlimitata. In alcuni casi Leonardo
ripropone o rielabora fonti letterarie: per esempio in campo militare usa il De Re militari
di Roberto Valturio (redatto poco dopo la metàdel Quattrocento). Nella idraulica, dove
resta poco da inventare, in quanto le pompe aspiranti e prementi sono giàinventate ed
illustrate e il problema degli acquedotti èrisolto dalla Antichità, Leonardo illustra cose
esistenti. La turbina idraulica, qualche volta attribuitagli, ègiàdisegnata da Francesco
di Giorgio (1439-1501). La turbina a vapore èideata da Erone, scienziato della
Antichità.
Infine la influenza diretta di Leonardo, che non pubblica trattati, èevanescente. Il
tentativo postumo di organizzare i manoscritti per temi omogenei compiuto da Pompeo
Leoni a quasi cento anni dalla morte di Leonardo porta ad arbitrarie mutilazioni in
quanto si scontra con la sua trattazione episodica e frammentaria (Gille 1964).
Il fervore tecnico e culturale in cui Leonardo ha vissuto continua ed una forma organica
di ingegneria delle macchine si sviluppa negli anni successivi, In Italia e in Europa. Vari
contemporanei di Leonardo hanno scritto trattati, gettando le fondamenta della
ingegneria meccanica intesa come analisi sistematica delle macchine e del loro uso. Fra
i moltissimi ricordiamo Trattato di architettura e macchine di Francesco di Giorgio, che
organizza la descrizione delle macchine in sequenze sistematiche (il codice, conservato
nella Biblioteca Medicea Laurenziana di Firenze, fu posseduto da Leonardo, che vi pose
12 note autografe). Fra le opere a stampa, menzioniamo i numerosi cataloghi di
macchine, detti allora “teatri”, fra cui il Novo teatro di machine et edifici (1607) di
Vittorio Zonca, che propone disegni con dettagli costruttivi in scala e Le diverse ed
artificiose macchine del capitano Agostino Ramelli (1588)
L’approccio umanistico alla scienza: la riscoperta della
matematica e della meccanica antica
Per posizionare Cardano nel sui tempo occorre considerare la scuola dei matematici
classici, che puntano su un progetto esplicito e di grande portata di recupero e sviluppo
della matematica antica, lavorando quasi collegialmente. Il filone della restituzione della
scienza classica puòessere infatti considerato una forma di umanesimo. Nasce infatti
con lo scopo di recuperare il corpus delle conoscenze scientifiche antiche, ma evolve in
un approccio assiomatico e strutturato alla conoscenza, che Galilei distilla nella frase
“matematiche dimostrazioni”. Con larga approssimazione, possiamo distinguere varie
fasi di evoluzione, talvolta distinte talaltra fuse, attraverso le quali la riscoperta del
sapere antico si trasforma gradualmente in un nuovo e solido sistema di spiegazione
scientifica:
1. edizione a stampa o traduzione filologica delle opere classiche;
2. parafrasi ed ampliamento della struttura teorica classica ;
3. integrazione del dominio di conoscenza restituito con nuove conoscenze e
sviluppo di nuove teorie interpretative, basato sull’impianto formale assiomatico
delle opere classiche quindi sintesi, per dirla con Galileo, di “matematiche
dimostrazioni e sensate esperienze”.
Il campo della restituzione èmolto ampio e diversificato ed include tutte le discipline
tecniche e scientifiche: matematica, meccanica e architettura.
La riscoperta della matematica antica inizia con le edizioni delle opere classiche di
Archimede, Euclide, Apollonio e Diofanto. Francesco Maurolico èun esempio
significativo dello stretto legame fra riscoperta umanistica e progresso scientifico.
Maurolico nasce da padre greco il 16 settembre 1494 a Messina dove muore il 24 luglio
1575. Di famiglia agiata, studia a Messina sotto il greco Costantino Lascaris ed è
compagno di scuola di Pietro Bembo. Nel 1521 prende gli ordini sacerdotali e
successivamente diventa abate. Nel 1525 èa Roma, ma poi torna a Messina.
Maurolico scrive, nella prefazione alla sua Cosmografia (Venezia 1543), rivolgendosi a
Pietro Bembo:“Per quanto hanno potuto le forze del mio ingegno, la penuria dei dotti, e
[per quanto] la inopia dei libri me lo ha concesso, mi sono sforzato di restituire in
queste discipline tutto quanto ho potuto, pronto, se il caso si presenta, a cedere ai
migliori. Sono stato costretto a ricostruire quasi tutte le opere degli antiche da
frammenti sparsi, ed ho anche prodotto, oltre ai presenti Dialoghi (la Cosmografia
NdT), alcuni miei lavori, a nessuno dei quali daròalla luce senza il tuo
consiglio(traduzione dell’autore)”.
Pubblica una raccolta di traduzioni di opere matematiche greche, ma le sue opere più
importanti sono pubblicate tardi: negli Opuscula Matematica (1575) Maurolico
determina il baricentro dei solidi e nella Arithmeticorum libri duo (1575) usa le lettere
al posto dei numeri, mentre i Photismi de lumine et umbra (1611) anticipa in modo
sorprendente la ottica di Keplero (ma purtroppo compare successivamente).
Anche nella meccanica la fase di restituzione e riscoperta della meccanica classica è
seguita dallo sviluppo teorico. La restituzione interessa le opere di Archimede sulla
statica e ala idrostatica, che contengono i principi della leva e della idrostatica, e le
Quaestiones Mechanicae attribuite ad Aristotele, che includono la analisi geometrica
delle macchine semplici. Fra le edizioni delle Quaestiones ha influenza rilevante la
parafrasi di Alessandro Piccolomini In Mechanicas Quaestiones Aristotelis paraphrasis
paulo quidem plenior, apud Antonium Bladum, Romae 1547.
Nel 1577 Guidobaldo del Monte pubblica la sua meccanica, che integra i principi delle
Quaestiones e la baricentrica archimedea in un sistema ampio e strutturato di
spiegazione assiomatico. Guidobaldo, matematico, filosofo e astronomo, nasce ad
Urbino da una potente famiglia nobile e studia matematica all’università di Padova nel
1564. Dopo una parentesi militare, si dedica alla scienza matematica e riprende gli studi
con Federico Commandino (1509-1575) Federico èa sua volta un matematico notevole,
che non solo cura una fondamentale edizione di Euclide (1572) ma arricchisce anche il
sistema scientifico con l’omonimo teorema, nel Liber de centris gravitatis solidorum
(1562). L’epistolario di Guidobaldo, conservato alla Biblioteca Ambrosiana di Milano,
molto ricco di osservazioni, mostra la vivacità scientifica del “circolo padovano”, che
include Pinelli e Savorgnano, e spiega lo straordinario sviluppo scientifico di Galilei a
Padova. Guidobaldo è in corrispondenza anche con i matematici Giacomo Contarini,
Francesco Barozzi (1537-1604) e, infine, Galileo Galilei (1564-1642).
Pochi anni dopo, tra il 1592 e il 1610, Galileo elabora a Padova il suo trattato di
meccanica - le Mecaniche - in cui aggiunge la analisi dei piani inclinati e definisce la
misura del lavoro iniziando il cammino della meccanica moderna che continua con i
Discorsi e Dimostrazioni sopra due Nuove Scienze (1638) dello stesso Galilei e si
completa con i Principia Matematica di Newton.
Ma l’umanesimo scientifico non si ferma alle scienze matematiche. Anche la
architettura percorre un cammino analogo, con i trattati di Leonbattista Alberti (1404 1472) e, sopra tutto, di Andrea Palladio (1508 -1580). Palladio, infatti, con I Quattro
Libri dell'Architettura (1570) rielabora in un sistema coerente i modelli classici,
strutturando una architettura civile che ha dominato per quattro secoli
Cardano e l’algebra
Gli interessi di Cardano sono vasti quanto la sua produzione editoriale. Cardano è
medico, astrologo, moralista, matematico e meccanico. Inoltre, tipico uomo
rinascimentale, èvorace ed informato lettore di autori letterari classici, di autori
scientifici classici (da Erone a Vitruvio, da Euclide ad Aristotele), di scienziati
medievali come Giordano Nemorario (Iordanus Nemorarius) ed anche di autori
contemporanei. Cardano, diversamente da Maurolico, Commandino e Guidobaldo del
Monte, non èinteressato al recupero della scienza antica, ma, pur attento commentatore
di singoli teoremi di Euclide e di Archimede (p.e. la vite senza fine), discute singole
questioni che lo appassionano personalmente. Come matematico, Cardano è
commentatore di teoremi classici e geniale teorico dell’algebra. La parola “geniale”
allude alla capacitàanalitica che Cardano manifesta, ma, al tempo stesso, sottolinea la
sua non sistematicità.
Cronologia di Cardano (da: Paolo Colussi
www.storiadimilano.it )
1501 (24 settembre) - Gerolamo Cardano nasce a Pavia. È figlio illegittimo del giurista Fazio Cardano e di Chiara
Micheri, una vedova di povere condizioni. La sua infanzia trascorre a Milano, dove il padre gli impartisce la prima
educazione avviandolo allo studio dell'aritmetica, della dialettica, della lingua latina e dell'astrologia.
1520/1522 - Gerolamo si iscrive all'Universitàdi Pavia, dove comincia ad occuparsi di medicina.
1524/1526 - Gli studi proseguono all'Universitàdi Padova. In essa Cardano ricopre la carica di "rector artistarum"
e, dopo la morte del padre, consegue la laurea.
1527/1529 - A Sacco, una cittadina che dista dieci miglia da Padova, Gerolamo si avvia alla professione e conduce
una vita spensierata, gettando anche le basi dei suoi primi scritti di vario argomento.
1529 - Durante un provvisorio ritorno a Milano, Cardano tenta di farsi accogliere nel Collegio dei Medici,
ottenendone un rifiuto motivato dalle sue origini illegittime.
1530 - Il nuovo soggiorno a Sacco corrisponde ad un periodo di cattiva salute e di preoccupazioni, causa anche gli
avvenimenti politici che travagliano in questi anni buona parte dell'Italia Settentrionale.
1532 - Si sposa, a Sacco, con Lucia Bandareni.
1534 - Nascita del primo figlio, Giovanni Battista, e trasferimento con la famiglia a Gallarate. Ritornato a Milano
verso la fine dell'anno, Cardano insegna nei giorni festivi Geometria, Aritmetica e Astrologia presso le Scuole
Piattine, grazie all'interessamento di Filippo Archinto, uomo di fiducia dell'Imperatore Carlo V.
1535 - Nasce la figlia Chiara.
1536 - Gerolamo rifiuta l'offerta della cattedra di Medicina a Pavia, perchénon garantisce uno stipendio sicuro.
1537 - Trattative con il Collegio dei Medici di Milano che continua a rifiutare l'ammissione di Gerolamo.
1539 - Cardano èfinalmente accolto nel Collegio dei Medici di Milano e la sua fama comincia ad affermarsi.
Proseguono anche i suoi studi e compaiono i primi trattati.
1543 - Nasce il figlio Aldo.
1544/1551 - A periodi alterni, Gerolamo insegna Medicina all'Universitàdi Pavia. In questi anni confusi, egli rifiuta
anche molte offerte che provengono dai luoghi piùdisparati.
1551 - Su invito dell'Arcivescovo di Edimburgo, Cardano parte per la Scozia. Nel suo peregrinare per l'Europa
rifiuta offerte vantaggiose e s'incontra con i principali pensatori dell'epoca, confrontando le proprie opinioni con i
fermenti della riforma luterana.
1553/1558 - Soggiorno a Milano, dedicato agli studi ed alla stesura di nuove opere.
1559 - Decapitazione del figlio Giovanni Battista, accusato di aver dato la morte alla moglie con il veleno.
1561/1570 - Cardano èprofessore primario di Medicina teoretica all'Universitàdi Bologna. La gelosia dei colleghi
gli procura nuovi dispiaceri.
1570 - E' incarcerato per motivi poco chiari, forse con l'accusa di propagandare nei suoi scritti idee poco ortodosse.
1571 - Liberato dalla prigione, Cardano deve abiurare pubblicamente e si reca a Roma dove Papa Gregorio XIII gli
concede una pensione.
1576 - Ormai povero e malato, muore a Roma il 20 settembre, da privato cittadino.
Figura 3 Practica Arithmetice (frontespizio e triangolo di Tartaglia)
Lo sviluppo della matematica
La teoria algebrica che Cardano espone nella Ars Magna (1545) non nasce isolata.
Come ricorda Giorello (1980), Pacioli nella sua Summa (1494) si spinge verso la
notazione sincopata, prossima alla nostra notazione; e Pacioli èaffiancato da algebristi
europei come Chuquet con il Triparty (1484), Riese con Die Coss (1524), Stifel con
Arithmetica Integra (1544), Galligai con Summa de Arithmetica (1521).
Le opere matematiche di Cardano segnano un cammino di cui la Ars Magna rappresenta
il punto piùalto. La Ars Magna èinfatti preceduta dalla Pratica Arithmetice (1539)
stampata mentre Cardano èa Milano. Il contenuto della opera è, a nostro avviso,
indicativo dell’approccio di Cardano all’algebra. La struttura del libro, in 68 capitoli,
segue una progressione; inizia con questioni matematiche semplici (capitoli 1-22) e
prosegue con la estrazione della radice (capitoli 23-36); continua discutendo questioni
astronomiche e questioni varie (capitoli 37-40); torna (capitoli 41-51) alle proprietàdei
numeri, inclusi gli irrazionali (cap. 44) e procede con soggetti vari inclusa la mercatura
(capitoli 52-68); termina con un capitolo dedicato a Luca Pacioli, che suona De
erroribus Fratris Luce. Esso contiene una lunga lista di errata corrige, forse indirizzati
ad un emendato studio di Pacioli piùche ad una analisi critica della teoria.5
Figura 4 Il frontespizio della Ars Magna (dal sito Polymath)
5
Alla luce di questa sommario esame èpoco comprensibile la importanza attribuita da storici come Taton
della critica di Cardano a Luca Pacioli.
La esposizione della Pratica Arithmetice non è “cartesiana”; p.e. il capitolo 44 è una
sequenza di 15 pagine che riportano senza ordine evidente considerazioni varie sugli
irrazionali. Il testo peròtestimonia la straordinaria passione di Cardano per le proprietà
dei numeri. Nel capitolo 23 De extractione radcium quadratarum ed cubarum in
simplicibus, riepiloga il principio della estrazione della radice quadrata servendosi di
esempi numerici ed indicando anche i metodi di verifica (moltiplicazione, divisione,
prova del 7 o del 9) e proponendo per la radice cubica il cosiddetto triangolo di
Tartaglia. La trattazione prosegue con la estrazione delle radici nei numeri frazionari. E’
quindi un Cardano ben addentro nelle questioni del calcolo algebrico quello che affronta
la sfida con Tartaglia e che scrive la Ars Magna (1545), pubblicata quindi mentre è
professore a Pavia.
Ci limitano ad alcuni velocissime note sulla risoluzione della equazione di terzo e
quarto grado e sulla annessa disputa con Tartaglia, i cui aspetti matematici sono trattati
nel saggio di Capelo (2001), stampato in questo stesso volume, e in Gindikin (1988). Se
èopinione generale degli storici che la scoperta sia dovuta alla opera combinata di
Scipione del Ferro, Tartaglia, Cardano e del suo allievo Ferrari, èdi Cardano la
trattazione sistematica ed esplicita della algebra, appunto nella Ars Magna (Figura 4).
Date le molte polemiche che anora corrono sulla scoperta, vogliamo citare la onesta e
completa dichiarazione di paternitàche C. formula nella prefazione
“Il nostro contemporaneo Scipione Del Ferro scoprìuna formula secondo cui il cubo
del noto più l’ignoto èuguale al numero. Era un lavoro assai pregevole e degno di nota.
Perchéquesta arte trascende ogni umana abilitàe ogni luciditàmentale dei mortali,
dev’essere considerata un dono d’origine celeste, nonché indice delle potenzialità
dellamente; e trattasi di sì gloriosa scoperta che colui il quale ne fu l’artefice può
credersi aragione capace di raggiungere qualsiasi obiettivo. Con lui si contende il
titolo NiccolòTartaglia di Brescia, nostro amico, che, sfidato dallo studente di Del
Ferro di nome Antonio Maria Fior, riuscìa risolvere lo stesso problema per non venir
sconfitto, e, dopo richieste ripetute nel tempo, mi trasmise la sua soluzione. Io ero stato
fuorviato dalle parole di Luca Pacioli, secondo il quale non esisteva una soluzione
generale per equazioni di questo tipo, e, sebbene avessi giàio stesso fatto diverse
scoperte, non disperavo di riuscire a trovare, un giorno, quello che non osavo nemmeno
cercare. Tuttavia, quando ricevetti lo scritto e raggiunsi la soluzione, mi resi conto che
poteva essere utilizzata per molto altro: e, forte di una maggior fiducia, riuscii a
compiere molti progressi nei miei studi, in parte da solo, in parte con Ludovico Ferrari,
mio antico studente”.
La Ars Magna non èopera facile. I contemporanei e, successivamente, gli storici
concordano sulla oscuritàdi Cardano. Cardano infatti usa un formalismo primitivo e
confuso (Taton tr.it.1965, Giorello 1980) In primo luogo descrive la sua algebra con un
linguaggio verbale (“esposizione retorica”) invece che con una notazione simbolica
(“notazione sincopata”), appesantendo la lettura e la interpretazione. Inoltre, nonostante
la sua passione per i numeri, evidente nella Pratcica , tende a formulare
geometricamente sia i problemi sia i procedimenti risolutivi: p.e., nell’ambito della
formulazione canonica x3+ px = q , x3 èconcepito come un cubo e px e q come volumi
ed aree.
Cardano espone in modo del tutto particolare. Infatti procede per paradigmi “cioè
mediante esemplari che permettono la riproduzione di esempi, ciascuno dei quali
potrebbe servire in linea di principio a sostituire il corrispondente esemplare, proprio
come in grammatica amo, amas, amat mostra lo schema da usare nel coniugare altri
verbi latini” (Giorello, cit., pg. 266).
Alla Ars Magna seguono alcuni trattati matematici, la Aliza regula e De proportionibus,
che non introducono sostanziali innovazioni (rimandiamo alla analisi di Simoes Capelo
(2001)).
La strutturazione della algebra procede rapidamente dopo Cardano. Raffele Bombelli
(1526 - 1572), matematico ed ingegnere idraulico, che conosce Cardano, Tartaglia ma
anche autori greci come Diofanto, pubblica la sua Algebra nel 1571, dove utilizza una
notazione matematica, in particolare gli esponenti per le potenze dell'incognita. Francois
Viète (1540-1603) conclude la prima fase con la Isagoge in artem analyticam (1591)
dove introduce una innovazione che si avvicina molto alla nostra norazione simbolica,
nel quale le incognite sono rappresentate da vocali e i parametri dati da consonanti
Cardano e la scienza fisica
Lo studio della fisica ha uno spazio relativamente limitato nella opera di Cardano.
Tuttavia, due opere che ebbero grande successo, De Rerum Varietate e il De Subtilitate
(1550, 1554, 1560) offrono spunti interessanti. Una sommaria analisi della struttura
delle due opere permette di posizionare il contributo di Cardano; essa considera le opere
dai punti di vista della finalità dell’opera, del contenuto e della sua articolazione e della
argomentazione usata dall’autore.
De Rerum Varietate
Per meglio focalizzare il contenuto dell’opera, ho articolato il sommario del De rerum
Varietate, che conta ben 366 pagine in-folio nella edizione Opera Omnia (1663), in tre
gruppi di argomenti, che progrediscono con continuitàda osservazioni sulla cosmologia
e sulla natura in genere, alle osservazioni su ciò che ha fatto l’uomo (macchine e
artifici) alla trattazione di ciòche èsovrannaturale o comunque manipola il normale
corso degli eventi, con persino un capitolo sui demoni, in realtàinfarcito di citazioni di
Cicerone, Varrone ed altri classici (Tabella 1) 6.
Quale criterio segue Cardano nella trattazione dei singoli argomenti, all’interno dei
cento capitoli dell’opera? La similitudine per forma, per comportamento (viribus) o
denominazione (=ordine alfabetico). Tale criterio èprossimo alla enciclopedia
medievale, che èrepertorio di conoscenze sulle cose piùvarie ed analizza singole
quaestiones e tratta una gamma vastissima di materie che includono rompicapi (come
6
La tripartizione éuno schema proprio di Cardano, che nel congedo (De Rerum Varietate, caput C,
pg.348 della Opera Omnia, dichiara “Hanc igitur tractationem […] somnio monitus sum, ut in tres libros
dividerem, atque ea ratione, ut in primo de naturalibus, in secundo de artificiosis, in tertio de
supernaturalibus, aut quae his similia sunt, tractarem. Eo vero ordine, ut similia similibus copularem: sic
enim ordo esse debet in tractando ”
gli anelli di Cardano7), problemi di balistica (come le traiettorie balistiche di Tartaglia)
e proprietàdei numeri; èun approccio alla conoscenza che per natura rifugge da una
strutturazione astratta del sapere.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Storia Naturale e Scienze affini
Macchine ed Artifici
De universo & partibus eius
sensilibus
De mundi partibus divisionibus
De mixtis generaliter
De metallis
De lapidibus
De plantis et productis ab eis
De animalibus et productis ab eis
De homine
9. De motibus
10. De ignis artificiis
11. De artificiis
communibus
12. De artificiis subtilioribus
13. De artificiis
humilioribus
Magia Naturale e Scienze
occulte
14.
15.
16.
17.
18.
De motibus
De ignis artificiis
De artificiis communibus
De artificiis subtilioribus
De artificiis humilioribus
Tabella 1 Sommario del De rerum Varietate strutturato per dominio di conoscenza
Per la sua enciclopedia Cardano usa largamente fonti letterarie, anche nella meccanica.
Tuttavia, Cardano ha un chiaro concetto della meccanica, come si deduce dalla sua
definizione di moto, che si differenzia dal concetto generico di moto della fisica
aristotelica 8: “Quoniam certum est, motum omnem esse translationem quandam ex
loco: aut igitur haec translatio est per rectam lineam, fitque motus rectus: aut per
obliquam, atque, si circularis erit (Opera Omnia 1883, Tomo 3, pg. 177).” Inoltre
Cardano ha ben chiaro come avvenga la trasmissione dei moti, come mostra trattando
degli ingranaggi (Opera Omnia 1883, Tomo 3 p 189-90).
Il De Subtilitate e la sospensione cardanica ( il “giunto cardanico”)
Articolato in 21 libri, il de Subtilitate èun testo molto vasto, che conserva, come il de
Rerum Varietate , il carattere della enciclopedia. Uno spazio relativamente ampio è
dedicato alle macchine, che sono trattate in decine di pagine del libro 1 e in alcuni passi
del libro 2. Secondo lo stile del tempo, Cardano inizia con problemi generali sulla
mutazione e sulla trasformazione delle materie prime ed alla dimostrazione, tipicamente
sillogistica, che il vuoto non esiste. Le pagine successive sono una rassegna
straordinariamente eterogenea di macchine, che vede la trattazione di una ballista, che
Cardano riprende (esattamente) da Vitruvio (libro X, cap. 12), seguita da una macchina
7
Cardano descrive il rompicapo degli anelli nel De subtilitate, liber XV, sotto il significativo titolo De
inutilibus subtilatibus e con la postilla “Instrumentum ludicum”, senza rivendicarne in alcun modo la
paternità(Opera Omnia, pg 587)
8
Nella fisica aristotelica, il termine “moto” (motus) ha il significato onnicomprensivo di “mutamento”; il
moto di luogo èquindi un caso particolare di mutamento. Su questo tema hanno scritto sia Cardano sia
Tartaglia (149 -1577). Secondo Taton (tr.it. 1965) T. teorizza nella Nova Scientia (1537) che il
movimento locale di un grave lanciato (oggi diremmo “la traiettoria di un proiettile”) sia composto (a) da
un movimento violento generato dalla spinta, (b) da un movimento naturale, determinato dalla gravità, (c)
da un movimento misto, composto dal movimento naturale e dal movimento violento, che intervalla i due
movimenti violento e naturale. La “meccanica” di T. continua con i Quesiti et inventioni diverse (1546),
scritta in forma di dialogo, che riprende e in parte plagia autori medievali. A sua volta Giambattista
Benedetti (1530-1590) propone una teoria piùsofisticata, che spiega la velocitàdi caduta dei corpi in base
al loro peso specifico. Entrambe le argomentazioni sono falsificate da Galilei (1564-1642) nel Dialogo
(1632) e nei Discorsi (1638).
di Bartolomeo Brambilla, contemporaneo di Cardano. Seguono altre illustrazioni, per un
totale di una dozzina di macchine o analisi.
Figura 5 Descrizione originale della sospensione cardanica (Opera Omnia, Tomo III, de Subtilitate,
Liber XVII, pg 612)9 e sospensioni cardaniche odierne.
Grazie ad una precisa segnalazione di Elio Nenci, curatore di una edizione critica del de
Subtilitate (2004), ho individuato il passo in cui Cardano descrive l’omonima
sospensione. Si tratta di una menzione incidentale, in cui si descrive una sospensione,
con cui l’imperatore Carlo V allevia il disagio del trasporto, sotto il titolo appunto di
sedes mira. Riportiamo integralmente la concisa e frettolosa descrizione (Figura 5). Da
essa si deduce che Cardano parla di una sospensione e non di un giunto. Il giunto
9
Simili ratione inventum est, ut Caesaris sedes ita disponeretur, ut quocumque situ constituatur, ille immobilis, ac
commode dum vehitur sedeat. Hoc tractum ex armillarum ratione: cum enim circulis tres chalybei constituentur,
polis sursum, deorsum, ante, retro dextra ac sinistra mobilibus, cum plures non possint esse situs , nocesse est ipsum
in essedo quomodocumque agatur quiescere perpetuo. Habet aliquid non absimile lucernis, a quorum exemplum
ducta est ratio: circumvolutae enim tametsi patulae, oleum nequaquam effundunt. Nuper etiam quidam machinam
illam mundi universalem olim a Guglielmo Zelandino fabricatam atque dissolutam, in tenebrisque per incuriam
marcescentem, cum ego quodam bono fato ad instaurandam bonas artes etiam obiter non minus quam industria
natus, ad lucem revocassem, in integrum restituit. Cuius exemplo aliam Carolo quinto Caesari, ita construxit, ut in
ea temporum momenta, et partes signorum singulas videas, et octavi orbis tardissumm motum intuearis. [Con un
criterio simile si scopre come sistemare la sedia dell’Imperatore, in modo che, in qualunque posizione stia, egli sieda
immobile e comodamente mentre ètrasportato. Questa èuna estrapolazione dal principio delle armille: poichési
costruiscono tre cerchi di acciaio, con poli mobili in alto, in basso, in avanti e all’indietro, e poiché le posizioni non
possono essere molteplici, chi sta sulla carrozza deve essere in quiete qualunque sia il movimento. Si ha qualcosa di
non dissimile nelle lucerne, dall’esempio delle quali è dedotto il principio: le lucerne sospese, anche se aperte, mai
spargono olio. Non molto tempo fa’, qualcuno rimise completamente in funzione quella famosa macchina universale,
fabbricata un tempo da Guglielmo Zelandino ma poi andata in pezzi, avendola la ho riportata alla luce, predisposto
per fato non meno che per interesse a restaurare le buone pratiche. Sull’esempio di essa lo stesso costruì un’altra
macchina per l’imperatore Carlo Quinto, in modo che vedessi il corso del tempo e, una per una, le parti dei segni
zodiacali e comprendessi il lentissimo movimento dell’ottavo circolo celeste]
cardanico èun equivoco storiografico comune10. La sospensione, usata per sospendere
lanterne, come osserva Cardano, e forse anche altri strumenti nautici, fra cui le bussole,
neutralizzando beccheggio e rollio, ècostituita da tre cerchi metallici concentrici,
ciascuno dotato di un asse a cerniera. La sospensione non èinventata da Cardano, ma,
come Cardano stesso precisa, èdescritta a fine Quattrocento da un autore olandese,
latinizzato in “Guglielmo Zelandino”, che la pubblica su di un incunabolo (Nenci 2004).
Cardano comprende perfettamente il funzionamento della sospensione e, correttamente,
lo assimila a quello delle sfere armillari; la analogia fra giunto e sospensione forse
spiega perché il termine “cardanico” sia successivamente esteso al “giunto cardanico”.
Si tratta infatti di un meccanismo per la trasmissione del moto, formato da due forcelle,
che appunto trasmette il moto ad alberi che ruotano concenti formando angoli piùo
meno ampi.
Gli anelli cinesi
Sempre nel de Subtilitate èdescritto un celebre rompicapo, noto come “anelli di
Cardano” o “anelli cinesi”. Il rompicapo consiste nello sfilare anelli da un bastone;
anche questo soggetto, di cui riportiamo la descrizione originale, èun argomento ben
conosciuto, del quale Cardano descrive correttamente la soluzione (Figura 6)
10
L’attribuzione a Cardano dell’omonimo giunto ècomune nella letteratura divulgativa e celebrativa che
Google elenca digitando “giunto cardanico” o “cardanic joint”; si ritrova anche in saggi commemorativi
p.e. in AAVV(2001), pg 75-83. Nella nostra indagine non abbiamo trovato che Cardano menzioni il giunto.
L’origine dell’equivoco ci è ignota.
Figura 6 Descrizione originale degli anelli di Cardano (Opera Omnia, Tomo III, de Subtilitate,
Liber XV, pg 587)11
Saccheri e il quinto postulato di Euclide
Giovanni Girolamo Saccheri (1667-1733) èun professore gesuita, che insegna a Torino
e, dal 1699, alla Universitàdi Pavia. Saccheri éun logico, con due opere notevoli, la
Logica demonstrativa (1697) e il famoso Euclides ab omni naevo vindicatus (1733).
Dati i limiti del nostro excursus, ci concentriamo su questa seconda opera, che segna
una tappa della storia della geometria. In questa ricostruzione seguiamo il saggio di
Mangione (1970) il classicissimo commento agli elementi di Euclide di Heath (1908).
Il quinto postulato di Euclide
Per comprendere in che consista il neo che Saccheri discute, èutile ricordare la
strutturazione degli Elementi (Tabella 2). Le definizioni hanno il ruolo di rendere
intelligibile le proposizioni e sono ripetute per ogni gruppo di argomenti. P.e. il gruppo
dei 7,8,9 condivide le 18 definizioni premesse al libro 7. I postulati e gli assiomi hanno
il ruolo di costituire i blocchi elementari su cui tutte le proposizioni sono costruite. In
altre parole, le proposizioni sono tutte riconducibili alla veritàevidente degli assiomi e
sono garantite proprio da queste. Postulati ed assiomi sono quindi le fondamenta della
geometria euclidea.
11
Il gioco èantico ed ènoto anche con il nome di Chinese Rings; riportiamo qui la descrizione (trad. it. di
Luisa Marelli). Di nessuna utilitàèlo strumento dei sette anelli. Una foglia di ferro, larga un dito, lunga
un palmo, sottile, in cui sono disposti per la lunghezza sette buchi, rotondi, piccoli, a intervalli regolari,
dove sono infilati sette bastoncini sottili, alti circa un pollice, mobili alla base, piegati in alto in modo da
racchiudere degli anelli del diametro di circa un dito mentre i bastoncini stessi sono trattenuti sotto la
piegatura dall’anello retrostante. Perciò tutti gli anelli tranne il primo sono impossibilitati dall’anello
che li precede ad uscire liberamente dal bastoncino che sta loro davanti: tutti questi oggetti sono di ferro
ed èdi ferro anche la navicella, il cui aspetto riportiamo di fianco con precisione, lunga e larga in base
alle dimensioni della lamina sottostante. Con questo strumento èstato ideato un gioco di straordinaria
sottigliezza.
Il primo e il secondo anello sono fatti passare nello spazio vuoto A, quindi la navicella è fatta passare
attraverso i medesimi anelli, poi il primo di essi è fatto uscire attraverso il vuoto A, dopo di esso il terzo
anello è tirato in su attraverso la parte in mediana vuota della navicella, come i primi due e in questo è
spinta la navicella: allora, tirato su anche il primo, giàtre cingeranno la navicella stessa: a questo punto
si lasceranno andare i primi due dopo avere tolta la navicella, cosìessa torneràad essere chiusa solo dal
terzo, quindi saràpossibile fare passar sopra il quarto, cosicchétutta questa manovra è eseguita
secondo queste tre regole.
Primo: l’anello da tirar fuori verso l’alto e poi lasciar andare deve avere davanti a sé un solo anello che
cinga la navicella
Secondo: mentre lasci andare un anello, sempre insieme si lascino andare i primi due e se ne tiri su uno
solo, o lasciandone andare uno solo si tirino su i primi due.
Terzo: qualunque anello sia stato tirato su o lasciato andare, ènecessario tirar su tutti quelli che sono
davanti e poi lasciarli andare di nuovo.
I primi due dunque possono essere fatti passare in mezzo senza essere trattenuti da alcun altro anello:
chiamo primo quell’anello che è libero. In sessantaquattro mosse (se non si fanno errori) la navicella è
cinta da tutti gli anelli e contiene tutti i bastoncini in trentun mosse, che con le altre fanno novantacinque
dall’inizio al passaggio del primo o dell’ultimo, il conto è comunque sempre il medesimo. Dunque il ciclo
completo si fa in centonovanta mosse.
Questo gioco di per séèinutile, tuttavia si puòapplicare alle serrature ingegnose dei forzieri.
Libro
Argomento
Definizioni
Proposizioni
1/
Definizioni
e postulati
1/Teoremi
Definizioni primarie
23 definizioni (punto, retta,
superficie ecc.)
5 assiomi + 5 postulati
Poligoni
(usa le definizioni del libro 1)
2
“Algebra geometrica”
2 definizioni
3
Teoria elementare dei
cerchi
Poligoni inscritti e
circoscritti
Teoria generale delle
proporzioni
Teoria delle
proporzioni applicata
ad alcune figure
Divisibilitàe
proporzione fra numeri
interi
Proporzioni continue
(= progressioni
geometriche)
Proporzioni continue
(= progressioni
geometriche)
11 definizioni (cerchi eguali,
tangenti, arco ecc.)
7 definizioni (figure inscritte e
circoscritte ecc.)
18 definizioni
48 proposizioni su Triangoli,
Parallele, Equivalenze di
poligoni
14 proposizioni (la soluzione
algebrica richiede equazioni
di primo e secondi grado)
37 proposizioni
10
Teoria degli irrazionali
quadratici e biquadratici
11,12,13
Geometria solida
4 definizioni (grandezze
commensurabili
incommensurabili, razionali,
irrazionali)
…
4
5
6
7
8
9
16 proposizioni
25 proposizioni
(usa le definizioni del libro 5)
33 proposizioni
22 definizioni (unità, numero
pari, numero dispari, numero
primo, numero perfetto ecc.)
(usa le definizioni del libro 7)
39 proposizioni
(usa le definizioni del libro 7)
36 proposizioni
(p.e. unicitàdella
scomposizione in numeri
primi. Infinitàdei numeri
primi)
115 proposizioni
27 proposizioni
39 proposizioni (libro 11) +
18 proposizioni (libro 12) +
18 proposizioni (libro 13)
Tabella 2 Contenuti dei tredici libri degli Elementi di Euclide, nostra rielaborazione da Mangione
(1970) e Heath (1908)
Il quinto postulato, noto anche come “postulato delle parallele”, recita, nella
formulazione originale (Heath 1908, pg 202, tr.it. nostra): Se una linea retta,
incontrando altre due linee rette, forma nella stessa parte angoli interni minori di due
angoli retti, [allora] le due linee rette, prolungate indefinitamente, si incontrano da
quella parte in cui stanno gli angoli minori di due angoli retti.
La scarsa intuitivitàe la conseguente arbitrarietàdel quinto postulato, specie nella
affermazione sull’incontro delle due linee rette prolungate (o, equivalentemente, sulla
unicitàdelle parallela ad una retta), suscitato discussioni sino dalla Antichità. I
principali tentativi di dimostrazione del quinto postulato includono (Heath1908)
Tolomeo (100 -178), Proclo (412-485 ), Nasiradin al-Tusi ( 101-1274 ). La discussione
riparte nel Rinascimento italiano, con la stampa del commentario di Proclo, che è
ripreso nella edizione di Euclide curata da Commandino (1572. Il problema delle
parallele èsuccessivamente discusso da vari matematici italiani del Seicento, come
Cataldi (1552-1622), Borelli (1608-1679), Vitale (1633-1711), cui si affianca l’inglese
John Wallis (1616-1703).
L’analisi di Saccheri
In questa sequenza di tentativi di dimostrare l’indimostrabile postulato si colloca la
opera di Saccheri, che esce a Milano l’anno della morte (1733).
Saccheri affronta la questione da logico, non sostituendo il quinto postulato di Euclide
con ipotesi non euclidee, ma negandolo. Da tale negazione ricava le conseguenze
necessarie e tenta di dimostrare le contraddizioni con gli altri quattro postulati. Se la
negazione del quinto postulato porteràa conseguenze contraddittorie, ipotizza Saccheri,
allora il quinto postulato sarànecessario.
D
C
A
B
Figura 7 Il quadrilatero di Saccheri (ridisegnato)
Punto centrale della discettazione di Saccheri èla analisi del quadrilatero bi-rettangolo
isoscele, ottenuto innalzando dagli estremi A e B della base AB i due lati AD e BC
eguali fra loro e perpendicolari alla base ( Figura 7 ). Saccheri dimostra in primo luogo
che i due angoli in C e in D sono eguali. Tuttavia, a seconda della formulazione del
quinti postulato, possono essere di diversa ampiezza, ovvero
a. Angolo in A + Angolo in B = 90°: ipotesi dell’angolo retto [= in un piano, per
un punto A esterno ad una retta r si puòtracciare una e una sola parallela alla
retta r = geometria di Euclide];
b. Angolo in A + Angolo in B < 90°: ipotesi dell’angolo acuto [= in un piano, data
una retta r ed un punto A fuori di essa, esistono almeno due rette per A che non
intersecano r, geometria di Lobacevskij (1792-1856)];
c. Angolo in A + Angolo in B > 90° : ipotesi dell’angolo ottuso = negazione del
quinto postulato [= per un punto esterno ad una retta si puòtracciare un numero
infinito di parallele alla retta data = geometria di Riemann(1826-1866)].
Saccheri dimostra che la ipotesi (c) non ècompatibile con le proposizioni euclidee e,
quindi, afferma che èfalsa. In questo modo Saccheri pensa di avere dimostrato il quinto
postulato. Dakl mostro punto di vista, Saccheri dimostra invece che la geometria
euclidea discende dalla formulazione (a) mentre altre formulazioni porteranno ad altre
proposizioni. Tuttavia Saccheri non èconsapevole della portata della sua analisi, non
sviluppa nuove geometrie e resta imprigionato in un certo senso dal suo stesso rigore
epistemologico.
La opera di Saccheri ècitata nelle storie delle matematiche di Heilbronner (Lipsia1742)
e Montucla (Parigi 1758) ed èmenzionata nella dissertazione di Kluegel (Gottingen
1763) che èsua volta ripresa nella teoria sulle parallele di Lambert (1728-1777),
pubblicata nel 1766. La teoria delle parallele rinasce nell’Ottocento, con Legendre
(1752-1833), ma come nota Heath (1908) i successivi sviluppi di formulazioni
alternative del quinto postulato, che includono Lobacevskij e Riemann, non
appartengono piùalla geometria euclidea ma allo sviluppo di geometrie diverse.
Conclusione
Sintesi
Le caratteristiche della campagna lombarda e la ben nota attenzione del Ducato di
Milano alla prosperitàdelle campagne creano nel Rinascimento italiano un terreno
molto favorevole allo sviluppo di invenzioni meccaniche. Tuttavia la nostra analisi limita a riferimenti storiografici quindi indiretta - indica che gli ingegneri Leonardo da
Vinci e Francesco di Giorgio, entrambi operanti nel Pavese, non arrivano a sintesi
teoriche. In particolare Leonardo si limita ad annotazioni frammentarie. Le prime
trattazioni sistematiche di macchine sono stampate successivamente, nella seconda metà
del Cinquecento, e si rifanno a modelli para-umanistici.
La analisi dei testi di Cardano ci ha permesso di precisare la autenticitàdi invenzioni
attribuitigli. Cardano si conferma sistematore delle equazioni di terzo e quarto grado,
mentre il giunto cardanico appare un abbaglio storiografico. Cardano parla di
sospensione cardanica ma la considera una curiosità, e la colloca sotto il titolo di sedes
mira - una sedia curiosa. Una curiositàsimile al rompicapo degli anelli cinesi, che
Cardano menziona fra le curiositàinutili. Dato il suo approccio da enciclopedista
curioso (di cultura eccezionale) Cardano “ingegnere“ non sviluppa una trattazione
sistematica delle macchine. Come osserva la Encyclopedia Britannica, Cardano ha
potentemente contribuito al progresso scientifico nel campo della algebra, ma presso i
suoi contemporanei ha l’immagine di saggista (de Subtilitate) e di medico.
Il Rinascimento italiano èstato caratterizzato anche da un umanesimo scientifico di
importanza eccezionale. Esso infatti ha riportato alla edizione critica dei testi
matematici greci e ad una prima elaborazione di un corpo scientifico basato su
matematiche dimostrazioni, che unisce, senza soluzioni di continuità, le edizioni critiche
di Euclide e Archimede con la meccanica di Guidobaldo del Monte e quella di Galilei.
Tale umanesimo, ignorato sino a pochi anni fa sia dalla storiografia internazionale sia
da quella italiana, spiega la radicale differenza dell’approccio scientifico fra i due
grandissimi Cardano e Galilei; inoltre, evidenzia le fondamenti teorico-culturali della
esplosione nel Seicento in tutta la Europa della matematica e della fisica matematica.
Proprio su questo filone di umanesimo scientifico si colloca la opera di Saccheri, che
continua la discussione del quinto postulato di Euclide. Saccheri usa un approccio
originale, preso dalla cultura sillogistica, cioèla dimostrazione attraverso la negazione.
Saccheri identifica il punctum crucis delle nuove geometrie, ma non la possibilitàdi
nuovi domini geometrici, che saranno sviluppati un secolo piùtardi da Gauss, Riemann
e Lobacevskij.
Una griglia per posizionare i contributi allo sviluppo della
conoscenza scientifica
Una conclusione non sarebbe completa senza una griglia concettuale per posizionare il
contributo di Cardano e Saccheri al progresso scientifico. Ciòche pone subito la
domanda “come e in base a quale criterio misurare il contributo”.
A questo scopo proponiamo una classificazione semplificata e schematica, che qualifica
la conoscenza scientifica incrociando le due categorie di (a) falsificabilitàe (b)
strutturazione / completezza. A seconda del grado, alto o basso, della falsificabilitàe
della strutturazione / completezza si distinguono quattro quadranti di conoscenza, che
corrispondono rispettivamente al sistema scientifico formalizzato, alle invenzioni, ai
sistemi dottrinali non dimostrabili e alle conoscenze isolate e non provate (Figura 8).
Falsificabilità
Strutturazione & completezza
Invenzioni
e scoperte
scientifiche
Casi e principi
non dimostrabili
Sistemi
scientifici di
spiegazione e
dimostrazione
Sistemi
dottrinali non
dimostrabili
Figura 8 Griglia della conoscenza scientifica
In questo schema una conoscenza scientifica matura si posiziona nel quadrante in alto a
destra, con un alto tasso di falsificabilitàe un alto grado di organizzazione. In altre
parole, la conoscenza èsistema in quanto organizzata e completa ed èscientifica in
quanto falsificabile. Qui sotto spieghiamo i criteri usati (Tabella 3).
Secondo il concetto di organizzazione, la conoscenza scientifica èstrutturata in uno schema ordinato, che collega
conoscenze consolidate e nuove conoscenze in un sistema di spiegazione e di interpretazione (Nagel 1959) 12. La
12
Le implicazioni dei paradigmi scientifici sono ampiamente discusse nella Structure of Scientific
Revolutions (1962) di Kuhn, secondo cui ogni epoca èdominata da un paradigma globale della scienza.
La rivoluzione scientifica consiste proprio nel ribaltamento del paradigma attraverso serie di scoperte
scientifiche che fanno esplodere la contraddizioni del paradigma esistente.
strutturazione permette la trasmissione del sapere e fornisce i requisiti di sistematicitàche abilitano il
perfezionamento incrementale della conoscenza. Una serie di conoscenze non strutturate possono portare a strade
divergenti e a contraddizioni e bloccare il progresso della conoscenza nel suo insieme. Nel tempo alcune
strutturazioni possono non essere piùin grado di sistematizzare/ strutturare scoperte o conoscenze scientifiche
rilevanti. La struttura esistente viene rovesciata e sostituita da una nuova strutturazione, cioèuna rivoluzione. Il tema
delle rivoluzioni scientifiche èampiamente dibattuta da Kuhn (1962, 1970) ed èal centro anche di saggi classici e
recenti su Galilei (Geymonat 1957 e 1969, Wallace1998 e molti altri)
Il “sistema scientifico” come spiegazione completa e strutturata di un dominio di conoscenza è già evidente nelle
opere della scienza greca, come Euclide, Archimede ed Aristotele. I primi due strutturano il sistema su teoremi e
puntano alla conoscenza esatta e dimostrabile di singoli casi, mentre Aristotele struttura largamente la scienza su
categorie logiche astratte, che coprono uno spettro dottrinale amplissimo e forse ineguagliato, dalle teorie della
corretta argomentazione (sillogismo) alle strutture di classificazione degli esseri viventi (distinzione funzionale fra
esseri con e senza sangue) e delle teorie politiche (analisi critica delle costituzioni elleniche). In estrema sintesi, i
sistemi scientifici costituiscono paradigmi che strutturano una data visione globale della conoscenza. La epoca
moderna è caratterizzata dall’emergere di nuovi sistemi il De revolutionibus orbium caelestium (1453) di Copernico,
i Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (1687), dove Newton struttura la nuova fisica in modo assiomatico,
e la Mecanique Analytique (1788) di Lagrange che rifonda la modellazione della meccanica sulle espressioni
algebriche. 13
La strutturazione non èesclusiva della conoscenza scientifica; anche la conoscenza non scientifica si struttura, come
la teologia. La teologia ècostruita incrementalmente nel tempo, come evidenzia il Credo Cattolico, che ha integrato
nuove proposizioni alle proposizioni esistenti. La teologia applica largamente il principio di non contraddizione ma
non quello della falsificabilità, analogamente alla colomba kantiana. La esigenza di coerenza e di sistematicitànon
solo èastrattamente necessaria ma èfortemente vissuta, come prova la forte tensione alla analisi della ortodossia ed
della eresia che fra l’altro sia Cardano sia Galilei hanno sperimentato.
Secondo il concetto di falsificazione (Popper 1934) una conoscenza èscientifica se puòessere falsificata. Anche
quando, come Galileo direbbe, le matematiche dimostrazioni sono impossibili, deve esistere un esperimento che
possa falsificare una data proposizione scientifica - per esempio un esperimento che falsifichi la affermazione della
caduta libera dei gravi. La falsificabilitàècaratteristica delle conoscenze scientifiche, e precisamente di quelle che
comunemente indichiamo come scoperte scientifiche. Ritorniamo ad osservare che conoscenze non scientifiche,
come la astrologia, forniscono interpretazioni molteplici e non falsificabili di fenomeni osservabili. Le conoscenze
trascendenti, come la etica o la teologia, forniscono interpretazioni non falsificabili sperimentalmente.
Tabella 3 Criteri di classificazione della conoscenza scientifica
Sommariamente definiti i due concetti di organizzazione e falsificabilità, resta una
questione fondamentale. Che rapporto storico esiste fra strutturazione della conoscenza
scientifica, quindi fra sistema scientifico, e scoperta scientifica? In che misura la
scoperta scientifica ècondizionato o condiziona un sistema scientifico esistente? Come
èevidente dal nostro sunto su Cardano e Saccheri, le scoperte scientifiche avvengono in
modo autonomo e separato dai sistemi scientifici (come succede con Cardano), ma
possono avvenire anche dentro un sistema attraverso una analisi puramente teorica
(come succede con Saccheri).
Consideriamo le scoperte scientifiche indipendenti. Un esempio significativo anche se
trito èla relativitàgalileiana. Essa nasce da osservazioni puntuali, personali, e, nella sua
formulazione originale (Dialogo sopra i massimi sistemi del mondo (1632), Edizione
13
Scrive Lagrange nelle Avvertenze Je le divise en deux Parties; la Statique ou la Théorie de l'Equilibre,
et la Dynamique ou la Théorie du Mouvement; et chacune de ces parties traitera séparément des Corps
solides et des fluides. On ne trouvera point de Figures dans cet Ouvrage. Les méthodes que j'y expose ne
demandent ni constructions, ni raisonnements géométriques ou mécaniques, mais seulement des
opérations algébriques, assujetties àune marche régulière et uniforme. Ceux qui aiment l'Analyse,
verront avec plaisir la Mécanique en devenir une nouvelle branche, et me sauront gréd'en avoir étendu
ainsi le domaine.
Nazionale pg 214) èespressa come una argomentazione dialettica, lontana da ogni
formulazione matematica e da ogni collegamento con un sistema formale di assiomi e
teoremi14. Ciòavviene anche se Galilei èconsapevole della dirompenza della sua
concezione, che arriveràa minare la struttura della scienza esistente quando sarà
collegata ad altre scoperte. Ovviamente le scoperte possono avvenire (ed anzi
avvengono nella maggiore parte dei casi) anche in paradigma, e Saccheri èesempio
(parziale) di come una analisi teorica posa portare a scoprire nuovi domini di
conoscenza e nuovi paradigmi.
Un secondo tipo di scoperte fuori paradigma sono le invenzioni il cui sistema era già
nel Cinquecento definito come ingegneria. La ingegneria risolve problemi pratici con le
macchine (ingenium) e, in quanto tale, prescinde dalla esistenza di un sistema scientifico.
Tuttavia, nonostante la apparente empiricità, la invenzione tecnica èassimilabile ad una
scoperta scientifica in quanto (a) soddisfa il principio della falsificazione e (b) è
descrivibile teoricamente e integrabile in un sistema strutturato di conoscenza. P.e. il
giunto cardanico risponde al problema pratico di trasmettere il moto tra alberi che
formano angoli variabili. La modellazione matematica del giunto viene quasi tre secoli
dopo, quando si sviluppa una teoria delle macchine, che a sua volta si appoggia alla
formulazione analitica della matematica che soppianta quella geometrica. La teoria
aggiunge valore alla scoperta tecnica evidenziando che, nel caso del giunto cardanico
semplice, il rapporto di rapporto delle velocitàistantanee delle due forcelle, condotta e
motrice, segue un andamento periodico ecc. Nel caso delle scoperte tecniche, lo
sviluppo della conoscenza rispecchia un procedimento bottom up: dalla invenzione
ingegneristica alla spiegazione scientifica, spesso esposta nella forma di modellazione
matematica.
Falsificabilità
Strutturazione & completezza
Umanisti della Scienza
(Commandino, Maurolico,
Del Monte ecc.)
Figura 9 Posizione di Cardano, Saccheri, Umanisti della Scienza, Galilei
Per la loro autonomia rispetto al sistema scientifico e ingegneristico, una scoperta od
invenzione non scatenano da sole alcuna innovazione. La innovazione avviene se
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Sagredo così si esprime “[ …] ricordo di essermi cento volte trovato, essendo nella mia camera, a
domandare se la nave camminava o stava ferma, e, tal volta, essendo sopra fantasia, ho creduto che ella
andasse per un verso, mentre il moto era al contrario.”
singole scoperte od invenzioni (o insiemi di scoperte od invenzioni) sono percepite
come (a) rivoluzionarie o (b) come sostanziale ampliamento del dominio della
conoscenza. I precursori non innovano: Saccheri individua un punto cruciale, ma non
sviluppa un nuovo sistema scientifico. Nella antichità, Erone scopre il principio della
turbina a vapore ma millenni trascorrono prima che sia industrialmente fattibile. Nel
Rinascimento, sono alcuni grandi trattati a determinare spostamenti paradigmatici, come
la Summa (1494) di Luca Pacioli o i trattati sulla architettura di Andrea Palladio.
Fatte queste premesse diviene facile posizionare le opere di Cardano e di Saccheri che
abbiamo considerato. Cardano certamente occupa, per la vastità della sua opera, molti
quadranti. Il Cardano mago del de Subtilitate e del de Rerum varietate occupa il
quadrante in basso a sinistra, il Cardano “ingegnere” delle stesse opere occupa in parte
il quadrante in alato a sinistra. Questo Cardano sconfina in quello della Ars Magna.
Saccheri è un precursore, che si muove nell’ambito di un sistema scientifico consolidato,
e, coma tale, si colloca nel quadrante in alto a sinistra. Piùsfumata la posizione di
Leonardo, che non èinventore e che quindi si posiziona quasi fuori quadrante. Nel
quadrante alto a destra si collocano senz’altro gli umanisti e, infine, Galilei ( Figura 9).
Ringraziamenti
La analisi dei testi di Cardano èstata grandemente accelerata dalle indicazioni dei
miei ex professori Giorello e Micheli e decisivo èstato il supporto di Elio Nenci, tutti
della UniversitàStatale di Milano. Voglio anche ringraziare i colleghi della Biblioteca
Centrale di Pavia, in particolare Oriana Montagna.
Riferimenti
Testi e saggi
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ANTONIO CANDIDO SIMOES CAPELO, “Girolamo Cardano il matematico” in AAVV, Gerolamo
Cardano nel quinto centenario della nascita, Edizioni Cardano, Pavia 2001 pg 13-50 (breve ma
sistematica analisi della matematica di Cardano, con evidenze documentarie)
GIROLAMO CARDANO, De subtilitate, edizione critica a cura di Elio Nenci, F. Angeli, Milano
2004
GIROLAMO CARDANO, Hieronymi Cardani Mediolanensis Philosophi et Medici Celeberrimi
Opera Omnia […] Lugduni MDCLXIII [= Lione 1663] dieci tomi in-folio su due colonne
[edizione qui usata come riferimento per le opere di C., eccetto che per la Pratica Arihmeticae]
GIROLAMO CARDANO, Hieronymi C. Cardani medici Mediolanensis, Practica Arithmetice , &
mensurandi singularus. In qua que preter alias continentur versa pagina demonstrabit , […]
MDXXXIX Io.Antonius Castellioneous Mediolani imprimebat impensis Bernardini Calusci
[esemplare proveniente da Sanctae Mariae Coronatae Papiae con la notazione significativa
“Prohibit[um] Append.[ix] ind.[ici] Trid.[entini] Nisi corrig.[atur”].
LUDOVICO GEYMONAT, Galileo, Einaudi, Torino 1957, 1969 (diffuso e citato saggio
storiografico sulla origine della fisica classica; G. fra l’altro sostiene la tesi della influenza della
ingegneria pratica sulla meccanica classica, che le investigazioni contemporanee come Micheli
hanno ribaltato in una sostanziale influenza dei testi greci); si veda anche Geymonat, L. e Tisato
R. “Progressi delle scienze e delle tecniche nel Cinquecento” in: Geymonat L. (a cura di) Storia
del pensiero filosofico e scientifico, Vol II, Il Cinquecento e il Seicento, Garzanti, Milano 1970
BERTRAND GILLE, Les ingenieurs de la Renaissance, Hermann, Paris 1964; tr.it. Gli ingegneri
del rinascimento Feltrinelli, Milano 1972 (contiene una analisi critica di Leonardo da Vinci, che
éposizionato nello sviluppo della ingegneria del Rinascimento)
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GIULIO GIORELLO “Gli “oscuri labirinti”: calcolo e geometria nel Cinque e Seicento”, in Storia
d’Italia, Annali 3: “Scienza e tecnica”, Torino, Einaudi 1980, pp. 261-342 (analizza
sistematicamente e posiziona criticamente la Ars Magna di Cardano nello sviluppo della algebra
italiana nel rinascimento ed esplicita il modello di esposizione / strutturazione della algebra usato
da Cardano)
THOMAS L. HEATH (ed.), The Thirteen Books of the Elements translated by T. L. Heath,
Cambridge University Press, Cambridge 1908, ristampa anastatica in paperback, Dover, New
York, NY, 1956 ed anni seguenti.
WALLACE E. HOOPER, “Inertial problems in Galileo’s pre-inertial framework” in Machamer, P.
(ed.) The Cambridge companion to Galileo, Cambridge University Press, UK, 1998
ALEXANDRE KOYRÈ , Etudes Galiléennes, Hermann, Paris, 1966 (classici saggi sulla origine
della meccanica classica, fra i quali “La loi de chute des corps”, dove K. osserva come la
fondamentale differenza fra la fisica classica e la fisica aristotelica sia nella astrazione,
esemplificata dallo spazio astratto della meccanica galileiana)
SEMYON GINDIKIN, “Ars Magna” in Gindikin S., Tales of Physicists and Mathematicians,
Birkhaueser, Boston and Basel, 1988 (contiene saggi sulla storia della fisica, fra cui una
sintetica analisi della risoluzione della equazione di terzo grado nella Ars Magna di Cardano;
una traduzione italiana èdisponibile in rete su www.minimazione.it/upload/pdf/ita/cardano.pd )
THOMAS H. KUHN, The structure of scientific revolutions, The University of Chicago Press,
1962; second enlarged edition 1970 (formula la celebre teoria storiografica delle rivoluzioni
scientifiche, che sono concepite come cambi di paradigmi (paradigm shift) generali di
concezione e di spiegazione della natura)
ERNST MACH, Die Mechanik in ihrer Entwicklung, 1883, tr.it. La meccanica nel suo sviluppo
storico critico, Boringhieri, Torino, 1977 (espone lo sviluppo storico di Statica e Dinamica
analizzando prima le scoperte dei principi e il successivo sviluppo deduttivo della scienza che ha
portato alla impalcatura formale ed assiomatica della attuale meccanica razionale; Cardano è
soltanto citato come scienziato influenzato Iordanus Nemorarius, un teorico medievale della
statica riscoperto da Duhem e recentemente pubblicato in inglese)
CORRADO MANGIONE, “Logica e fondamenti della matematica”, in Geymonat L. (a cura di),
Storia del pensiero filosofico e scientifico, Vol III, Il Settecento, Garzanti, Milano 1970
GIANI MICHELI, “La riscoperta della matematica classica” in Storia d’Italia, Annali 3: “Scienza
e tecnica”, Torino, Einaudi 1980 (argomenta la valenza teoretica della dello umanesimo
scientifico che riscopre la matematica classica e, inoltre, fornisce le basi strutturali e di contenuto
allo sviluppo della fisica e della matematica moderna)
ERNST NAGEL The structure of science: problems in the logic of scientific explanation, NY 1961
tr.it. “La struttura della scienza”, Milano, Feltrinelli, 1968 (di scuola neopositivista, teorizza il
sistema della spiegazione scientifica, usando come modello la spiegazione scientifica della
meccanica, fondata su modelli matematici, riscontri sperimentali e capacitàpredittiva )
KARL POPPER , Logik der Forschung, 1934, tr.it. La logica della scoperta scientifica, Einaudi,
Torino 1995 (argomenta il paradigma caratteristico della scienza e della conoscenza scientifica,
fondato sul principio di falsificazione)
PISSAVINO, PAOLA (a cura di ) Non ci resta che conquistare il cielo: progetti e contesti
nell'opera di Girolamo Cardano (Pavia 1501-Roma 1576) , Pavia , Biblioteca universitaria
( raccoglie e commenta i libri di Cardano conservati nelle biblioteche di Pavia; fosniec utili
indicazioni sulle stampe e sulle collocazioni)
GEROLAMO SACCHERI, Euclides ab omni naevo vindicatus sive conatus geometricus quio
stabiliuntur prima ipsa universa Geoemetriae principia […] Mediolani, 1733
RENÈ TATON (ed.) Histoire generale des Sciences, Presses Universitaires de France, Paris, 1958
tr.it. Casini 1965 , 4 volumi (al Rinascimento èdedicato il volume secondo; fra gli studiosi della
fisica sono trattati Leonardo da Vinci, Tartaglia e Benedetti che hanno una certa influenza sul
Cardano fisico del De subtilitate e De rerum varietate; al Cardano algebrista èdedicato il
capitolo primo)
ANSELM ROXNER THADDAE, SIBER THADDAE, Leben und Lermeinungen beruemter Physiker am
Ende del XVI und Anfange des XVII Jahrhunderts, Sulzbach 1820 (traduzione e parafrasi di passi
di fisiologia e di storia naturale di Cardano)
Siti web consultati
22. WIKIPEDIA, ad vocem per le biografie http://it.wikipedia.org/ (notizie di primo livello su
matematici e fisici del Cinquecento; a volte straordinariamente accurata)
23. PROGETTO POLYMATH www2.polito.it (estratto della vita e notizie su Cardano; attribuisce a
Cardano la scoperta del giunto omonimo)
24. PAOLO COLUSSI, Cronologia di Cardano, www.storiadimilano.it/repertori/croncardano.htm
(cronologia di Cardano)
25. ENCICLOPEDIA WEB DEL SAPERE ESOTERICO www.esopedia.it (contiene alcuni riferimenti
bibliografici su Cardano )