Caratteristiche e predisposizione dei regolatori PID - ICAR
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Caratteristiche e predisposizione dei regolatori PID - ICAR
Controllo di Azionamenti Elettrici Lezione n°3 Corso di Laurea in Ingegneria dell’Automazione Facoltà di Ingegneria Università degli Studi di Palermo Caratteristiche e predisposizione dei regolatori PID 1 Introduzione I regolatori ad azione Proporzionale, Integrale e Derivativa (regolatori PID) sono i regolatori lineari maggiormente utilizzati in ambito industriale. Infatti, nel controllo di molti processi industriali, a fronte di notevoli variazioni delle caratteristiche dinamiche dei sistemi controllati, risulta economicamente conveniente che gli apparati di controllo siano unificati. Più precisamente, la tendenza in atto è quella di fare in modo di disporre di apparati di controllo standard, ma provvisti di dispositivi di correzione con parametri regolabili entro certi limiti, in modo tale da potere essere adattati al particolare sistema di regolazione in cui vengono inseriti. Quindi, nell’ambito dei sistemi di regolazione, l’apparato controllante viene di solito realizzato a struttura fissa e a parametri aggiustabili. In tale situazione il compito del progettista consiste nell’assegnare i valori dei parametri, nel loro campo di escursione, in modo tale che siano soddisfatte le specifiche di progetto; l’operazione a seguito della quale vengono fissati i valori dei predetti parametri prende il nome di predisposizione dei regolatori. 2 Caratteristiche dei regolatori PID 1. Il loro impiego consente di controllare in modo soddisfacente un’ampia gamma di processi 2. Sono sviluppate semplici regole per la loro taratura automatica, applicabili con buoni risultati anche nel caso in cui non sia disponibile un modello matematico preciso del sistema da controllare 3. Per la loro semplicità i regolatori PID possono essere realizzati con le tecnologie più varie: elettroniche analogiche e digitali, meccaniche, pneumatiche, idrauliche, etc. 4. Rendono possibile la realizzazione di schemi di controllo complessi in tempi brevi e con costi contenuti 3 Caratteristiche dei regolatori PID (2) d r + e regolatore u attuatore m sistema controllato y - ym trasduttore di misura La variabile di controllo m viene generata dalla somma di tre contributi ¾ un primo contributo proporzionale all’errore e tra il segnale di riferimento r e la variabile d’uscita y (o una sua misura ym) del sistema controllato; ¾ un secondo contributo proporzionale all’integrale dell’errore e (e quindi al suo valore medio), in modo che l’errore a regime si possa annullare a fronte di segnali di riferimento o disturbi additivi costanti; ¾ un terzo contributo proporzionale alla derivata dell’errore e, in grado di fornire un’azione anticipativa sull’andamento dell’errore stesso 4 Parametri dei regolatori PID d r + e regolatore u attuatore m sistema controllato y - ym trasduttore di misura KI K Ds2 + K Ps + K I TI TD s 2 + TI s + 1 GPID ( s ) = K P + + KDs = = KP s s TI s KP prende il nome di coefficiente dell’azione proporzionale KI e KD prendono il nome, rispettivamente, di coefficiente dell’azione integrale e coefficiente dell’azione derivativa banda proporzionale: PB=100/KP. tempo integrale: TI = KP/KI tempo derivativo: TD = KD/KP 5 Tipi di regolatori regolatore proporzionale (P): GP ( s ) = K P regolatore integrale (I): GI ( s ) = KP TI s regolatore proporzionale-integrale (PI) : 1 GPI ( s ) = K P 1 + T s I regolatore proporzionale-derivativo (PD): GPD ( s ) = K P (1+ TD s ) regolatore proporzionale-integrale-derivativo (PID): 1 GPID ( s ) = K P 1 + + TD TI s s 6 Caratteristiche dell’azione proporzionale ¾ Per avere un errore a regime basso è necessario occorre un guadagno d’anello elevato, occorre che sia elevato il coefficiente dell’azione proporzionale (KP) ¾ Possibili problemi riguardanti la stabilità del sistema a catena chiusa ¾ Vantaggio dovuto al fatto che un valore elevato del coefficiente dell’azione proporzionale riduce gli effetti delle variazioni parametriche e dei disturbi ¾ Dal punto di vista dinamico l’azione proporzionale produce un aumento della banda passante, quindi una migliore prontezza di risposta, ma allo stesso tempo riduce i margini di stabilità. 7 Caratteristiche dell’azione integrale ¾ La funzione principale dell’azione integrale è quella di annullare l’errore a regime in presenza di disturbi costanti sulla variabile d’uscita. ¾ Dal punto di vista dinamico l’azione integrale porta ad un peggioramento dei margini di stabilità in quanto introduce nella funzione di trasferimento a catena aperta un ritardo di fase pari a π/2. ¾ Riduzione della banda passante. 8 Caratteristiche dell’azione derivativa ¾ Migliora i margini di stabilità in quanto introduce un anticipo di fase pari a π/2. ¾ Introduce un’azione di controllo proporzionale alla variazione dell’errore, fornendo, quindi, una correzione che anticipa l’andamento dell’errore nel tempo. ¾ Svantaggio legato all’aumento della banda passante che porta ad amplificare i segnali con contenuto armonico a frequenze elevate come ad esempio il rumore sovrapposto al segnale utile 9 Caratteristiche dell’azione derivativa (2) ¾non è fisicamente realizzabile in quanto la risposta in frequenza ad essa associata ha modulo crescente al crescere della frequenza ¾nella pratica i regolatori PID sono caratterizzati da un’azione derivativa definita dalla seguente funzione di trasferimento: D( s ) = DN ( s ) K P s TD = DD ( s ) 1 + s TD N dove N è un parametro il cui valore viene posto pari a 10 ÷ 100 in modo tale che il polo di valore –N/TD, introdotto in per ottenere la fisica realizzabilità, si collochi al di fuori della banda di frequenze di interesse per il progetto del sistema di controllo. ¾sovente l'azione derivativa viene imposta soltanto sulla variabile d'uscita y secondo lo schema riportato in figura. I + r + e + G(s) P - y D 10 Il fenomeno del wind-up ¾Fenomeno dovuto alla presenza combinata dell’azione integrale e della saturazione dell’attuatore d r + e regolatore u attuatore m sistema controllato y - ym trasduttore di misura − u M , u( t ) < −u M m( t ) = u( t ), u(t) ≤ u M u M , u( t ) > u M ¾Quando l’errore cambia segno, prima che l’attuatore ritorni in zona lineare, si deve attendere la scarica dell’azione integrale 11 Uno schema anti-wind-up r ¾ L’attuatore torna a funzionare in zona lineare non appena l’errore cambia segno ¾ Il rientro in zona lineare è istantaneo 12 Taratura dei regolatori ¾ Si considerano processi caratterizzati da una dinamica lenta, cioè da una risposta al gradino essenzialmente non oscillante e da una funzione di trasferimento avente uno o due poli stabili ed eventualmente un ritardo di tempo ¾ Regole di Ziegler e Nichols: la taratura viene effettuata a partire da una parziale conoscenza della funzione di trasferimento del processo G(s), ottenibile con semplici esperimenti effettuati sul processo stesso ¾ Esperimenti in anello chiuso: si controlla il processo mediante un regolatore proporzionale ¾ Esperimenti in anello aperto in anello aperto: si impongono opportuni ingressi al sistema controllato K −τ s G( s ) = e 1+ s T 13 Taratura dei regolatori (2) ¾ Il metodo classico di taratura in anello chiuso consiste nel considerare soltanto un’azione di controllo di tipo proporzionale e nel modificare la sensibilità dell’azione proporzionale Kp fino a quando il sistema reazionato viene portato ai limiti di stabilità, cioè quando, a fronte di variazioni a gradino imposte al segnale di riferimento r, l’uscita y del sistema si porta in oscillazione permanente di periodo T*. Il corrispondente guadagno proporzionale prende il nome di guadagno critico e in base al suo valore e a quello assunto dal periodo T* i parametri del regolatore vengono tarati in modo da assumere i valori riportati nella seguente tabella Kp P PI PID 0.5 K *p TI ---- 0.45 K *p 0.8 T * 0.6 K *p 0.5 T * TD ---- ---- 0.125 T * 14 Taratura dei regolatori (3) Svantaggi delle regole di Ziegler e Nichols : ¾ nel caso in cui il processo sia costituito da impianti particolarmente delicati, quali ad esempio reattori chimici, non è pensabile portare il sistema ai limiti di stabilità; ¾ per sistemi descritti da una funzione di trasferimento G(s) del primo ordine senza ritardo non è possibile portare il sistema in oscillazione permanente agendo unicamente sul guadagno del regolatore; ¾ il margine di fase che spesso si ottiene usando le regole su esposte risulta insoddisfacente; ciò porta ad una risposta indiciale che presenta andamento oscillante con notevole sovraelongazione. 15 Altri metodi di taratura dei regolatori Assegnamento dei poli: ¾ nel caso in cui il ritardo apparente di tempo τ del processo sia trascurabile, ricorrendo ad un controllore PI è possibile assegnare i poli del sistema a catena chiusa. In particolare, imponendo che il polinomio caratteristico del sistema a catena chiusa assuma la seguente forma: Λ( s) = s 2 + 2ξω n s + ω n2 2ξω n T − 1 KP = K TI = 2ξω n T − 1 Tω n2 Affinchè i i valori di Kp e TI siano positivi deve essere: ξω n > 0.5 T 16 Altri metodi di taratura dei regolatori Assegnamento del margine di guadagno ¾ è possibile assegnare il margine di guadagno per il sistema a catena chiusa avente funzione di trasferimento a catena aperta pari a F ( jω ) = GPID ( jω )G( jω ) ¾ il punto A, individuato mediante la procedura di taratura fornita dal metodo di Ziegler e Nichols in anello chiuso precedentemente descritto, deve essere spostato nel punto A1 corrispondente al margine di guadagno Km che si deve imporre 17 Altri metodi di taratura dei regolatori Assegnamento del margine di guadagno (2) ¾ si impone che la pulsazione ωπ in cui il diagramma polare F(jω) di interseca il semiasse reale negativo coincida con la pulsazione critica ω* = 2π T* K *P KP = km ¾ Se si vogliono migliorare le prestazioni statiche del sistema a catena chiusa si deve ricorrere all’azione integrale; inoltre, ipotizzando sempre ωπ = ω* , è necessario introdurre anche l’azione derivativa in modo tale che lo sfasamento introdotto in corrispondenza a ω* sia nullo. Quindi è necessario che sia verificata la relazione: 1 jω*TI TI = 4 TD + jω*TD = 0 TI = 2 ω * TD = 1 2ω * 18 Altri metodi di taratura dei regolatori Assegnamento del margine di fase ¾ nel caso in cui si voglia ottenere un dato margine di fase ϕ m , si impone che la pulsazione ωπ in cui il diagramma polare F(jω) di interseca il semiasse reale negativo coincida con la pulsazione critica ω* = 2π* * * arg( GPID ( jω )G( jω )) = ( ϕm 180 T − 1 )π GPID ( jω * )G( jω* ) = 1 ¾ il punto A individuato con la procedura di Ziegler e Nichols in anello chiuso viene spostato nel punto A2 corrispondente al margine di fase desiderato 19 Altri metodi di taratura dei regolatori Assegnamento del margine di fase (2) ¾ è necessario ricorrere all’azione derivativa del regolatore PID in modo tale da poter ottenere l’anticipo di fase necessario in corrispondenza alla pulsazione * critica ω = 2π T* arg( K PG( jω * )) = −π KP > 0 arg( 1 + 1 jω TI K P(1 + ω*TD − * + jω*TD ) = 1 jω *TI + jω *TD ) ϕm 180 π −1 =1 * KP 1 * ( ) = tan ϕ K = K m P P cos(ϕ m ) * ω TI TI = 4 TD 20 Altri metodi di taratura dei regolatori Approccio a modello interno (IMC – Internal Model Control) d r + u e Q(s) F(s) + + y G(s) - + Gm(s) - Gm(s) rappresenta il modello del processo G(s) che si suppone essere asintoticamente stabile Q(s) viene scelta come un’inversa approssimata di Gm(s), cioè della parte di Gm(s) a fase minima F(s) viene considerata come un filtro del primo ordine con funzione di trasferimento pari a: 1 F( s ) = 21 1+ s Tf Altri metodi di taratura dei regolatori Approccio a modello interno (2) d r + u e Q(s) F(s) + + y G(s) - + Gm(s) Q( s ) = - 1+ s T K ¾ Lo schema di controllo a modello interno equivale ad un classico controllo in retroazione nel quale la funzione di trasferimento del regolatore R(s) assume la forma Q( s )F ( s ) R( s ) = 1 − Q( s )F ( s )Gm ( s ) 22 Altri metodi di taratura dei regolatori Approccio a modello interno (3) Gm ( s ) = K e −τ s 1+ s T ¾ Se si approssima e −τ s con il suo sviluppo in serie troncato al primo termine e−τ s ≅ 1 − τ s si ottiene la seguente funzione di trasferimento R(s) del regolatore R( s ) = 1+ s T K s (τ + T f ) ¾ Corrisponde ad un regolatore PI avente i seguenti parametri Kp = T K(τ + Tf ) Ti = T 23 Altri metodi di taratura dei regolatori Approccio a modello interno (4) K e −τ s 1+ s T ¾ Se si approssima e −τ s con l’approssimante di Padé Gm ( s ) = e −τ s ≅ 1− s 1+ s τ 2 τ 2 si ottiene la seguente funzione di trasferimento R(s) del regolatore τ τ ( 1 + s )( 1 + s T ) ( 1 + s )( 1 + s T ) 2 2 R( s ) = ≅ τ K s( τ + T f ) K s( τ + T f + s T f ) 2 ¾ Corrisponde ad un regolatore PID avente i seguenti parametri T + 0.5τ Kp = K(τ +Tf ) Ti = 0.5τ +T Td = 0.5τ T 0.5τ +T 24