CW complessi e gruppo fondamentale di un CW

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CW complessi e gruppo fondamentale di un CW
CW-complessi e π1 di un CW-complesso
Note per il corso di Geometria IV (relative alla parte dei 3 crediti aggiuntivi)
Milano, 2010-2011, M.Dedò
N.B. Quanto segue si appoggia fortemente al testo [M] consigliato nel corso.
Rimanderemo di continuo a [M] per definizioni e dimostrazioni.
La definizione di CW-complesso si basa sulla nozione di attaccamento di celle,
per la quale rimandiamo a [M], cap. 14, §(14.5 e) 14.6.
Se X = Dn ∪f Y è ottenuto da Y attaccando una n-cella tramite f: Sn-1 → Y, f viene
detta funzione di attaccamento
della cella, mentre si dice
funzione
caratteristica della cella la mappa g: Dn → X ottenuta restringendo a Dn la
proiezione sul quoziente π: Dn C Y → Dn ∪f Y = X.
Definizione
Una struttura di CW-complesso finito di dimensione n è il dato di uno spazio
topologico X e di una filtrazione
X = Xn ⊇ Xn-1 ⊇ … ⊇ X1 ⊇ X0
dove:
•
X0 consiste di un numero finito di punti;
•
Xk si ottiene da Xk-1 attaccando un numero finito di k-celle.
Quindi X si ottiene a partire da un numero finito di punti attaccando
(ordinatamente!) un numero finito (eventualmente nullo) di k-celle, ∀ k=1...n.
Lo spazio topologico X si dice sostegno del CW-complesso; lo spazio Xk si dice
k-scheletro o scheletro di dimensione k.
Spesso parleremo di un CW-complesso X, confondendo quindi lo spazio topologico
dato dal sostegno di X con la sua struttura di CW-complesso (quando per esempio
questa sia già implicita dal contesto); occorre però tener presente che uno stesso
spazio topologico X può avere diverse strutture di CW-complesso, e che, per
assegnare una struttura di CW-complesso, occorre specificare non solo qual è il
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sostegno, non solo quante celle sono previste in ogni dimensione, ma anche le
relative funzioni di attaccamento.
La dicitura CW-complesso deriva da due condizioni (C sta per closure, che
corrisponde alla proprietà detta della chiusura finita e W sta per weak, che
corrisponde alla proprietà della topologia debole); queste due condizioni sono
necessarie quando occorre definire un CW-complesso non necessariamente
finito; vedi [J], pag.101. Qui non ci interesseranno perché sono automaticamente
soddisfatte nel caso di CW-complessi finiti.
Una cella aperta (rispettivamente, chiusa) in X è l'immagine in X del disco aperto
(rispettivamente, chiuso) tramite la funzione caratteristica della cella. Le celle
aperte sono omeomorfe a dischi aperti, mentre le celle chiuse (possono essere,
ma) non sono necessariamente omeomorfe a dischi chiusi.
La caratteristica di Eulero Poincaré di un CW complesso X di dimensione n è
χ(X) =
Σ
j=1,...,n
(-1)j nj
dove nj è il numero delle celle di dimensione j.
A priori, la caratteristica di Eulero χ(X) dipende dalla struttura di CW-complesso
di X, e non solo dallo spazio topologico che ne è il sostegno. Si può però
dimostrare che la caratteristica è un invariante topologico (anzi, omotopico):
dipende quindi solo dal sostegno X e CW-complessi che hanno sostegni
omeomorfi (o anche solo omotopicamente equivalenti) hanno la stessa
caratteristica.
Utilizzeremo questo risultato senza darne una dimostrazione; la dimostrazione in
generale richiede uno strumento più avanzato di topologia algebrica (l'omologia):
si dimostra che si può definire la caratteristica in termini dei gruppi di omologia
che sono a loro volta invarianti topologici (di più, invarianti omotopici).
Più
avanti,
vedremo
una
dimostrazione
dell'invarianza
topologica
della
caratteristica, che non richiede lo strumento dell'omologia, ma solo quello del
gruppo fondamentale, in un caso particolare (se il sostegno di X è S2 e se X è un
particolare CW-complesso in cui non solo le celle aperte sono dischi aperti, ma
anche le celle chiuse sono dischi chiusi).
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Esempi: alcune strutture di CW-complesso sulla sfera S2
1.
una 0-cella e una 2-cella (inutile specificare in questo caso la
funzione di attaccamento perché l'unica possibile è la funzione costante):
Gli scheletri X0 e X1 coincidono e si riducono a un punto, mentre il 2-scheletro X2
è tutta la sfera S2.
2.
χ(X) = +1 - 0 + 1 = 2.
una 0-cella, una 1-cella e due 2-celle.
Lo 0-scheletro X0 si riduce a un punto, X1 è una circonferenza S1 e non abbiamo
bisogno di specificare la funzione di attaccamento della 1-cella. Dobbiamo invece
specificare le funzioni di attaccamento delle due 2-celle e questi sono degli
omeomorfismi f: S1 → X1.
3.
χ(X) = +1 - 1 + 2 = 2.
otto 0-celle, dodici 1-celle, sei 2-celle.
Lo 0-scheletro X0 è costituito dagli otto punti A, B, C, D, E, F, G, H; per
specificare le dodici funzioni di attaccamento fk: S0 → X0, occorre quindi
specificare dodici coppie formate ciascuna da due di questi punti (che
potrebbero eventualmente coincidere); siano:
AB
BC
CD
DA
EF
FG
GH
HE
AE
BF
CG
DH.
X1 è un grafo in cui il lettore – se l'ha disegnato - avrà riconosciuto lo scheletro
costituito da vertici e spigoli di un cubo.
Definiamo ora le sei funzioni di attaccamento gk: S1 → X1 delle 2-celle; questi
sono
degli
omeomorfismi
sull'immagine,
e
le
sei
immagini
descrivono
rispettivamente i seguenti cicli, costituiti ognuno da quattro 1-celle:
AB - BC - CD - DA
EF - FG - GH - HE
AE - EF - FB - BA
BF - FG - GC - CB
CG - GH - HD - DC
DH - HE - EA - AD
χ(X) = +8 - 12 + 6 = 2.
La stessa costruzione che abbiamo fatto qui sopra (e che sostanzialmente
descrive in maniera esplicita la struttura combinatoria di un cubo) si può fare per
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un qualsiasi poliedro omeomorfo alla sfera, e dà sulla sfera una struttura di CWcomplesso in cui le 0-celle sono i vertici, le 1-celle sono gli spigoli e le 2-celle
sono le facce del poliedro. Si ritrova quindi la relazione di Eulero
χ(X) = V - S + F = 2
che caratterizza i poliedri omeomorfi a una sfera.
Questa struttura di CW-complesso ha una particolarità, ovvero non solo le celle
aperte sono omeomorfe a dischi aperti, il che accade in ogni CW-complesso, ma
anche le celle chiuse sono omeomorfe a dischi chiusi, il che in genere non accade
perché non è detto che le funzioni di attaccamento siano omeomorfismi. Nel
primo esempio, la 2-cella chiusa era invece tutta la sfera S2, che non è
omeomorfa a un disco chiuso.
Altri esempi
4.
Il toro T ha una struttura di CW-complesso con una 0-cella, due 1-
celle, e una 2-cella; le funzioni di attaccamento delle due 1-celle sono
necessariamente costanti e quindi l'1-scheletro è un bouquet di 2 circonferenze;
la funzione di attaccamento della 2-cella è una f: S1 → X1 che possiamo
descrivere, ricordando la descrizione del toro come poligono con identificazioni,
come aba-1b-1.
χ(T) = 1-2+1 = 0
Le 1-celle chiuse sono omeomorfe a circonferenze (e quindi non sono omeomorfe
a dischi chiusi); la 2-cella chiusa è l'intero toro T, mentre la 2-cella aperta è il
disco D2 che costituisce il complementare in T del bouquet di 2 circonferenze
dato dall'1-scheletro.
Esercizio: Descrivere una struttura di CW-complesso su T con quattro 0-celle,
otto 1-celle e quattro 2-celle; descriverne un'altra con quattro 0-celle, dodici 1celle e otto 2-celle. Descrivere qualche altra struttura di CW-complesso su T
(controllando che risulti χ(T) = 0).
5.
La sfera Sn ha una struttura di CW-complesso con una 0-cella e una
n-cella; quindi
χ(Sn) = 1 - 1 = 0, se n è dispari
4
χ(Sn) = 1 + 1 = 2 se n è pari.
Il disco Dn ha una struttura di CW-complesso con tre celle: una 0-
6.
cella, una (n-1)-cella e una n-cella attaccata allo scheletro di dimensione n-1
(che è una sfera Sn-1) mediante un omeomorfismo; quindi:
χ(Dn) = 1 - 1 + 1 = 1, per ogni n.
7.
Un CW-complesso di dimensione 1 è un grafo, in cui le 0-celle sono i
vertici e le 1-celle sono gli spigoli. Le funzioni di attaccamento specificano le
relazioni di incidenza fra vertici e spigoli. La caratteristica di Eulero è
χ(X) = V – S.
Il piano proiettivo RP2 ha una struttura di CW-complesso con una 0-
8.
cella, una 1-cella e una 2-cella; la funzione di attaccamento f: S1 → S1 = X1 della
2-cella è la funzione che avvolge la circonferenza S1 due volte su se stessa,
ovvero (vedendo S1 come i punti di modulo 1 nel piano complesso) la funzione
f(z) = z2. Più in generale, RPn ha una struttura di CW-complesso con una cella in
ogni dimensione (da 0 a n) e tale che gli scheletri di dimensione k sono proprio
spazi proiettivi RPk di dimensione inferiore. La funzione di attaccamento
dell'unica k-cella è la proiezione sul quoziente f: Sk-1 → RPk-1 = Xk-1.
Ne segue che χ(RPn) = 0, se n è dispari e χ(RPn) = 1 se n è pari.
Esercizi
1. Il cilindro ha una struttura di CW-complesso con due 0-celle, tre 1-celle e
una 2-cella; quindi la caratteristica di Eulero è 0. Esplicitare le funzioni di
attaccamento e determinare altre strutture di CW-complesso sul cilindro.
2. Descrivere almeno una struttura di CW-complesso sul nastro di Moebius e
calcolare la sua caratteristica di Eulero.
Osservazione
La seguente proprietà della caratteristica è spesso utile per calcolarla:
χ(A ∪ B) = χ(A) + χ(B) – χ(A ∩ B)
dove naturalmente si suppone che tutti gli spazi in questione siano CWcomplessi.
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Per giustificarlo, basta pensare a una struttura di CW-complesso su A ∪ B rispetto
alla quale i sottospazi A, B, e A ∩ B figurino come sottocomplessi (dove dire che
Y è un sottocomplesso di X significa che Y è unione di celle chiuse di X): allora è
chiaro che le k-celle di A ∪ B non sono altro che le k-celle di A e quelle di B,
dove però vengono contate due volte le k-celle in A ∩ B.
Gruppo fondamentale di un CW- complesso
In [M], §14.6, pag. 251 si trovano le giustificazioni delle seguenti affermazioni
che possono essere dimostrate o utilizzando il teorema di Van Kampen o anche
direttamente, e dalle quali si ottiene uno strumento di calcolo esplicito del
gruppo fondamentale di un CW-complesso:
•
un CW-complesso di dimensione 1 è un grafo, di cui sappiamo quindi
calcolare il gruppo fondamentale, che è un gruppo libero su 1+S-V
generatori;
•
se X = D2 ∪f Y si ottiene da Y attaccando una 2-cella tramite la funzione di
attaccamento f: S1 → Y, allora π1(X,A) = π1(Y,A)/<α> dove α è la classe di
omotopia di un laccio che si ottiene componendo un cammino β da A a un
punto P di f(S1), f stessa (che si può vedere come un laccio con punto
iniziale e finale in P), e il cammino i(β) da P ad A; intuitivamente,
attaccare una 2-cella corrisponde a “chiudere un buco”, ovvero ad
annullare, in omotopia, il laccio corrispondente alla funzione di
attaccamento della 2-cella stessa;
•
se X si ottiene da Y attaccando una n-cella e n>2, allora π1(X,A) = π1(Y,A).
Quindi attaccare una 1-cella ha l'effetto di aggiungere un generatore, attaccare
una 2-cella ha l'effetto di aggiungere una relazione, mentre attaccare una 3-cella
o celle di dimensione superiore è ininfluente sul gruppo fondamentale.
Un'osservazione
Consideriamo un poliedro P, in senso elementare, omeomorfo alla sfera S2, e sia
X il reticolato costituito dai suoi vertici e spigoli; supponiamo che P abbia V
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vertici, S spigoli e F facce. Possiamo calcolare il gruppo fondamentale di X in
(almeno) due maniere diverse:
•
X è un grafo con V vertici e S spigoli, quindi il suo gruppo fondamentale è
libero su 1+S-V generatori;
•
X è una sfera S2 con F buchi, ovvero un disco D2 con F-1 buchi e questo si
retrae su un bouquet di F-1 circonferenze: quindi il suo gruppo
fondamentale è libero su F-1 generatori.
Possiamo allora usare il lemma 14.12, pag. 240 di [M] per concludere che
1+S-V = F-1
ovvero
V-S+F=2
Abbiamo quindi dimostrato, usando il gruppo fondamentale anziché l'omologia,
l'invarianza omotopica della caratteristica di Eulero nella situazione particolare
in cui il sostegno di X è una sfera S2 e inoltre la struttura di CW-complesso di X
(corrisponde alla struttura di un poliedro elementare cioè) è tale che le celle
chiuse sono omeomorfe a dischi chiusi.
Un'altra osservazione
Dato un gruppo G, e una sua presentazione tramite generatori e relazioni, siamo
in grado di costruire un CW-complesso X che abbia G come gruppo fondamentale.
Basta partire da un bouquet di tante circonferenze quanti sono i generatori della
presentazione assegnata di G e attaccare poi tante 2-celle quante sono le
relazioni, curando che le funzioni di attaccamento rispettino le relazioni stesse.
Esplicitare qualche esempio.
N.B.
Approfondimenti sui CW-complessi si possono trovare in:
[J] Janich, Topologia, Zanichelli 1994
oppure
[H] Hatcher, Algebraic topology, 2001, reperibile in rete all'indirizzo
http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html
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