Scomposizione di un polinomio
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Scomposizione di un polinomio
Scomposizione di un polinomio Capitolo 6 Scomposizione di polinomi 1 Verifica per la classe prima COGNOME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . NOME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Classe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Raccoglimento 1.a Stabilire se le seguenti uguaglianze sono vere o false: a fattor 1. 2ab2 4a2b ab ab12b 4a 2 comune 2. 3a4 2a 3a3 2 13a3 2 2 1a 1 2 Punti V F V F 1.b Il polinomio 2x3 2x2y 6x2 3xy2 3y3 9y2 si scompone in: a b c d 12x 3y2 1x2 y2 3 2 .../... .../... 12x2 3y2 2 1x y 3 2 12x2 3y2 2 1x 2y 3 2 12x2 3y2 1x y2 3 2 1.c Scomporre in fattori i seguenti polinomi: 1. 15x 1 2 2x15x 1 2 5x 1 .../... 2 2. 4 1 4 1 b c2 ac2 ab 9 9 3 3 Prodotti 2.a La differenza tra due quadrati può essere scomposta come prodotto della ................... delle loro basi per la ...................... tra le loro basi. notevoli .../... 2.b Completare i seguenti trinomi in modo da ottenere quadrati di binomi: .../... 1. 4x 8xyz ....... 1..... ..... 2 9 2. a2b2 25b2 ...... 1..... ..... 2 2 4 2 2 2.c Completare i seguenti quadrinomi in modo da ottenere cubi di binomi: 125 27 9 9 6 1. a a ...... 1....... ....... 2 3 125 5 27 .../... 2.d Scomporre in fattori il seguente polinomio: 4 2 2 1 2 8 2 x y z 4t 2 xyz xyt 2zt 9 4 3 3 .../... Trinomio 3.a Scomporre in fattori i seguenti trinomi di secondo grado: di secondo 1. x 2 12x 35 grado 2. x 2 7xy 12y2 .../... 2. x6 12x4 482 ..... 1....... ....... 2 3 © 2007 RCS Libri S.p.A. 79 3.b Determinare i possibili valori di k per i quali il trinomio Punti .../... x 2 kx 16 può essere scomposto in fattori a coefficienti interi. 80 3.c Determinare i possibili valori di k per i quali il trinomio x 2 7x k può essere scomposto in fattori a coefficienti interi e positivi. .../... Polinomi in 4.a Indicare quali dei seguenti valori di x sono zeri per la funzione polinomiale x4 x 3 11x 2 9x 18. una variabile .../... a 1 c 3 b 3 d 2 4.b Dati due polinomi p1x2 2x 1 e g1x2 x 2 , determinare p(0) e g(0). Verificare inoltre che p11 2 g11 2 . .../... 4.c Determinare per quali valori del parametro k il polinomio p1x2 x 3 4x 2 2x k 8 verifica la condizione p11 2 2 . .../... © 2007 RCS Libri S.p.A. Capitolo Scomposizione di un polinomio 6 Scomposizione di polinomi 2 Verifica per la classe prima COGNOME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . NOME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Classe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Teorema 1.a Un polinomio P 1x2 è divisibile per il binomio 1x k2 se: del resto a P 1k2 0 c P 1k2 0 b k è il resto della divisione 1x k2 : P 1x2 d 1.b Il resto della divisione 1x 2 4x 8 2 : 1x 2 2 è: a 12 b 2 c 8 d Punti .../... P 1x2 k .../... 0 1.c Il polinomio x 4 x 3 4x 2 4x è divisibile per: .../... 1. x 1 V F 2. x 2 V F 3. x 2 V F Regola 2.a Secondo la regola di Ruffini, stabilire quali sono i numeri razionali k di Ruffini che possono essere sostituiti in 1x k2 per ricercare i divisori di primo grado del seguente polinomio: .../... 10x 9x 2 3 4x 3 2.b Fattorizzare il polinomio dell’esercizio 2.a applicando la regola di Ruffini. .../... .../... Binomi 3.a Scomporre in fattori i seguenti binomi: del tipo 1. y4 16 xn an 2. 27 a 3 3. x 3y 3 1 M.C.D. 4.a Completare la seguente tabella: m.c.m. polinomio fattori .../... M.C.D. m.c.m. x2 2x 8 x 4 16 x 3 7x 2 10x Equazioni 5.a Dopo aver scomposto in fattori di primo grado il polinomio a primo membro, risolvere le seguenti equazioni: 25 1. x 2 0 16 .../... 2. x 3 x 2 20x 0 5.b Determinare per quali valori di k l’equazione .../... x 4 kx 3 13x 2 38x 12k 0 ha soluzione x 1 . © 2007 RCS Libri S.p.A. 81 Capitolo 6 Scomposizione di un polinomio Scomposizione di polinomi Test a risposta multipla per la classe prima COGNOME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . NOME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Classe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Riportare in tabella le lettere corrispondenti alle risposte esatte. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 1. Il polinomio x 2 7x 10 si scompone in fattori in: a b 1x 5 2 1x 2 2 c 1x 10 2 1x 1 2 d 1x 5 2 1x 2 2 non si scompone in fattori. 2. Gli zeri del polinomio x 2 7x 10 sono: a 5; 2 b 10; 1 c 5; 2 d non ammette zeri. 3. Il binomio x n a n ( a H 0, n H 0 ) si può scomporre in fattori solo se: a a 7 0 oppure n dispari c n dispari con n 1 b a 6 0 d a 6 0 con n pari 4. Il binomio x n a n ( a H 0, n H 0 ) si può scomporre in fattori solo se: a a 6 0 5. Il polinomio b n dispari c n pari d n 7 1 8 2 2 2 xy x si scompone in: 3 9 a 2 x2 a 4xy2 b 3 3 c 2 1 x 2 a4y2 b 3 3 b 2 x1x 12y2 2 9 d 2x a 4 2 y 9x b 3 6. Quale dei seguenti polinomi è irriducibile? a 9 x2 b 9 x2 c 8 x3 d 8 x3 7. Quale valore deve assumere k affinché il polinomio x2 4kx 1 sia il quadrato di un binomio? 1 1 a k 1 b k c k d k2 4 2 8. Il valore x0 si chiama zero della funzione f 1x2 se risulta: a x0 0 b f 1x0 2 0 c f 1x2 x0 d f 10 2 x0 9. La funzione f 1x2 3kx 7k 4 è tale che f 15 2 0 per 1 a k0 b k5 c k d k 2 2 82 © 2007 RCS Libri S.p.A. 10. Quale delle seguenti affermazioni è falsa? a Un trinomio può essere lo sviluppo del quadrato di un binomio. b La somma di due potenze a esponente dispari è sempre scomponibile. c Un polinomio di quarto grado può essere lo sviluppo del quadrato di un binomio. d Un binomio (di grado n 7 1) si può scomporre solo se i suoi termini hanno segno opposto. 11. Il resto della divisione del polinomio A1x2 x 3 2x 3 per il polinomio B1x2 x 1 è a 4 b 2 c 0 d 6 d x 4a d nessuna delle precedenti d nessuna delle precedenti 12. Il polinomio x 3 4ax 2 3a2x è multiplo di a x 3a b x 3a c x 4a 13. Il m.c.m. tra i due polinomi x 2 1 e x 2 1 è: a 2x 2 b 1 c 1x 1 2 14. Il M.C.D. tra i due polinomi x 3 x e x 3 x è: a x b 1x 1 2x c x6 15. L’equazione x 4 9x 3 0 ha le soluzioni: a x 0; x 9 c x 0; x 3 b x 0; x 9 d x 0; x 3 16. L’equazione 4x 2 k 2 ha le soluzioni x 2; x 2 se k è: a 4 b 16 c 4 d 16 17. Quale valore dovrebbe assumere k affinché il polinomio kx 2 1 non sia scomponibile in fattori? a k2 b k1 c k 1 d nessuna delle precedenti 18. Il polinomio P1x2 è divisibile per x a se a P1a 2 0 b P1a 2 0 c P1x a 2 0 d P1x2 0 19. Quale dei seguenti polinomi è lo sviluppo del quadrato di un binomio? a x4 2x3 1 c x4 1 b x 2x 1 d x6 2x 3 1 6 4 20. Quale dei seguenti polinomi non è divisibile per x A ? a b Ax 2 A2x x 2 1A 1 2 x A c x 2 Ax A 1 d x 2 Ax 21. Il polinomio 2y2 2xz yz 4xy scomposto in fattori è: a b 12x y2 12y z 2 12x y2 1z 4x2 © 2007 RCS Libri S.p.A. c d 1y 2x2 12y z2 14x y2 12y z2 83 22. Quale dei seguenti polinomi è scomposto in fattori? a b 3x 2 3x 3x 2 11 3x 2 2 c d 3x 2 11 3x 2 2 3x 2 nessuno dei precedenti 23. Se il polinomio A1x2 è divisibile per il polinomio B1x2 2x 2a, qual è il resto della divisione di A1x2 per B1x2 ? a 2a c 2 b 0 d a 24. Il quoziente della divisione del polinomio A1x2 di grado n 1 per il polinomio B1x2 di grado n 1 1n 7 1 2 è un polinomio di grado: a 2 c 2n 1 b 2n d 2n 1 25. Due polinomi P1x2 e Q1x2 hanno m.c.m. 1x 3 2 1x 1 2 e M.C.D. 1. Quali potrebbero essere tra i seguenti? P1x2 x2 9 6x a Q1x2 x2 1 2x P1x2 1 b Q1x2 1x 3 2 1x 1 2 P1x2 x 3 c Q1x2 1x 3 2 1x 1 2 P1x2 x 1 d Q1x2 x2 2x 3 26. Il prodotto 12x 1 2 14x 2 1 2x2 è equivalente a: a b 84 12x 1 2 3 14x 2 1 2 12x 1 2 c d 8x 3 1 14x 1 2 2 12x 1 2 © 2007 RCS Libri S.p.A. Capitolo Scomposizione di un polinomio 6 Scomposizione di polinomi 1: verifica e prova strutturata a risposta multipla Obiettivi Scomporre un polinomio mediante raccoglimenti a fattor comune Scomporre un polinomio mediante prodotti notevoli Scomporre un trinomio mediante la regola del trinomio Calcolare il valore della funzione polinomiale ● ● ● Test 1.a; 1.b; 1.c 2.a; 2.b; 2.c; 2.d 3.a; 3.b; 3.c 4.a; 4.b; 4.c 5, 21 7, 10, 19, 26 1, 20 8, 9, 10 Soluzioni degli esercizi 1.a b §2 §3 §5 §6 tempo previsto: 60 min 1.b 1.c 1. F; 2. F Teoria al paragrafo Verifica 2.a 2.b 1. 7x(5x 1) somma; 1. (2x2yz) 2 differenza 1 3 2. (4b 2. a ab 5bb 9 2 c2) (3a 1) 2 2.c 2.d 3.a 1. 1. (x5)(x7) 2 3 5 3 a xy 2. (x3y)(x4y) a a3 b 3 5 3 2. 2 1 z2t b 2. 2 (x2 4)3 3.b 3.c 4.a 4.b 4.c 8; 6; b; c 1; 0 5 10; 10; 17 12 Scomposizione di polinomi 2: verifica e prova strutturata a risposta multipla Obiettivi Utilizzare il teorema del resto Scomporre un polinomio mediante la regola di Ruffini Scomporre un binomio del tipo xn an Determinare M.C.D. e m.c.m. di polinomi Risolvere un’equazione di grado superiore al primo (applicando la legge di annullamento del prodotto) Calcolare il valore di un parametro di un’equazione letterale, dato il valore di una radice ● ● ● ● ● Teoria al paragrafo Verifica Test 1.a; 1.b; 1.c 2.a; 2.b 3.a 4.a 5.a 11, 23 12, 18, 24 3, 4, 5, 6 13, 14, 25 2, 15 §7 §9 § 10 § 11 § 12 5.b 16, 17 §6 Soluzioni degli esercizi tempo previsto: 60 min 1.a 1.b 1.c 2.b 3.a a a 1. F; 2. V; 4(1 x) (x 3. V 1 ) (x 3) 4 4.a 5.b 1. (y 2) (y 2) (y2 4) M.C.D. x 2 5 2. (a 3) (a2 3a 9) m.c.m. x(x 2) 1. x 4 3. (xy 1) (x2 xy 1) (x 2) (x 4) 2. x 0; x 4; (x 5) (x2 4) x5 Soluzioni quesiti prova strutturata a risposta multipla k2 tempo previsto: 60 min 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 a c c d b b c b c d a b d 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 a b c c a d c a d b a b c © 2007 RCS Libri S.p.A. 5.a 85