doci teoremi di Pappo - Dipartimento di Matematica
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i teoremi di Pappo - Dipartimento di Matematica
Geometria Proiettiva: i teoremi di Pappo e Desargues in una prospettiva storica Geometria Proiettiva: i teoremi di Pappo e Desargues in una prospettiva storica Silvia Rampazzo Introduzione storica La matematica greca Il XVII Secolo Il XIX Secolo I teoremi di Pappo e Desargues Silvia Rampazzo Università di Bologna Dipartimento di Matematica Bologna, 18 Marzo 2011 La versione affine La versione proiettiva Definizione assiomatica della geometria proiettiva La matematica greca (600 a.C. - 600 d.C.) Geometria Proiettiva: i teoremi di Pappo e Desargues in una prospettiva storica Silvia Rampazzo L’“Età aurea” della matematica greca (300 - 200 a.C.): Euclide, Archimede e Apollonio L’“Età argentea” della matematica greca (250 - 350 d.C.): Diofanto e Pappo di Alessandria Pappo di Alessandria, nato intorno al 290 d.C., è l’ultima figura significativa della matematica greca Introduzione storica La matematica greca Il XVII Secolo Il XIX Secolo I teoremi di Pappo e Desargues La versione affine La versione proiettiva Definizione assiomatica della geometria proiettiva La matematica greca (600 a.C. - 600 d.C.) Geometria Proiettiva: i teoremi di Pappo e Desargues in una prospettiva storica Silvia Rampazzo L’“Età aurea” della matematica greca (300 - 200 a.C.): Euclide, Archimede e Apollonio L’“Età argentea” della matematica greca (250 - 350 d.C.): Diofanto e Pappo di Alessandria Pappo di Alessandria, nato intorno al 290 d.C., è l’ultima figura significativa della matematica greca Introduzione storica La matematica greca Il XVII Secolo Il XIX Secolo I teoremi di Pappo e Desargues La versione affine La versione proiettiva Definizione assiomatica della geometria proiettiva La matematica greca (600 a.C. - 600 d.C.) Geometria Proiettiva: i teoremi di Pappo e Desargues in una prospettiva storica Silvia Rampazzo L’“Età aurea” della matematica greca (300 - 200 a.C.): Euclide, Archimede e Apollonio L’“Età argentea” della matematica greca (250 - 350 d.C.): Diofanto e Pappo di Alessandria Pappo di Alessandria, nato intorno al 290 d.C., è l’ultima figura significativa della matematica greca Introduzione storica La matematica greca Il XVII Secolo Il XIX Secolo I teoremi di Pappo e Desargues La versione affine La versione proiettiva Definizione assiomatica della geometria proiettiva La matematica greca (600 a.C. - 600 d.C.) Geometria Proiettiva: i teoremi di Pappo e Desargues in una prospettiva storica Silvia Rampazzo L’“Età aurea” della matematica greca (300 - 200 a.C.): Euclide, Archimede e Apollonio L’“Età argentea” della matematica greca (250 - 350 d.C.): Diofanto e Pappo di Alessandria Pappo di Alessandria, nato intorno al 290 d.C., è l’ultima figura significativa della matematica greca Introduzione storica La matematica greca Il XVII Secolo Il XIX Secolo I teoremi di Pappo e Desargues La versione affine La versione proiettiva Definizione assiomatica della geometria proiettiva Pappo di Alessandria (tra il 200 e il 300 d.C.) Geometria Proiettiva: i teoremi di Pappo e Desargues in una prospettiva storica Silvia Rampazzo Introduzione storica Collezioni di Matematica (320 d.C.) Il teorema di Pappo anticipò la geometria proiettiva e venne ripreso da Desargues dopo circa un millennio La matematica greca Il XVII Secolo Il XIX Secolo I teoremi di Pappo e Desargues La versione affine La versione proiettiva Definizione assiomatica della geometria proiettiva Pappo di Alessandria (tra il 200 e il 300 d.C.) Geometria Proiettiva: i teoremi di Pappo e Desargues in una prospettiva storica Silvia Rampazzo Introduzione storica Collezioni di Matematica (320 d.C.) Il teorema di Pappo anticipò la geometria proiettiva e venne ripreso da Desargues dopo circa un millennio La matematica greca Il XVII Secolo Il XIX Secolo I teoremi di Pappo e Desargues La versione affine La versione proiettiva Definizione assiomatica della geometria proiettiva L’avvento del Cristianesimo rese difficile l’espansione della matematica: vennero proscrisse le religioni pagane e distrutti i templi greci La feroce morte di Ipatia di Alessandria nel 415 d.C., che si rifiutò di abbandonare la religione greca, segna la fine della matematica greca Nel 529 d.C.: vennero chiuse tutte le scuole filosofiche per mano dell’Imperatore Giustiniano Nel 640 d.C.: conquista dell’Egitto per mano dei musulmani Si conclude cosı̀ la matematica greca, ma i frutti di tale periodo giunsero in Europa, aspettando però più di un millennio per la loro maturazione. Geometria Proiettiva: i teoremi di Pappo e Desargues in una prospettiva storica Silvia Rampazzo Introduzione storica La matematica greca Il XVII Secolo Il XIX Secolo I teoremi di Pappo e Desargues La versione affine La versione proiettiva Definizione assiomatica della geometria proiettiva L’avvento del Cristianesimo rese difficile l’espansione della matematica: vennero proscrisse le religioni pagane e distrutti i templi greci La feroce morte di Ipatia di Alessandria nel 415 d.C., che si rifiutò di abbandonare la religione greca, segna la fine della matematica greca Nel 529 d.C.: vennero chiuse tutte le scuole filosofiche per mano dell’Imperatore Giustiniano Nel 640 d.C.: conquista dell’Egitto per mano dei musulmani Si conclude cosı̀ la matematica greca, ma i frutti di tale periodo giunsero in Europa, aspettando però più di un millennio per la loro maturazione. Geometria Proiettiva: i teoremi di Pappo e Desargues in una prospettiva storica Silvia Rampazzo Introduzione storica La matematica greca Il XVII Secolo Il XIX Secolo I teoremi di Pappo e Desargues La versione affine La versione proiettiva Definizione assiomatica della geometria proiettiva L’avvento del Cristianesimo rese difficile l’espansione della matematica: vennero proscrisse le religioni pagane e distrutti i templi greci La feroce morte di Ipatia di Alessandria nel 415 d.C., che si rifiutò di abbandonare la religione greca, segna la fine della matematica greca Nel 529 d.C.: vennero chiuse tutte le scuole filosofiche per mano dell’Imperatore Giustiniano Nel 640 d.C.: conquista dell’Egitto per mano dei musulmani Si conclude cosı̀ la matematica greca, ma i frutti di tale periodo giunsero in Europa, aspettando però più di un millennio per la loro maturazione. Geometria Proiettiva: i teoremi di Pappo e Desargues in una prospettiva storica Silvia Rampazzo Introduzione storica La matematica greca Il XVII Secolo Il XIX Secolo I teoremi di Pappo e Desargues La versione affine La versione proiettiva Definizione assiomatica della geometria proiettiva L’avvento del Cristianesimo rese difficile l’espansione della matematica: vennero proscrisse le religioni pagane e distrutti i templi greci La feroce morte di Ipatia di Alessandria nel 415 d.C., che si rifiutò di abbandonare la religione greca, segna la fine della matematica greca Nel 529 d.C.: vennero chiuse tutte le scuole filosofiche per mano dell’Imperatore Giustiniano Nel 640 d.C.: conquista dell’Egitto per mano dei musulmani Si conclude cosı̀ la matematica greca, ma i frutti di tale periodo giunsero in Europa, aspettando però più di un millennio per la loro maturazione. Geometria Proiettiva: i teoremi di Pappo e Desargues in una prospettiva storica Silvia Rampazzo Introduzione storica La matematica greca Il XVII Secolo Il XIX Secolo I teoremi di Pappo e Desargues La versione affine La versione proiettiva Definizione assiomatica della geometria proiettiva L’avvento del Cristianesimo rese difficile l’espansione della matematica: vennero proscrisse le religioni pagane e distrutti i templi greci La feroce morte di Ipatia di Alessandria nel 415 d.C., che si rifiutò di abbandonare la religione greca, segna la fine della matematica greca Nel 529 d.C.: vennero chiuse tutte le scuole filosofiche per mano dell’Imperatore Giustiniano Nel 640 d.C.: conquista dell’Egitto per mano dei musulmani Si conclude cosı̀ la matematica greca, ma i frutti di tale periodo giunsero in Europa, aspettando però più di un millennio per la loro maturazione. Geometria Proiettiva: i teoremi di Pappo e Desargues in una prospettiva storica Silvia Rampazzo Introduzione storica La matematica greca Il XVII Secolo Il XIX Secolo I teoremi di Pappo e Desargues La versione affine La versione proiettiva Definizione assiomatica della geometria proiettiva Il XVII Secolo Geometria Proiettiva: i teoremi di Pappo e Desargues in una prospettiva storica Silvia Rampazzo La Francia fu il centro dell’attività matematica: Enorme contributo alla geometria analitica e al calcolo infinitesimale da parte di Descartes e Fermat Ripresa delle opere greche, in particolare le Coniques di Apollonio (200 a.C.) Il problema della prospettiva e le ricerche geometriche incidentali degli artisti rinascimentali trovano risposta attraverso lo studio rigoroso delle proiezioni e delle sezioni Introduzione storica La matematica greca Il XVII Secolo Il XIX Secolo I teoremi di Pappo e Desargues La versione affine La versione proiettiva Definizione assiomatica della geometria proiettiva Il XVII Secolo Geometria Proiettiva: i teoremi di Pappo e Desargues in una prospettiva storica Silvia Rampazzo La Francia fu il centro dell’attività matematica: Enorme contributo alla geometria analitica e al calcolo infinitesimale da parte di Descartes e Fermat Ripresa delle opere greche, in particolare le Coniques di Apollonio (200 a.C.) Il problema della prospettiva e le ricerche geometriche incidentali degli artisti rinascimentali trovano risposta attraverso lo studio rigoroso delle proiezioni e delle sezioni Introduzione storica La matematica greca Il XVII Secolo Il XIX Secolo I teoremi di Pappo e Desargues La versione affine La versione proiettiva Definizione assiomatica della geometria proiettiva Il XVII Secolo Geometria Proiettiva: i teoremi di Pappo e Desargues in una prospettiva storica Silvia Rampazzo La Francia fu il centro dell’attività matematica: Enorme contributo alla geometria analitica e al calcolo infinitesimale da parte di Descartes e Fermat Ripresa delle opere greche, in particolare le Coniques di Apollonio (200 a.C.) Il problema della prospettiva e le ricerche geometriche incidentali degli artisti rinascimentali trovano risposta attraverso lo studio rigoroso delle proiezioni e delle sezioni Introduzione storica La matematica greca Il XVII Secolo Il XIX Secolo I teoremi di Pappo e Desargues La versione affine La versione proiettiva Definizione assiomatica della geometria proiettiva Il XVII Secolo Geometria Proiettiva: i teoremi di Pappo e Desargues in una prospettiva storica Silvia Rampazzo La Francia fu il centro dell’attività matematica: Enorme contributo alla geometria analitica e al calcolo infinitesimale da parte di Descartes e Fermat Ripresa delle opere greche, in particolare le Coniques di Apollonio (200 a.C.) Il problema della prospettiva e le ricerche geometriche incidentali degli artisti rinascimentali trovano risposta attraverso lo studio rigoroso delle proiezioni e delle sezioni Introduzione storica La matematica greca Il XVII Secolo Il XIX Secolo I teoremi di Pappo e Desargues La versione affine La versione proiettiva Definizione assiomatica della geometria proiettiva Girard Desargues (1561-1661) Geometria Proiettiva: i teoremi di Pappo e Desargues in una prospettiva storica Silvia Rampazzo Architetto e ingegnere militare, più interessato alle attività pratiche ma dotato di una grande immaginazione teorica. Insieme a Keplero riconobbe che due rette parallele si incontrano in un “punto all’infinito” Il teorema di Desargues fu pubblicato per la prima volta del 1648 da Abraham Bosse, ed è considerato uno dei fondamenti della geometria proiettiva. Introduzione storica La matematica greca Il XVII Secolo Il XIX Secolo I teoremi di Pappo e Desargues La versione affine La versione proiettiva Definizione assiomatica della geometria proiettiva Girard Desargues (1561-1661) Geometria Proiettiva: i teoremi di Pappo e Desargues in una prospettiva storica Silvia Rampazzo Architetto e ingegnere militare, più interessato alle attività pratiche ma dotato di una grande immaginazione teorica. Insieme a Keplero riconobbe che due rette parallele si incontrano in un “punto all’infinito” Il teorema di Desargues fu pubblicato per la prima volta del 1648 da Abraham Bosse, ed è considerato uno dei fondamenti della geometria proiettiva. Introduzione storica La matematica greca Il XVII Secolo Il XIX Secolo I teoremi di Pappo e Desargues La versione affine La versione proiettiva Definizione assiomatica della geometria proiettiva Girard Desargues (1561-1661) Geometria Proiettiva: i teoremi di Pappo e Desargues in una prospettiva storica Silvia Rampazzo Architetto e ingegnere militare, più interessato alle attività pratiche ma dotato di una grande immaginazione teorica. Insieme a Keplero riconobbe che due rette parallele si incontrano in un “punto all’infinito” Il teorema di Desargues fu pubblicato per la prima volta del 1648 da Abraham Bosse, ed è considerato uno dei fondamenti della geometria proiettiva. Introduzione storica La matematica greca Il XVII Secolo Il XIX Secolo I teoremi di Pappo e Desargues La versione affine La versione proiettiva Definizione assiomatica della geometria proiettiva Blaise Pascal (1623-1662) All’età di soli dodici anni iniziò la sua attività di ricerca in matematica. Pascal divenne l’allievo di Desargues, e dedicò gran parte dei suoi primi studi alla geometria proiettiva Nel 1639, all’età di sedici anni, scrisse Essai pour les coniques utilizzando i metodi della geometria proiettiva: esso contiene il teorema di Pascal. Geometria Proiettiva: i teoremi di Pappo e Desargues in una prospettiva storica Silvia Rampazzo Introduzione storica La matematica greca Il XVII Secolo Il XIX Secolo I teoremi di Pappo e Desargues La versione affine La versione proiettiva Definizione assiomatica della geometria proiettiva Blaise Pascal (1623-1662) All’età di soli dodici anni iniziò la sua attività di ricerca in matematica. Pascal divenne l’allievo di Desargues, e dedicò gran parte dei suoi primi studi alla geometria proiettiva Nel 1639, all’età di sedici anni, scrisse Essai pour les coniques utilizzando i metodi della geometria proiettiva: esso contiene il teorema di Pascal. Geometria Proiettiva: i teoremi di Pappo e Desargues in una prospettiva storica Silvia Rampazzo Introduzione storica La matematica greca Il XVII Secolo Il XIX Secolo I teoremi di Pappo e Desargues La versione affine La versione proiettiva Definizione assiomatica della geometria proiettiva Blaise Pascal (1623-1662) All’età di soli dodici anni iniziò la sua attività di ricerca in matematica. Pascal divenne l’allievo di Desargues, e dedicò gran parte dei suoi primi studi alla geometria proiettiva Nel 1639, all’età di sedici anni, scrisse Essai pour les coniques utilizzando i metodi della geometria proiettiva: esso contiene il teorema di Pascal. Geometria Proiettiva: i teoremi di Pappo e Desargues in una prospettiva storica Silvia Rampazzo Introduzione storica La matematica greca Il XVII Secolo Il XIX Secolo I teoremi di Pappo e Desargues La versione affine La versione proiettiva Definizione assiomatica della geometria proiettiva Jean-Victor Poncelet (1788-1867) Geometria Proiettiva: i teoremi di Pappo e Desargues in una prospettiva storica Silvia Rampazzo Introduzione storica Fu il fondatore effettivo della geometria proiettiva. Riconobbe i vantaggi che essa aveva nella sua generalità. La matematica greca Il XVII Secolo Il XIX Secolo I teoremi di Pappo e Desargues La versione affine La versione proiettiva Definizione assiomatica della geometria proiettiva Jean-Victor Poncelet (1788-1867) Geometria Proiettiva: i teoremi di Pappo e Desargues in una prospettiva storica Silvia Rampazzo Introduzione storica Fu il fondatore effettivo della geometria proiettiva. Riconobbe i vantaggi che essa aveva nella sua generalità. La matematica greca Il XVII Secolo Il XIX Secolo I teoremi di Pappo e Desargues La versione affine La versione proiettiva Definizione assiomatica della geometria proiettiva Geometria Proiettiva: i teoremi di Pappo e Desargues in una prospettiva storica Silvia Rampazzo Principio di continuità Le proprietà metriche scoperte in rapporto a una figura originaria rimangono applicabili, senza altre modificazioni che quelle del cambiamento di segno, a tutte le figure correlative che si possono considerare originate dalla prima. Poncelet fu il primo a introdurre il termine dualità per denotare la relazione che intercorre tra un teorema e l’enunciato da esso ottenuto per “dualità”, cioè sostituendo la parola “punto” con “retta” e viceversa. Introduzione storica La matematica greca Il XVII Secolo Il XIX Secolo I teoremi di Pappo e Desargues La versione affine La versione proiettiva Definizione assiomatica della geometria proiettiva Geometria Proiettiva: i teoremi di Pappo e Desargues in una prospettiva storica Silvia Rampazzo Principio di continuità Le proprietà metriche scoperte in rapporto a una figura originaria rimangono applicabili, senza altre modificazioni che quelle del cambiamento di segno, a tutte le figure correlative che si possono considerare originate dalla prima. Poncelet fu il primo a introdurre il termine dualità per denotare la relazione che intercorre tra un teorema e l’enunciato da esso ottenuto per “dualità”, cioè sostituendo la parola “punto” con “retta” e viceversa. Introduzione storica La matematica greca Il XVII Secolo Il XIX Secolo I teoremi di Pappo e Desargues La versione affine La versione proiettiva Definizione assiomatica della geometria proiettiva Teorema (Pappo) Siano H, H 0 due rette distinte, del piano affine A2 . Siano P, Q, R ∈ H e P 0 , Q 0 , R 0 ∈ H 0 punti distinti, nessuno dei quali comune ad H e ad H 0 . Se PQ 0 || P 0 Q e QR 0 || Q 0 R allora PR 0 || P 0 R. Geometria Proiettiva: i teoremi di Pappo e Desargues in una prospettiva storica Silvia Rampazzo Introduzione storica La matematica greca Il XVII Secolo Il XIX Secolo I teoremi di Pappo e Desargues La versione affine La versione proiettiva Definizione assiomatica della geometria proiettiva Teorema (Desargues) Siano A, B, C , A0 , B 0 , C 0 ∈ A2 punti a tre a tre non allineati, tali che AB || A0 B 0 , BC || B 0 C 0 , AC || A0 C 0 . Allora le tre rette AA0 , BB 0 e CC 0 sono parallele oppure hanno un punto in comune. Geometria Proiettiva: i teoremi di Pappo e Desargues in una prospettiva storica Silvia Rampazzo Introduzione storica La matematica greca Il XVII Secolo Il XIX Secolo I teoremi di Pappo e Desargues La versione affine La versione proiettiva Definizione assiomatica della geometria proiettiva Teorema (Pappo) Siano P(V) un piano proiettivo, r ed r 0 due rette distinte di P(V), e P, Q, R, P 0 , Q 0 , R 0 sei punti distinti tali che P, Q, R ∈ r \ (r ∩ r 0 ), P 0 , Q 0 , R 0 ∈ r 0 \ (r ∩ r 0 ). Allora i tre punti L(P, Q 0 )∩L(P 0 , Q), L(Q, R 0 )∩L(Q 0 , R), L(P, R 0 )∩L(P 0 , R) sono allineati. La retta che li contiene è detta retta di Pascal. Geometria Proiettiva: i teoremi di Pappo e Desargues in una prospettiva storica Silvia Rampazzo Introduzione storica La matematica greca Il XVII Secolo Il XIX Secolo I teoremi di Pappo e Desargues La versione affine La versione proiettiva Definizione assiomatica della geometria proiettiva Geometria Proiettiva: i teoremi di Pappo e Desargues in una prospettiva storica Silvia Rampazzo Teorema (Pappo) Siano due triplette di punti appartenenti a due rette differenti, i tre punti che si ottengono dalle intersezioni di alcune coppie di rette sono allineati Duale Prese due triplette di rette concorrenti, le rette definite dalle coppie di punti che si ottengono da alcune loro intersezioni, concorrono Introduzione storica La matematica greca Il XVII Secolo Il XIX Secolo I teoremi di Pappo e Desargues La versione affine La versione proiettiva Definizione assiomatica della geometria proiettiva Teorema (Desargues) Sia P(V) un piano proiettivo e siano P1 , P2 , P3 , P4 , P5 , P6 ∈ P(V) punti distinti tali che le tre rette L(P1 , P4 ), L(P2 , P5 ), L(P3 , P6 ) abbiano in comune un punto P0 diverso da P1 , ..., P6 . Allora i punti L(P1 , P3 )∩L(P4 , P6 ), sono allineati. L(P2 , P3 )∩L(P5 , P6 ), L(P1 , P2 )∩L(P4 , P5 ) Geometria Proiettiva: i teoremi di Pappo e Desargues in una prospettiva storica Silvia Rampazzo Introduzione storica La matematica greca Il XVII Secolo Il XIX Secolo I teoremi di Pappo e Desargues La versione affine La versione proiettiva Definizione assiomatica della geometria proiettiva Teorema (Desargues) Se due triangoli sono in prospettiva rispetto a un punto, e se i prolungamenti dei lati corrispondenti si intersecano, allora i tre punti di intersezione sono allineati Duale Se due triangoli sono in prospettiva rispetto ad una retta e se ciascuna coppia di vertici corrispondenti sono uniti da rette che si intersecano, allora i triangoli sono in prospettiva rispetto al punto di intersezione delle tre rette Geometria Proiettiva: i teoremi di Pappo e Desargues in una prospettiva storica Silvia Rampazzo Introduzione storica La matematica greca Il XVII Secolo Il XIX Secolo I teoremi di Pappo e Desargues La versione affine La versione proiettiva Definizione assiomatica della geometria proiettiva Teorema (Pascal) Le tre coppie di lati opposti di un esagono semplice inscritto in una conica si incontrano in tre punti allineati. Geometria Proiettiva: i teoremi di Pappo e Desargues in una prospettiva storica Silvia Rampazzo Introduzione storica La matematica greca Il XVII Secolo Il XIX Secolo I teoremi di Pappo e Desargues La versione affine La versione proiettiva Definizione assiomatica della geometria proiettiva Definizione assiomatica della geometria proiettiva Assiomi della geometria proiettiva piana: 1 Due punti distinti appartengono a una sola linea. 2 Qualsiasi coppia di linee è incidente ed ha almeno un punto in comune. 3 Tra quattro punti ne esistono tre che non sono allineati. 4 Tre punti diagonali di una quadrangolo completo non sono mai allineati. 5 Se due triangoli sono in prospettiva rispetto a un punto allora sono in prospettiva rispetto a una linea (teorema di Desargues). 6 Se una proiettività lascia invariati tre punti distinti di una linea, essa lascia invariato ogni punto della linea. Geometria Proiettiva: i teoremi di Pappo e Desargues in una prospettiva storica Silvia Rampazzo Introduzione storica La matematica greca Il XVII Secolo Il XIX Secolo I teoremi di Pappo e Desargues La versione affine La versione proiettiva Definizione assiomatica della geometria proiettiva
