Lez2-Piastre circola..

Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Corpi bidimensionali: corpi in cui due dimensioni prevalgono sulla terza
(spessore).
Superficie media: luogo dei punti dello spazio che si trovano a metà dello
spessore.
Classificazione in dipendenza di:
• forma della superficie media
• direzione rispetto dei carichi rispetto alla superficie media
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Corpi bidimensionali: corpi in cui due dimensioni prevalgono sulla terza
(spessore).
Superficie media: luogo dei punti dello spazio che si trovano a metà dello
spessore.
Classificazione in dipendenza di:
• forma della superficie media
• direzione rispetto dei carichi rispetto alla superficie media
Lastre:
• superficie media piana (piano medio)
• carichi applicati giacenti sul piano medio
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Corpi bidimensionali: corpi in cui due dimensioni prevalgono sulla terza
(spessore).
Superficie media: luogo dei punti dello spazio che si trovano a metà dello
spessore.
Classificazione in dipendenza di:
• forma della superficie media
• direzione rispetto dei carichi rispetto alla superficie media
Piastre:
• superficie media piana (piano medio)
• carichi applicati ortogonalmente al piano medio
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Corpi bidimensionali: corpi in cui due dimensioni prevalgono sulla terza
(spessore).
Superficie media: luogo dei punti dello spazio che si trovano a metà dello
spessore.
Classificazione in dipendenza di:
• forma della superficie media
• direzione rispetto dei carichi rispetto alla superficie media
Gusci:
• superficie media curva
• carichi applicati sia sul piano medio
che ortogonalmente ad esso
Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Ipotesi semplificative generali per le piastre:
• spostamenti verticali del piano medio della piastra sotto carico molto minori
dello spessore della piastra stessa
• punti dello spessore che, prima della deformazione, giacevano su di una retta
ortogonale al piano medio, dopo la deformazion continuano a formare una retta
ortogonale al piano medio deformato (ipotesi di Kirchoff)
• tensioni normali agenti ortogonalmente al piano medio della piastra trascurabili
(stato piano di tensione).
θ
z
r
R
h
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Piastre Circolari caricate in modo Assialsimmetrico.
Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Assunzioni semplificative specifiche:
• la componente di spostamento in direzione circonferenziale è nulla per simmetria
• la componente di spostamento in senso radiale si assume trascurabile in base
all'ipotesi di piccole deflessioni della piastra
• la componente di spostamento verticale w, la sola significativa, risulta, per
simmetria, funzione della sola coordinata radiale, r.
• il piano medio non varia le sue dimensioni con la deformazione (esattamente come
la fibra media di una trave inflessa)
θ
z
r
R
h
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Piastre Circolari caricate in modo Assialsimmetrico.
Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
θ
r
R
h
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Sistema di riferimento cilindrico con asse «z» coincidente con asse di simmetria
ed origine sul piano medio
z
Deformata della piastra definita dalla sola funzione w(r).
θ
θ =−
w
r
dw
dr
Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
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Componenti di deformazione/1
r
A
z
dr
B
Elemento di piastra
Segmento AB alla quota «z»
Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
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Componenti di deformazione/2
r
O
z
A
dr
θ
B
dopo l'inflessione:
• il segmento AB assume la posizione A'B‘
• Il segmento dr appartenente al piano
medio (lunghezza immutata) può essere
approssimato con un arco di circonferenza
di centro O e raggio:
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Componenti di deformazione/3
Lunghezza di AB:
r
O
z
A
dr
θ
B
A ' B ' = ( ρ + z )dθ = dr + z ⋅ dθ
Deformazione radiale:
ε rr =
(dr + z ⋅ dθ ) − dr = z ⋅ dθ
dr
dr
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Componenti di deformazione/4
Il punto A subisce uno spostamento radiale :
r
O
z
A
dr
B
u ≈ z ⋅θ
La circonferenza per A, di lunghezza iniziale:
2π ⋅ r
θ
dopo la deformazione assume lunghezza:
2π ⋅ (r + u )
u
Producendo una deformazione circonferenziale:
ε θθ =
2π (r + z ⋅ θ ) − 2π ⋅ r zθ
=
2π ⋅ r
r
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Componenti di deformazione/4
ε rr =
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Stato piano di tensione:
ε θθ =
Invertendo:
E
σ θθ
E
−ν
σ θθ
−ν
σ rr
E
E
E
(ε rr +νε θθ )
2
1 −ν
E
(ε θθ +νε rr )
=
1 −ν 2
σ rr =
σ θθ
σ rr
Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Relazioni costitutive
ε rr =
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Stato piano di tensione:
ε θθ =
Invertendo:
σ rr
E
σ θθ
E
−ν
σ θθ
−ν
σ rr
E
E
E
(ε rr +νε θθ )
2
1 −ν
E
(ε θθ +νε rr )
=
1 −ν 2
σ rr =
ε rr = z ⋅
σ θθ
ε θθ =
θ
E ⋅ z  dθ
ν
+


1 −ν 2  dr
r
E ⋅ z θ
dθ 
ν
=
+


1 −ν 2  r
dr 
σ rr =
σ θθ
dθ
dr
zθ
r
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Caratteristiche di sollecitazione generalizzate/1
Si considera un elemento di volume della piastra, ottenuto con tre incrementi
delle coordinate.
Tensioni agenti (simmetria ed ipotesi di «plane stress»):
dϕ
h
z
dz
τ
σrr
r
dr
σθθ
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Caratteristiche di sollecitazione generalizzate/2
Dato che le tensioni normali dipendono linearmente da «z», per le relative
risultanti si ha:
h
2
h
−
2
N rr = ∫ σ rr ⋅ dz = 0
h
2
h
−
2
dϕ
Nθθ = ∫ σ θθ ⋅ dz = 0
h
z
dz
τ
σrr
r
dr
σθθ
Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
dϕ
Caratteristiche di sollecitazione generalizzate/3
h
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Per i momenti risultanti, invece si ottiene:
h
2
h
−
2
M rr = ∫ σ rr ⋅ z ⋅ dz =
E ⋅ z  dθ
θ
2
+
ν

 ∫ z ⋅ dz =
2
r
1 −ν  dr
h
2
h
−
2
z
dz
E  dθ
θ  h3
θ
 dθ
D
=
+
=
+
ν
ν




r  12
dr
r
1 −ν 2  dr


D=
E ⋅h
12 1 −ν 2
τ
σrr
Mθθ
3
(
)
r
σθθ
dr
dϕ
h
Rigidezza flessionale della piastra
r
M rr
Mθθ
dr
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dϕ
Caratteristiche di sollecitazione generalizzate/4
h
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Per i momenti risultanti, invece si ottiene:
h
2
h
−
2
M rr = ∫ σ rr ⋅ z ⋅ dz =
E ⋅ z  dθ
θ
2
+
ν

 ∫ z ⋅ dz =
2
r
1 −ν  dr
h
2
h
−
2
z
dz
E  dθ
θ  h3
θ
 dθ
D
=
+
=
+
ν
ν




r  12
dr
r
1 −ν 2  dr


D=
E ⋅h
12 1 −ν 2
τ
σrr
Mθθ
3
(
)
r
σθθ
dr
dϕ
h
Rigidezza flessionale della piastra
dθ 
θ
M θθ = D +ν

r
dr


r
M rr
Mθθ
dr
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dϕ
Caratteristiche di sollecitazione generalizzate/5
h
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Si pone infine:
h
2
h
−
2
Q = ∫ τ ⋅ dz
Osservazioni
• i momenti sono denominati in base alle tensioni
che producono, invece che all'asse cui si riferiscono
• i momenti Mrr ed Mθθ e la forza di taglio Q sono
calcolati per unità di lunghezza in direzione
circonferenziale; essi si misurano rispettivamente
in N*m/m ed in N/m e sono detti Caratteristiche di
sollecitazione generalizzate.
z
dz
τ
σrr
r
σθθ
dr
dϕ
h
Q
r
dr
Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
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Relazione tra tensioni normali e momenti/1
θ
 dθ
+ν 
M rr = D
r
 dr
dθ 
θ
M θθ = D +ν

r
dr


θ
E ⋅ z  dθ
ν
+


1 −ν 2  dr
r
E ⋅ z θ
dθ 
ν
=
+


1 −ν 2  r
dr 
σ rr =
σ θθ
Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
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Relazione tra tensioni normali e momenti/2
θ
 dθ
+ν 
M rr = D
r
 dr
dθ 
θ
M θθ = D +ν

r
dr


θ
E ⋅ z  dθ
ν
+


1 −ν 2  dr
r
E ⋅ z θ
dθ 
ν
=
+


1 −ν 2  r
dr 
σ rr =
E ⋅ z M rr
1 −ν 2 D
E ⋅ z M θθ
=
1 −ν 2 D
σ rr =
σ θθ
σ θθ
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Relazione tra tensioni normali e momenti/3
θ
 dθ
+ν 
M rr = D
r
 dr
dθ 
θ
M θθ = D +ν

r
dr


(
)
E ⋅ z M rr
1 −ν 2 D
E ⋅ z M θθ
=
1 −ν 2 D
σ rr =
σ θθ
E ⋅ h3
D=
12 1 −ν 2
θ
E ⋅ z  dθ
ν
+


1 −ν 2  dr
r
E ⋅ z θ
dθ 
ν
=
+


1 −ν 2  r
dr 
σ rr =
σ θθ
Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
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Relazione tra tensioni normali e momenti/4
θ
 dθ
+ν 
M rr = D
r
 dr
dθ 
θ
M θθ = D +ν

r
dr


(
E ⋅ z M rr
1 −ν 2 D
E ⋅ z M θθ
=
1 −ν 2 D
σ rr =
σ θθ
E ⋅ h3
D=
12 1 −ν 2
12 M rr
z
3
h
12 M θθ
=
z
h3
σ rr =
)
θ
E ⋅ z  dθ
ν
+


1 −ν 2  dr
r
E ⋅ z θ
dθ 
ν
=
+


1 −ν 2  r
dr 
σ rr =
σ θθ
σ θθ
Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
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Relazione tra tensioni normali e momenti/5
I valori massimi di tensione si verificano alle superfici inferiore e superiore dello
spessore (z=±h/2). In valore assoluto i valori massimi di tensione sono :
6 M rr
h2
6M
= 2θθ
h
σ rr _ max =
σ θθ _ max
Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Equazioni di equilibrio/1
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Forze e momenti applicati all’elemento di volume:
p
Mθθ
dϕ
Mrr
h
h
r
Q
Q+
dϕ
r
dQ
dr
dr
dM rr
M rr +
dr
dr
dr
Equazioni di equilibrio identicamente soddisfatte:
• Traslazione in direzione radiale e circonferenziale
• Rotazione attorno alla direzione radiale e assiale
Mθθ
dr
ψ
Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Equazioni di equilibrio/2
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Equilibrio in direzione «z» (assiale):
dQ 

dr (r + dr )dϕ − Q ⋅ r ⋅ dϕ − p ⋅ r ⋅ dr ⋅ dϕ = 0
Q +
dr 

p
Mθθ
dϕ
Mrr
h
h
r
Q
Q+
dϕ
r
dQ
dr
dr
dr
dM rr
M rr +
dr
dr
Mθθ
dr
ψ
Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Equazioni di equilibrio/2
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
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Equilibrio in direzione «z» (assiale):
dQ 

dr (r + dr )dϕ − Q ⋅ r ⋅ dϕ − p ⋅ r ⋅ dr ⋅ dϕ = 0
Q +
dr 

dQ
dQ 2
Q ⋅ r ⋅ dϕ +
r ⋅ dr ⋅ dϕ + Q ⋅ dr ⋅ dϕ +
dr ⋅ dϕ − Q ⋅ r ⋅ dϕ − p ⋅ r ⋅ dr ⋅ dϕ = 0
dr
dr
p
Mθθ
dϕ
Mrr
h
h
r
Q
Q+
dϕ
r
dQ
dr
dr
dr
dM rr
M rr +
dr
dr
Mθθ
dr
ψ
Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Equazioni di equilibrio/2
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Equilibrio in direzione «z» (assiale):
Semplificando
dQ 

dr (r + dr )dϕ − Q ⋅ r ⋅ dϕ − p ⋅ r ⋅ dr ⋅ dϕ = 0
Q +
dr 

dQ
dQ 2
Q ⋅ r ⋅ dϕ +
r ⋅ dr ⋅ dϕ + Q ⋅ dr ⋅ dϕ +
dr ⋅ dϕ − Q ⋅ r ⋅ dϕ − p ⋅ r ⋅ dr ⋅ dϕ = 0
dr
dr
p
Mθθ
dϕ
Mrr
h
h
r
Q
Q+
dϕ
r
dQ
dr
dr
dr
dM rr
M rr +
dr
dr
Mθθ
dr
ψ
Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Equazioni di equilibrio/2
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
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Equilibrio in direzione «z» (assiale):
dQ 

dr (r + dr )dϕ − Q ⋅ r ⋅ dϕ − p ⋅ r ⋅ dr ⋅ dϕ = 0
Q +
dr 

Trascurando i termini di
ordine superiore
dQ
dQ 2
r ⋅ dr ⋅ dϕ + Q ⋅ dr ⋅ dϕ +
dr ⋅ dϕ − p ⋅ r ⋅ dr ⋅ dϕ = 0
dr
dr
p
Mθθ
dϕ
Mrr
h
h
r
Q
Q+
dϕ
r
dQ
dr
dr
dr
dM rr
M rr +
dr
dr
Mθθ
dr
ψ
Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Equazioni di equilibrio/2
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
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Equilibrio in direzione «z» (assiale):
dQ 

dr (r + dr )dϕ − Q ⋅ r ⋅ dϕ − p ⋅ r ⋅ dr ⋅ dϕ = 0
Q +
dr 

Dividendo per il fattore
comune
dQ
r ⋅ dr ⋅ dϕ + Q ⋅ dr ⋅ dϕ − p ⋅ r ⋅ dr ⋅ dϕ = 0
dr
p
Mθθ
dϕ
Mrr
h
h
r
Q
Q+
dϕ
r
dQ
dr
dr
dr
dM rr
M rr +
dr
dr
Mθθ
dr
ψ
Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Equazioni di equilibrio/2
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
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Equilibrio in direzione «z» (assiale):
dQ 

dr (r + dr )dϕ − Q ⋅ r ⋅ dϕ − p ⋅ r ⋅ dr ⋅ dϕ = 0
Q +
dr 

dQ
⋅r +Q − p⋅r = 0
dr
p
Mθθ
dϕ
Mrr
h
h
r
Q
Q+
dϕ
r
dQ
dr
dr
dr
dM rr
M rr +
dr
dr
Mθθ
dr
ψ
Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Equazioni di equilibrio/2
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Equilibrio in direzione «z» (assiale):
dQ 

dr (r + dr )dϕ − Q ⋅ r ⋅ dϕ − p ⋅ r ⋅ dr ⋅ dϕ = 0
Q +
dr 

dQ
⋅r +Q − p⋅r = 0
dr
d (Q ⋅ r )
= p⋅r
dr
p
Mθθ
dϕ
Mrr
h
h
r
Q
Q+
dϕ
r
dQ
dr
dr
dr
dM rr
M rr +
dr
dr
Mθθ
dr
ψ
Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Equazioni di equilibrio/3
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Rotazione attorno all’asse circonferenziale «ϕ»:
dM rr 
dQ 
dr 2


dr (r + dr )dϕ − M rr ⋅ r ⋅ dϕ +  Q +
dr (r + dr )dϕ ⋅ dr − p ⋅ r ⋅
⋅ dϕ − M θθ ⋅ dr ⋅ dϕ = 0
 M rr +
dr
dr
2




p
Mθθ
dϕ
Mrr
h
h
r
Q
Q+
dϕ
r
dQ
dr
dr
dr
dM rr
M rr +
dr
dr
Mθθ
dr
ψ
Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Equazioni di equilibrio/3
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Rotazione attorno all’asse circonferenziale «ϕ»:
dM rr 
dQ 
dr 2


dr (r + dr )dϕ − M rr ⋅ r ⋅ dϕ +  Q +
dr (r + dr )dϕ ⋅ dr − p ⋅ r ⋅
⋅ dϕ − M θθ ⋅ dr ⋅ dϕ = 0
 M rr +
dr
dr
2




p
Mθθ
dϕ
Mrr
h
h
r
Q
Q+
dϕ
r
dQ
dr
dr
dr
dM rr
M rr +
dr
dr
Mθθ
dr
ψ
Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Equazioni di equilibrio/3
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Rotazione attorno all’asse circonferenziale «ϕ»:
dM rr 
dQ 
dr 2


dr (r + dr )dϕ − M rr ⋅ r ⋅ dϕ +  Q +
dr (r + dr )dϕ ⋅ dr − p ⋅ r ⋅
⋅ dϕ − M θθ ⋅ dr ⋅ dϕ = 0
 M rr +
dr
dr
2




dϕ r
ψ
dr
Mθθ
dϕ/2
Mθθ
2M θθ ⋅ dr ⋅ sin(
dϕ
) ≈ M θθ ⋅ dr ⋅ dϕ
2
Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Equazioni di equilibrio/3
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Rotazione attorno all’asse circonferenziale «ϕ»:
dM rr 
dQ 
dr 2


dr (r + dr )dϕ − M rr ⋅ r ⋅ dϕ +  Q +
dr (r + dr )dϕ ⋅ dr − p ⋅ r ⋅
⋅ dϕ − M θθ ⋅ dr ⋅ dϕ = 0
 M rr +
dr
dr
2




dM rr
dM rr 2
r ⋅ dr ⋅ dϕ + M rr ⋅ dr ⋅ dϕ +
dr ⋅ dϕ − M rr ⋅ r ⋅ dϕ +
dr
dr
dQ
dQ 3
dr 2
2
2
⋅ dϕ − M θθ ⋅ dr ⋅ dϕ = 0
Q ⋅ r ⋅ dr ⋅ dϕ +
r ⋅ dr ⋅ dϕ + Q ⋅ dr ⋅ dϕ +
dr ⋅ dϕ − p ⋅ r ⋅
dr
dr
2
M rr ⋅ r ⋅ dϕ +
p
Mθθ
dϕ
Mrr
h
h
r
Q
Q+
dϕ
r
dQ
dr
dr
dr
dM rr
M rr +
dr
dr
Mθθ
dr
ψ
Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Equazioni di equilibrio/3
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Anno acacdemico 2013-14
Rotazione attorno all’asse circonferenziale «ϕ»:
dM rr 
dQ 
dr 2


dr (r + dr )dϕ − M rr ⋅ r ⋅ dϕ +  Q +
dr (r + dr )dϕ ⋅ dr − p ⋅ r ⋅
⋅ dϕ − M θθ ⋅ dr ⋅ dϕ = 0
 M rr +
dr
dr
2




dM rr
dM rr 2
r ⋅ dr ⋅ dϕ + M rr ⋅ dr ⋅ dϕ +
dr ⋅ dϕ − M rr ⋅ r ⋅ dϕ +
Semplificando
dr
dr
dQ
dQ 3
dr 2
2
2
⋅ dϕ − M θθ ⋅ dr ⋅ dϕ = 0
Q ⋅ r ⋅ dr ⋅ dϕ +
r ⋅ dr ⋅ dϕ + Q ⋅ dr ⋅ dϕ +
dr ⋅ dϕ − p ⋅ r ⋅
dr
dr
2
M rr ⋅ r ⋅ dϕ +
p
Mθθ
dϕ
Mrr
h
h
r
Q
Q+
dϕ
r
dQ
dr
dr
dr
dM rr
M rr +
dr
dr
Mθθ
dr
ψ
Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Equazioni di equilibrio/3
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
Rotazione attorno all’asse circonferenziale «ϕ»:
dM rr 
dQ 
dr 2


dr (r + dr )dϕ − M rr ⋅ r ⋅ dϕ +  Q +
dr (r + dr )dϕ ⋅ dr − p ⋅ r ⋅
⋅ dϕ − M θθ ⋅ dr ⋅ dϕ = 0
 M rr +
dr
dr
2




Trascurando i termini di
dM rr
dM rr 2
r ⋅ dr ⋅ dϕ + M rr ⋅ dr ⋅ dϕ +
dr ⋅ dϕ +
ordine superiore
dr
dr
dQ
dQ 3
dr 2
2
2
⋅ dϕ − M θθ ⋅ dr ⋅ dϕ = 0
Q ⋅ r ⋅ dr ⋅ dϕ +
r ⋅ dr ⋅ dϕ + Q ⋅ dr ⋅ dϕ +
dr ⋅ dϕ − p ⋅ r ⋅
dr
dr
2
p
Mθθ
dϕ
Mrr
h
h
r
Q
Q+
dϕ
r
dQ
dr
dr
dr
dM rr
M rr +
dr
dr
Mθθ
dr
ψ
Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Equazioni di equilibrio/3
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
Rotazione attorno all’asse circonferenziale «ϕ»:
dM rr 
dQ 
dr 2


dr (r + dr )dϕ − M rr ⋅ r ⋅ dϕ +  Q +
dr (r + dr )dϕ ⋅ dr − p ⋅ r ⋅
⋅ dϕ − M θθ ⋅ dr ⋅ dϕ = 0
 M rr +
dr
dr
2




Dividendo per il fattore
comune
dM rr
r ⋅ dr ⋅ dϕ + M rr ⋅ dr ⋅ dϕ + Q ⋅ r ⋅ dr ⋅ dϕ − M θθ ⋅ dr ⋅ dϕ = 0
dr
p
Mθθ
dϕ
Mrr
h
h
r
Q
Q+
dϕ
r
dQ
dr
dr
dr
dM rr
M rr +
dr
dr
Mθθ
dr
ψ
Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Equazioni di equilibrio/3
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
Rotazione attorno all’asse circonferenziale «ϕ»:
dM rr 
dQ 
dr 2


dr (r + dr )dϕ − M rr ⋅ r ⋅ dϕ +  Q +
dr (r + dr )dϕ ⋅ dr − p ⋅ r ⋅
⋅ dϕ − M θθ ⋅ dr ⋅ dϕ = 0
 M rr +
dr
dr
2




dM rr
r + M rr + Q ⋅ r − M θθ = 0
dr
p
Mθθ
dϕ
Mrr
h
h
r
Q
Q+
dϕ
r
dQ
dr
dr
dr
dM rr
M rr +
dr
dr
Mθθ
dr
ψ
Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Equazioni di equilibrio/3
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
Rotazione attorno all’asse circonferenziale «ϕ»:
dM rr 
dQ 
dr 2


dr (r + dr )dϕ − M rr ⋅ r ⋅ dϕ +  Q +
dr (r + dr )dϕ ⋅ dr − p ⋅ r ⋅
⋅ dϕ − M θθ ⋅ dr ⋅ dϕ = 0
 M rr +
dr
dr
2




dM rr
r + M rr + Q ⋅ r − M θθ = 0
dr
M θθ −
d (M rr ⋅ r )
= Q⋅r
dr
p
Mθθ
dϕ
Mrr
h
h
r
Q
Q+
dϕ
r
dQ
dr
dr
dr
dM rr
M rr +
dr
dr
Mθθ
dr
ψ
Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Equazioni risolventi/1
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
M θθ −
d (M rr ⋅ r )
= Q⋅r
dr
θ
 dθ
+ν 
M rr = D
r
 dr
dθ 
θ
M θθ = D +ν

dr 
r
Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Equazioni risolventi/1
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
M θθ −
d (M rr ⋅ r )
= Q⋅r
dr
θ
 dθ
+ν 
M rr = D
r
 dr
dθ 
θ
M θθ = D +ν

dr 
r
dθ 
d  dθ

θ
D + ν
−
D
r +νθ  = Q ⋅ r


dr 
dr  dr

r
Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Equazioni risolventi/1
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
M θθ −
d (M rr ⋅ r )
= Q⋅r
dr
θ
 dθ
+ν 
M rr = D
r
 dr
dθ 
θ
M θθ = D +ν

dr 
r
dθ 
d  dθ

θ
D + ν
−
D
r +νθ  = Q ⋅ r


dr 
dr  dr

r
dθ  d  dθ
 Q⋅r
θ
r +νθ  =
− 
 +ν
dr  dr  dr
D

r
θ
dθ d 2θ
dθ
dθ Q ⋅ r
+ν
− 2 r−
−ν
=
r
dr dr
dr
dr
D
Semplificando
Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Equazioni risolventi/1
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
M θθ −
d (M rr ⋅ r )
= Q⋅r
dr
θ
 dθ
+ν 
M rr = D
r
 dr
dθ 
θ
M θθ = D +ν

dr 
r
dθ 
d  dθ

θ
D + ν
−
D
r +νθ  = Q ⋅ r


dr 
dr  dr

r
dθ  d  dθ
 Q⋅r
θ
r + νθ  =
− 
 +ν
dr  dr  dr
D

r
θ
dθ d 2θ
dθ
dθ Q ⋅ r
+ν
− 2 r−
−ν
=
r
dr dr
dr
dr
D
d 2θ
dθ θ
Q⋅r
+
−
=
−
r
dr 2
dr r
D
Dividendo per «r»
Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Equazioni risolventi/1
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
M θθ −
d (M rr ⋅ r )
= Q⋅r
dr
θ
 dθ
+ν 
M rr = D
r
 dr
dθ 
θ
M θθ = D +ν

dr 
r
dθ 
d  dθ

θ
D + ν
−
D
r +νθ  = Q ⋅ r


dr 
dr  dr

r
dθ  d  dθ
θ
 Q⋅r
r +νθ  =
 +ν
− 
dr  dr  dr
D
r

θ
dθ Q ⋅ r
dθ d 2θ
dθ
+ν
− 2 r−
−ν
=
dr
D
r
dr dr
dr
d 2θ
dθ θ
Q⋅r
r
+
−
=
−
D
dr 2
dr r
d 2θ 1 dθ θ
Q
−
=
−
+
La relazione può essere scritta come segue
dr 2 r dr r 2
D
Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Equazioni risolventi/1
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M θθ −
d (M rr ⋅ r )
= Q⋅r
dr
θ
 dθ
+ν 
M rr = D
r
 dr
dθ 
θ
M θθ = D +ν

dr 
r
dθ 
d  dθ

θ
D + ν
−
D
r +νθ  = Q ⋅ r


dr 
dr  dr

r
dθ  d  dθ
θ
 Q⋅r
r +νθ  =
 +ν
− 
dr  dr  dr
D
r

θ
dθ d 2θ
dθ
dθ Q ⋅ r
+ν
− 2 r−
−ν
=
r
dr dr
dr
dr
D
Q⋅r
d 2θ
dθ θ
−
=
−
+
r
dr r
D
dr 2
d 2θ 1 dθ θ
Q
+
−
=
−
dr 2 r dr r 2
D
d 1 d
Q

(
)
θ
⋅
r
=
−

dr  r dr
D
Relazione 1
Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
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Equazioni risolventi/2
Volendo una relazione nella quale compaia esplicitamente il carico esterno
d 1 d
Q

(
)
θ
⋅
r
=
−

dr  r dr
D
Moltiplicando per «r»
Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
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Equazioni risolventi/2
Volendo una relazione nella quale compaia esplicitamente il carico esterno
d 1 d
Q

(
)
θ
⋅
r
=
−

dr  r dr
D
r
d 1 d
Q⋅r

(
)
θ
⋅
r
=
−

dr  r dr
D
Derivando rispetto a «r»
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Equazioni risolventi/2
Volendo una relazione nella quale compaia esplicitamente il carico esterno
d 1 d
Q

(
)
θ
r
⋅
=
−

dr  r dr
D

r
d 1 d
Q⋅r

(
)
θ
r
⋅
=
−

dr  r dr
D

d  d 1 d
1 d (Q ⋅ r )

(
)
θ
r
r
=
−
⋅


dr  dr  r dr
D dr

1° equazione di equilibrio
d (Q ⋅ r )
= p⋅r
dr
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Equazioni risolventi/2
Volendo una relazione nella quale compaia esplicitamente il carico esterno
d 1 d
Q

(
)
θ
r
⋅
=
−

dr  r dr
D
r
d 1 d
Q⋅r

(
)
θ
r
⋅
=
−

dr  r dr
D

d  d 1 d
1 d (Q ⋅ r )

(
)
θ
r
r
=
−
⋅


dr  dr  r dr
D dr

Relazione 2
1° equazione di equilibrio
d  d 1 d
p⋅r

(
)
θ
r
r
=
−
⋅

 
dr  dr  r dr
D

d (Q ⋅ r )
= p⋅r
dr
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Equazioni risolventi/3
Volendo una relazione nella quale compaia esplicitamente il carico esterno
Relazione 1
d 1 d
Q

(
)
θ
r
=
−
⋅

dr  r dr
D

Relazione 2
d  d 1 d
(θ ⋅ r )  = − p ⋅ r
r 
dr  dr  r dr
D

Equazioni risolvente 1
Equazioni risolvente 2
θ =−
d  1 d  dw  Q
 =
r
dr  r dr  dr  D
d  d  1 d  dw   p ⋅ r
 =
r
r
dr  dr  r dr  dr  
D
dw
dr
Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
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Momenti e tensioni in funzione della w(r)
 d 2w
1 dw 
θ
 dθ


M rr = D
+ ν  = − D 2 + ν
r
r dr 
 dr
 dr
 1 dw
dθ 
d 2w 
θ
M θθ = D +ν
+ν 2 
 = − D
dr 
dr 
r
 r dr
1 dw 
θ
E ⋅ z  dθ
E ⋅ z  d 2w


σ rr =
ν
ν
=
−
+
+


2
2 
2
1 −ν  dr
1 −ν  dr
r
r dr 
E ⋅ z θ
dθ 
E ⋅ z  1 dw
d 2w 

+ν 2 
σ θθ =
+ν
=−
2 
2 
1 −ν  r
dr 
1 −ν  r dr
dr 
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Integrali generali/1
Le principali condizioni che possono verificarsi in pratica sono:
• piastra libera da carichi
• piastra soggetta a pressione uniforme p0
• piastra soggetta a carico costante P0
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Integrali generali/1
Le principali condizioni che possono verificarsi in pratica sono:
• piastra libera da carichi
• piastra soggetta a pressione uniforme p0
• piastra soggetta a carico costante P0
Piastra libera da carichi
Equazioni risolvente 1 Q = 0
d  1 d  dw 
 = 0
r

dr  r dr  dr 
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Integrali generali/1
Le principali condizioni che possono verificarsi in pratica sono:
• piastra libera da carichi
• piastra soggetta a pressione uniforme p0
• piastra soggetta a carico costante P0
Piastra libera da carichi
Equazioni risolvente 1 Q = 0
1 d  dw 
 =C 1
r
r dr  dr 
d  1 d  dw 
 = 0
r

dr  r dr  dr 
Integrando
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Integrali generali/1
Le principali condizioni che possono verificarsi in pratica sono:
• piastra libera da carichi
• piastra soggetta a pressione uniforme p0
• piastra soggetta a carico costante P0
Piastra libera da carichi
Equazioni risolvente 1 Q = 0
1 d  dw 
 =C 1
r
r dr  dr 
d  dw 
 = C1 ⋅ r
r
dr  dr 
d  1 d  dw 
 = 0
r

dr  r dr  dr 
Moltiplicando per «r»
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Anno acacdemico 2013-14
Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Integrali generali/1
Le principali condizioni che possono verificarsi in pratica sono:
• piastra libera da carichi
• piastra soggetta a pressione uniforme p0
• piastra soggetta a carico costante P0
Piastra libera da carichi
Equazioni risolvente 1 Q = 0
1 d  dw 
 =C 1
r
r dr  dr 
d  dw 
 = C1 ⋅ r
r
dr  dr 
dw
r2
r
= C1 ⋅ + C2
dr
2
Integrando
d  1 d  dw 
 = 0
r

dr  r dr  dr 
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
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Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Integrali generali/1
Le principali condizioni che possono verificarsi in pratica sono:
• piastra libera da carichi
• piastra soggetta a pressione uniforme p0
• piastra soggetta a carico costante P0
Piastra libera da carichi
Equazioni risolvente 1 Q = 0
1 d  dw 
 =C 1
r
r dr  dr 
d  1 d  dw 
 = 0
r

dr  r dr  dr 
d  dw 
 = C1 ⋅ r
r
dr  dr 
dw
r2
r
= C1 ⋅ + C2
dr
2
dw
r C
= C1 ⋅ + 2
dr
2 r
Dividendo per «r»
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Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Integrali generali/1
Le principali condizioni che possono verificarsi in pratica sono:
• piastra libera da carichi
• piastra soggetta a pressione uniforme p0
• piastra soggetta a carico costante P0
Piastra libera da carichi
Equazioni risolvente 1 Q = 0
1 d  dw 
 =C 1
r
r dr  dr 
d  1 d  dw 
 = 0
r

dr  r dr  dr 
d  dw 
 = C1 ⋅ r
r
dr  dr 
dw
r2
r
= C1 ⋅ + C2
dr
2
dw
r C
Integrando
= C1 ⋅ + 2
dr
2 r
r2
r
w(r ) = C1 ⋅ + C2 ln  + C3
4
R
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Anno acacdemico 2013-14
Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Integrali generali/1
Le principali condizioni che possono verificarsi in pratica sono:
• piastra libera da carichi
• piastra soggetta a pressione uniforme p0
• piastra soggetta a carico costante P0
Piastra libera da carichi
Equazioni risolvente 1 Q = 0
1 d  dw 
 =C 1
r
r dr  dr 
d  dw 
 = C1 ⋅ r
r
dr  dr 
dw
r2
r
= C1 ⋅ + C2
dr
2
dw
r C
= C1 ⋅ + 2
dr
2 r
r2
r
w(r ) = C1 ⋅ + C2 ln  + C3
4
R
d  1 d  dw 
 = 0
r

dr  r dr  dr 
r2
r
w(r ) = C1 ⋅ + C2 ln  + C3
4
R
dw(r )
r C
= C1 ⋅ + 2
2 r
dr
d 2 w(r )
C2
=
C
−
1
dr 2
r2
Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Integrali generali/2
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
Piastra soggetta a pressione uniforme p0
r
Q ⋅ 2π ⋅ r = p0 ⋅ π ⋅ r 2
Q=
p
p0 ⋅ r
2
Q
Equazioni risolvente 1
d  1 d  dw  p0 r
 =
r

dr  r dr  dr  2 D
Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Integrali generali/2
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
Piastra soggetta a pressione uniforme p0
d  1 d  dw  p0 r
 =
r
dr  r dr  dr  2 D
1 d  dw  p0 r 2
+ C1
=
r
r dr  dr  4 D
Integrando
Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Integrali generali/2
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
Piastra soggetta a pressione uniforme p0
d  1 d  dw  p0 r
 =
r
dr  r dr  dr  2 D
1 d  dw  p0 r 2
+ C1
=
r
r dr  dr  4 D
d  dw  p0 r 3
+ C1r
=
r
dr  dr  4 D
Moltiplicando per «r»
Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Integrali generali/2
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
Piastra soggetta a pressione uniforme p0
d  1 d  dw  p0 r
 =
r
dr  r dr  dr  2 D
1 d  dw  p0 r 2
+ C1
=
r
r dr  dr  4 D
d  dw  p0 r 3
+ C1r
=
r
dr  dr  4 D
dw p0 r 4
r2
r
=
+ C1 + C2
2
dr 16 D
Integrando
Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Integrali generali/2
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
Piastra soggetta a pressione uniforme p0
d  1 d  dw  p0 r
 =
r
dr  r dr  dr  2 D
1 d  dw  p0 r 2
+ C1
=
r
r dr  dr  4 D
d  dw  p0 r 3
+ C1r
=
r
dr  dr  4 D
dw p0 r 4
r2
r
=
+ C1 + C2
dr 16 D
2
dw p0 r 3
r C
=
+ C1 + 2
2 r
dr 16 D
Dividendo per «r»
Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Integrali generali/2
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
Piastra soggetta a pressione uniforme p0
d  1 d  dw  p0 r
 =
r
dr  r dr  dr  2 D
1 d  dw  p0 r 2
+ C1
=
r
r dr  dr  4 D
d  dw  p0 r 3
+ C1r
=
r
dr  dr  4 D
dw p0 r 4
r2
r
=
+ C1 + C2
dr 16 D
2
dw p0 r 3
r C
Integrando
=
+ C1 + 2
dr 16 D
2 r
p0 r 4
r2
r
w(r ) =
+ C1 + C2 ln  + C3
64 D
4
R
Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Integrali generali/2
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
Piastra soggetta a pressione uniforme p0
d  1 d  dw  p0 r
 =
r
dr  r dr  dr  2 D
1 d  dw  p0 r 2
+ C1
=
r
r dr  dr  4 D
d  dw  p0 r 3
+ C1r
=
r
dr  dr  4 D
dw p0 r 4
r2
r
=
+ C1 + C2
dr 16 D
2
dw p0 r 3
r C
=
+ C1 + 2
dr 16 D
2 r
p0 r 4
r2
r
w(r ) =
+ C1 + C2 ln  + C3
64 D
4
R
p0 r 4
r2
r
w(r ) =
+ C1 ⋅ + C2 ln  + C3
64 D
4
R
dw(r ) p0 r 3
r C
=
+ C1 ⋅ + 2
16 D
2 r
dr
d 2 w(r ) 3 p0 r 2 C1 C2
=
+ − 2
2
dr
16 D
2 r
Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Integrali generali/3
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
Piastra soggetta a carico costante P0
Q ⋅ 2π ⋅ r = P0
Q=
Risultante = P0
P0
2π ⋅ r
Q
Equazioni risolvente 1
P0
d  1 d  dw 
=
r


dr  r dr  dr  2πD ⋅ r
r
Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Integrali generali/3 Piastra soggetta a carico costante P0
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
P0
d  1 d  dw 
r
=


dr  r dr  dr  2πD ⋅ r
P0
1 d  dw 
r
ln
r
=

  + C1

r dr  dr  2πD  R 
Integrando
Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Integrali generali/3 Piastra soggetta a carico costante P0
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
P0
d  1 d  dw 
r
=


dr  r dr  dr  2πD ⋅ r
P0
1 d  dw 
r
ln
r
=

  + C1

r dr  dr  2πD  R 
P0
d  dw 
r
ln
r
r
=
  + C1 ⋅ r


dr  dr  2πD
R
Moltiplicando per «r»
Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Integrali generali/3 Piastra soggetta a carico costante P0
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
P0
d  1 d  dw 
r
=


dr  r dr  dr  2πD ⋅ r
P0
1 d  dw 
r
ln  + C1
r
=


r dr  dr  2πD  R 
P0
d  dw 
r
ln
r
r
=


  + C1 ⋅ r
dr  dr  2πD
R
P0 2  r 
P0 2
r2
dw
r + C1 ⋅ + C2
r
r ln  −
=
16
2
R
D
dr 4πD
π
 
Integrando
Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Integrali generali/3 Piastra soggetta a carico costante P0
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
P0
d  1 d  dw 
r
=


dr  r dr  dr  2πD ⋅ r
P0
1 d  dw 
r
r
ln  + C1
=


r dr  dr  2πD  R 
P0
d  dw 
r
ln
r
=
r


  + C1 ⋅ r
dr  dr  2πD
R
P0 2  r 
P0 2
dw
r2
r
r ln  −
r + C1 ⋅ + C2
=
dr 4πD
R
16
D
2
π
 
P
P
r C
dw
r
= 0 r ln  − 0 r + C1 ⋅ + 2
2 r
dr 4πD
 R  16πD
Dividendo per «r»
Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Integrali generali/3 Piastra soggetta a carico costante P0
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
P0
d  1 d  dw 
r
=


dr  r dr  dr  2πD ⋅ r
P0
1 d  dw 
r
ln
r
=
  + C1

r dr  dr  2πD  R 
P0
d  dw 
r
ln
r
r
=

  + C1 ⋅ r

dr  dr  2πD
R
P0 2  r 
P0 2
dw
r2
r
r ln  −
r + C1 ⋅ + C2
=
16
2
dr 4πD
R
D
π
 
P
P
dw
r C
r
= 0 r ln  − 0 r + C1 ⋅ + 2
Integrando
16
2
dr 4πD
R
D
r
π
 
P0 2
P0 2
P0 2  r 
r2
r
w(r ) =
r ln  −
r −
r + C1 ⋅ + C2 ln  + C3
8πD
32πD
4
R
 R  32πD
Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Integrali generali/3 - Piastra soggetta a carico costante P0
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
P0
d  1 d  dw 
r
=


dr  r dr  dr  2πD ⋅ r
P0
1 d  dw 
r
ln
r
=
  + C1

r dr  dr  2πD  R 
P0
d  dw 
r
ln
r
r
=

  + C1 ⋅ r

dr  dr  2πD
R
P0 2
P0 2  r 
dw
r2
r ln  −
r + C1 ⋅ + C2
r
=
16
2
R
D
dr 4πD
π
 
P
P
dw
r C
r
= 0 r ln  − 0 r + C1 ⋅ + 2
dr 4πD
2 r
 R  16πD
P0 2  r 
P0 2
P0 2
r2
r
w(r ) =
r ln  −
r −
r + C1 ⋅ + C2 ln  + C3
8πD
32πD
4
R
 R  32πD
P0 2
P0 2  r 
r2
r
w(r ) =
r ln  −
r + C1 ⋅ + C2 ln  + C3
8πD
4
R
 R  16πD
Semplificando
Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Integrali generali/3 - Piastra soggetta a carico costante P0
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
P0
d  1 d  dw 
r
=


dr  r dr  dr  2πD ⋅ r
P0
1 d  dw 
r
ln
r
=
  + C1

r dr  dr  2πD  R 
P0
d  dw 
r
ln
r
r
=

  + C1 ⋅ r

dr  dr  2πD
R
P0 2
P0 2  r 
dw
r2
r ln  −
r + C1 ⋅ + C2
r
=
16
2
R
D
dr 4πD
π
 
P
P
dw
r C
r
= 0 r ln  − 0 r + C1 ⋅ + 2
dr 4πD
2 r
 R  16πD
P0 2  r 
P0 2
P0 2
r2
r
w(r ) =
r ln  −
r −
r + C1 ⋅ + C2 ln  + C3
8πD
32πD
4
R
 R  32πD
P0 2
P0 2  r 
r2
r
w(r ) =
r ln  −
r + C1 ⋅ + C2 ln  + C3
8πD
4
R
 R  16πD
P0 2  r 
r2
r
w(r ) =
r ln  + C1 ⋅ + C2 ln  + C3
8πD
4
R
R
Conglobando in C1
Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Integrali generali/3
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
Piastra soggetta a carico costante P0
P0
d  1 d  dw 
r
=


dr  r dr  dr  2πD ⋅ r
P0 2  r 
r2
r
w(r ) =
r ln  + C1 ⋅ + C2 ln  + C3
8πD
4
R
R
P
dw(r )
r C
r P
= 0 r ln  + 0 r + C1 ⋅ + 2
dr
4πD
2 r
 R  8πD
P0
d 2 w(r )
 r  3P0 C1 C2
ln
+ −
=
 +
dr 2
4πD  R  8πD 2 r 2
Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Condizioni al contorno/1
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
Tipiche CC
R0
(a)
w( R) = 0
Incastro
R0
w( R0 ) = 0
Appoggio
(b)
(c)
 dw(r ) 
=0


 dr  r =R0
 d 2 w(r ) ν dw(r ) 


+
=0
2
r
dr
dr

 r =R0
Asse simmetria
 dw(r ) 
 =0

 dr  r =0
Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Condizioni al contorno/2
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
Tipiche CC
(d) R
0
1
(e)
R0
2
Estremo libero
al raggio R0
Confine tra
piastre diverse
al raggio R0
w1 ( R0 ) = w2 ( R0 )
 dw (r ) 
 dw1 (r ) 
= 2 


 dr  r = R0  dr  r = R0
Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Piastra circolare incastrata al bordo soggetta a pressione uniforme p0/1
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
p
R
p0 r 4
r2
r
w(r ) =
+ C1 ⋅ + C2 ln  + C3
64 D
4
R

w(R ) = 0

 dw(r ) 
CC 
 =0
 r  r = R
 dw(r ) 
 r  = 0
 r =0

dw(r ) p0 r 3
r C
=
+ C1 ⋅ + 2
16 D
2 r
dr
 p0 R 4

p0 R 2
R2
+ C1 ⋅
+ C3 = 0 C1 = −

4
8D
 64 D3

R C
p R

CC  0 + C1 ⋅ + 2 = 0 → C2 = 0
2 R
 16 D

4
p
R
C
 2 =0
C = 0
 0
 3 64 D
Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Piastra circolare incastrata al bordo soggetta a pressione uniforme p0/2
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
p
R = 1.5 m p0 = 1500 Pa h = 15 mm
R
p0 r 4 p0 R 2 2 p0 R 4
r +
w(r ) =
−
64 D 32 D
64 D
2
p
w(r ) = 0 R 2 − r 2
64 D
(
wmax
p0 R 4
= w(0) =
64 D
)
E = 210000 MPa ν = 0.3
Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Piastra circolare incastrata al bordo soggetta a pressione uniforme p0/2
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
p
R
dw p0 r 3 p0 R 2
=
−
r
dr 16 D 16 D
d 2 w 3 p0 r 2 p0 R 2
=
−
dr 2
16 D 16 D
 d 2w
1 dw   (1 +ν ) p0 R 2 (3 +ν ) p0 r 2 
 = 
−
M rr = − D 2 +ν

dr
r
dr
16
16

 

 1 dw
d 2 w   (1 +ν ) p0 R 2 (1 + 3ν ) p0 r 2 
+ν 2  = 
−
M θθ = − D

r
dr
dr
16
16

 

(
1 + ν ) p0 R 2
M rr (0 ) = M θθ (0 ) =
16
p0 R 2
M max = M rr (R ) =
8
Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Piastra circolare incastrata al bordo soggetta a pressione uniforme p0/3
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
p
R
6M rr (r )
h2
6 M θθ (r )
Valori massimi sullo spessore
σ θθ _ max (r ) =
h2
σ id (r ) = max σ rr _ max , σ θθ _ max
σ rr _ max (r ) =
(
σ id _ max
3 p0 R 2
=
4 ⋅ h2
)
Valore massimo sull’intera piastra
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Piastra circolare appoggiata e caricata con momento radiale M0 al bordo
esterno/1
R

M0
w(R ) = 0


CC M rr (R ) = M 0

 dw(r ) 
 r  = 0
 r =0

r2
r
w(r ) = C1 ⋅ + C2 ln  + C3
4
R
dw(r )
r C
= C1 ⋅ + 2


dr
2 r
2M 0
R2
=
−
C
0
C
⋅
+
C
=
3
 1
 1
d 2 w(r ) C1 C2
(1 +ν )D
4


=
−
C
C 
 C C

dr 2
2 r2
CC − D 1 − 22 +ν ⋅ 1 +ν 22  = M 0 → C2 = 0
2
R 

  2 R
M 0R2

 C2
C3 = 2(1 +ν )D
 0 =0


Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
Piastra circolare appoggiata e caricata con momento radiale M0 al bordo
esterno/1
R
M0
R = 1.5 m p0 = 1500 Pa h = 15 mm
E = 210000 MPa ν = 0.3 M 0 = 150
w(r ) = −
wmax
N ⋅m
m
(
M0
M0
M0
r2 +
R2 =
R2 − r 2
2(1 +ν )D
2(1 +ν )D
2(1 +ν )D
M 0R2
=
2(1 +ν )D
)
Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
Piastra circolare appoggiata e caricata con momento radiale M0 al bordo
esterno/1
R
M0
M0
dw
=−
r
(1 +ν )D
dr
M0
d 2w
=
−
(1 +ν )D
dr 2
 d 2w
M0 
1 dw   M 0
 = 
+ν
M rr = − D 2 +ν
 = M0
(
)
(
)
+
+
dr
r
dr
1
1
ν
ν


 
M θθ
 1 dw
d 2w 
= − D
+ν 2  = M 0
r
dr
dr 

Momenti (e tensioni) costanti
su tutta la piastra
Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Piastra circolare appoggiata al bordo soggetta a pressione uniforme p0/1
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
p
R
Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Piastra circolare appoggiata al bordo soggetta a pressione uniforme p0/1
R
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
p
=
(p∙R2)/8
p
R
+
(p∙R2)/8
R
Sovrapposizione di due problemi
di cui si conosce la soluzione
Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Piastra circolare appoggiata al bordo soggetta a pressione uniforme p0/1
R
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
p
(
p
w(r ) = 0 R 2 − r 2
64 D
(
p0 R 2
R2 − r 2
w(r ) =
16(1 + ν )D
)
2
(
)
(
p0
p0 R 2
2
2 2
w(r ) =
R −r +
R2 − r 2
64 D
16(1 +ν )D
 (1 +ν ) p0 R 2 (3 +ν ) p0 r 2  p0 R 2
−
M rr = 
+
16
16
8


M θθ
 (1 +ν ) p0 R 2 (1 + 3ν ) p0 r 2  p0 R 2
=
−
+
16
16
8


)
)
Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Piastra circolare appoggiata al bordo soggetta a pressione uniforme p0/1
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
p
M θθ _ max
p0 R 2  3 + ν 
=


8  2 
σ id _ max
3 p0 R 2  3 + ν 
=


4 ⋅ h2  2 
 3 +ν 
 = 1.65

2


R
p0 R 4  5 + ν 
wmax =


64 D  1 + ν 
 5 +ν 
 = 4.07

 1 +ν 
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Piastra circolare incastrata al bordo con rinforzo centrale rigido soggetto a
carico P0/1
P0

w(R ) = 0

 dw(r ) 
CC 
 =0
 r  r = R
R
R0
 dw(r ) 
=0


2
P0 2  r 
r
r
 r  r = R0
w(r ) =
r ln  + C1 ⋅ + C2 ln  + C3
8πD
4
R
R
P
dw(r )
r C
r P
= 0 r ln  + 0 r + C1 ⋅ + 2
dr
4πD
2 r
 R  8πD

R2
+ C3 = 0
C1 ⋅
4

R C
 P
CC  0 R + C1 ⋅ + 2 = 0
2 R
 8πD
R0 C2
 P0
 R0  P0
R
R
C
ln
+
+
⋅
+
=0
1
 4πD 0  R  8πD 0
2 R0
 

Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Corso di “Costruzione di Apparecchiature Chimiche”
Anno acacdemico 2013-14
Piastra circolare incastrata al bordo con rinforzo centrale rigido soggetto a
carico P0/1
P0
R0
P0
R02
C1 =
4πD R02 − R 2
R
 R 2 − R02
 R0 
− 2 ⋅ ln 

2
R
 R 
0

P0 R 2
P0 R 2 R02  R 2 − R02
 R0 
C2 = −
−
−
⋅
2
ln
 
2
2 
2
8πD 8πD R0 − R  R0
 R 
P0
R02 R 2  R 2 − R02
 R0 
C3 = −
−
⋅
2
ln
 

16πD R02 − R 2  R02
 R 