Circuiti LC

Circuiti RLC
RIASSUNTO:
• L(r)C serie:
• impedenza Z(ω)
•Q valore
• risposta in frequenza
•L(r)C parallelo
• Circuiti risonanti
• Circuiti anti-risonanti
1
Circuito LrC in serie
• I circuiti LC presentano caratteristiche interessanti. Ad esempio,
ponendo un condensatore, un’induttanza (con resistenza interna r) in
serie si ha:
1
Z = r + jωL +
jωC
1 

Z = r +  ωL −

ωC 

1
ωL −
ωC
tan ϕ =
r
2
2
2
Comportamento capacitivo
• Per frequenze basse ω < ω0 =
1
LC
la parte immaginaria
dell’impedenza (reattanza) è negativa.
• La corrente è pertanto in anticipo sulla tensione:
3
Comportamento induttivo
ω > ω0 =
1
LC
• Per frequenze alte
la parte immaginaria
dell’impedenza è positiva: si ha allora un comportamento induttivo.
• La corrente è in ritardo rispetto alla tensione:
4
LrC
Il circuito e’ descritto da (r,L,C). Introduciamo una terna di parametri
ωL
1
1 L
equivalenti:(r,ω0,Q), dove: ω0 = 1
Q= 0 =
=
 ω ω0 
tan ϕ = Q − 
 ω0 ω 
LC
r
ω0 rC
r C
2


2
2
2




ω ω
1 
1

 ωL 1 
2 ω
 =r 1+ Q2  − 0 
Z = r 2 + ωL −  = r 1+  −
 = r 1+ Q  −
ωC 
 Qr ωQrC

 r ωrC 
 ω0 ω 


 L

V
I = 0 = I 0 e − jϕ
Z
VL
V0
r − jϕ
V0
Vr = V0
e =
e − jϕ
2
|Z |
ω ω 
1 + Q 2  − 0 
Vr
 ω0 ω 
2
VC
1
V
< Pr >T = | I 0 || Vr |= 0
2
2r
1
ω0 
2 ω

1 + Q  − 
 ω0 ω 
2
5
RLC
ω = ω0 =
1
LC
•In corrispondenza della frequenza
le reattanze della capacità e dell’induttanza si elidono.
L’impedenza complessiva è reale (e di modulo minimo) ed uguale
alla resistenza interna della bobina.
1
j ωC − j ϕ
VC = V0
e =
|Z|
VL = V0
j ωL − j ϕ
e
|Z |
V0
ωrC
π
2
e
− j (ϕ + )
2
ω
= 0
ω
π
V0Q
2
e
− j (ϕ + )
2
ω ω 
ω ω 
1 + Q 2  − 0 
1 + Q 2  − 0 
 ω0 ω 
 ω0 ω 
L
V0ω
π
π
− j (ϕ − )
− j (ϕ − )
V0Q
ω
r
2
2
=
e
=
e
2
2
ω0
ω ω 
ω0 
2 ω
1 + Q  − 
1 + Q 2  − 0 
 ω0 ω 
 ω0 ω 
Le cadute di potenziale ai capi rispettivamente dell’induttanza e della
capacità sono (non nulle) di modulo uguale e in opposizione di fase,
tali da dare una somma nulla.
6
φ
RLC
Vr/V0
ω/ω0
ω/ω0
<Pr>T 2r/V02
ω/ω0
7
RLC
• Ai capi della resistenza ritroviamo la stessa tensione V0 del generatore solo alla
pulsazione di “risonanza”.
• Il circuito e’ un passa “banda”: attenua le frequenze maggiori e minori della
frequenza di risonanza. La “banda” passante si definisce [ω1,ω2] tali per cui:
V0
Vr (ω1, 2 ) =
2
ovvero
• Si trova:
1
1
ω1 1 
=  4 + 2 − 
Q
Q
ω0 2 
ω2 − ω1 1
=
Q
ω0
 ω ω0 
Q −  = ±1
 ω0 ω 
1
1
ω2 1 
=  4 + 2 + 
Q
Q
ω0 2 
1
ω 2 (ω2 + ω1 )
1
=
= 1+
ω0
ω0
4Q 2
N.B.: non simmetrica
Q (fattore di merito) =
Energia massima immagazzinata alla freq. di risonanza
(in C o L) / (2 π * energia dissipata in un periodo da r)
1
2
2
CVC
CV0 Q 2
1
Q
2
= 2
=
ω0 rCQ 2 =
2
2π
2π
1 Vr
V0 2π
T
2 r
r ω0
8
Z: Grafici del modulo e della fase
Andamento del modulo e della fase dell’impedenza in funzione di ω
L = 0.4 H
C = 10 µF
r = 0Ω (rosso)
r = 30Ω (blu)
9
Grafici del modulo e della fase
Andamento del modulo e della fase dell’impedenza in funzione di ω
Altri valori:
L = 0.18 H
C = 10 µF
r = 0Ω (rosso)
r = 180Ω (blu)
10
LC in parallelo
Il caso di LC in parallelo è più difficile da trattare..
Z L ZC
(
r + jωL ) / ( jωC )
r + jωL
Z=
=
=
Z L + Z C r + jωL + 1 / jωC 1 − ω 2 LC + jω r C
Z =
r 2 + ω 2 L2
ω r C + (1 − ω LC )
ωL
ωrC
−
2
ω
r
1
−
LC
tgφ =
ωL ωrC
1+
⋅
r 1 − ω 2 LC
2 2
2
2
2
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Dipendenza da r
• I calcoli esatti sono complicati, ma :
– Per r = 0 l’impedenza diverge per ω = ω0 = 1 / LC
– Per 0<r< (2L/C)1/2 il modulo del denominatore ha un minimo in corrispondenza
di
1
r2
1
2
− 2 = ω0 − 2
ωden =
τ
LC 2 L
1
ω0 2 =
LC
1
r2
= 2
2
τ
2L
– Il modulo dell’impedenza ha un massimo e contemporaneamente la fase si
azzera in corrispondenza di una frequenza critica ωc vicina a questo valore.
– Per r > (2L/C)1/2 l’impedenza non ha massimo, ma decresce in modo monotono
(le oscillazioni libere del circuito risultano sovra-smorzate).
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Comportamenti capacitivo e induttivo
• Stavolta il comportamento capacitivo si ha per frequenze superiori alla
frequenza critica.
• Per frequenze minori, si ha invece comportamento capacitivo.
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Grafici di modulo e fase
Andamento del modulo e della fase dell’impedenza
L=0.5 H
C=20 µF
r = 0Ω (rosso)
r =30Ω (blu)
r =50kΩ (verde)
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Circuiti risonanti
I circuiti seguenti sono risonanti:
– Si tratta di circuiti LC in cui le oscillazioni vengono forzate da una tensione
esterna.
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Caratteristiche dei circuiti risonanti
• Quando la frequenza della tensione esterna è uguale a quella di
oscillazione libera, l’ampiezza delle oscillazioni cresce enormemente.
• Il rapporto tra l’ampiezza della tensione forzante e l’ampiezza delle
oscillazioni in funzione della frequenza assume quindi la caratteristica
forma a campana, la cui larghezza è legata alle resistenze r ed R.
• La fase cambia di segno in corrispondenza della frequenza di
risonanza: questa caratteristica è utilissima per determinare con
esattezza la frequenza di risonanza.
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Analisi dettagliata
• Il primo circuito può essere visto come un partitore:
Vout = Vg
Vout
Vg
R
R
= Vg
1
Z tot
R + r + j ωL +
j ωC
R
=
2
tan φ = −
1
ωC
R+r
ωL −
1 

( R + r ) +  ωL − 
ωC 

– Il rapporto tra tensione del generatore e tensione in uscita è massimo in
corrispondenza di ω0 = 1 / LC
– In corrispondenza di tale valore la differenza di fase risulta esattamente zero.
– Esistono due frequenze ω+ ω- in corrispondenza delle quali il rapporto Vout/Vg
vale esattamente la metà del massimo. Queste due frequenze non sono
equidistanti dal massimo; la differenza ω+-ω- vale (3)1/2R/L ed è detta larghezza
a metà altezza, o FWHM (Full width half maximum)
2
17
Risposta di un circuito risonante
In figura sono riportati il rapporto tra l’ampiezza della tensione in
ingresso e in uscita e la loro differenza di fase
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Circuiti antirisonanti
I circuiti seguenti sono invece detti antirisonanti:
– La tensione in uscita presenta un minimo in corrispondenza della frequenza di
oscillazione naturale.
– Un circuito di questo tipo può essere utilizzato per attenuare una frequenza data,
come ad esempio la frequenza di rete a 50 Hz (presente in tutti i circuiti elettrici
collegati alla tensione di rete).
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