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Sommario
1
C
\
Questa è una raccolta di esercizi indirizzati al corso di Fisica Generale
II, elettromagnetismo, corso di laurea in Fisica. Si tratta di esercizi
che propongo e svolgo a lezione durante il corso alla facoltà di Fisica
dell’Università di Padova. Vuole essere di aiuto agli studenti che desiderano
provare a fare gli esercizi per conto loro, ma non sostituisce la lezione in aula.
In particolare, le soluzioni, che si trovano alla fine dei capitoli, sono il più
delle volte solo accennate o è messo solo il risultato numerico. Questo sia per
non andare in competizione con il corso stesso, sia per la noia mortale che è
scrivere una soluzione completa di un esercizio per quanto semplice.
Gli esercizi stessi vengono da una varietà di fonti, principalmente vecchi
compiti sia proposti da me sia tramandati, come “memoria del dipartimento”,
dagli esercitatori del passato, spesso con modifiche e aggiornamenti.
L’ordine degli esercizi segue più o meno lo svolgimento del corso, e richiede,
ovviamente, lo studio della teoria, che qui non viene minimamente trattata.
Le formule utilizzate per gli esercizi svolti in modo completo sono considerate
“date”, e non vengono dimostrate o giustificate, a meno che si tratti di casi
particolari non coperti da un normale libro di testo.
La correzione delle bozze è, o meglio dovrebbe essere, una parte importante
della stesura di questi esercizi: per quanto abbia fatto attenzione, errori
e imprecisioni sono sempre possibili, e anzi vi sarò grato se vorrete
segnalarmele.
Ultima nota riguardo alla licenza: questo scritto è rilasciato con la licenza
$
CC
BY:
Attribuzione - Non commerciale Creative Commons Condividi allo stesso modo 3.0. In parole povere, tu sei libero: di riprodurre,
distribuire, comunicare al pubblico, esporre in pubblico, rappresentare (?),
eseguire e recitare 1 quest’opera; di modificare quest’opera. Alle seguenti
condizioni: Devi attribuire la paternit dell’opera dall’autore ; Non puoi usare
quest’opera per fini commerciali ; Se alteri o trasformi quest’opera, o se la usi
per crearne un’altra, puoi distribuire l’opera risultante solo con una licenza
identica o equivalente a questa. Trovi tutte il legalese su Creative Commons
CC
all indirizzo http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.it.
se lo fate, vi voglio venire a vedere! O forse no . . .
Indice
1 Elettrostatica
1.1 Legge di Coulomb . . . . . . . . . .
1.2 Moto di cariche in campo elettrico .
1.3 Carica immagine . . . . . . . . . .
1.4 Dipoli . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Condensatori . . . . . . . . . . . .
1.6 Circuiti resistivi . . . . . . . . . . .
2 Magnetostatica
2.1 Campo magnetico . . . . . . . .
2.2 Induzione elettromagnetica . . .
2.3 Circuiti RL . . . . . . . . . . .
2.4 Campi magnetici nella materia .
3 Onde e oscillazioni
3.1 Equazioni di Maxwell . .
3.2 Onde E.M. . . . . . . . .
3.3 Circuiti RLC . . . . . .
3.4 Sistemi a infiniti gradi di
4 Ottica
4.1 Rifrazione . .
4.2 Interferenza .
4.3 Diffrazione . .
4.4 Reticoli . . .
4.5 Polarizzazione
4.6 Lenti . . . . .
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libertà
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1
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1
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25
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37
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50
50
54
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76
Capitolo 1
Elettrostatica
1.1
Legge di Coulomb
Esercizio 1
Quattro cariche puntiformi uguali, q = 1.0 µC, sono poste ai vertici di un
quadrato di lato l = 0.1 m.
Determinare:
a. la forza F~ su ogni carica;
b. l’energia elettrostatica Utot del sistema;
c. il potenziale V0 al centro del quadrato;
d. quale carica Q0 si deve mettere al centro del quadrato per avere
equilibrio;
e. se tale equilibrio è stabile o meno.
Esercizio 2
Si ha una distribuzione di carica uniforme su una
sfera di raggio R = 1 m, la densità di carica per
unità di volume è pari a ρ = 1.9 · 10−7 C/m3 . Vi è
all’interno della sfera una cavità anch’essa sferica,
di raggio R′ = R/2 e con centro sull’asse x̂ ad una
distanza pari a R/2 dal centro della sfera.
~
a. Calcolare il campo elettrico E
b. e il potenziale V nel punto di P coordinate
(R, R, 0) (vedi figura)
1
y
P
x
1.1 Legge di Coulomb
Capitolo 1 Elettrostatica
Esercizio 3
Un filo di lunghezza 2l è uniformemente carico con densità lineare di carica
λ.
a. Calcolare il campo elettrico sull’asse del filo;
b. e il potenziale. Estendere al caso di lunghezza indefinita.
Esercizio 4
Calcolare il campo elettrico e il potenziale dovuto ad una sfera di raggio R
uniformemente carica con densità di carica ρ.
a. Lo stesso se la carica è solo sulla superficie.
b. Oppure se è distribuita su un guscio sferico con raggio interno r.
Esercizio 5
Una piccola sfera con massa m = 11.2 mg è carica con q = 0.76 nC. Essa è
appesa ad un filo lungo l = 5 cm e forma un angolo θ = 9.2 · 10−2 rad con
la verticale, e si trova di fronte ad un foglio isolante e carico uniformemente
con densità superficiale di carica σ.
a. Determinare σ.
b. Che angolo forma il filo se il foglio e’ un conduttore scarico?
Esercizio 6
Due fili indefiniti, paralleli, carichi uniformemente con densità di carica
λ = 10−8 C/m, con segno opposto, distano d = 5 cm tra loro.
Calcolare:
~ in un punto che dista 3 cm e 4 cm dal filo positivo
a. il campo elettrico E
e negativo, rispettivamente;
b. la forza per unità di lunghezza di attrazione tra i fili.
Esercizio 7
Un piano uniformemente carico con densità superficiale di carica pari a
σ = 1.0 · 10−6 C/m2 ha un foro circolare di raggio R = 10 cm. Sull’asse del
foro, ad una distanza d = R si trova una carica puntiforme q = 2 · 10−7 C.
Calcolare:
a. la forza F~ sulla carica;
b. il lavoro W per portare la carica q al centro del foro;
c. studiare la discontinuità del campo elettrico attraverso il foro,
nell’ipotesi che il suo raggio tenda a zero.
2
Esercizio 8
Tre cariche puntiformi q1 = 8q, q2 = 2q e q3 = q con q = 1 · 10−12 C sono
vincolate ad una circonferenza di raggio R = 9 cm e inizialmente si trovano
ai vertici di un triangolo equilatero.
Determinare:
a. l’energia potenziale di q2 ;
b. la forza agente su q2 .
Successivamente q3 viene spostata all’estremità del diametro che
parte da q1 , mentre q2 viene lasciata libera di muoversi lungo la
circonferenza.
Calcolare:
c. la posizione di equilibrio di q2 ;
d. l’energia elettrostatica del sistema all’equilibrio;
Esercizio 9
Da un anello sottile di materiale isolante, di raggio R = 10 cm,
uniformemente carico con densità lineare λ = 1 · 10−8 C/m, viene rimossa
una piccola sezione di lunghezza d = 1 cm.
Calcolare:
a. il campo elettrico su un punto generico dell’asse dell’anello;
b. la forza esercitata su carica q = 1 · 10−5 C che si trova al centro
dell’anello;
c. il lavoro necessario per portare la carica q all’infinito.
Esercizio 10
Un cilindro metallico di raggio R = 10 cm e altezza h, isolato e neutro, ruota
attorno al suo asse con velocità angolare ω = 3 · 103 rad/s. Gli elettroni di
conduzione sono liberi di muoversi solo radialmente e quindi sono trascinati
nel moto di rotazione del cilindro,
Calcolare:
a. il campo elettrico dentro il cilindro;
b. la differenza di potenziale tra l’asse e la superficie esterna;
c. la densità di carica sulla superficie e nel volume.
Soluzione esercizio 1
3
a. La forza totale sulla carica in basso a destra, rispetto ad un sistema
cartesiano (x,y) è: 1 q2
1 + 2√1 2 (x̂ − ŷ) Ftot = 1.72 N
F~tot = 4πǫ
2
0 l
b. Utot = 21 Σi6=j Uij =
1 q2
4 + √22 = 0.48
4πǫ0 l
1 √8 q
= 0.509 M V
4πǫ0 2 l
J
c. V0 = Σi = 14 Vi0 =
√
2 + 21 = −0.957 µC
d. Q0 = − 2q
e. Equilibrio instabile.
a. Uso il principio di sovrapposizione e riduco il problema ad una sfera
uniformemente carica R, +ρ e una R/2, −ρ. Visto che il punto P si
trova fuori dalle sfere, per il teorema di Gauss e la simmetria delle
sfere, il campo e il potenziale sono equivalenti al sistema con tutte le
cariche concentrate al centro delle rispettive sfere.
~ tot = (2200x̂ + 1890ŷ) V /m
E
b. Vtot = 4264 V .
~ =
a. E
~ =
E
λ sin θ̄
r̂ Dove θ̄ è l’angolo sotto
2πǫ0 r
λ 1
r̂ nel caso di filo indefinito.
2πǫ0 r
√2 2 λ
l+ √l +r
(r) = 4πǫ
ln
−l+ l2 +r2
0
cui viene visto il mezzo filo.
b. V
Nel caso indefinito (l → ∞) V (r) non è definito. Invece la differenza
di potenziale è ben definita:
λ
∆V (r1 , r2 ) = 2πǫ
ln rr21
0
a. Equilibrio delle forze: σ = 2.36 · 10−7 C/m2
b. Uso tecnica della carica immagine: il foglio conduttore è equivalente
ad una carica uguale e opposta a q posta simmetricamente rispetto al
piano stesso. Ancora dall’equilibrio delle forze; θ = 0.17 rad
a. Ex = 7.20 · 103 V /v Ey = 2.1 · 103 V /m
b. F/l = 3.6 · 10−5 N/m
4
a. Uso principio di sovrapposizione e considero un piano indefinito e un
−3
disco carico −σ. F = 8 · 10
N.
√
σQR
2 − 1 = 9.4 · 10−4 J
b. L = −∆U = 2ǫ0
c. Non c’è discontinuità a meno che il raggio del foro non tenda a zero,
nel qual caso ∆E ⊥ = ǫσ0
a. U2 = Q2 V2 = 2q
b.
1 8q
4πǫ0 l
+
1 q
4πǫ0 l
= 1 · 10−12 J
F2x = 3.7 · 10−12 N
F2y = −5.1 · 10−12 N
c. Studio il potenziale e cerco un minimo.
8q
q
1
1
+ 4πǫ
V2 = 4πǫ
0 2R cos θ
0 2R sin θ
2
Minimo per ∂V
= 0 cioè θ = 26.5◦ .
∂θ
d. Utot = 1.5 · 10−12 J.
a. Considero il principio di sovrapposizione tra anello completo e carica
−dλ sul buco.
1
λx
(2πR − d)
2
4πǫ0 (x + R2 )3/2
= 0
dRλ
1
=
4πǫ0 (x2 + R2 )3/2
Ex =
Ey
Ez
b. F~ (~0) =
10−4 ẑ N
c. Lext =
= −5.6 · 10−3 J
1 λqd
ẑ = 9 ·
4πǫ0 R2
1 qλ(2πR−d)
− 4πǫ
R
0
5
a. All’equilibrio gli elettroni di conduzione risentono di una forza
centrifuga dovuta ad un campo elettrico che si crea per l’accumulo
2
di cariche sulla superficie esterna del cilindro. E(r) = mωe r .
b. Integrando il campo elettrico, ottengo la differenza di potenziale.
c. Usando Gauss su un cilindro coassiale di raggio r < R.
2πlE(r) = 1/ǫ0
Z r
0
ρr2πrldr
2
= 9.06 · 10−16 C costante.
Da cui risulta che ρ(r) = 2mω
e
Dato che la carica iniziale del cilindro era nulla, la densità di carica
superficiale si ottiene
σ=
Qsup
−Qint
−2m/eǫ0 ω 2 πR2 l
=
=
= −0.45 · 10−16 C/m2
Ssup
Ssup
2πRl
6
1.2 Moto di cariche in campo elettrico
1.2
Moto di cariche in campo elettrico
Esercizio 11
Una carica puntiforme q = −2.0·10−7 C, massa m = 2·10−6 kg, viene attratta
da una carica Q = 10−4 C distribuita uniformemente entro una sfera di raggio
R = 1 m e massa molto grande. Quando la particella si trova a d = 2 m dal
centro della sfera, viaggia ad una velocità pari a a v0 = 264.5 m/s verso il
centro della sfera.
Calcolare:
a. la velocità v1 quando la particella incontra la superficie della sfera;
b. la velocità v2 quando si trova al centro della sfera;
c. la distanza massima raggiunta dalla particella.
Esercizio 12
Una elettrone (e, me ) con velocità v0 = 6.6 · 106 m/s attraversa uno spazio di
lunghezza l = 2 cm, dove si trova un campo elettrico uniforme E = 1250 V /m
perpendicolare a v0 .
a. Calcolare la deflessione dell’elettrone ad una distanza L = 15 cm dopo
la regione con campo elettrico.
b. Supponendo che l’elettrone sia accelerato, partendo da fermo,
calcolare la d.d.p. Va necessaria.
c. Calcolare il lavoro L fatto dal campo deflettente.
Esercizio 13
Un corpo puntiforme con carica q, massa m, inizialmente fermo si trova
all’interno di una sfera di raggio R uniformemente carica con densità ρ, ad
una distanza r < R. Descrivere il moto.
Esercizio 14
Un sistema è formato da un anello sottile, di raggio R = 0.2 cm e un filo
indefinito entrambi carichi con densità di carica uniforme. La densità lineare
di carica del filo è pari a λf ilo = 10 · 10−6 C/m, quella dell’anello è λanello .
L’anello giace su un piano parallelo al filo, e la distanza del suo centro dal
filo è d = 45 cm. Si osserva che il campo elettrico nel punto P equidistante
dal filo e dall’anello è nullo.
a. Calcolare il valore di λanello ;
7
1.2 Moto di cariche in campo elettrico
Un protone si trova ad una distanza L = 2.0 m dal centro dell’anello,
sul suo asse e dalla parte opposta rispetto al filo, con una velocità v0
diretta verso l’anello.
Determinare:
b. v0 affinchè il protone si fermi al centro dell’anello;
c. la forza che subisce il protone quando si trova al centro dell’anello.
a. Uso conservazione dell’energia: 21 mv02 + U (d0 ) = 12 mv12 + U (R) . . . v1 =
400 m/s
b. Attenzione: ho già scelto il riferimento del potenziale U (R = ∞) = 0,
devo calcolare U (0). Conosco il campo elettrico (usando th. Gauss),
lo integro e ottengo la differenza di potenziale del centro della sfera
rispetto alla superficie.
V (0) = 23 V (R) . . . v2 = 500 m/s
c. Alla distanza massima, l’energia cinetica è nulla. Rmax = 9 m
a. Il moto è uniforme lungo x e accelerato lungo y dentro il condensatore.
Deflessione ∆ = 1.61 cm.
mv 2
b. Va = 2q0 = 124 V .
c. Il lavoro non è nullo perché il moto non è perpendicolare alla
forza elettrica, solo all’ingresso del condensatore. Si può calcolare
integrando la forza o calcolando la differenza di energia potenziale.
2 E 2 l2
−19
L = q2mv
J = 1.25 eV
2 = 2 · 10
0
8
1.3 Carica immagine
1.3
Carica immagine
Esercizio 15
Una sfera conduttrice di raggio R = 80 cm è mantenuta a potenziale zero.
Ad una distanza pari a d = 1 m dal centro viene posta una carica puntiforme
q = 3 · 10−10 C.
Calcolare:
a. la forza cui è soggetta la carica;
b. la densità della carica indotta sulla sfera.
c. Si ripeta l’esercizio nel caso in cui la sfera sia inizialmente scarica e
isolata.
d. Oppure isolata e inizialmente carica con q ′ = 6 · 10−10 C.
Esercizio 16
Ad un filo indefinito verticale con densità lineare di carica λ = 1.3·10−6 C/m
è appesa, tramite un filo di lunghezza l = 20 cm, inestensibile, privo di massa
e dielettrico, una carica puntiforme Q2 · 10−11 C, di massa m = 11.2 mg.
a. Calcolare la posizione di equilibrio della carica;
b. si tratta di equilibrio stabile o instabile?
2
a. Uso carica immagine: carica qi = − Rd q a distanza xi = Rd dal centro
della sfera. F = 0.5 · 10−9 N .
b. So che sulla superficie E = σ/ǫ0 , quindi devo calcolare il campo E
sulla superficie (so già che avrà solo componente radiale). Parto dal
potenziale e poi
Er = −
R 2 − d2
1 q
∂V (r = R)
r̂
=
∂r
4πǫ0 R (d2 + R2 − 2Rd cos θ)3/2
σ = ǫ0 E.
c. Stessa situazione di prima, ma sulla superficie della sfera il potenziale
è costante ma V (R) 6= 0. Metto una seconda carica immagine Q0 al
centro della sfera. Dato che la sfera è globalmente carica, Q0 = −qi .
F = −0.435 · 10−8 N
9
1.3 Carica immagine
d. Metto una ulteriore carica immagine Q = q ′ al centro della sfera e mi
riconduco al caso precedente. F = −2.73 · 10−9 N .
a. L’equilibrio si ottiene quando tan θ = 2πǫ0 lλQ
, nell’ipotesi di angoli
sin θmg
λQ
2
piccoli, si ottiene θ = 2πǫ0 lmg , quindi θ = .146 rad
b.
10
1.4 Dipoli
1.4
Dipoli
Esercizio 17
Un dipolo elettrico di momento p = 2 · 10−11 Cm viene posto ad una distanza
d = 0.5 m da un filo molto lungo, uniformemente carico con densità lineare
di carica λ = 10−8 C/m.
Il dipolo è posto sul piano del filo, perpendicolare ad esso e orientato verso
l’esterno.
Calcolare:
a. il lavoro necessario per trasportare il dipolo ad una distanza d/2 dal
filo, mantenendo costante il suo allineamento. E’ fatto dal campo o
contro il campo?
b. il lavoro necessario per ruotare di 30◦ il dipolo;
c. il momento torcente del dipolo prima e dopo la rotazione.
Esercizio 18
Tre dipoli elettrici identici, di momento p~, |~p| = 1 · 10−30 Cm vengono portati
dall’infinito nei punti P1,2,3 , di coordinate, rispettivamente: P1 (0, 0, 0),
P2 (0, −a, 0) e P3 (0, +a, 0) con a = 1 · 10−10 m, e con il momento di dipolo
orientato come l’asse z.
Calcolare:
a. il lavoro compiuto dalle forze del campo durante il processo;
~ nei punti dell’asse z;
b. il campo elettrico E
c. la componente lungo z della forza cui è soggetto il dipolo nel punto
P1 .
Esercizio 19
Un quadrupolo elettrico è costituito da quattro cariche identiche q, due
positive e due negative, poste sui vertici di un quadrato di lato 2a, con
cariche dello stesso segno poste sulle diagonali.
a. Calcolare il campo elettrico in un punto su uno degli assi del quadrato
ad una distanza molto grande rispetto ad a.
11
1.4 Dipoli
a. La forza
che subisce il dipolo
è
∂
∂
∂
~
~
F = px ∂x + py ∂y + pz ∂z E
Per la simmetria del problema, la forza é radiale: Fx = p
R d/2 dE ilo (x)
R d/2
pλ
W = d p fdx
dx = d pdEf ilo = 2πǫ
= 7.2 · 10−9 J
2
b. W = Ui (1 − cos θ) =
c. M = pE sin θ = 7 · 10
−pλ
(1
πǫ0 d
−9
dEf ilo (x)
dx
− cos θ) = −1.9 · 10−9 J
Nm
a.
~ ij = −pEz,ij = + 1 p2 1
Uij = −~pi · E
4πǫ0
d3ij
L = −∆U = −Utot
b.
Eztot
=
p
4πǫ0
2
r3
−
p2
=
4πǫ0
4z 2 −2a2
(a2 +r2 )5/2
∂
~ =
c. Fz = − ∂U
= − ∂z
−~p · E
∂z
Fz (z = 0) = 0
1
1
1
+
+
a2 a3 (2a)3
∂
pEz
∂z
!
!
= −1.9 · 10−20 J
∂
= p ∂z
Ez
a. Si può considerare il sistema come due dipoli identici, con momento
di dipolo p = 2qa, orientati in direzioni opposte. Il campo risultante
è la somma dei
h due campi deii dipoli.
2qa
2qa
qa2 1
1
= . . . = 4πǫ
Ez (R) = 4πǫ0 (R−a)
3 − (R+a)3
4
0 R
12
1.5 Condensatori
1.5
Condensatori
Esercizio 20
Quattro gocce d’acqua, uguali e sferiche, sono portate ad uno stesso
potenziale VA = 100 V e poi isolate. Successivamente coalescono a formare
una unica goccia.
a. Quale è il potenziale della goccia?
b. Quale è il rapporto tra l’energia elettrostatica finale e iniziale?
Esercizio 21
Due sferette metalliche uguali, S1 e S2 , inizialmente lontane tra loro, con
raggio R1,2 = 2 cm e massa m1,2 = 5 g, inizialmente scariche, vengono
collegate con fili conduttori ad una terza sfera metallica S0 , R = 0.5 m,
lontana da entrambe, che è carica con Q0 . Successivamente i fili vengono
staccati e le sferette vengono sospese ad un unico punto tramite due fili
isolanti lunghi l = 25 cm e si osserva che restano in equilibrio ad un angolo
di θ = 30◦ con la verticale.
Calcolare, trascurando gli effetti di induzione mutua:
a. le cariche q1,2 sulle sferette;
b. il potenziale della sfera S0 prima del contatto;
c. l’energia elettrostatica della sfera S0 prima del contatto;
Esercizio 22
Dato il circuito in figura, con C1 = 1 µF , C2 =
2 µF , C3 = 3 µF e V0 = 100 V , calcolare:
a. carica sulle armature;
b. energia elettrostatica totale del sistema;
c. cariche e energia elettrostatica totale del
sistema se il punto B viene messo a terra;
d. cariche, energia elettrostatica e ∆VAB se
il punto A viene scollegato e poi B viene
messo a terra.
A
C1
C2
+
V0
B
−
C3
Esercizio 23
Un condensatore è formato da due armature semicircolari di raggio R =
50 cm, parallele, distanti d = 2 mm, incernierate al centro. Le armature
13
1.5 Condensatori
si sovrappongono per φ0 = 60◦ e sono collegare ad una fem V0 = 50 V .
Successivamente il generatore viene staccato e le armature sono ruotate in
modo da sovrapporle di φ1 = 120◦ .
Trascurando tutti gli effetti di bordo, calcolare:
a. la ddp tra le armature;
b. il lavoro delle forze esterne per fare la rotazione.
Successivamente il generatore viene collegato e lo spazio tra le
armature viene riempito con un dielettrico con κ = 3.
c. Determinare il lavoro compiuto dal generatore durante l’inserimento
del dielettrico.
Esercizio 24
Il sistema di condensatori in figura è collegato ad
una d.d.p. V0 = 15 V e i valori dei condensatori
sono, rispettivamente: C2 = 10 pF , C3 = 4 pF ,
C4 = 2 pF . Ai capi di C4 si misura una d.d.p.
V1 = 10 V .
Calcolare:
a. Valore di C1 ;
b. energia elettrostatica totale del circuito.
Nel condensatore C1 si inserisce una lastra di dielettrico con costante
dielettrica relative κ = 5. Determinare:
c. il lavoro svolto dal generatore.
C1
C2
+
V0
−
C4
C3
Esercizio 25
Un sistema è costituito da un condensatore con piastre quadrate, di lato
l = 20 cm, distanti d = 1 mm, alimentato con una ddp = 10 kV . Una delle
due piastre è collegata ad una molla di costante elastica k = 5 · 104 N/m,
inizialmente a riposo. Il condensatore viene caricato dal generatore e
successivamente isolato.
a. la posizione di equilibrio d′ ;
b. studiare il moto delle piastre;
c. l’elongazione massima della molla.
Esercizio 26
Un condensatore piano ha armature quadrate di lato l = 20 cm, e distanti
14
1.5 Condensatori
h = 1 cm. Lo spazio tra le due armature viene inserita una lastra conduttrice
di spessore d = 5 mm.
a. Calcolare la forza esercitata sulle piastre se il condensatore è carico e
isolato.
b. Lo stesso se è il condensatore è collegato ad un generatore con ddp
costante.
Esercizio 27
Un condensatore piano con piastre di superficie Σ = 200 cm2 , e distanza
h = 5 mm è connesso ad generatore con ∆V = 500 V . Appoggiata
all’armatura superiore si trova una lastra di dielettrico con la stessa superficie
Σ e spessore d = 2 mm, costante dielettrica relativa κ = 2.
Nello spazio vuoto tra le armature c’è un elettrone che viaggia
orizzontalmente con v = 5 · 104 m/s, parallelamente alle armature.
a. Calcolare il campo elettrico dentro il dielettrico.
b. la carica totale presente sulla superficie inferiore del dielettrico;
c. la forza sull’elettrone.
Esercizio 28
Un condensatore sferico ha raggio interno R1 , ad un potenziale V1 = 1·104 V ,
e raggio esterno R2 = 1 m, collegato a terra. L’energia elettrostatica del
generatore è W1 = 5 · 10−2 J.
La sfera esterna, inizialmente a potenziale V = 0, viene portata al potenziale
V2 = 3 · 104 V rispetto alla terra, lasciando la sfera interna isolata.
L’intercapedine viene infine riempita, ad armature isolate, con un dielettrico
liquido con costante dielettrica relativa κ = 2.
a. Calcolare R1 .
b. L’energia del campo elettrico interno ed esterno con l’armatura esterna
a potenziale V2 .
c. Trovare l’energia elettrostatica del sistema con il dielettrico.
Esercizio 29
Un condensatore a facce piane e parallele, quadrate L = 5 cm, distanza
h = 3 mm è collegato ad una ddp ∆V = 1 kV . Una lastra di dielettrico,
di spessore s = 1 mm, κ = 4, viene inserita tra le armature con velocità
costante v. Calcolare:
a. v sapendo che nel circuito, durante l’inserimento, scorre una corrente
di I = 1 µA;
15
1.5 Condensatori
b. la forza esterna Fext cui la lastra è sottoposta;
c. la densità di carica di polarizzazione sul dielettrico quando è
completamente inserito.
Esercizio 30
Un condensatore piano, con armature quadrate (Σ = 0.1 m2 , h = 1 cm) è
riempito con un dielettrico non omogeneo la cui costante dielettrica relativa
κ varia in modo continuo da κ = 3 a κ = 5, passando dall’armatura positiva
a quella negativa. E’ alimentato con una ddp ∆V = 1 kV .
Calcolare:
a. La capacità C del condensatore;
b. la densità di carica di polarizzazione sul dielettrico.
1 Q
, Q4 = 4Q, il volume è quattro volte quello della singola
a. VA = 4πǫ
0 R
goccia, quindi il raggio è R4 = R41/3 . V4 = 42/3 V = 252 V
b. R = 45/3 = 10.1.
a. All’equilibrio tan θ =
Fe
Fp
=
q2
1
4πǫ0 (2l sin θ)2 mg
|q| = 0.44 · 10−6 C
b. Dopo il contatto, il potenziale delle sfere è lo stesso: Q′0 = RR0i qi .
Q0 = Q′0 + 2qi = 1 · 10−6 C. Il potenziale della sfera S0 all’inizio del
1 Q0
= 1.8 · 10−6 V
processo V0 = 4πǫ
0 R0
c. U0 = 21 Q0 V0 = 0.9 J.
a. C3 è in serie con il parallelo di C1 e C2 .
Q1 = 0.5·10−4 C, Q2 = 1.0·10−4 C, Q3 = 1.5·10−4 C. U = 0.75·10−2 J
b. Resta solo il parallelo di C1 e C2 alimentato da ∆V
Q1 = 1 · 10−4 C, Q2 = 2 · 10−4 , U = 1.5 · 10−2 J.
c. Parallelo di C1 e C2 con carica uguale a quella presente prima di
= 50 V .
scollegare il generatore. ∆VAB = CQ1 1+2
+C2
Q1 = 0.5 · 10−4 C, Q2 = 1.0 · 10−4 C
U = 21 (C1 + C2 )∆2 VAB = 3.75 · 10−3 J
16
1.5 Condensatori
a. Ci = ǫ0dS = ǫd0 πR2 θi [rad]
= 23 pF Cf = 2Ci .
2π
Le armature sono isolate, quindi la carica è costante. Vf = CCfi V0 =
25 V
b. Lext = +∆U = 12 Cf Vf2 − 21 Ci Vi2 = −1.44 · 10−8 J Rotazione è
spontanea.
c. Lgen = V0 ∆Q = V0 (Q′f − Qf ) = V02 Cf (κ − 1) = 2.3 · 10−7 J
a. C1 = 2 pF ;
b. Utot = 4.5 · 10−10 J;
c. Lgen = 1.4 · 10−10 J.
2
2
2
∆ V
σ
= l ǫ02d
= 17.7 N ,
a. La forza elettrostatica è costante Fes = Σ 2ǫ
0
la forza elastica Fel = −kx. Equilibrio quando kx = Fes : xeq =
0.354 mm.
b. Il moto è armonico, attorno alla posizione di equilibrio del punto
precedente. x(t) = xeq (1 − cos (ωt))
c. xmax = 2xeq = .708 mm
a. Mentre la lastra di conduttore viene inserito per una profondità x,
considero il sistema come due condensatori in parallelo, uno con e
uno senza lastra di conduttore. Quello con il conduttore è equivalente
a due condensatori in serie, con una distanza totale tra le lastre h − d.
La capacità equivalente del sistema risulta:
h
Ceq = ǫh0 l (x(α − 1) + l) dove α = h−d
2
L’energia elettrostatica risulta Ues = 2Q
eq
C
Nel caso di carica costante, l’energia totale è solo quella elettrostatica
del condensatore, quindi la forza che subisce la lastra è
2h
α−1
Fx = −∂Ues ∂x = Q
.
2ǫ0 l (x(α−1)+l)2
La forza è positiva, la lastra viene risucchiata.
Si può anche calcolare il lavoro totale durante l’inserimento della
lastra.
h
i
2h
1
1
>0
−
L = −Q
2ǫ0 l lα
l
17
1.5 Condensatori
b. Con condensatore collegato, l’energia totale tiene conto anche del
lavoro del generatore per mantenere la ddp costante, che risulta essere
il doppio della corrispondente variazione di energia elettrostatica:
quindi risulta Fx = −∂Ues+gen ∂x = +∂Ues ∂x
2
2
Ues = ceq ∆2 V , da cui Fx = ∆ 2ǫV0ǫ0 l (α − 1)
Sempre attrattiva, come prima.
Da notare che anche se la forza è attrattiva in entrambi casi, le forze
sono diverse (dipendente da x nel primo caso, costante nel nel secondo)
e anche il lavoro totale risulta diverso.
∆V
a. ∆V = EV (h − d) + ED d, e EV = κED , quindi ED = κ(h−d)+d
=
5
5
6.25 · 10 V /m; EV = 1.25 · 10 V /m.
Il campo nel condensatore completamente vuoto è E = 1 · 105 V /m.
b. QP = ΣσP = Σǫ0 (κ − 1)ED = 1.11 · 10−11 C
La carica sulle armature è Q = C∆V = 2.53 · 10−8 C
c. Fe = EV e
R2
, essendo
a. La capacità di un condensatore sferico è C = 4πǫ0 RR21−R
1
1
2
W1 = 2 CV1 si ottiene R1 = 0.9 m.
b. Il sistema non è più un semplice condensatore, visto che non c’è più
induzione totale tra le armature.
La carica sull’armatura interna è
Q1 = V1 ∗ 4πǫ0 R1 = 1 · 10−5 C
Sull’armatura esterna, la carica è invece
Q2 = V2 ∗ 4πǫ0 R2 = 3.33 · 10−6 C
Inoltre c’è induzione totale tra l’armatura interna e quella esterna,
quindi sulla superficie interna della armatura esterna, si trova una
carica −Q1 . La carica totale che vedo dall’esterno è quindi solo Q2
(schermo elettrostatico).
Il sistema è quindi equivalente ad un condensatore sferico con raggio
R1 e R2 e uno sferico con R2 e R = ∞. L’energia risulta quindi:
Q2
W2int = 12 4πǫ
0
1/R2 −1/R2
W2est
=
1 Q2
2 4πǫ0 R2
~ ′D =
c. Nel dielettrico E ′ = E int /κ, la densità di energia wEdielettrico = 12 E
ǫ0
kE ′2
2
=
2
ǫ0 Eint
2κ
= wEvuoto /κ
18
1.5 Condensatori
W3int = W2int /κ, W3est = W2est W3 = 7.5 · 10−2 J.
a. La capacità durante l’inserimento è
κǫ0 Lx
+ s(1−κ)+κh
C(x) = ǫ0 L(L−x)
h
h
κǫ0
i = dQ
= V0 C(t)
= V0 v s(1−κ)
−
dt
dt
κh
Da cui si ricava v = 20.3 m/s
b. Fx = + dUdxES =
d
dx
1
C(x)V02
2
ǫ0 L
h
i
= 2.5 · 10−5 N
a. κ(x) = 3 + 2x
R h dx h
1
h
5
=
0 Σǫ0 κ(x) = 2Σǫ0 ln 3
C
C = 0.35 nF
b. Qarmature = C∆V = 0.35 · 10−6 C.
~ è costante, dato che dipende solo dalla carica
Dentro il dielettrico D
libera D = QΣa .
D e dipende da x tramite κ.
Il vettore polarizzazione P = κ−1
κ
La densità di carica di polarizzazione sulle superficii del dielettrico
vale:
κ(x)−1
σp = P~ n̂ = Q
Σ κ(x)
= −2.3 · 10−6 C/m2
σp (x = 0) = − 2Q
3Σ
4Q
σp (x = h) = + 5Σ = +2.8 · 10−6 C/m2
All’interno del dielettrico, la densità di carica è:
~ P~ = − ∂Px = − Q
ρp = − ∇
∂x
Σ
2/h
(3 + 2x/h)2
!
La carica totale che si trova dentro il dielettrico si ottiene integrando
2
Q.
la densità nel volume. QVP = − 15
Come prevedibile,
la somma
totale delle cariche nel dielettrico risulta
12
2
4
nulla Qtot
=
−
Q=0
−
+
P
15
3
5
19
1.6 Circuiti resistivi
1.6
Circuiti resistivi
Esercizio 31
Il circuito in figura è alimentato con una generatore reale, con fem V0 = 100 V
e una resistenza interna Ri = 10 Ω. Le resistenze hanno valori: R1 = 1.0 kΩ,
R2 = 1.5 kΩ, R3 = 2.0 kΩ.
A
R1
+
B
−
R2
C
Ri
R3
Calcolare:
a. il potenziale (rispetto a terra) dei punti A, B, e C;
b. la tensione ai capi del generatore reale.
Esercizio 32
Le resistenze del circuito in figura hanno valori: R1 = 3 Ω, R2 = 20 Ω,
R3 = 12 Ω, R4 = 6 Ω, R5 = 4 Ω, R6 = 5 Ω, e la ddp ai capi del circuito è
∆V = 5.4 V
R3
R1
R4
R6
R5
R2
Calcolare:
a. il valore della resistenza vista ai capi del circuito;
b. la corrente su ciascuna resistenza;
c. la differenza di potenziale resistenza.
Esercizio 33
Un festone di lampadine per l’albero di Natale è composto da 50 lampadine
20
poste in serie. Una di queste si brucia, e viene esclusa dal festone,
cortocircuitando i capi.
a. Collegando il festone allo stesso generatore, la luce prodotta aumenta
o diminuisce?
Esercizio 34
Una linea elettrica trasporta una potenza pari a WE = 45 M W ad una
distanza di L = 25 km, con due cavi di alluminio (ρAl = 2.65 · 10−8 Ωm) con
una sezione circolare di raggio R = 3 cm.
La potenza dissipata non deve superare complessivamente WD = 35 kW .
a. Quale è la minima ∆V che deve essere prodotta dal generatore?
b. Quale è la caduta di potenziale tra il generatore e il carico a valle?
c. Quale sarebbe la potenza che il generatore dovrebbe erogare data la
∆V del punto a. per avere il massimo trasferimento di potenza sul
carico?
Esercizio 35
Si consideri il circuito in figura.
+
+
R4
−
−
R3
R5
R1
R
2
R6
a. Calcolare la corrente su ogni resistenza.
Esercizio 36
Si consideri il circuito in figura.
+
−
10 Ω
−
4Ω
3V
5V
+
1Ω
+
−
10 V
6Ω
−
6V
3Ω
21
+
a. Calcolare la corrente su ogni resistenza.
Esercizio 37
Gli elementi del circuito in figura sono i seguenti: R1 = R2 = 200 Ω,
R3 = 300 Ω, C = 10µC, V = 100 V e l’interruttore T inizialmente aperto.
All’istante t = 0 l’interruttore T viene chiuso, e si attende che il circuito
arrivi all’equilibrio.
+
−
R3
V
R2
T
R
C
1
Calcolare:
a.
b.
c.
d.
I2
la
la
la
su R2 per t < 0;
carica Q presente sulla capacità a regime;
corrente I2 in funzione del tempo;
potenza P2 dissipata sulla resistenza R2 all’istante t = 4 ms.
Esercizio 38
Gli elementi del circuito in figura sono i seguenti: C1 = 33 µF inizialmente
carico con V1 = 100 V , C2 = 100 µF carico con V2 = 50 V . La resistenza
vale R = 75 Ω All’istante t = 0 l’interruttore T viene chiuso.
R
T
C2
C1
V=0
Calcolare:
a. La corrente I(t) sulla resistenza;
b. L’energia W dissipata sulla resistenza.
22
a. VA = 100 V , VB = 77.6 V VC = 44.3 V ;
b. ∆Vgen = (100 − 0.22) V .
a. Rtot = 9 Ω;
b. i1 = 0.48 A, i2 = 0.12 A, i3 = 0.08 A, i4 = 0.16 A, i5 = 0.24 A,
i6 = 0.6 A;
c. ∆V1 = 1.44 V , ∆V2 = 2.40 V , ∆V3 = 0.96 V , ∆V4 = 0.96 V ,
∆V5 = 0.96 V , ∆V6 = 3.00 V ;
a. La luce emessa da una lampadina è proporzionale alla potenza
dissipata per effetto joule. Si può quindi ragionare in termini di
potenza dissipata da 50 o 49 lampadine. Occorre anche tenere conto
della resistenza interna del generatore.
I = Vgen /Ri + N · R con N = 50, 49
2
gen R
PN = (RN V+N
·R)2
i
P50 > P49 se R <
√ Ri
50·49
ρL
a. La resistenza di ciascuno dei cavi è RF = πR
2 = .235 Ω
La potenza dissipata sul carico è WE = ∆V i, dove ∆V è la ddp ai
capi del carico, per ipotesi, da verificare a posteriori, supponiamo che
sia la stessa ddp ai capi del generatore. La potenza dissipata sui due
fili è 2RF i2 < WD . Quindi: ∆V > 164.4 kV .
b. La corrente erogata nel generatore è i = WE /∆V = 273 A, quindi sui
fili cadono complessivamente 128 V , trascurabili rispetto a ∆V
c. Il massimo trasferimento si ottiene quando la potenza sul carico è
massima, e questo avviene quando la resistenza di carico è uguale alla
resistenza interna, nel nostro caso R = 2RF . Con la ∆V del punto
a. la corrente dovrebbe essere i′ ≈ 165 kA, e quindi il generatore
dovrebbe erogare Wgen = 25 GW , di cui metà verrebbe dissipata sui
23
fili, e metà sul carico. Per confronto, la potenza totale impiegata in
Italia è dell’ordine di 30 GW .
a. Nel verso indicato in figura su ogni resistenza: I1 = 2.15 A,
I2 = 2.62 A, I3 = −0.38 A, I4 = 1.77 A, I5 = −0.85 A, I6 = 1.77 A.
a. Nel verso indicato in figura su ogni resistenza: I10 Ω = −0.544 A,
I1 Ω = 0.474 A, I4 Ω = 1.018 A, I6 Ω = −0.105 A, I3 Ω = 1.123 A.
V
= 0.25 A;
R1 +R2
R2
= 5 · 10−4
= RCV
1 +R2
a. i =
b. Q
C;
c. I2 (t) = 0.25 [A] · 1 − 0.25e−
t [ms]
4
d. P2 = R2 I22 (t = 4 ms) = 15.45 W
a. i(t) =
Qtot
RCk
1−
2Ck
C1
t
e RCk
b. WD = Uini − Uf in =
2 V2
= 62.4 V
V ′ = C1CV11 +C
+C2
C1 V12 +C2 V22
2
24
−
C1 +C2 V ′2
2
= 3.1 · 10−2 J, dove
Capitolo 2
Magnetostatica
2.1
Campo magnetico
Esercizio 39
Due fili rettilinei indefiniti, paralleli, distanti d = 1 m, sono percorsi in versi
opposti da correnti i1 = 1 A e i2 = 2 A. Tra i due fili, e complanare ad essi,
si trova una spira quadrata con lato a = 20 cm, con due lati paralleli ai fili
e percorsa da corrente i3 .
Calcolare:
a. la forza tra i fili per unità di lunghezza;
b. la posizione di equilibrio della spira.
Esercizio 40
Una spira circolare di raggio R = 10 cm è percorsa da una corrente I = 10 A.
Calcolare:
~ sull’asse della spira;
a. Campo magnetico B
~ al centro della spira;
b. B
~ lungo l’asse della spira;
c. La circuitazione di B
Esercizio 41
Un solenoide di lunghezza finita L e raggio R è costituito da N avvolgimenti
di un filo percorso da una corrente I.
Calcolare:
~ sull’asse del solenoide;
b. Il rapporto tra il campo al centro e quello di un solenoide infinito;
25
2.1 Campo magnetico
Capitolo 2 Magnetostatica
L
R
affinché il campo al centro sia 1% inferiore di quello di un solenoide
infinito;
d. Il rapporto tra il campo ai bordi del solenoide e quello al centro.
c.
Esercizio 42
Bobine di Helmoltz
Due spire uguali, parallele, percorse nello stesso verso dalla stessa corrente
I, di raggio a sono distanti 2b tra loro.
Calcolare:
~ sull’asse del sistema;
b. la condizione per cui B(x) vicino al centro risulta indipendente da x
fino alla 3a potenza;
c. fino a quali valori di x, data la condizione di cui al punto precedente,
B(x)−B(0)
< 1%.
B(0)
Esercizio 43
Una sottile barra di grafite (ρ = 1 · 10−5 Ωm), lunga L = 200 cm e sezione
quadrata a = 2 mm, è immersa in un campo magnetico B = 0.8 T ,
perpendicolare ad una delle facce laterali. Le due estremità della barra sono
collegate ad una fem V0 = 5 V .
Calcolare:
a. la potenza erogata dal generatore;
b. la forza necessaria per tenere ferma la barra;
c. la d.d.p. tra le due coppie di facce opposte N (e− ) = 0.5 · 1017 mm−3 .
Esercizio 44
Un solenoide con densità di spire n = 10spire/cm è percorso da una corrente
~ T . Un
I = 12 mA, ha asse perpendicolare al campo magnetico terrestre B
−4
2
ago magnetico, con momento di dipolo µ = 6.6 · 10 Am , massa m = 10 g
~T .
e lunghezza l = 1 cm, si orienta a θ = 30◦ rispetto alla direzione di B
~T
a. B
b. il momento delle forze per tenere fermo il dipolo lungo BT ;
c. la frequenza di oscillazione del dipolo per piccole oscillazioni attorno
alla posizione di equilibrio;
d. il lavoro meccanico necessario per invertire la direzione del dipolo
rispetto al punto b..
26
2.1 Campo magnetico
Esercizio 45
Un tubo cilindrico dielettrico molto lungo, con raggio R = 10 cm la la
superficie carica con densità σ = 0.5 C/m2 e ruota attorno al suo asse con
velocità angolare ω = 10 rad/s.
~ eB
~ all’interno e all’esterno del del cilindro.
a. Calcolare E
~ eB
~ all’interno e all’esterno del del cilindro nell’ipotesi che
b. Calcolare E
la velocità angolare aumenti linearmente ω = αt, con α = 2 rad/s2 .
27
2.1 Campo magnetico
a. F/l = 1 · 10−7 N/m;
b. x1 = 32 cm, x2 = −2.5 cm
0I
sin3 θ;
a. B = µ2R
b. B(0) = 6.28 · 10−5 T ;
c. C(B) = µ0 I.
a. .
b. .
> 14
c. R
L
d. .
a. .
b. a = 2b;
c. x < 0.305 a
a. P = 5 W ;
b. F = 1.6 N ;
c. ∆V = 10 µV .
0 nI
= 2.6 · 10−5 T ;
a. BT = µtan
θ
b. τ = µBS = 9.9 · 10−9 N m
q
µBtot
µBtot
c. θ̈ = − ml
θ
,
ω
=
2 /12
ml2 /12
28
,
ν=
ω
2π
= 7.76 · 10−2 Hz
2.1 Campo magnetico
a. E radiale all’esterno, nullo all’interno. B quello di un solenoide.
b. B è solo dentro il cilindro, quello di un solenoide, il campo E ha
anche una componente tangenziale dovuta alla variazione del campo
magnetico. Dentro Etang = −µ0 Rσα/2·r. Fuori Etang = −µ0 R3 σα/2·
1
.
r
29
2.2 Induzione elettromagnetica
2.2
Induzione elettromagnetica
Esercizio 46
Una spira quadrata di lato l = 30 cm ha resistenza totale R = 0.1 ω e si trova
~ = kxẑ,
in un piano orizzontale x, y, dove è presente un campo magnetico B
con k = 0.8 T /m.
La spira è collegata tramite una carrucola ad un piccolo peso di massa
m = 10 g soggetto a gravità, in modo che il peso tira la spira verso le x
positive. Si osserva che a regime la velocità della spira è costante.
a. La corrente a regime in modulo e verso;
b. la velocità della spira a regime;
c. l’energia dissipata dalla spira sempre a regime.
Esercizio 47
Un filo rettilineo indefinito è posto sul piano di una spira quadrata di lato
l = 5 cm, con uno dei lati parallelo al filo stesso, ad una distanza d = 10 cm
da esso. Il tutto è posto su un piano verticale sottoposto a gravità. Il filo
della spira è di rame ρ = ·10−8 Ωm e sezione S = 1. · 10−2 cm2 .
Al partire dal tempo t = 0, una corrente I(t) inizia a scorrere sul filo,
crescendo linearmente fino a raggiungere una corrente I0 = 30 A al tempo
T0 = 10 s. La spira rimane ferma.
a. la fem presente sulla spira;
b. la corrente i che circola sulla spira;
c. la forza vecF cui è sottoposta la spira;
d. Dopo il tempo T0 la corrente sul filo resta I = I0 (costante), e la spira è
lasciata libera di muoversi. Si calcoli l’equazione del moto della spira.
Esercizio 48
Due guide conduttrici sono incernierate tra loro ad un estremo O e sono
collegate alle estremità di una sbarra di lunghezza h = 0.4 m. La sbarra
scorre senza attrito lungo le guide con velocità v = 20 m/s, sempre
perpendicolare ad una guida OB, partendo da O all’istante t = 0 s.
La guida obliqua OA ha resistenza trascurabile, mentre l’altra (OB) ha una
resistenza per unità di lunghezza ρ = 200 Ω/m: infine la resistenza della
sbarra è R = 200 Ω. Il sistema è immerso in un campo uniforme B = 1.5 T
perpendicolare al piano dove si trova il circuito.
a. La corrente che gira sul circuito all’istante t2 = 0.1 s;
30
b. la forza sulla sbarra all’istante t2 ;
c. l’energia dissipata tra t0 e t2 .
Esercizio 49
Due sbarre metalliche uguali, lunghe L = 15 cm, con resistenza R = 15 Ω
sono incernierate ad una estremità O. L’altra estremità è vincolata a scorrere
lungo una rotaia metallica rettilinea con resistenza trascurabile. L’angolo di
apertura tra le due sbarre varia α = π/6 + ωt con ω = 2 rad/s. Il sistema è
immerso in un campo magnetico costante B = 0.5 T perpendicolare al piano
del circuito.
Determinare:
a. la corrente I all’istante t1 = π/24 s;
b. la carica che fluisce per il punto O nell’intervallo [0, t1 ]
c. il lavoro eseguito sul sistema.
Esercizio 50
Una spira di raggio R = 10 cm è percorsa da una corrente I = 10 A.
Coassialmente ad essa, si trova una seconda spira con raggio r = 0.5 cm,
filo con sezione Σ = 0.2 mm2 e resistività ρ = 1.7 · 10−7 Ωm, che si muove
con velocità v = 2 m/s sull’asse comune. All’istante t = 0 s si trovano sullo
stesso piano.
a. La posizione zmax dove la corrente indotta sulla spira piccola è
massima;
b. la carica Q che fluisce sulla spira piccola tra t = 0 s e t1 quando la
distanza tra le spire è pari a R;
c. la corrente nell’instante t1 ;
d. il flusso attraverso la spira grande dovuta al campo generato dalla
spira piccola all’istante t1 .
31
= 1.36 A, verso orario.
a. i = mg
kl2
Ri
b. v = kl2 = 1.982 m/s
c. P = Ri2 = mgv = 0.186 W
0 Il
log l+d
= 1.22 · 10−8 V
a. f em = µ2πT
d
b. i = 3.58 µA 1
1
0 I(t)
c. Ftot = ilµ2π
−
= 3.6 · 10−13 t[s] N verso il basso.
d
d+l
d.
d2 x
dt2
=g−
1
ρδ
h
i2
µ0 I 0 l
dx
8πx(l+x)
dt
a. I(t) =
hRv/2
ρvt+R
= 10 mA;
b. F = ihB = 6 · 10−3 N
R
2
R+ρvt2
B 2 h2 v
c. W = tt12 (Bhv/2)
= 9.9 · 10−3 J
dt
=
ln
ρvt+R
4ρ
R
a. I(t) =
BL2
4R
cos (α + ωt) = 2.65 · 10−4 A
BL2
4R
b. Uso legge di Felici Q =
c. W =
R t1 ǫ2
0
dt =
2R
B 2 L4 ω
16R
h
α+
h
i
sin π4 − sin π6 = 3.88 · 10−5 C
iπ/4
sin 2α
2
π/6
= 3.47 · 10−7 J
a. z = ±R/2
b. Q =
rµ0 IΣ
4ρR
h
1
23/2
i
− 1 = 1.2 · 10−7 C
c. i(t1 ) = 1.96 · 10−6 A
d. Φ(z) = M (z = R)I(t1 ) = 6.8 · 10−16 T /m2
32
2.3 Circuiti RL
2.3
Circuiti RL
Esercizio 51
Il circuito in figura è costituito da tre resistenze R1 = 10 Ω, R2 = 20 Ω,
R3 = 30 Ω, una induttanza L = 2 H e un generatore con f.e.m. V = 100 V
e un interruttore S inizialmente aperto.
S
R1
R3
V
R2
L
Calcolare la corrente i1,2 sulle resistenze R1,2 nelle seguenti condizioni:
a. immediatamente dopo la chiusura di S;
b. a regime con S chiuso;
c. immediatamente dopo l’apertura di S (una volta raggiunto la
condizione di regime);
d. a regime con S aperto.
Esercizio 52
Il circuito in figura è costituito da due resistenze R1 e R2 = 500 Ω, una
induttanza L = 10 mH, un generatore con f.e.m. V = 100 V e un
interruttore T inizialmente aperto chiuso su A.
T
V
R1
R2
L
Si osserva che la corrente erogata dal generatore all’istante t∗ = L/R1 è pari
a Igen (t∗ ) = 200 mA.
Calcolare:
a. il valore della resistenza R1 ;
b. l’energia magnetica Wmag immagazzinata nell’induttanza per tempi
t ≫ t∗ ;
c. l’energia dissipata sulla resistenza R2 dopo che l’interruttore T viene
commutato su B.
33
2.3 Circuiti RL
a. L si comporta come circuito aperto: i1 = i2 =
b. i1 =
V
R R
R1 + R 1+R2
1
= 4.55 A; i2 =
2
V −i1 R1
R2
V
R1
1 − e−Rt/L Quindi R = 315 Ω
b. WL = 21 L RV1
c. uguale a WL
2
= 5 · 10−4 J;
34
= 3.3 A;
= 2.73 A, i3 = 1.82 A;
c. i1 = 0 A, i2 = ib3 = 1.82 A;
d. ii = 0 A.
a. I(t) =
V
R1 +R2
2.4 Campi magnetici nella materia
2.4
Campi magnetici nella materia
Esercizio 53
Un solenoide ideale ha densità di spire n = 10 /cm, raggio r = 5 cm ed è
percorso da una corrente i = 0.05 A. Coassiale ad esso si trova una spira
circolare di raggio R = 10 cm e percorsa da una corrente I = 1.5 A, in verso
opposto a quello del solenoide.
Sull’asse comune, ad una distanza pari a R dalla spira, si trova un dipolo con
momento µ = 6.6 · 10−4 Am2 .
Calcolare:
~ nel punto dove si trova il dipolo;
a. il campo magnetico B
b. il lavoro esterno Lext per ruotare il dipolo di θ = 60◦ ;
c. il momento delle forze τ necessario per tenere fermo il dipolo nella
posizione precedente se l’interno del solenoide viene riempito con una
gas con suscettività magnetica χm = 8 · 10−2
d. il flusso sul solenoide del campo della spira;
35
2.4 Campi magnetici nella materia
a.
b.
c.
d.
b = 5.95 · 10−5 T ;
Lext = 1.96 · 10−8 J;
τ = 3.67 · 10−8 N m;
Φsol = 1.48 · 10−5 W b.
36
Capitolo 3
Onde e oscillazioni
3.1
Equazioni di Maxwell
Esercizio 54
Due lastre metalliche circolari coassiali con raggio r = 3 m e distanza
d = 0.05 m, inizialmente caricate con carica uguale e opposta pari a
Q = 5 · 10−5 C, si allontanano, rimanendo parallele a se stesse con velocità
v = 0.03 m/s. Un generatore mantiene costante la differenza di potenziale
tra le piastre.
Determinare:
a. La densità della corrente di spostamento Js all’istante t = 0 s;
b. La circuitazione del campo magnetico ΓB su un cerchio coassiale di
raggio r = 0.1 all’istante t = 2 s;
c. Il campo magnetico B in un ponto generico della circonferenza;
d. Cosa succede se la circonferenza viene spostata fuori dell’asse del
sistema?
Esercizio 55
Un condensatore piano, con armature circolari di raggio r1 = 50 cm, distanti
h = 5 cm, è collegato ad un generatore di f.e.m. costante V0 = 100 V ,
con resistenza interna R0 = 5 Ω tramite un interruttore. Tra le piastre del
condensatore di trova un avvolgimento toroidale, con N = 104 spire, coassiale
al condensatore e ortogonale alle sue armature. La sezione dell’avvolgimento
è rettangolare con lati a = 4 cm e b = 2.5 mm, e raggio medio r2 = 20 cm.
L’avvolgimento toroidale è chiuso su una resistenza R = 20 Ω e collegato ad
un galvanometro balistico.
37
3.1 Equazioni di Maxwell
Capitolo 3 Onde e oscillazioni
Determinare:
a. Il rapporto R = q/Q tra q la carica che fluisce nel galvanometro
tra il momento della chiusura dell’interruttore e il raggiungimento
di condizione stazionarie, e Q, la carica presente sulle piastre del
condensatore a regime.
b. Lo stesso rapporto se il condensatore non è nel vuoto ma in un
dielettrico omogeneo di costante dielettrica κ = 5.
38
3.1 Equazioni di Maxwell
a. Is =
1 ∂ΦE
E
= ǫ0 ∂Φ
c2 µ0 ∂t
∂t
ǫ0 πr2
= 5 nF
d
∆V v
ǫ0 (d+vt)
2 = 1.06 ·
C=
10−6 A/m2 (t = 0 s) ;
js =
2 s)
b. ΓB = µ0 js Σ = 8.65 · 10−15 T m
c. B(r) = µ02rjs = 4.13 · 10−13 T
d. Risposta a 1 e 2 non cambia, mentre a 3 sı´ .
a. B(r) = 2cr2 ∂E
∂t
B
q = ∆Φ
R
∂E(t)
∂t
t
−
V0
e R0 C
hR0 C
N abr2 V0
2c2 R R0 Ch
=
q=
Q = V0 /C ; q/Q = 11.5
b. ǫ0 → ǫ = κǫ
js → κjs , C → κC
q ′ /Q′ = 1/κ · q/Q = 2.3
39
2.19 · 10−7 A/m2 (t =
3.2 Onde E.M.
3.2
Onde E.M.
Esercizio 56
La radiazione solare cede alla superficie terrestre 2.2 calorie/cm2 /minuto (la
cosiddetta costante solare). Supponendo che l’onda EM sia piana e incida
normalmente alla superficie terrestre, calcolare:
a. i valori massimi di E e B;
b. la pressione sulla superficie terrestre p.
Esercizio 57
La radiazione solare sulla superficie della terra vale 1532 W/m2 . Sapendo
che la distanza media terra-sole RT = 149 · 109 m, la massa del sole vale
Ms = 1.99 · 1030 kg, calcolare:
a. La potenza irradiata dal sole;
b. la pressione di radiazione sulla terra e il suo rapporto con la pressione
atmosferica;
c. la dimensione di una vela solare, perfettamente riflettente, in grado
di compensare l’attrazione gravitazionale per una astronave di massa
m = 1000 kg;
d. il rapporto tra la forza gravitazionale e la forza di pressione per una
sferetta nera di dimensione a e densità ρ. Si calcoli il rapporto per
a = 3 · 10−5 cm e ρ = 2.5 g/cm3 .
40
3.2 Onde E.M.
a. < S >= 1532 W/m2
= E·B
= cǫ0 E 2
|S| = |E×B|
µ0
µ0
q
< |S| >= |S|/2 , E0 = 2<S>
= 1.07 kV /m
cǫ0
−6
B0 = E0 /c = 3.58 · 10 T
b. =< S > /c = 5 · 10−6 N/m2
a. L⊙ = 4πR2 Φ = 4.2 · 1026 W
b. prad = Φ/c = 5 · 10−6 N/m2
prad /patm = 5 · 10−11
2SL
, FG = GMR⊙2 m
c. Fp = 2Sprad = 4πR
2c
S = 2πG ML⊙⊙mc = 6 · 105 m2 = (770 m)2
d. Fp = pπa2
Fp
3L⊙
= 16πacρGM
=
FG
⊙
−5
rc = 1.6 · 10 cm
rc
a
41
3.3 Circuiti RLC
3.3
Circuiti RLC
Esercizio 58
Circuito RLC in serie è alimentato con una f.e.m. alternata V (t), C = 1.5 pF ,
L = 2 mH, R = 150 Ω. Mantenendo costante la frequenza di risonanza ωr
e tempo di decadimento γ del circuito, si sostituiscono i tre elementi del
circuito. La nuova capacità è C ′ = 0.75 pF .
Determinare:
a. L′
b. R′
c. Il rapporto tra la potenza assorbita dal circuito W e W ′ alla frequenza
di risonanza.
d. Quanto vale questo rapporto al di fuori delle condizioni di risonanza?
Esercizio 59
Si consideri il circuito in figura: RL = RC = 100 Ω, L = 10−3 H, C = 100 nF ,
Vef f = 220 V , ν = 50 Hz.
R
c
R
L
V
C
L
Calcolare:
a. La frequenza di risonanza ωR ;
b. La potenza dissipata dal circuito;
Esercizio 60
Un circuito RLC in serie è alimentato da una f.e.m. V (t) = V0 · cos(ωt),
V0 = 10 V . Il Q−valore è Q = 10, e la larghezza della risonanza ∆ω = 5·104 s
e la potenza dissipata alla risonanza P ris = 0.25 W .
Determinare:
a. Frequenza di risonanza ωr ;
b. I valori di R, L e C;
c. La frequenza ω alla quale la corrente è sfasata di π/4 rispetto alla
tensione;
d. La potenza media dissipata nel caso precedente;
42
3.3 Circuiti RLC
Esercizio 61
Si consideri il circuito RLC in figura, alimentato da una f.e.m. alternata con
frequenza ω.
R
V
C
L
Determinare:
a. I(t) in funzione di V (t) e discuterne l’andamento;
b. La potenza dissipata dal circuito;
Esercizio 62
Si consideri un circuito RLC con i tre elementi posti in parallelo e alimentati
da una f.e.m. alternata V (t) = V0 cos(ωt), V0 = 110 V , ν = 60 Hz, R = 50 Ω,
L = 2 H, C = 1 µF .
Determinare:
a. La corrente che circola su R, C e L rispettivamente;
b. La corrente totale I e lo sfasamento rispetto a V ;
c. La potenza dissipata;
Esercizio 63
Si consideri un circuito costituito da due circuiti LC accoppiati da una C,
ovvero da una L o da una R
Determinare:
a. Le correnti che circolano su ciascuna maglia;
b. I modi normali del sistema;
c. La potenza dissipata;
Esercizio 64
Un circuito è costituito da un generatore di tensione sinusoidale, con
ampiezza V0 = 12 V e frequenza ν = 50 Hz, che alimenta un parallelo
di una resistenza R = 87 Ω, una induttanza L = 0.14 H, e un condensatore
C = 33 µF .
43
3.3 Circuiti RLC
V
C
L
R
Calcolare:
a. l’impedenza complessa totale del circuito (modulo Z0 e anomalia φ);
b. la pulsazione ωr per la quale l’ampiezza della corrente è massima;
c. la massima carica Qmax presente sulle piastre del condensatore;
d. la corrente Ig erogata dal generatore nell’istante in cui la carica sul
condensatore è massima;
e. la potenza media erogata dal generatore Wgen ;
f. la potenza dissipata dalla resistenza a ν = 50 kHz;
g. verificare che la soluzione per la corrente soddisfa il principio della
conservazione della carica;
h. la massima/minima frequenza cui può lavorare il generatore se esso
è in grado di fornire, al massimo, una corrente Imax = 1 A (sugg.
1
≫ ωC e,
per frequenza massima si faccia l’approssimazione che Lω
1
);
viceversa, per la frequenza minima di supponga che ωC ≫ Lω
44
3.3 Circuiti RLC
a. LC = L′ C ′ ⇒ L′ = 4 mH
b. τ = 1/γ ; γ = R/L ⇒ R′ = RL′ /L = 300 Ω
c. Potenza dissipata solo da R W = RI 2 = V 2 /R
2
= RR′ = 0.5
W ′ /W = VV ′2/2R
/2R
2
2
R
C
ω RC
a. Y = 1/Z = ( 1+ω
2 R2 C 2 + R2 +ω 2 L2 ) + iω( 1+ω 2 R2 C 2 −
ω = ω0 = 1/LC
b. = V0 /2Z · cos φ = Vef f · Ief f · cos φ
L
)
R2 +ω 2 L2
a. ωr = ∆ω · Q = 5 · 10−5 s−1
b. = Vef f Ief f = V02 /2R
R = 200 Ω L = R/∆ω = 4 mH C = 1/(ω02 L) = 1 nF
c. φ = arctan 1/ωC−ωL
= π/4
R
ω1 = 5 · 104 rad/s ω2 < 0
d. =
V02
4R
= 0.125 W
1
a. Z = R + i( 1/(ωL)−ωC
)
I(t) =q
V /|Z|cos(ωt − φ)
1
|Z| = R2 + (1/(ωL)−ωC)
2
1
tan φ = 1/(ωL)−ωC
R
Anti-risonanza per ω = 1/LC
b. = V02 /2|Z| · cos φ
a. IC (t) = iωCǫ(t) = −4.15 · 10−2 sin(ωt) A
IL (t) = 1/(iωL)ǫ(t) = 1.46 · 10−1 sin(ωt) A
IR (t) = ǫ(t)/R = 2.2 cos(ωt) A
45
3.3 Circuiti RLC
b. Y = 1/Z = 1/R + i(ωC − 1/ωL) = Y0 eiδ
Y0 = 2 · 10−2 Ω−1
= 4.75 · 10−2
tan δ = ωC−1/ωL
1/R
Itot = 2.2 A
c. = Vef f Ief f cos δ = 1.21 · 102 W
a. ω12 = 3/LC ω22 = 1/LC
1
= Y0 eiφ = 1.69 · 10−2 [Ω−1 ]e−i0.82[rad]
a. Y = Z1 = R1 + i ωC − ωL
Z = Y10 e−iφ = 59.2[Ω]ei0.82[rad]
b. ωr =
q
1
LC
= 465 s−1
c. Q(t) = VC (t)C massima quando é massima VC = Vgen . Qmax = V C =
3.96 · 10−4 C
d. Igen = IR + IC + IL : su L e C la corrente è sfasata di π/2 rispetto alla
tensione del generatore, mentre è in fase su R. La carica è massima
quando la tensione è massima, quindi quando la corrente su L e C è
nulla. Resta solo la corrente su R. Itot = IR = V /R = 0.14 A
V2
cos φ = 0.83 W
e. Wgen = V I2tot cos φ = 2Z
0
f. Wgen =
V IR
2
=
V2
2R
= 0.83 W
1
− ωC sin(ωt) + R1 cos(ωt) = ZV0 cos(ωt+
g. Itot = IR +IL +IC = V ωL
φ)
h. Con le ipotesi fatte, ad alta frequenza,
il modulo dell’ammettenza
r
totale si approssima a Y0HF ≈
1
R2
+ (ωC)2 e quindi la corrente
totale
risulta pari a: V Y0HF < Imax , da cui si ricava ωmax <
r
1
C
Imax
V
2
−
1
R2
= 2.5 · 103 s−1
Analogamente, per basse frequenze
ωmin > q
L
1
(
Imax
V
)
2
− 12
R
= 86 s−1
46
Y0LF
≈
s
1
R2
+
1
ωL
2 e quindi
3.4 Sistemi a infiniti gradi di libertà
3.4
Sistemi a infiniti gradi di libertà
Esercizio 65
Una corda è vincolata a due estremi distanti L = 0.5 m e la frequenza
fondamentale di oscillazione è di ν = 440 Hz.
Determinare:
a. La distanza tra gli estremi L′ perchè la frequenza fondamentale di
vibrazione diventi ν ′ = 550 Hz.
b. La variazione della tensione della corda ∆T perchè la frequenza diventi
ν = 435 Hz.
Esercizio 66
La frequenza fondamentale di una corda di violino è di ν = 440 Hz, e la sua
lunghezza è L = 0.4 m. La densità della materiale con cui è fatta la corda è
ρ = 7.86 · 103 kg/m3 , e la sezione ha diametro di d = 10−3 m.
Calcolare:
a. La tensione della corda
b. L’impedenza caratteristica della corda
c. La tensione cui deve essere tesa per avere frequenza ν ′ = 460 Hz
d. Cosa succede se la corda viene sostituita con un’altra con densità 25%
più alta, mantenendo costanti gli altri parametri?
Esercizio 67
Una corda è vincolata ad un muro e ha una massa di M = 2 kg appesa
tramite una carrucola (di massa e dimensioni trascurabili) posta ad una
distanza di L = 1 m dal muro. La massa della parte orizzontale della corda
è pari m = 0.6 kg. Sulla corda si propaga un’onda armonica trasversale di
ampiezza ψ0 = 10−3 m e λ = 0.25 m.
Calcolare:
a. La velocità v dell’onda trasversale;
b. La velocità massima di ciascun punto della corda prima della
riflessione;
c. L’equazione del moto dell’onda;
d. Il flusso medio di energia nell’unità di tempo e di superficie che fluisce
attraverso una sezione arbitraria della corda;
47
Esercizio 68
Un’onda sonora armonica con ν = 300 Hz si propaga in aria in condizione
STP (T = 293 K, P = 1 atm, Vm = 22.4 l, Mm = 29 g, γ = 1.4). L’ampiezza
dell’onda di spostamento è pari a ψ0 = 3 · 10−8 m.
Determinare:
a. L’ampiezza dell’onda di pressione ∆p;
b. L’ampiezza dell’onda di densità ∆ρ;
c. L’intensità dell’onda I (W/m2 ) e B (dB);
Esercizio 69
Una sbarra di alluminio lunga L = 1 m, vincolata al centro, è colpita in modo
longitudinale ad una estremità e risuona ad una frequenza di ν = 2500 Hz.
Sapendo che la densità dell’alluminio è ρAl = 2710 kg/m3 , il modulo di Young
Y = 70 GN/m2 , la densità dell’aria è ρa = 1.3 kg/m3 e la costante adiabatica
dell’aria è γq= 1.4, (si ricordi inoltre che la velocità del suono in un solido è
pari a v = Y /ρ) determinare:
Commento: questo esercizio é nato come fusione di due altri esercizi, ma é venuto male . . .
a. La velocità del suono nell’alluminio vAl ;
b. La velocità del suono nell’aria vair ;
c. Dove si dovrebbe vincolare la sbarra per ottenere una frequenza di
ν = 3750;
d. Spiegare qualitativamente come cambia la frequenza della sbarra se il
colpo è trasversale invece che longitudinale e spiegare il perchè;
Esercizio 70
Un tubo sonoro aperto contiene aria (considerata gas perfetto) a 0 C, è lungo
L = 0.75 m e vibra alla frequenza del modo fondamentale. A seguito di una
variazione della temperatura dell’aria ∆t, la frequenza varia di ∆ν = 10 s−1 .
Sapendo che la velocità del suono nell’aria a 0 C è pari a v = 331 m/s,
calcolate
a. ∆t.
48
a. L′ = L νν′ = 0.4 m
b.
∆T
T
T ′′ −T
T
=
=
ν ′′
ν
2
− 1 = −2.3%
a. T = π(d/2)2 ρl · (2Lν)2 = 764 N
a. v =
mg
)
( M/L
q
b. vmax = ψ̇(x, t)max = ψ0 2π λv = 0.143 m/s
c. Onda progressiva ψ(x, t) = ψ0 cos(kx − ωt) k = 2π/λ = 25.1 m−1
, ω = 2πν = 2πv/λ = 144 rad/s cui va aggiunta quella regressiva
(riflessa) che insieme danno luogo ad un’onda stazionaria ψ(x, t) =
2ψ0 sin(kx) sin(ωt)
d. ΨE = 1/2ρl ψ02 ω 2 v = 34.9 · 10−3 W/m2
q
∂φ
a. ∆p = pγ
= vρ0 ∂φ
∆pmax = vρ0 ψ0 2πν v = γRT
= 342.6 m/s
v ∂t
∂t
µ
3
ρ0 = Mmole
q/Vmole = 1.3 kg/m ∆pmax = 0.025 atm
′
∆p = ∆p T /T ′ = 0.024 atm
b. ∆ρ =
∆p
v2
= 2.17 · 10−7 kg/m3 ∆ρ′ = ∆ρ(T /T ′ )3/2 = ...
a. vAl = νλ = ν2L = 5000 m/s
b.
vair
vAl
=
Al
( Yγpρρair
)
q
c. x = λ/4 = v/(4ν) = 1/3 m
d. vtran =
q
N/ρ ,
N < Y ⇒ v ⊥ < vk
a. λ = 2L vs = λν ν =
q
γR/m =
vs
√
T
q
γRT /m/(2L) ∆ν =
= 20 t = 25.3◦
49
q
γR/m
√
√
T +t− T
2L
Capitolo 4
Ottica
4.1
Rifrazione
Esercizio 71
Un raggio di luce bianca orizzontale attraversa un prisma con indice di
rifrazione n e apertura α = 4 deg, colpisce uno specchio verticale e
successivamente uno schermo. L’indice di rifrazione del prisma vale
Colore λ (nm) n(λ)
Blu
434
1.539
589
1.517
Giallo
768
1.511
Rosso
La distanza tra il prisma e lo specchio è d = 1m, mentre quella tra lo specchio
e lo schermo è d′ = 4 m.
Determinare:
a. l’angolo che deve formare lo specchio con la verticale per avere un
raggio uscente orizzontale per la luce gialla;
b. la dispersione della luce bianca sullo specchio;
c. la dispersione sullo schermo.
Esercizio 72
Un sottile fascio di luce incide su un prisma con angoli 30 − 60 − 90◦
perpendicolarmente all’ipotenusa. L’indice di rifrazione del prisma è n = 2.1.
Calcolare:
a. le superfici e gli angoli di uscita della luce;
b. i rapporti delle intensità dei raggi uscenti rispetto a quello entrante.
50
4.1 Rifrazione
Capitolo 4 Ottica
Esercizio 73
Si consideri un prisma isoscele fatto con un materiale con indice di rifrazione
n:
a. Quale deve essere l’angolo di apertura perchè ogni raggio incidente su
una faccia sia totalmente riflesso dall’altra faccia?
Esercizio 74
Una larga piscina circolare ha una profondità h = 2/3d dove d = 84 m è il
diametro. Un osservatore è posto ad una distanza dal bordo della piscina ad
una distanza pari alla altezza dal bordo stesso.
a. Quanto deve essere riempita d’acqua (n = 4/3) la piscina perchè
l’osservatore riesca a vedere il centro della piscina?
51
4.1 Rifrazione
Capitolo 4 Ottica
a. Con l’approssimazione di angoli piccoli δ = α(n − 1) = 2.068◦ (Angolo
uscita prisma rispetto orizzontale)
θ = δ/2 = 1.034◦ (Angolo inclinazione specchio)
b. δblue = 3.763 · 10−2 rad δrosso = 3.567 · 10−2 rad ∆xspecchio = ∆δ · d =
1.955 mm
c. ∆xschermo = ∆δ · (d + ds ) = 7.822 mm
a. θL = arcsin(1/n) ≈ 28.5◦ Luce incide su cateto maggiore con angolo
30◦ > θL , riflessione totale. Dopo riflessione su ipotenusa con
60◦ > θL , riflessione totale. Poi su cateto minore con 0◦ , quindi in
parte esce e in parte viene riflessa. La parte riflessa fa il cammino
all’indietro, sempre con riflessione totale, e esce da dove è entrata.
Se il primo cateto colpito è quello minore, il risultato non cambia.
2
4n
b. Nella prima riflessione si ha: T = n+1
= 87.4%, R = 1 − T =
12.6%. Nella seconda riflessione sul cateto, il raggio uscente ha
intensità relativa T · T = 76.4%. Nell’ultima riflessione sull’ipotenusa,
la parte uscente è T · R · T = 9.6%. In totale esce il 98.6% della luce
entrante, il rimanente ripete le stesse riflessioni.
a. Serve un po’ di geometria. . .
θ1,2,3 sono angoli di incidenza sulla prima faccia, rifrazione dalla prima
faccia, incidenza sulla seconda faccia, rispettivamente. Riflessione
totale se θ3 > θL = arcsin(1/n)
• primo caso: il raggio di luce rifratto all’interno del prisma è dalla
parte del vertice del prisma rispetto all’asse della prima faccia.
θ3 = α − θ2 > θL , θ2 (max) = θL ⇒ α > 2θL
• secondo caso: raggio di luce rifratta è nel semipiano più lontano
dal vertice rispetto alla normale alla prima faccia.
θ3 = θ2 + α > θL , θ2 (min) = 0 ⇒ α > θL
52
4.1 Rifrazione
Capitolo 4 Ottica
a. x livello di acqua nella vasca, r̂ angolo rifrazione, î angolo incidenza
1
= 37.4 m
d/2 = x tan r̂ + (2d/3 − x) x = d/6 1−tan
r̂
53
4.2 Interferenza
4.2
Capitolo 4 Ottica
Interferenza
Esercizio 75
Due fori di Young in aria distano d = 0.1 mm e illuminano uno schermo a
L = 20 cm con luce monocromatica: si osserva che i due max di ordine 10
distano tra loro ∆x±10 = 24 mm.
Calcolare:
a. λ
b. ∆x delle frange luminose sullo schermo.
c. λ′ nel vuoto perchè la figura di interferenza non cambi rispetto all’aria,
se tutto il sistema viene immerso in acqua (n = 4/3).
Esercizio 76
Un interferometro di Young ha 3 fori con apertura a << λ e separate
rispettivamente da d, 3/2d.
Calcolare, ponendo F0 l’intensità a θ = 0:
a. La posizione θm del primo massimo;
b. l’intensità del primo massimo rispetto a quello centrale;
c. l’intensità a θm /2.
Esercizio 77
Un’onda piana monocromatica λ = 550 nm incide perpendicolarmente su
schermo opaco con due fenditure parallele. La figura di interferenza si forma
su uno schermo posto sul piano focale di una lente con potere diottrico
P = 3 dr. Due frange successive distano D = 5mm.
Determinare:
a. La distanza tra le fenditure;
b. la larghezza delle fenditure, osservando che il massimo di ordine 8 non
è visibile;
c. Davanti ad una fenditura si pone una lamina di spessore uniforme
50 µm e le frange si spostano di 20 massimi.
Determinare l’indice di rifrazione del materiale.
Esercizio 78
Una sorgente di luce monocromatica λ = 504 nm incide perpendicolarmente
una lamina cuneiforme, con n = 1.4 e apertura α = 0.1 rad. Si osservano
54
4.2 Interferenza
Capitolo 4 Ottica
frange chiare e scure parallele allo spigolo. La lunghezza della lamina è
L = 45mm .
Calcolare:
a. La distanza x dallo spigolo delle prime tre frange scure;
b. idem per le chiare;
c. La frangia lungo lo spigolo è chiara o scura?
d. E quella all’altra estremità del cuneo?
e. Il numero totale di frange chiare e scure.
Esercizio 79
Un ricevitore di onde radio è posto sulla riva di un lago ad una altezza
h = 30 m s.l.l. e riceve segnali ad una λ = 1m da una galassia lontana sia
direttamente sia per riflessione su lago.
Calcolare:
a. Lo sfasamento δ dei due raggi in funzione dell’angolo α (altezza
sull’orizzonte);
b. Per quale valore di α l’intensità è massima sul rivelatore.
Esercizio 80
Un film sottile di spessore d = 300 nm, n = 1.5 è illuminato da luce bianca
con incidenza normale.
Calcolare la lunghezza d’onda corrispondente alla colorazione dominante del
film se osservato:
a. in riflessione;
b. in trasmissione.
Esercizio 81
L’interferometro in figura è illuminato con luce monocromatica λ =
612.2 nm: il raggi (paralleli) sono fatti passare per tubi di uguale lunghezza
l − 20 cm, inizialmente vuoti e si osservano un sistema di frange. Il tubo
superiore viene quindi riempito con un gas e si osserva che la frangia centrale
si sposta e occupa la posizione occupata prima dalla 98-esima frangia.
1111111111111111
0000000000000000
0000000000000000
1111111111111111
0000000000000000
1111111111111111
55
4.2 Interferenza
Capitolo 4 Ottica
Calcolare:
a. l’indice di rifrazione n del gas;
b. la minima ∆n osservabile.
Esercizio 82
Un film di sapone verticale è illuminato da luce di sodio λ = 589 nm. La
parte superiore, osservata in riflessione, è nera, mentre si vedono 5 frange
chiare in basso e il centro della 5a frangia è sul bordo inferiore. L’indice di
rifrazione dell’acqua saponata è n = 1.33.
a. Calcolare lo spessore del bordo inferiore e superiore.
Esercizio 83
Una lente è coperta da un film per ridurre la riflessione. L’indice di rifrazione
del film e della lente sono nf = 1.2 e nl = 1.4, rispettivamente. Si consideri
luce ad una lunghezza d’onda λ = 5000 Å.
Calcolare:
a. Lo spessore minimo del film per minimizzare l’intensità della luce
riflessa.
b. Quale dovrebbe essere nf perchè la riflessione sia la minima assoluta.
c. In quest’ultimo caso, la riflessione può essere ridotta a 0?
Esercizio 84
Una sorgente di luce con λ = 400 nm illumina perpendicolarmente 2 lastre
di vetro lunghe l = 10 cm: le lastre sono a contatto ad un estremo e separata
all’altro da un foglio di alluminio di spessore s. Osservo che i bordi sono
scuri, e sono visibile 250 frange chiare.
Calcolare:
a. Lo spessore s;
b. La precisione sulla misura di s.
Esercizio 85
L’interferometro in figura opera con luce quasi monocromatica λ = 480 nm,
∆λ = 1 nm. I due specchi inferiori sono semi-riflettenti, mentre quelli
superiori normali e distano h.
56
4.2 Interferenza
Capitolo 4 Ottica
α
x
S
R
Calcolare:
a. Di quanto si deve variare h per osservare due massimi successivi.
b. La massima distanza h per avere interferenza.
c. Successivamente un cuneo sottile, con α = 2◦ , n = 1.3, viene inserito
nel cammino ottico superiore (si trascuri la deviazione del raggio
stesso).
Si calcoli la variazione di profondità ∆x per osservare due minimi
successivi.
Esercizio 86
Due antenne radio emettono onde sferiche a frequenza ν = 300 M Hz in fase,
e distano p = 30 m. Ad una distanza d1 = 1 km, formando un triangolo
rettangolo di cateti p e d1 , c’è un ricevitore.
a. Calcolare ∆φ delle onde sul ricevitore.
A d2 = 2 km dall’antenna più vicina, su prolungamento del cateto d1
c’è un secondo ricevitore.
Calcolare:
b. Il rapporto tra le intensità I1 /I2 ;
c. Supponendo di mettere il tutto in un mezzo, quale deve essere la
costante dielettrica ǫr , per rendere nullo il segnalo sul primo rivelatore.
Esercizio 87
Un’onda piana monocromatica λ = 550 nm incide perpendicolarmente su
schermo opaco con due fenditure parallele. La figura di interferenza si forma
su uno schermo posto sul piano focale di una lente con potere diottrico
P = 3 dr. Due frange successive distano D = 5mm.
Determinare:
a. La distanza tra le fenditure;
b. la larghezza delle fenditure, osservando che il massimo di ordine 8 non
è visibile;
c. Davanti ad una fenditura si pone una lamina di spessore uniforme
50 µm e le frange si spostano di 20 massimi.
57
4.2 Interferenza
Capitolo 4 Ottica
Determinare l’indice di rifrazione del materiale.
58
4.2 Interferenza
Capitolo 4 Ottica
d
a. ∆x±10 = 20L λd λ = 20L
∆x±10 = 6 · 10−7 m
b. ∆x = λL
= 1.2 mm
d
′
c. ∆x′ = λndL = λL
= ∆x
d
′
λ = nλ = 798 nm
5
sin θ
a. Risolvo se E(θ) = E + Eeiδ + Eei 2 δ
δ = 2πd
λ
I ∝ |E 2 | = E 2 (3 + 2(cos δ + cos 32 δ + cos 25 δ))
Massimo per δ = 4π θ1 = 2λ
d
b. I( θ21 ) = I(0)/9
a. ∆z = f ∆θ = f λ/d quindi d = f λ/∆z = 3.7 mm
b. Minimo di diffrazione coincide con massimo di interferenza di ordine
8. Lλ = 8 λd , quindi L = d/8 = 34 µm.
(n − 1)h = 20 · 2π, quindi n = 1 + 20 λh = 1.22.
c. ∆φ = 2π
λ
2xα + π
a. ∆φ = 2πn
λ
= 0.9, 2.7, 4.5 mm
Frange chiare se ∆φ = 2kπ: x = (2k+1)λ
4αn
kλ
b. Frange scure se ∆φ = (2k + 1)π: x = 2αn = 0., 1.8, 3.6 mm
c. La frangia è scura
d. La frangia è scura L/passo = 25
e. Si vedono 26 scure e 25 frange chiare.
a. ∆φ = − 4π
h sin α + π
λ
λ
b. sin αmax = 4h
= 0.48◦
a. ∆φ =
2π
n(2d)
λ
+ π λmax =
4nd
2k+1
nel range ottico solo λ = 600 nm
59
4.2 Interferenza
Capitolo 4 Ottica
n(2d) λmax = 2nd
nel range ottico solo λ = 450 nm
b. ∆φ = 2π
λ
k
Tuttavia, il coefficiente di riflessione è pari a R = 4% (e quello di
trasmissione T = 96%), quindi il raggio che viene riflesso internamente
due volte risulta avere una intensità di circa 0.15% rispetto a quello
trasmesso. La differenza di intensità è tale da non produrre (quasi)
nessuna interferenza, quindi la luce trasmessa risulterà bianca come
quella incidente. Nel caso di riflessione, entrambi i raggi vengono
riflessi una volta, quindi hanno una intensità simile e pertanto si
osserva l’interferenza.
l(n − 1) = N 2π n = 1 + N λ/l = 1 + 3 · 10−4
a. ∆φ = 2π
λ
b. 2π
l(n1 − n2 ) = π ∆n = 2lλ = 1.53 · 10−6
λ
a. Nella parte superiore lo spessore non contribuisce allo sfasamento della
luce diretta e riflessa: d < λ/2
9λ
Per la parte inferiore: ∆φ = 2π
2dn + π = 2kπ k = 5 d = 4n
=
λ
2
9.96 · 10 nm = 1.0 µm
a. ∆φ =
2π
2dn = π d = 4nλ1 = 0.104 µm
λ
−n2 2
) = 0.826 R2 = 5.9 · 10−3
( nn11 +n
2
√
b. R1 =
Riflessione minima per n1 = n0 n2 = 1.18
c. Riflessione non è nulla perchè non tutta la luce viene riflessa dalla
seconda interfaccia, ma in parte (R − 1) viene trasmessa.
a. ∆φ = 2π
2 xsl + π Scuro per x = 0 (k = 0) e x = l
λ
= 50 µm
s = kλ
2
∆s
∆k
b. s = k = 1/250 = 4 · 10−3
s = 50 ± 0.2 µm
a. ∆φ =
2π
2h
λ
∆h =
λ
2
= 240 nm
60
(k = 250)
4.2 Interferenza
Capitolo 4 Ottica
2πλ
2h < ∆x =
b. Tempo di coerenza della luce ∆t∆ω ≈ 1 ∆t = ω∆λ
0.115 mm
λ
c. ∆φ = 2π
dα(n − 1) = 2π ∆d = α(n−1)
= 45.7 µm
λ
a. ∆φ =
2π p2
λ 2d1
b. ∆φ2 =
p2
2π
λ 2d2
= 2.83 rad
= 81◦ R =
(1+cos ∆φ1 )d22
(1+cos ∆φ2 )d21
c. λ′ = λ/n = √λǫµ
ǫr = (λ/λ′ )2 = 1.23
61
= 0.17
λ2
∆λ
=
4.3 Diffrazione
4.3
Capitolo 4 Ottica
Diffrazione
Esercizio 88
I fari di un’automobile D = 1.3 m, λ = 500 nm, sono osservati da un
osservatore la cui pupilla ha un diametro di 5 mm.
a. Calcolare la distanza massima per cui si distinguono i due fari L.
b. In queste condizioni, la separazione sulla retina (che dista p =∼
24 mm dalla pupilla) dell’immagine dei due fari x.
Esercizio 89
Un telescopio ha una lente principale con apertura pari a D = 25 cm e focale
f = 60 cm. Esso viene usato per osservare una coppia di stelle, angolarmente
molto vicine tra loro.
a. Nell’ipotesi che la luce delle stelle sia rossa, si calcoli la minima
distanza angolare α per poterle distinguere.
Esercizio 90
Un’onda piana monocromatica λ = .55 µm incide perpendicolarmente uno
schermo opaco su cui sono presenti due fenditure parallele. La figura di
interferenza si forma su uno schermo, posto sul piano focale di una lente con
potere diottrico P = 3 diottrie. Si osserva che due frange chiare successive
distano d = 5 mm.
Calcolare:
a. la distanza l tra le fenditure;
b. la larghezza della singola fenditura, osservando che il massimo di
ordine 8 non risulta visibile;
c. Davanti ad una delle fenditure si pone una lamina con spessore
h = 50 µm, e si osserva che le frange si spostano di 20 massimi.
Calcolare l’indice di rifrazione n del materiale.
Esercizio 91
Un fascio di luce monocromatica colpisce normalmente una fenditura larga
w = 5λ. Si vuole far sı̀ che la luce che attraversa la metà superiore della
fenditura sia abbia un ritardo di fase pari a π rispetto alla metà inferiore.
a. Come si può fare?
b. Come risulta la figura di interferenza risultante?
62
4.3 Diffrazione
Capitolo 4 Ottica
a. La pupilla viene investita da due fronti d’onda piani e si comporta
come un foro circolare diffusore. L’immagine di ogni fascio luminoso
è una figura di diffrazione λ ≪ d. Il primo mimino di diffrazione si ha
ad un angolo θ = 1.22 λd . Le due figure di diffrazione si possono dire
risolte se il massimo del secondo disco coincide (o è più lontano) con
il primo minimo del primo disco: criterio del (lord) Rayleigh.
Quindi i due fari risultano risolti, considerando solo la diffrazione della
pupilla, se D
> 1.22 λd , quindi se L < 10.7 km.
L
Questo risultato è in contrasto con l’esperienza: una prima
osservazione è che, data la curvatura terrestre, la distanza
dell’orizzonte per una persona i cui occhi siano a circa 1.70 cm da
terra risulta essere circa 5 km, inferiore alla distanza di risoluzione dei
fari secondo il calcolo di prima. Quindi, in una pianura, non appena
i fari sono visibili, sono anche risolti: il che è accade.
Il fattore che abbiamo trascurato è la dimensione dei sensori (coni e
bastoncelli) sulla retina.
b. La distanza sulla retina delle immagini dei due fari, o meglio, del
.
centro delle rispettive figure di diffrazione, risulta x = θp = D
L
Questa va confrontata con la dimensione dei sensori, che è circa di
5 µm. Perchè le due immagini risultino distinte, devono colpire due
sensori non adiacenti, quindi devono distare circa x > 10 µm. Il
che porta ad un angolo minimo di risoluzione θm = xp ∼ 4 · 10−4 rad.
Con questa risoluzione angolare, la distanza minima dovrà essere circa
L ∼ 3.2 km che è un valore più ragionevole.
Si poteva risalire all’angolo minimo di risoluzione, osservando che alla
distanza di visione distinta (Ld ∼ 20 cm), l’occhio normale è in gradi
0.1
di risolvere circa un decimo di mm. θ = 200
∼ 5 · 10−4 rad, in buon
accordo con i numeri precedenti.
a. La lente è un foro circolare investito da una onda piana, che quindi
produce una immagine di diffrazione circolare di raggio r = f ∆θ =
f · 1.22λ/D ≈= 2 µm, stimando λ ≈ 650 nm.
Il minimo α risolvibile è quindi α > ∆θ = 3 · 10−6 rad posto che i
sensori sullo schermo siano più piccoli di ∼ 1µm.
63
4.3 Diffrazione
Capitolo 4 Ottica
a. D = Pλl quindi l = PλD = 3.7 mm
b. Minimo di diffrazione corrisponde all’ottavo massimo di interferenza:
λ/L = 8λ/d, L = d/8 = 34 µm
h(n − 1) = 20 · 2π, quindi n = 1 + 20λ/h = 1.22.
c. ∆φ = 2π
λ
λ
a. Per esempio mettendo una lamina di spessore d = 2(n−1)
davanti a
metà fenditura.
b. Posso considerarlo come due fori di Young, distanti w/2 e larghi w/2,
con uno sfasamento ulteriore di π tra il primo e il secondo.
2
sin θ
I(θ) = I0 · (sin2 φ) · sinφ2 φ con φ = wπ
2λ
64
4.4 Reticoli
4.4
Capitolo 4 Ottica
Reticoli
Esercizio 92
Un fascio piano di onde e.m. con frequenza ν = 1011 Hz incide su uno
schermo conduttore piano su cui sono praticate 5 fenditure parallele e lunghe,
di larghezza a = 6 mm e passo p = 18 mm.
Calcolare:
a. quanti massimi di segnale sono presento oltre a quello a θ = 0;
b. la posizione di questi massimi;
c. quanto deve essere largo un rivelatore per raccogliere tutta l’energia
del primo massimo se la distanza tra le fenditure e il rivelatore è
L=1m
Esercizio 93
Luce piana, monocromatica, λ = 0.6 µm colpisce un reticolo con N = 5
fenditure parallele e lunghe, con passo p = 9 µm e larghezza a << λ. A
distanza di 1 m è posto una lente con potere P = 2 dt, e si osserva la figura
di interferenza di Fraunhofer su schermo posto sul piano focale della lente.
Calcolare:
a. La distanza sullo schermo tra il massimo principale e quello di ordine
1;
b. Il numero di max secondari compresi tra due max primari;
c. Sposto lo schermo per osservare l’immagine delle fenditure: quale deve
essere la distanza tra queste immagini?
Esercizio 94
Un fascio di luce con λ = 514.5 nm (Argon) incide normalmente su un reticolo
con N = 6000 righe/cm.
Calcolare:
a. Il più elevato ordine di massimo principale;
b. La distanza tra il max 0 e max 1 se l’immagine è focalizzata con lente
con f = 12 cm;
c. La dimensione minima del reticolo per risolvere nel max del primo
ordine il doppietto λ = 514.5 ÷ 514.6 nm
Esercizio 95
Un reticolo con N = 8000 fenditure di larghezza a = 3 µm e passo p = 8 µm
65
4.4 Reticoli
Capitolo 4 Ottica
viene illuminato con luce monocromatica e normale λ = 0.4 µm. La luce
viene osservata su piano focale di una lente.
Calcolare:
a. Il numero di massimi principali;
b. L’intensità del max di ordine 4 rispetto a quello di ordine 0;
c. Il minimo diametro della lente per non aumentare la larghezza dei
massimi.
Esercizio 96
Un reticolo è illuminato da luce λ = 5550 Ånormale e osservata con una
lente. Si vedono massimi corrispondenti a sin θ = 0.2, 0.4, 0.6. L’intensità
della 3a riga è 25% di quella centrale.
Calcolare:
a. Il passo del reticolo;
b. La larghezza minima delle fenditure;
∂θ
c. La dispersione massima D = ∂λ
d. La max separazione angolare per il doppietto del sodio λ =
5890, 5896 Å.
Esercizio 97
Un reticolo con 5000 fenditure per cm, larghezza L = 5 cm è illuminato con
luce λ = 0.55 µm in condizioni di Fraunhofer.
Calcolare:
a. Il numero di massimi principali;
b. la minima larghezza delle fenditure per cui il max di ordine più elevato
è assente;
c. La distanza tra il max di ordine 0 e 1 se visto con lente con P = 3 dr;
d. Il minimo ∆λ risolvibile.
66
4.4 Reticoli
Capitolo 4 Ottica
a. Il conduttore assorbe le onde e.m., quindi siamo in presenza di un
reticolo formato da 5 fenditure. La posizione dei massimi principali
di interferenza è data da:
λ
sin θn = n
p
Il più grande ordine di massimi principali si ottiene forzando il
sin θn < 1, il che porge: nmax = int λp . Nel nostro caso λp = 6,
quindi il massimo ordine visibile sarebbe il numero 6, per un totale
di (6 · 2) + 1 = 13 massimi, per tenere conto di quelli a destra e a
sinistra n = ±1, ±2, . . . e del massimo centrale. Il massimo principale
di ordine 6 si ha per sin θ6 = 1, il che non è molto fisico, visto che
corrisponderebbe a θ6 = 90◦ .
Occorre poi tenere conto dei minimi di diffrazione, ossia del cosiddetto
fattore di forma. Essi sono presenti per:
λ
sin θm = m
a
e, nel caso coincidano con i massimi di interferenza, rendono invisibili
questi ultimi. Occorre perciò verificare se vi siano coppie di interi con
segno n, m, con n < 6 tali da verificare sin θm = sin θn , ovvero tali
che:
a
n
= =3
m
p
Si trova cosı̀ che i minimi di diffrazione di ordine ±1 e ±2
corrispondono ai massimi di interferenza di ordine ±3 e ±6,
rispettivamente.
Quindi i massimi effettivamente visibili sono ((6 − 2) · 2) + 1 = 9.
Per inciso, il massimi di ordine ±6 non risulta comunque visibile
perchè sovrapposto ad un minimo di diffrazione, togliendoci quindi
dall’imbarazzo se dichiararlo visibile o meno (non sarebbe visibile).
b. La posizione dei massimi è: xn = L · tan θn = L tan arcsin( nλ
) dove
p
l’approssimazione per angoli piccoli non vale nel nostro caso (tranne
che per n = ±1).
x±n
n
1 ±16.9 cm
2 ±35.3 cm
4 ±89.4 cm
5 ±150.8 cm
67
4.4 Reticoli
Capitolo 4 Ottica
c. La distanza tra un massimo principale e il minimo immediatamente
adiacente è pari a ∆θ = Nλp , ed equivale alla semi-larghezza del
massimo principale. Per raccogliere tutta la luce ho quindi bisogno di
un rivelatore largo:
∆zriv = 2 · L
λ
= 6.67 cm
Np
.
, quindi ∆x0,1 = f λp =
a. Massimi principali sono: xn = f · sin θn = f nλ
p
3.3 cm
b. Tra due massimi principali vi sono N − 1 minimi e N − 2 massimi
secondari.
c. Per osservare sullo schermo l’immagine delle fenditure p1L + q1L = f1L
che porge: qL = 1 m.
La distanza tra le immagini delle due fenditure sullo schermo è quella
originale moltiplicata per l’ingrandimento: y ′ = pq y = y
a. Il passo è p = 1/N = 1.67 µm, nmax < λp = 3.23, quindi il massimo
ordine di massimi principali e’ il terzo.
b. La posizione del massimo centrale è x0 = 0. Quella del massimo di
ordine n è xn = nf λ/p (nell’approssimazione di angoli piccoli). Quindi
x1 = 3.7 cm.
λ
c. Il potere risolutivo del reticolo è ∆λ
< nN , dove N è il numero
totale di fenditure N = Nl · D, al primo ordine risulta quindi
D > Nlλ∆λ = .875 cm. Se invece avessi considerato il terzo massimo
principale, dove il potere risolutivo è massimo, la larghezza sarebbe
stata un terzo D3 = .286 cm.
a. nmax < d/λ = 20, quindi ci sono 20 · 2 + 1 = 41 massimi principali
di interferenza. Si deve tenere conto anche del fattore di forma, la
diffrazione della singola fenditura, che ha dei minimi in corrispondenza
a sin θm = mλ/a. Se questi corrispondono ai massimi di interferenza,
allora questi ultimi non sono visibili. Ciò avviene se nλ/p = mλ/a
n
= 38 , e quindi per (m, n) = ±(3, 8), ±(6, 16). Quindi ci sono
cioè se m
41 − 4 = 37 massimi visibili.
68
4.4 Reticoli
Capitolo 4 Ottica
b. I4 /I0 =
sin2 Φ4
Φ24
dove Φ4 =
πa
λ
sin θ4 =
πa
.
d
Quindi I4 /I0 = 0.045
c. La larghezza angolare del massimo principale è ∆θ = Nλd . La
risoluzione della lente non deve essere superiore a tale larghezza
angolare, quindi: 1.22 Dλ < Nλd , cioè D > 1.22N d = 7.8 cm
a. sin θnmax = n λp quindi, considerando il primo massimo, p = λ/0.2 =
2.78 µm.
2
(f rac3πap)
= 0.25. Risolvendo numericamente l’equazione, si
= sin(f rac3πap)
2
ottiene a/p ≈ .2, quindi a ≈ 0.556 µm
c. La dispersione di ottiene derivando la relazione sin θ = nλ/p e si
b.
I3
I0
ottiene D =
p 2
n
−λ
2
−1/2
, che, per i valori del problema, e
all’ordine 3 (il quarto ha un’intensità di solo il 4% quindi poco visibile)
D3 = 1.39 rad/µm
d. ∆θ = D3 · ∆λ = 8.3 · 10−4 rad.
a. nmax < p/λ = 3, quindi ho 3 · 2 + 1 = 7 massimi.
b. Minimi di diffrazione sin θ3 = 3λ/p = λ/a, quindi a = p/3 = 0.67 µm
c. ∆x =
λ
pP
= 9 cm
d. considero il max di ordine 2 (il più elevato visibile), ∆λ >
1.1 · 10−5 µm
69
λ
2nL
=
4.5 Polarizzazione
4.5
Capitolo 4 Ottica
Polarizzazione
Esercizio 98
Un reticolo con N fenditure orizzontali, larghe a e con passo p, è posto
perpendicolarmente a superficie di un liquido con n = 2.0. Il reticolo è colpito
normalmente alla sua superficie da onda piana λ = 0.6 µm. Si osserva che
la luce del massimo principale di ordine 3, riflessa dal liquido, è polarizzata
linearmente.
Determinare:
a. Il numero dei massimi principali;
b. Il minimo valore di a per cui il massimo principale di ordine più grande
non è visibile;
c. Il numero di massimi principali se il reticolo è immerso in un liquido
con n = 2 e illuminato con la stessa ν.
Esercizio 99
Un sottile fascio di luce non polarizzata monocromatica, con intensità I0 =
1.2 W/m2 si propaga lungo l’asse x e attraversa nell’ordine:
• un polarizzatore lineare con asse ottico α lungo y;
• una lamina di quarzo di spessore d = 0.018 mm, n0 = 1.5442
ns = 1.5533 e asse ottico parallelo a asse z;
• un secondo polarizzatore lineare con asse ottico che può ruotare
liberamente.
Si osserva che l’intensità del fasci emergente dal sistema non dipende
dall’orientamento dell’asse ottico del secondo polarizzatore. Determinare:
a. la lunghezza d’onda λ della luce incidente;
b. l’angolo α;
c. l’intensità della luce I1 dopo il primo polaroid;
d. l’intensità della luce I2 dopo il quarzo;
e. l’intensità della luce I3 dopo il secondo polaroid;
Esercizio 100
Una sorgente non polarizzata emette luce ad una lunghezza d’onda λ =
550 nm e illumina due fori di Young di larghezza D = 1 mm e distanti tra
loro d = 5 mm. Calcolare:
70
4.5 Polarizzazione
Capitolo 4 Ottica
a. la posizione del massimo di terzo ordine su uno schermo a distanza
l = 10 m;
b. il rapporto tra l’intensità del massimo di terzo ordine rispetto a quello
principale
Successivamente si pongono due polaroid P1 e P2 dietro alle due
fenditure. Discutere come cambia la figura nei seguenti casi:
c. l’asse ottico di P1 è parallelo a quello di P2 ;
d. gli assi ottici di P1 e P2 sono perpendicolari;
e. si calcoli inoltre quanto vale il rapporto di cui al punto 2 nei due casi.
Esercizio 101
Una cella di lunghezza l = 1 cm contiene una soluzione acquosa di
molecole organiche ed ha indice di rifrazione nsx e ndx per luce polarizzata
circolarmente a sinistra e a destra, rispettivamente: (nsx − ndx ) = 2 · 10−5 .
Un fascio di luce polarizzata linearmente con λ = 550 nm entra nella cella.
a. Discutere lo stato di polarizzazione della luce uscente.
Esercizio 102
E’ disponibile in commercio un film costituito da un polarizzatore lineare e
una lamina a λ/4 in successione, con assi ottici a π/4 tra loro. Si discuta:
a. l’effetto di tale film su un raggio di luce non polarizzata se viene
attraversato prima il polarizzatore e poi la lamina in termini sia di
intensità che di stato di polarizzazione;
b. lo stesso se il film è rovesciato, e quindi viene attraversata prima la
lamina e poi il polaroid;
c. come si può fare a capire il verso del film?
Esercizio 103
Quattro polaroid perfetti, ciascuno con asse ottico ruotato di 30◦ rispetto al
precedente, sono posti in successione e illuminati con un raggio di luce non
polarizzato.
a. Calcolare l’intensità della luce rispetto a quella incidente dopo ciascun
polaroid.
b. Cosa succede se tolgo i polarizzatori intermedi (numero 2 e 3)?
71
4.5 Polarizzazione
Capitolo 4 Ottica
a. La luce del massimo di ordine 3 incide la superficie del liquido ad
un angolo corrispondente all’angolo di Brewster, diventando cosı̀‘
polarizzata.
1
θ3 = arctan = 26.6◦
n
Da cui si ricava il passo del reticolo: p = sin3λθ3 = 4 µm
Il massimo ordine di massimi è: nmax < λp = 6.67 e il numero totale
di massimi principali: Nmax = 2nmax + 1 = 13.
b. Il massimo di ordine più elevato è il 6: perchè risulti non visibile deve
coincidere con il primo minimo di diffrazione della singola fenditura.
a = p6 = 0.67 µm
sin θm = λa = sin θ6 = 6λ
p
c. Se cambia il mezzo in cui il sistema è immerso, la lunghezza d’onda
della luce incidente diventa λ′ = λ/n. Il massimo ordine di massimi
diventa quindi: n′max < λp′ = 13.3, e quindi il numero totale di massimi
′
principali Nmax
= 2n′max + 1 = 27.
a. La luce che emerge dalla lamina deve essere polarizzata circolarmente:
dato che quella dopo il primo polarizzatore è polarizzata linearmente,
la lamina deve introdurre un ritardo di ∆φ = π2 ( λ4 ) per la λ incidente.
, λ = 4d(ns − no ) = 6.55 · 10−7 m
∆φ = π2 = d(ns − no ) 2π
λ
b. Perchè la luce diventi polarizzata circolarmente dopo la lamina, il suo
asse ottico deve essere a 45◦ rispetto alla direzione della polarizzazione
lineare entrante, quindi α = 45◦ .
c. Il polaroid non fa passare la componente della luce perpendicolare
all’asse ottico: I1 ∝ (E0y )2 , I0 ∝ (E0y )2 + (E0z )2 . Visto che E0y = E0z ,
I1 = I0 /2 = 0.6 W/m2
d. La lamina introduce un ritardo di fase tra il raggio ordinario e quello
straordinario, ma non assorbe (idealmente): I2 = I1 = I0 /2 =
0.6 W/m2
e. I3 = I2 /2 = I0 /4 = 0.3 W/m2
72
4.5 Polarizzazione
Capitolo 4 Ottica
. Quindi la posizione del
a. L’angolo del terzo massimo è: sin θ3 = 3λ
d
massimo sullo schermo è x3 = lθ3 = 3.3 mm. Si noti che siamo in
condizioni di Fraunhofer.
b. L’intensità dei massimi principali dipende solo dal fattore di forma del
reticolo, non da quello di struttura.
2
R3 = sinΦ2Φ3 = 0.25 , Φ3 = π Dλ sin θ3
3
c. La figura di interferenza non cambia. Se la sorgente rimane la stessa,
allora l’intensità delle fenditure si riduce a metà e in conseguenza
l’intensità dei massimi principali si riduce a 1/4 rispetto al caso
precedente.
d. Non c’e’ più alcuna figura di interferenza. Il campo elettrico della luce
della prima fenditura è sempre perpendicolare a quello della seconda.
In questo modo l’intensità sullo schermo risulta essere:
2
2
2
I ∝< Etot
>=< (E~1 + E~2 )2 >=< E~1 + E~2 >=< E12 + E22 >
Cioè non è più presente il termine del doppio prodotto E~1 · E~2 ,
responsabile dell’interferenza, poichè E~1 ⊥ E~2 .
e. Il rapporto non cambia, poichè dipende solo dal fattore di forma, che
rimane identico, e non da quello di struttura.
a. Scomponiamo la luce entrante in due componenti: una polarizzata
circolarmente destra e una sinistra. La cella farà ritardare una
componente rispetto all’altra di una fase ∆phi = d(ns − nd ) 2π
λ
Ex
Ey
= E0x cos(ωt − kz) =
=
0
=
E0
2
E0
2
cos(ωt − kz) +
sin(ωt − kz) −
E0
2
E0
2
cos(ωt − kz)
sin(ωt − kz)
Dove si possono riconoscere le due componenti circolare destra (Ex ∝
+ cos φ Ey ∝ + sin φ) e sinistra (Ex ∝ + cos φ Ey ∝ − sin φ).
Dopo la cella, il campo elettrico ha la forma E ′ = Edx + Esx (φ =
φ + ∆φ), dove la componente sinistra ha subito un ritardo di fase ∆φ
Ex′
Ey′
=
=
E0
2
E0
2
cos(ωt − kz) +
sin(ωt − kz) −
E0
2
E0
2
cos(ωt − kz + ∆φ)
sin(ωt − kz + ∆φ)
E’ possibile dimostrare che la polarizzazione all’uscita continua ad
essere lineare, ma con un asse ruotato rispetto a quella entrante di
Ey
. Il conto trigonometrico è piuttosto
= tan ∆φ
un angolo tan α = E
2
x
noioso ma si può semplificare scegliendo un istante t per cui ωt−kz = 0
e si ottiene:
73
4.5 Polarizzazione
tan α =
Ey
Ex
Capitolo 4 Ottica
=
− sin φ
1+cos φ
= −0.11 rad
a. Consideriamo il verso per cui il polaroid si trova prima della lamina.
Il polaroid dimezza l’intensità luminosa e polarizza la luce lungo il
suo asse ottico. Successivamente la lamina fa diventare circolare la
polarizzazione.
Quindi la luce esce polarizzata circolarmente e con intensità
dimezzata.
b. Nel caso opposto, la lamina non ha alcun effetto sulla luce (non
polarizzata) incidente, nè in termini di intensità ne di polarizzazione.
Successivamente il polaroid rende la luce polarizzata linearmente e
riduce a metà l’intensità.
Quindi luce esce polarizzata linearmente e con intensità dimezzata.
c. Se abbiamo a disposizione un secondo polaroid, è facile controllare
se la luce uscente ha intensità uniforme al ruotare dell’asse ottico
dell’analizzatore (caso a)) oppure no (caso b) ).
Senza un analizzatore, si può far riflettere la luce uscente da uno
specchio e farla passare di nuovo attraverso il nostro film.
Nel caso a), la luce riflessa dallo specchio risulta essere ancora
polarizzata circolarmente, ma con verso opposto. La lamina a λ/4
la rende di nuovo polarizzata linearmente, ma con asse perpendicolare
rispetto a prima e successivamente il polarizzatore, che é ortogonale,
non fa passare nulla. Quindi non si vede luce riflessa.
Nel caso b), la luce polarizzata linearmente resta tale anche dopo la
riflessione, passa senza variazioni attraverso il polarizzatore e quindi
viene resa polarizzata circolarmente dalla lamina. Quindi si vede
luce, polarizzata circolarmente, e con intensità pari a metà di quella
entrante.
a. E 2 = E⊥2 + Ek2 e E⊥2 = Ek2 dato che la luce incidente è non polarizzata
(si intendono i valori mediati nel tempo)
I1 =
I0
2
ˆ + E2k k̂ = E1 cos α⊥
ˆ + E1 cos αk̂ dove α = 30◦ . La
~ 1 = E2⊥ ⊥
E
componente ⊥ non passa attraverso il polarizzatore: E22 = E12 cos2 α,
74
4.5 Polarizzazione
Capitolo 4 Ottica
quindi
I2 = I1 cos2 α =
.
Analogamente:
I3 =
I0
cos2 α
2
I0
cos4 α
2
I0
cos6 α = 0.21 I0
2
b. Se i polarizzatori centrali non ci sono, l’angolo tra i due rimanenti
(primo e quarto) risulta essere di 90◦ , quindi non passa luce dopo
l’ultimo polaroid.
I4 =
75
4.6 Lenti
4.6
Capitolo 4 Ottica
Lenti
Esercizio 104
Due lenti biconvesse sono posizionate lungo il cammino ottico di un fascio di
luce, separate da una distanza d. Il fascio di luce è parallelo e esce parallelo
dopo le due lenti. Se si sposta la seconda lente di a si forma una immagine
ad una distanza b da essa. Noto il raggio di curvatura delle lenti R = 30 cm,
a = 10 cm, b = 15 cm e d = 30 cm, determinare:
a. L’indice di rifrazione n della seconda lente;
b. la distanza focale f della prima lente.
Esercizio 105
La distanza focale di un microscopio è 5 mm, quella dell’oculare 48 mm. Un
oggetto è posto ad una distanza dall’obbiettivo pari a 5.1 mm: ricordando che
per un osservatore la “visione distinta” avviene per una distanza di 240 mm,
calcolare:
a. la lunghezza del microscopio;
b. l’ingrandimento dell’oggetto.
Esercizio 106
Uno specchio sferico concavo circolare ha un diametro d = 30 cm e freccia
f = 1.5 cm, e riflette un oggetto posto a 4 m dalla sua sperficie.
a. Dove si forma l’immagine?
b. E’ reale o virtuale?
Esercizio 107
Si vuole proiettare l’immagine di un oggetto su uno schermo distante 3.20 m.
Si hanno a disposizione tre diverse lenti, di focale, rispettivamente f =
95, 80, 45 cm.
a. Come si possono posizionare le lenti?
Esercizio 108
Una sorgente luminosa si trova tra uno specchio e uno schermo paralleli.
a. Trovare la distanza dallo specchio per cui l’illuminazione dello schermo
diventi (m/n) volte quella senza specchio.
Esercizio 109
76
4.6 Lenti
Capitolo 4 Ottica
Un oggetto si trova ad una distanza D da uno schermo. Si vuole proiettare
l’immagine dell’oggetto sullo schermo ingrandita di un fattore I.
a. Che lente devo usare, e dove deve essere messa?
Esercizio 110
Un pesce si trova ad una profondità di p = 40 cm sotto la superficie di un lago
(n = 1.33) ed è osservato da una lente convergente con focale f = 400 cm
che si trova d = 20 cm sopra la superficie del lago. Determinare:
a. Dove è osservata l’immagine del pesce (che si assuma su asse ottico
della lente)
b. Quale è l’ingrandimento con cui si vede il pesce?
Esercizio 111
L’indice di rifrazione può essere aumentato diffondendo impurità in un mezzo
trasparente: è possibile in questo modo costruire lenti di spessore constante.
a. Si consideri un disco di raggio a e spessore d, trovare n(r) per ottenere
una lente di focale F. Porre n(0) = n0 .
Esercizio 112
Un oggetto lungo 5 mm è posto a 50 cm da una lente di una macchina
fotografica, sull’asse ottico. L’immagine è focalizzata sulla pellicola ed è
lunga 1 mm. Se la pellicola viene spostata indietro di 1 cm, l’immagine
si sfocalizza di 1 mm (Cioè l’immagine di un punto luminoso diventa larga
1 mm).
a. Calcolare il rapporto focale F della lente (F = f /D, D larghezza
lente).
Esercizio 113
Un uomo di di 55 anni è in grado di mettere a fuoco immagini poste tra
100 e 300 cm. Si consideri l’occhio come un sistema ottico formato da una
lente convergente con focale variabile (cristallino) posto a 2 cm dallo schermo
(retina).
Determinare:
a. la lunghezza focale del cristallino al punto lontano;
b. quella del punto vicino;
c. la lunghezza focale nella parte inferiore delle sue lenti bifocale per
mettere a fuoco un punto distante 25 cm;
77
4.6 Lenti
Capitolo 4 Ottica
d. perchè è necessario che le lenti siano bifocali.
Esercizio 114
In ambito astronomico è stato proposto uno specchio parabolico ottenuto
ruotando mercurio (liquido) attorno ad un asse.
Determinare:
a. la forma dello specchio che si ottiene in questo modo: l’equazione della
superficie e l’equazione ottica dello specchio;
b. la velocità angolare cui si deve ruotare il mercurio per avere una
distanza focale di 10 cm.
Esercizio 115
Uno specchio sferico orizzontale focalizza luce parassiale (prossima all’asse e
parallela) ad una distanza di 20 cm. Si riempie la concavità dello specchio
con acqua (n = 4/3) e si illumina il sitema dall’alto attraverso un forellino
praticato su uon scehrmo pure orizzontale.
a. Determinare la distanza alla quale si deve porre lo schermo forato
perchè l’immagine sia a fuoco sullo schermo stesso (autocollimazione).
Esercizio 116
Due vetri di orologio identici (concavo-convessi con uguale curvature e
quindi a spessore costante) sono incollati tra loro al bordo e uno dei due
è riflettente dalla parte interna. In condizioni di autocollimazione (vedi
problema precedente) il fuoco è ottenuto a 20 cm.
a. Determinare la distanza L per ottenere autocollimazione se lo spazio
tra i due vetri è riempito di acqua (n = 4/3).
Esercizio 117
Un oggetto è posto a 10 cm da una lente convergente con focale fc = 10 cm:
successsivamente si trova, ad una distanza d = 5 cm, una lente divergente
con focale fd = −15 cm.
a. Determinare posizione, ingrandimento e tipo dell’immagine finale.
Esercizio 118
Un sistema ottico è formato da due lenti convergenti L1 e L2 , di focale
f1 = 10 cm e f2 = 90 cm, rispettivamente, poste ad una distanza di 60 cm
tra di loro, sullo stesso asse ottico.
78
4.6 Lenti
Capitolo 4 Ottica
Un oggetto di dimensioni L = 10 cm è posto sull’asse ottico del sistema, ad
un distanza di 30 cm da L1 dalla parte opposta di L2 .
a. Determinare posizione, ingrandimento e tipo dell’immagine finale.
Esercizio 119
Un oggetto luminoso di dimensioni trasversali non nulle è posto alla sinistra
di una lente convergente di focale f = 10 cm di h = 40 cm. Una seconda
lente convergente di focale f = 20 cm è posta alla destra della prima ad una
distanza di 30 cm.
Determinare:
a. il diagramma dei raggi luminosi;
b. la posizione dell’immagine finale;
c. l’ingrandimento dell’immagine.
79
4.6 Lenti
Capitolo 4 Ottica
a. d = fI + fII
Considero la seconda lente 1/p + 1/q = 1/f
p = (d+ a) −
Ottengo, risolvendo il sistema:
q fI , q = b ,
4b
a
fII = 2 −1 + 1 + a = 8.23 cm
1
= (n − 1) R2 , n = 1.61
fII
b. fI = d − fII = 21.77 cm
a. La lunghezza del microscopio è in pratica la distanza tra l’oculare e
l’obbettivo. Considero l’obbiettivo:
1/p + 1/q = 1/f , q = 255 mm
L’oculare deve essere posizionato in modo che l’immagine
dell’obiettiva sia sul suo piano focale. Quindi: Lmicroscopio = q+foc =∼
30 cm
b. Ingrandimento dell’obbiettivo: Iob = q/p ∼ 50
Ingrandimento dell’oculare: Ioc = Ld /foc = 5
Ingrandimento microscopio: I = Iob × Ioc = 250
a. Considero arco di cerchio con diametro d e freccia f e con raggio di
curvatura R:
2
2
= 75.8 cm
(R − f )2 + (d/2)2 = R2 , R = f +(d/2)
2f
1
1
2
+ l = R , l = 41.8 cm
d
b. Visto che l’oggetto si trova ad una distanza maggiore della distanza
focale dello specchio, l’immagine è reale.
a. 1/p + 1/q = 1/f , d = p + q q
Che risolto fornisce: p1,2 = d/2 ± (d/2)2 − f d
L’equazione ha soluzioni reali solo se f ≤ d/4 = 80 cm
f = 95: non ha soluzioni: impossibile
f = 80: 2 soluzioni conicidenti: p = q = d/2. Ingrandimento I = 1
80
4.6 Lenti
Capitolo 4 Ottica
f = 45: 2 soluzioni simmetriche: p1 = 2.66 m, I1 = 0.2 e p2 = 0.54 m,
I2 = 4.9
a. L’illuminazione dello schermo è pari al flusso di energia che lo colpisce.
La sorgente emette luce in modo isotropo, quindi il flusso per unità
di superficie risulta proporzionale a: I = rI02 , dove r è la distanza tra
la sorgente e la superficie considerata.
Sia d la distanza della sorgente dallo schermo, e x quella della sorgente
dallo specchio. Lo specchio forma una immagine della sorgente ad
una distanza pari a d + 2x dallo schermo. L’illuminazione totale dello
I0
schermo è quindi pari a Itot = Idiretta + Irif lessa = dI02 + (d+2x)
2
Itot
Idiretta
=
4x2 +4dx+2d2
=m
2
n
(d+2x)
q
n
1 ± m−n
x = − d2 ·
Si trova che m e n sono limitati dalle seguenti relazioni: m > n,
m ≤ 2n; il che significa che, al massimo, l’intensità può essere
raddoppiata. m = 2n se x = 0, cioè la sorgente è addossata allo
specchio. Attenzione: non è la condizione di massima illuminazione.
a. Sia x la distanza tra la lente e lo schemo, e f la distanza focale della
lente.
x
Considero l’ingrandimento: I = D−x
= x−f
. Che risolta porge:
f
√
D± D 2 −4f
x=
2
√
D± D 2 −4f
√
e la distanza
Da cui si ricava che l’ingrandimento vale I =
2
D∓
focale deve essere f =
DI
I+1
D −4f
a. Se considero solo l’acqua, profondità apparente del pesce è p′ = np =
30 cm, ingrandimento trasversale I = 1.
Considero la lente: 1/p + 1/q = 1/f ; q = −60 cm, ingrandimento
trasversale I = q/p = 6/5
Il pesce viene visto da osservatore ad una distanza di 60 cm dalla
lente, dalla parte opposta all’osservatore (immagine virtuale), quindi
viene visto nella stessa posizione in cui si trova realmente.
b. L’ingrandimento trasversale del pesce è pari a I = 6/5,
81
4.6 Lenti
Capitolo 4 Ottica
a. E’ necessario ritardare la fase di una onda piana che colpisce il disco
in modo che l’onda uscente abbia superfici con fase costante pari a
semisfere con centro nel fuoco della lente.
Se considero un raggio luminoso sull’asse e uno che colpisce il disco
ad una distanza r dall’asse, il ritardo di fase h dovrà essere tale da
soddisfare l’equazione (h + F )2 = r2 + F 2 dove F è la distanza focale
della mia lenta, ovvero il centro delle onde semisferiche che fuoriescono
dal disco. Con la solita approssimazione di raggi parassiali (r ≪ F ),
r2
risulta: h = 2F
Tale differenza di cammino ottico è dovuta al diverso indice di
rifrazione che incontra il raggio assiale da quello laterale.
r2
cioè l’indice di rifrazione in funzione
h = (n(r) − n(r = 0)) · d = 2F
della distanza dall’asse (r) dovrá risultare:
r2
n(r) = n0 − 2dF
a. Dall’ingrandimento trasversale: I = pq = 15 e dall’equazione dei
punti coniugati f1 = p1 + 1q ricavo q = 10 cm, e conseguentemente
f = 8.33 cm.
Considero l’immagine sfocata, e considero i raggi luminosi che passano
per la parte distale della lente: essi vengono focalizzati nel piano
focale e poi definiscono la larghezza dell’immagine sfocata. Quindi i
due triangoli aventi come vertice il fuoco e come basi rispettivamente
la lente (D) e l’immagine sfocata s sono simili: le loro altezze cono
rispettivamente q e d.
Quindi ricavo: D = ds q = 1 cm. Infine, F − number = Df = 8.33
a. Considero inizialmente il punto lontano e l’equazione dei punti
coniugati f1 = p1 + 1q .
La distanza tra l’immagine e la lente è la profondità dell’occhoi
q = 2 cm (un valore di 24 mm sarebbe mediamente più corretto).
p = 300 cm, quindi fF AR = 1.987 cm PF AR = 50.3 D.
b. Al punto vicino: p = 100 cm, fN EAR = 1.961 cm PF AR = 51 D.
c. Per un occhio normale, la distanza di visione distinta è circa 25 cm:
oggetti più vicini non vengono messi a fuoco corretamente. In questa
condizione, il potere diottrico del cristallino è pari a Pdistinta = 54 D.
82
4.6 Lenti
Capitolo 4 Ottica
Nell’ipotesi che cristallino e lente di correzione si possano considerare
addossate (ipotesi che vale per lenti a contatto, ma non per occhiali
ordinari):
1
1
1
= focchio
+ flente
f
Il massimo potere diottrico dell’occhio del soggetto è 51 D, quindi la
lente ne deve fornire Plente = 3 dt per arrivare a equagliare il potere
diottrico di un occhio normale.
Analogamente, al punto lontano, un occhio normale deve essere in
grado di mettere a fuoco un oggetto all’infinito (se vogliamo essere
più precisi, ad una distanza maggiore della distanza iperfocale). In
questo caso Pinf inito = 50 D e la lente deve fornire un contributo pari
a Plente = −0.3 D, quindi serve una lente divergente.
a. Considero un elemento di volume dV sulla superficie del mercurio, che
forma un angolo θ rispetto all’orizzontale. Le forze che agiscono su
questo volumetto sono: forza peso, forza centrifuga (è un sistema non
inerziale) e forza di reazione. Sia x l’asse orizzontale (verso l’esterno),
e y quello verticale (verso l’alto).
~ = −(F~g + F~c ) dz = tan θ = Fc = ω2 r
F~g = −gρdV ŷ , F~c = ρω 2 rdV x̂ R
dr
Fg
g
Risolvendo l’equazione differenziale: dz =
ω2 r2
2g
ω2 r
dr
g
con condizione al
contorno Z(r = 0) = 0, si ottine z(r) =
Quindi si tratta di una parabola.
1
). Per
b. Il fuoco di una parabola y = ax2 con vertice in (0, 0) è in (0, 4a
g
noi F = (0., 2ω2 )
Quindi per avere f = 10 cm ω = 7 rad/s
a. Per lo specchio f = R/2 = 20 cm quindi R = 40 cm.
Si consideri ora lo stesso specchio riempito d’acqua: considero sempre
raggi parassiali. Essi vengono riflessi dallo specchio in modo tale
da essere focalizzati ad una distanza pari a f da esso anche in
presenza del liquido. I raggi riflessi, uscendo dall’acqua, vengono
rifratti secondo le leggi di Snell. Sia O il centro dello specchio,
F il fuoco in assenza di acqua, F ′ quello con l’acqua e A il punto
dove un generico raggio riflesso attraversa l’interfaccia acqua-aria 1 .
L’angolo con il quale i raggi vengono riflessi dallo specchio (rispetto
1
NdA: un disegno aiuterebbe...
83
4.6 Lenti
Capitolo 4 Ottica
e l’angolo con il quale gli stessi raggi
alla verticale) è tan θ = FAO
O
AO
′
escono dall’acqua: tan θ = F ′ O . Inoltre, per angoli piccoli, nθ = θ′ .
Quindi: F O′ = FnO = 15.
Più semplicemente, si tratta di un diottro aria acqua con raggio di
curvatura infinito, quindi 1/p = −n/q. Per raggi incidenti, p = ∞
quindi anche q = ∞, cioè non vengono deviati. Per quelli in uscita,
q = − np , con p = − R2 .
Dalla legge dei punti coniugati: p1 + 1q = x2 = f1′ si ricava x = 2f ′ =
30 cm
a. In aria, il primo vetro non fa nulla, perchè il suo spessore è costante,
il secondo agisce come uno specchio sferico f = R2 . In condizioni di
autocollimazione, x = 2f = R = 20 cm.
Se all’interno c’e’ acqua, questa si comporta come una lente che
viene attraversata due volte, prima e dopo la riflessione dallo specchio
interno. Da notare che il sistema si può scomporre in questi fattori:
una lente piano-concava, la cui superficie concava è data dal primo
vetro d’orologio (quello trasparente), con incollato uno specchio sferico
riempito di acqua. Inoltre, le lenti piano-concave hanno da un lato non
aria, ma acqua, quindi un mezzo con indic di rifrazione n. In questo
caso, la legge dei punti coniugati è p1 + nq = f1 . La focale della lente è
1
= (n − 1) R1
f
In alternativa, si può considerare che la lente sia in aria, e che lo
specchio sia in acqua. Per cui cambia la distanza focale dello specchio
f ′ = f /n (vedi esercizio precedente): ossia si può immaginare di
mettere uno spessore constante di aria in mezzo alla lente.
Il raggio di luce incontra quindi, nell’ordine: una lente piano concava,
uno specchio sferico in acqua, di nuovo la lente piano concava.
L’immagine di ogni elemento è la sorgente per l’elemento successivo.
Prima lente (x è posizione immagine): L1 + nx = n−1
Specchio (y è
R
1
2
1
posizione immagine): − x + y = R Seconda lente (L è distanza di
autocollimazione): − ny + L1 = n−1
.
R
Risolvendo il sistema si ottiene L = 12 cm.
a. Per la prima lente l’oggetto si trova sul fuoco, quindi l’immagine
è all’infinito q1 = ∞. Per la seconda lente: p2 = ∞ quindi
84
4.6 Lenti
Capitolo 4 Ottica
q2 = f2 = −15 cm. Quindi la posizione dell’immagine coincide con
quella dell’oggetto.
Dato che abbiamo immagini all’infinito, non si può parlare di
ingrandimenti trasversali, ma occorre ragionare con gli angolo.
L’angolo sotto il quale viene vista l’immagine della prima lente è
θ = fL1 , essendo L la dimensione trasversale dell’oggetto. Dopo la
seconda lente, l’immagine viene sempre vista sotto lo stesso angolo, ma
adesso ad una distanza f2 dalla lente. Quindi le dimensioni trasversali
dell’immagine della seconda lente risultano: L′′ = θf2 = L ff12 .
L’ingrandimento quindi risulta I = ff21 . Il sistema ottico ricorda un po’
il telescopio, con però immagini intermedie all’infinito e non l’oggetto
e l’immagine finale.
L’immagine e’ ovviamente virtuale, e risulta non invertita.
a. L’immagine di L1 è reale, invertita. p11 + q11 = f11 porge: q1 = 15 cm.
L’ingrandimento è I1 = pq11 = 0.5.
L’oggetto della seconda lente si trova a p2 = 45 cm da essa, e
l’immagine, usando l’equazione delle lenti, si trova a q − 2 = −90 cm.
L’immagine e’ non invertita e virtuale. L’ingrandimento risulta I2 =
−2.
Quindi la posizione dell’immagine finale è a 30 cm prima della prima
lente, quindi coincide con l’oggetto, l’ingrandimento totale è I = −1,
quindi ha le stesse dimensioni trasverse, ma risulta invertita rispetto
all’oggetto.
a. L’immagine finale è virtuale, rovesciata e risulta ingrandita.
b. L’esercizio è del tutto analogo al precedente, si danno solo i risultati
numerici.
Immagine prima lente: q1 = 40/3 cm. Immagine seconda lente
q2 = −100 cm
c. Ingrandimento It ot = −2
85

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