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Brochure dei corsi
Table of Contents
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Università degli Studi di Torino
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Corso di Studi in Matematica
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Corsi di insegnamento: brochure creato il 21 giugno 2009 .
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Algebra 1 - a.a. 2008/09 .
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Algebra 1 (DM 270) .
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Algebra 2 (DM 509) .
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Algebra 2 - a.a. 2008/09 .
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Algebra Commutativa (DM 509)
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Algebra Commutativa - a.a. 2008/09
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Algebra Computazionale (DM 509) .
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Algebra Computazionale - a.a. 2008/09 .
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Algebra I - Non attivato nell’a.a. 2008/09
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Algebra II - a.a. 2008/09 .
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Algebra II Complementi - a.a. 2008/09 .
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Algebra Lineare Numerica - a.a. 2008/09
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Algebra Lineare Numerica (DM 270)
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Algebra Lineare Numerica Complementi - a.a. 2008/09
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Algebra Superiore (DM 509) .
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Algebra Superiore - a.a. 2008/09
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Algebra Superiore (DM 270) .
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Algoritmi per l’algebra (DM 270) .
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Algoritmi per l’Algebra e la Geometria - a.a. 2008/09 .
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Analisi Armonica e Applicazioni Complementi - Non attivato nell’a.a. 2008/09
Analisi Armonica e di Fourier (DM 270) .
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Analisi Armonica ed Applicazioni - a.a. 2008/09 .
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Analisi Complessa - a.a. 2008/09
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Analisi di Fourier (DM 509)
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Analisi di Fourier - a.a. 2008/09
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Analisi Funzionale (DM 509) .
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Analisi Funzionale - a.a. 2008/09 .
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Analisi Funzionale - Non attivato nell’a.a. 2008/09
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Analisi Funzionale (DM 270) .
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Analisi Matematica 1 - a.a. 2008/09 .
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Analisi Matematica 1 (DM 270)
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Analisi Matematica 2 - a.a. 2008/09 .
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Analisi Matematica 3- attivato nell’a.a 2009-2010 .
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Analisi Matematica I - Non attivato nell’a.a. 2008/09 .
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Analisi Matematica II - a.a. 2008/09 .
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Analisi Matematica II - Non attivato nell’a.a. 2008/09 .
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Analisi Matematica III - Non attivato nell’a.a. 2008/09
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Analisi Matematica IV - a.a. 2008/09
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Analisi Matematica IV (DM 509) .
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Analisi Matematica IV Complementi - a.a. 2008/09 .
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Analisi Non Lineare (DM 509) .
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Analisi Non Lineare - a.a. 2008/09 .
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Analisi Non Lineare (DM 270) .
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Analisi Numerica (DM 509)
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Analisi Numerica - a.a. 2008/09 .
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Analisi Numerica I - a.a. 2008/09 .
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Analisi Numerica I - Non attivato nell’a.a. 2008/09 .
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Analisi Numerica II - a.a. 2008/09
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Analisi Numerica II - Non attivato nell’a.a. 2008/09
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Analisi su Varietà (DM 509) .
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Analisi su Varietà - Non attivato nell’a.a. 2008/09 .
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Analisi su Varietà (DM 270) .
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Analisi Superiore (DM 509) .
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Analisi Superiore - a.a. 2008/09 .
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Analisi Superiore (DM 270) .
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Biomatematica (DM 509)
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Biomatematica - a.a. 2008/09
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Calcolo delle Probabilità e Statistica (DM 509) .
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Calcolo delle Probabilità e Statistica - a.a. 2008/09 .
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Calcolo delle Probabilità I - a.a. 2008/09 .
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Calcolo delle Probabilità I - Non attivato nell’a.a. 2008/09 .
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Calcolo delle Probabilità II (DM 509) .
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Calcolo delle Probabilità II - a.a. 2008/09 .
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Calcolo delle Probabilità II Complementi - a.a. 2008/09 .
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Calcolo Scientifico - Non attivato nell’a.a. 2008/09 .
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Complementi di Matematica 1 (DM 509) .
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Complementi di Matematica 1 - a.a. 2008/09 .
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Complementi di Matematica 2 (DM 509) .
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Complementi di Matematica 2 - a.a. 2008/09 .
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Comportamento Animale e dell’Uomo - Non attivato nell’a.a. 2008/09
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Convessità e Programmazione Lineare - Non attivato nell’a.a. 2008/09
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Convessità e Programmazione Lineare Complementi - Non attivato nell’a.a. 2008/09
Cristallografia (DM 509)
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Cristallografia - a.a. 2008/09 .
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Cristallografia Complementi (DM 509)
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Cristallografia complementi - a.a. 2008/09 .
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Crittografia e Codici Correttori (DM 509) .
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Crittografia e Codici Correttori - a.a. 2008/09 .
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Crittografia e Codici Correttori Complementi - a.a. 2008/09 .
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Curve Algebriche (DM 509) .
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Curve Algebriche - a.a. 2008/09 .
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Curve Algebriche Complementi - Non attivato nell’a.a. 2008/09 .
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Didattica della Matematica (DM 509) .
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Didattica della Matematica - a.a. 2008/09 .
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Didattica della Matematica 1 (DM 270) .
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Didattica della Matematica 2 (DM 270) .
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Ecologia - Non attivato nell’a.a. 2008/09 .
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Elementi di Logica 1 (DM 509) .
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Elementi di Logica 1 - a.a. 2008/09 .
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Elementi di Logica 2 - a.a. 2008/09 .
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Equazioni Differenziali (DM 509)
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Equazioni Differenziali alle Derivate Parziali - Non attivato nell’a.a. 2008/09 .
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Equazioni Differenziali Ordinarie - a.a. 2008/09
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Equazioni Differenziali Ordinarie Complementi - Non attivato nell’a.a. 2008/09
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Equazioni Differenziali Ordinarie e Sistemi Dinamici (DM 509) .
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Equazioni Differenziali Ordinarie e Sistemi Dinamici - a.a. 2008/09 .
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Equazioni Differenziali Ordinarie e Sistemi Dinamici (DM 270) .
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Equazioni Differenziali Stocastiche (DM 509) .
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Equazioni Differenziali Stocastiche - a.a. 2008/09 .
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Equazioni funzionali ed applicazioni - a.a. 2008/09 .
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102
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104
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109
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Equazioni Funzionali ed Applicazioni Complementi - Non attivato nell’a.a. 2008/09
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Esercitazioni Complementari di Algebra e Geometria - Non attivato nell’a.a. 2008/09 .
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Esercitazioni Complementari di Algebra e Geometria Complementi - Non attivato nell’a.a. 2008/09
Fisica 1 - a.a. 2008/09 .
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Fisica 1 (DM 270) .
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Fisica 2 (DM 509) .
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Fisica 2 - a.a. 2008/09 .
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Fisica I - Non attivato nell’a.a. 2007/08
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Fisica II - Non attivato nell’a.a. 2008/09 .
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Fisica III - a.a. 2008/09 .
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Fisica III Complementi - a.a. 2008/09 .
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Fisica Matematica (DM 509) .
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Fisica Matematica - a.a. 2008/09 .
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Fisica Matematica I - Non attivato nell’a.a. 2008/09
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Fisica Matematica II - a.a. 2008/09 .
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Fisica Matematica II Complementi - a.a. 2008/09 .
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Fondamenti della Geometria - Non attivato nell’a.a. 2008/09
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Fondamenti della Geometria Complementi - Non attivato nell’a.a. 2008/09
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Fondamenti della Matematica (DM 509) .
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Fondamenti della Matematica (DM 509) .
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Fondamenti della Matematica - a.a. 2008/09 .
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Fondamenti della Matematica - a.a. 2008/09 .
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Fondamenti della Matematica Complementi - a.a. 2008/09 .
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Geometria 1 - a.a. 2008/09 .
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Geometria 1 (DM 270) .
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Geometria 2 - a.a. 2008/09 .
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Geometria 3 attivato nell’a.a 2009-2010 - a.a. 2008/09 .
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Geometria Algebrica (DM 509) .
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Geometria Algebrica - a.a. 2008/09 .
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Geometria Algebrica (DM 270) .
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Geometria Complessa - a.a. 2008/09 .
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Geometria Convessa - a.a. 2008/09 .
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Geometria Differenziale (DM 509) .
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Geometria Differenziale - Non attivato nell’a.a. 2008/09
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Geometria Differenziale (DM 270) .
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Geometria I - Non attivato nell’a.a. 2008/09 .
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Geometria II - a.a. 2008/09 .
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Geometria II - Non attivato nell’a.a. 2008/09 .
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Geometria III - Non attivato nell’a.a. 2008/09 .
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Geometria IV (DM 509) .
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Geometria IV - a.a. 2008/09 .
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Geometria IV - a.a. 2008/09 .
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Geometria IV Complementi - a.a. 2008/09 .
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Geometria Stocastica - Non attivato nell’a.a. 2008/09 .
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Geometria Superiore (DM 509) .
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Geometria Superiore - a.a. 2008/09 .
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Geometria Superiore (DM 270) - 6 cfu
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Gruppi di Lie - Non attivato nell’a.a. 2008/09 .
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Informatica - a.a. 2008/09 .
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Informatica (DM 270) .
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Informatica I - Non attivato nell’a.a. 2008/09 .
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Informatica II - a.a. 2008/09 .
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Informatica II - Non attivato nell’a.a. 2008/09 .
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iii
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176
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177
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177
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178
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180
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181
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183
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186
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188
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190
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193
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196
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200
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203
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203
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204
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205
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207
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211
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220
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253
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255
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260
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260
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262
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262
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265
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266
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Informatica III - a.a. 2008/09 .
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Inglese (DM 509) .
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Inglese - Modulo Base - a.a. 2008/09 .
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Inglese - Modulo Intermediate - a.a. 2008/09 .
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Inglese (DM 270) .
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Introduzione al Pensiero Matematico (IPM) - a.a. 2008/09 .
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Introduzione al Pensiero Matematico (DM 270)
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Introduzione all’Analisi Armonica (DM 509) .
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Introduzione alla Fisica Matematica (DM 509) .
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Introduzione alla Meccanica del Continuo (DM 509)
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Introduzione alle Equazioni Differenziali alle Derivate Parziali - a.a. 2008/09 .
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Introduzione alle Equazioni Differenziali alle Derivate Parziali - Complementi - a.a. 2008/09
Istituzioni di Algebra (DM 509) .
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Istituzioni di Algebra - a.a. 2008/09 .
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Istituzioni di Algebra (DM 270) - 9 cfu
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Istituzioni di Analisi Matematica (DM 509)
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Istituzioni di Analisi Matematica - a.a. 2008/09
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Istituzioni di Analisi Matematica (DM 270) - 9 cfu .
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Istituzioni di Analisi Matematica (DM 270) - 6 cfu .
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Istituzioni di Analisi Numerica - a.a. 2008/09 .
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Istituzioni di Analisi Numerica (DM 509) .
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Istituzioni di Analisi Numerica (DM 270) - 6 cfu .
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Istituzioni di Analisi Numerica (DM 270) - 9 cfu .
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Istituzioni di Calcolo delle Probabilità (DM 509) .
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Istituzioni di Calcolo delle Probabilità - a.a. 2008/09
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Istituzioni di Calcolo delle Probabilità (DM 270) - 6 cfu .
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Istituzioni di Calcolo delle Probabilità (DM 270) - 9 cfu .
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Istituzioni di Fisica Matematica - a.a. 2008/09 .
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Istituzioni di Fisica Matematica (DM 509) .
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Istituzioni di Fisica Matematica (DM 270) - 6 cfu .
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Istituzioni di Fisica Matematica (DM 270) - 9 cfu .
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Istituzioni di Geometria (DM 509)
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Istituzioni di Geometria - a.a. 2008/09
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Istituzioni di Geometria (DM 270) - 6 cfu .
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Istituzioni di Geometria (DM 270) - 9 cfu .
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Istituzioni di Logica Matematica (DM 509)
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Istituzioni di Logica Matematica - a.a. 2008/09 .
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Istituzioni di Logica Matematica (DM 270) - 6 cfu .
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Istituzioni di Logica Matematica (DM 270) - 9 cfu .
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Istituzioni di Matematiche Complementari (DM 509) .
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Istituzioni di Matematiche Complementari - a.a. 2008/09
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Istituzioni di Matematiche Complementari (DM 270) .
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Laboratorio di Analisi Numerica (DM 509)
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Laboratorio di Equazioni Differenziali per le Scienze Applicate - Non attivato nell’a.a. 2008/09
Laboratorio di Fisica (DM 270) .
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Laboratorio di LaTeX (DM 509) .
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Laboratorio di Maple (DM 509) .
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Laboratorio di Statistica Matematica (DM 509)
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Laboratorio di Tecniche Multimediali per la Comunicazione Scientifica (DM 509) .
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Laboratorio di Visualizzazione Geometrica (DM 509) .
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Laboratorio Stage di Matematica a Pra Catinat (DM 509)
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Laboratorio: Algoritmi per il Calcolo Scientifico - a.a. 2008/09 .
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Laboratorio: Analisi Numerica - a.a. 2008/09 .
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Laboratorio: Biomatematica - Non attivato nell’a.a. 2008/09 .
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Laboratorio: Calcolo Parallelo - Non attivato nell’a.a. 2008/09 .
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Laboratorio: Combinatorica - a.a. 2008/09 .
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iv
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271
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272
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276
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277
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278
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282
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284
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285
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287
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288
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289
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292
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294
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295
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298
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300
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301
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303
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307
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336
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337
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337
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340
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340
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343
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Laboratorio: Dimostrazione Automatica in Geometria Elementare - a.a. 2008/09 .
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Laboratorio: Equazioni Differenziali e Modelli Matematici - Non attivato nell’a.a. 2008/09
Laboratorio: Fisica Matematica - a.a. 2008/09 .
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Laboratorio: LaTeX - a.a. 2008/09
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Laboratorio: Maple - a.a. 2008/09
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Laboratorio: Software per il Calcolo Scientifico Avanzato (LABCS2) - a.a. 2008/09
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Laboratorio: Stage di Matematica a Pra Catinat - a.a. 2008/09
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Laboratorio: Statistica Matematica - a.a. 2008/09 .
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Laboratorio: Statistica per le Applicazioni - a.a. 2008/09
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Laboratorio: Tecniche Multimediali in Comunicazione Scientifica - a.a. 2008/09 .
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Laboratorio: Teoria Algebrica degli Automi Cellulari (DM 509) .
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.
Laboratorio: Teoria Algebrica degli Automi Cellulari - a.a. 2008/09 .
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Laboratorio: Teoria dei Numeri - Non attivato nell’a.a. 2008/09 .
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Laboratorio: Visualizzazione Geometrica-attivato nell’a.a 2009-2010 .
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Letteratura Matematica (DM 509)
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Logica Matematica (DM 509)
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Logica Matematica - a.a. 2008/09 .
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Logica Matematica Complementi - a.a. 2008/09
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Matematica Applicata alle Reti Neurali - a.a. 2008/09 .
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Matematica Applicata alle Reti Neurali Complementi - Non attivato nell’a.a. 2008/09 .
Matematica Discreta - Non attivato nell’a.a. 2008/09
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Matematica Finanziaria e Attuariale - a.a. 2008/09 .
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Matematica Finanziaria e Attuariale Complementi - a.a. 2008/09 .
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Matematiche Complementari (DM 509) .
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Matematiche Elementari p.v.s. (DM 509) .
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Matematiche Elementari p.v.s. - a.a. 2008/09 .
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Meccanica Analitica - a.a. 2008/09
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Meccanica Analitica (DM 509) .
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Meccanica Analitica (DM 270) .
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Meccanica del Continuo (DM 509) .
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.
Meccanica del Continuo - a.a. 2008/09
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.
Meccanica del Continuo (DM 270) .
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.
Meccanica Quantistica (DM 509) .
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Meccanica Quantistica - a.a. 2008/09 .
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Meccanica Razionale (DM 509) .
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Meccanica Razionale-attivato nell’a.a 2009-2010 .
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Meccanica Superiore - a.a. 2008/09 .
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.
Metodi di Approssimazione (DM 509)
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Metodi di Approssimazione - a.a. 2008/09 .
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Metodi di Ottimizzazione (DM 509) .
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Metodi di Ottimizzazione - a.a. 2008/09 .
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Metodi di Ottimizzazione Complementi - a.a. 2008/09 .
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Metodi e Modelli Matematici per le Applicazioni - Non attivato nell’a.a. 2008/09 .
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Metodi e Modelli per la Pianificazione Economica - a.a. 2008/09 .
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Metodi e Modelli per la Pianificazione Economica Complementi - a.a. 2008/09
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Metodi e Modelli per la Pianificazione Finanziaria (DM 509)
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Metodi Geometrici della Fisica Matematica (DM 509) .
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Metodi Geometrici della Fisica Matematica (DM 270) .
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Metodi Geometrici per la Fisica Matematica - a.a. 2008/09 .
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Metodi Geometrici per la Grafica - Non attivato nell’a.a. 2008/09
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Metodi Geometrici per la Grafica Complementi - Non attivato nell’a.a. 2008/09
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Metodi Matematici per le Applicazioni - a.a. 2008/09 .
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Metodi Matematici per le Applicazioni Complementi - Non attivato nell’a.a. 2008/09 .
Metodi Numerici per l’Ottimizzazione - Non attivato nell’a.a. 2008/09
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Metodi Numerici per la Grafica (DM 509) .
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v
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Metodi Numerici per la Grafica Computerizzata - a.a. 2008/09 .
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Metodi Numerici per la Grafica Computerizzata Complementi - a.a. 2008/09 .
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Metodi Numerici per la Modellizzazione e il CAD (NON ATTIVATO NELL’A.A. 2008-2009) .
Metodi Numerici per la Modellizzazione e il CAD Complementi (NON ATTIVATO NELL’A.A.
2008-2009)
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Metodi Numerici per le Applicazioni (NON ATTIVATO NELL’A.A. 2008-2009) .
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Metodi Numerici per le Applicazioni Complementi (NON ATTIVATO NELL’A.A. 2008-2009) .
Metodi Numerici per le Equazioni Differenziali - a.a. 2008/09 .
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Metodi Numerici per le Equazioni Differenziali (DM 509) .
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Metodi Numerici per le Equazioni Differenziali (DM 270) .
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Metodi Statistici per l’Analisi della Serie Temporali - a.a. 2008/09
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Metodi Statistici per l’Analisi di Serie Temporali (DM 509) .
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Modelli Biomatematici - a.a. 2008/09 .
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Modelli Biomatematici Complementi - Non attivato nell’a.a. 2008/09 .
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Modelli Fisico-Matematici .
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Modelli Fisico-Matematici Complementi - Non attivato nell’a.a. 2008/09 .
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Modelli Matematici per le Applicazioni (DM 509) .
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Multidisciplinary Lab (DM 270) .
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Operatori Lineari e Analisi Microlocale (DM 270) .
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Precorso di Matematica .
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Precorso di Matematica - a.a. 2008/09 .
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Precorso lungo - a.a. 2008/09
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Processi Stocastici (DM 509)
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Processi Stocastici - Non attivato nell’a.a. 2008/09 .
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Sistemi Dinamici e Introduzione alla Teoria del Caos - a.a. 2008/09 .
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Sistemi Dinamici e Introduzione alla Teoria del Caos Complementi - Non attivato nell’a.a. 2008/09
Sistemi Dinamici e Teoria del Caos (DM 270) .
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Sistemi Dinamici ed Equazioni di Evoluzione v
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Statistica dei Processi Stocastici (DM 270)
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Statistica II - Non attivato nell’a.a. 2008/09
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Statistica II Complementi - Non attivato nell’a.a. 2008/09 .
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Statistica Matematica - a.a. 2008/09 .
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Statistica Matematica - Non attivato nell’a.a. 2008/09 .
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Storia delle Matematiche (DM 509) .
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Storia delle Matematiche (DM 509) .
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Storia delle Matematiche - a.a. 2008/09 .
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Storia delle Matematiche - a.a. 2008/09 .
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Storia delle Matematiche 1 (DM 270) .
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Storia delle Matematiche Complementi - a.a. 2008/09 .
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Strutture Algebriche - a.a. 2008/09
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Teoria degli Insiemi - a.a. 2008/09
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Teoria degli Insiemi (DM 509) .
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Teoria degli Insiemi (DM 270) .
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Teoria dei Campi (DM 509) .
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Teoria dei Grafi - a.a. 2008/09
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Teoria dei Grafi Complementi - Non attivato nell’a.a. 2008/09 .
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Teoria dei Gruppi - a.a. 2008/09 .
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Teoria dei Gruppi Complementi - Non attivato nell’a.a. 2008/09 .
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Teoria dei Modelli (DM 509)
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Teoria dei Modelli - a.a. 2008/09 .
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Teoria dei Numeri - a.a. 2008/09 .
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Teoria del Linguaggio - Non attivato nell’a.a. 2008/09 .
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Teoria delle Distribuzioni e Applicazioni - Non attivato nell’a.a. 2008/09 .
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Teoria delle Distribuzioni e Applicazioni Complementi - Non attivato nell’a.a. 2008/09 .
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Teoria delle Funzioni di Variabile Reale a Applicazioni Complementi - Non attivato nell’a.a. 2008/09
Teoria delle Funzioni di Variabile Reale ed Applicazioni - Non attivato nell’a.a. 2008/09
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Teorie Relativistiche (DM 270) .
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Topologia - Non attivato nell’a.a. 2008/09 .
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Topologia Algebrica - a.a. 2008/09 .
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Università degli Studi di Torino
Corso di Studi in Matematica
Corsi di insegnamento: brochure creato il 21 giugno 2009
Algebra 1 - a.a. 2008/09
Codice: M8604
CdL: Laurea in Matematica
Docente: Prof. Paola Favro (Titolare del corso), Prof. Daniela Romagnoli (Titolare del corso), Prof. Marco
Burzio (Tutor)
Recapito: 0116702908 [[email protected]]
Tipologia: Caratterizzante
Anno: 1° anno
Crediti/Valenza: 7
SSD: MAT/02 - algebra
Avvalenza: 7CFU Ambito B
OBIETTIVI
Conoscere il linguaggio della teoria degli insiemi per formulare correttamente affermazioni matematiche e
costruire in modo rigoroso semplici dimostrazioni. Saper riconoscere in astratto le principali strutture algebriche
e le loro proprietà, in particolare gli anelli commutativi, i domini di integrità e i campi. Saper lavorare in
concreto su C , nell’anello degli interi, nell’anello delle classi di resto e negli anelli di polinomi a coefficienti in
C,R,Q e nel campo delle classi di resto modulo un primo.
RISULTATI DELL’APPRENDIMENTO
Saper utilizzare in modo appropriato il linguaggio insiemistico. Saper lavorare con classi di equivalenza e
insiemi quozienti. Conoscere i vari anelli e campi studiati, in particolare Z e C. Eseguire calcoli in anelli di classi
di resto, saper risolvere congruenze e sistemi di congruenze lineari. Conoscere e utilizzare i principali risultati
relativi alla fattorizzazione di polinomi nei vari anelli di polinomi considerati.
PROGRAMMA
Pre-requisiti in ingresso e competenze minime in uscita
Pre-requisiti (in ingresso)Insegnamenti fornitoriOperazioni con i numeriScuole superioriCalcolo algebrico
letteraleRisoluzioni di equazioni di 2 grado e prodotti notevoliCoordinate cartesiane nel piano
Competenze minime (in uscita)
Insegnamenti fruitori
Linguaggio degli insiemi e delle funzioni
Tutti
Concetti di struttura algebrica (anello, campo)
Corsi di algebra e geometria
1
Calcoli con classi di resto
Tutti
Definizione, proprietà e calcoli relativi ai numeri complessi
Tutti
Calcoli con polinomi ed equazioni
Tutti
Programma, articolazione e carico didattico
Argomento
Ore
Lezione
Ore
Esercitazione
Totale Ore di Carico Didattico
Linguaggio degli insiemi , funzioni, relazioni
6
4
10
Anelli e campi
10
6
16
Numeri interi e classi di resto
8
2
10
Anelli di polinomi
8
4
12
2
Numeri complessi
4
4
8
Totale
36
20
56
Programma di Algebra 1
Teoria degli insiemi: notazioni, rappresentazione caratteristica, famiglie di insiemi. Operazioni tra insiemi e loro
principali proprietà. Corrispondenze tra insiemi. Funzioni tra insiemi: funzioni iniettive,suriettive e biiettive.
Composizione di funzioni e proprietà relative.
Relazioni in un insieme: relazioni d'ordine e di equivalenza. Insieme quoziente. Decomposizione canonica
di una funzione . Costruzione di Z e di Q.
I numeri complessi: costruzione del campo dei numeri complessi. Rappresentazione trigonometrica. Formula di
De Moivre. Radici n-sime di un numero complesso. Radici n-sime dell'unità e loro proprietà.
L'anello Z dei numeri interi: proprietà di Z. Algoritmo di divisione. M.C.D e identità di Bézout. Numeri
primi e proprietà. Teorema fondamentale dell'aritmetica. L'anello delle classi di resto modulo n.
Invertibilità delle classi di resto. Campi Zp. Applicazioni delle congruenze. Il piccolo teorema di Fermat e
applicazioni. Congruenze lineari e loro risoluzione. Il teorema cinese dei resti. La funzione di Eulero e il teorema
di Eulero.
L'anello dei polinomi: definizioni e costruzione dell'anello di polinomi in una variabile a
coefficienti in un anello o in un campo. Proprietà dell'anello di polinomi in una variabile a coefficienti in
un campo: divisione tra polinomi, M.C.D, fattorizzazione. Irriducibilità di polinomi in C , R , Q , Zp . Cenni su
polinomi ciclotomici e simmetrici e su polinomi in più variabili.
Gli anelli: anello come struttura astratta che include i casi di Z, Zn e anello dei polinomi. Definizioni ed esempi,
proprietà generali. Sottoanelli. Omomorfismi tra anelli. Ideali. Anello quoziente. I teoremi di omomorfismo e di
isomorfismo tra anelli. Ideale generato da un sottoinsieme. Ideali primi e massimali e teoremi relativi. Ideali di Z
e dell'anello di polinomi su un campo. Congruenza modulo un polinomio. Campo dei quozienti di un
dominio di integrità. Domini euclidei, PID e UFD. La caratteristica di un dominio di integrità.
I campi: definizioni ,esempi e proprietà generali.Campo come struttura astratta che include i casi di C, R, Q e Zp.
C come quoziente di R . Costruzione dei campi finiti. Cenni su estensioni di campi.Il materiale didattico e il
programma dettagliato del corso è reperibile sul sito:
http://math.i-learn.unito.it/
TESTI
Giulia Maria Piacentini Cattaneo ALGEBRA Un approccio algoritmico Decibel Zanichelli 1996
NOTA
L’esame consiste in una prova scritta articolata in due parti: la prima prevede lo svolgimento di esercizi e la
seconda domande di tipo teorico. E’possibile sostenere più volte la prova scritta ma ogni scritto consegnato
annulla lo scritto precedente . Al superamento della prova scritta può seguire una eventuale prova orale a
richiesta dello studente oppure della commissione d’esame.
3
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Mercoledì
8:00 - 10:00
Giovedì
11:00 - 12:00
Giovedì
9:00 - 10:00
Venerdì
10:00 - 12:00
Aula
Lezioni: dal 29/09/2008 al 09/01/2009
Nota: Il corso A (studenti dalla A alla L) in Aula A. Il corso B (studenti dalla M alla Z) in Aula 4.
ATTENZIONE: il giovedì il corso A fa lezione dalle 11.00 alle 12.00 in aula A, il corso B dalle 9.00 alle 10.00
in aula 4.
TUTORATO CORSO A: lunedì dalle 13.00 alle 15.00 in aula 6 a settimane alterne.
TUTORATO CORSO B: lunedì dalle 13.00 alle 15.00 in aula 1 a settimane alterne.
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=7bbf
Algebra 1 (DM 270)
Docente: Prof. Daniela Romagnoli (Titolare del corso), Prof. Paola Favro (Titolare del corso), Prof. Marco
Burzio (Tutor)
Tipologia: D.M. 270
Anno: 1° anno
Crediti/Valenza: 9
Anno accademico: 2009/2010
OBIETTIVI
Conoscere il linguaggio della teoria degli insiemi per formulare correttamente affermazioni matematiche e
costruire in modo rigoroso semplici dimostrazioni. Saper riconoscere in astratto le principali strutture algebriche
e le loro proprietà, in particolare gli anelli commutativi, i domini di integrità e i campi. Saper lavorare in
concreto su C , nell’anello degli interi, nell’anello delle classi di resto e negli anelli di polinomi a coefficienti in
C,R,Q e nel campo delle classi di resto modulo un primo.
Saper utilizzare in modo appropriato il linguaggio insiemistico. Saper lavorare con classi di equivalenza e
insiemi quozienti. Conoscere le strutture algebriche studiate, in particolare Z e C. Eseguire calcoli in anelli di
classi di resto, saper risolvere congruenze e sistemi di congruenze lineari. Conoscere e utilizzare i principali
risultati relativi alla fattorizzazione di polinomi nei vari anelli di polinomi considerati.
PROGRAMMA
Italiano
Teoria degli insiemi: notazioni, operazioni tra insiemi e loro proprietà. Corrispondenze e funzioni tra insiemi.
Composizione di funzioni e proprietà relative.
Relazioni in un insieme: relazioni di ordine e di equivalenza. Insieme quoziente. Costruzione di Z e di Q.
4
I numeri complessi: costruzione del campo dei numeri complessi. Formula di De Moivre. Radici n-sime di un
numero complesso. Radici n-sime dell'unità e loro proprietà.
L'anello Z dei numeri interi: proprietà di Z. Algoritmo di divisione. M.C.D e identità di Bézout. Numeri
primi e proprietà. Teorema fondamentale dell'aritmetica. L'anello delle classi di resto modulo n.
Invertibilità delle classi di resto. Campi Zp. Applicazioni delle congruenze. Il piccolo teorema di Fermat e
applicazioni. Congruenze lineari e loro risoluzione. Il teorema cinese dei resti. La funzione di Eulero e il teorema
di Eulero.
L'anello dei polinomi: Costruzione e proprietà dell'anello di polinomi in una variabile a coefficienti
in un campo: divisione tra polinomi, M.C.D, fattorizzazione. Irriducibilità di polinomi in C, R, Q, Zp.
Gli anelli e i campi: definizioni ed esempi, proprietà generali. Sottoanelli. Omomorfismi tra anelli. Ideali. Anello
quoziente. I teoremi di omomorfismo e di isomorfismo tra anelli. Ideale generato da un sottoinsieme. Ideali primi
e massimali e teoremi relativi. Ideali di Z e dell'anello di polinomi su un campo. Campo dei quozienti di
un dominio di integrità. Caratteristica di un campo
I gruppi: definizioni, esempi e proprietà generali. Il gruppo simmetrico, i gruppi diedrali e proprietà.
English
Set theory: notations, operations and properties. Mappings and functions: composition and properties.
Relations: equivalence relations. Order relations. Quotient. Construction of Z and Q.
The field of complex numbers. De Moivre's formula. Complex roots of unity.
The Integers: properties. Division algorithm. G.C.D and Bezout's identity. Prime numbers. Fundamental
theorem of arithmetic. Integers modulo n with applications. Fermat's and Euler's theorems. Linear
congruences. Chinese remainder Theorem.
Polynomials: definition and properties. The division algorithm. Factorization of polynomial.
Rings and fields: definitions, examples and properties. Integral domains. Subrings. Homomorphism of rings.
Ideals. Quotient rings. Quotient of Z and of polinomials rings. Field of quotients. Characteristic.
Groups: definition, examples and properties. Permutation groups. Finite symmetry groups.
.
TESTI
G. M. Piacentini Cattaneo, Algebra. Un approccio algoritmico, Decibel Zanichelli 1996
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=7e48
Algebra 2 (DM 509)
Codice: MFN0001
Docente: Prof. Andrea Mori (Titolare del corso), Prof. Yu Chen (Tutor)
Tipologia: D.M. 509
5
Anno: 2° anno
Crediti/Valenza: 7
OBIETTIVI
Il corso si propone di fornire agli studenti un’introduzione alla teoria generale dei gruppi con particolare
attenzione ai fenomeni legati alla non-commutatività, ai gruppi finiti ed al concetto fondamentale di azione.
Queste conoscenze sono basilari e propedeutiche a tutta la matematica moderna, sia teorica che applicata.
Lo studente dovrà essere in grado di risolvere esercizi sulla teoria di base e padroneggiare gli esempi significativi
che verranno illustrati nel corso.
PROGRAMMA
italiano
Definizione e primi esempi. Sottogruppi. Sottogruppo generato da un insieme di elementi.
Gruppi ciclici e loro struttura. Sottogruppi di un gruppo ciclico.
Esempi notevoli di gruppi non commutativi: il gruppo delle permutazioni, il gruppo delle isometrie del piano, il
gruppo lineare generale.
Sottogruppi normali e gruppo quoziente.
Omomorfismi di gruppi. I teoremi di isomorfismo.
Azione di un gruppo su un insieme. Orbite e stabilizzatori di un azione. Formula di Burnside.
Gruppi finiti: teoremi di Lagrange, Cayley, Cauchy e Sylow.
Argomenti aggiuntivi (tempo permettendo):
Generatori e relazioni.Alfabeti e parole. Gruppi liberi e gruppi abeliani liberi.
Teorema di struttura dei gruppi abeliani finitamente generati.
English
Definitions and first examples. Subgroups. The subgroup generated by a subset.
Cyclic groups and their structure. Subgroups of a cyclic group.
Examples of nonabelian groups: permutations, plane isometries, the general linear group.
Normal subgroups and quotients.
Group homomorphisms. The isomorphism theorem.
Group actions. Orbits and stabilizers. Burnside's formula.
Finite groups: the theorems of Lagrange, Cayley, Cauchy and Sylow.
Additional topics (as time permits):
6
Generators and relations. Alphabets and words. Free groups and free abelian groups.
Structure of finitely generated abelian groups.
.
TESTI
G. M. Piacentini-Cattaneo, Algebra, Decibel (Zanichelli) 1996 A. Mori, Lezioni di teoria dei gruppi, note
manoscritte (distribuite online)
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=e622
Algebra 2 - a.a. 2008/09
Codice: MFN0001
Docente: Prof. Andrea Mori (Titolare del corso), Dott. Lea Terracini (Esercitatore), Prof. Domenico
Zambella (Tutor)
Anno: 2° anno
Crediti/Valenza: 7
PROGRAMMA
Sarà un corso introduttivo alla teoria dei gruppi
Argomenti:
Definizioni e primi esempi.
Omomorfismi, automorfismi, coniugio.
Sottogruppi normali. Gruppo quoziente. Teorema d’omomorfismo .
Costruzioni tra gruppi.
Azione di un gruppo su un insieme. Formula di Burnside.
Gruppi finiti. Teorema di Lagrange, di Cauchy, di Sylow.
Gruppi liberi. Presentazione di gruppi.
Altri argomenti a seconda del tempo residuo.
TESTI
M. Artin, Algebra, ed. Boringhieri G.M. Piacentini Cattaneo, ALGEBRA un approccio algoritmico, Ed.
Zanichelli Note del Corso (distribuite in formato elettronico)
7
NOTA
L’esame consiste in una prova scritta seguita da una orale. Bisogna sostenere la prova orale nella medesima
sessione della prova scritta. La prova scritta consiste nella risoluzione di problemi per un totale di 40 punti. Si è
ammessi all’orale totalizzando almeno 16 punti.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Martedì
9:00 - 11:00
Aula Magna Dipartimento di Matematica via Carlo Alberto 10
Giovedì
10:00 - 11:00
Venerdì
11:00 - 13:00
Lezioni: dal 29/09/2008 al 09/01/2009
Nota: TUTORATO: martedì dalle 14.00 alle 16.00 a settimane alterne. Si veda moodle per informazioni
sull’aula e sulle prossime date.
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=bbaa
Codice: MFN0020 / MFN0021
CdL: Laurea Specialistica in Matematica
Docente: Prof. Margherita Roggero (Titolare del corso), Prof. Mario Valenzano (Titolare del corso)
Tipologia: D.M. 509
Anno: 2° anno
Crediti/Valenza: 7
OBIETTIVI
Il corso intende introdurre alla teoria degli anelli commutativi in una forma del tutto generale, ma con particolare
attenzione ai casi di maggior interesse geometrico ed applicativo relativi alle k-algebre ottenute per quoziente o
localizzazione da anelli di polinomi a coefficienti su un campo.
Conoscere e comprendere le implicazioni dei concetti di: noetherianità, decomposizione primaria, spettro di un
anello. Lavorare con ideali in anelli concreti, quali anelli di polinomi e loro quozienti e localizzazioni.
PROGRAMMA
Italiano
Richiami su anelli commutativi. Elementi invertibili, zero-divisori, nilpotenti.
Ideali e anelli quoziente. Operazioni sugli ideali. Estensione e contrazione di ideali. Ideali primi, massimali e
minimali. Nilradicale e radicale di Jacobson.
Anelli locali e localizzazione. Anelli e moduli noetheriani. Il Teorema della Base di Hilbert. Decomposizione
primaria degli ideali in generale e nel caso noetheriano.
Teoria dei moduli su un anello. Prodotto tensoriale di moduli. Successioni esatte di moduli e proprietà di
esattezza di Hom e del prodotto tensoriale.
Dipendenza integrale. Lemma di Normalizzazione di Noether e Nullstellensatz di Hilbert. Anelli normali. Going
up e Going down.
8
Anelli artiniani e graduati. Elementi di teoria della dimensione.
English
Special elements in commutative rings: units, zero-divisors, nilpotents.
Ideals and quotients of a ring. Sum, product, intersection, radical of ideals. Extended and contracted ideals.
Prime, maximal and minimal ideals, nilradical and Jacobson radical.
Local rings and localization. Noetherian rings and Hilbert Basissatz. Primary decomposition, especially in
noetherian rings.
Moduli. Exact sequences of moduli over a ring; tensor product, Hom and their derived functors.
Integral elements over a ring. Noether normalizazion Lemma and Hilbert's Nullstellensatz. Normal rings.
Going-up and Going-down.
Artinian and graded rings. Generalities about the dimension of a ring.
.
TESTI
M.F. ATIYAH, I.G. MACDONALD, Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wessley (1969)
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=7566
Algebra Commutativa - a.a. 2008/09
Codice: Vedi Avvalenza
CdL: Laurea Magistrale in Matematica
Docente: Prof. Margherita Roggero (Titolare del corso)
Tipologia: Altre attività
Anno: 4° anno 5° anno
Crediti/Valenza: 7
Avvalenza: Cod. MFN0020 Ambito A - Cod. MFN0021 Ambito G
OBIETTIVI
Presentare in modo integrato con altre discipline, quali la teoria dei numeri e soprattutto la geometria algebrica,
le principali nozioni e risultati della teoria degli anelli commutativi, sottolineandone le tecniche dimostrative e le
applicazioni.
Mettere gli studenti in grado di capire il linguaggio corrente nel settore per poter leggere in modo autonomo un
testo o un articolo di ricerca. Stimolare la capacità di costruire dimostrazioni e di testare la validità di un
enunciato mediante la costruzione e l’analisi di esempi.
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso) Insegnamenti fornitori Conoscenze generali su anelli di polinomi Corsi di algebra della
laurea triennale Algebra lineare Corsi di geometria della laurea triennale
9
Conoscere e comprendere le implicazioni dei concetti di:
Corsi di Geometria Algebrica, Algoritmi per l'algebra e la geometria, Algebra computazionale, Teoria dei
numeri.
noetherianità, decomposizione primaria, spettro di un anello.
Lavorare con ideali in anelli concreti, quali anelli di polinomi e loro quozienti e localizzazioni.
Conoscere e comprendere le implicazioni dei concetti di:
Corsi di Geometria Algebrica, Algoritmi per l'algebra e la geometria, Algebra computazionale, Teoria dei
numeri.
noetherianità, decomposizione primaria, spettro di un anello.
Lavorare con ideali in anelli concreti, quali anelli di polinomi e loro quozienti e localizzazioni.
Argomento
Ore
Lezione
Generalità sugli anelli e sugli ideali
10
10
Lo spettro di un anello e la topologia di Zariski
10
10
10
Decomposizione primaria e anelli noetheriani
6
6
Localizzazione di anelli
6
6
Teoria dei moduli e lemma di Nakayama
6
6
Elementi di algebra omologica
8
8
Anelli integralmente chiusi e lemma di normalizzazione
6
6
Nullstellensatz
4
4
Totale
56
56
Domini di integrità e campi. Ideali e anelli quoziente. Teoremi di Isomorfismo per gli anelli. Operazioni sugli
ideali. Ideali primi e massimali, esistenza di ideali massimali.
Nilradicale e radicale di Jacobson di un anello. Ideali primi minimali.
Estensione e contrazione di ideali.
Anelli e moduli di frazioni. Anelli locali e localizzazione.
11
Anelli e moduli noetheriani. Il Teorema della Base di Hilbert. Anelli artiniani.
Decomposizione primaria degli ideali in un anello noetheriano.
Dipendenza integrale. Lemma di Normalizzazione di Noether e Nullstellensatz.
Anelli graduati. Elementi di teoria della dimensione.
TESTI
Appunti del docente. M.F. ATIYAH, I.G. MACDONALD, Introduction to Commutative Algebra,
Addison-Wessley (1969)
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Lunedì
16:00 - 18:00
Aula 6 Dipartimento di Matematica via Carlo Alberto 10
Mercoledì
16:00 - 17:00
Giovedì
16:00 - 18:00
Lezioni: dal 29/09/2008 al 09/01/2009
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=f5d7
Docente: Prof. Margherita Roggero (Titolare del corso), Prof. Mario Valenzano (Titolare del corso)
Tipologia: D.M. 270
Anno: 1° anno
Crediti/Valenza: 6
OBIETTIVI
Il corso intende introdurre alla teoria degli anelli commutativi in una forma del tutto generale, ma con particolare
attenzione ai casi di maggior interesse geometrico ed applicativo relativi alle k-algebre ottenute per quoziente o
localizzazione da anelli di polinomi a coefficienti su un campo.
Conoscere e comprendere le implicazioni dei concetti di: noetherianità, decomposizione primaria, spettro di un
anello. Lavorare con ideali in anelli concreti, quali anelli di polinomi e loro quozienti e localizzazioni.
PROGRAMMA
Italiano
Ideali e anelli quoziente. Operazioni sugli ideali. Estensione e contrazione di ideali. Ideali primi, massimali e
minimali. Nilradicale e radicale di Jacobson.
Anelli locali e localizzazione. Anelli e moduli noetheriani. Il Teorema della Base di Hilbert. Decomposizione
primaria degli ideali in generale e nel caso noetheriano.
Dipendenza integrale. Lemma di Normalizzazione di Noether e Nullstellensatz di Hilbert. Anelli normali. Going
up e Going down.
12
Anelli artiniani e graduati. Elementi di teoria della dimensione.
English
Special elements in commutative rings: units, zero-divisors, nilpotents.
Ideals and quotients of a ring. Sum, product, intersection, radical of ideals. Extended and contracted ideals.
Prime, maximal and minimal ideals, nilradical and Jacobson radical.
Local rings and localization. Noetherian rings and Hilbert Basissatz. Primary decomposition, especially in
noetherian rings.
Moduli. Exact sequences of moduli over a ring; tensor product, Hom and their derived functors.
Integral elements over a ring. Noether normalizazion Lemma and Hilbert's Nullstellensatz. Normal rings.
Going-up and Going-down.
Artinian and graded rings. Generalities about the dimension of a ring.
.
TESTI
M.F. ATIYAH, I.G. MACDONALD, Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wessley (1969)
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=be45
Algebra Computazionale (DM 509)
Docente: Prof. Umberto Cerruti (Titolare del corso)
Tipologia: D.M. 509
Anno: 2° anno
Crediti/Valenza: 7
OBIETTIVI
Il corso di Algebra Computazionale ha quattro finalità principali: 1) Porre le basi per la comprensione delle
tecniche attualmente utilizzate nei test di primalità, nella fattorizzazione degli interi e nello studio delle
successioni di numeri interi. 2) Evidenziare l’importanza degli aspetti computazionali della Matematica, cioè dei
tentativi di rispondere a domande del tipo: "come si fa a ... " 3) Mostrare l’unità della Matematica, attraverso lo
studio di problematiche, come il "riconoscimento dei numeri primi", che provengono dall’antichità e che hanno
coinvolto molti settori di ricerca: Teoria dei Numeri, Algebra, Analisi, Combinatoria, Geometria ... 4) Dare il
giusto rilievo al lato estetico della Matematica, alla sorpresa e alla meraviglia che derivano dai teoremi. E’
proprio lo stupore che ha spinto molti grandi matematici, come Eulero e Gauss, a dare diverse dimostrazioni di
un medesimo risultato. Ciò che conta non è solo il luogo dove si giunge, ma anche la strada che si fa per
arrivarci. Lo studente apprenderà i metodi attuali per determinare la primalità di un intero, la complessità di
alcuni problemi algebrici, le utilizzazioni del gruppo delle cubiche, diverse tecniche contemporanee legate alle
frazioni continue.
Complessità computazionale. Metodi avanzati per testare la primalità di un numero e per la fattorizzazione.
Distribuzione dei numeri primi: teoremi di Chebyshev e di Bertrand. Caratteri dei gruppi abeliani. Conseguenze
della RH e della ERH. Teorema AKS. Applicazioni della teoria delle curve ellittiche. Frazioni continue e loro
applicazioni. Equazione di Pell e unità quadratiche. Legami tra matrici, frazioni continue e ricorrenze.
13
PROGRAMMA
Italiano
Complessità computazionale. Classi P e NP.
Problema dei numeri primi, teorema di Pratt.
Esistono infiniti numeri primi: dimostrazioni di Euclide, Eulero, Polya, Erdos, Fustenberg …
Per ogni n esistono infiniti primi congrui a 1 modulo n.
Primalità: algoritmi deterministici e non polinomiali, polinomiali e non deterministici, polinomiali e
deterministici ma condizionati.
Applicazioni del gruppo delle curve ellittiche alla primalità e alla fattorizzazione.
Il teorema AKS: metodo polinomiale, deterministico e non condizionato.
Il teorema di Nair.
Teoremi di Chebyshev e di Bertrand.
Caratteri dei gruppi abeliani finiti e funzioni L di Dirichlet.
Condizioni equivalenti alle congetture RH e ERH.
Frazioni continue.
Irrazionalità quadratiche.
Equazione di Pell e unità quadratiche.
Matrici, frazioni continue e ricorrenze lineari.
English
Computational complexity. P and NP classes.
Prime is in NP: Pratt's theorem.
Several proofs of the infinitude of primes: Euclid, Euler, Polya, Erdos, Fustenberg …
There exists infinitely many prime congruent to 1 mod n, for every n.
Primality testing.
Elliptic curves and their applications to primality, factorization, cryptography.
AKS theorem.
Nair's theorem.
Theorems of Chebyshev and Bertrand.
Characters of finite abelian groups and Dirichlet L functions.
RH and ERH equivalences.
14
Continued fractions.
Quadratic irrationalities.
Pell's equation and quadratic units.
Matrices, continued fractions and linear recurrences.
.
TESTI
Richard Crandall, Carl Pomerance - Prime numbers : a computational perspective - OPERA 223 Andrew M.
Rockett, Peter Szusz - Continued Fractions - 11A 1992.ROCKET Victor Shoup - A Computational Introduction
to Number Theory and Algebra - http://www.shoup.net/ntb/
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=34d3
Algebra Computazionale - a.a. 2008/09
Crediti/Valenza: 7
OBIETTIVI
Il corso di Algebra Computazionale ha quattro obiettivi principali: 1) Porre le basi per la comprensione delle
tecniche attualmente utilizzate nei test di primalità, nella fattorizzazione degli interi e nello studio delle
successioni di numeri interi. 2) Evidenziare l’importanza degli aspetti computazionali della Matematica, cioè dei
tentativi di rispondere a domande del tipo: "come si fa a ... " 3) Mostrare l’unità della Matematica, attraverso lo
studio di problematiche, come il "riconoscimento dei numeri primi", che provengono dall’antichità e che hanno
coinvolto molti settori di ricerca: Teoria dei Numeri, Algebra, Analisi, Combinatoria, Geometria ... 4) Dare il
giusto rilievo al lato estetico della Matematica, alla sorpresa e alla meraviglia che derivano dai teoremi. E’
proprio lo stupore che ha spinto molti grandi matematici, come Eulero e Gauss, a dare diverse dimostrazioni di
un medesimo risultato. Ciò che conta non è solo il luogo dove si giunge, ma anche la strada che si fa per
arrivarci.
Gli studenti apprendono alcune tecniche matematiche utili e significative che riguardano, tra l’altro, i numeri
primi, la fattorizzazione, le successioni ricorrenti, le curve ellittiche, le frazioni continue e le loro applicazioni
informatiche.
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso)Insegnamenti fornitoriUna buona conoscenza delle basi dell'algebra e della
matematica discretaMatematica Discreta, Algebra I e Algebra II
15
Complessità computazionale. Metodi avanzati per testare la primalità di un numero e per la fattorizzazione.
Distribuzione dei numeri primi: teoremi di Chebyshev e di Bertrand. Caratteri dei gruppi abeliani. Conseguenze
della ERH. Teorema AKS. Applicazioni della teoria delle curve ellittiche. Frazioni continue e loro applicazioni.
Problemi di irrazionalità e trascendenza.
Il corso prepara alla ricerca e viene utilizzato per la stesura di tesi e per il Dottorato. Gli argomenti hanno
applicazioni pratiche, per esempio alla Crittografia.
Argomento
Ore
Lezione
Successioni ricorrenti. Metodi di primalità e fattorizzazione.
12
12
Caratteri dei gruppi abeliani finiti e caratteri modulari.
6
6
Complessità computazionale. Distribuzione dei numeri primi, teoremi di Chebyshev e Bertrand, conseguenze
della ERH. Teorema AKS.
16
16
Applicazioni della teoria delle curve ellittiche.
10
10
Frazioni Continue e applicazioni. Irrazionalità e trascendenza.
12
12
Totale
56
16
56
Il corso tratta di argomenti di teoria dei numeri, con particolare attenzione agli aspetti computazionali. Il
programma può variare di anno in anno. Quello che segue è relativo all’a.a. 2006-07.
Complessità computazionale, problemi P, NP, NP-completi. Crittografia a chiave pubblica, Knapsack e
RSA. Successioni ricorrenti del secondo ordine. Criteri di Lucas, Pepin, Pocklington, Morrison. Numeri primi di
Mersenne e di Fermat. Caratteri dei gruppi abeliani finiti. Trasformata discreta di Fourier. Caratteri modulari e
funzioni L di Dirichlet. La distribuzione dei primi. Teoremi di Chebyshev, di Bertrand etc. La congettura di
Riemann e la congettura di Riemann estesa. Loro conseguenze. Il Teorema di Agrawal, Kayal e Saxena (AKS).
Il gruppo delle curve ellittiche. Strutture deboli. Metodi ECM e ECPP. Frazioni continue e loro applicazioni.
L’equazione di Pell. Cenni su irrazionalità e trascendenza.
TESTI
Vedi in Materiale DidatticoMateriale didattico I testi base consigliati per il corso sono: 1. Victor Shoup A
computational introduction to number theory Cambridge University Press ( Il testo viene distribuito
gratuitamente qui: http://shoup.net/ntb/ 2. K. Ireland, M. Rosen A classical introduction to modern number
theory Springer 3. Hans Riesel - Prime numbers and computer methods for factorization Birkhauser 4. Richard
Crandall, Carl Pomerance - Prime numbers : a computational perspective - Springer E’ fortemente consigliato
l’utilizzo del seguente materiale per approfondimenti e integrazioni: 1. Andrew M. Rockett, Peter Szusz Continued fractions - World scientific 2. Song Y. Yan Number Theory for Computing - Springer
NOTA
Modalità di verifica/esame L’esame si svolge, di norma, come segue: lo studente scrive una relazione su un
argomento concordato con il docente e la presenta in un seminario davanti alla commissione.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Lunedì
9:00 - 11:00
Mercoledì
14:00 - 16:00
Giovedì
9:00 - 11:00
Lezioni: dal 02/03/2009 al 05/06/2009
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=cf5c
Algebra I - Non attivato nell’a.a. 2008/09
Codice: M8511
Docente: Dott. Lea Terracini (Titolare del corso), Prof. Andrea Mori (Esercitatore), Prof. Domenico
Zambella (Titolare del corso)
Tipologia: Di base
Anno: 2° anno
Crediti/Valenza: 7
OBIETTIVI
Lo studente dovrà dare prova di aver acquisito i concetti basilari della teoria dei gruppi, degli anelli e dei campi e
di saperli utilizzare per risolvere semplici esercizi.
17
Il corso si propone di fornire i concetti basilari della teoria dei gruppi, degli anelli e dei campi, in modo da
permettere allo studente di affrontare corsi avanzati di algebra e di geometria in cui questi nozioni di base
saranno applicate e ulteriormente sviluppate.
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso) Insegnamenti fornitori Argomenti svolti nel corso di Matematica discreta Matematica
discreta E' utile la conoscenza delle nozioni fondamentali di algebra lineare e geometria analitica
Geometria I e II
Proprietà fondamentali di gruppi, anelli e campi
Corsi successivi di algebra e di geometria
Essere in grado di utilizzare le strutture studiate per risolvere esercizi
Molti corsi matematici di tipo avanzato
Argomento
Ore
Lezione
Ore
Esercitazione
Gruppi e omomorfismi di gruppi: definizioni, teoremi fondamentali ed esempi principali. Sottogruppi. Gruppo
simmetrico e Gruppo diedrale. Gruppi di matrici.
15
11
26
Azione di un gruppo su di un insieme.
5
18
5
10
Anelli e ideali: definizione, proprietà principali ed esempi. Particolare attenzione sarà dedicata agli anelli
polinomi e ai domini euclidei. Cenni sui campi .
16
11
27
Totale
36
27
63
simmetrico e Gruppo diedrale. Gruppi di matrici. Azione di un gruppo su di un insieme.
polinomi e ai domini euclidei.
Cenni sui campi .
TESTI
G. CATTANEO PIACENTINI, Algebra, Ed. Zanichelli (consigliato) Appunti del corso (LINK)
NOTA
L’esame si svolge come segue: Scritto (due esoneri scritti sostitutivi dello scritto finale) e orale facoltativo.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Lunedì
11:00 - 13:00
Aula A Dipartimento di Matematica via Carlo Alberto 10
Mercoledì
11:00 - 13:00
Giovedì
9:00 - 10:00
Lezioni: dal 01/10/2007 al 18/01/2008
Nota: TUTORATO: lunedì dalle 14.00 alle 16.00.
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=19b4
Algebra II - a.a. 2008/09
Codice: MFN0135
Docente: Prof. Yu Chen (Titolare del corso)
Tipologia: A scelta dello studente
Anno: 3° anno
19
Crediti/Valenza: 5
Avvalenza: 5CFU Ambito G
OBIETTIVI
L’allievo dovrà essere in grado di condurre lo studio dei campi utilizzando sia i metodi che le proprietà
dell’algebra moderna.
Il corso si propone di far conoscere agli studenti un argomento fondamentale di algebra "la struttura dei campi",
il quale è anche essenziale per altri rami principali di matematica.
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso) Insegnamenti fornitori Nozioni di base di algebra Matematica discreta Teoria dei
gruppi e dei campi Algebra I Nozioni di base di Algebra Lineare Geometria I, II
Calcoli dei sottocampi, del campo di spezzamento di un polinomio e dei gruppi di Galois
Istituzioni di Algebra, Algebra superiore, Geometria Algebrica
Argomento
Ore
Lezione
Ore
Esercitazione
simmetrico e Gruppo diedrale. Gruppi di matrici.
15
11
26
Azione di un gruppo su di un insieme.
5
5
20
10
polinomi e ai domini euclidei. Cenni sui campi .
16
11
27
Totale
36
27
63
Riassunti delle teorie dei gruppi e degli anelli, gruppi di permutazioni, simplicità del gruppo di permutazione su
5 oggetti, gruppi risolubili, estensione dei campi, elementi algebrici e trascendenti, polinomio minimo di un
elemento algebrico, estensione algebriche di grado finito, proprietà elementari dei campi finiti, estensioni degli
isomorfismi di campi, campo di spezzamento di un polinomio ed estensioni di Galois, gruppo di Galois, la
corripondenza di Galois, estensioni pure, estensioni ciclotomiche, composto dei campi, risolubilità di
un’equazione polinomiale per radicali, il teorema di Abel-Ruffini.
TESTI
Elementi di teoria di Galois, C. Procesi, Decibel editrice Galois Theory, J. Rotman, Springer
NOTA
L’esame si svolge, di norma, come segue: esercizi durante il corso ed esame orale finale.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Lunedì
15:00 - 16:00
Martedì
15:00 - 16:00
Mercoledì
15:00 - 16:00
Giovedì
16:00 - 18:00
Lezioni: dal 29/09/2008 al 09/01/2009
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=d003
Algebra II Complementi - a.a. 2008/09
Codice: MFN0136
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 2
21
OBIETTIVI
L’esame si svolge, di norma, come segue: esercizi durante il corso ed esame orale finale.
L’allievo dovrà essere in grado di classificare tutte le forme bilineari sugli spazi vettoriali sopra qualsiasi campo
e di calcolare l’indice di Witt degli spazi.
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso) Insegnamenti fornitori La struttura dei campi Algebra II
Capacità di calcolo per le forme simmetriche e antisimmetriche
Istituzioni di Algebra Superiore, Gruppi di Lie
Argomento
Ore
Lezione
Ore
Esercitazione
Forme simmetriche sugli spazi vettoriali
8
4
12
Forme anti-simmetriche e Teorema di Witt
4
2
6
Totale
12
22
6
18
Funzioni lineari e forme bilineari, forme alternanti, forme simmetiche bilineari e forme quadratiche,
classificazioni delle forme alternanti e simmetriche su vari campi, proprietà elementari della geometria
ottogonale,Teorema di Witt e l’indice di Witt, cenni di proprietà dei gruppi di isometrie.
TESTI
M. JACOBSON, Basic Algebra I, W.H. Freeman & Company
NOTA
L’esame si svolge, di norma, come segue: esercizi scritti ed esame orale.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Nota: Le lezioni iniziano al termine del corso Algebra II negli stessi orari.
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=199a
Algebra Lineare Numerica - a.a. 2008/09
Codice: MFN0137
Docente: Prof. Isabella Cravero (Titolare del corso)
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 5
SSD: MAT/08 - analisi numerica
OBIETTIVI
Il corso si propone di fornire agli studenti le conoscenze che stanno alla base della teoria fondamentale
dell’Algebra Lineare Numerica. Gli obiettivi del corso sono un approfondimento dell’Algebra Lineare, la
trattazione numerica della risoluzione di sistemi lineari, sia con metodo diretti che con metodi iterativi, e
l’approssimazione di autovalori e di autovettori. L’apprendimento verra’ facilitato ponendo l’attenzione, dove
possibile, agli aspetti grafici ed intuitivi. Il corso sottolinea gli aspetti computazionali di questi argomenti e
prevede esperienze in laboratorio con il linguaggio Matlab.
trattazione numerica della risoluzione di sistemi lineari sia con metodi diretti che con metodi iterativi e
l’approssimazione di autovalori ed autovettori. L’apprendimento verrà facilitato ponendo l’attenzione, dove
possibile, agli aspetti grafici ed intuitivi. Il corso sottolinea gli aspetti computazionali di questi argomenti e
prevede esperienze di laboratorio con il linguaggio Matlab.
PROGRAMMA
23
Pre-requisiti (in ingresso)Insegnamenti fornitoriSpazi vettoriali, matrici, operazioni su matrici.Geometria
IIFondamenti della matematica numerica (condizionamento, stabilità, rappresentazione dei numeri sul
calcolatore,…)Analisi Numerica IMetodi base di risoluzione di sistemi lineariAnalisi Numerica II
Conoscenze e competenze di base , sia teoriche sia computazionali, di Algebra Lineare Numerica
Corsi della Laurea Magistrale
Argomento
Ore
Lezione
Ore
Esercitazione
Ore Laboratorio
Elementi di analisi delle matrici
6
2
4
12
Risoluzione di sistemi lineari con metodi diretti
4
2
3
9
Risoluzione di sistemi lineari con metodi iterativi
6
2
24
4
12
Approssimazione di autovalori e autovettori
6
2
4
12
Totale
22
8
15
45
Richiami di algebra lineare. Autovalori ed autovettori. Norme.
Metodi diretti per la risoluzione dei sistemi di equazioni lineari.
Metodi iterativi per la risoluzione dei sistemi di equazioni lineari.
Metodi per il calcolo di autovalori ed autovettori.
TESTI
G. Rodriguez, Algoritmi Numerici, Pitagora Editrice Bologna, 2008 A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri,
Matematica Numerica, Springer 2000 G. H. Golub, C. Van Loan, Matrix Computations, John Hopkins
University Press, terza edizione, 1996. L.N. Trefethen, D. Bau, Numerical Linear Algebra, Siam, 1997. Y. Saad,
Iterative methods for Sparse Linear System, Siam, 2003.
NOTA
L’esame consiste in una prova scritta contenente domande di teoria, esercizi ed un problema da risolvere con il
Matlab. A ciascuna parte viene dato un punteggio specificato sul testo. La somma delle valutazioni puo’
costituire il voto finale. Lo studente ha inoltre la possibilita’ di presentare una relazione su un argomento Matlab
concordata insieme al docente. Tale relazione puo’ essere valutata fino ad un max di 3 punti.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Lunedì
8:00 - 10:00
Aula Informatizzata n° 02 Dipartimento di Matematica via Carlo Alberto 10
Martedì
10:00 - 12:00
Mercoledì
8:00 - 9:00
Lezioni: dal 30/09/2008 al 09/01/2009
Nota: Le lezioni inizieranno martedi’ 30 settembre 2008 alle ore 10; le lezioni del lunedi’ si terranno nell’aula
informatizzata 2
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=f702
25
Algebra Lineare Numerica (DM 270)
Tipologia: D.M. 270
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 5
OBIETTIVI
trattazione numerica della risoluzione di sistemi lineari sia con metodi diretti che con metodi iterativi e
l’approssimazione di autovalori ed autovettori. L’apprendimento verra’ facilitato ponendo l’attenzione, dove
possibile, sugli aspetti grafici ed intuitivi. Il corso sottolinea gli aspetti computazionali di questi argomenti e
prevede esperienze al laboratorio con il linguaggio Matlab.
Conoscenze e competenze di base, sia teoriche sia computazionali, dell’Algebra Lineare Numerica
PROGRAMMA
Italiano
Elementi di analisi delle matrici.
Risoluzione di sistemi lineari con metodi diretti.
Risoluzione di sistemi lineari con metodi iterativi.
Approssimazione di autovalori e auto vettori.
English
Fundamentals of matrix analysis.
Direct methods for solving linear system.
Iterative methods for solving linear system.
Approximating eigenvalues and eigenvectors.
.
TESTI
I testi base consigliati per il corso sono: 1)G. Rodriguez, Algoritmi Numerici, Pitagora Editrice Bologna,2008. 2)
dispense fornite dal docente per la parte di laboratorio 3)A. Quarteroni,R. Sacco, F. Saleri, Matematica
Numerica, Springer-Verlag Italia, seconda edizione, 2000. E’ fortemente consigliato l’utilizzo del seguente
materiale per approfondimenti e integrazioni: G. H. Golub, C. Van Loan, Matrix Computations, John Hopkins
University Press, terza edizione, 1996. Y. Saad, Iterative methods for Sparse Linear System, Siam, 2003. L.N.
Trefethen, D. Bau, Numerical Linear Algebra, Siam, 1997. Questi libri sono disponibili presso la Biblioteca G.
Peano del Dipartimento di Matematica. Infine sono di seguito indicati siti internet di interesse: http://netlib.org/
http://www.mathworks.com/
26
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=ef8a
Algebra Lineare Numerica Complementi - a.a. 2008/09
Codice: MFN0138
Docente: Prof. Vittoria Demichelis (Titolare del corso)
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 2
OBIETTIVI
Il corso si propone di approfondire alcune tematiche dell’Algebra lineare numerica mediante l’analisi di diversi
algoritmi per la risoluzione di uno stesso problema. Gli studenti sono incoraggiati ad implementare in ambiente
Matlab le tecniche numeriche svolte durante le lezioni.
Studio e comprensione dei metodi svolti durante le lezioni e capacita‘ di utilizzare tali metodi per la soluzione di
problemi applicativi.
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso)Insegnamenti fornitoriNozioni basilari di Algebra Lineare NumericaAlgebra Lineare
Numerica
Matrici partizionate a blocchi, sistemi lineari a banda, metodi per la risoluzione del problema lineare dei minimi
quadrati, calcolo di autovalori e autovettori per matrici simmetriche.
Corsi afferenti al SSD MAT/08 della LM in Matematica
Argomento
Ore
Lezione
Matrici partizionate a blocchi
27
4
4
Sistemi lineari a banda
4
4
Il problema lineare dei minimi quadrati
6
6
Autovalori ed autovettori nel caso simmetrico
4
4
Totale
18
18
Matrici partizionate a blocchi.
Sistemi lineari a banda.
Il problema lineare dei minimi quadrati.
Calcolo di autovalori di matrici simmetriche.
TESTI
D. BINI, M. CAPOVANI et al. , Metodi numerici per l’Algebra Lineare, Zanichelli G.H. GOLUB, C.F. VAN
LOAN, Matrix computations, The Johns Hopkins University Press A. QUARTERONI, R. SACCO, F. SALERI,
Matematica Numerica, Springer 2000
NOTA
Appelli in date da concordare con il docente. Modalità di verifica/esame L’esame si svolge, di norma, come
segue: prova orale sugli argomenti svolti durante il corso.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Nota: Le lezioni iniziano al termine del corso Algebra Lineare Numerica negli stessi orari.
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=e2b8
28
Algebra Superiore (DM 509)
Docente: Dott. Lea Terracini (Titolare del corso)
Tipologia: D.M. 509
Anno: 2° anno
Crediti/Valenza: 7
OBIETTIVI
Si forniscono agli studenti fondamentali nozioni di algebra avanzata: algebre su un anello, algebre di quaternioni,
teoria delle forme quadratiche, coomologia di gruppi, gruppo di Brauer. Gli studenti dovranno aver acquisito la
conoscenza degli argomenti del corso ed essere in grado di applicarla alla risoluzione di esercizi.
Conoscenza delle algebre di quaternioni, delle forme quadratiche su un campo, delle algebre centrali semplici su
un campo, dei fondamenti di coomologia dei gruppi e della definizione del gruppo di Brauer.
PROGRAMMA
Italiano
Moduli e algebre su un anello. Algebre di quaternioni su un campo. Campi di spezzamento. Classificazione delle
algebre di quaternioni in base alle forme quadratiche associate. Campi p-adici. Classificazione delle forme
quadratiche sui campi p-adici. Teorema di Hasse-Minokowski. Classificazione delle forme quadratiche razionali.
Algebre centrali semplici su un campo. Gruppo di Brauer. Coomologia dei gruppi. Gruppo di Brauer
coomologico.
English
Modules and algebras over a ring. Quaternion algebras over a field. Splitting fields. Classification of quaternion
algebras via quadratic forms. p-adic fields. Classification of quadratic forms over p-adic fields.
Hasse-Minkowski theorem. Rational quadratic forms classification. Central simple algebras over a field. Brauer
group. Cohomology of groups. The cohomological Brauer group.
.
TESTI
Gille, P. and Szamuely, T.S., Central simple algebras and Galois Cohomology, Cambridege University Press,
2006 R. S. Pierce, Associative algebras. Springer-Verlag, New York, 1982 Serre, J.-P., Cour d’Arithmétique,
Presses Universitaires de France, 1970
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=a6b7
Algebra Superiore - a.a. 2008/09
Crediti/Valenza: 7
29
OBIETTIVI
Finalità Si forniscono agli studenti fondamentali nozioni di algebra avanzata: algebre su un anello, algebre di
quaternioni, coomologia di gruppi, gruppo di Brauer.
. Obiettivi Gli studenti dovranno aver acquisito la conoscenza degli argomenti del corso ed essere in grado di
applicarla alla risoluzione di esercizi
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso)Insegnamenti fornitoriTeoria dei gruppi e degli anelliAlgebra I e IIAlgebra
LineareGeometria II
Conoscenza delle algebre di quaternioni, delle forme quadratiche su un campo, dei fondamenti di coomologia dei
gruppi e della definizione del gruppo di Brauer.
Corso di Teoria dei Numeri (opzionale)
Preparazione della tesi di Laurea Magistrale, corsi di Dottorato di Algebra
Argomento
Ore
Lezione
Ore
Esercitazione
Algebre di quaternioni e forme quadratiche
18
6
24
Coomologia di gruppi
30
11
5
16
Gruppo di Brauer
11
5
16
Totale
40
16
56
Algebre di quaternioni, campi di spezzamento, conica e forma quadratica associata. Classificazione delle forme
quadratiche su Q e su Q_p. Prodotti tensoriali di algebre. Coomologia di gruppi. Gruppo di Brauer.
Modalità d’esame: l’esame consiste, a scelta dello studente, in un colloquio orale sul contenuto del corso, oppure
nella discussione orale di esercizi risolti durante il corso.
TESTI
2006 T. Y. Lam, A first course in noncommutative rings. Springer-Verlag, New York, 1991. R. S. Pierce,
Associative algebras. Springer-Verlag, New York, 1982. Serre, J.-P., Cour d’Arithmétique, Presses
Universitaires de France, 1970
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Lunedì
14:00 - 16:00
Martedì
11:00 - 13:00
Giovedì
11:00 - 13:00
Lezioni: dal 02/03/2009 al 05/06/2009
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=cb75
Algebra Superiore (DM 270)
Tipologia: D.M. 270
31
Anno: 1° anno
Crediti/Valenza: 6
OBIETTIVI
Si forniscono agli studenti fondamentali nozioni di algebra avanzata: algebre su un anello, algebre di quaternioni,
teoria delle forme quadratiche, coomologia di gruppi, gruppo di Brauer. Gli studenti dovranno aver acquisito la
conoscenza degli argomenti del corso ed essere in grado di applicarla alla risoluzione di esercizi.
Conoscenza delle algebre di quaternioni, delle forme quadratiche su un campo, delle algebre centrali semplici su
un campo, dei fondamenti di coomologia dei gruppi e della definizione del gruppo di Brauer.
PROGRAMMA
Italiano
Moduli e algebre su un anello. Algebre di quaternioni su un campo. Campi di spezzamento. Classificazione delle
algebre di quaternioni in base alle forme quadratiche associate. Campi p-adici. Classificazione delle forme
quadratiche sui campi p-adici. Teorema di Hasse-Minokowski. Classificazione delle forme quadratiche razionali.
Algebre centrali semplici su un campo. Gruppo di Brauer. Coomologia dei gruppi. Gruppo di Brauer
coomologico.
English
Modules and algebras over a ring. Quaternion algebras over a field. Splitting fields. Classification of quaternion
algebras via quadratic forms. p-adic fields. Classification of quadratic forms over p-adic fields.
Hasse-Minkowski theorem. Rational quadratic forms classification. Central simple algebras over a field. Brauer
group. Cohomology of groups. The cohomological Brauer group.
.
TESTI
2006 R. S. Pierce, Associative algebras. Springer-Verlag, New York, 1982 Serre, J.-P., Cour d’Arithmétique,
Presses Universitaires de France, 1970
Algoritmi per l’algebra (DM 270)
Docente: Prof. Marco Burzio (Titolare del corso)
Tipologia: D.M. 270
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 5
OBIETTIVI
La teoria dei grafi, pur essendo una branca della matematica pura, ha numerose applicazioni nei più disparati
settori della scienza e della tecnologia (ottimizzazione dei trasporti e delle risorse, architettura dei circuiti
stampati, ecc.). Il corso si propone di fornire agli studenti le conoscenze di base della teoria dei grafi e di renderli
in grado di studiare e risolvere le problematiche collegate anche utilizzando gli algoritmi introdotti durante il
corso.
32
L’allievo dovrà ottenere padronanza con gli argomenti, le tecniche e gli algoritmi introdotti durante il corso. In
particolare dovrà dimostrare di saper risolvere, utilizzando le tecniche proprie della teoria dei grafi, vari problemi
di tipo combinatorio che nascono tanto in ambito teorico quanto nelle applicazioni. Dovrà dimostrare di saper
maneggiare concetti quali la traversabilità, la planarità, le diverse colorazioni ed etichettatura dei grafi.
PROGRAMMA
Italiano
Grafi e sottografi: grafi, sottografi, grafi speciali, operazioni sui grafi, successioni dei gradi. Grafi
connessi e sconnessi: cammini e cicli, complemento di un grafo e grafi autocomplementari, vertici separanti e
ponti, grafi euleriani, grafi hamiltoniani, blocchi. Matrici e alberi: grafi e matrici, alberi, il numero degli alberi
non identici, alberi ricoprenti e teorema degli alberi e delle matrici. Grafi planari e non planari: la
formula di Eulero, condizioni algebriche necessarie planarità, grafi planari e poliedri, omeomorfismo,
caratterizzazione dei grafi planari. Colorazioni sui grafi: il numero cromatico, l’algoritmo k-colorabile, il
teorema dei quattro colori, il polinomio cromatico, colorazioni sui lati. Digrafi e networks: digrafi e
tornei, networks e cammini critici, flussi e tagli.
English
Graphs and subgraphs. Special graphs. Operations on graphs. Degree sequences. Connected and disconnected
graphs. Paths and cycles. Complementary graph. Autocomplementary graphs. Cut vertices and bridges. Eulerian
graphs. Hamiltonian graphs Blocks. Matrices. Trees. The number of nonidentical trees. Spanning trees. Matrices
and trees theorem. Planar and nonplanar graphs. Euler formula. Algebraic conditions to planarity. Planar graphs
and polyhedra. Homeomorphism. Characterization of planar graphs. Colouring on graphs. Chromatic number.
The k-colorable algorithm. The four color theorem. The chromatic polynomial. Colouring on edges.
.
TESTI
M. BEHZAD - G. CHARTRAND - L. LESNIAK-FOSTER, Graphs & Digraphs, Prindle, Weber & Schmidt.
S.B. MAURER - A. RALSTON - Discrete Algorithmic Mathematics, Addison-Wesley. Dispense del Corso
disponibili in rete.
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=e9fe
Algoritmi per l’Algebra e la Geometria - a.a. 2008/09
Codice: vedi Avvalenza
Crediti/Valenza: 7
Avvalenza: Cod MFN0026 Ambito A(4 CFU,settore MAT/02 - 3 CFU, settore MAT/03 ) ---- Cod MFN0027
Ambito G(4 CFU,settore MAT/02 - 3 CFU, settore MAT/03 )
OBIETTIVI
Conoscere i principali aspetti teorici e algoritmici dei metodi di manipolazione dei polinomi, in particolare per
quel che riguarda gli ordinamenti monomiali e le proprietà e la costruzione di basi di Groebner. Vedere come tali
risultati possano essere applicati in molte situazioni e contesti matematici, teorici e apllicativi, anche in
apparenza lontani dall’algebra dei polinomi.
33
Saper enunciare e dimostrare i fatti fondamentali della teoria delle basi di Groebner. Eseguire calcoli su ideali in
anelli di polinomi, sia a mano sia con l’uso di software specifico. Applicare le metodologie apprese per risolvere
problemi in alcuni contesti applicativi (statistica algebrica, preparazione alla risoluzione numerica di sistemi di
equazioni, ..).
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso) Insegnamenti fornitori Conoscenza di base dei polinomi a coefficienti in un campo e
delle operazioni di base possibili su di essi (in particolare divisione di polinomi, ricerca del massimo comun
divisore ecc.) Matematica Discreta Conoscenza di base sugli anelli: ideali, loro generatori , anelli quoziente
Algebra I Fondamenti di algebra lineare Geometria I Nozioni di base di statistica Statistica Matematica I
Conoscenza della struttura dell'anello dei polinomi, determinazione di sistemi di generatori per ideali
Algebra commutativa
Soluzione di sistemi di equazioni polinomiali
Geometria algebrica
Conoscenze di programmazione lineare intera
Geometria convessa
Argomento
Ore
Lezione
Ore Laboratorio
Anello di polinomi in una e più indeterminate a coefficienti in un campo e sue proprietà. Algoritmo di divisione
generalizzato.
4
2
34
6
Basi di Groebner di un ideale. Algoritmo di Buchberger per la determinazione di una base di Groebner
6
4
10
Sistemi di equazioni polinomiali e varietà algebriche,
4
4
8
Teoria dell’eliminazione, Decomposizione primaria. Calcolo della dimensione di una varietà. Varietà toriche.
8
4
12
Applicazioni alla statistica, alla biologia, alla teoria dei grafi...
14
6
20
Totale
36
20
56
Anello di polinomi in una e più indeterminate a coefficienti in un campo e sue proprietà. Algoritmo di divisione
generalizzato. Basi di Groebner di un ideale. Algoritmo di Buchberger per la determinazione di una base di
Groebner. Caratterizzazioni equivalenti delle basi di Groebner. Operazioni sugli ideali e basi di Groebner
corrispondenti. Sistemi di equazioni polinomiali e varietà algebriche, Teoria dell’eliminazione, Decomposizione
primaria. Calcolo della dimensione di una varietà. Varietà toriche.
Applicazioni: problema della colorazione di grafi, problemi di programmazione intera, applicazioni statistiche.
Alle lezioni teoriche saranno affiancate attività al computer con l’utilizzo di software specifico (Cocoa,
Singular).
TESTI
Cox, Little, O’Shea, Ideals, varieties and algorithms, Springer 1997, Pistone, Riccomagno, Wynn, Algebraic
Statistics, Chapman & Hall, 2000 Sturmfels, Groebner bases and convex polytopes, American Mathematical
Society, 1996 Il materiale didattico presentato a lezione è disponibile, in forma cartacea, presso il Centro Stampa
del Dipartimento di Matematica e sul sito del corso
35
NOTA
Il corso inizia Mercoledì 4 marzo alle ore 16.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Mercoledì
16:00 - 18:00
Giovedì
14:00 - 16:00
Aula C Dipartimento di Matematica via Carlo Alberto 10
Giovedì
14:00 - 16:00
Venerdì
11:00 - 13:00
Lezioni: dal 02/03/2009 al 05/06/2009
Nota: Dal 19/3 al 23/4 compreso la lezione del giovedì si terra’ in aula C; dal 30/4 a fine corso, invece in aula 5
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=5e7e
Analisi Armonica e Applicazioni Complementi - Non attivato nell’a.a.
2008/09
Codice: M8574
Docente:
Recapito: []
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 2
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=305c
Analisi Armonica e di Fourier (DM 270)
Docente: Prof. Paolo Boggiatto (Titolare del corso), Dott. Alessandro Oliaro (Titolare del corso)
Tipologia: D.M. 270
Anno: 1° anno
Crediti/Valenza: 6
SSD: MAT/05 - analisi matematica
OBIETTIVI
Lo scopo del corso e quello di mostrare come due strumenti fondamentali dell’Analisi Matematica e delle sue
applicazioni, quali serie e trasformata di Fourier, trovino una elegante unificazione concettuale nell’ambito
dell’Analisi Armonica astratta. Le competenze da acquisire riguardano l’apprendimento dell’utilizzo di
specifiche tecniche di Analisi Armonica.
Conoscenza degli strumenti classici dell’Analisi Armonica e di Fourier Italiano
PROGRAMMA
36
Italiano
-
Algebre di Banach, Trasformata di Gelfand;
-
Gruppi localmente compatti;
-
Duale di un gruppo localmente compatto,
-
Trasformata di Fourier su gruppi localmente compatti.
English
-
Banach Algebras, Gelfand Transform;
-
Locally Compact Groups;
-
Dual of a Locally Compact Group,
-
Fourier Transform on Locally Compact Groups.
.
TESTI
- G. Folland, A Course in Abstract Harmonic Analysis, CRC Press 1995. - W. Rudin, Fourier Analysis on
Groups, Wiley 1990
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=b5eb
Analisi Armonica ed Applicazioni - a.a. 2008/09
Codice: MFN0139
Docente: Prof. Gianluca Garello (Titolare del corso)
Recapito: +39 011 6702902 [[email protected]]
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 5
OBIETTIVI
Il corso si propone di introdurre dettagliatamente le proprietà fondamentali della trasformata di Fourier. Si
presenteranno varie applicazioni, con particolare attenzione alla teoria dei segnali ed al principio di
indeterminazione di Heisenberg.
Uno studente che abbia acquisito le nozioni presentate nel corso sara’ in possesso, da un lato, delle basi teoriche
necessarie per uno studio piu’ avanzato dell’Analisi Armonica, dall’altro, avra’ una conoscenza qualitativa dei
principali strumenti matematici alla base della teoria dei segnali.
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso) Insegnamenti fornitori Analisi Matematica elementare Analisi Matematica I, II, III
37
Conoscenza degli strumenti base dell'Analisi Armonica e delle sue Applicazioni
Analisi di Fourier, Teoria delle Distribuzioni ed Applicazioni
Argomento
Ore
Lezione
Ore Laboratorio
Elementi di teoria degli spazi di Banach e Hilbert.
Elementi di integrazione secondo Lebesgue e spazi Lp
10
10
Trasformata di Fourier su L1 e S (Rn) e L2, convoluzione
20
20
Principio di Indeterminazione di Heisenberg
6
6
Serie di Fourier su spazi di Hilbert e loro convergenza
9
9
Totale
45
38
45
TESTI
E’ possibile utilizzare come testo base: - C.Gasquet, P. Witomsky, Fourier Analysis and Applications, Ed.
Springer. Altri testi sono indicati nel materiale didattico.
NOTA
La prova d’esame consisterà in un colloquio orale volto a verificare l’apprendimento dei contenuti del corso.
Particolare cura verrà posta nella verifica degli obiettivi formativi. Dettagli sulla prova d’esame sono reperibili
nel materiale didattico Le prove d’esame, da tenersi nei periodi previsti dal CCS in Matematica, verranno
concordate con gli studenti in base alle loro esigenze. Per informazioni inviare e-mail al docente.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Lunedì
14:00 - 16:00
Venerdì
14:00 - 16:00
Aula S Dipartimento di Matematica via Carlo Alberto 10
Lezioni: dal 02/03/2009 al 05/06/2009
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=719b
Analisi Complessa - a.a. 2008/09
Docente: Prof. Domenico Delbosco (Titolare del corso), Prof. Gabriella Viola (Titolare del corso)
Crediti/Valenza: 7
OBIETTIVI
Il corso intende fornire una conoscenza dell’analisi complessa sia sul piano teorico che sul piano del calcolo
affrontando sia la teoria di una variabile complessa che la teoria di più variabili complesse.
La conoscenza dei principali teoremi sulle funzioni analitiche utili ed importanti per le applicazioni ad altri rami
della matematica, delle scienze sperimentali e dell’ingegneria.
PROGRAMMA
. Pre-requisiti in ingresso e competenze minime in uscita
Pre-requisiti (in ingresso)Insegnamenti fornitoriCalcolo differenziale ed integrale in campo realeAnalisi
Matematica IEquazioni differenziali ordinarieAnalisi Matematica IISerie numeriche e serie di potenzeAnalisi
Matematica III
39
Teoria delle funzioni analitiche di una o più variabili complesse.
Analisi Funzionale
Teorema di Liouville e principio del max ed applicazioni
Analisi di Fourier
Fenomeno del prolungamento del dominio
Teoria dei numeri
Argomento
Ore
Lezione
Ore
Esercitazione
Serie formali e Teoria delle funzioni analitiche
7
7
Cognizioni di olomorfia, Teoria delle funzioni olomorfe
8
4
12
Teorema di Liouville con applicazioni, Principio della media
7
2
9
Serie di Laurent, Teorema dei residui
8
40
8
16
Funzioni analitiche di due e più variabili complesse
7
7
Trasformazioni conformi
3
2
5
Totale
40
16
56
Serie intere formali e funzioni analitiche di una variabile complessa.
Funzioni olomorfe ed integrale di Cauchy.
Sviluppi di Taylor e di Laurent. Funzioni meromorfe. Teorema dei Residui. Funzione p di Weierstrass.Sfera di
Riemman.
Serie formali a piu’ variabili e funzioni analitiche di piu’ variabili.
Funzione armoniche e funzioni analitiche.
Risoluzione del problema di Dirichlet per l’equazione di Laplace su un disco mediante la formula di Poisson.
Trasformazioni olomorfe e trasformazioni conformi.
Funzioni olomorfe di piu’ variabili complesse.
Funzioni implicite ed equazioni differenziali in campo analitico.
Studio del fenomeno della continuazione analitica che si riferisce al dominio di definizione e non alla singola
funzione per funzioni di almeno due variabili complesse.
Cenni alla funzione Z di Riemann e alla congettura tuttora aperta che e’ considerato come il maggiore problema
aperto.
Teoria di Hartogs. Lemma di Osgood, Teorema di prolungamento di Hartogs, equivalenza tra olomorfia in una
variabile separatamente e glogalmente
TESTI
H. CARTAN, Theorie des fonctions analitiques, Hermann, Paris.
NOTA
Per ogni argomento si svolgono sia lezioni teoriche che esercizi in modo che l’insegnamento frontale abbia
sempre una verifica concreta dell’apprendimento. L’esame consiste in una prova orale.
ORARIO LEZIONI
41
Giorni
Ore
Aula
Martedì
9:00 - 11:00
Giovedì
16:00 - 18:00
Venerdì
14:00 - 16:00
Lezioni: dal 02/03/2009 al 05/06/2009
Analisi di Fourier (DM 509)
Docente: Prof. Paolo Boggiatto (Titolare del corso), Dott. Alessandro Oliaro (Titolare del corso)
Tipologia: D.M. 509
Anno: 2° anno
Crediti/Valenza: 7
OBIETTIVI
dell’Analisi Armonica astratta. Le competenze da acquisire riguardano l’apprendimento dell’utilizzo di
specifiche tecniche di Analisi Armonica.
Conoscenza degli strumenti classici dell’Analisi Armonica e di Fourier
PROGRAMMA
Italiano
-
Algebre di Banach, Trasformata di Gelfand;
-
Gruppi localmente compatti;
-
Duale di un gruppo localmente compatto,
-
Trasformata di Fourier su gruppi localmente compatti.
Engish
-
Banach Algebras, Gelfand Transform;
-
Locally Compact Groups;
-
Dual of a Locally Compact Group,
-
Fourier Transform on Locally Compact Groups.
.
42
TESTI
Groups, Wiley 1990
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=722f
Analisi di Fourier - a.a. 2008/09
Docente: Prof. Paolo Boggiatto (Titolare del corso)
Crediti/Valenza: 7
OBIETTIVI
Il corso prevede una breve revisione dei risultati fondamentali riguardanti la serie e la trasformata di Fourier in
R. Verra’ poi introdotta la trasformta di Gelfand su algebre di Banach e se ne studiera’ come caso
particolarmente importante la trasformata di Fourier su gruppi abeliani localmente compatti ottenendo un punto
di vista in grado di unificare i concetti di trasformata e serie di Fourier.
dell’Analisi Armonica astratta.
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso)Insegnamenti fornitoriAnalisi Matematica elementare Analisi Matematica I, II, III
Conoscenza degli strumenti base dell'Analisi Armonica e delle sue Applicazioni
corsi avanzati su Analisi Fourier, Teoria delle Distribuzioni, Analisi dei Segnal
Argomento
Ore Lezione
43
Riassunto di alcuni concetti di base su serie e trasformata di Fourier su R
6
6
Algebre di Banach
10
10
Generalità su gruppi localmente compatti
10
10
Gruppo duale
10
10
Trasformata di Fourier su gruppi localmente compatti
10
10
Elementi della teoria delle rappresentazioni
10
10
Totale
56
56
Serie di Fourier in R
Trasformata di Fourier in R
Gruppi localmente compatti e misura di Haar
Gruppo duale di un gruppo localmente compatto
Trasformata di Fourier su gruppi localmente compatti
44
TESTI
Groups, Wiley 1990
NOTA
Modalità di esame L’esame consiste di un colloquio orale sugli argomenti svolti a lezione
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Martedì
9:00 - 11:00
Giovedì
16:00 - 18:00
Venerdì
14:00 - 16:00
Lezioni: dal 02/03/2009 al 05/06/2009
Analisi Funzionale (DM 509)
Docente: Prof. Gabriella Viola (Titolare del corso), Prof. Domenico Delbosco (Titolare del corso)
Tipologia: D.M. 509
Anno: 2° anno
Crediti/Valenza: 7
OBIETTIVI
Il corso si propone di fornire agli studenti gli strumenti per lo studio avanzato dei problemi dell’Analisi
Funzionale e delle sue applicazioni.
Conoscenza di operatori lineari, continui, compatti, autoaggiunti simmetrici e loro proprietà. Idee fondamentali
della teoria spettrale.
PROGRAMMA
Italiano
Operatori lineari non limitati e loro aggiunti; operatori simmetrici e operatori autoaggiunti non limitati; operatori
unitari, semigruppi. Operatori compatti: teoria di Fredholm.Teoria spettrale: decomposizione spettrale di un
operatore auto aggiunto, teorema di Stone.
English
Unbouded linear operators and their adjoint operators; Symmetric operators and self-adjoint unbounded
operators; unitary operators, semigroups. Compact operators: Fredholm's theory
Spectral theory: spectral decomposition of a self-adjoint operator; Stone's theorem.
.
45
TESTI
da definire
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=86ac
Analisi Funzionale - a.a. 2008/09
Docente: Prof. Domenico Delbosco (Titolare del corso), Prof. Gabriella Viola (Titolare del corso)
Anno: 4° anno
Crediti/Valenza: 6
OBIETTIVI
Studio degli operatori limitati ed illimitati. Teoria spettrale
Conoscere i teoremi fondamentali e saperli applicare a problemi concernenti equazioni integrali ed equazioni
differenziali
TESTI
Luigi Amerio, Haim Brezis
Analisi Funzionale - Non attivato nell’a.a. 2008/09
Codice: S8497
Docente: Dott. Davide Ascoli (Titolare del corso), Prof. Hisao Yashima (Titolare del corso)
Crediti/Valenza: 7
OBIETTIVI
Ci si propone di porre l’allievo nelle condizioni di affrontare i problemi che si pongono in Analisi Funzionale e
nelle sue applicazioni.
Il corso si propone di fornire agli studenti gli strumenti per lo studio avanzato dei problemi di Analisi Funzionale
e delle sue applicazioni.
PROGRAMMA
46
Pre-requisiti (in ingresso) Insegnamenti fornitori Analisi matematica generale Analisi Matematica I, II, III, IV
Nozioni basilari sugli spazi di Banach e di Hilbert Istituzione di Analisi Superiore
Conoscenza di operatori lineari continui, compatti, autoaggiunti, simmetrici e loro proprietà
Istituzione di Analisi Superiore, Analisi Funzionale
Idee fondamentali della teoria spettrale
Argomento
Ore
Lezione
Richiami su nozioni di base di spazi di Banach e di Hilbert
12
12
Proprietà degli operatori lineari
16
16
Operatori compatti, unitari, autoaggiunti, simmetrici
16
16
Teoria spettrale
12
12
Totale
47
56
56
ichiami sugli spazi di Banach e gli spazi di Hilbert
Richiami sigli operatori lineari limitati e i funzionali lineari
Richiami sui teoremi fondamentali di Analisi Funzionale
Operatori lineari non limitati e loro aggiunti, operatori simmetrici e operatori autoaggiunti non limitati
Operatori unitari
Valori regolari, autovalori, spettro: loro caratterizzazioni basilari
Elementi di teoria spettrale: decomposizione spettrale di un operatore autoaggiunto, rappresentazione integrale di
una funzione di operatore, teorema di Stone
Eventuali applicazioni della teoria spettrale
TESTI
Dispense
NOTA
Modalità di verifica/esame L’esame si svolge, di norma, come segue: in forma di un seminario su un argomento
concordato; su richiesta dei candidati è anche possibile svolgere l’esame in forma di un colloquio sugli
argomenti trattati nel corso.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Lunedì
16:00 - 18:00
Martedì
16:00 - 18:00
Aula Lagrange Dipartimento di Matematica via Carlo Alberto 10
Venerdì
16:00 - 18:00
Lezioni: dal 03/03/2008 al 13/06/2008
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=b4fc
Analisi Funzionale (DM 270)
Docente: Prof. Gabriella Viola (Titolare del corso), Prof. Domenico Delbosco (Titolare del corso)
Tipologia: D.M. 270
Anno: 1° anno
Crediti/Valenza: 6
OBIETTIVI
Il corso si propone di fornire agli studenti gli strumenti per lo studio avanzato dei problemi dell’Analisi
Funzionale e delle sue applicazioni.
48
Conoscenza di operatori lineari, continui, compatti, autoaggiunti simmetrici e loro proprietà. Idee fondamentali
della teoria spettrale.
PROGRAMMA
Italiano
Operatori lineari non limitati e loro aggiunti; operatori simmetrici e operatori autoaggiunti non limitati;operatori
unitari, semigruppi. Operatori compatti:teoria di Fredholm. Teoria spettrale: decomposizione spettrale di un
operatore auto aggiunto, teorema di Stone.
English
Unbouded linear operators and their ad joint operators. Symmetric operators and self-adjoint unbounded
operators; unitary operators, semigroups. Compact operators: Fredholm's theory.
Spectral theory: spectral decomposition of a self-adjoint operator. Stone's theorem.
.
TESTI
da definire
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=f3eb
Analisi Matematica 1 - a.a. 2008/09
Codice: M8605
Docente: Prof. Paolo Boggiatto (Titolare del corso), Prof. Gabriella Viola (Titolare del corso), Dott.
Alessandro Oliaro (Esercitatore), Prof. Domenico Zambella (Tutor), Dott. Marco Cappiello (Esercitatore)
Anno: 1° anno
Crediti/Valenza: 13
Avvalenza: 6CFU Ambito A - 7CFU Ambito B
OBIETTIVI
Il corso si propone di fornire allo studente metodi e tecniche fondamentali della Matematica, con particolare
riferimento al calcolo differenziale ed integrale per le funzioni di una variabile reale, alle equazioni differenziali,
allo studio di successioni e serie numeriche. Ulteriore obiettivo è la preparazione dello studente all’applicazione
delle tecniche analitiche alle altre discipline scientifiche.
Si attendono la conoscenza degli elementi fondamentali del calcolo differenziale ed integrale per le funzioni di
una variabile reale. Lo studente sarà in particolare in grado di procedere allo studio qualitativo dei grafici delle
funzioni elementari, di risolvere problemi di integrazione di carattere elementare, di risolvere problemi di
integrazione di equazioni differenziali ordinarie, di discutere il carattere di successioni e serie numeriche; di
sapere enunciare e dimostrare i teoremi di base dell’Analisi Matematica.
PROGRAMMA
1. ARGOMENTI PRELIMINARI
49
Cenni di teoria degli insiemi.Prodotto cartesiano. Relazioni e funzioni:relazioni binarie, relazioni di ordine;
funzioni iniettive, suriettive, biettive; funzione composta, funzione inversa.
2. GLI INSIEMI NUMERICI
Gli insiemi numerici N, Z, Q ; gli assiomi di Peano, il principio di induzione, non razionalità di radice di 2
(dim).
Maggioranti, minoranti, estremo superiore, estremo inferiore, massimo, minimo.
Esistenza in Q di insiemi limitati privi di sup e inf.
Definizione assiomatica di R: struttura di corpo commutativo, ordinamento, assioma di completezza e la
proprietà dell'estremo superiore.
Classi separate e contigue. Teorema degli intervalli incapsulati (dim).
Proprietà di Archimede, densità di Q in R (dim),esistenza della radice n.esima,potenza ad esponente reale.
Cardinalità: insiemi finiti ed infiniti; numerabilità di Q (dim); la proprietà del continuo di R (dim); il paradosso
di Russel.
3. FUNZIONI REALI
Proprietà generali:Operazioni con le funzioni,funzioni limitate, monotone, pari e dispari, periodiche.
Alcune classi di funzioni elementari : Valore assoluto, segno e parte intera; polinomi e funzioni razionali;
funzioni trigonometriche e loro inverse; esponenziali e logaritmi; funzioni iperboliche e loro inverse.
4. TOPOLOGIA,CONTINUITA', LIMITI
La topologia di R:Intorni, insiemi aperti e chiusi, punti di aderenza e di accumulazione. Teorema di
Weierstrass (4.1.25, dim)
Funzioni continue e limiti : definizione ed esempi; teorema di unicità del limite (4.3.16, dim) ;Caratterizzazione
della continuità mediante il limite .Teorema della permanenza del segno (dim),teorema della limitatezza locale
(dim), teorema del confronto (dim).
Algebra dei limiti e delle funzioni continue (dim), Continuità della funzione composta (dim).
5. ESTENSIONI DEL CONCETTO DI LIMITE
Limiti infiniti e all'infinito. Forme indeterminate. I teoremi di composizione dei limiti ed il cambiamento
di variabile.
I teoremi di confronto per limiti infiniti . Teorema di regolarità per le funzioni monotone (dim).
Vari tipi di discontinuità, tipi di discontinuità per le funzioni monotone.
Limiti notevoli, confronto locale di funzioni, calcolo dei limiti.
6. SUCCESSIONI DI NUMERI REALI
Successioni convergenti, divergenti, indeterminate.Teorema di limitatezza di una successione convergente (dim).
Successioni monotone , teorema di regolarità per le successioni monotone ( dim) e, come applicazione la
successione che converge al numero " e" di Nepero.
50
Caratterizzazione della continuità e del limite mediante le successioni (dim).
Sottosuccessioni. Teorema di Bolzano-Weierstrass (dim)
Successioni di Cauchy, Criterio di convergenza di Cauchy (dim).
Cenno alle successioni definite per ricorrenza.
7. FUNZIONI CONTINUE SU INTERVALLI
Teorema di Weierstrass (dim); teorema di esistenza degli zeri (dim); teorema dei valori intermedi (proprietà di
Darboux, dim). Proposizioni sull'immagine continua di intervalli. Continuità della funzione inversa (dim).
Funzioni uniformemente continue. Teorema di Heine- Cantor (dim).
Funzioni lipschitziane. La lipschitzianità come condizione sufficiente per l'uniforme continuità (dim).
8. CALCOLO DIFFERENZIALE
La derivata di una funzione: definizione, significato geometrico e fisico. Derivata destra, derivata sinistra.
Teorema sulla continuità delle funzioni derivabili (dim). Differenziale ; la differenziabilità come condizione
equivalente alla derivabilità (dim).
Punti di non derivabilità : angolosi, cuspidi, a tangente verticale.
Algebra delle derivate (dim); derivata della funzione composta (dim), derivata della funzione inversa (dim).
Derivate d'ordine superiore.
9. FUNZIONI DERIVABILI IN UN INTERVALLO
Massimi e minimi relativi; teorema di Fermat (dim). Teoremi di Rolle, Lagrange, Cauchy (dim).
Conseguenze del teorema di Lagrange: criteri di monotonia mediante il segno della derivata prima; condizioni
sufficienti per gli estremi relativi: metodo di crescenza e decrescenza.
L'esistenza del limite finito della derivata come condizione sufficiente per la derivabilità (dim) e
generalizzazione al caso infinito. Studio del grafico di funzione e schema relativo.
10. LA FORMULA DI TAYLOR
Formula di Taylor con il resto di Peano (dim).Polinomi di Taylor di alcune funzioni elementari. Applicazioni al
calcolo di limiti di forme indeterminate.
Formula di Taylor con il resto di Lagrange (dim). Calcoli numerici approssimati.
Covessità, concavità, flessi: metodi di studio mediante la derivata seconda.
Teorema delle derivate successive per lo studio degli estremi relativi (dim)
Teorema delle derivate successive per lo studio dei flessi (dim).
11. INTEGRAZIONE
Costruzione dell'integrale di Riemann : definizione, proprietà.
Criterio di integrabilità; teorema di integrabilità delle funzioni continue (dim);teorema di integrabilità delle
funzioni monotone (dim).
51
Integrale orientato. Funzioni primitive e loro caratterizzazione (dim).Teorema della media (dim).Teorema su
continuità e lipschitzianità della funzione integrale (dim). Teorema fondamentale del calcolo integrale (dim).
Formula fondamentale del calcolo integrale (dim).
Tabella degli integrali indefiniti immediati. Metodi di integrazione: decomposizione in somma, parti,
sostituzione.
12. INTEGRALI IMPROPRI
Integrali impropri su intervalli non limitati. Integrali impropri di funzioni non limitate. Esempi fondamentali.
Studio del carattere dell'integrale per funzioni di segno costante: teorema del confronto,(dim), criterio
dell'ordine di infinitesimo e di infinito.(dim).
Studio del carattere dell'integrale per funzioni di segno qualsiasi: criterio dell'assoluta integrabilità .
13. SERIE NUMERICHE
Definizione. La serie di Mengoli, la serie geometrica, la serie armonica, la serie armonica generalizzata.
La condizione necessaria di convergenza;(dim), il criterio di convergenza di Cauchy.
Studio delle serie a termini di segno costante: criterio del confronto e del confronto asintotico (dim),criterio della
radice e della radice asintotico, criterio del rapporto e del rapporto asintotico, criterio integrale, criterio
dell'ordine di infinitesimo (dim).
Studio delle serie a termini di segno qualsiasi : criterio della convergenza assoluta (dim).
Studio delle serie a termini di segno alterno : il criterio di Leibnitz.
14. EQUAZIONI DIFFERENZIALI
Generalità. Soluzione di un equazione differenziale :integrale generale, integrale particolare, integrale
singolare.Problema di Cauchy.
Alcuni tipi di equazioni del primo ordine: a variabili separabili, lineari a coefficienti continui.
Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti omogenee e alcuni casi di non omogenee.
Alcuni brevi appunti complementari:
- richiami di logica- Limiti di funzioni elementari- Massimi, minimi e flessi non ottenibili dal Calcolo
Differenziale.)- Funzioni asintotiche e funzioni equivalenti).- Integrali impropri
Il materiale didattico e il programma dettagliato del corso è reperibile sul sito:
TESTI
Teoria: - Camillo Trapani, Analisi Matematica, McGraw-Hill. - M.Bramanti,C.D. Pagani, S.Salsa Matematicacalcolo infinitesimale e algebra lineare, Zanichelli (per le equazioni differenziali). Esercizi: - P.Marcellini,
C.Sbordone. Esercitazioni di Matematica, Vol. I , parte prima - parte seconda, Liguori Editore.
NOTA
- L’esame consiste in una prova scritta ed una orale. - Prova Scritta. L’iscrizione alla prova scritta e’ obbligatoria
pena l’esclusione dalla prova stessa. Durante la prova verranno controllate le generalita’ degli studenti ed e’
quindi necessario avere con se il libretto universitario o un documento. La durata e’ di 3 ore; è consentito
consultare un solo foglio di appunti (al piu’) di formato protocollo. Non e’ consentito l’uso di calcolatrici
52
tascabili. Si richiede di usare esclusivamente penne o biro di colore blu o nero. I fogli "di bella" verranno
distribuiti dalla Commissione e saranno i soli ad essere valutati. Gli eventuali fogli "di brutta" non vanno
consegnati. - Superato lo scritto in una determinata sessione di esami, questo resta valido per sostenere la prova
orale nella sessione di esami stessa e in quella successiva. - Se si sceglie di riprovare lo scritto prima di sostenere
l’orale, restera’ valido il risultato dell’ultimo scritto dato. - Prova Orale. L’iscrizione non e’ necessaria. E’
necessario avere con se il libretto universitario. - Se non si supera la prova orale e’ necessario ridare scritto e
orale. - Si puo’ riprovare l’esame ad ogni appello di ogni sessione. NOTA: gli studenti degli anni passati sono
pregati di segnalare la loro iscrizione all’esame scritto anche con un mail ai docenti e di presentarsi sia allo
scritto che all’orale con il programma relativo al loro anno. Verra’ predisposto un esame adeguato al programma
svolto. Per il resto valgono le stesse regole valide per gli studenti dell’anno in corso.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Lunedì
10:00 - 12:00
Martedì
8:00 - 10:00
Mercoledì
10:00 - 12:00
Giovedì
10:00 - 11:00
Giovedì
8:00 - 9:00
Venerdì
8:00 - 10:00
Aula
Lezioni: dal 29/09/2008 al 09/01/2009
in aula 4.
TUTORATO CORSO A: giovedì dalle 13.00 alle 15.00 in aula 6.
TUTORATO CORSO B: mercoledì dalle 13.00 alle 15.00 in aula 1.
E’ previsto inoltre un tutorato in orario pre-serale, per informazione vedere alla voce "Studenti lavoratori".
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=383d
Docente: Prof. Paolo Boggiatto (Titolare del corso), Prof. Marino Badiale (Titolare del corso), Dott.
Alessandro Oliaro (Esercitatore), Dott. Elena Cordero (Esercitatore), Prof. Walter Dambrosio (Tutor),
Prof. Ernesto Buzano (Tutor)
Tipologia: D.M. 270
Anno: 1° anno
Crediti/Valenza: 12
OBIETTIVI
Il corso si propone di fornire allo studente metodi e tecniche fondamentali della Matematica, con particolare
riferimento al calcolo differenziale ed integrale per le funzioni di una variabile reale, alle equazioni differenziali,
allo studio di successioni e serie numeriche. Ulteriore obiettivo è la preparazione dello studente all’applicazione
delle tecniche analitiche alle altre discipline scientifiche.
53
Si attendono la conoscenza degli elementi fondamentali del calcolo differenziale ed integrale per le funzioni di
una variabile reale. Lo studente sarà in particolare in grado di procedere allo studio qualitativo dei grafici delle
funzioni elementari, di risolvere problemi di integrazione di carattere elementare, di risolvere problemi di
integrazione di equazioni differenziali ordinarie, di discutere il carattere di successioni e serie numeriche; di
sapere enunciare e dimostrare i teoremi di base dell’Analisi Matematica.
PROGRAMMA
Italiano
- RICHIAMI SU TEORIA DEGLI NSIEMI E FUNZIONI
- TOPOLOGIA, CONTINUITA', LIMITI
- SUCCESSIONI DI NUMERI REALI
- FUNZIONI CONTINUE SU INTERVALLI
- CALCOLO DIFFERENZIALE
- FUNZIONI DERIVABILI IN UN INTERVALLO
- LA FORMULA DI TAYLOR
- INTEGRAZIONE DI RIEMANN
- INTEGRALI IMPROPRI
- SERIE NUMERICHE
- EQUAZIONI DIFFERENZIALI
English
- REVIEW OF ELEMENTARY SET THEORY AND FUNCTIONS
- TOPOLOGY, CONTINUITY, LIMITS
- SEQUENCES OF REAL NUMBERS
- CONTINUOUS FUNCTIONS ON INTERVALS
- DIFFERENTIAL CALCULUS
- DIFFERENTIABLE FUNCTIONS ON AN INTERVAL
- TAYLOR FORMULA
- RIEMANN INTEGRAL
- GENERALIZED INTEGRALS
- INFINITE SUMS
- DIFFERENTIAL EQUATIONS
.
54
TESTI
Teoria: - Camillo Trapani, Analisi Matematica, McGraw-Hill. - M.Bramanti,C.D. Pagani, S.Salsa Matematicacalcolo infinitesimale e algebra lineare, Zanichelli (per le equazioni differenziali). Esercizi: - P.Marcellini,
C.Sbordone. Esercitazioni di Matematica, Vol. I , parte prima - parte seconda, Liguori Editore.
Codice: MFN0002
Docente: Prof. Domenico Delbosco (Titolare del corso), Prof. Luigi Rodino (Titolare del corso), Dott.
Davide Ascoli (Tutor)
Tipologia: D.M. 509
Anno: 2° anno
Crediti/Valenza: 11
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=9f28
Analisi Matematica 2 - a.a. 2008/09
Codice: MFN0002
Docente: Prof. Domenico Delbosco (Titolare del corso), Prof. Luigi Rodino (Titolare del corso)
Anno: 2° anno
Crediti/Valenza: 11
OBIETTIVI
Il corso si propone di fornire allo studente le conoscenze fondamentali di calcolo differenziale ed integrale in più
variabili e lo studio delle serie di funzioni.
Conoscenza dei teoremi fondamentali, capacità di classificare i punti critici dei campi scalari e di calcolare
integrali curvilinei e integrali multipli.
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso)Insegnamenti fornitoriCalcolo differenziale ed integrale di funzioni di una
variabileAnalisi Matematica 1
Matrici , autovalori e forme quadraticheGeoemetria ed Algebra
55
competenze minime (in uscita)
Sapere operare sui campi vettoriali e scalari sia con il calcolo differenziale che con il calcolo integrale
Istituzione di Analisi Superiore, Probabilità, Geometria differenziale.
Programma, articolazione e carico didattico.
Argomento
Ore
Lez.
Ore
Esercit.
Ore Laboratorio
Totale Ore di Car. Didattico
Funzioni vettoriali
5
3
8
Campi scalari e campi vettoriali
10
6
16 ore
56
Integrali curvilinei
5
3
8 ore
Successioni e serie di funzioni e serie di potenze
Spazi di banach e di Hilbert
18
10
28 ore
Integrali multipli
18
10
28 ore
Totale
56
32
TESTI
I testi base consigliati per il corso : Tom M Apostol volume terzo Analisi due, Boringhieri.
NOTA
L’esame si svolge, di norma, come segue: una prova scritta ed una prova orale.
ORARIO LEZIONI
57
Giorni
Ore
Aula
Lunedì
9:00 - 11:00
Martedì
11:00 - 13:00
Mercoledì
9:00 - 11:00
Giovedì
8:00 - 10:00
Lezioni: dal 29/09/2008 al 09/01/2009
Nota: TUTORATO: mercoledì dalle 14.00 alle 16.00 in Aula 6.
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=eeae
Codice: MFN0133
Docente: Prof. Anna Capietto (Titolare del corso)
Tipologia: D.M. 509
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 6
OBIETTIVI
Il corso presenta alcuni elementi della teoria elementare delle equazioni differenziali ordinarie e le nozioni di
base sulle funzioni di una variabile complessa. Al termine del corso lo studente dovrà conoscere i teoremi
fondamentali sulle soluzioni di un problema di Cauchy associato ad un’equazione differenziale ordinaria e sulle
funzioni analitiche. Inoltre, saprà studiare da un punto di vista qualitativo le soluzioni di un’equazione
differenziale, calcolare integrali con il metodo dei residui, risolvere esercizi di applicazione della teoria ed
interpretare criticamente i procedimenti di risoluzione degli esercizi e le metodologie applicate.
- Saper discutere le proprietà qualitative delle soluzioni di un’equazione differenziale. - Saper calcolare un
integrale con il metodo dei residui. - Saper determinare il dominio di convergenza di una serie di funzioni in
campo complesso, usando le serie di potenze.
PROGRAMMA
Italiano
(a) Equazioni differenziali ordinarie: teoria qualitativa.
- Problema di Cauchy. Esistenza e unicità locale. Pennello di Peano.
- Prolungamento delle soluzioni. Esistenza globale. Lemma di Gronwall.
- Dipendenza continua della soluzione dai dati. Equazione alle variazioni.
(b) Funzioni di una variabile complessa.
- Richiami sulle serie di potenze. Trascendenti elementari in campo complesso.
58
- Equazioni di Cauchy-Riemann. Funzioni analitiche. Analiticità delle serie di potenze. Principio del
prolungamento analitico. Zeri di funzioni analitiche. Funzioni meromorfe e loro poli.
- Indice di un cammino rispetto ad un punto. Teorema di Cauchy e formula integrale di Cauchy. Analiticità delle
funzioni olomorfe. Teorema di Liouville. Teorema fondamentale dell’algebra. Proprietà della media. Principio
del massimo e teorema sull’applicazione aperta. Serie di Laurent. Teorema dei residui. Metodo dei residui per il
calcolo di integrali.
English
(a) Ordinary differential equations: qualitative theory.
- Cauchy problem. Local existence and uniqueness. Peano phenomenon
- Extension of solutions. Global existence. Gronwall lemma.
- Continuous dependence from data. Variation equation.
(b) Functions of a complex variable.
- Power series. Elementary trascendental functions in the complex plane.
- Cauchy-Riemann equations. Analytic functions. Analiticity of power series. Analytic prolongation principle.
Zeros of analytic functions. Meromorphic functions and their poles.
- Index of a path w.r.t. a point. Cauchy theorem and Cauchy integral formula. Analiticity of holomorphic
functions. Liouville theorem. Fundamental thoerem of algebra. Maximum principle and open mapping theorem.
Laurent series Residual theorem. Computation of integrals by the residues method.
.
TESTI
Cartan, Henri. Elementary theory of analytic functions of one or several complex variables. Translated from the
French. Reprint of the 1973 edition. Dover Publications, Inc., New York, 1995. Negro, Angelo. Teoria
elementare delle funzioni olomorfe, parti 1 e 2. Dispense.
http://www2.dm.unito.it/paginepersonali/negro/index.htm Pagani-Salsa, Analisi Matematica 2, Masson Editore.
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=e44c
Analisi Matematica 3- attivato nell’a.a 2009-2010
Codice: MFN0133
Docente:
Recapito: []
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 6
59
Analisi Matematica I - Non attivato nell’a.a. 2008/09
Codice: M8501
Docente: Prof. Luigi Rodino
Tipologia: Di base
Anno: 1° anno
Crediti/Valenza: 7
OBIETTIVI
Il corso si propone di fornire allo studente i metodi e le tecniche fondamentali della Matematica, con particolare
riferimento al calcolo differenziale per le funzioni di una variabile reale. Ulteriore obiettivo è la preparazione
dello studente all’applicazione delle tecniche analitiche ad altre discipline scientifiche.
Si attende la conoscenza degli elementi fondamentali del calcolo differenziale per le funzioni di una variabile
reale. Lo studente sarà in particolare in grado di procedere allo studio qualitativo dei grafici delle funzioni
elementari.
PROGRAMMA
Richiami sui numeri reali le successioni numeriche
Limiti di funzioni e funzioni continue (funzioni di una variabile reale)
Il calcolo differenziale per le funzioni di una variabile reale:
definizione di derivata, regole di derivazione, i teoremi fondamentali per la funzione derivata.
Derivate di ordine superiore, polinomio di Taylor e formula di Taylor.
Esercizi: calcolo di limiti e studio di funzioni
TESTI
L. RODINO, Lezioni di analisi matematica I, Levrotto & Bella, Torino, 1989.
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=46cc
Analisi Matematica II - a.a. 2008/09
Codice: MFN0181 - mutuato
Docente: Prof. Paolo Boggiatto (Titolare del corso), Prof. Gabriella Viola (Titolare del corso), Dott.
Alessandro Oliaro (Esercitatore), Dott. Marco Cappiello (Esercitatore), Prof. Domenico Zambella (Tutor)
Anno: 1° anno
Crediti/Valenza: 7
Avvalenza: 7 CFU Ambito B
PROGRAMMA
CALCOLO DIFFERENZIALE
La derivata di una funzione: definizione, significato geometrico e fisico. Derivata destra, derivata sinistra.
Teorema sulla continuità delle funzioni derivabili (dim). Differenziale ; la differenziabilità come condizione
equivalente alla derivabilità (dim).
60
Punti di non derivabilità : angolosi, cuspidi, a tangente verticale.
Algebra delle derivate (dim); derivata della funzione composta (dim), derivata della funzione inversa (dim).
Derivate d'ordine superiore.
FUNZIONI DERIVABILI IN UN INTERVALLO
Massimi e minimi relativi; teorema di Fermat (dim). Teoremi di Rolle, Lagrange, Cauchy (dim).
Conseguenze del teorema di Lagrange: criteri di monotonia mediante il segno della derivata prima; condizioni
sufficienti per gli estremi relativi: metodo di crescenza e decrescenza.
L'esistenza del limite finito della derivata come condizione sufficiente per la derivabilità (dim) e
generalizzazione al caso infinito. Studio del grafico di funzione e schema relativo.
LA FORMULA DI TAYLOR
Formula di Taylor con il resto di Peano (dim).Polinomi di Taylor di alcune funzioni elementari. Applicazioni al
calcolo di limiti di forme indeterminate.
Formula di Taylor con il resto di Lagrange (dim). Calcoli numerici approssimati.
Covessità, concavità, flessi: metodi di studio mediante la derivata seconda.
Teorema delle derivate successive per lo studio degli estremi relativi (dim)
Teorema delle derivate successive per lo studio dei flessi (dim).
INTEGRAZIONE
Costruzione dell'integrale di Riemann : definizione, proprietà.
Criterio di integrabilità; teorema di integrabilità delle funzioni continue (dim);teorema di integrabilità delle
funzioni monotone (dim).
Integrale orientato. Funzioni primitive e loro caratterizzazione (dim).Teorema della media (dim).Teorema su
continuità e lipschitzianità della funzione integrale (dim). Teorema fondamentale del calcolo integrale (dim).
Formula fondamentale del calcolo integrale (dim).
Tabella degli integrali indefiniti immediati. Metodi di integrazione: decomposizione in somma, parti,
sostituzione.
INTEGRALI IMPROPRI
Integrali impropri su intervalli non limitati. Integrali impropri di funzioni non limitate. Esempi fondamentali.
Studio del carattere dell'integrale per funzioni di segno costante: teorema del confronto,(dim), criterio
dell'ordine di infinitesimo e di infinito.(dim).
Studio del carattere dell'integrale per funzioni di segno qualsiasi: criterio dell'assoluta integrabilità .
SERIE NUMERICHE
Definizione. La serie di Mengoli, la serie geometrica, la serie armonica, la serie armonica generalizzata.
La condizione necessaria di convergenza;(dim), il criterio di convergenza di Cauchy.
61
Studio delle serie a termini di segno costante: criterio del confronto e del confronto asintotico (dim),criterio della
radice e della radice asintotico, criterio del rapporto e del rapporto asintotico, criterio integrale, criterio
dell'ordine di infinitesimo (dim).
Studio delle serie a termini di segno qualsiasi : criterio della convergenza assoluta (dim).
Studio delle serie a termini di segno alterno : il criterio di Leibnitz.
EQUAZIONI DIFFERENZIALI
Generalità. Soluzione di un equazione differenziale :integrale generale, integrale particolare, integrale
singolare.Problema di Cauchy.
Alcuni tipi di equazioni del primo ordine: a variabili separabili, lineari a coefficienti continui.
Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti omogenee e alcuni casi di non omogenee.
Altro materiale didattico e il programma dettagliato del corso è reperibile sul sito:
TESTI
Testi consigliati e bibliografia Teoria: - Camillo Trapani, Analisi Matematica, McGraw-Hill. - M.Bramanti,C.D.
Pagani, S.Salsa Matematica- calcolo infinitesimale e algebra lineare, Zanichelli (per le equazioni differenziali).
Esercizi: - P.Marcellini, C.Sbordone. Esercitazioni di Matematica, Vol. I , parte prima - parte seconda, Liguori
Editore.
NOTA
Il corso e’ mutuato da Analisi Matematica 1 (ultimi 7 CFU) attivo nel presente a.a.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Lunedì
10:00 - 12:00
Martedì
8:00 - 10:00
Mercoledì
10:00 - 12:00
Giovedì
8:00 - 9:00
Giovedì
10:00 - 11:00
Venerdì
8:00 - 10:00
Aula
Lezioni: dal 29/09/2008 al 09/01/2009
in aula 4.
TUTORATO CORSO B: mercoledì dalle 13.00 alle 15.00 in aula 1.
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=9bf2
62
Analisi Matematica II - Non attivato nell’a.a. 2008/09
Codice: M8502
Docente: Prof. Luigi Rodino
Anno: 1° anno
Crediti/Valenza: 7
OBIETTIVI
Il corso si propone l’insegnamento dei metodi e delle tecniche fondamentali della Matematica, con particolare
riferimento al calcolo integrale per le funzioni di una variabile reale, alle equazioni differenziali ed alla
convergenza di successioni e serie di funzioni.
Si attende dallo studente una buona conoscenza di base del calcolo differenziale ed integrale per le funzioni di
una variabile reale. Lo studente sarà in grado di risolvere problemi di integrazione a carattere elementare.
PROGRAMMA
L'integrale di Riemann per le funzioni di una variabile reale;
teorema fondamentale del calcolo integrale.
Integrali impropri.
Le serie numeriche.
Successioni e serie di funzioni.
Serie di potenze. Serie di Taylor - Mac Laurin.
Funzioni analitiche in campo complesso.
Cenni sulle equazioni differenziali ordinarie.
Esercizi: integrazione delle funzioni razionali, sviluppi accorciati, formule risolutive per alcune equazioni
differenziali ordinarie.
TESTI
L. RODINO, Lezioni di analisi matematica, Levrotto & Bella, Torino
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=6fef
Analisi Matematica III - Non attivato nell’a.a. 2008/09
Codice: M8509
Docente: Prof. Ernesto Buzano (Titolare del corso), Dott. Davide Ascoli (Tutor)
Anno: 2° anno
Crediti/Valenza: 7
OBIETTIVI
Il corso si propone di estendere i metodi e le tecniche del calcolo differenziale ed integrale alle funzioni in più
variabili reali, anche in vista delle applicazioni delle tecniche analitiche ad altri settori della matematica come
pure ad altre discipline scientifiche.
63
Lo studente dovrà essere in grado di affrontare le difficoltà concettuali e formali del calcolo in più variabili. Da
un punto di vista più applicativo, dovrà in particolare essere in grado di studiare i punti critici di una funzione in
più variabili, di calcolare esplicitamente un integrale multiplo e di stabilire dove una forma differenziale è esatta
e di trovarne le primitive.
PROGRAMMA
Argomento
Ore
Lezione
Ore
Esercitazione
Argomenti introduttivi di Algebra e Topologia
4
1
5
Limiti, continuità, differenziabilità
8
8
16
Formula di Taylor, punti critici, integrali parametrici
6
4
10
Integrali multipli
7
6
13
Integrali curvilinei, forme differenziali
11
64
8
19
Totale
36
27
63
Pre-requisiti (in ingresso) Insegnamenti fornitori Calcolo differenziale ed integrale in una variabile Analisi
Matematica I e II Geometria Analitica ed elementi di algebra lineare Geometria I e II
Calcolo differenziale ed integrale in più variabili
Tutti gli insegnamenti che utilizzano l’Analisi Matematica. In particolare Analisi Matematica IV, Geometria III,
Fisica Matematica, Metodi Matematici per le Applicazioni, Calcolo delle Probabilità e Statistica
Modalità di esame
Modalità di esame
L’esame consiste di una prova scritta e di una prova orale.
La prova scritta dura 3 ore e consiste in 5 esercizi sui seguenti argomenti: continuità, derivabilità e
differenziabilità delle funzioni in più variabili; punti critici di funzioni in più variabili; integrali multipli; integrali
curvilinei; forme differenziali esatte e chiuse.
La prova orale consiste in domande sugli esercizi della prova scritta e sulla teoria svolta a lezione più eventuali
esercizi integrativi. Per accedere alla prova orale è necessario aver superato quella scritta. Bisogna sostenere la
prova orale nello stesso appello della prova scritta. Qualora la prova orale risultasse insufficiente, bisogna
sostenere di nuovo anche la prova scritta.
Non si possono sostenere più di tre esami in un anno (l’esame inizia quando si consegna la prova scritta).
Calcolo differenziale per funzioni di più variabili. Massimi e minimi. Integrali multipli. Integrali di linea,
lunghezza di un arco di curva. Forme differenziali esatte e chiuse. Insiemi semplicemente connessi.
TESTI
Dispense del docente distribuite a lezione
NOTA
Per le modalità d’esame vedere il materiale didattico.
65
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Martedì
11:00 - 13:00
Mercoledì
9:00 - 11:00
Giovedì
10:00 - 11:00
Lezioni: dal 01/10/2007 al 18/01/2008
Nota: TUTORATO: martedì dalle 14.00 alle 16.00.
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=0c6c
Codice: MFN0140
Docente: Prof. Anna Capietto (Titolare del corso), Prof. Walter Dambrosio (Titolare del corso)
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 5
OBIETTIVI
Presentare alcuni argomenti di base dell’Analisi Matematica, dal forte carattere interdisciplinare. In particolare,
si evidenziano i legami con la geometria (per quanto riguarda l’integrazione su superfici e i problemi di funzioni
implicite) e con la fisica matematica (con riferimento allo studio qualitativo delle equazioni differenziali).
Illustrare metodologie di risoluzione di esercizi e problemi relativi a tali argomenti, integrando gli aspetti teorici
con quelli applicativi, attraverso l’analisi critica dei concetti.
Conoscere gli elementi di base dell’integrazione su superfici ed il suo legame con l’integrazione curvilinea e
multipla. Conoscere il problema delle funzioni implicite, con particolare riferimento alla sua interpretazione
geometrica e al suo legame con l’invertibilità di funzioni. Studiare da un punto di vista qualitativo le soluzioni di
un’equazione differenziale. Risolvere esercizi di applicazione della teoria. Interpretare criticamente i
procedimenti di risoluzione degli esercizi e le metodologie applicate.
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso)
Insegnamenti fornitoriCalcolo differenziale per funzioni di una o più variabiliAnalisi Matematica 1 – Analisi
Matematica 3Calcolo integrale per funzioni di una o più variabiliAnalisi Matematica 2 – Analisi Matematica
3Superfici nello spazioGeometria 3
66
Saper calcolare un integrale superficiale; saper esprimere i legami tra integrali curvilinei, superficiali e di
volume.
Tutti i corsi di Analisi Matematica, Geometria e Fisica Matematica del III anno e della LS
Riconoscere e risolvere un problema di funzione implicita.
Saper applicare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange per lo studio dei punti critici vincolati di una funzione.
Saper discutere le proprietà qualitative delle soluzioni di un'equazione differenziale.
Tutti i corsi del III anno e della LS
Argomento
Ore
Lez.
Ore
Esercit.
Ore Laboratorio
Superfici ed integrali di superficie
3
2
Teorema di Stokes e Teorema di Gauss
6
4
Teorema della funzione implicita e Teorema di Inversione locale. Moltiplicatori di Lagrange
7
6
67
Spazi metrici completi e Teorema delle contrazioni
3
Equazioni differenziali ordinarie: problema di Cauchy, teoremi di esistenza ed unicità della soluzione (locale e
globale), studi qualitativi
7
6
Derivabilità in campo complesso
1
Totale
27
18
45
Il programma dettagliato sara’ compilato settimanalmente e inserito nella pagina web della docente.
TESTI
Il testo base per la teoria è: Pagani-Salsa "Analisi matematica" (2 volumi) ) Masson Editore Il testo base per le
esercitazioni è: Salsa-Squellati "Esercizi di Analisi Matematica 2" (3 volumi) Masson Editore
NOTA
Modalita’ di erogazione: tradizionale. Sede: Dipartimento di Matematica, Via Carlo Alberto, 10, Torino.
Organizzazione della didattica: lezioni ed esercitazioni. Modalita’ di frequenza: facoltativa (ma consigliata).
Modalità d’esame: prova scritta e prova orale.
ORARIO LEZIONI
68
Giorni
Ore
Aula
Mercoledì
16:00 - 18:00
Giovedì
15:00 - 16:00
Venerdì
15:00 - 17:00
Lezioni: dal 29/09/2008 al 09/01/2009
Analisi Matematica IV (DM 509)
Tipologia: D.M. 509
Anno: 2° anno
Crediti/Valenza: 5
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=b2bf
Crediti/Valenza: 5
Avvalenza: Cod. MFN0038 (2CFU Ambito A, 1CFU Ambito B, 2CFU Ambito G) - Cod. MFN0039 Ambito B
OBIETTIVI
Presentare alcuni argomenti di base dell’Analisi Matematica, dal forte carattere interdisciplinare. In particolare,
si evidenziano i legami con la geometria (per quanto riguarda l’integrazione su superfici e i problemi di funzioni
implicite) e con la fisica matematica (con riferimento allo studio qualitativo delle equazioni differenziali).
Illustrare metodologie di risoluzione di esercizi e problemi relativi a tali argomenti, integrando gli aspetti teorici
con quelli applicativi, attraverso l’analisi critica dei concetti.
Conoscere gli elementi di base dell’integrazione su superfici ed il suo legame con l’integrazione curvilinea e
multipla. Conoscere il problema delle funzioni implicite, con particolare riferimento alla sua interpretazione
geometrica e al suo legame con l’invertibilità di funzioni. Studiare da un punto di vista qualitativo le soluzioni di
un’equazione differenziale. Risolvere esercizi di applicazione della teoria. Interpretare criticamente i
procedimenti di risoluzione degli esercizi e le metodologie applicate.
PROGRAMMA
69
Insegnamenti fornitoriCalcolo differenziale per funzioni di una o più variabiliAnalisi Matematica 1 – Analisi
Matematica 3Calcolo integrale per funzioni di una o più variabiliAnalisi Matematica 2 – Analisi Matematica
3Superfici nello spazioGeometria 3
Saper calcolare un integrale superficiale; saper esprimere i legami tra integrali curvilinei, superficiali e di
volume.
Riconoscere e risolvere un problema di funzione implicita.
Saper applicare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange per lo studio dei punti critici vincolati di una funzione.
Saper discutere le proprietà qualitative delle soluzioni di un'equazione differenziale.
Tutti i corsi del III anno e della LS
Argomento
Ore
Lez.
Ore
Esercit.
Ore Laboratorio
Superfici ed integrali di superficie
3
2
Teorema di Stokes e Teorema di Gauss
6
70
4
Teorema della funzione implicita e Teorema di Inversione locale. Moltiplicatori di Lagrange
7
6
Spazi metrici completi e Teorema delle contrazioni
3
Equazioni differenziali ordinarie: problema di Cauchy, teoremi di esistenza ed unicità della soluzione (locale e
globale), studi qualitativi
7
6
Derivabilità in campo complesso
1
Totale
27
18
45
Il programma dettagliato sara’ compilato settimanalmente e inserito nella pagina web della docente.
71
TESTI
Il testo base per la teoria è: Pagani-Salsa "Analisi matematica" (2 volumi) ) Masson Editore Il testo base per le
esercitazioni è: Salsa-Squellati "Esercizi di Analisi Matematica 2" (3 volumi) Masson Editore
NOTA
Modalita’ di erogazione: tradizionale. Sede: Dipartimento di Matematica, Via Carlo Alberto, 10, Torino.
Organizzazione della didattica: lezioni ed esercitazioni. Modalita’ di frequenza: facoltativa (ma consigliata).
Modalità d’esame: prova scritta e prova orale.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Mercoledì
16:00 - 18:00
Giovedì
15:00 - 16:00
Venerdì
15:00 - 17:00
Lezioni: dal 29/09/2008 al 09/01/2009
Analisi Matematica IV Complementi - a.a. 2008/09
Codice: MFN0141
Docente: Prof. Angelo Negro (Titolare del corso)
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 2
OBIETTIVI
L’allievo dovrà essere in grado di esporre, collegare e confrontare i principali concetti e risultati presentati nel
corso, di dimostrare i teoremi fondamentali e di impostare la risoluzione di alcuni problemi elementari standard
(equazioni per funzioni olomorfe, calcolo di integrali con il metodo dei residui).
Struttura delle funzioni analitiche. Fondamenti della Teoria di Cauchy delle funzioni olomorfe.
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso)Insegnamenti fornitoriElementi di calcolo differenziale ed integraleAnalisi Matematica
I e IIPrime nozioni sulle serie di potenze e le trascendenti elementariAnalisi Matematica I e IIForme differenziali
in R^2 e loro integrazioneAnalisi Matematica III e IVElementi di topologia generaleGeometria III
72
Struttura delle funzioni analitiche
Gran parte dei corsi della LM
Fondamenti della Teoria di Cauchy delle funzioni olomorfe
Particolarmente quelli di Analisi Matematica
Argomento
Ore
Lezione
C-differenziabilità, equazioni di Cauchy-Riemann
2
2
Serie di potenze e funzioni analitiche e meromorfe
4
4
Teoria di Cauchy, formula integrale, serie di Taylor e di Laurent
5
5
Teorema dei residui e applicazioni al calcolo di integrali
3
3
Teoremi di Liouville e Fondamentale dell'algebra; Principio del massimo; Applicazione aperta;
Convergenza localmente uniforme
4
4
Totale
18
18
73
C-differenziabilità. Equazioni di Cauchy-Riemann. Richiami sulle serie di potenze. Funzioni analitiche.
Analiticità delle serie di potenze. Principio del prolungamento analitico. Zeri di funzioni analitiche. Funzioni
meromorfe e loro poli.
Indice di un cammino rispetto ad un punto. Teorema di Cauchy e formula integrale di Cauchy. Analiticità delle
funzioni olomorfe. Teorema di Liouville. Teorema fondamentale dell’algebra. Proprietà della media. Principio
del massimo e teorema sull’applicazione aperta. Serie di Laurent. Teorema dei residui. Metodo dei residui per il
calcolo di integrali. Convergenza uniforme sui compatti. Cenni sulla compattezza nello spazio delle funzioni
olomorfe.
Programma d’esame dettagliato: v. Materiale didattico
TESTI
Dispense in Tex e Pdf al Centro Stampa o sul sito del Dipartimento. 1. Cartan, Henri Elementary theory of
analytic functions of one or several complex variables. Translated from the French. Reprint of the 1973 edition.
Dover Publications, Inc., New York, 1995. 2. Narasimhan, Raghavan Analysis on real and complex manifolds.
Reprint of the 1973 edition. North-Holland Mathematical Library, 35. North-Holland Publishing Co.,
Amsterdam, 1985.
NOTA
L’esame si svolge, di norma, come segue: colloquio per accertare che l’allievo abbia acquisito famigliarità con i
concetti fondamentali, eventualmente attraverso l’impostazione di un esercizio, e sia in grado di esporre
chiaramente una dimostrazione rigorosa.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Nota: Le lezioni iniziano al termine del corso Analisi Matematica IV negli stessi orari.
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=4ede
Analisi Non Lineare (DM 509)
Docente: Prof. Marino Badiale (Titolare del corso)
Tipologia: D.M. 509
Anno: 2° anno
Crediti/Valenza: 7
OBIETTIVI
Il corso si propone di fornire agli studenti gli strumenti per lo studio avanzato dell’Analisi Non Lineare e per
l’applicazione di metodi analitici ai problemi non lineari. Le competenze da acquisire riguardano la capacità di
affrontare i problemi di Analisi Non Lineare e di applicare metodi di Analisi matematica ai problemi non lineari
in vari rami delle scienze.
Conoscenza di alcuni concetti fondamentali della teoria dei punti critici.
PROGRAMMA
74
Italiano
Spazi di Sobolev. Convessità, semicontinuità, Minimizzazione e applicazioni. Minimizzazione vincolata. Varietà
di Nehari. Metodi di minimax: lemmi di deformazione, Teorema del Passo di Montagna e del Punto di
Sella,Applicazioni a problemi ellittici semilineari.
English
Sobolev Spaces. Convexity and semicontinuity. Minimization and constrained minimization. Nehari manifold.
Minimax methods: deformation lemma, mountain pass theorem, saddle point theorem. Applications to
semilinear elliptic boundary value problems.
.
TESTI
dispensa
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=9e5b
Analisi Non Lineare - a.a. 2008/09
Crediti/Valenza: 7
OBIETTIVI
l’applicazione di metodi analitici ai problemi non lineari
Ci si propone di porre l’allievo nelle condizioni di affrontare i problemi di Analisi Non Lineare e di applicare
metodi di Analisi matematica ai problemi non lineari in vari rami delle scienze.
PROGRAMMA
4. Pre-requisiti in ingresso e competenze minime in uscita
Pre-requisiti (in ingresso)Insegnamenti fornitoriAnalisi matematica generaleAnalisi Matematica I, II, III,
IVAlcuni elementi basilari di Analisi funzionale Istituzione di Analisi Superiore
75
Capacità di affrontare alcuni tipi di problemi non lineari.
Istituzione di Analisi Superiore , Analisi Non Lineare
Argomento
Ore
Lezione
Introduzione alla teoria dei punti critici: funzionali coercivi, minimizzazione vincolata, metodi di minimax.
56
56
Totale
56
56
Richiami sugli elementi di Analisi Funzionale, spazi di Sobolev, convessità, semicontinuità, minimizzazione,
applicazioni del calcolo delle variazioni. Minimizzazione vincolata, varietà di Nehari, applicazioni a problemi
ellittici semilineari. Metodi di minimax: lemmi di deformazione, teorema del passo di montagna e del punto di
sella, applicazioni.
TESTI
Dispense
NOTA
Modalità di erogazione: lezioni frontali. La frequenza è consigliata ma non obbligatoria. L’esame è orale: allo
studente viene richiesto di esporre alcuni degli argomenti trattati a lezione. Il docente riceve su appuntamento.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Martedì
9:00 - 11:00
Giovedì
16:00 - 18:00
Venerdì
14:00 - 16:00
Lezioni: dal 02/03/2009 al 05/06/2009
76
Analisi Non Lineare (DM 270)
Tipologia: D.M. 270
Anno: 1° anno
Crediti/Valenza: 6
OBIETTIVI
l’applicazione di metodi analitici ai problemi non lineari. Le competenze da acquisire riguardano la capacità di
affrontare i problemi di Analisi Non Lineare e di applicare metodi di Analisi matematica ai problemi non lineari
in vari rami delle scienze.
Conoscenza di alcuni concetti fondamentali della teoria dei punti critici.
PROGRAMMA
Italiano
Spazi di Sobolev. Convessità, semicontinuità, Minimizzazione e applicazioni. Minimizzazione vincolata. Varietà
di Nehari. Metodi di minimax: lemmi di deformazione, Teorema del Passo di Montagna e del Punto di
Sella,Applicazioni a problemi ellittici semilineari.
English
Sobolev Spaces. Convexity and semicontinuity. Minimization and constrained minimization. Nehari manifold.
Minimax methods: deformation lemma, mountain pass theorem, saddle point theorem. Applications to
semilinear elliptic boundary value problems.
.
TESTI
dispensa
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=0a86
Analisi Numerica (DM 509)
Codice: MFN0003
Docente: Prof. Catterina Dagnino (Titolare del corso), Dott. Sara Remogna (Esercitatore)
Tipologia: D.M. 509
Anno: 2° anno
Crediti/Valenza: 12
77
OBIETTIVI
L’Analisi Numerica rappresenta quel ramo della Matematica che propone, sviluppa ed analizza metodi per il
Calcolo Scientifico. Essa risulta quindi una delle discipline indispensabili alla preparazione di base di un
matematico moderno. Il corso si propone di introdurre lo studente all’analisi di moderni metodi numerici di base
per la risoluzione di sistemi di equazioni lineari, la risoluzione di equazioni non lineari, l’approssimazione di
funzioni e di dati, l’integrazione numerica e la risoluzione numerica di equazioni differenziali ordinarie.
Conoscenze e competenze di base di metodi numerici per il Calcolo Scientifico.
PROGRAMMA
Italiano
Aritmetica di macchina.
Risoluzione numerica di sistemi lineari.
Risoluzione numerica di equazioni non lineari.
Approssimazione di funzioni e di dati.
Approssimazione di funzionali lineari.
Metodi di base per la risoluzione numerica di equazioni differenziali ordinarie.
English
Machine arithmetic.
Numerical solution of linear systems.
Numerical solution of nonlinear equations.
Approximation of functions and data.
Approximation of linear functionals.
Elementary methods for ordinary differential equations.
.
TESTI
Il testo base del corso è: - Burden; R. S., and J. D. Faires, Numerical Analysis; Eighth Edition, Thomson
Brooks/Cole, 2005 Per approfondimenti ed integrazioni è inoltre consigliato l’utilizzo dei seguenti testi: - A.
Quarteroni, R. Sacco, E. Saleri, Matematica Numerica; terza edizione., Springer, Milano, 2008 - K.E. Atkinson,
An Introduction to Numerical Analysis; Second Edition, Wiley, New York, 1989 - W. Gautschi, Numerical
Analysis, An Introduction; Birkhauser, Basel, 1997 Infine sono di seguito indicati alcuni siti internet di interesse:
http://ams.mathematik.uni-bielefeld.de/mathscinet http://www.ams.org/mathweb/
http://www.math.uiowa.edu/~atkinson/
Analisi Numerica - a.a. 2008/09
Codice: MFN0003
Anno: 2° anno
Crediti/Valenza: 12
78
OBIETTIVI
L’Analisi Numerica rappresenta quel ramo della Matematica che propone, sviluppa ed analizza metodi per il
calcolo scientifico. Essa risulta quindi una delle discipline indispensabili alla preparazione di base di un
matematico moderno. Il corso si propone di introdurre lo studente all’analisi di moderni metodi numerici per la
risoluzione di sistemi di equazioni lineari, la risoluzione di equazioni non lineari, l’approssimazione di funzioni e
di dati, l’integrazione numerica e la risoluzione numerica di equazioni differenziali ordinarie.
Il corso rappresenta una prima introduzione ai moderni metodi numerici per il calcolo scientifico. Esso ha come
principali obiettivi formativi l’analisi teorica dei metodi presentati e lo sviluppo dei relativi algoritmi in
metalinguaggio.
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso) Insegnamenti fornitori Conoscenze e competenze di base di calcolo differenziale ed
integrale. Analisi Matematica Conoscenze e competenze di base di geometria analitica. Geometria
Conoscenze e competenze di base di metodi numerici per il calcolo scientifico
Corsi del terzo anno della laurea triennale e corsi della laurea Specialistica
Argomento
Ore
Lez.
Ore
Esercit.
79
Ore Laboratorio
I fondamenti della Matematica numerica
6
2
8
Risoluzione numerica di sistemi lineari
14
10
24
Risoluzione numerica di equazioni non lineari
6
6
12
Approssimazione di funzioni e di dati
16
12
28
Approssimazione di funzionali lineari
7
6
11
Risoluzione numerica di equazioni differenziali ordinarie
7
4
80
13
Totale
56
40
96
TESTI
Il testo base consigliato per il corso è: - Burden; R. S., and J. D. Faires, Numerical Analysis; Eighth Edition,
Thomson Brooks/Cole, 2005 E’ fortemente consigliato l’utilizzo dei seguenti testi per approfondimenti e
integrazioni: - A. Quarteroni, R. Sacco, E. Saleri, Matematica Numerica; terza edizione., Springer, Milano, 2008
- K.E. Atkinson, An Introduction to Numerical Analysis; Second Edition, Wiley, New York, 1989 - W. Gautschi,
Numerical Analysis, An Introduction; Birkhauser, Basel, 1997 Infine sono di seguito indicati alcuni siti internet
di interesse: http://ams.mathematik.uni-bielefeld.de/mathscinet http://www.ams.org/mathweb/
http://www.math.uiowa.edu/~atkinson/
NOTA
L’esame si articolerà in una prova scritta, seguita da una prova orale. La prova scritta consisterà nello
svolgimento di alcuni esercizi del tipo di quelli proposti nelle esercitazioni. La prova orale consisterà in un
colloquio, successivo alla prova scritta, sugli argomenti presentati nelle lezioni. Il voto finale si baserà sui
risultati ottenuti nella prova scritta e nel colloquio orale.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Lunedì
11:00 - 13:00
Mercoledì
8:00 - 10:00
Giovedì
11:00 - 13:00
Venerdì
9:00 - 11:00
Lezioni: dal 02/03/2009 al 05/06/2009
Nota: TUTORATO: lunedì dalle 14.00 alle 16.00 in aula Magna
81
Analisi Numerica I - a.a. 2008/09
Anno: 1° anno
Crediti/Valenza: 7
OBIETTIVI
Il corso rappresenta una prima introduzione ai moderni metodi di approssimazione numerica ed alle loro
applicazioni. Esso ha come obiettivi formativi l’analisi teorica dei metodi numerici presentati e
contemporaneamente l’analisi degli aspetti computazionali e lo sviluppo dei relativi algoritmi . E’ anche
obiettivo del corso illustrare come, perché e quando le tecniche di approssimazione (metodi, algoritmi, codici)
sono effettivamente operative, fornendo così una solida base per ulteriori studi di analisi numerica e di calcolo
scientifico.
L’Analisi Numerica è una delle discipline indispensabili alla preparazione di base di un matematico moderno.
Finalità del corso è far acquisire agli studenti conoscenze teoriche ed esperienza pratica per risolvere problemi
del mondo reale, servendosi di modelli matematici e di tecniche numeriche mediante l’impiego dei moderni
calcolatori.
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso) Insegnamenti fornitori Conoscenze e competenze di base del calcolo differenziale per
le funzioni di una variabile reale Analisi Matematica I Conoscenze e competenze di geometria analitica
Geometria I
Conoscenze e competenze di base, sia teoriche sia computazionali, di Analisi Numerica
Analisi Numerica II Corsi di Analisi Numerica del III anno
Programma
Fondamenti della Matematica Numerica: buona posizione e numero di condizionamento di un problema;
stabilità di un metodo numerico; sorgenti di errore in un modello computazionale; rappresentazione dei
numeri nel calcolatore ed aritmetica di macchina.
Interpolazione polinomiale: formula di Lagrange, algoritmo di Neville, formula di Newton, formula di
Hermite. Interpolazione polinomiale a tratti, spline cubiche. Analisi degli errori. Interpolazione su curve
parametriche.
Integrazione numerica: formula del trapezio semplice e composta, formula di Simpson semplice e
composta, formule di Newton-Cotes, formule gaussiane, metodo di Romberg, quadrature adattive, integrali
impropri, integrali multipli. Analisi degli errori.
Equazioni non lineari in una variabile: separazione delle radici, metodo di bisezione, metodo di Newton,
metodo delle secanti, metodo del punto fisso, metodo di accelerazione di Aitken. Analisi di convergenza.
82
Introduzione al software scientifico Matlab.
Applicazioni, in ambiente Matlab, dei metodi numerici studiati.
TESTI
Il materiale didattico presentato a lezione è disponibile, in forma cartacea, presso il Centro Stampa del
Dipartimento di Matematica e sul sito del corso di Analisi Numerica
http://matematica.campusnet.unito.it/cgi-bin/corsi.pl Il testo base consigliato per il corso è: BURDEN R.S., and
J.D. FAIRES, Numerical Analysis, 8th ed., Brooks/Cole, Pacific Grove, USA E’ fortemente consigliato l’utilizzo
del seguente materiale per approfondimenti e integrazioni: 1. K.E. Atkinson, An Introduction to Numerical
Analysis, 2nd Ed., Wiley, New York, 1989 2. W. Gautschi, Numerical Analysis. An Introduction, Birkhauser,
Basel, 1997 3. A. Quarteroni, R. Sacco, E. Saleri, Matematica Numerica, 2nd Ed., Springer, Milano, 2000 .
NOTA
Il corso è mutuato da Analisi Numerica (primi 7 CFU) attivo nel presente a.a.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Lunedì
11:00 - 13:00
Mercoledì
8:00 - 10:00
Giovedì
11:00 - 13:00
Venerdì
9:00 - 11:00
Lezioni: dal 02/03/2009 al 05/06/2009
Nota: TUTORATO: lunedì dalle 14.00 alle 16.00 in aula 3.
Analisi Numerica I - Non attivato nell’a.a. 2008/09
Codice: M8506
Docente: Prof. Catterina Dagnino
Anno: 1° anno
Crediti/Valenza: 7
OBIETTIVI
Il corso rappresenta una prima introduzione ai moderni metodi di approssimazione numerica ed alle loro
applicazioni. L’analisi matematica necessaria allo sviluppo teorico dei metodi è adeguatamente trattata, e
contemporaneamente viene dato ampio spazio agli algoritmi ed agli strumenti di calcolo. L’obiettivo è quello di
illustrare come, perché e quando le tecniche di approssimazione (metodi, algoritmi, codici) sono effettivamente
operative, fornendo così una solida base per ulteriori studi di analisi numerica e di calcolo scientifico.
L’analisi numerica è una delle principali discipline che sono necessarie per la preparazione di specialisti nelle
varie branche della matematica applicata. Con lo studio dell’analisi numerica gli studenti acquisiscono
conoscenze teoriche ed esperienza pratica per risolvere problemi del mondo reale servendosi di modelli
matematici e di tecniche numeriche mediante l’impiego dei moderni calcolatori.
83
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso)Insegnamenti fornitoriConoscenze e competenze di base del calcolo differenziale per le
funzioni di una variabile realeAnalisi Matematica IConoscenze e competenze di geometria analiticaGeometria I
Conoscenze e competenze di base, sia teoriche sia computazionali, di Analisi Numerica
Analisi Numerica IICorsi di Analisi Numerica del III anno
. Programma, articolazione e carico didattico
Argomento
Ore
Lezione
Ore
Esercitazione
Ore Laboratorio
Analisi dell'errore: aritmetica del calcolatore, tipi di errore e sorgenti di errore, propagazione dell'
errore, problemi ben posti e problemi ben condizionati, stabilità.
8
2
4
14
Equazioni non lineari in una variabile: separazione delle radici, metodo di bisezione, metodo di Newton, metodo
delle secanti, metodo del punto fisso.
8
2
4
14
Interpolazione polinomiale: formula di Lagrange, algoritmo di Neville, formula di Newton, formula di Hermite,
interpolazione polinomiale a tratti, spline cubiche, interpolazione su curve parametriche
84
12
4
6
22
Integrazione numerica: formula del trapezio semplice e composta, formula di Simpson semplice e composta,
formule di Newton-Cotes aperte e chiuse, formule gaussiane, quadrature adattabili.
8
2
3
13
Totale
36
10
17
63
Fondamenti della Matematica Numerica: buona posizione e numero di condizionamento di un problema;
stabilità di un metodo numerico; sorgenti di errore in un modello computazionale; rappresentazione dei
numeri nel calcolatore ed aritmetica di macchina.
Interpolazione polinomiale: formula di Lagrange, algoritmo di Neville, formula di Newton, formula di
Hermite. Interpolazione polinomiale a tratti, spline cubiche. Analisi degli errori. Interpolazione su curve
parametriche.
Integrazione numerica: formula del trapezio semplice e composta, formula di Simpson semplice e
composta, formule di Newton-Cotes, formule gaussiane, metodo di Romberg, quadrature adattive, integrali
impropri, integrali multipli. Analisi degli errori.
Equazioni non lineari in una variabile: separazione delle radici, metodo di bisezione, metodo di Newton,
metodo delle secanti, metodo del punto fisso, metodo di accelerazione di Aitken. Analisi di convergenza.
Introduzione al software scientifico Matlab.
Applicazioni, in ambiente Matlab, dei metodi numerici studiati.
TESTI
BURDEN R.S., and J.D. FAIRES, Numerical Analysis, 8th ed., Brooks/Cole, Pacific Grove, USA
NOTA
Modalità di verifica/esame L’esame si svolge come segue: Prova scritta Ogni prova scritta conterrà tre esercizi,
del tipo di quelli svolti nelle esercitazioni, a cui verrà dato un punteggio in trentesimi. La somma delle
valutazioni costituirà il voto finale della prova scritta. La prova scritta resterà valida per un anno accademico.
Prova orale Si tratta di un colloquio orale, successivo alla prova scritta, sugli argomenti analizzati nelle lezioni.
A tale colloquio verrà dato un punteggio in trentesimi. Il voto finale sarà la media dei voti riportati nella prova
scritta e nel colloquio orale.
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=d0dc
85
Analisi Numerica II - a.a. 2008/09
Anno: 2° anno
Crediti/Valenza: 5
OBIETTIVI
Gli studenti devono imparare ad identificare i tipi di problemi che richiedono una soluzione con tecniche
numeriche, e trovare una soluzione approssimata di tali problemi fornendo una stima dell’approssimazione
ottenuta. Inoltre devono maturare esperienza di calcolo numerico, rendendosi conto delle importanti differenze
tra l’aritmetica esatta implicita in molte presentazioni teoriche e l’ aritmetica con numeri di lunghezza finita
usata nei calcolatori. Infine devono acquisire dimestichezza, la più profonda possibile, con gli strumenti di
calcolo messi a disposizione.
Il corso si propone di introdurre lo studente alla conoscenza dei moderni metodi numerici per l’approssimazione
di funzioni e di dati, per la risoluzione di sistemi di equazioni lineari, e per il trattamento di equazioni
differenziali a valori iniziali. Associando ad ogni metodo studiato il relativo algoritmo, implementato in
linguaggio Maple e C, il corso vuole inoltre consentire agli studenti di sperimentare l’effettiva applicazione delle
tecniche considerate, abituandoli nel contempo all’uso mirato degli strumenti di calcolo.
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso) Insegnamenti fornitori Conoscenza completa del contenuto del corso di Analisi
Numerica I Analisi Numerica I Conoscenza di argomenti specifici di Analisi Matematica Analisi Matematica I,
II e III Conoscenza di argomenti specifici di Geometria Geometria I e II Conoscenze di base su calcolatori,
algoritmi, linguaggio C Informatica I e II
Risoluzione numerica di sistemi lineari, approssimazione delle radici di equazioni nonlineari
Metodi di ottimizzazione
Introduzione al trattamento numerico delle equazioni differenziali ordinarie per problemi a valori iniziali
Istituzioni di Analisi numerica
Nozioni di base sulle matrici, risoluzione numerica di sistemi lineari,
Algebra lineare numerica
Approssimazione di funzioni
Metodi numerici per la grafica
86
Approssimazione
Metodi di approssimazione
Programma
Approssimazione di funzioni e di dati: minimi quadrati nel discreto, minimi quadrati nel continuo,
approssimazione mediante funzioni razionali, approssimazione polinomiale trigonometrica.
- Risoluzione numerica di sistemi lineari: richiami di algebra lineare, analisi di stabilità per sistemi lineari,
metodi diretti (metodo di eliminazione gaussiana, pivoting, fattorizzazione LU, matrici speciali e relativi metodi
di fattorizzazione), raffinamento iterativo, metodi iterativi (convergenza di metodi iterativi, metodo di Jacobi,
metodo di Gauss-Seidel, metodi di rilassamento).
- Risoluzione numerica di equazioni differenziali ordinarie ai valori iniziali: teoria elementare dei problemi ai
valori iniziali, metodi ad un passo (metodo di Eulero e stima dell'errore, metodi di Taylor, metodi
Runge-Kutta, controllo dell'errore di troncamento locale), metodi a più passi lineari (metodi di Adams,
metodi previsore-correttore), stabilità.
- Applicazioni in ambiente Matlab.
TESTI
Dipartimento di Matematica e sul sito del corso di Analisi Numerica
http://matematica.campusnet.unito.it/cgi-bin/corsi.pl Il testo base consigliato per il corso è: BURDEN R.S., and
J.D. FAIRES, Numerical Analysis, 8th ed., Brooks/Cole, Pacific Grove, USA E’ fortemente consigliato l’utilizzo
del seguente materiale per approfondimenti e integrazioni: 1. K.E. Atkinson, An Introduction to Numerical
Analysis, 2nd Ed., Wiley, New York, 1989 2. W. Gautschi, Numerical Analysis. An Introduction, Birkhauser,
Basel, 1997 3. A. Quarteroni, R. Sacco, E. Saleri, Matematica Numerica, 2nd Ed., Springer, Milano, 2000 .
NOTA
Il corso è mutuato da Analisi Numerica (ultimi 5 CFU) attivo nel presente a.a.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Lunedì
11:00 - 13:00
Mercoledì
8:00 - 10:00
Giovedì
11:00 - 13:00
Venerdì
9:00 - 11:00
Lezioni: dal 02/03/2009 al 05/06/2009
Nota: TUTORATO: lunedì dalle 14.00 alle 16.00 in aula 3.
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=bfa7
Analisi Numerica II - Non attivato nell’a.a. 2008/09
Codice: M8512
Docente: Prof. Catterina Dagnino (Titolare del corso), Prof. Isabella Cravero (Esercitatore), Prof. Paola
Lamberti (Esercitatore), Prof. Alessandra De Rossi (Tutor), Dott. Sara Remogna (Tutor)
Anno: 2° anno
Crediti/Valenza: 7
87
OBIETTIVI
Il corso si propone di introdurre lo studente alla conoscenza dei moderni metodi numerici per l’approssimazione
di funzioni e di dati, per la risoluzione di sistemi di equazioni lineari e per il trattamento di equazioni
differenziali a valori iniziali. Associando ad ogni metodo studiato il relativo algoritmo, implementato in Matlab,
il corso vuole inoltre consentire agli studenti di sperimentare l’effettiva applicazione delle tecniche considerate,
abituandoli nel contempo all’uso mirato degli strumenti di calcolo.
Gli studenti devono imparare ad identificare i tipi di problemi che richiedono una soluzione con tecniche
numeriche, e trovare una soluzione approssimata di tali problemi fornendo una stima dell’approssimazione
ottenuta. Inoltre devono maturare esperienza di calcolo numerico, rendendosi conto delle importanti differenze
tra l’aritmetica esatta implicita in molte presentazioni teoriche e l’ aritmetica con numeri di lunghezza finita
usata nei calcolatori. Infine devono acquisire dimestichezza con gli strumenti di calcolo messi a disposizione.
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso)Insegnamenti fornitoriConoscenza completa del contenuto del corso di Analisi
Numerica IAnalisi Numerica IConoscenza di argomenti specifici di Analisi MatematicaAnalisi Matematica I, II
e IIIConoscenza di argomenti specifici di GeometriaGeometria I e IIConoscenze di base su calcolatori, algoritmi,
software scientifico MatlabAnalisi Numerica I
Risoluzione numerica di sistemi lineari
Metodi Numerici per la grafica computerizzata, Metodi di ottimizzazione
Introduzione al trattamento numerico delle equazioni differenziali ordinarie per problemi a valori iniziali
Istituzioni di Analisi numerica
Approssimazione di funzioni
Metodi numerici per la grafica computerizzata,
Metodi di approssimazione
Argomento
Ore
Lezione
Ore
88
Esercitazione
Ore Laboratorio
Sistemi lineari:metodi diretti
10
2
6
18
Sistemi lineari: metodi iterativi
6
2
3
11
Approssimazione
10
3
4
17
Equazioni differenziali ordinarie:problema di Cauchy
10
3
4
17
Totale
36
10
17
63
Approssimazione di funzioni e di dati: minimi quadrati nel discreto, minimi quadrati nel continuo,
approssimazione mediante funzioni razionali, approssimazione polinomiale trigonometrica.
- Risoluzione numerica di sistemi lineari: richiami di algebra lineare, analisi di stabilità per sistemi lineari,
metodi diretti (metodo di eliminazione gaussiana, pivoting, fattorizzazione LU, matrici speciali e relativi metodi
89
di fattorizzazione), raffinamento iterativo, metodi iterativi (convergenza di metodi iterativi, metodo di Jacobi,
metodo di Gauss-Seidel, metodi di rilassamento).
- Risoluzione numerica di equazioni differenziali ordinarie ai valori iniziali: teoria elementare dei problemi ai
valori iniziali, metodi ad un passo (metodo di Eulero e stima dell'errore, metodi di Taylor, metodi
Runge-Kutta, controllo dell'errore di troncamento locale), metodi a più passi lineari (metodi di Adams,
metodi previsore-correttore), stabilità.
- Applicazioni in ambiente Matlab.
TESTI
- BURDEN R.S., J.D. FAIRES: Numerical Analysis, 8th ed., Brooks/Cole, Pacific Grove, USA (2005) E’
fortemente consigliato l’utilizzo del seguente testo per approfondimenti e integrazioni: Quarteroni, A., R. Sacco,
e F. Saleri, Matematica numerica, Springer, Milano, 1998. Infine sono di seguito indicati siti internet di interesse:
http://www.netlib.org collega con una banca dati ampiamente utilizzata di software numerico
http://ams.mathematik.uni-bielefeld.de/mathscinet consente di trovare un’estesa lista di testi rilevanti di Analisi
Numerica http://www.ams.org/mathweb/ è una guida utile alla letteratura matematica, in particolare per gli
argomenti di Analisi Numerica e Matematica Computazionale.
NOTA
L’esame si svolge, di norma, come segue: Prova scritta: Ogni prova scritta conterrà alcuni esercizi in cui viene
richiesto di risolvere numericamente un problema con l’impiego del calcolatore, problema di difficoltà pari a
quelli trattati nel corso. Ad ogni esercizio viene assegnato un punteggio e la somma delle valutazioni ottenute da
un candidato nella risoluzione degli esercizi costituisce il punteggio complessivo della prova scritta. La prova
scritta resterà valida per un anno accademico. Colloquio orale: La prova scritta è seguita da un colloquio orale
finalizzato a verificare il livello di apprendimento, con particolare riferimento alla parte teorica del corso. La
valutazione ottenuta dallo studente nella prova orale fa media con la valutazione ottenuta nella prova scritta.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Mercoledì
10:00 - 11:00
Giovedì
11:00 - 13:00
Venerdì
11:00 - 13:00
Lezioni: dal 03/03/2008 al 13/06/2008
Nota: La lezione del venerdì utilizza anche le aule informatizzate.
TUTORATO: venerdì dalle 14.00 alle 16.00.
Analisi su Varietà (DM 509)
Codice: S8852
Docente: Prof. Sandro Coriasco (Titolare del corso), Prof. Lorenzo Fatibene (Titolare del corso)
Tipologia: D.M. 509
Anno: 2° anno
Crediti/Valenza: 7
90
OBIETTIVI
Scopo del corso è illustrare le problematiche relative allo studio degli operatori differenziali su varietà ed alcune
delle tecniche utilizzate in tale ambito. Si attende dallo studente la capacità di affrontare lo studio di equazioni
alle derivate parziali su varietà senza bordo e di problemi ai limiti su varietà con bordo per gli "operatori
naturali" definiti su di esse. Lo studente acquisirà anche le conoscenze di base della teoria degli spazi funzionali
introdotti a tale scopo ed alcuni elementi della teoria degli operatori pseudo-differenziali su varietà.
Funzioni e distribuzioni su varietà differenziabili. Simbolo di un operatore differenziale. Operatori ellittici.
Studio delle proprietà globali degli operatori differenziali su varietà.
PROGRAMMA
Italiano
Concetto di varietà, espressioni in coordinate.
Fibrato tangente, campi vettoriali e flussi.
Connessioni e sistemi di equazioni a derivate parziali su varietà.
Spazi funzionali e distribuzioni su varietà.
Simbolo di operatori differenziali lineari. Ellitticità.
Problemi ai limiti su varietà con bordo. Problema di Cauchy in Relatività Generale.
English
Definition of manifold, expressions in coordinates.
Tangent bundle, vector fields and flows.
Connections and systems of partial differential equations on manifolds.
Function spaces and distributions on manifolds.
Symbol of linear differential operators. Ellipticity.
Boundary value problems on manifolds with boundary. Cauchy problem in General Relativity.
.
TESTI
J.M. Lee, Introduction to smooth manifolds, Graduate Texts in Mathematics , Vol.218 L. Fatibene, M.
Francaviglia, Natural and gauge natural formalism for classical field theories. Kluwer Academic Publishers,
Dordrecht, 2003 L. Hörmander, The analysis of linear partial differential operators, Springer-Verlag, Berlin,
1983-85. H. Kumano-go, Pseudo-differential operators, MIT Press, 1981.
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=1bb3
Analisi su Varietà - Non attivato nell’a.a. 2008/09
Codice: S8852
Docente:
Recapito: []
Crediti/Valenza: 7
91
Analisi su Varietà (DM 270)
Docente: Prof. Sandro Coriasco (Titolare del corso), Prof. Lorenzo Fatibene (Titolare del corso)
Tipologia: D.M. 270
Anno: 1° anno
Crediti/Valenza: 6
OBIETTIVI
Scopo del corso è illustrare le problematiche relative allo studio degli operatori differenziali su varietà ed alcune
delle tecniche utilizzate in tale ambito. Si attende dallo studente la capacità di affrontare lo studio di equazioni
alle derivate parziali su varietà senza bordo e di problemi ai limiti su varietà con bordo per gli "operatori
naturali" definiti su di esse. Lo studente acquisirà anche le conoscenze di base della teoria degli spazi funzionali
introdotti a tale scopo ed alcuni elementi della teoria degli operatori pseudo-differenziali su varietà.
Funzioni e distribuzioni su varietà differenziabili. Simbolo di un operatore differenziale. Operatori ellittici.
Studio delle proprietà globali degli operatori differenziali su varietà.
PROGRAMMA
Italiano
Concetto di varietà, espressioni in coordinate.
Fibrato tangente, campi vettoriali e flussi.
Connessioni e sistemi di equazioni a derivate parziali su varietà.
Spazi funzionali e distribuzioni su varietà.
Simbolo di operatori differenziali lineari. Ellitticità.
Problemi ai limiti su varietà con bordo. Problema di Cauchy in Relatività Generale.
English
Definition of manifold, expressions in coordinates.
Tangent bundle, vector fields and flows.
Connections and systems of partial differential equations on manifolds.
Function spaces and distributions on manifolds.
Symbol of linear differential operators. Ellipticity.
Boundary value problems on manifolds with boundary. Cauchy problem in General Relativity.
.
TESTI
J.M. Lee, Introduction to smooth manifolds, Graduate Texts in Mathematics , Vol.218 L. Fatibene, M.
Francaviglia, Natural and gauge natural formalism for classical field theories. Kluwer Academic Publishers,
Dordrecht, 2003 L. Hörmander, The analysis of linear partial differential operators, Springer-Verlag, Berlin,
92
1983-85. H. Kumano-go, Pseudo-differential operators, MIT Press, 1981.
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=cf38
Analisi Superiore (DM 509)
Docente: Dott. Elena Cordero (Titolare del corso), Prof. Luigi Rodino (Titolare del corso)
Tipologia: D.M. 509
Anno: 2° anno
Crediti/Valenza: 7
OBIETTIVI
Il corso intende fornire una preparazione alla ricerca matematica nel campo della trattazione delle equazioni alle
derivate parziali lineari mediante tecniche di Fourier. Si propone inoltre di fornire, nell’ambito della teoria degli
spazi di Banach, una trattazione completa degli spazi L^p e delle proprietà della trasformata di Fourier su tali
spazi e su quelli delle distribuzioni.
Conoscenza della teoria delle distribuzioni e degli strumenti classici dell’analisi di Fourier, con applicazioni a
spazi L^p e alle equazioni alle derivate parziali.
PROGRAMMA
Italiano
-
Spazi vettoriali topologici;
-
Spazi di Fréchet;
-
Teoria delle Distribuzioni;
-
Trasformata di Fourier;
-
Trasformata di Laplace.
English
-
Topological vector spaces;
-
Fréchet spaces;
-
Theory of distributions;
-
Fourier transform;
-
Laplace transform.
.
TESTI
1) Dispense fornite dai docenti; 2) G. B. Folland, Real Anayisis: modern techniques and their applications, J.
Wiley, 1999.
93
Analisi Superiore - a.a. 2008/09
Docente: Prof. Luigi Rodino (Titolare del corso), Dott. Elena Cordero (Titolare del corso)
Crediti/Valenza: 7
OBIETTIVI
derivate parziali lineari mediante tecniche di Fourier. Si vuole in particolare preparare lo studente
all’applicazione delle tecniche pseudo-differenziali.
Saranno acquisite le tecniche micro-locali di base, indirizzate alla teoria generale delle equazioni alle derivate
parziali lineari. Lo studente sara’ in particolare in grado di svolgere una tesi sulle applicazioni del calcolo
pseudo-differenziale.
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso)Insegnamenti fornitoriConoscenze dei fondamenti dell'analisi matematicaAnalisi
Matematica I, II, III, IV
Elementi di base dell'analisi tempo-frequenza e del calcolo pseudo-differenziale, con applicazioni.
Analisi Microlocale
Corsi di Dottorato di Ricerca in Matematica
Argomento
Ore
Lezione
94
L’integrale di Lebesgue e sue proprietà
8
8
Spazi funzionali ed operatori lineari
10
10
Teoria delle distribuzioni
7
7
Trasformata di Fourier
18
18
Spazi di Sobolev
6
6
Operatori pseudo-differenziali
7
7
Totale
56
56
PRIMA PARTE
Rassegna degli argomenti preliminari (sono trattati in alcuni dei corsi facoltativi della laurea breve, ma vengono
comunque rivisti per dare un punto di partenza comune a tutti gli studenti):
Teoria delle distribuzioni
Trasformata di Fourier
Spazi funzionali ed operatori lineari.
SECONDA PARTE
Introduzione alla teoria generale delle equazioni alle derivate parziali lineari
Equazioni alle derivate parziali a coefficienti costanti
Operatori pseudo-differenziali, Analisi Microlocale ed applicazioni alle equazioni a derivate parziali lineari
95
TESTI
L. RODINO, Linear partial differential operators in Gevrey spaces, World Scientific, Singapore 1993 M.
MASCARELLO, L. RODINO, Partial differential equations with multiple characteristics, Wiley-VCH,
Akademie Verlag, Berlin 1997 G.B. FOLLAND, Real Analysis: modern techniques and their applications, J.
Wiley, 1999 (I testi sono a disposizione presso la Biblioteca G. Peano).
NOTA
L’esame consiste in un un’unica prova orale. Viene identificata, al termine del corso, una lista precisa delle
possibili domande a cui far riferimento per l’esame
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Martedì
16:00 - 19:00
Mercoledì
17:00 - 19:00
Lezioni: dal 29/09/2008 al 09/01/2009
Analisi Superiore (DM 270)
Docente: Dott. Elena Cordero (Titolare del corso), Prof. Luigi Rodino (Titolare del corso)
Tipologia: D.M. 270
Anno: 1° anno
Crediti/Valenza: 6
OBIETTIVI
derivate parziali lineari mediante tecniche di Fourier. Si propone inoltre di fornire, nell’ambito della teoria degli
spazi di Banach, una trattazione completa degli spazi L^p e delle proprietà della trasformata di Fourier su tali
spazi e su quelli delle distribuzioni.
Conoscenza della teoria delle distribuzioni e degli strumenti classici dell’analisi di Fourier, con applicazioni a
spazi L^p e alle equazioni alle derivate parziali.
PROGRAMMA
Italiano
-
Spazi vettoriali topologici;
-
Spazi di Fréchet;
-
Teoria delle Distribuzioni;
-
Trasformata di Fourier;
-
Trasformata di Laplace.
96
English
-
Topological vector spaces;
-
Fréchet spaces;
-
Theory of distributions;
-
Fourier transform;
-
Laplace transform.
.
TESTI
1) Dispense fornite dai docenti; 2) G. B. Folland, Real Anayisis: modern techniques and their applications, J.
Wiley, 1999.
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=b8ba
Biomatematica (DM 509)
Codice: MFN0041 / MFN0042 / 8041S
Docente: Prof. Ezio Venturino (Titolare del corso)
Tipologia: D.M. 509
Anno: 2° anno
Crediti/Valenza: 7
OBIETTIVI
Il corso si propone di affrontare lo studio dei principali modelli matematici in biologia matematica. Gli strumenti
matematici si sono considerati allo scopo sono costituiti dalle equazioni differenziali ordinarie e alle derivate
parziali, dalle equazioni integrali e dalle equazioni integro-differenziali.
Conoscenze base per la formulazione e lo studio di modelli in ambito biologico.
PROGRAMMA
Italiano
Il contesto biologico in cui si studieranno questi modelli e’ principalmente dato da: l’evoluzione temporale di
popolazioni singole e interagenti, le popolazioni strutturate, il chemostato e la cinetica delle reazioni chimiche, i
meccanismi di reazione e diffusione, le onde biologiche, i fenomeni di formazione di pattern, la teoria di
trasmissione neurale, i modelli epidemiologici.
English
Temporal evolution of one single population. Inteacting populations. Structured populations. Chemostat and
chemical reactions kinetics. Reaction diffusion equations, biological waves, pattern formation, neural
transmission, epidemiology.
97
.
TESTI
− E. Venturino, note in preparazione. − F. Brauer, C. Castillo-Chavez, Mathematical Models in Population
Biology − and Epidemiology, Springer. − J.D. Murray, Mathematical Biology, Springer.
Biomatematica - a.a. 2008/09
Crediti/Valenza: 7
OBIETTIVI
Gli studenti al termine del corso dovranno aver familiarita’ con i modelli correnti investigati nella letteratura
corrente della materia, retti da equazioni differenziali alle derivate parziali, da equazioni integrali e da equazioni
integro-differenziali. Lo studente dovra’ anche aver acquisito nozioni sul contesto biologico in cui si studiano
questi modelli, principalmente dato dai seguenti argomenti. L’approfondimento di tematiche relative
all’evoluzione temporale di popolazioni strutturate, ai meccanismi di reazione e diffusione, alle onde biologiche,
ai fenomeni di formazione di pattern, alla teoria di trasmissione neurale costituiranno parte sostanziale del
programma.
Progettazione ed esecuzione di programmi Matlab e Maple per la simulazione dei modelli presentati a lezione
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso)Insegnamenti fornitoriFondamenti del calcolo differenziale e delle equazioni
differenziali ordinarie;
Analisi Matematica I, II, III, IV.
Fondamenti sui sistemi dinamiciSistemi Dinamici e Introduzione alla Teoria del CaosFondamenti di algebra
lineareGeometria I, II
Elementi fondamentali di un linguaggio evoluto quale Matlab oppure Maple, e di un linguaggio di
programmazione quale Fortran oppure C
Informatica I
Se qualcuno di questi prerequisiti mancasse, si ovvierà al problema durante il corso stesso.
98
I corsi avanzati della LM e di dottorato sull'argomento di Biomatematica
Argomento
Ore
Lezione
Ore Laboratorio
Dinamica di una popolazione
3
6
9
Dinamica di popolazioni interagenti
15
6
21
Dinamica di epidemie
6
4
10
Modelli a compartimento
3
2
5
Dinamica di popolazioni strutturate
2
99
2
Diffusione di popolazioni
3
3
Onde biologiche
3
3
Equazioni di reazione diffusione
3
3
Totale
38
18
56
TESTI
Il materiale didattico presentato a lezione è disponibile presso: Centro Stampa e Biblioteca I testi base consigliati
per il corso sono: Dispense del docente E’ fortemente consigliato l’utilizzo del seguente materiale per
approfondimenti e integrazioni: F. Brauer, C. Castillo-Chavez, Mathematical Models in Population Biology and
Epidemiology, Springer. J.D. Murray, Mathematical Biology, Springer.
NOTA
Modalità di verifica/esame L’esame e’ costituito dalla presentazione e discussione in aula informatizzata di un
progetto redatto durante il semestre da squadre di 2 o 3 studenti.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Martedì
10:00 - 12:00
Giovedì 10:00 - 12:00
Venerdì 10:00 - 12:00
Lezioni: dal 29/09/2008 al 09/01/2009
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=cc08
100
Calcolo delle Probabilità e Statistica (DM 509)
Codice: MFN0008
Docente: Prof. Cristina Zucca (Titolare del corso), Prof. Angelo Negro (Titolare del corso), Prof. Luigia
Caputo (Esercitatore)
Tipologia: D.M. 509
Anno: 2° anno
Crediti/Valenza: 12
SSD: MAT/06 - probabilita’ e statistica matematica
OBIETTIVI
Il corso si propone di fornire agli studenti una buona comprensione degli elementi fondamentali della moderna
Teoria del calcolo delle probabilità e della Statistica matematica, attraverso una rigorosa definizione dei termini e
delle strutture principali, accompagnata dalla chiara discussione dei teoremi principali, per alcuni dei quali con
dimostrazioni complete e per altri con indicazione delle linee essenziali della dimostrazione. L’allievo dovrà
essere in grado di esporre, collegare e confrontare i principali concetti e risultati presentati nel corso, di
dimostrare i teoremi fondamentali del programma d’esame. Dovrà saper risolvere problemi coniugando le
conoscenze teoriche con il riconoscimento, la selezione o la costruzione di modelli, seguendo l’esempio fornito
dalle esercitazioni.
Definizioni precise di spazi di probabilità, regole elementari di calcolo, condizionamento ed indipendenza Chiara
nozione di variabile aleatoria; conoscenza del ruolo delle loro principali caratteristiche (media, varianza,
momenti, funzioni generatrici); variabili generali, discrete e continue Distribuzioni e densità. Densità congiunte.
Saper utilizzare praticamente le distribuzioni congiunte impostando correttamente somme o integrali iterati
Conoscenza degli schemi e delle distribuzioni classiche, nel discreto e nel continuo Discutere e dimostrare la
Legge debole dei grandi numeri Conoscere risultati di convergenza in distribuzione. Saper discutere e presentare
le linee essenziali della dimostrazione di un teorema del limite centrale Saper utilizzare con disinvoltura le
principali regole di calcolo Risolvere problemi che di norma richiedono un’interpretazione ed una scelta
preliminare del metodo e o dello schema da adottare.
PROGRAMMA
Italiano
Struttura di spazio di probabilità, esempi elementari, prime regole di calcolo, condizionamento ed indipendenza.
Probabilità condizionate. Continuità della misura di probabilità e teorema di Borel-Cantelli. Prime nozioni sulle
variabili aleatorie. Variabili discrete. Distribuzione e densità. Media, varianza, momenti, funzione generatrice.
Distribuzioni e densità discrete classiche (Binomiale, ipergeometrica, geometrica, binomiale negativa, di
Poisson, multinomiale). Scomposizione in variabili elementari e condizionamenti. Disuguaglianze di Markov e
di Chebychev. Prima introduzione al teorema del limite centrale: frequenza e probabilità. Cenni sulle variabili
aleatorie generali e sull'integrazione rispetto ad una misura di probabilità. Variabili indipendenti.
Condizionamento. Variabili aleatorie continue. Densità, densità congiunta e densità marginali. Distribuzioni
congiunte tramite condizionamento. Distribuzioni continue classiche (Uniforme, di Cauchy, esponenziale e
processi di Poisson, normale, gamma, chi-quadro, di Student). Legge debole dei grandi numeri: teorema di
Markov. Cenni alla legge forte al teorema di Kolmogorov. Funzioni caratteristiche. Presentazione del teorema di
Lévy-Cramér. Deduzione del più semplice teorema del limite centrale dal risultato di Lévy-Cramér.
Introduzione alla Statistica: il campionamento casuale con rimpiazzo. Costruzione dello spazio campionario e
definizione di campione casuale estratto da una popolazione. Statistiche e momenti campionari. Media e
Varianza dei momenti campionari. Caso particolare della media campionaria. Legame tra la media campionaria e
la media della popolazione. Varianza campionaria e sua media e varianza. Distribuzione dei momenti
campionari. Stima puntuale, definizione di stimatore. Metodi per la ricerca degli stimatori: metodo dei momenti
e metodo della massima verosimiglianza. Proprietà degli stimatori: correttezza, errore quadratico medio.
101
Stimatori lineari e stimatore lineare a varianza minima. Stimatori corretti a varianza minima (UMVU). Teorema
di Cramer-Rao. Proprietà asintotiche degli stimatori: correttezza asintotica, consistenza. Sufficienza. Teorema di
fattorizzazione e teorema di Blackwell-Rao. Stima intervallare: definizione di intervallo di confidenza. Metodo
della quantità pivotale per la ricerca degli IC. Test di ipotesi: definizione di ipotesi statistica, regione critica,
errore di prima e seconda specie, potenza del test e ampiezza del test. Lemma di Neyman-Pearson. Ipotesi
composte e rapporto generalizzato delle verosimiglianze. Modelli lineari generali: analisi della varianza,
regressione. Stima nei modelli lineari generali: caso normale e caso scorrelato. Teorema di Gauss-Markov.
English
Probability spaces, elementary examples, first rules of computation, conditioning and independence. Conditional
probability. Continuity of probability measures and the Borel-Cantelli theorem. Introduction to random
variables. Discrete random variables. Distribution and density. Expected value, variance, moments, gene rating
function. Classical distributions and densities (binomial, hypergeometric, geometric, negative binomial, Poisson,
multinomial). Decomposition in elementary variables and conditioning. Markov's and Chebychev's
inequalities. First introduction to the central limit theorem: frequency and probability. Fist notions on general
random variables and on integrations with a probability measure. Independent variables. Conditioning,
continuous random variables. Joint density and marginals. Classical continuous distributions (uniform, Cauchy,
exponential and Poisson processes, normal, gamma, chi-square, Student). Weak law of large numbers:
Markov's theorem. Some notices on Kolmogorov result on strong law. Characteristic functions.
Discussion of the Lévy-Cramér theorem. Derivation of one of the simplest central limit theorem from
Lèvy-Cramér result.
Introduction to Statistics: random sampling with replacement. Construction of the sampling space and definition
of the random sample from a population. Statistics and sample moments. Mean and variance of the sample
moments. Sample mean and sample variance. Distribution of the sample moments. Point estimation, definition of
an estimator. Moments and maximum likelihood methods. Properties of the estimators: unbiasedness, mean
square error. Linear estimator and linear estimator with minimum variance. UMVU estimators. Cramer-Rao
Theorem. Asymptotic properties of the estimators: asymptotic unbiasedness, consistency. Sufficient estimators.
Factorization theorem and Blackwell-Rao Theorem. Interval estimation: definition of confidence interval.
Pivotal quantity method. Hypothesis testing: definition of statistical hypothesis, critical region, first and second
kind errors, power and level of significance of the test. Neyman-Pearson Lemma. Composite hypothesis and
genralized likelihood ratio. General linear model: analysis of variance, regression. Estimation in the general
linear models: Gaussian and uncorrelated cases. Gauss-Markov theorem.
.
TESTI
Negro A., Elementi di Calcolo delle Probabilità, Quaderni del Dipartimento di Matematica, n.33, Aprile 2005
Dall’Aglio G., Calcolo delle Probabilità Gnedenko B., Theory of Probability. Mir, Moscow, 1973 Galambos J.,
Introductory Probability Theory. Marcel Dekker, New York, 1984 Galambos J., Advanced Probability Theory.
Marcel Dekker, New York, 1984 A. M. Mood, F. A. Graybill, D. C. Boes, Introduzione alla statistica A. Di
Crescenzo, L. M. Ricciardi, Elementi di Statistica P. J. Doksum, K. A. Bickel, Mathematical Statistics
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=f3a0
Calcolo delle Probabilità e Statistica - a.a. 2008/09
Codice: MFN0008
Docente: Prof. Angelo Negro (Titolare del corso), Prof. Roberta Sirovich (Titolare del corso), Prof. Luigia
Anno: 2° anno
Crediti/Valenza: 12
102
OBIETTIVI
Il corso si propone di fornire agli studenti una buona comprensione degli elementi fondamentali della moderna
Teoria del calcolo delle probabilità e della Statistica matematica, attraverso una rigorosa definizione dei termni e
delle strutture principali, accompagnata dalla chiara discussione dei teoremi principali, per alcuni dei quali con
dimostrazioni complete e per altri con indicazione delle linee essenziali della dimostrazione. L’allievo dovrà
essere in grado di esporre, collegare e confrontare i principali concetti e risultati presentati nel corso, di
dimostrare i teoremi fondamentali del programma d’esame. Dovrà saper risolvere problemi coniugando le
conoscenze teoriche con il riconoscimento, la selezione o la costruzione di modelli, seguendo l’esempio fornito
dalle esercitazioni.
nozione di variabile aleatoria, distribuzione ed eventuale densità; conoscenza del ruolo delle loro principali
caratteristiche (media, varianza, momenti, funzioni generatrici). Saper utilizzare praticamente le distribuzioni
congiunte. Conoscenza degli schemi e delle distribuzioni classiche, nel discreto e nel continuo. Saper discutere la
Legge debole dei grandi numeri. Conoscere risultati di convergenza in distribuzione. Saper discutere e presentare
le linee essenziali della dimostrazione di un teorema del limite centrale. Saper utilizzare con disinvoltura le
principali regole del calcolo. Risolvere problemi che di norma richiedono un’interpretazione dell’enunciato e la
selezione o l’adattamento di modelli noti.
PROGRAMMA
definzione di campione casuale estratto da una popolazione. Statistiche e momenti campionari. Media e Varianza
dei momenti campionari. Caso particolare della media campionari. Legame tra la media campionaria e la media
della popolazione. varianza campionaria e sua media e varianza. Distribuzione dei momenti campionari. Stima
puntuale, definizione di stimatore. Metodi per la ricerca degli stimatori: metodo dei momenti e metodo della
massima verosimiglianza. Proprietà degli stimatori: correttezza, errore quadratico medio. Stimatori lineari e
stimatore lineare a varianza minima. Stimatori corretti a varianza minima (UMVU). Teorema di Cramer-Rao.
Proprietà asintotiche degli stimatori: correttezza asintotica, consistenza. Sufficienza. Teorema di fattorizzazione
e teorema di Blackwell-Rao. Stima intervallare: definizione di intervallo di confidenza. Metodo della quantità
pivotale per la ricerca degli IC. Test di ipotesi: definizione di ipotesi statistica, regione critica, errore di prima e
seconda specie, potenza del test e ampiezza del test. Lemma di Neyman-Pearson. Ipotesi composte e rapporto
generalizzato delle verosimiglianze. Modelli lineari generali. Stima nei modelli lineari generali: caso normale e
caso scorrelato. Teorema di gauss-Markov.
103
TESTI
Marcel Dekker, New York, 1984 P. J. Doksum, K. A. Bickel, Mathematical Statistics A. M. Mood, F. A.
Graybill, D. C. Boes, Introduzione alla statistica A. Di Crescenzo, L. M. Ricciardi, Elementi di Statistica
NOTA
L’esame consiste in una prova scritta nella quale verranno proposti sia quesiti teorici e richieste di dimostrazioni,
sia problemi da risolvere secondo gli schemi appresi nelle esercitazioni.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Lunedì
11:00 - 13:00
Mercoledì
11:00 - 13:00
Giovedì
11:00 - 13:00
Venerdì
9:00 - 11:00
Lezioni: dal 29/09/2008 al 09/01/2009
Nota: TUTORATO: lunedì dalle 14.00 alle 16.00 in aula 3, con recuperi l’11 dicembre 2008 e l’8 gennaio
2009 in Aula C
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=2be7
Calcolo delle Probabilità I - a.a. 2008/09
Anno: 2° anno
Crediti/Valenza: 7
PROGRAMMA
104
TESTI
Marcel Dekker, New York, 1984
NOTA
Il corso è mutuato dai primi 7 CFU di Calcolo delle Probabilità e Statistica
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Lunedì
11:00 - 13:00
Mercoledì
11:00 - 13:00
Giovedì
11:00 - 13:00
Venerdì
9:00 - 11:00
Lezioni: dal 29/09/2008 al 09/01/2009
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=8c2f
Calcolo delle Probabilità I - Non attivato nell’a.a. 2008/09
Codice: M8513
Docente: Prof. Angelo Negro (Titolare del corso), Prof. Roberta Sirovich (Esercitatore)
Anno: 2° anno
Crediti/Valenza: 7
OBIETTIVI
L’allievo dovrà essere in grado di esporre, collegare e confrontare i principali concetti e risultati presentati nel
corso, di giustificare in modo rigoroso alcune costruzioni e teoremi indicati del programma d’esame, e di saper
utilizzare con disinvoltura le principali regole di calcolo, risolvendo problemi che di norma richiedono
un’interpretazione ed una scelta preliminare del metodo e o dello schema da adottare.
nozione di variabile aleatoria; conoscenza del ruolo delle loro principali caratteristiche (media, varianza,
momenti, funzioni generatrici); variabili generali, discrete e continue. Distribuzioni e densità. Densità congiunte
Saper utilizzare praticamente le distribuzioni congiunte impostando correttamente somme o integrali iterati.
Conoscenza degli schemi e delle distribuzioni classiche, nel discreto e nel continuo. Discutere e dimostrare la
Legge debole dei grandi numeri Conoscere risultati di convergenza in distribuzione. Saper discutere e presentare
le linee essenziali della dimostrazione di un teorema del limite centrale. Saper utilizzare con disinvoltura le
principali regole di calcolo. Risolvere problemi che di norma richiedono un’interpretazione ed una scelta
preliminare del metodo e o dello schema da adottare.
PROGRAMMA
105
Pre-requisiti (in ingresso)Insegnamenti fornitoriLimiti, serie numeriche, calcolo differenziale ed integrale per
funzioni di una variabile realeAnalisi Matematica I, IIPrimi elementi sul calcolo degli integrali multipliAnalisi
Matematica III (da seguire in parallelo)Elementi di Teoria degli insiemiMatematica discretaNozioni di base di
Algebra lineare e Geometria EuclideaGeometria I e II
Definizioni precise di spazi di probabilità, regole elementari di calcolo, condizionamento ed indipendenza
Tutti i corsi di Probabilità e Statistica e molti corsi della LT e della LM
Chiara nozione di variabile aleatoria; conoscenza del ruolo delle loro principali caratteristiche (media, varianza,
momenti, funzioni generatrici); variabili generali, discrete e continue
Distribuzioni e densità. Densità congiunte
Saper utilizzare praticamente le distribuzioni congiunte impostando correttamente somme o integrali iterati
Conoscenza degli schemi e delle distribuzioni classiche, nel discreto e nel continuo
Discutere e dimostrare la Legge debole dei grandi numeri
Conoscere risultati di convergenza in distribuzione. Saper discutere e presentare le linee essenziali della
dimostrazione di un teorema del limite centrale
Saper utilizzare con disinvoltura le principali regole di calcolo
Risolvere problemi che di norma richiedono un'interpretazione ed una scelta preliminare del metodo e o
dello schema da adottare
Argomento
Ore
Lezione
Ore
Esercitazione
Probabilità condizionate
5
106
6
11
Prime nozioni sulle variabili aleatorie. Variabili discrete. Distribuzione e densità. Media, varianza, momenti,
funzione generatrice
3
3
6
Poisson, multinomiale). Scomposizione in variabili elementari e condizionamenti.
7
8
15
Disuguaglianze di Markov e di Chebychev. Prima introduzione al teorema del limite centrale: frequenza e
probabilità
2
2
4
Cenni sulle variabili aleatorie generali e sull'integrazione rispetto ad una misura di probabilità. Variabili
indipendenti. Condizionamento
3
3
Variabili aleatorie continue. Densità, densità congiunta e densità marginali. Distribuzioni congiunte tramite
condizionamento
2
4
6
Distribuzioni continue classiche (Uniforme, di Cauchy, esponenziale e processi di Poisson, normale, gamma,
chi-quadro, di Student)
7
2
9
107
Legge debole dei grandi numeri: teorema di Markov. Cenni alla legge forte al teorema di Kolmogorov
3
3
Funzioni caratteristiche. Presentazione del teorema di Lévy-Cramér
2
2
4
Deduzione del più semplice teorema del limite centrale dal risultato di Lévy-Cramér
2
2
Totale
36
27
63
Esperimenti casuali, eventi, spazi e misure di probabilità. Variabili aleatorie. Regole elementari di calcolo delle
probabilità, probabilità condizionata, indipendenza. Media e varianza. Densità e distribuzioni discrete;
distribuzioni continue. Distribuzioni classiche. Funzione generatrice dei momenti e funzione caratteristica.
Distribuzioni congiunte. Covarianza e correlazione. Leggi deboli dei grandi numeri. Convergenza in probabilità,
quasi certa e in legge. Teorema del limite centrale.
Programma d’esame dettagliato: v. Materiale didattico
TESTI
A. NEGRO, Elementi di Calcolo delle Probabilità, Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica
dell’Università di Torino n. 33, aprile 2005 La bibliografia di riferimento è presentata alla fine del quaderno
NOTA
L’esame si svolge, di norma, come segue: esame scritto, con diversi temi e problemi tra i quali scegliere, con un
numero minimo di quesiti da trattare. Alcune domande vertono su questioni teoriche e richiedono giustificazioni
rigorose e dimostrazioni precise, altre domande riguardano la soluzione di problemi analoghi a quelli visti
durante il corso. Segue, dopo pochi giorni l’orale, un breve colloquio per confermare od eventualmente
modificare la votazione riportata nello scritto. NOVITA’ PER L’APPELLO DI NOVEMBRE ED APRILE
ORARIO LEZIONI
108
Giorni
Ore
Aula
Lunedì
10:00 - 11:00
Giovedì
11:00 - 13:00
Venerdì
9:00 - 11:00
Lezioni: dal 01/10/2007 al 18/01/2008
Nota: TUTORATO: mercoledì dalle 14.00 alle 16.00.
Calcolo delle Probabilità II (DM 509)
Codice: MFN0142
Docente: Prof. Laura Sacerdote (Titolare del corso)
Tipologia: D.M. 509
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 5
OBIETTIVI
Il corso si propone di sviluppare negli studenti le capacità necessarie per formulare modelli probabilistici di
situazioni di interesse applicativo. Lo studio di processi stocastici e delle relative proprietà verrà finalizzata alla
formulazione di modelli relativi a situazioni reali. Tra gli obiettivi del corso vi è lo sviluppo delle capacità
necessarie per la formulazione e lo studio di semplici modelli probabilistici.
Conoscenza delle principali metodologie utili per lo studio di alcune classi di processi stocastici a tempo e spazio
discreti. Capacità di utilizzare le proprietà del Processo di Poisson in ambito modellistica. Sviluppo delle abilità
necessarie per la formulazione di modelli stocastici di interesse per le applicazioni.
PROGRAMMA
Italiano
Variabili aleatorie multivariate. Probabilità condizionate e valori attesi condizionati con applicazioni (tempo
medio per il riapparire di un pattern).
Catene di Markov: equazione di Chapman Kolmogorov; classificazione degli stati, probabilità limite;
applicazioni: cammino casuale, rovina di un giocatore.
Distribuzione esponenziale e processo di Poisson: principali proprietà ed esempi di applicazioni: problemi di
code, di affidabilità. Processo di Poisson composto .
Catene di Markov a tempo continuo: processi di nascita e morte.
Moto Browniano e processi stazionari: distribuzione del massimo, tempo di prima uscita. Moto Browniano
geometrico. Applicazioni in ambito finanziario: prezzo delle opzioni e modello di Black and Scholes.
English
Jointly distributed random variables; conditional probability and conditional expectation; examples (mean time
for patterns)
109
Markov chains; Chapman Kolmogorov equation; classification of states; limiting probabilities; examples
(random walk, gambler's ruin).
The exponential distribution and the Poisson process; examples (queue problems; reliability problems);
compound Poisson process.
Continuos-time Markov chains: birth and dead processes.
Brownian motion and stationary stochastic processes; maximum variable; geometric Brownian motion; example:
Black and Scholes option pricing formula.
.
TESTI
Ross S.M. Introduction to probability models. Academic Press, 2003.
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=94ba
Calcolo delle Probabilità II - a.a. 2008/09
Codice: MFN0142
Docente: Prof. Laura Sacerdote (Titolare del corso), Prof. Cristina Zucca (Titolare del corso)
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 5
OBIETTIVI
Il corso si propone di sviluppare negli studenti le capacità necessarie per formulare modelli probabilistici di
situazioni di interesse applicativo. Lo studio di processi stocastici e delle relative proprietà verrà finalizzata alla
formulazione di modelli relativi a situazioni reali. In particolare verranno studiati modelli Markoviani a tempo e
spazio sia discreti sia continui e verranno sottolineate le applicazioni finanziarie di tali modelli.
L’allievo arriverà a formulare semplici modelli stocastici a tempo e spazio discreti e continui e dovrà essere in
grado di svolgere esercizi relativi alle prime proprietà dei processi stocastici. In particolare dovrà essere in grado
di identificare i vari modelli attraverso le relative proprietà.
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso)Insegnamenti fornitoriConoscenze di base di calcolo delle probabilitàCalcolo delle
Probabilità IConoscenze di base di analisiAnalisi Matematica I, II, IIIElementi di algebra lineare e calcolo
matricialeGeometria I
110
Formulazione e analisi di semplici modelli utilizzando: Catene di Markov, Processo di Poisson, moto Browniano
LT: Statistica II e possibili stages finali
L M: Istituzioni di Calcolo delle Probabilità, Processi Stocastici, Metodi Statistici per lo studio di Serie
Temporali
Argomento
Ore
Lezione
Ore
Esercitazione
Richiami di calcolo delle probabilità
3
3
Variabili aleatorie multivariate. Probabilità condizionate e valori attesi condizionati con applicazioni
5
2
7
Catene di Markov: equazione di Chapman Kolmogorov; classificazione degli stati, probabilità limite.
Applicazioni: cammino casuale, rovina di un giocatore
9
4
13
code, di affidabilità. Processo di Poisson composto
5
3
8
Catene di Markov a tempo continuo: processi di nascita e morte
111
4
2
6
Moto Browniano e processi stazionari. Moto Browniano geometrico. Applicazioni in ambito finanziario: prezzo
delle opzioni e modello di Black and Scholes. Processi Gaussiani
4
4
8
Totale
30
15
45
Variabili aleatorie multivariate. Probabilità condizionate e valori attesi condizionati con applicazioni (tempo
medio per il riapparire di un pattern).
Catene di Markov: equazione di Chapman Kolmogorov; classificazione degli stati, probabilità limite;
applicazioni: cammino casuale, rovina di un giocatore.
code, di affidabilità. Processo di Poisson composto .
Catene di Markov a tempo continuo: processi di nascita e morte.
Moto Browniano e processi stazionari: distribuzione del massimo, tempo di prima uscita. Moto Browniano
geometrico. Applicazioni in ambito finanziario: prezzo delle opzioni e modello di Black and Scholes.
TESTI
S. M. ROSS, Introduction to Probability Models, Academic Press (2003) (VIII edition)
NOTA
Modalità esame: l’esame è orale e la prima domanda richiede la soluzione di un esercizio.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Martedì
8:00 - 10:00
Giovedì
10:00 - 12:00
Venerdì
10:00 - 12:00
Lezioni: dal 29/09/2008 al 09/01/2009
112
Calcolo delle Probabilità II Complementi - a.a. 2008/09
Codice: MFN0143
Docente: Prof. Laura Sacerdote (Titolare del corso)
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 2
OBIETTIVI
Introdurre i metodi tipo Monte Carlo o simulativi, fornendo allo studente metodologie utili a studiare modelli
probabilistici nei casi in cui non siano disponibili tecniche di tipo analitico o per affiancarle nello studio di
alcune problematiche.
Conoscenza di metodi utili per affrontare numericamente problematiche molto complesse in casi in cui le
metodologie analitiche o numeriche risultino insufficienti.
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso)Insegnamenti fornitoriConoscenza delle variabili aleatorie univariate delle relative
caratterizzazioniCalcolo delle Probabilità IConoscenza delle variabili aleatorie multivariate delle relative
caratterizzazioniCalcolo delle Probabilità IIElementi di calcolo differenziale e integraleAnalisi Matematica I, II,
IIIElementi di Calcolo NumericoAnalisi Numerica I, II
Capacità di simulare variabili aleatorie con distribuzione assegnata
Corsi in ambito probabilistico-statistico nella LM
Padronanza di metodi tipo Monte Carlo per il calcolo di integrali e per la simulazione di semplici problemi di
modellistica
Stage o tesi finale della LT
Conoscenza delle proprietà di convergenza di alcuni metodi simulativi
Argomento
Ore
113
Lezione
Ore
Esercitazione
Metodi tipo Monte Carlo: calcolo di valori attesi e di integrali
2
1
3
Errore e precisione di metodi tipo Monte Carlo
1
1
2
Metodi per la generazione di v.a. univariate con distribuzione assegnata e catene di Markov
4
1
6
Funzione caratteristica e Variabili aleatorie Gaussiane
2
2
4
Copule, relative proprietà e simulazioni con copule
4
3
Totale
13
5
18
114
Metodi tipo Monte Carlo: calcolo di valori attesi e di integrali.
Errore e precisione di metodi tipo Monte Carlo.
Metodi per la generazione di v.a. univariate con distribuzione assegnata.
Funzione caratteristica e Variabili aleatorie Gaussiane.
Simulazione di catene di Markov.
Introduzione del concetto di copula, particolari famiglie di copule e relative proprietà.
Simulazione di variabili multivariate utilizzando copule.
TESTI
S. M. ROSS, Introduction to Probability Models, Academic Press (2003) (VIII edition) Articoli recenti per le
problematiche relative alle copule Infine sono di seguito indicati siti internet di interesse:
http://www.math.grin.edu/~rebelsky/Tutorials/JavaScript/EdMedia97/rand.html
http://www.stat.berkeley.edu/~stark/SticiGui/Text/toc.htm
http://people.revoledu.com/kardi/tutorial/Simulation/index.html
NOTA
Per impegni non derogabili la lezione del 9/12/08 non verra’ svolta in aula. Nel materiale didattico trovate una
proposta di esercizi da svolgere nelle due ore della lezione, col supporto di un computer. ATTENZIONE: il
corso iniziera’ il 28 novembre 2008. Modalità d’esame: l’esame è orale e può essere sostenuto nella stessa data
di CP2 o in momenti distinti. Il corso sarà mutuato con una parte del corso di processi stocastici per studenti
della laurea specialistica in Scienze attuariali.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Nota: Le lezioni iniziano al termine del corso Calcolo delle Probabilità II negli stessi orari.
Il corso è mutuato anche per gli studenti della laurea specialistica in Scienze Attuariali.
Calcolo Scientifico - Non attivato nell’a.a. 2008/09
Codice: S8499
Docente:
Recapito: []
Crediti/Valenza: 7
Complementi di Matematica 1 (DM 509)
Codice: MFN0144
Docente: Prof. Ferdinando Arzarello (Titolare del corso)
Recapito: 0116702892/2821 [[email protected]]
115
Tipologia: D.M. 509
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 3
SSD: MAT/04 - matematiche complementari
OBIETTIVI
Conoscere un sistema assiomatico per la geometria iperbolica piana. Conoscere i fondamentali teoremi di
geometria iperbolica piana e confrontarli con quelli dalla geometria euclidea. Conoscere il disco di Klein e
quello di Poincaré. Conoscere le differenze fra la definizione di area in geometria elementare e in geometria
iperbolica.
Conoscere le basi della geometria iperbolica.
PROGRAMMA
Italiano
L'assioma della parellele e la sua negazione
I teoremi di base della geometria iperbolica piana
Il disco di Poincaré
Il disco di Klein
Teoremi di Bolyai e formula di Bolyai-Lobachevsky
Calcolo dell'area in Geometria iperbolica
English
The parallel axiom and its negation
The main theorems of Hyperbolic plane geometry
Poincaré disk
Klein disk
Formula of Bolyai-Lobachevsky
The area in Hyperbolic plane geometry
.
TESTI
Il materiale didattico presentato a lezione sarà disponibile, in forma cartacea, presso il Centro Stampa del
Dipartimento di Matematica e nel sito Moodle del corso Il testo base per il corso è: M.J. Greenberg (1994)
Euclidean and non-Euclidean Geometries, 3rd ed., New York (USA): W.H. Freeman and Company.
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=5eb4
116
Complementi di Matematica 1 - a.a. 2008/09
Codice: MFN0144
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 3
OBIETTIVI
Conoscere l’assiomatica di Hilbert per la geometria iperbolica piana. Conoscere alcuni teoremi di geometria
iperbolica piana che la distinguono dalla euclidea. Conoscere il disco di Klein e quello di Poincaré.
Conoscere le basi della geometria iperbolica Sapere risolvere elementari problemi di geometria iperbolica
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso) Insegnamenti fornitori
Conoscenze elementari di geometria
Geometria I, IPM
Conoscere le basi della geometria iperbolica
Istituz. Matematiche Complementari
Sapere risolvere elementari problemi di geometria iperbolica
Istituz. Matematiche Complementari
Argomento
OreLez.
Ore Laboratorio
117
Assiomi di Hilbert per le geometrie piane
6
6
Teoremi della geometria neutrale
3
3
I teoremi di base della geometria iperbolica piana
6
6
Il disco di Poincaré
3
3
6
Il disco di Klein
2
1
3
Totale
20
4
24
118
TESTI
Dipartimento di Matematica e sul sito del corso http://math.i-learn.unito.it/course/view.php?id=10 Il testo base
per il corso è: M.J. Greenberg, Euclidean and non-Euclidean Geometries
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Martedì
14:00 - 16:00
Mercoledì
14:00 - 16:00
Lezioni: dal 02/03/2009 al 21/04/2009
Nota: Il corso termina il 21/04/2009.
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=b1eb
Complementi di Matematica 2 (DM 509)
Codice: MFN0044 / 8116S
Docente: Prof. Livia Giacardi (Titolare del corso)
Tipologia: D.M. 509
Anno: 2° anno
Crediti/Valenza: 3
OBIETTIVI
L’allievo deve essere in grado di - padroneggiare dal punto di vista teorico gli argomenti di teoria delle frazioni
continue affrontati nel corso - usare le conoscenze acquisite per risolvere esercizi e problemi - conoscere
l’evoluzione storica dei principali concetti e metodi presentati
Conoscenza della teoria delle frazioni continue nei suoi aspetti e storici e delle possibili applicazioni didattiche
PROGRAMMA
Italiano
Nel corso si presentano gli aspetti teorici e storici della teoria delle frazioni continue mostrando le connessioni
con altri rami della matematica e i possibili usi nella scuola secondaria.
- Introduzione storica: da Archimede a Bhaskara (XII sec.), a Cataldi (1613). Alcuni contributi di Leonhard
Euler e di Joseph Louis Lagrange.
- La teoria delle frazioni continue, applicazioni (equazioni diofantee, approssimazione diofantea, …) e aspetti
didattici.
English
This course will present theoretical and historical aspects of the theory of continued fractions showing the
connections with other branches of mathematics and possible uses in secondary schools.
119
- Historical introduction: from Archimedes to Bhaskara (XII sec.), to Cataldi (1613). Some of the contributions
by Leonhard Euler and Joseph Louis Lagrange.
- The theory of continued fractions, applications (Diophantine equations, Diophantine approximation, …), and
didactic aspects.
.
TESTI
H. DAVENPORT, Aritmetica superiore. Un’introduzione alla teoria dei numeri, Bologna, Zanichelli, 1994 C.D.
OLDS, Frazioni continue, Bologna, Zanichelli, 1963 K. ROSEN, Elementary Number Theory and its
Applications, Addison-Wesley, 1993 C. BREZINSKI, History of Continued Fractions and Padé Approximants,
Springer-Verlag, 1991. Verranno messi a disposizione degli studenti articoli su argomenti specifici del corso,
parti scelte dei testi originali dei vari autori considerati.
Complementi di Matematica 2 - a.a. 2008/09
Crediti/Valenza: 3
Avvalenza: Cod. MFN0044 ambito B
OBIETTIVI
- Presentare gli aspetti teorici della teoria delle frazioni continue con attenzione agli aspetti storici - Mostrare le
connessioni con altri rami della matematica e i possibili usi nella scuola secondaria
L’allievo deve essere in grado di - padroneggiare dal punto di vista teorico gli argomenti affrontati nel corso usare le conoscenze acquisite per risolvere esercizi e problemi
PROGRAMMA
Pre-requisiti in ingresso e competenze minime in uscitaPre-requisiti
fornitoriConoscenze di base di algebra e di analisiAlgebra 1 Analisi 1
(in
ingresso)Insegnamenti
Conoscenza degli aspetti teorici della teoria delle frazioni continue e il loro inquadramento storico i
Storia delle matematiche
Didattica della matematica
Fondamenti delle matematiche
120
Argomento
Ore
Lez.
Ore
Esercit.
Ore
Seminario
Le origini : Euclide e l’algoritmo per la ricerca del MCD di due numeri ; Archimede e il problema dei buoi;
Aryabhata e le equazioni diofantee lineari; Bhaskara II e il metodo ciclico per risolvere equazioni del
tipo x^2=Ny^2 +1 ; Bombelli e l'estrazione di radici quadrate; Cataldi e le frazioni continue; Fermat e
l'equazione di Pell; alcuni contributi di Euler e di Lagrange.
4
1
5
Introduzione alle frazioni continue. L'algoritmo di Euclide e le frazioni continue sviluppo di razionali.
Ridotte e loro proprietà. Equazioni diofantee lineari e frazioni continue. Sviluppo in frazioni continue di
irrazionali quadratici. Ridotte di una frazione continua illimitata. Interpretazione geometrica delle frazioni
continue. L’equazione x^2=ax+1 ,digressioni sulla sezione aurea. Frazioni continue periodiche pure. Teoremi.
Irrazionali quadratici ridotti. Rappresentazione grafica del carattere periodico dei quozienti completi. Il teorema
di Lagrange. La frazione continua sviluppo di radice di N (N >0, non quadrato perfetto). L'equazione di
Pell, Teorema di Legendre sull'equazione x^2-Ny^2=-1. Come ottenere le altre soluzioni
dell'equazione di Pell a partire da quella minima. Alcuni teoremi relativi all'approssimazione
diofantea. Il teorema di Hurwitz
12
4
3
19
TOTALE
16
4
121
4
24
TESTI
I testi base: C.D. OLDS, Frazioni continue, Bologna, Zanichelli, 1963 K. ROSEN, Elementary Number Theory
and its Applications, Addison-Wesley, 1993 C. BREZINSKI, History of Continued Fractions and Padé
Approximants, Springer-Verlag, 1991 Siti internet di interesse: http://www.numbertheory.org/ntw/
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Indexes/Number_Theory.html
NOTA
L’esame si svolge, di norma, come segue: Seminario tenuto dallo studente su temi complementari alle lezioni
scelti in accordo col docente Prova orale in cui si mira a valutare le competenze teoriche sulla materia del corso,
quelle storiche e la capacità di applicarle a esercizi o problemi. I materiali didattici sono disponibili sul sito del
Corso di Matematiche Elementari dal Punto di Vista Superiore.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Lunedì
11:00 - 13:00
Martedì
9:00 - 11:00
Giovedì
10:00 - 11:00
Lezioni: dal 02/03/2009 al 05/06/2009
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=f4d4
Comportamento Animale e dell’Uomo - Non attivato nell’a.a. 2008/09
Codice: S8853
Docente:
Recapito: []
Tipologia: Affine o integrativo
Crediti/Valenza: 7
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=b222
Convessità e Programmazione Lineare - Non attivato nell’a.a.
2008/09
Codice: M8575
Docente:
Recapito: []
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 5
SSD: MAT/03 - geometria
122
OBIETTIVI
Lo studente deve comprendere i fondamenti teorici della programmazione lineare specialmente nei suoi
collegamenti con la geometria convessa. Deve poi impadronirsi della tecnica necessaria a risolvere i problemi di
programmazione lineare con il metodo del simplesso.
PROGRAMMA
Definizione di insieme convesso. Combinazioni lineari convesse. Inviluppo convesso. Studio dei compatti
convessi e teorema di Krein - Milman. Punti estremi di un convesso.
Introduzione alla programmazione lineare. Soluzioni di base di un problema di programmazione lineare. Il
metodo del simplesso: esempi, giustificazione teorica e convergenza del metodo. Come porre un problema di
programmazione lineare in forma canonica. Il problema duale.
TESTI
P.M. GANDINI e A. ZUCCO, Convessità e programmazione lineare, Quaderni Didattici del Dipartimento di
Matematica dell’Università di Torino n. 6, giugno 2001
Convessità e Programmazione Lineare Complementi - Non attivato
nell’a.a. 2008/09
Codice: M8576
Docente:
Recapito: []
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 2
OBIETTIVI
Lo studente,oltre ad approfondire alcuni temi trattati nel corso di base, deve conoscere la teoria della dualità e la
programmazione intera.
PROGRAMMA
Approfondimento degli argomenti del corso di Convessità e Programmazione lineare con particolare riguardo
alla convergenza del metodo del simplesso ed alla teoria della dualità e alla programmazione intera.
TESTI
Per la prima parte: P.M. GANDINI e A. ZUCCO, Convessità e programmazione lineare, Quaderni Didattici del
Dipartimento di Matematica dell’Università di Torino n. 6, giugno 2001
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=693e
Cristallografia (DM 509)
Codice: MFN0045
Docente: Dott. Mauro Prencipe (Titolare del corso)
Tipologia: D.M. 509
Anno: 2° anno
Crediti/Valenza: 5
SSD: GEO/06 - mineralogia
123
OBIETTIVI
Il corso è di tipo applicativo ed è volto a illustrare l’utilizzo di alcuni strumenti di base, appresi dagli studenti
durante l’intero corso di studi in Matematica, al caso della cristallografia geometrica e strutturale. Prendendo
spunto da questioni di carattere cristallografico, gli studenti dovranno essere in grado di impostare e risolvere
problemi concreti, utilizzando gli opportuni strumenti formali in loro possesso.
Formulazione corretta di problemi di carattere applicativo in ambito cristallografico.
PROGRAMMA
Italiano
Introduzione e motivazioni al corso. Dai cristalli reali ai reticoli di punti; periodicità e definizione operativa di
reticolo. Metrica dei reticoli. Spazio e reticolo reciproco; piani reticolari e loro rappresentazione in termini di
reticolo reciproco. Simmetrie di insiemi di punti; simmetrie di reticolo; gruppi di simmetria reticolare e loro uso
nella classificazione dei reticoli. Simmetrie reciproche. Simmetrie spaziali. Gruppi spaziali per strutture bi e
tridimensionali.
english
Introduction: scope and aim of the course. From the crystal structures to the lattices of points; periodicity and
definitions of lattices. Lattice metric. Reciprocal space and lattices; reticular planes and their representation in
terms of reciprocal lattice. Symmetries of set of points; lattices' symmetries; lattices' symmetries
groups and their use in the classification of crystal lattices. Symmetries in the reciprocal space. Space
symmetries; space groups of bi- and three-dimensional structures.
.
TESTI
In aggiunta a dispense fornite dal docente si raccomanda: GIACOVAZZO C. (2002): Fundamentals of
Crystallography. Oxford University Press.
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=99ae
Cristallografia - a.a. 2008/09
Crediti/Valenza: 5
Avvalenza: Cod. MFN0045 ambito C
OBIETTIVI
Il corso è di tipo applicativo ed è volto a illustrare l’utilizzo di alcuni strumenti di base, appresi dagli studenti
durante l’intero corso di studi in Matematica, al caso della cristallografia geometrica e strutturale.
Prendendo spunto da questioni di carattere cristallografico, gli studenti dovranno essere in grado di impostare e
risolvere problemi concreti, utilizzando gli opportuni strumenti formali in loro possesso.
124
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso)Insegnamenti fornitoriFondamenti di GeometriaGeometria I, IIFondamenti di
AlgebraAlgebra I
Formulazione corretta di problemi di carattere applicativo in ambito cristallografico
Tesi di Laurea
Argomento
Ore
Lezione
Introduzione e motivazioni al corso. Dai cristalli reali ai reticoli di punti; periodicità e definizione operativa di
reticolo.
6
6
Metrica dei reticoli. Spazio e reticolo reciproco; piani reticolari e loro rappresentazione in termini di reticolo
reciproco.
10
10
Simmetrie di insiemi di punti; simmetrie di reticolo; gruppi di simmetria reticolare e loro uso nella
classificazione dei reticoli. Simmetrie reciproche.
14
14
Simmetrie spaziali. Gruppi spaziali per strutture bi e tridimensionali
10
10
Totale
125
40
40
Il corso è dedicato ai fondamenti della cristallografia geometrica, con particolare riguardo alla definizione e
all'uso degli opportuni strumenti matematici per la costruzione di reticoli e per la definizione, e successiva
analisi, della simmetria reticolare (gruppi puntuali e gruppi spaziali).
TESTI
In aggiunta a dispense fornite dal docente si raccomanda: GIACOVAZZO C. (2002): Fundamentals of
Crystallography. Oxford University Press.
NOTA
L’esame prevede un colloquio orale.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Lunedì
16:00 - 18:00
Martedì
16:00 - 19:00
Lezioni: dal 02/03/2009 al 05/06/2009
Cristallografia Complementi (DM 509)
Codice: MFN0043
Tipologia: D.M. 509
Anno: 2° anno
Crediti/Valenza: 2
OBIETTIVI
Sviluppo e utilizzo di metodi e strumenti matematici in applicazioni di carattere fisico, con particolare
riferimento alla teoria della diffrazione e suo utilizzo nella risoluzione delle strutture cristalline.
Formulazione corretta di problemi di carattere applicativo in ambito cristallografico.
PROGRAMMA
Italiano
Teoria della diffrazione (I): geometria. Equazioni di Laue e di Bragg. Teoria della diffrazione (II): intensità
diffratte. Trasformata di Fourier della densità elettronica di un cristallo e sua connessione con la teoria della
diffrazione. Applicazione della teoria della diffrazione alla risoluzione di strutture cristalline
English
126
Theory of diffraction (I): geometry. Laue and Bragg Equations. Theory of diffraction (II): Intensities of
diffraction. Fourier transform of the electron density function of a crystal, and its connection to the theory of
diffraction. Application of the theory to the resolution of crystal structures.
.
TESTI
dispense fornite dal docente.
Cristallografia complementi - a.a. 2008/09
Crediti/Valenza: 2
Avvalenza: Cod. MFN0043 ambito C
OBIETTIVI
Sviluppo e utilizzo di metodi e strumenti matematici in applicazioni di carattere fisico, con particolare
riferimento alla teoria della diffrazione e suo utilizzo nella risoluzione delle strutture cristalline.
Capacità di tradurre un problema di ordine fisico in un modello matematico, e sua successiva elaborazione.
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso) Insegnamenti fornitori Fondamenti di Geometria Geometria I, II Fondamenti di
Algebra Algebra I
Elementi di Cristallografia
Cristallografia
Formulazione corretta di problemi di carattere applicativo in ambito cristallografico
Tesi di Laurea
127
Argomento
Ore
Lezione
Teoria della diffrazione (I): geometria. Equazioni di Laue e di Bragg
4
4
Teoria della diffrazione (II): intensità diffratte. Trasformata di Fourier della densità elettronica di un cristallo e
sua connessione con la teoria della diffrazione.
8
8
Applicazione della teoria della diffrazione alla risoluzione di strutture cristalline
4
4
Totale
16
16
TESTI
Dispense fornite dal docente
ORARIO LEZIONI
128
Giorni
Ore
Aula
Lunedì
16:00 - 18:00
Martedì
16:00 - 19:00
Lezioni: dal 02/03/2009 al 05/06/2009
Nota: Lelezioni cominceranno alla fine del corso di Cristallografia.
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=def7
Crittografia e Codici Correttori (DM 509)
Codice: MFN0145
Tipologia: D.M. 509
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 5
OBIETTIVI
Tra le infinite applicazioni della Matematica moderna, sono particolarmente importanti, sia per l’impatto che
hanno nella vita di ogni giorno sia per la profondità e la novità dei risultati teorici, la Crittografia e la Teoria dei
Codici Correttori di Errore. La finalità del corso è duplice: 1) Mostrare che la Matematica è in grado di offrire
metodi e algoritmi che permettono di trasmettere su canali insicuri informazioni risevate, in modo tale che: - solo
gli utenti abilitati possano accedere ad esse - sia certa l’identità del mittente (firma elettronica) - il contenuto del
messaggio non possa essere alterato da nessuno. 2) Studiare alcune tecniche di base per correggere gli errori
dovuti alla trasmissione di un messaggio su un canale disturbato. Vale la pena di osservare che, mentre tutti
ormai sono al corrente dell’esistenza della crittografia, e ne riconoscono facilmente la necessità (evidente quando
comunicano, per esempio, con una banca), pochi conoscono i codici correttori, dei quali si parla poco. In realtà
essi sono indispensabili ad ogni forma di comunicazione digitale. Senza di essi non si potrebbe nemmeno
ascoltare un CD, non parliamo di vedere le foto di Marte! Lo studente, al termine del corso, è in grado di
comprendere meglio il funzionamento effettivo delle comunicazioni digitali. Matematicamente ha imparato la
differenza tra il vedere se un numero è primo e il fattorizzarlo (differenza attualmente abissale). Possiede alcuni
strumenti fondamentali della teoria dei numeri, come la Legge di Reciprocità Quadratica. Ha esperienza effettiva
dei campi finiti e di certi importantissimi quozienti dell’anello dei polinomi. Conosce protocolli crittografici
recenti e efficaci codici di correzione di errori.
Metodi di fattorizzazione, test di primalità, campi finiti, teoria elementare dei numeri, crittografia e protocolli
crittografici, fondamenti della teoria dei codici correttori con esempi efficaci.
PROGRAMMA
Italiano
Parte prima: i fondamenti della Crittografia
Storia breve della crittografia.
129
Cifrari monoalfabetici. Crittoanalisi statistica dei cifrari monoalfabetici.
Cifrari polialfabetici.
Crittoanalisi statistica dei cifrari polialfabetici. Teorema di Friedman.
Macchine a rotori (Enigma).
Codici perfetti (Vernam).
Realizzazione dei codici perfetti. Cenni sui generatori di numeri pseudocasuali.
Il problema dello scambio delle chiavi. Doppio lucchetto e sue debolezze.
La crittografia a chiave pubblica e i suoi vantaggi.
Parte seconda: i metodi matematici
Simbolo di Legendre e legge di reciprocità quadratica.
Simbolo di Jacobi.
Successioni ricorrenti lineari di secondo grado e loro proprietà di divisibilità.
Soluzione delle equazioni di secondo grado modulo p e modulo pq.
Problemi difficili: logaritmo discreto, estrazione di radice, residuosità quadratica.
Criteri di primalità (Lucas, Pocklington, Soloway - Strassen).
Pseudoprimi (Fermat, Eulero, Miller).
Fattorizzazione: metodi p-1, p+1, Pollard, Dixon.
Parte terza: i protocolli crittografici
Diffie - Hellman.
RSA.
ElGamal.
Shamir e altri.
Autenticazione e firma digitale.
Firma cieca.
Secret splitting e secret sharing.
130
Cena dei crittografi.
Lancio della moneta digitale.
Poker mentale e giochi in rete.
Autenticazione e dimostrazioni a conoscenza nulla.
Denaro digitale.
Voto digitale.
Parte quarta: i codici correttori, le basi della teoria
Generalità, distanza di Hamming, sfere e loro volume, quantità di informazione e efficienza.
Limite di Hamming.
(n,k)-codici e posti di informazione. Limite di Singleton.
Codici lineari e loro vantaggi.
Matrice di controllo, teorema di Hamming.
I codici di Hamming.
Metodo di decodifica per i codici lineari (metodo della sindrome).
Cenni sui codici che provengono dai piani proiettivi.
Algebra R(n,q) e codici ciclici.
Divisori e zeri dei codici. Polinomio generatore.
Codici BCH con distanza minima garantita.
Parte quinta: approfondimenti sui codici correttori
Laterali e classi ciclotomiche.
La struttura dell’algebra R(n,q), idempotenti e ideali.
Decomposizione interna ed esterna di R(n,q).
Codici di Reed - Solomon.
Codici estesi, proiezione dei codici.
Correzione delle raffiche di errore e codici utilizzati nei CD.
131
Congiunzione di codici.
Codici di Reed - Muller.
Codici quadratici.
English
Brief history of Cryptography. Mono and polyalphabetic codes.
Statistical analysis. Friedman's theorem.
Rotor machines and perfect codes.
Introduction to PRNG (Pseudo Random Numbers Generators).
Key exchange and public key cryptography.
Legendre and Jacobi symbols. The quadratic reciprocity law.
Recurrent linear sequences of second order, and their divisibility properties.
Second order equations Mod p and Mod pq.
Primality testing and pseudoprimes.
Factorization.
Cryptographic protocols.
Digital cash. Electronic voting.
The essentials of ECC (Error Correcting Codes).
Hamming and Singleton limits.
Perfect and optimal codes.
Linear and cyclic codes.
BCH codes.
Reed-Solomon and Reed-Muller codes.
Quadratic codes.
.
TESTI
A. Languasco A. Zaccagnini, Introduzione alla crittografia , Hoepli L. Berardi, Algebra e teoria dei codici
correttori , FrancoAngeli D. R. Hankerson ... [et al.] , Coding theory and cryptography : the essentials, Marcel
Dekker A. J. Menezes - P. C. van Oorschot - S. A. Vanstone , Handbook of Applied Cryptography, CRC Press
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=fd11
132
Crittografia e Codici Correttori - a.a. 2008/09
Codice: MFN0145
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 5
OBIETTIVI
Tra le infinite applicazioni della Matematica moderna, sono particolarmente importanti, sia per l’impatto che
hanno nella vita di ogni giorno sia per la profondità e la novità dei risultati teorici, la Crittografia e la Teoria dei
Codici Correttori di Errore. Gli obiettivi del corso sono due: 1) Mostrare che la Matematica è in grado di offrire
metodi e algoritmi che permettono di trasmettere su canali insicuri informazioni riservate, in modo tale che: solo gli utenti abilitati possano accedere ad esse - sia certa l’identità del mittente (firma elettronica) - il contenuto
del messaggio non possa essere alterato da nessuno. 2) Studiare alcune tecniche di base per correggere gli errori
dovuti alla trasmissione di un messaggio su un canale disturbato. Vale la pena di osservare che, mentre tutti
ormai sono al corrente dell’esistenza della crittografia, e ne riconoscono facilmente la necessità (evidente quando
comunicano, per esempio, con una banca), pochi conoscono i codici correttori, dei quali si parla poco. In realtà
essi sono indispensabili ad ogni forma di comunicazione digitale. Senza di essi non si potrebbe nemmeno
ascoltare un CD, non parliamo di vedere le foto di Marte!
Lo studente, al termine del corso, è in grado di comprendere meglio il funzionamento effettivo delle
comunicazioni digitali. Matematicamente ha imparato la differenza tra il vedere se un numero è primo e il
fattorizzarlo (differenza attualmente abissale). Possiede alcuni strumenti fondamentali della teoria dei numeri,
come la Legge di Reciprocità Quadratica. Ha esperienza dei campi finiti e di certi importantissimi quozienti
dell’anello dei polinomi.
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso)Insegnamenti fornitoriAlgebraAlgebra I e IIMatematica DiscretaMatematica Discreta
Metodi di fattorizzazione, test di primalità, campi finiti, teoria elementare dei numeri, fondamenti della teoria dei
codici correttori
Algebra Computazionale, Algoritmi per l'Algebra e la Geometria
5. Metodologia didattica
La metodologia didattica impiegata consiste in:
Lezioni frontali 45 ore
133
6. Programma, articolazione e carico didattico
Argomento
Ore
Lezione
Crittografia classica e crittografia a chiave pubblica
6
6
Teoria elementare dei numeri e campi finiti
12
12
Test di primalità e fattorizzazione
12
12
Codici correttori, codici di Hamming
8
8
Decodifica con la sindrome e Codici BCH
7
7
Totale
45
45
Il corso è diviso in due parti. Nella prima parte (circa 30 ore) si trattano i metodi matematici (specialmente dalla
teoria dei numeri) necessari alla crittografia moderna. Inoltre, dopo una breve storia della crittografia, si studiano
alcuni metodi crittografici attuali. Nella seconda parte (circa 15 ore) vengono presentate le basi della teoria
moderna dei codici correttori di errore.
Le modalità di esame e l’elenco dettagliato degli argomenti trattati si trovano qui:
Anno accademico 2008-2009
134
TESTI
LANGUASCO ZACCAGNINI, Introduzione alla crittografia , Hoepli BERARDI, Algebra e teoria dei codici
correttori , FrancoAngeli
NOTA
Ritengo che una buona conoscenza dei contenuti del corso sia indispensabile non solo a coloro che seguono
l’orientamento algebrico-informatico del Corso di Studi in Matematica, ma più in generale a chiunque
desideri lavorare nel campo delle telecomunicazioni.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Martedì
9:00 - 10:00
Giovedì
10:00 - 12:00
Venerdì
9:00 - 11:00
Lezioni: dal 29/09/2008 al 09/01/2009
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=a867
Crittografia e Codici Correttori Complementi - a.a. 2008/09
Codice: MFN0146
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 2
OBIETTIVI
L’obiettivo principale del corso è mostrare, in un ambito estremamente preciso e dettagliato, senza alcuna
retorica, che: Alcune delle idee più interessanti della Matematica vengono da problemi concreti, che si pongono
nella attività quotidiana.
La Teoria dei Codici Correttori è al tempo stesso una delle più utili e una dele più belle parti della Matematica.
E’ interdisciplinare, utilizza metodi che vengono dalla Geometria Algebrica come dalla Teoria dei Numeri o la
Teoria dei Gruppi. E poi, alla fine, è solo un problema di "impacchettamento di sfere...".
Lo studente tocca con mano la difficoltà delle applicazioni della Matematica. Comprende come l’algebra dei
polinomi gli consenta di ascoltare un CD graffiato, senza doverlo buttare, e come questo non sia facile e derivi
dal lavoro di molti e di molti anni di ricerche. Oltre ai Codici di Reed - Muller e a quelli di Reed - Solomon
apprende anche i Codici Quadratici, che sono oggetti di grande bellezza matematica.
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso)Insegnamenti fornitoriLe basi della teoria dei Codici CorrettoriCrittografia e Codici
Correttori
135
Codici di Reed-Muller, di Reed-Solomon con applicazioni cocrete. Codici dalla teoria dei numeri.
Algebra Computazionale e Algoritmi per l'Algebra e la Geometria
Argomento
Ore
Lezione
L'algebra fondamentale per i codici a blocchi
8
8
Codici di Reed-Muller e di Reed-Solomon
4
4
Codici dalla teoria dei numeri
3
3
Applicazioni
3
3
Totale
18
18
Nel corso (18 ore) si approfondiscono le nozioni di teoria dei codici viste nel corso di Crittografia e Codici
Correttori . Si studiano, tra gli altri, i codici di Reed - Muller e di Reed - Solomon, , e si vede come sono
utilizzati, per esempio, per la correzione di raffiche di errori nella lettura dei CD.
Le modalità di esame e l’elenco dettagliato degli argomenti trattati si trovano qui:
136
Anno 2008-2009
TESTI
BERARDI, Algebra e teoria dei codici correttori , FrancoAngeli HOFFMAN et al., Coding Theory. The
essentials., Marcel Dekker
NOTA
Modalità di verifica/esame L’esame si svolge, di norma, come segue: Lo studente scrive una relazione su un
argomento concordato con il docente e la presenta in un seminario davanti alla commissione.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Nota: Le lezioni iniziano al termine del corso Crittografia e Codici Correttori negli stessi orari.
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=a3b6
Curve Algebriche (DM 509)
Codice: MFN0147
Tipologia: D.M. 509
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 5
OBIETTIVI
Il corso intende introdurre alla geometria delle curve algebriche. Si tratteranno numerosi esempi e si proveranno
su di essi i concetti, le proprieta’ e i risultati enunciati, utilizzando anche il software Maple.
Conoscenza della teoria elementare delle curve algebriche. Saper visualizzare la teoria su esempi concreti.
PROGRAMMA
Italiano
Introduzione alla geometria proiettiva (reale e complessa).
Curve e loro rette tangenti (con approccio classico).
Punti singolari e punti di flesso - alcune curve classiche.
Problema dell’intersezione.
Funzioni razionali, divisori, morfismi, mappe razionali e birazionali, genere.
Curve razionali. Curve ellittiche.
Utilizzo di software matematico per la visualizzazione (Maple).
English
Introduction to projective geometry (over the real and the complex numbers)
137
Curves and tangent lines (classical approach)
Singular points and inflectional points – some examples of special classical curves
Intersection multiplicity
Rational functions, divisors, morphisms, rational and birational maps, genus
Rational curves. Elliptic curves.
Graphics and computations with Maple computing software.
.
TESTI
W. Fulton "Algebraic curves", Benjamin 1969 E.Sernesi "Geometria 1", Bollati Boringhieri Dispense del Prof.
Giorgio Ferrarese http://www2.dm.unito.it/paginepersonali/ferrarese/index.htm J.S.Milne "Elliptic curves"
http://www.jmilne.org/math/ F.Kirwan "Complex Algebraic Curves", London Mathematical Society M. Reid
"Undegraduate Algebraic Geometry", London Mathematical Society Famous Curves Index
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Curves.html
Curve Algebriche - a.a. 2008/09
Codice: MFN0147
Docente: Prof. Giorgio Ferrarese (Titolare del corso)
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 5
OBIETTIVI
Il corso intende introdurre alla geometria delle curve algebriche. Si tratteranno numerosi esempi e si proveranno
su di essi i concetti, le proprieta’ e i risultati enunciati, utilizzando anche il software Maple.
Conoscenza della teoria elementare delle curve algebriche. Saper visualizzare la teoria su esempi concreti.
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso) Insegnamenti fornitori Spazi affini e loro proprietà Geometria I Spazi proiettivi e loro
proprietà Geometria II
138
Conoscenza e studio delle curve algebriche del piano e dello spazio e dei loro principali esempi anche con
l'utilizzo dei moderni sistemi di calcolo simbolico quali Maple e CoCoA
Corsi della LM quali, ad esempio: Istituzione di Geometria, Geometria Superiore, Geometria algebrica
Argomento
Ore
Lezione
Ore
Esercitazione
Ore Laboratorio
Curve piane e loro proprietà
15
15
Curve spaziali e loro proprietà
10
10
Esempi di curve piane
5
5
Esempi di curve spaziali
5
139
5
Studio di curve algebriche con Maple e CoCoA
10
10
Totale
25
10
10
45
Introduzione alla geometria proiettiva (reale e complessa).
Curve e loro rette tangenti (con approccio classico).
Punti singolari e punti di flesso - alcune curve classiche.
Problema dell’intersezione.
Funzioni razionali, divisori, morfismi, mappe razionali e birazionali, genere.
Curve razionali. Curve ellittiche.
Utilizzo di software matematico per la visualizzazione (Maple).
TESTI
W. Fulton "Algebraic curves", Benjamin 1969 E.Sernesi "Geometria 1", Bollati Boringhieri Dispense del Prof.
Giorgio Ferrarese http://www2.dm.unito.it/paginepersonali/ferrarese/index.htm J.S.Milne "Elliptic curves"
http://www.jmilne.org/math/ F.Kirwan "Complex Algebraic Curves", London Mathematical Society M. Reid
"Undegraduate Algebraic Geometry", London Mathematical Society Famous Curves Index
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Curves.html
NOTA
Il materiale didattico e il diario delle lezioni del corso dell’A.A. 07/08 si trovano su http://math.i-learn.unito.it/. Il
materiale didattico del corso dell’A.A. 08/09 si trova su
http://www2.dm.unito.it/paginepersonali/ferrarese/Curve%20algebriche/
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Mercoledì 16:00 - 18:00
Giovedì
16:00 - 18:00
Lezioni: dal 02/03/2009 al 05/06/2009
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=8c3b
140
Curve Algebriche Complementi - Non attivato nell’a.a. 2008/09
Codice: M8578
Docente: Prof. Federica Galluzzi (Titolare del corso)
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 2
OBIETTIVI
Il corso analizza alcuni argomenti particolarmente interessanti per chi intende proseguire lo studio della
Geometria Algebrica utilizzando le tecniche moderne della disciplina.
Acquisizione di alcuni concetti fondamentali della Geometria Algebrica moderna.
PROGRAMMA
Approfondimenti del programma del corso di Curve Algebriche. Possibili argomenti: il gruppo dei punti di una
cubica piana liscia – Equazioni parametriche razionali di una curva piana razionale - Genere di una curva e
genere topologico - Caso del campo non algebricamernte chiuso - Automorfismi di una curva.
TESTI
Stessa bibliografia del corso di Curve Algebriche.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Nota: Le lezioni iniziano al termine del corso Curve Algebriche negli stessi orari.
Didattica della Matematica (DM 509)
Docente: Prof. Ornella Robutti (Titolare del corso)
Tipologia: D.M. 509
Anno: 2° anno
Crediti/Valenza: 7
OBIETTIVI
Risolvere attività per gli studenti a livello di scuola superiore Conoscere le principali problematiche della ricerca
didattica nazionale e internazionale Analizzare situazioni problematiche alla luce delle teorie della ricerca
didattica
Risolvere attività per gli studenti a livello di scuola superiore Conoscere le principali problematiche della ricerca
didattica nazionale e internazionale
141
PROGRAMMA
Italiano
L'apprendimento secondo Piaget. La teoria delle situazioni didattiche secondo Brousseau. L'uso di
strumenti secondo Vygotsky.
La dimostrazione in matematica: nella storia, nella ricerca, nella didattica, nei programmi. La dimostrazione in
geometria euclidea. Problemi di costruzione e di esplorazione-congettura. La mediazione del software Cabri o
Geogebra in problemi di dimostrazione.
English
Learning according to Piaget. The theory of didactic situations accordino to Brousseau. The use of tools
according to Vygotsky.
Proof in mathematics: in history, in research, in education, in the curriculum. Proof in Euclidean geometry.
Problems of construction and conjecture-exploration. The mediation of Cabri or Geogebra in proving problems.
.
TESTI
Vygotsky L.S.(1978), Mind in society, Harvard University Press, Cambridge, MA. Dispense su Piaget e
Brousseau. Paola, D. & Robutti, O. (2001). La dimostrazione alla prova. In: Matematica ed aspetti didattici,
Quaderni della Direzione Classica, Ministero della Pubblica Istruzione, Roma, n. 45, 97-201. D’Amore, B.
Elementi di Didattica della matematica, Pitagora Editrice.
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=bd9b
Didattica della Matematica - a.a. 2008/09
Crediti/Valenza: 7
OBIETTIVI
Conoscere le principali problematiche in ambito psicologico e didattico relativamente
all’insegnamento-apprendimento della matematica Applicare metodologie di insegnamento della matematica con
il supporto delle tecnologie Valutare i limiti degli strumenti tecnologici nella risoluzione di problemi matematici
Risolvere attività per gli studenti a livello di scuola superiore Progettare attività per gli studenti a livello di scuola
superiore Gli studenti si avvicinano a una disciplina, la didattica della matematica, che ha componenti non solo
matematiche, ma anche di psicologia, di scienza dell’educazione e di scienze cognitive. La finalità è di integrare
queste discipline in quadro di riferimento teorico sia per quanto riguarda la ricerca, sia per la pratica didattica.
PROGRAMMA
142
Pre-requisiti (in ingresso)Insegnamenti fornitoriGeometria euclidea della scuola superiore
Risolvere attività per gli studenti a livello di scuola superiore
Tesi di laurea, Scuola di Specializzazione per Insegnanti
Analizzare situazioni problematiche alla luce delle teorie della ricerca didattica
Progettare attività per gli studenti a livello di scuola superiore
Argomento
Ore
Lezione
Ore
Esercitazione
Ore Laboratorio
14
14
La dimostrazione in matematica: nella storia, nella ricerca, nella didattica, nei programmi.
8
8
La dimostrazione in geometria euclidea.
143
6
6
Problemi di costruzione e di esplorazione-congettura.
18
18
La mediazione del software Cabri in problemi di dimostrazione.
5
5
10
Totale
27
6
23
56
geometria euclidea. Problemi di costruzione e di esplorazione-congettura. La mediazione del software Cabri in
problemi di dimostrazione.
Metodologia:
Lavoro di gruppo e intergruppo, brevi lezioni frontali, lavoro individuale a casa Strumenti:
Computer, Cabri, Proiettore
TESTI
Quaderni della Direzione Classica, Ministero della Pubblica Istruzione, Roma, n. 45, 97-201.
NOTA
Modalità di verifica/esame L’esame si svolge, di norma, come segue: esercizi svolti in classe e a casa, seminari
presentati in aula produzione di un’attività didattica per lo stage, realizzazione dell’unità didattica allo stage di
matematica con studenti della scuola superiore.
144
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Martedì
13:00 - 16:00
Venerdì 14:00 - 16:00
Lezioni: dal 02/03/2009 al 05/06/2009
Nota: In Maggio sono previste lezioni anche il mercoledi in aula inf. 4 dalle 15 alle 18
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=bdda
Didattica della Matematica 1 (DM 270)
Tipologia: D.M. 270
Anno: 1° anno
Crediti/Valenza: 6
OBIETTIVI
Risolvere attività per gli studenti a livello di scuola superiore. Conoscere le principali problematiche della ricerca
didattica nazionale e internazionale. Analizzare situazioni problematiche alla luce delle teorie della ricerca
didattica.
Risolvere attività per gli studenti a livello di scuola superiore. Conoscere le principali problematiche della ricerca
didattica nazionale e internazionale.
PROGRAMMA
Italiano
geometria euclidea. Problemi di costruzione e di esplorazione-congettura. La mediazione del software Cabri o
Geogebra in problemi di dimostrazione.
English
Learning according to Piaget. The theory of didactic situations accordino to Brousseau. The use of tools
according to Vygotsky.
Proof in mathematics: in history, in research, in education, in the curriculum. Proof in Euclidean geometry.
Problems of construction and conjecture-exploration. The mediation of Cabri or Geogebra in proving problems.
.
TESTI
Quaderni della Direzione Classica, Ministero della Pubblica Istruzione, Roma, n. 45, 97-201. D’Amore, B.
145
Elementi di Didattica della matematica, Pitagora Editrice.
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=1f1e
Didattica della Matematica 2 (DM 270)
Docente: Prof. Ferdinando Arzarello (Titolare del corso), Prof. Francesca Ferrara (Titolare del corso)
Tipologia: D.M. 270
Anno: 1° anno
Crediti/Valenza: 6
Avvalenza: SSD: 5 cfu MAT/04, 1 cfu FIS/08
OBIETTIVI
Introdurre gli allievi ai problemi didattici, cognitivi ed epistemologici riguardanti l’insegnamento/apprendimento
dell’algebra e dell’analisi elementare nella scuola secondaria.
Sapere impostare un progetto didattico per l’insegnamento dell’algebra e dell’analisi nella scuola secondaria
superiore
PROGRAMMA
Italiano
Didattica della matematica in generale:
i segni e l'apprendimento matematico in un approccio multimodale: elementi di analisi semiotica e
cognitiva
-
analisi di processi e di pratiche (Freudenthal, Chevallard)
-
apprendistato cognitivo
-
la discussione in classe e il ruolo dell'insegnante
-
il ruolo delle tecnologie e le infrastrutture comunicazionali (Hegedus)
-
esempi
Didattica dell'algebra elementare:
-
la nozione di symbol sense (Arcavi)
-
concezioni operazionali e strutturali in matematica (Sfard)
-
il gap aritmetica-algebra
-
competenze in algebra: tradurre, interpretare, anticipare, trasformare, attivare frames
-
esempi
Didattica dell'analisi elementare:
146
storia ed epistemologia del concetto di funzione: sua natura di processo e oggetto (Sfard); la nozione di
covariazione di variabili (Slavit)
-
la matematica del cambiamento (Kaput)
-
il gap algebra-analisi
-
le radici cognitive di alcuni concetti dell'analisi (Tall)
-
esempi
Analisi critica di software didattici per l'apprendimento dell'algebra e dell'analisi.
English
Mathematical education from a general point of view
Teaching elementary algebra: theory and practice
Teaching elementary calculus: theory and practice
Analysis of didactical software
.
TESTI
Saranno fornite dispense. Si chiederà inoltre di studiare alcuni lavori originali da riviste scientifiche.
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=d46c
Ecologia - Non attivato nell’a.a. 2008/09
Codice: S8855
Docente:
Recapito: []
Crediti/Valenza: 7
PROGRAMMA
I contenuti, gli scopi ed i metodi dell'Ecologia. L'ecologia delle popolazioni. Densità e risorse.
Modelli di sviluppo delle popolazioni. La competizione intraspecifica.Stima delle densità delle popolazioni:
metodiche di censimento Ecologia di comunità. Competizione tra specie e mutualismo.Nicchia ecologica e
coesistenza tra specie funzionalmete affini La predazione: analisi del fenomeno e modelli matematici
d previsione degli effetti. Parassitismo e parassitoidismo. La lotta biologica in agricoltura, come utilizzazione del
rapporto predatorio.La rete trofica nelle biocenosi.Struttura ed evoluzione delle biocenosi: effetti della
competizione tra specie e della predazioneLa biodiversità a livello genetico, di comunità e di habitat.
Effetti dell'attività umana sull'ecologia del paesaggio. Ecosistemi ed agroecosistemi. La
biodiversità nella valutazione della qualità ambientale. Concetti di resistenza e resilienza dei
sistemi ecologici.Modelli di popolazioni isolate omogenee. Modelli discreti e diagrammi di Moran. Modelli
continui. Modello malthusiano, il modello logistico, modelli con ritardo.Dinamica di popolazioni strutturate per
età o per taglia. Tavole e grafi di vita, Matrici di LeslieCalibrazione dei modelli usando programmi al computer.
Stabilita’ di equazioni differenziali e di modelli matematici discreti.Analisi agli autovalori. Piano delle fasi e
stabilità per sistemi lineari omogenei. Linearizzazione.Sistemi di equazioni differenziali lineari. Piano delle
fasi.Visualizzazione al computer. Modelli matematici per la crescita di popolazioni conviventi.
Modelli quadratici per predazione (modello di Lotka-Volterra), competizione, cooperazione.
147
TESTI
Le note del corso, i testi consigliati e la bibliografia per la parte matematica sono disponibili alla pagina
http://www.dm.unito.it/personalpages/console/eco-mat0607.html
NOTA
Esercitatori Prof. Guido Badino - Prof. Margherita Roggero Seminari: venerdi 9.2.07 dalle ore 9 alle ore 10:30
aula S Cristina Ribero "Grafi e matrici di Leslie" Miriam Gastaldi "Mutualismo" mercoledi 28.2.07 aula
informatizzata 1 dalle ore 12:00 Giuseppina Pascullo, Elisa Salvatore, Paola Traversa "Modellli matematici per
la diffusione delle epidemie" dalle ore 14:30 Viviana Bucci "Modelli di popolazioni divise per sesso"
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Martedì
14:00 - 16:00
aula Monod DBAU, P. Campana, via Carlo Alberto 10
Mercoledì
14:00 - 16:00
aula De Filippi DBAU, Via Accademia Albertina 13
Lezioni: dal 03/10/2006 al 16/01/2007
Elementi di Logica 1 (DM 509)
Codice: MFN0148 / M8611
Docente: Prof. Domenico Zambella (Titolare del corso)
Recapito: 0116702931 []
Tipologia: D.M. 509
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 3
SSD: MAT/01 - logica matematica
Elementi di Logica 1 - a.a. 2008/09
Codice: MFN0148
Docente: Prof. Flavio Previale (Titolare del corso)
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 3
Gli obiettivi sono strettamente inerenti alle finalità. In particolare l’obiettivo principale e’ quello di far sì che gli
studenti acquistino familiarità con il metodo della "deduzione naturale", il quale, tra i vari formalismi logistici
esistenti, e’ quello che meglio permette il recupero del genuino significato intuitivo di una costante logica a
148
partire dalla sua rappresentazione mediante regole formali.
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso)Insegnamenti fornitoriDiscreta familiarità con il ragionamento matematico
astrattoAnalisi Matematica I e II, Algebra I, Fondamenti della Matematica
Sicurezza nell'uso del "rigore informale" nelle dimostrazioni matematiche
Tutti quelli a base matematica
Conoscenza di alcuni elementi di Logica Matematica
Corsi piu' avanzati di Logica Matematica o Fondamenti della Matematica
Primi elementi di formalizzazione del linguaggio matematico. Generalità sui sistemi formali. Significato degli
operatori logici fondamentali e regole logiche. Metodo della deduzione naturale. Il principio del TE e la logica
classica. Dimostrazione di relazioni logiche notevoli mediante il metodo della deduzione naturale. Altri sistemi
logistici e la loro equivalenza con la deduzione naturale.
Logica con uguaglianza. Morfologia e sintassi dei linguaggi del I e del II ordine (cenni). Teorie formali.
Estensioni per definizione di teorie e loro proprietà di conservatività (cenni della relativa dimostrazione).
Semantica della logica classica proposizionale. Tavole di verità. Forme normali disgiuntive e congiuntive.
Teorema di validità e completezza per la logica proposizionale (dimostrazione di Kalmar).
TESTI
I Quaderni Didattici curati dal Docente sono disponibili presso il Centro Stampa del Dipartimento di
Matematica.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Lunedì
10:00 - 12:00
Mercoledì
9:00 - 11:00
Giovedì
9:00 - 10:00
Lezioni: dal 29/09/2008 al 06/11/2008
Nota: Il corso temina il 6/11/2008
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=ddea
149
Elementi di Logica 2 - a.a. 2008/09
Docente: Prof. Alessandro Andretta (Titolare del corso)
Crediti/Valenza: 3
OBIETTIVI
Il corso si propone di mostrare come lo studio dei linguaggi nei quali sono formalizzate le teorie e le
dimostrazioni matematiche permette di ottenere informazioni sulle stesse. Attenzione particolare sarà rivolta alle
algebre di Boole e alla logica proposizionale.
L’allievo dovrà essere in grado di utilizzare correttamente gli strumenti di base della Logica Matematica
PROGRAMMA
Insegnamenti fornitori
Conoscenze di base di Algebra
Algebra I
Conoscenze di base di Analisi Matematica
Analisi Matematica I, II e III
Linguaggi del primo ordine
Tutti
Teoremi di compattezza e completezza
Teoria dei Modelli, Algebra II
Nozioni sulla calcolabilità effettiva
Programma, articolazione e caricodidattico
Argomento
150
Ore
Lezione
Sistemi formali e derivazioni
12
12
Algebre di Boole e logica proposizionale
12
12
Totale
24
24
TESTI
Il testo seguito è: R.Kaye, The Mathematics of Logic, Cambridge University Press 2007
NOTA
Modalità di verifica/esame Colloquio orale.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Lunedì
14:00 - 16:00
Martedì
14:00 - 16:00
Venerdì
9:00 - 11:00
Lezioni: dal 29/09/2008 al 09/01/2009
Equazioni Differenziali (DM 509)
Docente: Prof. Marino Badiale (Titolare del corso), Prof. Walter Dambrosio (Titolare del corso)
Tipologia: D.M. 509
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 5
151
OBIETTIVI
Il corso presenta alcuni elementi della teoria elementare delle equazioni differenziali, ordinarie e alle derivate
parziali. Al termine del corso lo studente dovrà conoscere il significato di un problema ai limiti, gli elementi di
base della teoria dei sistemi di equazioni differenziali lineari, gli elementi di base del metodo di separazione delle
variabili e alcuni risultati di base relativi all’equazione di Laplace e di Poisson. Inoltre, saprà analizzare da un
punto di vista qualitativo le soluzioni di un sistema conservativo piano, con particolare riferimento allo studio
della stabilità dei punti critici.
- Saper risolvere un problema ai limiti associato ad un’equazioni differenziale lineare del secondo ordine. - Saper
tracciare nel piano delle fasi le orbite di un sistema conservativo. - Saper applicare il metodo di linearizzazione
per lo studio della stabilità di un punto di equilibrio di un sistema piano. - Saper risolvere alcune semplici
equazioni di Laplace.
PROGRAMMA
Italiano
(a) Introduzione ai problemi ai limiti.
- Definizioni ed esempi.
- Autovalori e autofunzioni di un problema lineare.
- La funzione di Green.
(b) Preliminari sulle equazioni alle derivate parziali.
- Definizioni, esempi fondamentali, classificazioni.
- Problemi al contorno per le equazioni fondamentali alle derivate parziali risolubili elementarmente (metodo di
separazione delle variabili).
(c) Problemi ellittici.
- Funzioni armoniche (proprietà della media, principio del massimo, regolarità).
- Soluzione fondamentale del laplaciano.
- Problema di Dirichlet per le equazioni di Laplace e Poisson.
- Formule di rappresentazione integrale delle soluzioni.
- Metodo dell’energia, principio di Dirichlet.
(d) Sistemi di equazioni autonome.
- Integrali primi.
- Ritratti di fase.
- Classificazione dei punti critici per sistemi piani lineari.
- Sistemi nonlineari e stabilità.
- Equivalenza lineare ed equivalenza topologica di sistemi lineari piani a coefficienti costanti.
152
English
(a) Introduction to boundary value problems.
- Definitions and examples.
- Eigenvalues and eigenfunctions of a linear problem.
- The Green function.
(b) Basic PDE's.
- Definitions and basic examples.
- The separation of variables
(c) Elliptic problems.
- Harmonic functions, fundamental solutions, Laplace and Poisson equations, Dirichlet principle
(d) Systems of autonomous equations.
- First integrals.
- Phase-portraits.
- Classification of critical points of linear planar systems.
- Nonlinear systems and stability.
- Linear equivalence and topological equivalence for planar systems with constant coefficients.
.
TESTI
Boyce-Di Prima, Elementary differential equations, Wiley Editore Evans, Partial differential equations, AMS
Hirsch-Smale, Differential Equations, Dynamical Systems and Linear Algebra, Academic Press Pagani-Salsa,
Analisi Matematica 2, Masson Editore
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=efd5
Equazioni Differenziali alle Derivate Parziali - Non attivato nell’a.a.
2008/09
Codice: S8501
Docente: Prof. Hisao Yashima (Titolare del corso), Dott. Davide Ascoli (Titolare del corso)
Crediti/Valenza: 7
OBIETTIVI
Ci si propone di porre l’allievo nelle condizioni di affrontare i problemi di risoluzione e di caratterizzazione della
soluzione di equazioni alle derivate parziali e di poter applicare tale metodo a vari problemi di interesse
scientifico.
153
Il corso si propone di fornire agli studenti gli strumenti per lo studio avanzato delle Equazioni alle Derivate
Parziali e delle loro applicazioni.
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso) Insegnamenti fornitori Calcolo integrale e differenziale Analisi Matematica I, II, III,
IV Alcuni elementi basilari di Analisi funzionale Istituzione di Analisi Superiore
Conoscenza di metodi fondamentali dello studio di Equazioni alle Derivate Parziali
Istituzione di Analisi Superiore , Equazioni Differenziali alle Derivate Parziali
Capacità di applicare metodi fondamentali ai problemi concreti
Argomento
Ore
Lezione
Classificazione, Teorema di Cauchy-Kowalewskaja, nozione di buona posizione
8
8
Spazi di Sobolev, definizione e proprietà
12
12
Metodi fondamentali dello studio delle equazioni di tipo ellittico
12
12
Metodi fondamentali dello studio delle equazioni di tipo parabolico
12
12
Metodi fondamentali dello studio delle equazioni di tipo iperbolico
154
12
12
Totale
56
56
Classificazione di equazioni alle derivate parziali
Teorema di Cauchy-Kowalewskaja
Spazi di Sobolev e loro proprietà
Studio delle equazioni del tipo ellittico
Studio delle equazioni del tipo parabolico
Studio delle equazioni del tipo iperbolico.
TESTI
Dispense del docente. Materiale per approfondimento: V.P. MICHAJLOV: Equazioni differenziali alle derivate
paarziali (tradotto dal russo), Mir, 1984 S. MIZOHATA: The Theory of partial equations (tradotto dal
giapponese), Cambridge, 1973
NOTA
Modalità di verifica/esame L’esame si svolge, di norma, come segue: in forma di un seminario su un argomento
concordato; su richiesta dei candidati è anche possibile svolgere l’esame in forma di un colloquio sugli
argomenti trattati nel corso.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Lunedì
14:00 - 16:00
Martedì
14:00 - 16:00
Giovedì
15:00 - 16:00
Lezioni: dal 03/03/2008 al 13/06/2008
Equazioni Differenziali Ordinarie - a.a. 2008/09
Codice: MFN0149
Docente: Prof. Walter Dambrosio (Titolare del corso)
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 5
Avvalenza: N.B. Per informazioni relative al corso tenuto nell’AA 2007-2008 dalla Prof.ssa Capietto si faccia
155
riferimento alla pagina web http://www.dm.unito.it/personalpages/capietto/index.htm
OBIETTIVI
Il corso ha diverse finalità: innanzitutto si propone di presentare alcuni argomenti di base sulla teoria classica
delle equazioni differenziali ordinarie, che trovano applicazione in vari contesti e discipline (economia, biologia,
fisica). Inoltre, ha come scopo l’illustrazione del ben noto problema degli N corpi, presentando la teoria classica
e fornendo alcuni cenni ai recenti sviluppi (si veda in proposito la sitografia indicata alla voce "Testi consigliati e
bibliografia"). Infine, si propone di presentare metodologie di risoluzione di esercizi e problemi relativi a tali
argomenti, integrando gli aspetti teorici con quelli applicativi, attraverso l’analisi critica dei concetti.
- Conoscere gli elementi di base della teoria dei sistemi di equazioni differenziali lineari. - Conoscere e saper
illustrare il problema gli N corpi e le sue principali caratteristiche. - Studiare da un punto di vista qualitativo le
soluzioni di un sistema conservativo piano. - Risolvere esercizi di applicazione della teoria. - Interpretare
criticamente i procedimenti di risoluzione degli esercizi e le metodologie applicate.
PROGRAMMA
ANNO ACCADEMICO 2008-2009
Calcolo differenziale per funzioni di una o più variabili
Analisi Matematica 1 – Analisi Matematica 3
Calcolo integrale per funzioni di una variabile
Analisi Matematica 2
Spazi vettoriali e matrici
Geometria 3
Insegnamenti fruitoriSaper risolvere un sistema di due equazioni differenziali lineari del primo ordine.
Tutti i corsi di Analisi Matematica e Fisica Matematica del III anno e della LS
Saper tracciare nel piano delle fasi le orbite di un sistema conservativo.
Saper applicare il metodo di linearizzazione per lo studio dalla stabilità di un punto di equilibrio di un sistema
piano.
Conoscere il problema degli N corpi e le sue soluzioni classiche.
156
Argomento
Ore
Lez.
Ore
Esercit.
Ore Laboratorio
Richiami sul problema di Cauchy
2
2
Sistemi lineari del primo ordine
8
6
14
Sistemi conservativi; l’equazione del pendolo.
4
2
2
8
Richiami sul problema dei 2 corpi e sulle leggi di Keplero
4
157
4
Il problema degli N corpi; teoria classica, le soluzioni di Lagrange e di Eulero.
10
2
12
Cenni al problema ristretto dei 3 corpi.
5
5
Totale
33
8
4
45
Per il programma dettagliato si faccia riferimento al Materiale Didattico
Per le informazioni relative all’AA 2007-2008 si faccia
riferimento a http://www.dm.unito.it/personalpages/capietto/index.htm
TESTI
C.D. Pagani - S. Salsa: Analisi matematica 2, Masson Editore H. Pollard: Celestial Mechanics, The Math. Ass.
of America Editore Alcuni siti di illustrazione e divulgazione sul problema degli N corpi:
http://www.matapp.unimib.it/~suster/files/index.html
http://www.coinor.unina.it/docs_primalezione/7_coti%20zelati.pdf
http://www.unisi.it/luciana/articoli/stardance/intro.htm
NOTA
Modalita’ d’esame: consegna di esercizi svolti individualmente e prova orale.
ORARIO LEZIONI
158
Giorni
Ore
Aula
Mercoledì
11:00 - 13:00
Giovedì
14:00 - 16:00
Lezioni: dal 02/03/2009 al 05/06/2009
Nota: La lezione del mercoledì si terrà anche in Aula Informatizzata n° 04
Equazioni Differenziali Ordinarie Complementi - Non attivato
nell’a.a. 2008/09
Codice: M8549
Docente:
Recapito: []
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 2
PROGRAMMA
STABILITA’ ALLA LIAPUNOV.
Principio di invarianza. Sistemi dissipativi.
Teorema di stabilita’ di Liapunov. Stabilita’ asintotica dalla linearizzazione.
Teorema di instabilita’ di Cetaev. Instabilita’ dalla linearizzazione.
Il pendolo semplice conservativo e dissipativo.
TESTI
Dispensa del Docente
Equazioni Differenziali Ordinarie e Sistemi Dinamici (DM 509)
Tipologia: D.M. 509
Anno: 2° anno
Crediti/Valenza: 7
OBIETTIVI
Il corso presenta alcuni elementi della teoria delle equazioni differenziali ordinarie non autonome e dei problemi
ai limiti nonlineari. Al termine del corso lo studente dovrà conoscere alcuni teoremi fondamentali dell’analisi
nonlineare con applicazioni ai problemi ai limiti e le tecniche, basate sull’utilizzo della mappa di Poincaré, per lo
studio qualitativo di equazioni differenziali.
- Saper discutere le proprietà qualitative delle soluzioni di un’equazione differenziale periodica. - Saper discutere
l’esistenza di soluzioni di problemi ai limiti associati a equazioni differenziali nonlineari.
159
PROGRAMMA
Italiano
Parte I) Introduzione all’analisi nonlineare. Problemi ai limiti.
I.1) Teoria spettrale elementare. Problemi ai limiti associati a equazioni differenziali del secondo ordine.
Alternativa di Fredholm ([AP],[Br],[Ha]).
I.2) Applicazioni del teorema delle contrazioni allo studio di un problema di Dirichlet nonlineare ([Ha]).
I.3) Teorema del punto fisso di Schauder e applicazioni allo studio di un problema di Dirichlet nonlineare ([Ha]).
I.4) Calcolo differenziale in spazi di Banach. Teorema della funzione implicita in spazi di Banach e applicazioni
a problemi ai limiti nonlineari ([AP]).
I.5) Introduzione alla teoria della biforcazione e applicazioni a problemi ai limiti nonlineari ([AP]).
Parte II) Equazioni differenziali non autonome.
II.1) Equazioni periodiche. Mappa di Poincaré ([H],[HK]).
II.2) Soluzioni quasi-periodiche. Curve invarianti e teorema twist ([Or]).
II.3) Numero di rotazione ([Ab]).
English
Part I) An introduction to nonlinear analysis. Boundary value problems.
I.1) Elementary spectral theory. Boundary value problems associated to second order differential equations.
Fredholm alternative. ([AP],[Br],[Ha]).
I.2) Applications of the contraction principle to the study of a nonlinear Dirichlet problem. ([Ha]).
I.3) Schauder fixed point theorem and applications to the study of a nonlinear Dirichlet problem ([Ha]).
I.4) Differential calculus in Banach spaces. Implicit function theorem in Banach spaces and applications to
nonlinear boundary value problems. ([AP]).
I.5) Introduction to bifurcation theory and applications to nonlinear boundary value problems ([AP]).
Parte II) Nonautonomous differential equations.
II.1) Periodic equations. Poincaré map ([H],[HK]).
II.2) Quasi-periodic solutions. Invariant curves and twist theorem. ([Or]).
II.3) Rotation number ([Ab]).
.
160
TESTI
[Ab] Abbondandolo: Morse theory for Hamiltonian systems, Chapman & Hall, CRC, Research Notes in
Mathematics, 2001. [AP] Ambrosetti-Prodi: A primer of Nonlinear Analysis, Cambridge Studies in Advanced
Mathematics. [Br] Brézis: Analyse fonctionnelle, Masson. [Ha] Habets: Equations différentielles: problèmes aux
limites et théorie hilbertienne, dispense. [H] Hale: Ordinary Differential Equations, Krieger. [HK] Hale-Koçak:
Dynamics and Bifurcations, Springer-Verlag. [Or] Ortega: Twist mappings, invariant curves and periodic
differential equations, dispense.
Equazioni Differenziali Ordinarie e Sistemi Dinamici - a.a. 2008/09
Crediti/Valenza: 7
OBIETTIVI
Apprendere i contenuti del programma del corso.
Il programma del corso.
PROGRAMMA
Parte I) Equazioni differenziali non autonome.
I.1) Equazioni periodiche ([H],[HK]).
I.2) Teorema di Poincaré-Bendixson ([HK]).
I.3) Soluzioni quasi periodiche ([Or]).
I.4) Teoria di Floquet ([H],[YS]).
Parte II) Introduzione all’analisi nonlineare. Problemi ai limiti.
II.1) Teoria spettrale elementare. Problemi ai limiti associati a equazioni differenziali del secondo ordine.
II.2) Applicazioni del teorema delle contrazioni allo studio di un problema di Dirichlet nonlineare ([Ha]).
II.3) Teorema del punto fisso di Schauder e applicazioni allo studio di un problema di Dirichlet nonlineare
([Ha]).
II.4) Calcolo differenziale in spazi di Banach. Teorema della funzione implicita in spazi di Banach e applicazioni
II.5) Introduzione alla teoria della biforcazione e applicazioni a problemi ai limiti nonlineari ([AP]).
TESTI
[AP] Ambrosetti-Prodi: A primer of Nonlinear Analysis, Cambridge Studies in Advanced Mathematics. [Br]
Brézis: Analyse fonctionnelle, Masson. [Ha] Habets: Equations différentielles: problèmes aux limites et théorie
hilbertienne, dispense. [H] Hale: Ordinary Differential Equations, Krieger. [HK] Hale-Koçak: Dynamics and
Bifurcations, Springer-Verlag. [Or] Ortega: Twist mappings, invariant curves and periodic differential equations,
dispense. [YS] Yakubovich-Starzhinskii: Linear differential equations with periodic coefficients, John Wiley
Sons.
NOTA
E’ necessario aver seguito, o seguire contemporaneamente a questo corso, Analisi IV e Istituzioni di Analisi. Per
l’orario di ricevimento e ogni altra informazione vedere
http://www.dm.unito.it/personalpages/capietto/index.htm Modalita’ di erogazione: tradizionale. Sede:
161
Dipartimento di Matematica, Via Carlo Alberto, 10, Torino. Organizzazione della didattica: lezioni ed
esercitazioni. Modalita’ di frequenza: facoltativa (ma consigliata). Modalità d’esame: prova orale.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Lunedì
13:00 - 15:00
Mercoledì
13:00 - 14:00
Giovedì
12:00 - 14:00
Lezioni: dal 29/09/2008 al 09/01/2009
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=a54b
Equazioni Differenziali Ordinarie e Sistemi Dinamici (DM 270)
Tipologia: D.M. 270
Anno: 1° anno
Crediti/Valenza: 6
OBIETTIVI
Il corso presenta alcuni elementi della teoria delle equazioni differenziali ordinarie non autonome e dei problemi
ai limiti nonlineari. Al termine del corso lo studente dovrà conoscere alcuni teoremi fondamentali dell’analisi
nonlineare con applicazioni ai problemi ai limiti e le tecniche, basate sull’utilizzo della mappa di Poincaré, per lo
studio qualitativo di equazioni differenziali.
- Saper discutere le proprietà qualitative delle soluzioni di un’equazione differenziale periodica. - Saper discutere
l’esistenza di soluzioni di problemi ai limiti associati a equazioni differenziali nonlineari.
PROGRAMMA
Italiano
Parte I) Introduzione all’analisi nonlineare. Problemi ai limiti.
I.1) Teoria spettrale elementare. Problemi ai limiti associati a equazioni differenziali del secondo ordine.
I.2) Applicazioni del teorema delle contrazioni allo studio di un problema di Dirichlet nonlineare ([Ha]).
I.3) Teorema del punto fisso di Schauder e applicazioni allo studio di un problema di Dirichlet nonlineare ([Ha]).
I.4) Calcolo differenziale in spazi di Banach. Teorema della funzione implicita in spazi di Banach e applicazioni
I.5) Introduzione alla teoria della biforcazione e applicazioni a problemi ai limiti nonlineari ([AP]).
162
Parte II) Equazioni differenziali non autonome.
II.1) Equazioni periodiche. Mappa di Poincaré ([H],[HK]).
II.2) Soluzioni quasi-periodiche. Curve invarianti e teorema twist ([Or]).
II.3) Numero di rotazione ([Ab]).
English
Part I) An introduction to nonlinear analysis. Boundary value problems.
I.1) Elementary spectral theory. Boundary value problems associated to second order differential equations.
Fredholm alternative. ([AP],[Br],[Ha]).
I.2) Applications of the contraction principle to the study of a nonlinear Dirichlet problem. ([Ha]).
I.3) Schauder fixed point theorem and applications to the study of a nonlinear Dirichlet problem ([Ha]).
I.4) Differential calculus in Banach spaces. Implicit function theorem in Banach spaces and applications to
nonlinear boundary value problems. ([AP]).
I.5) Introduction to bifurcation theory and applications to nonlinear boundary value problems ([AP]).
Parte II) Nonautonomous differential equations.
II.1) Periodic equations. Poincaré map ([H],[HK]).
II.2) Quasi-periodic solutions. Invariant curves and twist theorem. ([Or]).
II.3) Rotation number ([Ab]).
.
TESTI
[Ab] Abbondandolo: Morse theory for Hamiltonian systems, Chapman & Hall, CRC, Research Notes in
Mathematics, 2001. [AP] Ambrosetti-Prodi: A primer of Nonlinear Analysis, Cambridge Studies in Advanced
Mathematics. [Br] Brézis: Analyse fonctionnelle, Masson. [Ha] Habets: Equations différentielles: problèmes aux
limites et théorie hilbertienne, dispense. [H] Hale: Ordinary Differential Equations, Krieger. [HK] Hale-Koçak:
Dynamics and Bifurcations, Springer-Verlag. [Or] Ortega: Twist mappings, invariant curves and periodic
differential equations, dispense.
Equazioni Differenziali Stocastiche (DM 509)
Codice: MFN0051 / MFN0052 / S8856
Docente: Prof. Enrico Priola (Titolare del corso)
Tipologia: D.M. 509
Anno: 2° anno
Crediti/Valenza: 7
163
OBIETTIVI
L’obbiettivo principale e’ di porre l’allievo nelle condizioni di poter comprendere la formulazione matematica di
vari modelli delle scienze applicate e della Matematica Finanziaria in cui intervengono le equazioni differenziali
stocastiche.
Conoscenza dell’integrale stocastico e dei metodi fondamentali nello studio delle Equazioni Differenziali
Stocastiche. Conoscenza dei legami tra le equazioni differenziali stocastiche e le equazioni paraboliche di
Kolmogorov. Capacità di applicare le equazioni differenziali stocastiche a problemi concreti delle scienze
applicate.
PROGRAMMA
Italiano
- Richiami di calcolo delle probabilità
- Moto Browniano (costruzione con le funzioni di Haar; proprietà di regolarità delle traiettorie; misura di
Wiener)
- Integrale stocastico (principali proprietà e confronto con l’integrale di Riemann-Stieltjes)
- Formula di Ito e sue applicazioni
- Equazioni differenziali stocastiche (teoremi di esistenza e unicità)
- Proprietà di Markov delle soluzioni di equazioni stocastiche e legami con le equazioni paraboliche di
Kolmogorov
- Possibili applicazioni delle equazioni stocastiche alla matematica finanziaria e alla dinamica delle popolazioni
English
- Reminder of basic notions of probability theory
- Brownian motion (its construction by means of Haar functions; regularity properties of trajectories; the
Wiener measure)
- Stochastic integral (basic properties; comparison between stochastic integral and the Riemann-Stieltjes
integral)
- Ito formula and its applications
- Stochastic differential equations (existence and uniqueness theorems)
- Markov property of solutions of stochastic differential equations; connections between stochastic differential
equations and parabolic Kolmogorov equations
- Possible applications of stochastic differential equations to Mathematical Finance and Population Dynamics
.
TESTI
P. Baldi: Equazioni differenziali stocastiche e applicazioni, Pitagora Ed., Bologna, 2000. Appunti del docente.
Equazioni Differenziali Stocastiche - a.a. 2008/09
Docente: Prof. Enrico Priola (Titolare del corso)
Crediti/Valenza: 7
164
OBIETTIVI
Introdurre gli studenti alla teoria delle equazioni stocastiche, esaminando anche alcuni modelli tratti dalle scienze
applicate.
L’allievo viene posto nelle condizioni di poter comprendere la formulazione matematica di vari modelli delle
scienze applicate e della Matematica Finanziaria in cui intervengono le equazioni differenziali stocastiche.
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso)Insegnamenti fornitoriCalcolo integrale e differenzialeElementi di Teoria
dell'IntegrazioneAnalisi Matematica I, II, III, IV Elementi di Calcolo delle ProbabilitàCalcolo delle
Probabilità I
Insegnamenti fruitoriConoscenza dell'integrale stocastico e dei metodi fondamentali nello
studio di Equazioni Differenziali Stocastiche.
Conoscenza dei legami tra le equazioni differenziali stocastiche e
le equazioni paraboliche di Kolmogorov.
Corsi avanzati della LS e del Dottorato (Analisi Matematica e Probabilita' e Statistica)
Capacità di applicare le equazioni differenziali stocastiche a
problemi concreti delle scienze applicate.
Argomento
Ore
Lezione
Richiami di calcolo delle probabilità
6
6
Moto Browniano e sue principali proprieta’
12
12
165
Integrale stocastico: definizione e proprietà; formula di Ito
10
10
Equazioni differenziali stocastiche
12
12
Processi di Markov definiti dalla soluzione di un'equazione stocastica. Equazioni paraboliche di
Kolmogorov.
12
12
Applicazioni delle equazioni differenziali stocastiche in vari rami delle scienze
4
4
Totale
56
56
Introduzione (e richiami della teoria delle probabilità)
Moto browniano
Integrale stocastico
Equazioni stocastiche
Processi di Markov e equazione di Kolmogorov
Applicazioni
TESTI
Dipartimento di Matematica (vedere anche la pagina web del docente
http://www2.dm.unito.it/paginepersonali/priola/) Il testo base consigliato per il corso è: P. Baldi: Equazioni
differenziali stocastiche e applicazioni, Pitagora Ed., Bologna, 2000.
NOTA
L’esame si svolge, di norma, in forma di seminario su un argomento concordato con lo studente; viene richiesta
una conoscenza di base sui principali argomenti trattati nel corso.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Lunedì
9:00 - 11:00
Lunedì
15:00 - 16:00
Mercoledì
15:00 - 17:00
Lezioni: dal 29/09/2008 al 09/01/2009
166
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=6c00
Equazioni funzionali ed applicazioni - a.a. 2008/09
Codice: MFN0150
Docente: Prof. Emerito Fulvia Skof (Titolare del corso)
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 5
OBIETTIVI
Il corso ha finalità sia teoriche che applicative, in quanto introduce allo studio di equazioni funzionali che
intervengono in vari settori della Matematica e delle Scienze applicate. In esso vengono illustrati i vari problemi
e le più comuni tecniche per la loro risoluzione, per equazioni funzionali di particolare rilevanza e in vari
contesti funzionali.
Sulla base degli strumenti e delle capacità acquisite nel corso, lo studente è posto nelle condizioni di poter
affrontare problemi nuovi che si traducano in equazioni funzionali, in modo speciale nell’ambito delle equazioni
additive, quadratiche (e forme collegate), e di tipo Pexider.
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso)Insegnamenti fornitori
Analisi reale.
Analisi matematica I, II e III.
Conoscenze di base di Analisi funzionale lineare (spazi vettoriali normati e con prodotto scalare).
Analisi Matematica IV, Metodi matematici per le applicazioni.
Operatori additivi e quadratici (e forme collegate), in grande e su dominio ristretto. Equazioni di tipo Pexider.
Stabilità.
Corsi che trattino modelli matematici per le Scienze e l'Economia.
Equazioni funzionali classiche e proprietà delle loro soluzioni in vari contesti funzionali (in particolare, nel
campo reale e negli spazi normati) .
167
Equazioni funzionali e applicazioni -
Complementi ; Corsi nell'ambito dell'Analisi funzionale.
Argomento
Ore
Lez.
Ore
Esercit.
Le quattro equazioni fondamentali di Cauchy. Basi di Hamel. Soluzioni generali ; loro proprietà. Le soluzioni
continue. Applicazione alle funzioni "omogenee" in senso classico e in un senso generalizzato utile per problemi
di Economia.
9
9
Equazioni collegate alle equazioni di Cauchy (in una o più funzioni incognite): le equazioni di Jensen, di
Pexider,
di
Vincze.
Soluzioni
generali,
soluzioni
continue.
Applicazioni.
Le
"medie
quasi-aritmetiche". L’equazione quadratica. Cenni su qualche altra equazione.
7
7
Uso di metodi analitici di risoluzione: ricerca delle soluzioni derivabili di semplici tipi di classiche equazioni
funzionali, mediante riduzione a equazioni differenziali ordinarie (del 1° o 2° ordine).
4
4
Primi esempi di equazioni "alternative". Il ruolo degli spazi normati "strettamente convessi".
5
5
Equazioni funzionali "su dominio ristretto" esplicitamente assegnato (illimitato, limitato); loro risoluzione
mediante "estensione" o uso di "basi di Hamel". Il caso particolare delle funzioni aritmetiche additive (cenni).
Equazioni "su dominio ristretto" secondo altre accezioni (cenni).
168
12
12
Introduzione alla " stabilità" delle equazioni funzionali ( nel senso di Ulam e Hyers) , in grande e su domini
ristretti. Condizioni asintotiche.
8
8
Totale
45
4
TESTI
Su argomenti specifici verranno forniti appunti o verranno indicati articoli su riviste scientifiche specializzate,
quale "Aequationes Mathematicae" , Birkhauser, Basel. Testi di riferimento per il corso, o per approfondimenti,
sono: J. ACZEL, Functional equations and their applications, Academic Press, New York (1966) J. ACZEL - J.
DHOMBRES, Functional equations in severa variables, Cambridge University Press, Cambridge (1989)
NOTA
L’esame consiste in un colloquio orale.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Martedì
14:00 - 16:00
Giovedì
11:00 - 13:00
Lezioni: dal 02/03/2009 al 05/06/2009
Equazioni Funzionali ed Applicazioni Complementi - Non attivato
nell’a.a. 2008/09
Codice: M8580
Docente:
Recapito: []
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 2
169
Esercitazioni Complementari di Algebra e Geometria - Non attivato
nell’a.a. 2008/09
Codice: M8601
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 5
OBIETTIVI
Affinare la capacità di affrontare e risolvere un problema matematico utilizzando gli strumenti algebrici e
geometrici imparati nei corsi del primo biennio della laurea triennale. Stimolare ad utilizzare la matematica in
senso interdisciplinare, evidenziando come concetti tipici della matematica siano riscontrabili anche in situazioni
non prettamente matematiche.
Una maggior consapevolezza nell’uso delle tecniche matematiche acquisite nei corsi di geometria ed algebra del
primo biennio. Capacità di utilizzare software matematico per il calcolo (Maple) e per la computer grafica
(Maple e Pov-Ray). Disponibilità ad affrontare tematiche trasversali tra matematica ed arte figurativa e, più in
generale, tra la matematica e le altre discipline scientifiche ed umanistiche.
PROGRAMMA
Fondamenti di Analisi
Analisi Matematica I, II, III
Fondamenti di Geometria
Geometria I, II, III
Fondamenti di Algebra
Matematica Discreta, Algebra I
Fondamenti di Teoria dei Grafi
Esempi ed applicazioni della Teoria degli Spazi Proiettivi
170
Esempi ed applicazioni della Teoria dei Gruppi
Primi elementi di Computer Grafica
Argomento
Ore
Lezione
Ore
Laboratorio
introduzione alla teoria dei Grafi
4
4
applicazioni elementari di teoria dei grafi e matematica discreta
4
4
esempi di spazi topologici particolarmente significativi (spazi proiettivi)
2
2
4
applicazioni del concetto di gruppo alla teoria delle equazioni algebriche
2
2
4
applicazioni dei concetti di isometria e simmetria nel piano e nello spazio – interpretazione geometrica ed
analitica
4
2
171
6
esempi di gruppi di simmetrie particolarmente interessanti: poligoni, poliedri e sistemi regolari di punti tra arte e
scienza
2
4
6
esempi di curve e superfici algebriche e trascendenti: con particolare riferimento ai modelli della collezione del
Dipartimento
4
2
6
modelli virtuali di curve e superfici algebriche e trascendenti con Maple e Pov-Ray
4
4
8
strutture e concetti matematici nell'arte figurativa
3
3
Totale
25
20
45
Introduzione alla teoria dei grafi, applicazioni elementari di teoria dei grafi e matematica discreta, esempi di
spazi topologici particolarmente significativi, applicazioni del concetto di gruppo alla teoria delle equazioni
algebriche, applicazioni dei concetti di isometria e simmetria nel piano e nello spazio, interpretazione geometrica
(caratterizzazione sintetica della composizione di isometrie) ed analitica (coordinate ed algebra lineare):
geometria dell'automazione, esempi di gruppi di simmetrie particolarmente interessanti: poligoni, poliedri
e sistemi regolari di punti tra arte ( Escher…) e scienza ( Cristalli…), esempi di curve e superfici algebriche e
trascendenti: con particolare riferimento ai modelli della collezione del Dipartimento, modelli virtuali di curve e
superfici algebriche e trascendenti con Maple e Pov-Ray, strutture e concetti matematici nell'arte
figurativa.
172
TESTI
http://www2.dm.unito.it/paginepersonali/ferrarese/ECoGeA/ Il materiale didattico presentato a lezione è
disponibile, in forma cartacea, presso il Centro Stampa del Dipartimento di Matematica e sul sito del corso
http://matematica.campusnet.unito.it/cgi-bin/corsi.pl I testi base consigliati per il corso sono: 1. E. Sernesi,
Geometria 1 e 2, Bollati Boringhieri, Torino 2. G.M.Piacentini Cattaneo, Algebra Un approccio algoritmico,
Decibel Zanichelli, Bologna Inoltre sono di seguito indicati siti internet di interesse:
http://progettomatematica.dm.unibo.it/GeometriaProiettiva/hompg/hompg.htm http://www.povray.org/
http://home.earthlink.net/~mayathelma/ http://www.math.nus.edu.sg/aslaksen/polyhedra/index.html
http://www.georgehart.com/ http://www.isama.org/
NOTA
L’esame si svolge mediante un colloquio con la commissione che avviene in parte con l’utilizzo di un computer
sul quale siano installati i software utilizzati nel corso (in particolare Maple) ed in parte oralmente secondo lo
schema classico. Nella prova il candidato deve dimostrare di sapere utilizzare i concetti fondamentali del corso
mediante la dimostrazione di teoremi e la soluzione di esercizi sulla carta ed al computer.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Lunedì
14:00 - 17:00
Martedì 14:00 - 16:00
Lezioni: dal 01/10/2007 al 18/01/2008
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=cc44
Esercitazioni Complementari di Algebra e Geometria Complementi Non attivato nell’a.a. 2008/09
Codice: M8602
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 2
OBIETTIVI
Affinare la capacità di affrontare e risolvere un problema matematico utilizzando gli strumenti algebrici e
geometrici imparati nei corsi del primo biennio della laurea triennale. Stimolare ad utilizzare la matematica in
senso interdisciplinare, evidenziando come concetti tipici della matematica siano riscontrabili anche in situazioni
non prettamente matematiche.
Una maggior consapevolezza nell’uso delle tecniche matematiche acquisite nei corsi di geometria ed algebra del
primo biennio. Capacità di utilizzare software matematico per il calcolo (Maple) e per la computer grafica
(Maple e Pov-Ray). Disponibilità ad affrontare tematiche trasversali tra matematica ed arte figurativa e, più in
generale, tra la matematica e le altre discipline scientifiche ed umanistiche.
PROGRAMMA
173
Fondamenti di Analisi
Fondamenti di Geometria
Fondamenti di Algebra
Matematica Discreta, Algebra I
Esempi ed applicazioni della Teoria dei Gruppi
Primi elementi di Computer Grafica
Argomento
Ore
Lezione
Ore
Laboratorio
esempi di gruppi nelle applicazioni
2
2
4
esempi di curve e superfici algebriche e trascendenti: con particolare riferimento ai modelli della collezione del
Dipartimento
2
2
4
modelli virtuali di curve e superfici algebriche e trascendenti con Maple e Pov-Ray
174
4
2
6
strutture e concetti matematici nell'arte figurativa
2
2
4
Totale
10
8
18
Approfondimenti, anche sotto forma seminariale, relativi al programma del corso Esercitazioni Complementari
di Algebra e Geometria : introduzione alla teoria dei grafi, applicazioni elementari di teoria dei grafi e
matematica discreta, esempi di spazi topologici particolarmente significativi, applicazioni del concetto di gruppo
alla teoria delle equazioni algebriche, applicazioni dei concetti di isometria e simmetria nel piano e nello spazio,
interpretazione geometrica (caratterizzazione sintetica della composizione di isometrie) ed analitica (coordinate
ed algebra lineare): geometria dell'automazione, esempi di gruppi di simmetrie particolarmente
interessanti: poligoni, poliedri e sistemi regolari di punti tra arte ( Escher…) e scienza ( Cristalli…), esempi di
curve e superfici algebriche e trascendenti: con particolare riferimento ai modelli della collezione del
Dipartimento, modelli virtuali di curve e superfici algebriche e trascendenti con Maple e Pov-Ray, strutture e
concetti matematici nell'arte figurativa.
TESTI
Materiale didattico Il materiale didattico presentato a lezione è disponibile, in forma cartacea, presso il Centro
Stampa del Dipartimento di Matematica e sul sito del corso http://matematica.campusnet.unito.it/cgi-bin/corsi.pl
I testi base consigliati per il corso sono: 1. E. Sernesi, Geometria 1 e 2, Bollati Boringhieri, Torino 2.
G.M.Piacentini Cattaneo, Algebra Un approccio algoritmico, Decibel Zanichelli, Bologna Inoltre sono di seguito
indicati siti internet di interesse: http://progettomatematica.dm.unibo.it/GeometriaProiettiva/hompg/hompg.htm
http://www.povray.org/ http://home.earthlink.net/~mayathelma/
http://www.math.nus.edu.sg/aslaksen/polyhedra/index.html http://www.georgehart.com/ http://www.isama.org/
NOTA
L’esame si svolge mediante un colloquio con la commissione che avviene in parte con l’utilizzo di un computer
sul quale siano installati i software utilizzati nel corso (in particolare Maple) ed in parte oralmente secondo lo
schema classico. Nella prova il candidato deve dimostrare di sapere utilizzare i concetti fondamentali del corso
mediante la dimostrazione di teoremi e la soluzione di esercizi sulla carta ed al computer.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Nota: Le lezioni iniziano al termine del corso Esercitazioni Complementari di Algebra e Geometria negli stessi
orari.
175
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=4aa8
Fisica 1 - a.a. 2008/09
Codice: M8606
Docente: Prof. Livio Ferrero (Titolare del corso), Dott. Silvia Ferrarese (Esercitatore), Prof. Andrea
Chiavassa (Titolare del corso), Andrea Mignone
Anno: 1° anno
Crediti/Valenza: 7
SSD: FIS/01 - fisica sperimentale
Avvalenza: 5CFU Ambito A - 2CFU Ambito C
PROGRAMMA
Concetti introduttivi. Metodo sperimentale in Fisica, unità di misura, grandezze scalari e vettoriali. Errori di
misura, cifre significative. Calcolo vettoriale.Cinematica del punto: vettori posizione, velocità e accelerazione.
Moti unidimensionali e bidimensionali, moto armonico, moto circolare uniforme. Composizione di moti
armonici. Trasformazioni di Galileo.Dinamica di una massa puntiforme. Forza e massa, i tre principi della
dinamica. Forza elastica, forza gravitazionale, forze di attrito radente. Lavoro ed energia cinetica. Teorema delle
forze vive. Forze conservative ed energia potenziale. Conservazione dell'energia meccanica. Oscillatore
armonico, oscillatore armonico smorzato. Quantità di moto. Momento angolare. Momento meccanico. Forze
centrali. Principio di conservazione della quantità di moto e del momento angolare.Dinamica dei sistemi di punti
materiali: concetto di centro di massa, estensione dei teoremi di conservazione ai sistemi di punti materiali.
Teoremi di Koenig. Urti tra due punti materiali, urto completamente anelastico, urto elastico. Dinamica del corpo
rigido, definizione di corpo rigido, moto del corpo rigido, momento d'inerzia, teorema di Huygens-Steiner,
moto di puro rotolamento. Moti giroscopici.Forza gravitazionale. Le leggi di Keplero, campo e potenziale
gravitazionale. Potenziali gravitazionali per alcune distribuzioni di materia, energia gravitazionale.Elasticità:
Proprietà elastiche dei solidi, onde elastiche in una sbarra solida, onde in una corda tesa, onde stazionarie, onde
sonore, effetto Doppler.Fluidodinamica. Fluidi ideali e reali. Idrostatica, idrodinamica. Viscosità. Tensione
superficiale. Termodinamica Sistemi e stati termodinamici, variabili termodinamiche macroscopiche.
Definizione di temperatura, termometria. Sorgenti di calore, calorimetria, misura di calori specifici, cambiamenti
di fase, trasmissione del calore, conduzione, convezione, irraggiamento. Esperimenti di Joule, primo principio
della termodinamica, relazione di Meyer. Equazione di stato dei gas ideali, trasformazioni di un gas ideale.
Energia interna di un gas ideale, trasformazioni cicliche (rendimento di un ciclo, ciclo di Carnot). Secondo
principio della termodinamica, postulati di Kelvin-Planck e di Clausius, reversibilità ed irreversibilità. Teoremi
di Carnot e di Clausius, la funzione di stato entropia, il principio dell'aumento dell'entropia, calcoli
di variazioni di entropia per trasformazioni di gas ideali. Teoria cinetica dei gas, relazione tra temperatura ed
energia cinetica, teorema di equipartizione dell'energia, cp e cv, distribuzione delle velocità di Maxwell,
coefficiente di viscosità. Il materiale didattico e il programma dettagliato del corso è reperibile sul sito:
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Martedì
11:00 - 13:00
Giovedì
8:00 - 11:00
Aula
Lezioni: dal 02/03/2009 al 05/06/2009
TUTORATO CORSO A: martedì dalle 14.00 alle 16.00 a settimane alterne.
TUTORATO CORSO B: martedì dalle 14.00 alle 16.00 a settimane alterne.
176
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=b34a
Fisica 1 (DM 270)
Docente: Prof. Andrea Chiavassa (Titolare del corso), Prof. Livio Ferrero (Titolare del corso), Andrea
Mignone (Esercitatore), Dott. Silvia Ferrarese (Esercitatore)
Recapito: 011 6707350 [[email protected]]
Tipologia: D.M. 270
Anno: 1° anno
Crediti/Valenza: 9
Avvalenza: SSD: 6 cfu FIS/01, 3 cfu FIS/02
OBIETTIVI
Conoscenza delle leggi fondamentali della meccanica, delle onde e della termodinamica.
Svolgimento di problemi e discussione degli argomenti svolti durante il corso, quindi meccanica, onde e
termodinamica
PROGRAMMA
Italiano
Concetti Introduttivi. Cinematica del punto. Dinamica di una massa puntiforme. Dinamica dei sistemi di punti
materiali. Relativita‘ galileiana. Forza Gravitazionale. Elasticita‘ e onde. Fluidodinamica. Termodinamica.
English
Introductory concepts. Kinematics of pointlike bodies. Pointlike mass dynamics. Multicorps systems dynamics.
Relative velocity and accelaration. Gravitational force. Elasticity and waves. Fluid dynamic. Termodynamic.
.
TESTI
W.E. Gettys, F. Keller, M. Skove "Fisica 1 Meccanica, Temodinamica" McGraw-Hill
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=8ac2
Fisica 2 (DM 509)
Codice: MFN0004
Docente: Prof. Guido Boffetta (Titolare del corso)
Tipologia: D.M. 509
Anno: 2° anno
Crediti/Valenza: 11
Avvalenza: SSD: 6 cfu FIS/01, 5 cfu FIS/02
OBIETTIVI
L’allievo/a dovrà imparare a trattare fenomeni di natura elettrica e magnetica, individuando le leggi che
riguardano lo specifico fenomeno in esame. Dovra’ riconoscere le proprietà caratterizzanti di un fenomeno
ondulatorio, in particolare delle onde elettromagnetiche, esser capace di prescindere, nella descrizione di un
177
fenomeno fisico, dallo stato di moto dell’osservatore. Dovrà inoltre apprendere i principi guida che hanno
consentito il superamento delle leggi classiche.
Conoscenza dei fenomeni di natura elettrica e magnetica, sia indipendenti dal tempo che dipendenti dal tempo.
Capacita’ di risolvere semplici problemi in tale contesto. Conoscenza delle leggi fondamentali
dell’elettromagnetismo e della relativita’. Sviluppo di capacita’ critiche nell’individuare i punti essenziali di un
problema fisico, la validita’ di relazione note, la loro applicabilita’.
PROGRAMMA
Italiano
Il corso e’ articolato in due parti, strettamente connesse tra loro: 1: Elettricita’ e Magnetismo. Carica elettrica,
campo e potenziale elettrico. Campo elettrostatico nel vuoto. Leggi dell’elettrostatica. Conduttori e dielettrici.
Corrente elettrica stazionaria e resistenza, circuiti. Il campo magnetico in condizioni stazionarie; leggi di Ampere
e Faraday, campi elettrici e magnetici variabili nel tempo. Campo magnetico nella materia. Equazioni di
Maxwell e onde elettromagnetiche. 2: Fenomeni ondulatori, relativita’ e nascita della fisica moderna. Relativita’
galileiana, invarianza delle leggi della meccanica classica. Richiami sulle onde, cenni di ottica geometrica.
Velocita‘ e proprieta‘ della luce. Interferenza e diffrazione. Basi della teoria della relativita‘ ristretta, cinematica
relativistica. Lo spazio-tempo di Minkowski, formalismo covariante. Dinamica relativistica. Crisi della fisica
classica e natura ondulatoria della materia. I fondamenti della meccanica quantistica.
English
The Course consists of two parts, stricltly related among each other and partly conducted in parallel:
1. Electricity and Magnetism. Electric charge, electric field and potential. Electrostatic field in the vacuum; laws
of electrostatics. Conductors, dielectrics. Stationary electric currents, resistance, electric circuits. Static magnetic
field. Ampere and Faraday laws. Time dependent electric and magnetic fields. Magnetic fields in matter.
Maxwell equations and electromagnetic waves.
2. Waves, relativity, introduction to modern physics.Galilean relativity and invariance of classic laws of
mechanics. Elements of ondulatory phenomena. elements of geometrical optics. Speed and properties of light.
Interference and diffraction. Foundations of theory of special relativity. Relativistic kinematics. Minkowski
space, covariant formalism. Relativistic dynamics. The crisis of classical physics. Dualism matter-waves.
Elements of quantum mechanics.
.
Fisica 2 - a.a. 2008/09
Codice: MFN0004
Docente: Prof. Guido Boffetta (Titolare del corso), Prof. Wanda Maria Alberico (Titolare del corso)
Anno: 2° anno
Crediti/Valenza: 11
Avvalenza: 5CFU settore FIS/02 Ambito C - 6 CFU settore FIS/01 Ambito C
OBIETTIVI
L’allievo/a dovrà imparare a trattare fenomeni di natura elettrica e magnetica, individuando le leggi che
riguardano lo specifico fenomeno in esame. Dovra’ riconoscere le proprietà caratterizzanti di un fenomeno
ondulatorio, in particolare delle onde elettromagnetiche, esser capace di prescindere, nella descrizione di un
178
fenomeno fisico, dallo stato di moto dell’osservatore. Dovrà inoltre apprendere i principi guida che hanno
consentito il superamento delle leggi classiche.
Conoscenza dei fenomeni di natura elettrica e magnetica, sia indipendenti dal tempo che dipendenti dal tempo.
Capacita’ di risolvere semplici problemi in tale contesto. Conoscenza delle leggi fondamentali
dell’elettromagnetismo e della relativita’. Sviluppo di capacita’ critiche nell’individuare i punti essenziali di un
problema fisico, la validita’ di relazione note, la loro applicabilita’.
PROGRAMMA
Italiano
Il corso e’ articolato in due parti, strettamente connesse tra loro e in parte presentate in parallelo:1: Elettricita’ e
Magnetismo: Carica elettrica, campo e potenziale elettrico. Campo elettrostatico nel vuoto. Leggi
dell’elettrostatica. Conduttori e dielettrici. Corrente elettrica stazionaria e resistenza, circuiti. Il campo
magnetico in condizioni stazionarie; leggi di Ampere e Faraday, campi elettrici e magnetici variabili nel tempo.
Campo magnetico nella materia. Equazioni di Maxwell e onde elettromagnetiche.
2: Fenomeni
ondulatori, relativita’ e nascita della fisica moderna. Relativita’ galileiana, invarianza delle leggi della meccanica
classica. Richiami sulle onde, cenni di ottica geometrica. Velocita‘ e proprieta‘ della luce. Interferenza e
diffrazione. Basi della teoria della relativita‘ ristretta, cinematica relativistica. Lo spazio-tempo di Minkowski,
formalismo covariante. Dinamica relativistica. Crisi della fisica classica e natura ondulatoria della materia. I
fondamenti della meccanica quantistica.
English
The Course consists of two parts, stricltly related among each other and partly conducted in parallel: 1.
Electricity and MagnetismElectric charge, electric field and potential. Electrostatic field in the vacuum; laws of
electrostatics. Conductors, dielectrics. Stationary electric currents, resistance, electric circuits. Static Magnetic
field. Ampere and Faraday laws. Time dependent electric and magnetic fields. Magnetic fields in matter.
Maxwell equations and electromagnetic waves. 2. Waves, relativity, introduction to modern physics.Galilean
relativity and invariance of classic laws of mechanics. Elements of ondulatory phenomena. elements of
geometrical optics. Speed and properties of light. Interference and diffraction. Foundations of theory of special
relativity. Relativistic kinematics. Minkowski space, covariant formalism. Relativistic dynamics. The crisis of
classical physics. Dualism matter-waves. elements of quantum mechanics.
NOTA
Modalita’ d’esame. L’esame consiste in una prova scritta (sulla parte di elettromagnetismo) e un colloquio orale
(su tutto il programma)
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Martedì
10:00 - 13:00
Mercoledì
10:00 - 11:00
Giovedì
9:00 - 11:00
Venerdì
11:00 - 13:00
Lezioni: dal 02/03/2009 al 05/06/2009
Nota: TUTORATO:giovedì dalle 14.00 alle 16.00 in Aula 3
179
Fisica I - Non attivato nell’a.a. 2007/08
Codice: M8508
Docente: Prof. Giovanni Badino
Tipologia: Di base
Anno: 1° anno
Crediti/Valenza: 7
PROGRAMMA
Metodo sperimentale in Fisica, unità di misura, grandezze scalari e vettoriali.
Errori di misura, cifre significative.
Calcolo vettoriale.
Cinematica del punto: vettori posizione, velocità e accelerazione.
Moti unidimensionali e bidimensionali, moto armonico, moto circolare uniforme.
Composizione di moti armonici.
Trasformazioni di Galileo.
Forza, massa, i tre principi della dinamica.
Forza elastica, forza gravitazionale, forze di attrito radente.
Lavoro ed energia cinetica.
Teorema delle forze vive.
Forze conservative ed energia potenziale.
Conservazione dell’energia meccanica.
Oscillatore armonico, oscillatore armonico smorzato.
Quantità di moto.
Momento angolare.
Momento meccanico.
Forze centrali.
Moto del corpo rigido.
Principio di conservazione della quantità di moto e del momento angolare.
Dinamica dei sistemi di punti materiali, concetto di centro di massa, estensione dei teoremi di conservazione ai
sistemi di punti materiali.
Teoremi di Koenig.
Urti tra due punti materiali, urto completamente anelastico, urto elastico.
Dinamica del corpo rigido, definizione di corpo rigido, moto del corpo rigido, momento d'inerzia, teorema
di Huygens-Steiner, moto di puro rotolamento.
Moti giroscopici.
Le leggi di Keplero, campo gravitazionale e potenziale gravitazionale, potenziali gravitazionali per alcune
distribuzioni di materia, energia gravitazionale.
Proprietà elastiche dei solidi, onde elastiche in una sbarra solida, onde in una corda tesa, onde stazionarie, onde
sonore, effetto Doppler.
Fluidi ideali e reali.
Idrostatica, idrodinamica.
Viscosità.
Tensione superficiale.
Sistemi e stati termodinamici, variabili termodinamiche macroscopiche.
Definizione di temperatura, termometria.
Sorgenti di calore, calorimetria, misura di calori specifici, cambiamenti di fase, trasmissione del calore,
conduzione, convezione, irraggiamento.
Esperimenti di Joule, primo principio della termodinamica, relazione di Meyer.
Equazione di stato dei gas ideali, trasformazioni di un gas ideale.
Energia interna di un gas ideale, trasformazioni cicliche (rendimento di un ciclo, ciclo di Carnot).
Secondo principio della termodinamica, postulati di Kelvin-Planck e di Clausius, reversibilità ed irreversibilità.
Teoremi di Carnot e di Clausius, la funzione di stato entropia, il principio dell'aumento
180
dell'entropia, calcoli di variazioni di entropia per trasformazioni di gas ideali.
Teoria cinetica dei gas, relazione tra temperatura ed energia cinetica, teorema di equipartizione
dell'energia, cp e cv, distribuzione delle velocità di Maxwell, coefficiente di viscosità.
TESTI
Adottato: C. MENCUCCINI, V. SILVESTRINI. "Fisica I Meccanica Termodinamica", Liguori Editore
Adeguati: P.MAZZOLDI, M.NIGRO, C.VOCI, "Fisica", Volume I, ed. EdiSES P. TIPLER, "Corso di Fisica",
ed. Zanichelli R. RESNIK, D. HALLIDAY, "Fisica" Vol. I, ed. Casa Editrice Ambrosiana S. ROSATI, "Fisica
Generale I", ed. Ambrosiana M. ALONSO, E. FINN: "Elementi di Fisica per l’Università", Vol. I, ed. Masson
Per approfondimenti: R. Feynman: La fisica di Feynman [vol_1] / Meccanica, radiazione, calore, ed. Zanichelli
Fisica II - Non attivato nell’a.a. 2008/09
Codice: M8516
Docente: Prof. Guido Boffetta (Titolare del corso)
Anno: 2° anno
Crediti/Valenza: 6
OBIETTIVI
Conoscenza dei temi classici della Fisica relativi alle equazioni di Maxwell nel vuoto.
Studio dell’elettromagnetismo nel vuoto.
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso) Insegnamenti fornitori Meccanica Fisica I Calcolo differenziale, Geometria e Algebra
Lineare Analisi Matematica I, II, Geometria I, II
Elettromagnetismo
Fisica III
Argomento
Ore
Lezione
181
Elettrostatica
13
13
Elettrodinamica
14
14
Magnetostatica
13
13
Magnetodinamica
14
14
Totale
54
54
Legge di Coulomb, Campo elettrico di un dipolo, Campo filo rettilineo.
Teorema di Gauss. Applicazioni: sfera uniformemente carica e filo
rettilineo.
Definizione di nabla. Teorema della divergenza. I equazione di Maxwell.
Potenziale elettrico. Potenziale sfera carica. Enunciato teorema di
Stokes.
Definizione di conduttori. Campo e potenziale sfera conduttrice.
Definizione di capacita’.
Condenzatori. Collegamenti in serie e parallelo. Energia del campo
elettrico.
Corrente elettrica. Leggi di Kirchhoff. Leggi di Ohm.
Potenza circuito. Effetto Joule. Resistenze in serie e parallelo.
Generatori di fem.
Cenni ad elettrostatica con dielettrici. Polarizzazione.
Forza di Lorentz. Moto di carica in campo magnetico uniforme.
Legge di Laplace. Forza su spira rettangolare. Legge di Biot e Savart,
campo magnetico di filo infinito.
Teorema circuitazione di Ampere. Teorema di Gauss per campo magnetico.
Campo nel centro di un spira. Campo magnetico in un solenoide.
Circuiti RC.
Cenni a magnetismo nella materia. Campi H e M. Diamagneti, paramagneti e ferromagneti.
Legge di induzione di Faraday. Legge di Lenz.
III equazione di Maxwell nel caso non stazionario. Induttanza. Calcolo
induttanza per un solenoide.
182
Circuiti RL. Analisi energetica. Mutua induttanza.
IV equazione di Maxwell nel caso non stazionario. Corrente di spostamento.
Correnti alternate. Circuiti RCL. Metodo simbolico.
Moto ondoso. Equazione delle onde.
Onde em. Trasversalita’ e relazione E,B,v. Spettro onde em.
TESTI
Un qualsiasi testo universitario ad uso facolta’ scientifiche. In particolare, MENCUCCINI e SILVESTRINI,
Fisica II, Liguori Editore.
NOTA
L’esame si svolge, di norma, come segue: prova scritta e colloquio orale.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Martedì
8:00 - 10:00
Venerdì
8:00 - 10:00
Lezioni: dal 03/03/2008 al 13/06/2008
Nota: ATTENZIONE: il 6/06/2008 e il 13/06/2008 la lezione si terrà dalle 8.00 alle 11.00
TUTORATO: martedì dalle 14.00 alle 16.00.
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=ceef
Fisica III - a.a. 2008/09
Codice: MFN0183
Docente: Prof. Wanda Maria Alberico (Titolare del corso)
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 5
SSD: FIS/02 - fisica teorica, modelli e metodi matematici
Avvalenza: 5CFU Ambito C
OBIETTIVI
Il corso si propone di fornire agli studenti la preparazione teorica sugli sviluppi dell’elettromagnetismo
successivi alla formulazione di Maxwell, in particolare sulle onde elettromagnetiche e le loro applicazioni,
nonchè sulla relatività ristretta formulata da Einstein, alla luce degli importanti e susseguenti sviluppi della fisica
moderna.
L’allievo/a dovrà imparare a riconoscere le proprietà caratterizzanti di un fenomeno ondulatorio, esser capace di
astrarre la descrizione teorica di un fenomeno fisico dallo stato particolare di moto dell’osservatore. Dovrà
inoltre apprendere i principi guida che hanno consentito il superamento delle leggi classiche.
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso)Insegnamenti fornitoriConoscenza delle leggi della meccanica e
dell'elettromagnetismoFisica I e Fisica IIConoscenza del calcolo differenziale e integrale, del calcolo
vettorialeAnalisi Matematica I e IIElementi di geometria analiticaGeometria I
183
Conoscenza delle caratteristiche di fenomeni tipicamente ondulatori, in ispecie riferiti alle onde
elettromagnetiche
Complementi di Fisica III
Altri corsi avanzati di Fisica
Elementi fondamentali della relatività ristretta e della meccanica relativistica
Complementi di Fisica IIIAltri corsi avanzati di Fisica
Capacità di critica della legge fisica nel confronto con l'esperimento.
Complementi di Fisica IIIAltri corsi avanzati di Fisica
Argomento
Ore
Lezione
Ore
Esercitazione
Richiami sulle onde, equazione delle onde, intensità, interferenza, effetto Doppler
4
4
Richiami sulle equazioni di Maxwell, le onde elettro-magnetiche (e.m.), emissione di onde e.m., spettro delle
onde e.m.
4
4
Cenni di ottica geometrica
2
184
2
Interferenza di onde, l'esperimento della doppiaa fenditura. Reticoli e spettri, L'interferometro di
Michelson
7
1
8
Diffrazione da una singola fenditura, interferenza e diffrazione, potere risolutivo, polarizzazione delle onde e.m.
9
1
10
Richiami sulla relatività galileiana e principio di relatività (ristretta) di Einstein. Le trasformazioni di Lorentz e
loro conseguenze. Cenni di dinamica relativistica
10
1
11
Prime evidenze sulla crisi della fisica classica. Interazione tra radiazione e materia. La radiazione di corpo nero.
L'effetto fotoelettrico
6
6
Totale
42
3
45
Italiano
Richiami sulle onde: equazione delle onde, intensita’, interferenza, effetto Doppler.
Richiami sulle equazioni di Maxwell. Le onde elettromagnetiche; pressione di radiazione, emissione di onde
elettromagnetiche; lo spettro delle onde e.m.
Cenni di ottica geometrica.
Interferenza di onde. L’esperimento della doppia fenditura. Reticoli e spettri. L’interferometro di Michelson.
Diffrazione da una singola fenditura, interferenza e diffrazione, potere risolutivo.
Cenno alla polarizzazione delle onde elettromagnetiche.
La relativita’: richiami sulla relativita’ galileiana e principio di relativita’ di Einstein. Le trasformazioni di
Lorentz e loro conseguenze. Cenni di dinamica relativistica.
Prime evidenze sulla crisi della fisica classica. Interazione tra radiazione e materia. La radiazione del corpo
nero.
185
English
Recollections on waves: wave equation, intensity, interference, Doppler effect.
Recollections on Maxwell equations. The electromagnetic waves: radiation pressure, emission of e.m. waves; the
spectrum of e.m. waves.
Elements of geometrical optics.
Interference of waves: the experiment of the double slit. Lattices and spectra; The interferometer of Michelson.
Diffraction from a single slit, interference and diffraction from two slits. Elements about polarization of the e.m.
waves.
Special relativity: recollections about Galilean relativity; Einstein principle of relativity. The Lorentz
transformations and their consequences. Elements of relativistic dynamics.
First evidences on the crisis of classical physics. Interaction between radiation and matter. The black body
radiation.
.
TESTI
W.E. GETTYS, F.J. KELLER, M.J. SKOVE, Fisica classica e moderna, vol. 2, Ed. Mc Graw-Hill
NOTA
Modalità di verifica/esame: l’esame consiste in una prova orale, nel corso della quale verrà richiesta la
conoscenza degli argomenti illustrati e sviluppati a lezione.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Martedì
12:00 - 14:00
Giovedì
12:00 - 14:00
Lezioni: dal 29/09/2008 al 09/01/2009
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=bb05
Fisica III Complementi - a.a. 2008/09
Codice: MFN0151
Docente: Prof. Wanda Maria Alberico (Titolare del corso)
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 2
186
OBIETTIVI
Il corso si propone di fornire agli studenti la preparazione teorica sulle origini della fisica moderna, in particolare
sulle prime manifestazioni della natura quantistica del mondo atomico e subatomico e sulle prime formulazioni
della meccanica quantistica.
L’allievo/a dovrà imparare l’importanza dell’analisi critica dei dati sperimentali e l’introduzione di concetti poco
intuitivi ma necessari al superamento di quelle leggi fisiche che si possono rivelare inadeguate. Inoltre dovrà
saper individuare il perchè e il come alcuni fenomeni, incompatibili con la fisica clasica, hanno richiesto una
trattazione quantistica.
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso)Insegnamenti fornitoriConoscenza delle leggi della meccanica e
dell'elettromagnetismoFisica I e Fisica IIConoscenza delle proprietà delle onde e.m. e dei fondamenti
della relatività ristrettaFisica IIIElementi di meccanica analiticaFisica Matematica I
Fondamenti della teoria dei quanti in relazione ai dati osservativi
Corsi di Specializzazione, SIS
Principio di indeterminazione ed Equazione di Schroedinger
Idem
Struttura degli atomi
Idem
Argomento
Ore
Lezione
Richiami sull'effetto fotoelettrico. L'effetto Compton. Gli spettri a righe degli atomi e i modelli
atomici di Rutherford e di Bohr.
7
7
Le onde di De Broglie. La diffrazione degli elettroni. Il dualismo onda-corpuscolo. Le relazioni di
187
7
7
L'equazione di Schroedinger e qualche applicazione (buca di potenziale, oscillatore armonico). Cenni
all'effetto tunnel.
4
4
Totale
18
18
Vengono considerati quei fenomeni che, incompatibili con la fisica classica, hanno portato alla nascita della
Meccanica Quantistica.
Richiami sull’effetto fotoelettrico. L’effetto Compton. Gli spettri a righe degli atomi e i modelli atomici di
Rutherford e Bohr. Le onde di de Broglie. La diffrazione degli elettroni. Il dualismo onda-corpuscolo.
Le relazioni di indeterminazione di Heisenberg.
L’equazione di Schroedinger: applicazione al caso della buca di potenziale. Cenni all’effetto tunnel.
TESTI
W.E. GETTYS, F.J. KELLER, M.J. SKOVE, Fisica classica e moderna, vol. 2, Ed. Mc Graw-Hill
NOTA
Modalità di verifica/esame: l’esame consiste in una prova orale, nel corso della quale l’allievo/a illustrerà un
argomento specifico preliminarmente concordato col docente.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Lunedì
14:00 - 16:00
Mercoledì
16:00 - 18:00
Lezioni: dal 02/03/2009 al 01/04/2009
Nota: Il corso termina l’1/04/2009
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=73cf
Fisica Matematica (DM 509)
Codice: MFN0053 / MFN0054 / S8860
Docente: Prof. Lorenzo Fatibene (Titolare del corso)
Tipologia: D.M. 509
Anno: 2° anno
Crediti/Valenza: 7
SSD: MAT/07 - fisica matematica
188
OBIETTIVI
Studiare da un punto di vista variazionale le teorie relativistiche e le differenti formulazioni della relatività di
Einstein. Verranno inoltre fornite conoscenze introduttive ai problemi legati alla gravità quantistica.
Conoscenza delle tecniche variazionali e la loro applicazione alle teorie relativistiche.
PROGRAMMA
Italiano
Principio di covarianza generale
Geodetiche in varietà Lorentziane
Formulazione dei problemi variazionali in teoria dei campi.
Leggi di conservazione e superpotenziali.
La relatività generale di Hilbert-Einstein.
Connessioni su varietà e formulazione di Palatini
Connessioni di gauge
Teorie di Yang-Mills
Teorema di universalità per teorie f(R)
Formulazione autoduale
Decomposizione ADM
Stati pre-quantum
Funzioni cilindriche
Rappresentazioni di SU(2)
Spin networks
Operatore di Area (cenni)
English
General covariance principle
Geodesics on Lorentzian manifolds
Variational principles in field theory
Conservation laws and superpotentials
Hilbert-Einstein General Relativity
Connections on manifolds and Palatini formulation
189
Gauge connections
Yang-Mills theories
Universality theorem for f(R) theories
Selfdual formulation for general relativity
ADM splittings
Prequantun states
Cylindrical functions
SU(2) representations
Spin networks
Area Operator
.
TESTI
Note distribuite dal docente L.Fatibene and M.Francaviglia. Natural and gauge natural formalism for classical
field theories. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2003 C.Rovelli, Quantun Gravity, Cambridge Press
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=ecae
Fisica Matematica - a.a. 2008/09
Docente: Prof. Lorenzo Fatibene (Titolare del corso)
Crediti/Valenza: 7
OBIETTIVI
In questo corso si rivedranno i fondamenti necessari a studiare Loop Quantum Gravity (LQG). La LQG è una
proposta per definire una teoria quantistica della gravitazione che sia indipendente da background e
non-perturbativa. Benché la teoria sia ancora lontana dalla sua forma definitiva (e ancor più da una conferma
sperimentale) presenta diversi punti interesse sia dal punto di vista fisico che puramente fisico matematico.
Attualmente, insieme alla teoria delle stringhe, rappresenta una delle proposte più promettenti per una teoria
quantistica della gravitazione. Il corso è finalizzato alla introduzione dei principali strumenti necessari per la
costruzione della LQG nella sua formulazione corrente e nella presentazione della parte della teoria che appare
oggi consolidata.
Il corso ha come obbiettivo l’introduzione dei principali strumenti necessari per la costruzione della LQG nella
sua formulazione corrente e nella presentazione della parte della teoria che appare oggi consolidata
190
PROGRAMMA
Gli studenti specializzandi dovrebbero avere una conoscenza della formulazione variazionale della Relatività
Generale classica, della geometria differenziale e una conoscenza operativa della teoria dei fibrati e delle sue
applicazioni in fisica matematica (ad esempio aver seguito il corso: Metodi Geometrici della Fisica Matematica).
E’ gradita inoltre una conoscenza della formulazione delle teorie quantistiche. Tali prerequisiti saranno
comunque rivisti all’inizio del corso.
Il corso è aperto anche agli studenti di dottorato, che possono saltare i prerequisiti.
Argomento
Ore
Lezione
Fibrati principali e connessioni
8
Algebre di Clifford e gruppi di Spin
6
Modelli cosmologici
4
Formulazione tetrade-affine della relatività generale
6
Formulazione autoduale e variabili di Ashtekar
4
Connessione di Barbero-Immirzi
2
191
Gruppi di olonomia e teorema di rappresentazione
4
Teoria delle rappresentazioni di SU(2) e intertwiners
6
Spin networks
4
Operatori di Area e Volume
6
Cenni di applicazioni
3
Cenni sui problemi aperti
3
Totale
56
Fibrati principali e connessioni
Formulazione tetrade-affine della relatività generale
Formulazione autoduale e variabili di Ashtekar
Connessione di Barbero-Immirzi
Gruppi di olonomia e teorema di rappresentazione
Teoria delle rappresentazioni di SU(2) e intertwiners
Spin networks
Operatori di Area e Volume
Cenni di applicazioni
Cenni sui problemi aperti
192
TESTI
Lorenzo Fatibene, M. Francaviglia, Natural and Gauge Natural Formalism for Classical Field Theories: A
Geometric Perspective Including Spinors and Gauge Theories, Kluwer Academic Pub Carlo Rovelli, Quantum
Gravity, Cambridge press A. Ashtekar, J. Lewandowski, Background Independent Quantum Gravity: a Status
Report T. Thiemann, Lectures on Loop Quantum Gravity S. Kobayashi and K. Numizu, Foundation of
Differential Geometry (Wiley, New York, 1969) Lorenzo Fatibene, M. Francaviglia, , Natural and Gauge
Natural Formalism for Classical Field Theories: A Geometric Perspective Including Spinors and Gauge
Theories, Kluwer Academic Pub
NOTA
Gli studenti interessati sono pregati di contattare entro l’inizio di ottobre il docente per mail. Esame orale sugli
argomenti del corso o, previo accordo, con seminario su argomenti toccati durante il corso. 9. Modalità di
verifica/esame Esame orale sugli argomenti del corso o, previo accordo, con seminario su argomenti toccati
durante il corso. Vedi qui
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Martedì
13:00 - 16:00
Venerdì
13:00 - 16:00
Aula
Lezioni: dal 29/09/2008 al 09/01/2009
Nota: Le lezioni si terranno nello studio del docente
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=e8ba
Fisica Matematica I - Non attivato nell’a.a. 2008/09
Codice: M8515
Docente: Prof. Franco Pastrone (Titolare del corso), Prof. Manuelita Bonadies (Esercitatore), Prof.
Marcella Palese (Tutor)
Anno: 2° anno
Crediti/Valenza: 7
OBIETTIVI
Fornire le conoscenze di base della meccanica del punto e dei sistemi particellari, con particolare attenzione alla
metodologia e agli strumenti matematici necessari per costruire delle teorie fisico-matematiche rigorose e nello
stesso tempo utilizzabili nelle applicazioni. Introdurre ai concetti dei modelli matematici in meccanica, secondo
la struttura della Meccanica Razionale.
Acquisizione delle tecniche di base (equazioni differenziali, teoria dei sistemi dinamici, algebra lineare)
necessarie per impostare e risolvere semplici problemi di meccanica del punto, dei sistemi discreti di punti e del
corpo rigido. Conoscenze di carattere teorico da saper usare per affrontare problemi applicati, competenze sugli
strumenti con capacità di uso anche in campi diversi da quelli sviluppati nel corso.
PROGRAMMA
193
Pre-requisiti (in ingresso) Insegnamenti fornitori Calcolo differenziale e integrale, equazioni differenziali
ordinarie Analisi Matematica I, II, III Geometria delle curve e delle superficie Geometria I, II, III Algebra lineare
e multilineare Algebra I, Geometria I, II, III
Equazioni della dinamica e della statica dei sistemi.
Fisica Matematica II, Complementi di Fisica Matematica II
Fondamenti della Meccanica Razionale
Fisica III
Sistemi dinamici, integrali primi
Fisica Matematica II, Equazioni differenziali ordinarie
Argomento
Ore
Lezione
Ore
Esercitazione
Cinematica e dinamica del punto, riferimenti, leggi fondamentali della dinamica del punto
18
15
33
Sistema di due punti e problema dei due corpi
4
1
5
Sistemi particellari
194
7
2
9
Corpi rigidi
7
9
16
Totale
36
27
63
Cinematica del punto. Alcuni moti elementari; l'equazione di Weierstrass. Rappresentazione intrinseca del
moto: velocità, accelerazione, curvatura, formule di Frenet. Moti centrali: definizioni, teoremi, formule di Binet
; moti su di una superficie; moti geodetici. Riferimenti e leggi di cambiamento di riferimento. Leggi
fondamentali della dinamica del punto libero; forze reali ed apparenti; i teoremi della quantità di moto, del
momento della quantità di moto e dell'energia. Cenni sui sistemi dinamici. Integrali primi. Il punto
vincolato; reazioni vincolari; vincoli lisci; integrali primi. Equilibrio e stabilità (secondo Liapounov). Esempi:
campi di forze centrali e simmetriche; il campo gravitazionale newtoniano; il pendolo matematico; moto in
campo centrale e in campo newtoniano. Sistema di due punti e problema dei due corpi. Dinamica dei sistemi
finiti di punti; forze interne ed esterne; il teorema del baricentro e il teorema di König; le equazioni cardinali.
Sistemi vincolati. Integrali primi di moto. Moti rigidi: cinematica dei moti rigidi; grandezze cinetiche e
dinamiche. Le equazioni di moto. Moti rigidi un asse fisso e con un punto fisso; pendolo fisico, giroscopi, moto
alla Poinsot.
TESTI
Franco Pastrone, Dispense del Corso di Fisica Matematica I (in sito e, in forma cartacea, presso il Centro
Stampa) Il materiale relativo alle esercitazioni è disponibile in forma cartacea presso il Centro Stampa.
NOTA
Modalità di esame: si veda "Norme di esame di Fisica Matematica I" in materiale didattico. L’esame si svolge, di
norma, come segue: L’esame di Fisica Matematica I consiste di una prova scritta obbligatoria e una prova orale
facoltativa. Le date delle prove scritte e orali vengono fissate all’inizio del semestre secondo il calendario
stabilito dal C.C.S.. Per sostenere la prova scritta è necessario prenotarsi entro il giorno prima della data fissata
in calendario. La prova scritta dura tre ore. Durante la prova non si possono consultare testi ed appunti. Vengono
forniti fogli per la brutta e la bella copia. Si richiede di consegnare, di norma, la sola bella copia. La prova scritta
è articolata in due parti: a) due esercizi su argomenti svolti nelle esercitazioni e nelle lezioni, b) due temi di
teoria su argomenti svolti nelle lezioni e nelle esercitazioni In sede di valutazione della prova scritta si prenderà
in esame il punto b) solo se il punto a) è stato svolto in modo sufficiente. Chi superi la prova scritta potrà
registrare il voto in sede di appello, come stabilito dal calendario ufficiale. Qualora non si intenda accettare il
voto dello scritto, si può ripetere la prova scritta oppure sostenere la prova orale. Chi non avesse risposto a
entrambe le domande di teoria, avendo però ottenuto un punteggio sufficiente con i soli esercizi, dovrà sostenere
la prova orale, oppure potrà ripetere la prova scritta.
195
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Lunedì
11:00 - 13:00
Martedì
10:00 - 11:00
Giovedì
8:00 - 10:00
Lezioni: dal 03/03/2008 al 13/06/2008
Nota: TUTORATO: mercoledì dalle 14.00 alle 16.00.
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=c520
Fisica Matematica II - a.a. 2008/09
Codice: MFN0189
Docente: Prof. Franco Pastrone (Titolare del corso), Prof. Manuelita Bonadies (Titolare del corso)
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 5
OBIETTIVI
Acquisire le nozioni di base della meccanica analitica (sistemi Hamiltoniani, equazioni di Lagrange e principi
variazionali della meccanica) e della relatività ristretta (cinematica e dinamica del punto in una spazio
minkowskiano)
Modellizzazione di semplici sistemi meccanici vincolati (punti materiali e corpi rigidi) e studio qualitativo del
loro comportamento utilizzando le tecniche della meccanica analitica. Conoscenze elementari di relatività
ristretta.
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso)Insegnamenti fornitoriCalcolo differenziale in più variabiliAnalisi Matematica I, II, III,
IVFondamenti di topologiaAnalisi Matematica I, II, III, IV
Algebra lineare e geometria
Geometria I, II, IIIMeccanica classicaFisica Matematica I
Nozioni di base di meccanica analitica e principi variazionali
196
Istituzioni di Fisica Matematica (LM), Meccanica Superiore (LM), Meccanica del Continuo.Metodi e Modelli
Matematici per le Applicazioni (LM), Metodi Geometrici per la Fisica Matematica, Modelli Fisico – Matematici
(LT e LM), Sistemi Dinamici e Introduzione alla Teoria del Caos (LT e LM)
Argomento
Ore
Lezione
Ore
Esercitazione
Varietà differenziabili
1
0
1
Equazioni di Lagrange
4
2
6
Principi variazionali della meccanica
1
1
2
Integrali primi
2
2
4
Equilibrio e stabilità
2
4
197
6
Piccole oscillazioni
2
4
6
Equazioni di Hamilton e trasformata di Legendre
3
3
6
Parentesi di Poisson e integrali primi
2
2
4
Elementi di Relatività Ristretta
10
0
10
Totale
27
18
45
Velocita’ reale e velocita’ virtuale per sistemi olonomi a vincoli dipendenti e indipendenti dal tempo.
Il principio dei lavori virtuali.
Varieta’ differenziabili, fibrato tangente e campi vettoriali.
Sistemi olonomi a vincoli indipendenti dal tempo. Esempi
Sistemi olonomi a vincoli dipendenti dal tempo. Esempi.
Le equazioni di Lagrange. Equivalenza delle equazioni del moto col PLV nel caso di un punto (sistema di punti)
con vincolo liscio.
Caso conservativo. Equazioni di Lagrange come sistema dinamico sul fibrato cotangente.
Equilibrio e stabilita’ secondo Liapunov. Teorema di Liapunov con dimostrazione. Criterio di Dirichlet con
dimostrazione. Linearizzazione.
Piccole oscillazioni e modi normali per un sistema lagrangiano linearizzato.
Integrali primi di sistemi lagrangiani: integrale primo dell’energia. Coordinate cicliche.
Il principio variazionale di Hamilton in forma lagrangiana. Lemma fondamentale del calcolo delle variazioni
(con dimostrazione).
Fibrato cotangente. Trasformata di Legendre e funzione di Hamilton.
198
Equazioni di Hamilton ed equivalenza con le equazioni di Lagrange (con dimostrazione).
Campo vettoriale Hamiltoniano.
Integrali primi di sistemi Hamiltoniani. Parentesi di Poisson.
Elementi di relatività ristretta. Spazi vettoriali pseudoeuclidei. Lo spazio di Minkowski. Cinematica relativistica
del punto. Riferimenti galileiani. Trasformazioni di Lorentz. Dinamica del punto. Equazioni in un riferimento
galileiano. Teorema dell’energia.
TESTI
S. BENENTI, Modelli matematici della meccanica II, Edizioni Celid, Torino 1997 F. PASTRONE, Dispense di
Fisica Matematica II, nel sito.
NOTA
Erogazione didattica tradizionale. Frequenza facoltativa. Ricevimento: lu., me., ve. 9-12. Modalità di
verifica/esame: - L’esame di Fisica Matematica II consiste di una prova scritta obbligatoria e una prova orale
facoltativa. - Il calendario delle prove scritte e orali viene fissato all’inizio del semestre secondo il calendario
stabilito dal C.C.S. - Per sostenere la prova scritta è necessario prenotarsi, secondo modalità che verranno
tempestivamente comunicate, entro il giorno prima della data fissata in calendario. - La prova scritta dura tre ore.
Durante la prova non si possono consultare testi ed appunti. Vengono forniti fogli per la brutta e la bella copia. Si
richiede di consegnare, di norma, la sola bella copia. - La prova scritta è articolata in due parti: a) un esercizio su
argomenti di Meccanica Analitica svolti nelle esercitazioni e nelle lezioni, b) due temi di teoria su argomenti
svolti nelle lezioni e nelle esercitazioni. - In sede di valutazione della prova scritta si prenderà in esame il punto
b) solo se il punto a) è stato svolto in modo sufficiente. - Chi superi la prova scritta potrà registrare il voto in sede
di appello, come stabilito dal calendario ufficiale. - Qualora non si intenda accettare il voto dello scritto, si può
ripetere la prova scritta oppure sostenere la prova orale. Chi non avesse risposto a entrambe le domande di teoria,
avendo però ottenuto un punteggio sufficiente con i soli esercizi, dovrà sostenere la prova orale, oppure potrà
ripetere la prova scritta. - Chi non superi lo scritto o non abbia conseguito un esito considerato soddisfacente,
può riprovare nelle sessioni d’esame successive, compatibilmente con le norme vigenti. La prova scritta ha
validità un anno. Le presenti norme valgono per l’a.a. 2008-2009. Breve curriculm scientifico di Franco
Pastrone. Laureato in Matematica con lode a Torino il 6/11/1968. Post Doctoral Fellow presso la J.Hopkins
Univ. di Baltimore (Maryland, USA) dal 1/7/1980 al 30/6/1981 Visiting Professor presso l’Università del
Manitoba (Winnipeg, Canada) dal 7/4/1984 al 15/8/1984; dal 15/6/1988 al 30/8/1988; dal 21/7/1993 al
15/8/1993 Posizione attuale : Professore Ordinario di Fisica Matematica - Facoltà di Scienze MFN - Università
di Torino Interessi scientifici. L’attivita‘ scientifica si e‘ prevalentemente svolta nell’area della teoria matematica
dell’elasticità, con particolare attenzione a problemi di statica e dinamica di continui elastici sottili, propagazione
di onde di discontinuita‘ in tali mezzi. Propagazione di onde non lineari in strutture complesse, microstrutture,
solidi granulari. I risultati di tali ricerche appaiono in lavori a stampa e comunicazioni a congressi, per un totale
di oltre sessanta pubblicazioni. Ha fatto parte del Comitato Organizzatore dei Congressi: -Simposio
IUTAM-ISIMM su "Modern Developments in Analytical Mechanics" Torino, 7/11 giugno 1982; -"Journèes
Relativistes 1983", Torino, 5/8 maggio 1983; -VIII Congresso Nazionale AIMETA, Torino, 29 settembre - 3
ottobre 1986; - XIII Congresso Naz. UMI, Torino, 3/9 settembre 1987; del comitato scientifico del Fifth
Intenational Sseminar on "Geometry, Continua and Microstructures", Sinaia (Romania), 26-28 settembre 2001
Ha organizzato i convegni: - 4th International Seminar on "Geometry, Continua and Microstructures", Torino,
26-28 ottobre 2000; - Remembering C. Truesdell (Convegno Internazionale con l’Acc delle Scienze di Torino),
Torino 20/11/2002; - Convegno conclusivo del Progetto COFIN-MIUR 2000: Modelli Matematici per la Scienza
dei Materiali, Torino, 21/23 novembre 2002 - 11th EUROMECH-MECAMAT Conference Mechanics of
microstructured solids: cellular materials, fibre reinforced solids and soft tissues to be held in Torino, Italy in
March 10-14, 2008. Responsabile locale di un progetto 40% fino al 2000, afferente a un Progetto Cofin MIUR
per i bienni 2000-02 e 02-04; dal 1985 membro del Selection Committee della Society for Natural Philosophy;
responsabile, a partire da date diverse, per parte italiana di un accordo culturale tra l’Universita‘ di Torino e: - la
Bulgarska Academia na Naukite di Sofia, relativo ad attività di cooperazione scientifica tra il Dipartimento di
Matematica di questa Universita‘ e il Department of Solid Mechanics- B.A.N. di Sofia; - la Technical University
di Tallinn, Estonia, via il CENS; - l’Universitè de Haute Alsace, Nancy, Francia, via il LEMTA-ENSEM.
coordinatore locale di un progetto INTAS per il 2001/03; dal 15/12/1994 al 30/09/2001 Direttore del
199
Dipartimento di Matematica dell’Università di Torino; dal 1/12/1993 presidente dell’Associazione Subalpina
Mathesis dal 15/05/2008 Socio corrispondente dell’Accademia delle Scienze di Torino. Breve curriculum
scientifico di Manuelita Bonadies Laureata in Matematica con lode a Torino il 9.7.1975 Posizione attuale
Ricercatore confermato presso il Dipartimento di Matematica dell’Università di Torino. Periodi trascorsi
all’estero - dal 15.10.1982 al 14.10.1983 presso il Department of Mathematics University of Maryland ( USA)
con Borsa di studio C.N.R. - dal 4.01.1985 al 24.02.1985 presso l’Institute for Mathematics and its Applications,
University of Minnesota (USA) in occasione dell’anno su "Continuum Physics and P.D.E." Interessi di ricerca
Meccanica dei continui con particolare riferimento ai continui sottili, nell’ambito di teorie dirette alla Cosserat e
con interesse specifico per problemi connessi alla formulazione delle equazioni di moto sia nella teoria diretta
che in quella dedotta dal caso tridimensionale, problemi di equilibrio e stabilità per tali continui sottoposti a
diverse condizioni di carico ai bordi mediante la teoria delle biforcazioni, propagazione di onde di discontinuità
in tali continui. I risultati di tali ricerche appaiono in lavori a stampa e in comunicazioni a convegni. Membro del
Comitato Organizzatore dei Convegni: - 4th International Seminar on "Geometry, Continua and
Microstructures", Torino, 26-28 ottobre 2000; - 11th EUROMECH-MECAMAT Conference Mechanics of
microstructured solids: cellular materials, fibre reinforced solids and soft tissues, Torino, 10-14 marzo 2008.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Lunedì
12:00 - 14:00
Mercoledì
12:00 - 14:00
Venerdì
12:00 - 13:00
Lezioni: dal 29/09/2008 al 09/01/2009
Fisica Matematica II Complementi - a.a. 2008/09
Codice: MFN0152
Docente: Prof. Manuelita Bonadies (Titolare del corso)
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 2
OBIETTIVI
L’obiettivo principale del corso è fornire allo studente le nozioni e le abilità necessarie a studiare modelli
matematici per problemi di tipo applicativo, utilizzando gli strumenti della meccanica analitica.
Acquisizione delle tecniche necessarie per trattare l’equazione di Hamilton-Jacobi.
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso)Insegnamenti fornitoriCalcolo differenziale in più variabiliAnalisi Matematica
I,II,III,IVFondamenti di topologiaAnalisi Matematica I,II,III,IV
200
Geometria I,II,IIIMeccanica classicaFisica Matematica IMeccanica analiticaFisica Matematica II
Nozioni di base del formalismo canonico della meccanica analitica e tecniche per lo studio dell’equazione di
Hamilton-Jacobi.
Istituzioni di Fisica Matematica (LM), Meccanica Superiore (LM), Metodi e Modelli Matematici per le
Applicazioni (LM), Metodi Geometrici per la Fisica Matematica, Modelli Fisico – Matematici (LT).
Argomento
Ore
Lezione
Richiami su campi vettoriali e sulle forme su di una varietà.
2
2
Definizione intrinseca di campo hamiltoniano.
2
2
2-forma simplettica ed equazioni canoniche di Hamilton
2
2
Trasformazioni canoniche
6
6
Equazione di Hamilton-Jacobi.
4
4
Metodo della separazione delle variabili.
201
2
2
Totale
18
18
Richiami sui campi vettoriali e sulle forme su di una varietà. Definizione intrinseca di campo hamiltoniano.
2-forma simplettica ed equazioni canoniche di Hamilton. Trasformazioni canoniche. Equazione di
Hamilton-Jacobi. Metodo della separazione delle variabili.
TESTI
S.Benenti, Modelli Matematici della Meccanica II, Edizioni Celid, Torino 1997 A.Fasano, S.Marmi, Meccanica
Analitica, Bollati Boringhieri, Torino 2002 L.D.Landau, E.M.Lifschitz, Meccanica, Editori Riuniti, Roma, 1976
NOTA
Erogazione didattica tradizionale. Frequenza facoltativa. Orario di ricevimento: Mercoledì dalle 10 alle 12
oppure su appuntamento. Modalità d’esame: l’esame è orale e può venir sostenuto nella stessa data di Fisica
Matematica II o in momenti distinti. Breve curriculum scientifico di Manuelita Bonadies Laureata in Matematica
con lode a Torino il 9.7.1975 Posizione attuale Ricercatore confermato presso il Dipartimento di Matematica
dell’Università di Torino. Periodi trascorsi all’estero -dal 15.10.1982 al 14.10.1983 presso il Department of
Mathematics University of Maryland ( USA) con Borsa di studio C.N.R. - dal 4.01.1985 al 24.02.1985 presso
l’Institute for Mathematics and its Applications, University of Minnesota (USA) in occasione dell’anno su
"Continuum Physics and P.D.E." Interessi di ricerca Meccanica dei continui con particolare riferimento ai
continui sottili, nell’ambito di teorie dirette alla Cosserat e con interesse specifico per problemi connessi alla
formulazione delle equazioni di moto sia nella teoria diretta che in quella dedotta dal caso tridimensionale,
problemi di equilibrio e stabilità per tali continui sottoposti a diverse condizioni di carico ai bordi mediante la
teoria delle biforcazioni, propagazione di onde di discontinuità in tali continui. I risultati di tali ricerche appaiono
in lavori a stampa e in comunicazioni a convegni. Membro del Comitato Organizzatore dei Convegni: 4th
International Seminar on "Geometry, Continua and Microstructures", Torino, 26-28 ottobre 2000; - 11th
EUROMECH-MECAMAT Conference Mechanics of microstructured solids: cellular materials, fibre reinforced
solids and soft tissues, Torino, 10-14 marzo 2008.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Nota: Le lezioni iniziano al termine del corso Fisica Matematica II negli stessi orari.
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=7e0a
202
Fondamenti della Geometria - Non attivato nell’a.a. 2008/09
Codice: M8581
Docente:
Recapito: []
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 5
OBIETTIVI
Obiettivo del corso è lo studio delle geometrie localmente euclidee e della geometria iperbolica.
PROGRAMMA
La geometria in Euclide. Geometria sul cilindro e sul toro.
Classificazione delle geometrie localmente euclidee.
Geometrie sul toro e la geometria di Lobachevsky.
L’inversione circolare e le trasformazioni conformi
La pseudosfera Il semipiano di Poincaré
Il disco di Klein e il disco di Poincaré
Teoremi della geometria assoluta, della geometria euclidea e della geometria iperbolica
Il corso sarà accompagnato da esercitazioni al computer con software di geometria.
TESTI
V.V.NIKULIN, I.R.SHAFAREVICH, Geometries and Groups, Universitext, Springer, 1987 M.J.
GREENBERG, Euclidean and Non-euclidean Geometries, 2nd ed., Freeman & Company, New York, 1974 R.
OSSERMAN, Poesia dell’Universo, TEA, Milano, 1995
Fondamenti della Geometria Complementi - Non attivato nell’a.a.
2008/09
Codice: M8582
Docente:
Recapito: []
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 2
PROGRAMMA
Trigonometria e punti notevoli di un triangolo in geometria iperbolica.
La nascita della geometria iperbolica: analisi storica e matematica dell'opera di Saccheri del 1733 Euclide
liberato da ogni macchia
TESTI
M.J. GREENBERG, Euclidean and Non-euclidean Geometries, 2nd ed., Freeman & Company, New York, 1974
G. SACCHERI, Euclide liberato da ogni macchia, Bompiani, Milano, 2001
203
Fondamenti della Matematica (DM 509)
Codice: MFN0055 / MFN0056 / S8503
Tipologia: D.M. 270
Anno: 2° anno
Crediti/Valenza: 7
OBIETTIVI
Educare al rigore logico deduttivo, sviluppare capacità critiche e dimostrative.
L’allievo deve essere in grado di - argomentare correttamente - conoscere l’evoluzione storica dei principali
concetti e metodi presentati - orientarsi nella bibliografia primaria e secondaria sul tema
PROGRAMMA
Italiano
La prima parte del corso è dedicata ai fondamenti dell'aritmetica. Si affronteranno i seguenti temi:
- Assiomi dell'aritmetica del 1° ordine. Primi sviluppi di tale teoria. Proprietà della divisione. Massimo
comun divisore e minimo comune multiplo. Numeri relativamente primi. Teorema cinese del resto. Ricorsione
primitiva. Funzione esponenziale e gerarchia superesponenziale. Fattorizzazione prima.
- Assiomi della teoria assoluta degli insiemi. Primi sviluppi della teoria. Insiemi ben fondati. Principi di
induzione. Insiemi e classi. Numeri ordinali e naturali. Operazioni aritmetiche sugli ordinali. La nozione di finito
e l'assioma dell'infinito. Numeri cardinali. Teorema di Cantor. Operazioni aritmetiche sui cardinali.
La seconda parte del corso è dedicata ai fondamenti della geometria con particolare attenzione alla teoria delle
parallele e alla nascita delle geometrie non euclidee. Si affronteranno, con un approccio storico i temi seguenti:
- La teoria delle parallele in Euclide e i commenti di Proclo
- Le critiche al V postulato dai matematici islamici a John Wallis
- L'Euclides ab omni naevo vindicatus di Girolamo Saccheri
- Le ricerche sui fondamenti della geometria nella seconda metà del Settecento: i contributi di Johann H.
Lambert e di Adrien M. Legendre
- I creatori delle geometrie non euclidee: Carl F. Gauss, Nikolai Lobacevskij, Janos Bolyai
- Dalle Disquisitiones generales circa superficies curvas di C. F. Gauss al Saggio di interpretazione della
geometria non euclidea di Eugenio Beltrami.
English
The first part of this course is dedicated to the foundations of arithmetic:
204
- Axioms of first order Arithmetic. First developments of the theory. Properties of division. Greatest common
divisor and least common multiple. Relatively prime numbers. The Chinese Remainder Theorem. Primitive
recursion. Exponential function and super-exponential hierarchy. Prime factorisation.
- Axioms of Absolute Set Theory. First developments of the theory. Well-founded sets. Induction principles. Sets
and classes. Ordinal and natural numbers. Arithmetical operations on ordinals. The notion of finite and the
axiom of infinity. Cardinal numbers. Cantor's Theorem. Arithmetical operations on cardinals.
The second part of this course is dedicated to the foundations of geometry, with particular attention given to the
theory of parallels and the birth of non-Euclidean geometry. Using a historical approach, the following topics
will be addressed:
- the theory of parallels in Euclid and the commentary by Proclus;
- criticism of Euclid's fifth postulate from the Islamic mathematics to John Wallis;
Euclides ab omni naevo vindicatus by Girolamo Saccheri;
- the studies on foundations of geometry in the second half of the 1700s: the contributions of Johann Heinrich
Lambert and Adrien-Marie Legendre;
- the creators of non-Euclidean geometries: Carl Friedrich Gauss, Nikolai Lobacevskij, Janos Bolyai;
- from the Disquisitiones generales circa superficies curvas by Gauss to the Saggio di interpretazione della
geometria non euclidea by Eugenio Beltrami.
.
TESTI
I parte Quaderni a cura di Flavio Previale II parte D.& C. PALLADINO, Le geometrie non euclidee, Roma,
Carocci, 2008 B. A., ROSENFELD, A history of Non-euclidean Geometry. Evolution of the concept of a
geometric space, Springer-Verlag, New York, 1998 Verranno forniti agli studenti articoli su argomenti specifici
del corso.
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=0baa
Fondamenti della Matematica (DM 509)
Codice: MFN0153
Docente: Prof. Livia Giacardi (Titolare del corso), Prof. Flavio Previale (Esercitatore)
Tipologia: D.M. 509
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 5
OBIETTIVI
Educare al rigore logico deduttivo, sviluppare capacità critiche e dimostrative.
L’allievo deve essere in grado di - argomentare correttamente - conoscere l’evoluzione storica dei principali
concetti e metodi presentati - orientarsi nella bibliografia primaria e secondaria sul tema
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PROGRAMMA
Italiano
La prima parte del corso è dedicata ai fondamenti dell'aritmetica. Si affronteranno i seguenti temi:
- Assiomi dell'aritmetica del 1° ordine. Primi sviluppi di tale teoria. Proprietà della divisione. Massimo
comun divisore e minimo comune multiplo. Numeri relativamente primi. Teorema cinese del resto. Ricorsione
primitiva. Funzione esponenziale e gerarchia superesponenziale. Fattorizzazione prima.
- Assiomi della teoria assoluta degli insiemi. Primi sviluppi della teoria. Insiemi ben fondati. Principi di
induzione. Insiemi e classi. Numeri ordinali e naturali. Operazioni aritmetiche sugli ordinali. La nozione di finito
e l'assioma dell'infinito. Numeri cardinali. Teorema di Cantor. Operazioni aritmetiche sui cardinali.
La seconda parte del corso è dedicata ai fondamenti della geometria con particolare attenzione alla teoria delle
parallele e alla nascita delle geometrie non euclidee. Si affronteranno, con un approccio storico i temi seguenti:
- La teoria delle parallele in Euclide e i commenti di Proclo
- Le critiche al V postulato dai matematici islamici a John Wallis
- L'Euclides ab omni naevo vindicatus di Girolamo Saccheri
- Le ricerche sui fondamenti della geometria nella seconda metà del Settecento: i contributi di Johann H.
Lambert e di Adrien M. Legendre
- I creatori delle geometrie non euclidee: Carl F. Gauss, Nikolai Lobacevskij, Janos Bolyai
- Dalle Disquisitiones generales circa superficies curvas di C. F. Gauss al Saggio di interpretazione della
geometria non euclidea di Eugenio Beltrami.
English
The first part of this course is dedicated to the foundations of arithmetic:
- Axioms of first order Arithmetic. First developments of the theory. Properties of division. Greatest common
divisor and least common multiple. Relatively prime numbers. The Chinese Remainder Theorem. Primitive
recursion. Exponential function and super-exponential hierarchy. Prime factorisation.
- Axioms of Absolute Set Theory. First developments of the theory. Well-founded sets. Induction principles. Sets
and classes. Ordinal and natural numbers. Arithmetical operations on ordinals. The notion of finite and the
axiom of infinity. Cardinal numbers. Cantor's Theorem. Arithmetical operations on cardinals.
The second part of this course is dedicated to the foundations of geometry, with particular attention given to the
theory of parallels and the birth of non-Euclidean geometry. Using a historical approach, the following topics
will be addressed:
- the theory of parallels in Euclid and the commentary by Proclus;
- criticism of Euclid's fifth postulate from the Islamic mathematics to John Wallis;
Euclides ab omni naevo vindicatus by Girolamo Saccheri;
- the studies on foundations of geometry in the second half of the 1700s: the contributions of Johann Heinrich
Lambert and Adrien-Marie Legendre;
- the creators of non-Euclidean geometries: Carl Friedrich Gauss, Nikolai Lobacevskij, Janos Bolyai;
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- from the Disquisitiones generales circa superficies curvas by Gauss to the Saggio di interpretazione della
geometria non euclidea by Eugenio Beltrami.
.
TESTI
I parte Quaderni a cura di Flavio Previale II parte D.& C. PALLADINO, Le geometrie non euclidee, Roma,
Carocci, 2008 B. A., ROSENFELD, A history of Non-euclidean Geometry. Evolution of the concept of a
geometric space, Springer-Verlag, New York, 1998 Verranno forniti agli studenti articoli su argomenti specifici
del corso.
Fondamenti della Matematica - a.a. 2008/09
Codice: MFN0153
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 5
OBIETTIVI
Il corso si propone di illustrare il moderno metodo assiomatico attraverso l’esposizione di alcuni significativi
frammenti dell’Aritmetica e della Teoria degli Insiemi. Tale metodo consiste nella presentazione degli assiomi
non logici caratterizzanti una certa teoria e nella deduzione puramente logica, a partire da tali assiomi, dei
teoremi della teoria. Il ragionamento logico può venir sviluppato (e di fatto viene sviluppato) senza passare
attraverso un esplicito formalismo, ma secondo i canoni del "rigore informale", stabiliti per la prima volta, con
sufficiente precisione, dai Grundlagen der Geometrie di D. Hilbert.
Un obiettivo secondario del corso, che si aggiunge a quelli strettamente legati alla comprensione degli specifici
argomenti trattati, e’ quello di fornire materiale esemplificativo per il corso di Logica Matematica, in cui la
natura del ragionamento logico, nel suo duplice aspetto intuitivo e formale, viene discussa da un punto di vista
teorico.
PROGRAMMA
astrattoAnalisi Matematica I e II, Algebra I
Familiarità con l'uso del "rigore informale"
207
Conoscenza rigorosa dei primi elementi dell'Aritmetica e della Teoria degli Insiemi
Corsi avanzati a contenuto aritmetico o insiemistico
Argomento
Ore
Lezione
Aritmetica del primo ordine
18
18
Teoria assoluta degli insiemi
12
12
Estensioni della teoria assoluta. Definizione e proprietà dei numeri ordinali e cardinali
15
15
Totale
45
45
Elementi di logica e cenni sulla deduzione naturale. Assiomi dell'aritmetica del 1° ordine. Primi sviluppi
di tale teoria. Proprietà della divisione. Massimo comun divisore e minimo comune multiplo. Numeri
relativamente primi. Teorema cinese del resto. Ricorsione primitiva. Funzione esponenziale e gerarchia
superesponenziale. Fattorizzazione prima. Numeri di sequenza. Cenni sulle teorie aritmetiche con induzione
limitata.
Assiomi della teoria assoluta degli insiemi. Primi sviluppi della teoria. Insiemi induttivi o ben fondati. Principi di
induzione. Insiemi e classi. Numeri ordinali e naturali. Confronto di buoni ordini. Assioma di scelta e teorema
del buon ordinamento di Zermelo. Chiusura transitiva di un insieme. Principio di ricorsione. Operazioni
aritmetiche sugli ordinali. La nozione di finito e l'assioma dell'infinito. Numeri cardinali. Teorema
di Cantor. Operazioni aritmetiche sui cardinali. Ordinali iniziali e alephs. Teorema di Hartogs. Gerarchia degli
alephs. Insiemi eredit. ben fondati. Complementi sull'assioma di scelta.
TESTI
Quaderni curati dal docente
NOTA
Modalità di verifica/esame: l’esame si svolge, di norma, come segue: in forma di prova orale.
ORARIO LEZIONI
208
Giorni
Ore
Aula
Martedì
11:00 - 13:00
Giovedì
11:00 - 13:00
Venerdì
11:00 - 13:00
Lezioni: dal 02/03/2009 al 05/06/2009
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=26fa
Fondamenti della Matematica - a.a. 2008/09
Crediti/Valenza: 7
OBIETTIVI
Mostrare in concreto, attraverso i cinque numeri piu’ famosi della matematica, le connessioni tra le varie branche
di questa e i problemi fondazionali ad esse collegati.
PROGRAMMA
Le nozioni di base di Matematica
Matematica Discreta, Algebra
Conoscenza approfondita di argomenti comunemente insegnati nelle Scuole Superiori
Tesi di Laurea
209
Argomento
Ore
Lezione
Aritmetica del I ordine e teoria elementare degli insiemi.
Numeri e insiemi ereditariamente finiti.
10
1
Forme ristrette di induzione
10
10
G. Frege e la ricostruzione logica dell’Aritmetica e della Matematica pura.
12
12
Assiomatizzazione di Peano.
12
12
Attuali prospettive del progetto logistico di Frege
12
12
Totale
56
56
PROGRAMMA
I PARTE
Principali sviluppi formali dell’Aritmetica del I ordine e della teoria elementare degli insiemi. Numeri e insiemi
ereditariamente finiti, equipollenza delle reòative teorie. Cenni a teorie aritmetiche e insiemistiche con forme
ristrette di induzione.
II PARTE
210
La filosofia matematica di G.Frege e il suo progetto di ricostruzione logica dell’Aritmetica e della Matematica
pura. Dalle teorie logistiche dell’Aritmetica di Frege e Dedekind all’assiomatizzazione di G.Peano. Attuali
prospettive del progetto logistico di Frege.
TESTI
Dipartimento di Matematica e sul sito del corso http://matematica.campusnet.unito.it/cgi-bin/corsi.plQuaderni
curati dal docente
NOTA
. Modalità di verifica/esame L’esame si svolge, di norma, come segue: tesina su argomento da concordare col
professore, tra quelli svolti a lezione
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Martedì
9:00 - 11:00
Giovedì
10:00 - 11:00
Venerdì
14:00 - 16:00
Lezioni: dal 29/09/2008 al 09/01/2009
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=a77a
Fondamenti della Matematica Complementi - a.a. 2008/09
Codice: MFN0154
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 2
OBIETTIVI
Gli obiettivi sono strettamente legati alle finalita’. In particolare, ci si propone di fornire una conoscenza non
superficiale di certi aspetti dei Fondamenti della Matematica, assai in voga tra il pubblico degli estimatori del
soggetto, ma per lo piu’ presentati in una inadeguata (e fuorviante) forma divulgativa.
Il corso si propone di sviluppare alcuni temi classici relativi ai Fondamenti della Matematica. Un possibile
programma, gia’ sperimentato in passato dal Docente, prevede la presentazione, nelle sue linee essenziali, della
teoria della ricorsivita’ e la presentazione e dimostrazione dei teoremi di incompletezza di Gödel e dei relativi
piu’ importanti corollari.
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso) Insegnamenti fornitori Nozioni logiche di base Logica Matematica Familiarita'
con l'uso del metodo assiomatico in Aritmetica Fondamenti della Matematica
211
Conoscenza di aspetti dei principali sviluppi critici concernenti i Fondamenti della Matematica
Argomento
Ore
Lez.
Ore
Esercit.
Ore Laboratorio
Elementi di ricorsivita'
10
10
Teoria di incompletezza
8
8
Totale
18
212
18
TESTI
Il materiale didattico presentato a lezione è disponibile presso: Il Centro Stampa del Dipartimento di Matematica
I testi base consigliati per il corso sono: Quaderni di Logica e di Fondamenti della Matematica (a cura del
Docente)
NOTA
L’esame si svolge, di norma, come segue: in forma di prova orale. Se non superata, la prova puo’ essere ripetuta,
senza alcuna limitazione, nelle sessioni d’esame successive.
Geometria 1 - a.a. 2008/09
Codice: M8607
Docente: Prof. Elsa Abbena (Titolare del corso), Prof. Federica Galluzzi (Esercitatore), Prof. Sergio
Garbiero (Titolare del corso), Prof. Mario Valenzano (Esercitatore), Prof. Marcella Palese (Tutor)
Anno: 1° anno
Crediti/Valenza: 12
OBIETTIVI
Il corso si propone di fornire allo studente le nozioni di base per risolvere problemi dell’ Algebra Lineare e della
Geometria Analitica, di fornire abilità rivolte alla soluzione di esercizi e teorie più avanzate. Ulteriore finalità è
la preparazione dello studente all’applicazione delle nozioni apprese alle altre discipline scientifiche.
L’obiettivo principale e’ l’apprendimento delle metodologie dell’Algebra Lineare e della Geometria Analitica,
nel piano e nello spazio. Lo studente acquisirà, in particolare, la competenza e l’abilità di svolgimento degli
esercizi che coinvolgono gli spazi vettoriali, le applicazioni lineari, le forme bilineari, le forme quadratiche, le
coniche, la Geometria Analitica nel piano e nello spazio. Le nozioni descritte sono fondamentali, non solo per
studi più approfonditi di Geometria e Algebra Lineare, ma anche per le loro applicazioni a tutte le discipline che
si fondano sulla matematica.
PROGRAMMA
Pre-requisiti in ingresso e competenze minime inuscita
Pre-requisiti (in ingresso) Insegnamenti fornitori Le nozioni di Matematica propedeutiche ai Corsi Universitari di
indirizzo Scientifico. Nozioni di base di Matematica impartite nelle scuole Medie Superiori. Conoscenze di base
di Geometria Euclidea. Concetto di relazio-ne di equivalenza in un insieme. Soluzione di sistemi di equazio-ni
lineari di due o tre equazioni in due incognite. Precorso di Algebra e Geometria
213
Le nozioni di Matematica propedeutiche a Corsi
Universitari di indirizzo Scientifico.
Tutti gli insegnamenti successivi della Laurea Triennale in Matematica sono da considerarsi fruitori, dato il
carattere fondamentale del corso: in particolare Corsi di Analisi e di Geometria.
Argomento
Ore
Lezione
Ore
Esercitazione
Definizione ed esempi di spazi vettoriali
5
2
7
Sistemi Lineari e Matrici
4
2
6
Calcolo vettoriale nello spazio.
8
4
12
Spazi vettoriali e sottospazi.
4
3
14
214
Spazi vettoriali Euclidei e Hermitiani.
5
3
8
Applicazioni lineari
11
5
16
Forme lineari e bilineari.
5
3
8
Coniche e riduzione a forma canonica
4
4
8
Geometria Analitica nel piano.
4
4
8
Geometria Analitica nello spazio.
6
10
16
Totale
56
40
96
Sistemi lineari e matrici Sistemi lineari. Sistemi equivalenti e metodo di riduzione di Gauss. Definizione di
matrice. Somma di due matrici. Prodotto di uno scalare per una matrice. Prodotto di matrici. Matrice dei
coefficienti e matrice completa di un sistema lineare. Rango di una matrice ridotta per righe. Rango di una
matrice qualsiasi (solo come calcolo). Teorema di Rouche-Capelli. Sistemi lineari omogenei. Matrice inversa e
215
proprietà. Legame tra una matrice invertibile e il rango. Calcolo della matrice inversa con il metodo di riduzione.
Trasposta di una matrice. Matrici di tipo particolare: diagonali, triangolari, simmetriche, antisimmetriche,
ortogonali. La traccia di una matrice quadrata. Definizione di determinante mediante la prima regola di Laplace.
Proprietà dei determinanti. Legami tra l’inversa di una matrice ed il suo determinante. Calcolo dell'inversa
e seconda regola di Laplace. Legame tra rango e determinante. Teorema di Cramer.Calcolo vettoriale nel piano e
nello spazio. Definizione di vettore. Somma di vettori. Prodotto di un numero reale per un vettore. Dipendenza
lineare. Basi e dimensione. Interpretazione geometrica della dipendenza, indipendenza lineare. Componenti di un
vettore rispetto ad una base. Cambiamento di base. Angolo tra due vettori. Prodotto scalare, vettoriale e misto.
Calcolo in componenti. Proiezione ortogonale di un vettore su un altro vettore e su un piano vettoriale. Il
cambiamento di base nello spazio (tra basi qualsiasi, tra basi ortonormali). Le matrici ortogonali. Caso del piano:
le rotazioni.Spazi vettoriali e sottospazi. Definizione di spazio vettoriale costruito su un campo (evidenziando il
caso reale e complesso, ma facendo anche esempi nel caso di qualche campo finito). Sottospazi vettoriali.
Sottospazi notevoli degli spazi vettoriali delle matrici. Intersezione di sottospazi. Somma di sottospazi. Somma
diretta e teoremi relativi. Generatori di uno spazio vettoriale. Vettori linearmente indipendenti e non. Basi e
dimensione. Rango di una matrice. Teorema di nullita' piu' rango. Cambiamento di base. Iperpiani
vettoriali. Spazio vettoriale quoziente, definizione e teoremi relativi (legame con Algebra).Applicazioni lineari.
Definizione di applicazione lineare tra due spazi vettoriali. Prime proprieta'. Immagine e controimmagine
di sottospazi vettoriali. Definizione di ker f e di im f e teoremi relativi. Teorema fondamentale delle applicazioni
lineari; matrice associata ad un’applicazione lineare ed equazioni di un’applicazione lineare. Determinazione di
ker f e di im f. Determinazione dell’immagine e della controimmagine di sottospazi vettoriali. Teorema del
Rango: ossia dim ker f + dim im f = dim V. Isomorfismi di spazi vettoriali.Il cambiamento di base come esempio
di isomorfismo. Lo spazio vettoriale delle applicazioni lineari tra due spazi. Matrice associata alla composizione
di applicazioni lineari e conseguenze. Legame tra le infinite matrici associate alla stessa applicazione lineare.
Matrici simili e loro proprieta' comuni. Definizione di autovalore, autovettore e autospazio di
un’applicazione lineare. Equazione caratteristica. Somma diretta di autospazi. Relazione tra la dimensione di un
autospazio e la molteplicità dell’autovalore relativo. Applicazioni lineari semplici e matrici diagonalizzabili.
Criteri di diagonalizzazione e loro conseguenze. Il Teorema di Cayley-Hamilton (solo enunciato).Spazi vettoriali
Euclidei e Hermitiani. Definizione di spazio vettoriale euclideo. Norma di un vettore, teorema di Pitagora,
disuguaglianza di Cauchy-Schwartz, disuguaglianza triangolare, angolo tra due vettori. Ortogonalita', basi
ortonormali. Ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Complemento ortogonale. Matrici ortogonali e
cambiamento di base. Definizione di spazio vettoriale Hermitiano ed esempi. Versione nel caso Hermitiano dei
risultati sopra elencati. I gruppi di matrici:GL(n,R), GL(n,C), SL(n,R), SL(n,C), O(n), SO(n),U(n). Matrici
Hermitane e matrici simmetriche. Definizione di endomorfismo aggiunto e di endomorfismo autoaggiunto,
proprieta'. Il teorema spettrale (caso complesso e caso reale).Forme lineari e bilineari. Forme lineari e
spazio duale: definizione, base duale. Isomorfismo canonico tra uno spazio vettoriale e il suo duale nel caso degli
spazi euclidei. Spazio biduale, isomorfismo canonico. Applicazione lineare trasposta, proprieta'. Forme
bilineari simmetriche reali, matrice associata, relazione tra le matrici associate alla stessa forma bilineare
simmetrica, dopo un cambiamento di base. Forme quadratiche e loro classificazione. Forme canoniche di una
forma quadratica. Forma normale. Segnatura e Teorema di Sylvester (senza dimostrazione). Cenni sul caso
complesso.Geometria analitica nel piano.(Ripasso delle nozioni impartite nella scuola secondaria superiore se
non sono state oggetto del precorso) Riferimento cartesiano. Coordinate cartesiane. Riferimento polare,
coordinate polari. Equazione della retta: rappresentazione cartesiana e parametrica. Posizioni reciproche di due
rette nel piano. Distanza di un punto da una retta. Asse di un segmento. La circonferenza: rappresentazione
cartesiana, equazioni parametriche. Posizione reciproca retta/circonferenza e tra due circonferenze. Potenza di un
punto rispetto ad una circonferenza. Fasci di circonferenze. Studio delle equazioni di secondo grado in due
incognite. Matrici associate ad una conica. Invarianti di una conica per rototraslazione del sistema di riferimento.
Coniche degeneri. Classificazione affine euclidea delle coniche. Riduzione dell’equazione di una conica in forma
canonica. Determinazione delle equazioni del relativo cambiamento di riferimento. Il gruppo delle isometrie del
piano (affine).Geometria analitica nello spazio. Riferimento cartesiano. Coordinate cartesiane. Riferimenti
polari: coordinate cilindriche e sferiche. Il piano: rappresenatazione parametrica e cartesiana. La retta:
rappresentazione parametrica e cartesiana. Posizioni reciproche. Fasci di piani. Distanze. Angoli. Perpendicolare
comune a due rette sghembe. La sfera: rappresentazione parametrica e cartesiana. Posizioni reciproche:
piano-sfera (piano tangente), retta-sfera. La circonferenza nello spazio: rappresentazione parametrica e
cartesiana. Coni, cilindri, superfici di rotazione. Quadriche (rigate e non). Quadrighe ridotte a forma canonica.
216
TESTI
I testi consigliati sono indicati nel sito i-learn del corso
NOTA
L’esame consiste in una prova scritta seguita da una prova orale nella stessa sessione d’esame. Per accedere alla
prova orale è necessario aver raggiunto almeno il punteggio di 16/30 nella prova scritta. Viene considerata valida
solo l’ultima prova scritta consegnata.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Lunedì
11:00 - 13:00
Lunedì
9:00 - 11:00
Martedì
9:00 - 11:00
Mercoledì
8:00 - 10:00
Giovedì
11:00 - 13:00
Aula
Lezioni: dal 02/03/2009 al 05/06/2009
ATTENZIONE: Il lunedì il corso A fa lezione dalle 11.00 alle 13.00 in Aula A, il corso B dalle 9.00 alle 11.00
in Aula 4.
TUTORATO CORSO B: lunedì dalle 14.00 alle 16.00 in aula 6.
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=f1af
Geometria 1 (DM 270)
Docente: Prof. Elsa Abbena (Titolare del corso), Prof. Sergio Garbiero (Titolare del corso), Prof. Federica
Galluzzi (Esercitatore), Prof. Mario Valenzano (Esercitatore)
Tipologia: D.M. 270
Anno: 1° anno
Crediti/Valenza: 12
OBIETTIVI
Il corso si propone di fornire allo studente le nozioni di base per risolvere problemi di algebra lineare e geometria
analitica, di fornire abilità rivolte alla soluzione di esercizi ed alla comprensione di teorie più avanzate. Ulteriore
finalità è la preparazione dello studente all’applicazione delle nozioni apprese ad altre discipline scientifiche.
Lo studente dovrà acquisire le principali nozioni teoriche e la capacità di svolgere esercizi su spazi vettoriali,
applicazioni lineari, forme bilineari, forme quadratiche, coniche, geometria analitica nel piano e nello spazio.
217
PROGRAMMA
Italiano
Sistemi lineari: risoluzione mediante il metodo di riduzione di Gauss. Matrici: rango e operazioni con le matrici.
Determinanti e regola di Laplace. Teoremi di Rouchè-Capelli e di Cramer.
Calcolo vettoriale nello spazio: operazioni tra vettori, basi ortonormali; prodotti scalare, vettoriale e misto di
vettori.
Spazi vettoriali su un campo K: definizione, sottospazi vettoriali; somma ed intersezione di sottospazi; somma
diretta di sottospazi. Generatori e basi e dimensione di uno spazio vettoriale.
Spazi vettoriali Euclidei ed Hermitiani: prodotti scalari, disuguaglianze di Cauchy-Schwartz e Minkovsky.
Ortogonalità, basi ortonormali, procedura di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt, complemento ortogonale.
Matrici associate a prodotti scalari.
Applicazioni lineari: definizione, matrici associate alle applicazioni lineari. Immagine e controimmagine di
sottospazi vettoriali, nucleo ed immagine di un'applicazione lineare. Endomorfismi ed isomorfismi di
spazi vettoriali.
Autovalori, autovettori e autospazi di un endomorfismo; polinomio caratteristico, somma diretta di autospazi.
Endomorfismi e matrici diagonalizzabili. Criteri di diagonalizzazione e conseguenze. Endomorfismi autoaggiunti
e teorema spettrale per le matrici simmetriche. Isometrie di spazi vettoriali con prodotto scalare.
Forme lineari e bilineari. Forme lineari e spazio duale. Spazio biduale, isomorfismo canonico ed applicazione
lineare trasposta.. Forme bilineari simmetriche: matrici associate, forme quadratiche reali e loro classificazione.
Forma canonica e forma normale di una forma quadratica. Segnatura di una forma quadratica e teorema di
Sylvester.
Geometria analitica nel piano e nello spazio: coordinate cartesiane, rette, piani, sfere circonferenze e loro
rappresentazioni. Fasci di piani e di sfere. Posizioni reciproche, distanze ed angoli fra rette e piani. Coniche e
quadriche: forma normale e riduzione alla forma normale.
English
Linear systems: solutions with the Gauss reduction method. Matrices: rank and operations with matrices.
Determinants and Laplace's rule. Theorems of Rouchè-Capelli and Cramer.
Vector calculus in space: operations with vectors, othonormal basis. Scalar, vector and mixed product of vectors.
Vector spaces over a field K: definition, linear subspaces. Sum and intersection of linear subspaces. Direct sum
of subspaces. Generators, basis and dimensions of vector spaces.
Euclidean and Hermitian vector spaces: inner products, Cauchy-Schwartz and Minkovsky inequalities.
Orthogonality, orthonormal basis, Gram-Schmidt orthogonalisation process, orthogonal complement. Matrices
associated to inner products.
Linear maps: definitions, matrices associated to linear maps. Image and inverse image of subspaces, kernel and
image of a linear map. Isomorphisms of linear spaces.
Eigenvalues, eigenvectors and eigenspaces of an endomorphism. Characteristic polynomial, direct sum of
eigenspaces. Diagonalizable endomorphisms and matrices. Diagonalization criteria and consequences.
Selfadjoint endomorphisms and spectral theorem for symmetric matrices. Isometries of inner product spaces.
218
Linear and bilinear forms. Linear forms and dual space. Bidual space, canonical isomorphism and transpose of a
linear map. Symmetric bilinear forms: associated matrices, real quadratic forms and their classification.
Canonical and normal form of a quadratic form. Signature of a quadratic form and Sylvester theorem.
Analytic geometry in plane and space: cartesian coordinates, lines, planes spheres and circles and their
representations. Pencils of planes and spheres. Reciprocal positions, distances and angles between lines and
planes. Conics and quadrics: normal form and reduction to normal form.
.
TESTI
H. Anton, Elementary linear algebra, Wiley and Sons. Ed., 2005 K. Nicholson, Algebra lineare, McGrow-Hill
Ed., 2002 S. Greco, P. Valabrega, Algebra Lineare, Levrotto e Bella Editore, 2009 S. Greco, P. Valabrega,
Geometria analitica, Levrotto e Bella Editore, 2009
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=a23a
Geometria 2 - a.a. 2008/09
Codice: MFN0005
Docente: Prof. Gian Mario Gianella (Titolare del corso), Dott. Luigi Vezzoni (Esercitatore)
Anno: 2° anno
Crediti/Valenza: 8
OBIETTIVI
Introdurre le seguenti nozioni: i) Geometria differenziale delle curve. ii) Spazi proiettivi. iii) Studio delle curve
algebriche piane. iv) Nozioni fondamentali di topologia generale
Ci si attende che gli studenti sappiano applicare le nozioni di base apprese a rami più specialistici della
matematica
PROGRAMMA
Argomento
OreLez.OreEsercit.Ore LaboratorioTotale Ore di Car. DidatticoCurve nel piano e nello spazio. Triedro di Frenet,
curvatura e torsione64\10Spazi proiettivi62\8Iperquadriche e quadriche62\8Curve algebriche piane64\10Nozione
di spazio topologico. Topologia indotta da una metrica. Funzioni continue ed omeomorfismi104\14 Sottospazi.
Topologia Prodotto. Topologia quoziente. Assiomi di separazione. Spazi connessi e spazi compatti 104\14Totale
44 20 \
64
TESTI
Il materiale didattico presentato a lezione è disponibile presso: il Centro Stampa di Palazzo Campana. I testi base
consigliati per il corso sono: Gli appunti delle lezioni del docente. P.M. Gandini, S.Garbiero, APPUNTI DI
GEOMETRIA III, Quaderni del Dipartimento di Matematica dell’Università di Torino, n.30, disponibile on line
all’indirizzo: http://www.dm.unito.it/quaderni didattici/2001d.html E’ fortemente consigliato l’utilizzo del
seguente materiale per approfondimenti e integrazioni: D.C. Demaria - TOPOLOGIA GENERALE, Vol.II Tirrenia Stampatori (1986). E. Sernesi - GEOMETRIA 1 - Bollati Boringhieri (1994). A. Conte, L. Picco Botta,
219
D. Romagnoli - ALGEBRA - Levrotto e Bella (1986). M. Stoka - CORSO DI GEOMETRIA - II ed., Cedam
Padova (1995). Infine sono di seguito indicati siti internet di interesse:
http://progettomatematica.dm.unibo.it/GeometriaProiettiva/sez2/frame.htm G. Ferrarese - Curve Algebriche 2003/2004. http://www2.dm.unito.it/paginepersonali/ferrarese/Curve algebriche/
NOTA
L’esame si svolge, di norma, come segue: prova scritta. Eventualmente colloquio orale a richiesta del docente o
dello studente per una ulteriore valutazione.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Lunedì
9:00 - 11:00
Martedì
8:00 - 10:00
Mercoledì
11:00 - 13:00
Lezioni: dal 02/03/2009 al 05/06/2009
Nota: TUTORATO: venerdì dalle 14.00 alle 16.00 in aula 6 a settimane alterne nelle date 13/03/2009
27/03/2009 10/04/2009 24/04/2009 8/05/2009 22/05/2009 5/06/2009
Codice: MFN0132
Docente: Prof. Alberto Collino (Titolare del corso), Dott. Luigi Vezzoni (Esercitatore)
Tipologia: D.M. 509
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 8
OBIETTIVI
Presentare i concetti fondamentali elementari della teoria delle superfici differenziabili. Presentare lo studio della
curvatura di Gauss e la Geometria delle superfici a curvatura speciale. Una parte del corso verrà dedicata alle
forme differenziali, all’integrazione su superfici e al Teorema di Stokes.
Lo studente sarà in grado di gestire gli strumenti di base per lo studio delle superfici differenziabili e avrà
acquisito dimestichezza con l’integrazione su superfici. Lo studente sarà inoltre in grado di descrivere la
geometria di alcune notevoli superfici differenziabili.
PROGRAMMA
Italiano
Superfici differenziabili nello spazio (I parte)
Definizione di superficie parametrizzata regolare. Esempi di parametrizzazioni locali
220
(riprendendo gli esempi già noti dal corso di Geometria I ed introducendone altri). Carte
locali sulla superficie sferica e sul toro. Grafici di funzioni a due variabili, superfici
rigate, superfici di rotazione. Vettori tangenti ad una superficie, piano tangente e campi
vettoriali. Orientabilità di una superficie: il nastro di Moebius (collegamento con il
programma di topologia). Metrica su una superficie: la prima forma fondamentale.
Angoli e lunghezze di curve su una superficie. Area di porzioni di superficie.
k-forme differenziali. Partizione dell'unita'. Integrali superficiali. Teorema di Stokes.
Superfici chiuse e loro orientamento. Teorema di Gauss. I teoremi di Stokes e di Gauss
nel linguaggio dei campi vettoriali.
L’applicazione di Gauss e l’operatore di forma. La seconda forma fondamentale. Le
curvature gaussiana e media. Classificazione dei punti di una superficie in base alla loro
curvatura gaussiana. Curvatura normale. Curvature principali e direzioni principali di
curvatura. Le geodetiche su una superficie. Definizione di superficie minimali e qualche
proprieta'. Applicazione differenziabile tra due superfici. Il differenziale. Isometrie
(locali e globali) tra superfici e applicazioni conformi. La deformazione isometrica
dall’elicoide al catenoide. Il Teorema Egregium di Gauss.
Conclusione (nella direzione dello studio delle varieta').
La visualizzazione geometrica del piano proiettivo. Varieta' topologiche. Triangolazioni.
Somma connessa. Caratteristica di Eulero. Classificazione topologica delle superfici
compatte. Il concetto di omotopia e la definizione di spazio topologico semplicemente
connesso (intersezione con un eventuale corso di Analisi Complessa). Cenni sul gruppo
fondamentale, esempi significativi.
English
Differentiable surfaces. Definition of regular surface. Examples of local charts. Local charts in the torus and the
standard sphere.
Tangent vectors on a surface, tangent plane and vectors fields.
Orientation of a surface and the study of the Moebius strip. Metric on a surface: the first fundamental form.
k-differential forms. Partition of the unity. Integrals on surfaces. Stokes' Theorem.
Closed surfaces. The theorem of Gauss.
The Gauss operator. The second fundamental form. The Gauss and the mean curvature.
221
Principal curvature and principal directions.
Geodesics. Minimal surfaces. Maps between surfaces. Isometries. Gauss Egregium Theorem.
Topological manifolds. Topological classification of surfaces.
Topics on the fundamental group.Differentiable surfaces. Definition of regular surface. Examples of local charts.
Local charts in the torus and the standard sphere.
Tangent vectors on a surface, tangent plane and vectors fields.
Orientation of a surface and the study of the Moebius strip. Metric on a surface: the first fundamental form.
k-differential forms. Partition of the unity. Integrals on surfaces. Stokes' Theorem.
Closed surfaces. The theorem of Gauss.
The Gauss operator. The second fundamental form. The Gauss and the mean curvature.
Principal curvature and principal directions.
Geodesics. Minimal surfaces. Maps between surfaces. Isometries. Gauss Egregium Theorem.
Topological manifolds. Topological classification of surfaces.
Topics on the fundamental group.
.
TESTI
N. Hitchin: Geometry of Surfaces, P.M. Gandini, S. Garbiero: Appunti di Geometria III E. Priola: C.
Kowsniowski: Introduzione alla Topologia Algebrica.
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=8faf
Geometria 3 attivato nell’a.a 2009-2010 - a.a. 2008/09
Codice: MFN0132
Docente:
Recapito: []
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 8
Tipologia: D.M. 509
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 5
222
OBIETTIVI
Studio approfondito delle Superfici differenziabili e presentazione completa del Teorema di Gauss-Bonnet.
Studio del gruppo fondamentale con collegamenti all’ Analisi complessa.
Lo studente sarà in grado di studiare in modo approfondito la Geometria delle superfici differenziabili e avrà
dimestichezza con il gruppo fondamentale.
PROGRAMMA
Italiano
·
Breve revisione dei concetti di base di geometria sulle superficie differenziali. Isometrie, applicazioni
conformi.
·
Discussione approfondita della curvatura di Gauss e delle sue diverse interpretazioni geometriche.
Derivazione covariante.
·
Geodetiche su una superficie, definizione, esistenza, unicità, esempi.
·
Il piano iperbolico, le sue isometrie e le sue geodetiche.
·
Una breve introduzione alle geometrie due dimensionali: sferica, ellittica,iperbolica, con cenni sulla
descrizione delle loro isometrie.
·
Revisione del concetto di caratteristica di Eulero Poincare. Il teorema di Gauss–Bonnet (enunciato della
versione locale e deduzione della versione globale).
·
Applicazioni del teorema di Gauss–Bonnet alla geometria sferica ed iperbolica.
·
Il gruppo fondamentale, discussione approfondita delle sue proprieta’
·
Applicazioni alla geometria (per esempio: teoremi del punto fisso, teorema fondamentale dell’algebra la
formula per il calcolo del residuo in analisi complessa)
English
·
Gauss curvature. Covariant derivative.
·
Geodesics on a surface.
·
The hyperbolic plane.
·
Non-Euclidean geometries
·
The theorem of Gauss–Bonnet.
·
The fundamental group.
·
Applications.
.
TESTI
N. Hitchin: Geometry of Surfaces, M. Abate, F. Tovena: Curve e Superfici, P.M.H. Wilson: Curved Spaces. A.
Gray, E. Abbena, S. Salamon: Modern differential Geometry of curves and surfaces.
223
Geometria Algebrica (DM 509)
Docente: Prof. Alberto Collino (Titolare del corso)
Tipologia: D.M. 509
Anno: 2° anno
Crediti/Valenza: 7
OBIETTIVI
Presentare i concetti fondamentali elementari della teoria della risoluzione di sistemi di equazioni polinomiali.
La geometria algebrica studia queste soluzioni da un punto di vista globale, mediante la teoria delle varietà
algebriche.. Si definiranno le varietà algebriche e si tratterà di alcune loro importanti proprietà.
Lo studente sarà in grado di descrivere la geometria di alcune notevoli varietà algebriche, quali la grassmanniana
delle rette, la varietà di Veronese e la varietà di Segre. Maneggerà i concetti di morfismi ed isomorfismi delle
varietà algebriche quasi proiettive. Sarà in grado di usare le proprieta’ della dimensione, per esempio con la
costruzione di opportune corrispondenze di ’incidenza’ saprà’ provare che le superficie di grado 3 di necessità
contengono rette.
PROGRAMMA
Italiano
Varietà algebriche affini. Insiemi algebrici affini. Topologia di Zariski. Teorema degli zeri di Hilbert. Varietà
affini. Funzioni sulle varietà: morfismi e isomorfismi; campo delle funzioni razionali e applicazioni razionali.
Varietà algebriche proiettive. Morfismi, funzioni razionali ed equivalenza birazionale.
Proprietà delle varietà. Spazio tangente e singolarità.
Dimensione di una varietà: equivalenza tra diverse definizioni.
Grado di una varietà proiettiva: cenni al Teorema di Bezout. Esempi.
Curve razionali normali. Immersione di Veronese. Immersione di Segre e prodotto di varieta' proiettive.
Varietà delle coniche di P^2. Proiezioni. Scoppiamenti. Cenni alle varietà razionali e unirazionali.
Grassmanniane G(k,n) e immersione di Plücker. Esempi di geometria enumerativa: rette su una superficie di
P^3.
Fibrati vettoriali. Definizione. Esempi di fibrati. Sezioni. Fibrati lineari e mappe da varietà negli spazi proiettivi.
Cenni sulla coomologia dei fasci. Il teorema di Riemann Roch, cenni.
English
Affine algebraic varieties, Hilbert's Nullstellensatz. The Zariski topology, morphisms of affine varieties.
Irreducible varieties.
224
Projective space and projective varieties. Morphisms of projective varieties. Birational equivalence.
Tangent space and smooth points. The singular locus is a closed subvariety. Algebraic
re-formulation of the tangent space. Differential map between tangent spaces.
Dimension of a variety. Degree of a projective variety. Bezout's theorem. Examples and applications.
Rational normal curves. Veronese morphisms: definition, examples. Segre
maps and products of varieties. Categorical products: the image of the Segre map gives the categorical product.
The variety of conics in the plane. Linear projections, blow ups. A brief discussion of rational and unirational
varieties. Grassmann varieties, Plucker embeddings. Some examples of enumerative geometry, lines on cubic
surfaces.
A brief discussion of fibre bundles. Line bundles. Some rudiments of cohomology of sheaves. Some remarks
about the Riemann Roch theorem.
.
TESTI
K Hulek, Elementary Algebraic Geometry, Student Mathematical Library, 20. American Mathematical Society,
2003. Testi di consultazione ulteriore I.R. Shafarevich, Basic Algebraic Geometry, Springer Verlag 1974
J.Harris Algebraic Geometry GTM- Springer R.Hartshorne Algebraic Geometry GTM Springer M.Reid,
Undergraduate algebraic geometry, LMS Student Texts 12, Cambridge (1988).
Geometria Algebrica - a.a. 2008/09
Crediti/Valenza: 7
OBIETTIVI
algebriche. Si definiranno le varietà algebriche e si tratterà delle loro prime proprietà significative.
Lo studente sarà in grado di descrivere la geometria elementare di alcune notevoli varietà algebriche, quali la
grassmanniana delle rette, la varietà di Veronese e la varietà di Segre. Maneggerà i concetti di morfismi ed
isomorfismi delle varietà algebriche quasi proiettive. Sarà in grado di usare i concetti di dimensione e la
costruzione di opportune corrispondenze di ’incidenza’ per provare che le superficie di grado 3 di necessità
contengono rette
225
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso)Insegnamenti fornitoriTeoria elementare degli anelliAlgebra IAlgebra lineare
elementareGeometria IIElementi di topologia e di geometria differenzialeGeometria III e IV
Conoscenza dei concetti fondamentali elementari della teoria delle varietà algebriche.
i corsi di geometria e topologia della laurea magistrale
Argomento
Ore
Lezione
Varietà affini. Topologia di Zariski sullo spazio affine, insiemi algebrici irriducibili. Lemma di normalizzazione
di Noether. Il Nullstellensatz di Hilbert.
Anello delle coordinate e applicazioni affini, morfismi e isomorfismi, varietà affini.
12
12
Varietà proiettive. Topologia di Zariski nello spazio proiettivo. Chiusura proiettiva di una varietà affine. Varietà
quasi--proiettive, campo delle funzioni razionali, funzioni regolari. Morfismi e applicazioni razionali,
equivalenza birazionale, varietà razionali. Ogni varietà è birazionale a un’ipersuperficie. Prodotti.
12
12
Dimensione ed altre proprieta'.Spazio tangente e non-singolarità, dimensione. Anello locale di un punto in
una varietà algebrica. Punti singolari, i punti nonsingolari sono un aperto denso. Dimensione dell’intersezione
con un’ipersuperficie. Il teorema sulla dimensione delle fibre.Rette su una superficie. Rette su una generica
superficie. Le 27 rette sulla cubica piana.
18
18
Varieta' Algebriche notevoli
14
226
14
Totale
56
56
Lo studente sarà in grado di descrivere la geometria elementare di alcune
notevoli varietà algebriche, quali la grassmanniana delle rette, la varietà di Veronese e la varietà di Segre.
Maneggerà i concetti di morfismi ed isomorfismi delle varietà algebriche quasi proiettive. Sarà in grado di
usare i concetti di dimensione e la costruzione di opportune corrispondenze di 'incidenza' per
provare che le superficie di grado 3 di necessità contengono rette
Richiami di algebra commutativa.
Varietà affini. Topologia di Zariski sullo spazio affine, insiemi algebrici irriducibili. Lemma di normalizzazione
di Noether. Il Nullstellensatz di Hilbert.
Anello delle coordinate e applicazioni affini, morfismi e isomorfismi, varietà affini.
Varietà proiettive. Topologia di Zariski nello spazio proiettivo. Chiusura proiettiva di una varietà affine. Varietà
quasi--proiettive, campo delle funzioni razionali, funzioni regolari. Morfismi e applicazioni razionali,
equivalenza birazionale, varietà razionali. Ogni varietà è birazionale a un’ipersuperficie. Prodotti. L’immagine di
una varietà proiettiva è chiusa.
Spazio tangente e non-singolarità, dimensione. Anello locale di un punto in una varietà algebrica. Punti singolari,
i punti nonsingolari sono un aperto denso. Dimensione dell’intersezione con un’ipersuperficie. I sottoinsiemi di
codimensione $1$ dello spazio affine e proiettivo sono ipersuperficie. Il teorema sulla dimensione delle fibre.
Rette su una superficie. Rette su una generica superficie. Le 27 rette sulla cubica piana.
TESTI
NOTE DATTILOSCRITTE IN ITALIANO, per consultazione: M. REID, Undergraduate Algebraic Geometry,
Cambridge University Press J. HARRIS, Algebraic Geometry, Springer SHAFAREVIC, Basic Algebraic
Geometry 1, Springer
NOTA
L’esame si svolge, di norma, come segue: prova orale.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Lunedì
11:00 - 13:00
Martedì
12:00 - 13:00
Venerdì
11:00 - 13:00
Lezioni: dal 29/09/2008 al 09/01/2009
Geometria Algebrica (DM 270)
Docente:
Recapito: []
227
Tipologia: D.M. 270
Anno: 1° anno
Crediti/Valenza: 6
OBIETTIVI
algebriche.. Si definiranno le varietà algebriche e si tratterà di alcune loro importanti proprietà.
Lo studente sarà in grado di descrivere la geometria di alcune notevoli varietà algebriche, quali la grassmanniana
delle rette, la varietà di Veronese e la varietà di Segre. Maneggerà i concetti di morfismi ed isomorfismi delle
varietà algebriche quasi proiettive. Sarà in grado di usare le proprieta’ della dimensione, per esempio con la
costruzione di opportune corrispondenze di ’incidenza’ saprà’ provare che le superficie di grado 3 di necessità
contengono rette.
PROGRAMMA
Italiano
Varietà algebriche affini. Insiemi algebrici affini. Topologia di Zariski. Teorema degli zeri di Hilbert. Varietà
affini. Funzioni sulle varietà: morfismi e isomorfismi; campo delle funzioni razionali e applicazioni razionali.
Varietà algebriche proiettive. Morfismi, funzioni razionali ed equivalenza birazionale.
Proprietà delle varietà. Spazio tangente e singolarità.
Dimensione di una varietà: equivalenza tra diverse definizioni.
Grado di una varietà proiettiva: cenni al Teorema di Bezout. Esempi.
Curve razionali normali. Immersione di Veronese. Immersione di Segre e prodotto di varieta' proiettive.
Varietà delle coniche di P^2. Proiezioni. Scoppiamenti. Cenni alle varietà razionali e unirazionali.
Grassmanniane G(k,n) e immersione di Plücker. Esempi di geometria enumerativa: rette su una superficie di
P^3.
Fibrati vettoriali. Definizione. Esempi di fibrati. Sezioni. Fibrati lineari e mappe da varietà negli spazi proiettivi.
Cenni sulla coomologia dei fasci. Il teorema di Riemann Roch, cenni.
English
Affine algebraic varieties, Hilbert's Nullstellensatz. The Zariski topology, morphisms of affine varieties.
Irreducible varieties.
Projective space and projective varieties. Morphisms of projective varieties. Birational equivalence.
Tangent space and smooth points. The singular locus is a closed subvariety. Algebraic
re-formulation of the tangent space. Differential map between tangent spaces.
Dimension of a variety. Degree of a projective variety. Bezout's theorem. Examples and applications.
228
Rational normal curves. Veronese morphisms: definition, examples. Segre
maps and products of varieties. Categorical products: the image of the Segre map gives the categorical product.
The variety of conics in the plane. Linear projections, blow ups. A brief discussion of rational and unirational
varieties. Grassmann varieties, Plucker embeddings. Some examples of enumerative geometry, lines on cubic
surfaces.
A brief discussion of fibre bundles. Line bundles. Some rudiments of cohomology of sheaves. Some remarks
about the Riemann Roch theorem.
.
TESTI
K Hulek, Elementary Algebraic Geometry, Student Mathematical Library, 20. American Mathematical Society,
2003. Testi di consultazione ulteriore I.R. Shafarevich, Basic Algebraic Geometry, Springer Verlag 1974
J.Harris Algebraic Geometry GTM- Springer R.Hartshorne Algebraic Geometry GTM Springer M.Reid,
Undergraduate algebraic geometry, LMS Student Texts 12, Cambridge (1988).
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=ae84
Geometria Complessa - a.a. 2008/09
Docente: Prof. Anna Maria Fino (Titolare del corso)
Crediti/Valenza: 7
OBIETTIVI
Il corso si propone di far acquistare allo studente una certa familiarità con le varietà complesse ed introdurre lo
studente ad alcuni argomenti più avanzati come la teoria delle deformazioni di strutture complesse.
Il corso permette di apprendere la teoria delle varieta’ complesse.
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso)Insegnamenti fornitoriVarietà differenziabiliIstituzioni di GeometriaAnalisi complessa
in una variabileAnalisi Complessa
Teoria delle varietà complesse
229
Il corso prepara alla ricerca e viene utilizzato per la stesura di tesi e per il Dottorato.
Argomento
Ore
Lezione
Richiami di analisi complessa in una variabile complessa
2
2
Elementi di analisi complessa in più variabili
6
6
Varietà complesse
8
8
Fibrati vettoriali
4
4
Strumenti algebrici: teorie omologiche e coomologiche, prefasci e fasci, coomologia di Cech
12
12
Strumenti analitici: forme differenziali, coomologia di de Rham e di Dolbeault
14
10
Superfici di Riemann e curve algebriche o teoria delle deformazioni di strutture complesse
10
10
Totale
230
56
56
1. Richiami di analisi complessa in una variabile
2. Elementi di analisi complessa in più variabili
3. Varietà complesse
4 . Fibrati vettoriali
5. Funzioni olomorfe
6. Strumenti algebrici: teorie omologiche e coomologiche, prefasci e fasci, coomologia di Cech
7. Strumenti analitici: forme differenziali, coomologia di de Rham e di Dolbeault
8. Varieta’ Hermitiane e Kaheleriane
8. Superfici di Riemann e curve algebriche
TESTI
O. FORSTER, "Lectures on Riemann Surfaces", Springer-Verlag, 1981 R.C. GUNNING, "Lectures on Riemann
Surfaces", Princeton Univ. Press, 1966 W. FULTON, "Algebraic Topology", Springer-Verlag, 1995 W. RUDIN,
"Real and Complex Analysis", McGraw-Hill,1986. K. KODAIRA, Complex manifolds and deformation of
complex structures", Springer, 1986.
NOTA
L’esame si svolge, di norma, come segue: prova orale sugli argomenti svolti che può essere parzialmente
sostituita da un seminario.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Martedì
16:00 - 18:00
Mercoledì
16:00 - 18:00
Venerdì
14:00 - 16:00
Lezioni: dal 29/09/2008 al 09/01/2009
Nota: In alcune settimane le lezioni sono anche il giovedi’ e la lezione del mercoledi’ si svolge a settimane
alterne.
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=ed5d
Geometria Convessa - a.a. 2008/09
Docente: Prof. Andreana Zucco (Titolare del corso)
Crediti/Valenza: 7
OBIETTIVI
Il corso di Geometria Convessa si rivolge a specializzandi che abbiano interesse sia verso l’insegnamento che
verso la ricerca.Il programma del corso tratta vari aspetti della convessità quali il teorema di Helly, i politopi
231
regolari, il problema isoperimetrico, la geometria dei numeri in modo da rendere gli ascoltatori in grado di poter
scegliere di approfondire per proprio conto le nozioni che ritengono più interessanti.
Il programma del corso tratta vari aspetti della convessità in modo da rendere gli ascoltatori in grado di poter
scegliere di approfondire per proprio conto le nozioni che ritengono più interessanti.
PROGRAMMA
Pre-requisiti in ingresso e competenze minime in uscita.
Pre-requisiti (in ingresso)Insegnamenti fornitoriGeometria analitica, Algebra lineareGeometria I, IITeoria dei
gruppiAlgebra ITopologia generaleGeometria IIIConcetti di base di AnalisiAnalisi Matematica I, II
Conoscere i teoremi classici della convessità e poter approfondire per proprio conto gli sviluppi più recenti.
Corsi di didattica della Matematica. Laboratori didattici. Tesi di Laurea.
Argomento
Ore
Lezione
Ore
Esercitazione
Prime nozioni di convessità
10
5
15
Teorema di Helly e sue applicazioni
5
2
7
Teorema di Eulero sui poliedri e sue conseguenze
Formula di Cartesio.
232
Poliedri regolari e loro descrizione.
Teorema di classificazione dei politopi regolari.
12
5
17
Il problema isoperimetrico con varie soluzioni geometriche
5
4
9
Introduzione alla Geometria dei numeri
5
5
Lo spazio dei corpi convessi
3
3
Totale
40
16
56
Concetti base di convessità. Il teorema di Carathéodory sull’inviluppo convesso. Il teorema di Hahn-Banach nel
caso di due corpi convessi disgiunti.
Il teorema di Helly: sia F una famiglia finita di convessi dello spazio n-dimensionale tale che ogni n+1 elementi
hanno un punto comune, allora esiste un punto comune a tutti gli elementi di F. Il teorema vale anche per una
famiglia infinita di insiemi purché compatti.
Poliedri: teorema di Eulero, simboli di Schaefli per i poliedri regolari; in dimensione tre i poliedri regolari sono
cinque, coordinate dei vertici dei poliedri regolari.
Definizione di politopi regolari. Troncamento e costruzione del 24-celle. Cenni sulla costruzione del 600-celle. Il
teorema di classificazione dei politopi regolari dato da Schaefli.
Il problema isoperimetrico. Il cerchio inscritto , il cerchio circoscritto e la corona circolare minima associati ad
un corpo convesso. I contributi di Lebesgue e Bonnesen alla soluzione e al miglioramento della disuguaglianza
isoperimetrica classica.
233
Teorema di selezione di Blaschke applicato ai compatti convessi (senza dimostrazione).
Il teorema di min-max, alcune conseguenze.
Cenni sulla Geometria dei numeri: primo teorema di Minkowski e alcune applicazioni.
TESTI
P. FAVRO e A. ZUCCO, Appunti di Geometria Convessa, Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica
dell’Università di Torino n. 34, luglio 2005
NOTA
Orale.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Lunedì
11:00 - 13:00
Mercoledì
11:00 - 13:00
Venerdì
16:00 - 18:00
Lezioni: dal 02/03/2009 al 05/06/2009
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=2bcf
Geometria Differenziale (DM 509)
Codice: S8507
Tipologia: D.M. 509
Anno: 2° anno
Crediti/Valenza: 7
OBIETTIVI
Il corso di propone di fornire agli studenti le nozioni base sulle varietà differenziabili, gruppi di Lie e sulla
geometria Riemanniana, prestando una particolare attenzione agli esempi significativi. Queste conoscenze sono
propedeutiche a diversi argomenti, quali: lo studio delle varietà simplettiche e complesse, la teoria delle
rappresentazioni, la fisica matematica e l’analisi su varietà differenziabili.
Conoscere le proprietà fondamentali delle varietà differenziabili e Riemanniane e dei gruppi di Lie; saper
risolvere esercizi su esempi significativi. Fisica Matematica, Meccanica Analitica, Metodi Geometrici per la
Fisica Matematica. Analisi su varietà. Corsi di base del Dottorato
PROGRAMMA
Italiano
Richiami su algebra tensoriale, campi vettoriali e forme differenziali. Fibrati vettoriali.
Metriche Riemanniane , connessione di Levi-Civita, tensori di curvatura ed equazioni di struttura.
234
Nozioni di base su gruppi ed algebre di Lie.
Una scelta tra i seguenti argomenti:
Complementi su gruppi ed algebre di Lie.
Spazi omogenei.
Varietà simplettiche ed azioni hamiltoniane.
Geometria Riemanniana delle varietà e delle sottovarietà.
Varietà Hermitiane e Kaehleriane.
English
Review of tensorial algebra, vector fields, and differential forms. Vector bundles.
Riemannian metric, Levi-Civita connection, curvature tensors and structure equations.
Basic notions on Lie groups and Lie algebras.
A choice between the following topics:
Complements on Lie groups and Lie algebras.
Homogeneous spaces.
Symplectic manifolds and Hamiltonian actions.
Riemannian geometry of manifolds and submanifolds.
Hermitian and Kaehler manifolds.
.
TESTI
1. J. Lee, Introduction to smooth manifolds, Springer, 2003 3. W. Boothby, An Introduction to Differentiable
Manifolds and Riemannian Geometry, Academic Press, 2002 4. F. Warner, Foundations of Differential
Geometry and Lie groups, Academic Press, New York, 1971. 5. T. Aubin, A corse in Differential Geometry,
Graduate Studies in Mathematics, 27, AMS, 2000.
Geometria Differenziale - Non attivato nell’a.a. 2008/09
Codice: S8507
Docente: Prof. Elsa Abbena (Titolare del corso), Prof. Sergio Garbiero (Titolare del corso)
Crediti/Valenza: 7
OBIETTIVI
Il corso di propone di fornire agli studenti le nozioni base sulle varietà differenziabili e sulla geometria
Riemanniana, prestando una particolare attenzione agli esempi significativi. Queste conoscenze sono
235
rappresentazioni e la fisica matematica.
L’allievo dovrà acquisire una sufficiente padronanza degli argomenti trattati che gli consenta di risolvere esercizi
su classi particolari di varietà differenziabili e Riemanniane. Inoltre dovrà essere in grado di affrontare in modo
autonomo lo studio delle teorie matematiche e fisiche basate su varietà differenziabili o pseudo-Riemanniane.
PROGRAMMA
Algebra Lineare Geometria I
Elementi di topologia e geometria differenziale delle curve e
superfici Geometria III
Calcolo differenziale delle funzioni di più variabili Analisi Matematica III
Nozioni di base sulle varietà differenziabili Istituzioni di Geometria Superiore
Competenze minime (in uscita) Insegnamenti fruitori
Conoscere le proprietà fondamentali delle varietà differenziabili
e Riemanniane; saper risolvere esercizi su esempi significativi.
Geometria Complessa, Fisica
Matematica, Meccanica Analitica, Metodi
Geometrici per la Fisica Matematica.
Corsi di base del Dottorato
Argomento
Ore
Lezione
Ore
Esercitazione
Varietà differenziabili, vettori tangenti e applicazioni
differenziabili.
10
2
12
Sottovarietà, gruppi di Lie e spazi omogenei8
6
14
Elementi di algebra tensoriale, campi e forme differenziali
8
8
Geometria Riemanniana: metriche, connessioni lineari. tensori
di curvatura ed equazioni di struttura.
14
8
22
Totale
40
236
16
56
Varietà differenziabili, vettori tangenti e applicazionidifferenziabili.
Sottovarietà, gruppi di Lie e spazi omogenei.Elementi di algebra tensoriale, campi vettoriali e
formedifferenziali.Geometria Riemanniana: metriche, connessioni lineari, tensori di curvatura ed equazioni di
struttura.
TESTI
1. J. Lee, Introduction to smooth manifolds, Springer, 2003 2. J. Lee, Riemannian manifolds. An introduction to
curvature, Springer, 1997 3. W. Boothby, An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian
Geometry, Academic Press, 2002 4. B. C. Hall, Lie Groups, Lie Algebras and Representations, Springer, 2003
NOTA
L’esame consiste in una prova orale sugli argomenti trattati nel corso. Prima dell’orale gli studenti devono aver
consegnato gli esercizi assegnati durante le lezioni. Il corso e’ inserito in modalita’ e-learning sulla piattaforma
Moodle (link dal sito del Corso di Studi). Gli studenti che desiderano accedere, come tali, al corso devono
inviare un messaggio e-mail ai Docenti.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Martedì
9:00 - 11:00
Mercoledì
11:00 - 13:00
Venerdì
9:00 - 11:00
Lezioni: dal 03/03/2008 al 13/06/2008
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=a6ad
Geometria Differenziale (DM 270)
Tipologia: D.M. 270
Anno: 1° anno
Crediti/Valenza: 6
OBIETTIVI
Il corso di propone di fornire agli studenti le nozioni base sulle varietà differenziabili, gruppi di Lie e sulla
geometria Riemanniana, prestando una particolare attenzione agli esempi significativi. Queste conoscenze sono
rappresentazioni, la fisica matematica e l’analisi su varietà differenziabili.
Conoscere le proprietà fondamentali delle varietà differenziabili e Riemanniane e dei gruppi di Lie; saper
risolvere esercizi su esempi significativi. Fisica Matematica, Meccanica Analitica, Metodi Geometrici per la
237
Fisica Matematica. Analisi su varietà. Corsi di base del Dottorato
PROGRAMMA
Italiano
Richiami su algebra tensoriale, campi vettoriali e forme differenziali. Fibrati vettoriali.
Metriche Riemanniane , connessione di Levi-Civita, tensori di curvatura ed equazioni di struttura.
Nozioni di base su gruppi ed algebre di Lie.
Una scelta tra i seguenti argomenti:
Complementi su gruppi ed algebre di Lie.
Spazi omogenei.
Varietà simplettiche ed azioni hamiltoniane.
Geometria Riemanniana delle varietà e delle sottovarietà.
Varietà Hermitiane e Kaehleriane.
English
Review of tensorial algebra, vector fields, and differential forms. Vector bundles.
Riemannian metric, Levi-Civita connection, curvature tensors and structure equations.
Basic notions on Lie groups and Lie algebras.
A choice between the following topics:
Complements on Lie groups and Lie algebras.
Homogeneous spaces.
Symplectic manifolds and Hamiltonian actions.
Riemannian geometry of manifolds and submanifolds.
Hermitian and Kaehler manifolds.
.
TESTI
1. J. Lee, Introduction to smooth manifolds, Springer, 2003 3. W. Boothby, An Introduction to Differentiable
Manifolds and Riemannian Geometry, Academic Press, 2002 4. F. Warner, Foundations of Differential
Geometry and Lie groups, Academic Press, New York, 1971. 5. T. Aubin, A corse in Differential Geometry,
Graduate Studies in Mathematics, 27, AMS, 2000.
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=dc95
238
Geometria I - Non attivato nell’a.a. 2008/09
Codice: M8503
Docente: Prof. Andreana Zucco
Tipologia: Di base
Anno: 1° anno
Crediti/Valenza: 7
OBIETTIVI
Il corso di Geometria I dovrebbe fornire conoscenze matematiche di base, per cui gli argomenti trattati
corrispondono ad argomenti standard per un corso di Geometria Analitica. Essendo la Geometria Analitica
essenzialmente un metodo atto a trattare qualsiasi questione geometrica, è ovvio che una particolare attenzione è
data allo svolgimento di esercizi in quanto molto spesso per lo studente è diffficile applicare i teoremi visti in
casi concreti. Si spera che le nozioni viste siano utili non solo per studi più approfonditi di Geometria, ma anche
per le applicazioni in altre discipline.
Obiettivi L’obiettivo principale e’ l’apprendimento delle metodologie dell’Algebra Lineare e della Geometria
Analitica, nel piano e nello spazio. Lo studente acquisirà, in particolare, la competenza e l’abilità di svolgimento
degli esercizi che coinvolgono gli spazi vettoriali, le applicazioni lineari, le forme bilineari, le forme quadratiche,
le coniche, la Geometria Analitica nel piano e nello spazio. Le nozioni descritte sono fondamentali, non solo per
PROGRAMMA
carattere fondamentale del corso: in particolare Corsi di Analisi e di Geometria.
Argomento
Ore
239
Lezione
Ore
Esercitazione
Definizione ed esempi di spazi vettoriali
5
2
7
Sistemi Lineari e Matrici
4
2
6
Calcolo vettoriale nello spazio.
8
4
12
Spazi vettoriali e sottospazi.
4
3
14
Spazi vettoriali Euclidei e Hermitiani.
5
3
8
Applicazioni lineari
11
5
16
Forme lineari e bilineari.
240
5
3
8
Coniche e riduzione a forma canonica
4
4
8
Geometria Analitica nel piano.
4
4
8
Geometria Analitica nello spazio.
6
10
16
Totale
56
40
96
Calcolo vettoriale elementare.
Spazi vettoriali: sottospazi, dipendenza e indipendenza lineare, basi e dimensione. Matrici e determinanti.
Sistemi lineari.
Geometria analitica del piano. Rette, circonferenze e fasci di circonferenze. Coniche come luoghi geometrici di
punti e come curve algebriche del secondo ordine. Fasci di coniche.
Geometria analitica dello spazio. Rette e piani nello spazio. Sfere e fasci di sfere. Circonferenza nello spazio.
Cilindri, coni e superfici di rotazione.
TESTI
I testi base consigliati per il corso sono: 1. E. Abbena, A.Fino, G.M. Gianella - Geometria e Algebra Lineare I,
14-settembre-2007. 2. P.Favro e A.Zucco - Appunti di Geometria Analitica, Quaderni Didattici del Dipartimento
di Matematica del’Università di Torino n.25, febbraio 2004 3. P.Favro e A.Zucco - Esercizi di Geometria
Analitica, Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica del’Università di Torino n.38, aprile 2006 4.
M.Stoka - Corso di Geometria, II ed., Cedam, Padova 1995.
NOTA
L’esame si svolge, di norma, come segue: prova scritta. Eventuale colloquio orale a richiesta del docente o dello
studente per una ulteriore valutazione.
241
Geometria II - a.a. 2008/09
Docente: Prof. Elsa Abbena (Titolare del corso), Prof. Federica Galluzzi (Esercitatore), Prof. Sergio
Garbiero (Titolare del corso), Prof. Marcella Palese (Tutor), Prof. Mario Valenzano (Esercitatore)
Anno: 1° anno
Crediti/Valenza: 7
Avvalenza: 4 CFU Ambito B - 3 CFU Ambito A
OBIETTIVI
Il corso si propone di fornire allo studente le nozioni di base per risolvere problemi dell’ Algebra Lineare e della
Geometria Analitica, di fornire abilità rivolte alla soluzione di esercizi e teorie più avanzate. Ulteriore finalità è
la preparazione dello studente all’applicazione delle nozioni apprese alle altre discipline scientifiche.
L’obiettivo principale e’ l’apprendimento delle metodologie dell’Algebra Lineare e della Geometria Analitica,
nel piano e nello spazio. Lo studente acquisirà, in particolare, la competenza e l’abilità di svolgimento degli
esercizi che coinvolgono gli spazi vettoriali, le applicazioni lineari, le forme bilineari, le forme quadratiche, le
coniche, la Geometria Analitica nel piano e nello spazio. Le nozioni descritte sono fondamentali, non solo per
PROGRAMMA
carattere fondamentale del corso: in particolare Corsi di Analisi e di Geometria
.
Applicazioni lineari. Definizione di applicazione lineare tra due spazi vettoriali. Prime proprieta'.
Immagine e controimmagine di sottospazi vettoriali. Definizione di ker f e di im f e teoremi relativi. Teorema
fondamentale delle applicazioni lineari; matrice associata ad un’applicazione lineare ed equazioni di
242
un’applicazione lineare. Determinazione di ker f e di im f. Determinazione dell’immagine e della
controimmagine di sottospazi vettoriali. Teorema del Rango: ossia dim ker f + dim im f = dim V. Isomorfismi di
spazi vettoriali.Il cambiamento di base come esempio di isomorfismo. Lo spazio vettoriale delle applicazioni
lineari tra due spazi. Matrice associata alla composizione di applicazioni lineari e conseguenze. Legame tra le
infinite matrici associate alla stessa applicazione lineare. Matrici simili e loro proprieta' comuni.
Definizione di autovalore, autovettore e autospazio di un’applicazione lineare. Equazione caratteristica. Somma
diretta di autospazi. Relazione tra la dimensione di un autospazio e la molteplicità dell’autovalore relativo.
Applicazioni lineari semplici e matrici diagonalizzabili. Criteri di diagonalizzazione e loro conseguenze. Il
Teorema di Cayley-Hamilton (solo enunciato).Spazi vettoriali Euclidei e Hermitiani. Definizione di spazio
vettoriale euclideo. Norma di un vettore, teorema di Pitagora, disuguaglianza di Cauchy-Schwartz,
disuguaglianza triangolare, angolo tra due vettori. Ortogonalita', basi ortonormali. Ortonormalizzazione di
Gram-Schmidt. Complemento ortogonale. Matrici ortogonali e cambiamento di base. Definizione di spazio
vettoriale Hermitiano ed esempi. Versione nel caso Hermitiano dei risultati sopra elencati. I gruppi di
matrici:GL(n,R), GL(n,C), SL(n,R), SL(n,C), O(n), SO(n),U(n). Matrici Hermitane e matrici simmetriche.
Definizione di endomorfismo aggiunto e di endomorfismo autoaggiunto, proprieta'. Il teorema spettrale
(caso complesso e caso reale).Forme lineari e bilineari. Forme lineari e spazio duale: definizione, base duale.
Isomorfismo canonico tra uno spazio vettoriale e il suo duale nel caso degli spazi euclidei. Spazio biduale,
isomorfismo canonico. Applicazione lineare trasposta, proprieta'. Forme bilineari simmetriche reali,
matrice associata, relazione tra le matrici associate alla stessa forma bilineare simmetrica, dopo un cambiamento
di base. Forme quadratiche e loro classificazione. Forme canoniche di una forma quadratica. Forma normale.
Segnatura e Teorema di Sylvester (senza dimostrazione). Cenni sul caso complesso.Geometria analitica nel
piano.(Ripasso delle nozioni impartite nella scuola secondaria superiore se non sono state oggetto del precorso)
Riferimento cartesiano. Coordinate cartesiane. Riferimento polare, coordinate polari. Equazione della retta:
rappresentazione cartesiana e parametrica. Posizioni reciproche di due rette nel piano. Distanza di un punto da
una retta. Asse di un segmento. La circonferenza: rappresentazione cartesiana, equazioni parametriche. Posizione
reciproca retta/circonferenza e tra due circonferenze. Potenza di un punto rispetto ad una circonferenza. Fasci di
circonferenze. Studio delle equazioni di secondo grado in due incognite. Matrici associate ad una conica.
Invarianti di una conica per rototraslazione del sistema di riferimento. Coniche degeneri. Classificazione affine
euclidea delle coniche. Riduzione dell’equazione di una conica in forma canonica. Determinazione delle
equazioni del relativo cambiamento di riferimento. Il gruppo delle isometrie del piano (affine).Geometria
analitica nello spazio. Riferimento cartesiano. Coordinate cartesiane. Riferimenti polari: coordinate cilindriche e
sferiche. Il piano: rappresenatazione parametrica e cartesiana. La retta: rappresentazione parametrica e
cartesiana. Posizioni reciproche. Fasci di piani. Distanze. Angoli. Perpendicolare comune a due rette sghembe.
La sfera: rappresentazione parametrica e cartesiana. Posizioni reciproche: piano-sfera (piano tangente),
retta-sfera. La circonferenza nello spazio: rappresentazione parametrica e cartesiana. Coni, cilindri, superfici di
rotazione. Quadriche (rigate e non). Quadrighe ridotte a forma canonica.
TESTI
I testi consigliati sono indicati nel sito i-learn del corso
NOTA
Il corso è mutuato da Geometria 1 (ultimi 7 CFU) attivo nel presente a.a.
ORARIO LEZIONI
243
Giorni
Ore
Lunedì
11:00 - 13:00
Lunedì
9:00 - 11:00
Martedì
9:00 - 11:00
Mercoledì
8:00 - 10:00
Giovedì
11:00 - 13:00
Aula
Lezioni: dal 02/03/2009 al 05/06/2009
ATTENZIONE: Il lunedì il corso A fa lezione dalle 11.00 alle 13.00 in Aula A, il corso B dalle 9.00 alle 11.00
in Aula 4.
TUTORATO CORSO B: lunedì dalle 14.00 alle 16.00 in aula 6.
Geometria II - Non attivato nell’a.a. 2008/09
Codice: M8504
Docente:
Recapito: []
Anno: 1° anno
Crediti/Valenza: 7
OBIETTIVI
Nel corso di Geometria 2 si studiano l’Algebra Lineare e le sue applicazioni geometriche che saranno molto utili
allo svolgimento di tutti gli altri corsi di Geometria della Laurea Triennale e della Laurea Specialistica
PROGRAMMA
Applicazioni lineari. Matrici. Autovalori ed autovettori di un endomorfismo. Diagonalizzazione di una matrice
quadrata. Forme bilineari e forme quadratiche. Spazi vettoriali euclidei. Isometrie. Spazi unitari. Riduzioni a
forma canonica di una forma quadratica reale e di una conica. Spazi affini.Applicazioni affini.
TESTI
M. STOKA, Corso di Geometria, 3° edizione, Cedam, Padova, 1995.
Geometria III - Non attivato nell’a.a. 2008/09
Codice: M8510
Docente: Prof. Pier Mario Gandini (Titolare del corso)
Anno: 2° anno
Crediti/Valenza: 7
244
OBIETTIVI
Completare l’esposizione di alcune nozioni (spazi proiettivi, quadriche)che non hanno trovato posto nei corsi di
geometria precedenti. Introdurre le nozioni fondamentali di topologia generale e di geometria differenziale delle
curve.
Ci si attende che gli studenti sappiano applicare le nozioni di base apprese a rami più specialistici della
matematica.
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso)Insegnamenti fornitoriConoscenze di geometria analitica del piano e dello
spazioGeometria IConoscenze di algebra lineareGeometria IIFondamenti di calcolo differenziale ed
integraleAnalisi Matematica I e IIFunzioni di più variabiliAnalisi Matematica III
Insegnamenti fruitoriConoscenze della topologia generale di baseGeometria IV; Topologia e alcuni corsi di
laurea triennale e laurea magistrale.
Conoscenze dei fondamenti della geometria differenziale delle curve , degli spazi proiettivi e delle iperquadriche
Geometria differenziale per laurea specialistica e alcuni corsi di laurea triennale e laurea magistrale.
Argomento
Ore
Lezioni
Ore
Esercitazioni
Nozione di spazio topologico. Topologia indotta da una metrica. Funzioni continue ed omeomorfismi.
12
4
16
Sottospazi. Topologia prodotto. Assiomi di separazione. Spazi connessi e spazi compatti.
12
4
16
245
Curve nel piano e nello spazio. Triedro di Fernet, curvatura e torsione.
6
4
10
Spazi proiettivi.
6
2
8
Iperquadriche e quadriche.
9
4
13
Totale
45
18
63
Nozione di spazio topologico.Topologia indotta da una metrica. Funzioni continue ed omeomorfismi. Sottospazi.
Topologia prodotto . Assiomi di separazione. Spazi connessi. Spazi compatti.
Curve nel piano e nello spazio; triedro di Frenet, curvatura e torsione. Spazi proiettivi. iperquadriche, quadriche e
loro classificazione.
TESTI
P.M.Gandini, S.Garbiero, Appunti di Geometria III, Quaderni didattici del Dipartimento di Matematica
dell’Università di Torno, n.30, 2004, disponibile on line all’indirizzo:
http://www.dm.unito.it/quadernididattici/2001d.html
NOTA
A partire dalla sessione estiva del 2008 l’esame è solo orale.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Martedì
11:00 - 13:00
Mercoledì
8:00 - 10:00
Giovedì
10:00 - 11:00
Lezioni: dal 03/03/2008 al 13/06/2008
Nota: TUTORATO: giovedì dalle 14.00 alle 16.00.
246
Geometria IV (DM 509)
Codice: MFN0063 / S8534
Tipologia: D.M. 509
Anno: 2° anno
Crediti/Valenza: 5
OBIETTIVI
Studio approfondito delle Superfici differenziabili e presentazione completa del Teorema di Gauss-Bonnet.
Studio del gruppo fondamentale con collegamenti all’ Analisi complessa.
Lo studente sarà in grado di studiare in modo approfondito la Geometria delle superfici differenziabili e avrà
dimestichezza con il gruppo fondamentale.
PROGRAMMA
Italiano
·
Breve revisione dei concetti di base di geometria sulle superficie differenziali. Isometrie, applicazioni
conformi.
·
Discussione approfondita della curvatura di Gauss e delle sue diverse interpretazioni geometriche.
Derivazione covariante.
·
Geodetiche su una superficie, definizione, esistenza, unicità, esempi.
·
Il piano iperbolico, le sue isometrie e le sue geodetiche.
·
Una breve introduzione alle geometrie due dimensionali: sferica, ellittica,iperbolica, con cenni sulla
descrizione delle loro isometrie.
·
Revisione del concetto di caratteristica di Eulero Poincare. Il teorema di Gauss–Bonnet (enunciato della
versione locale e deduzione della versione globale).
·
Applicazioni del teorema di Gauss–Bonnet alla geometria sferica ed iperbolica.
·
Il gruppo fondamentale, discussione approfondita delle sue proprieta’
·
Applicazioni alla geometria (per esempio: teoremi del punto fisso, teorema fondamentale dell’algebra la
formula per il calcolo del residuo in analisi complessa)
English
·
Gauss curvature. Covariant derivative.
247
·
Geodesics on a surface.
·
The hyperbolic plane.
·
Non-Euclidean geometries
·
The theorem of Gauss–Bonnet.
·
·
Applications.
.
TESTI
N. Hitchin: Geometry of Surfaces, M. Abate, F. Tovena: Curve e Superfici, P.M.H. Wilson: Curved Spaces. A.
Gray, E. Abbena, S. Salamon: Modern differential Geometry of curves and surfaces.
Geometria IV - a.a. 2008/09
Codice: MFN0155
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 5
OBIETTIVI
Presentare alcuni concetti fondamentali di topologia generale e di topologia algebrica che sono essenziali per
ulteriori studi nelle varie discipline geometriche, e per la comprensione delle molteplici applicazioni della teoria
delle varietà nella fisica e nell’analisi.
Lo studente sarà in grado di maneggiare concetti di topologia, quali connessione e compattezza. Saprà descrivere
la costruzione di superficie topologiche e di altre varietà notevoli. Conoscerà le proprietà del gruppo
fondamentale e qualche applicazione significativa della teoria della omotopia. Vedrà la caratteristica di Eulero
Poincaré e ne comprenderà l’uso nella classificazione delle superficie.
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso)Insegnamenti fornitoriTeoria elementare dei gruppiAlgebra IAlgebra lineare
elementareGeometria IIPrimi elementi di topologia e di geometria differenzialeGeometria III
248
Costruzione di varietà topologiche e loro proprietà
Corsi di Geometria e Topologia della Laurea Magistrale
Calcolo di alcuni gruppi fondamentali e loro uso nella classificazione
Argomento
Ore
Lezione
Preliminari di topologia generale.
4
4
Cammini, connessione per cammini.
6
6
Omotopia.
6
6
Gruppo fondamentale e sue proprietà funtoriali.
6
6
Gruppo fondamentale della circonferenza.
4
4
Esempi, metodi di calcolo ed applicazioni.
7
7
Preliminari di topologia generale per la classificazione.
2
249
2
Caratteristica di Eulero Poincare e classificazione delle superficie.
8
8
Il gruppo fondamentale delle superficie topologiche, cenni.
2
2
Totale
45
45
Cenni di topologia algebrica:
Preliminari di topologia generale. Cammini, connessione per cammini. Omotopia. Gruppo fondamentale e sue
proprietà funtoriali. Gruppo fondamentale della circonferenza. Esempi, metodi di calcolo ed applicazioni. Una
breve introduzione alle superficie topologiche compatte e connesse. Caratteristica di Eulero Poincare e
classificazione delle superficie. Il gruppo fondamentale delle superficie topologiche.
TESTI
KOSNIOWSKI, Introduzione alla topologia algebrica, Zanichelli in alternativa SERNESI, Geometria II,
Boringhieri
NOTA
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Lunedì
16:00 - 18:00
Martedì
16:00 - 18:00
Venerdì
14:00 - 15:00
Lezioni: dal 29/09/2008 al 09/01/2009
Geometria IV - a.a. 2008/09
Crediti/Valenza: 5
250
OBIETTIVI
Presentare alcuni concetti fondamentali di topologia generale e di topologia algebrica che sono essenziali per
ulteriori studi nelle varie discipline geometriche, e per la comprensione delle molteplici applicazioni della teoria
delle varietà nella fisica e nell’analisi.
Lo studente sarà in grado di maneggiare concetti di topologia, quali connessione e compattezza. Saprà descrivere
la costruzione di superficie topologiche e di altre varietà notevoli. Conoscerà le proprietà del gruppo
fondamentale e qualche applicazione significativa della teoria della omotopia. Vedrà la caratteristica di Eulero
Poincaré e ne comprenderà l’uso nella classificazione delle superficie.
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso)Insegnamenti fornitoriTeoria elementare dei gruppiAlgebra IAlgebra lineare
elementareGeometria IIPrimi elementi di topologia e di geometria differenzialeGeometria III
Costruzione di varietà topologiche e loro proprietà
Corsi di Geometria e Topologia della Laurea Magistrale
Calcolo di alcuni gruppi fondamentali e loro uso nella classificazione
Argomento
Ore
Lezione
Preliminari di topologia generale.
4
4
Cammini, connessione per cammini.
6
6
Omotopia.
6
6
251
Gruppo fondamentale e sue proprietà funtoriali.
6
6
Gruppo fondamentale della circonferenza.
4
4
Esempi, metodi di calcolo ed applicazioni.
7
7
Preliminari di topologia generale per la classificazione.
2
2
Caratteristica di Eulero Poincare e classificazione delle superficie.
8
8
Il gruppo fondamentale delle superficie topologiche, cenni.
2
2
Totale
45
45
Cenni di topologia algebrica:
Preliminari di topologia generale. Cammini, connessione per cammini. Omotopia. Gruppo fondamentale e sue
proprietà funtoriali. Gruppo fondamentale della circonferenza. Esempi, metodi di calcolo ed applicazioni. Una
breve introduzione alle superficie topologiche compatte e connesse. Caratteristica di Eulero Poincare e
classificazione delle superficie. Il gruppo fondamentale delle superficie topologiche.
TESTI
KOSNIOWSKI, Introduzione alla topologia algebrica, Zanichelli in alternativa SERNESI, Geometria II,
Boringhieri
NOTA
ORARIO LEZIONI
252
Giorni
Ore
Aula
Lunedì
16:00 - 18:00
Martedì
16:00 - 18:00
Venerdì
14:00 - 15:00
Lezioni: dal 29/09/2008 al 09/01/2009
Geometria IV Complementi - a.a. 2008/09
Codice: MFN0156
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 2
OBIETTIVI
Presentare alcuni teoremi classici fondamentali che legano la topologia algebrica e la geometria differenziale
introducendo i concetti e le metodologie necessarie in forma relativamente elementare ed intuitiva, senza l’uso di
tecniche troppo avanzate.
Lo studente sarà in grado di maneggiare concetti quali la caratteristica di Eulero-Poincaré, l’indice di un campo
di vettori tangenti. Ulteriormente egli sarà di comprendere le linee essenziali della dimostrazione del teorema
Poincaré-Hopf per le superficie, e di quello di Gauss-Bonnett.
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso) Insegnamenti fornitori Primi concetti di topologia algebrica e classificazione
superficie. Geometria IV
Proprietà notevoli di varietà.
Corsi di Geometria e Topologia della LM
Argomento a scelta tra:
253
Ore
Lezione
Teoria dei Rivestimenti e sue applicazioni al Gruppo Fondamentale (7). Esempi significativi (2). Teorema di
Van Kampen (3), esempi di calcolo, applicazioni ai nodo torali (6).
18
18
Totale
18
18
(B) Relazioni tra topologia e geometria differenziale: winding number (4) , indice di un campo di vettori (3),
teorema di Poincaré-Hopf per le superficie(3), rudimenti di teoria di Morse (4), una prova di Gauss-Bonnett (4).
Totale
18
18
A scelta tra:
(A) Teoria dei Rivestimenti e sue applicazioni al Gruppo Fondamentale. Esempi. Teorema di Van Kampen,
esempi di calcolo, applicazioni ai nodo torali.
(B) Relazioni tra topologia e geometria differenziale: winding number , indice di un campo di vettori, teorema
di Poincare Hopf per le superficie, rudimenti di teoria di Morse, una prova di Gauss-Bonnett.
TESTI
Scelta A) testi per Geometria IV-M8523. Scelta B) Alcune sezioni dai libri (i) AMathematical Gift I:The
interplay between topology, functions, geometry, and algebra by Kenji Ueno, Koji Shiga and Shigeyuki Morita
(ii) Differential forms and applications. Universitext.: Springer-Verlag by do Carmo,.
NOTA
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Nota: Le lezioni iniziano al termine del corso Geometria IV negli stessi orari.
254
Geometria Stocastica - Non attivato nell’a.a. 2008/09
Codice: 8118S
Docente: (Titolare del corso)
Recapito: []
Crediti/Valenza: 7
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Lunedì
9:00 - 11:00
Mercoledì
9:00 - 11:00
Giovedì
9:00 - 10:00
Lezioni: dal 03/03/2008 al 13/06/2008
Geometria Superiore (DM 509)
Docente: Prof. Alberto Conte - Preside della Facoltà di Scienze M.F.N. (Titolare del corso), Prof. Marina
Marchisio (Titolare del corso), Prof. Federica Galluzzi (Titolare del corso)
Recapito: Ufficio: 0116702881 Presidenza di Facolà: 0116707865 [[email protected]]
Tipologia: D.M. 509
Anno: 2° anno
Crediti/Valenza: 7
OBIETTIVI
L’allievo dovra’ essere in grado di padroneggiare le piu’ avanzate tecniche geometriche per lo studio delle
varieta’ (algebriche, differenziali e analitiche complesse) e di approfondire numerosi esempi di tali enti
geometrici.
Teoria avanzata delle varieta’.
PROGRAMMA
Italiano
Varieta' analitiche complesse.
Gruppo fondamentale.
Rivestimenti.
255
Cenni: Fibrati vettoriali.
English
Complex manifolds.
Coverings.
Vector bundles.
.
TESTI
I testi base consigliati per il corso sono: W. P. Barth, K. Hulek, C. A. M. Peters, A. Van de Ven, Compact
Complex Surfaces, Springer, Berlin 2004. C. Kosniowski, Introduzione alla topologia algebrica, Zanichelli,
Bologna 1988.
Geometria Superiore - a.a. 2008/09
Marchisio (Titolare del corso)
Crediti/Valenza: 7
OBIETTIVI
Il corso si propone di fornire allo studente le nozioni concernenti le curve ellittiche e le loro principali proprietà
geometriche.
L’allievo dovrà essere in grado di padroneggiare le più avanzate tecniche aritmetiche e geometriche per lo studio
delle curve ellittiche e di approfondire numerosi aspetti e applicazioni di tali oggetti geometrici.
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso)Insegnamenti fornitoriNozioni di base sulle varietà algebriche e sulle curve
algebriche.Geometria I, II, III.
Aritmetica e geometria delle curve ellittiche
256
Geometria algebrica,
Algebra computazionale
Argomento
Ore
Lezione
Ore
Esercitazione
Richiami di teoria delle curve algebriche e di teoria dei numeri
6
0
6
La geometria delle curve ellittiche
9
4
13
Curve ellittiche su campi finiti
9
2
11
Curve ellittiche su campi locali e globali
16
4
20
Applicazioni delle curve ellittiche
6
0
6
257
Totale
46
10
56
TESTI
Joseph H. Silverman, The Arithmetic of Elliptic Curves, Graduate Texts in Mathematics, 106, Spriger-Verlag.
NOTA
Modalità di verifica/esame Colloquio orale
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Lunedì
11:00 - 13:00
Mercoledì
11:00 - 13:00
Venerdì
16:00 - 18:00
Lezioni: dal 02/03/2009 al 05/06/2009
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=e29e
Tipologia: D.M. 270
Anno: 1° anno
Crediti/Valenza: 6
OBIETTIVI
geometrici.
PROGRAMMA
Italiano
258
Rivestimenti.
English
Complex manifolds.
Coverings.
.
TESTI
Bologna 1988.
Tipologia: D.M. 270
Anno: 1° anno
Crediti/Valenza: 9
OBIETTIVI
geometrici.
PROGRAMMA
Italiano
Rivestimenti.
Fibrati vettoriali.
English
259
Complex manifolds.
Coverings.
Vector bundles.
.
TESTI
Bologna 1988.
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=0b2e
Gruppi di Lie - Non attivato nell’a.a. 2008/09
Codice: S8509
Docente:
Recapito: []
Crediti/Valenza: 7
OBIETTIVI
Scopo del corso è di insegnare le nozioni di base di gruppi e algebre di Lie, con grande attenzione agli esempi.
L’argomento svolto e il tipo di approccio scelto ne faranno un corso trasversale a diversi campi della matematica
sia per i prerequisiti richiesti sia per le nozioni impartite.
La verifica dell’apprendimento è suddivisa in due tempi: gli studenti sono tenuti a svolgere gli esercizi via via
proposti e a consegnare i loro elaborati ai docenti; inoltre, ciscun studente terrà un seminario di approfondimento
di un’ora su uno o piu’ argomenti, inerenti al corso.
PROGRAMMA
Gruppi e Algebre di Lie: definizione ed esempi. Legami tra Gruppi e Algebre di Lie: teoremi di Lie. Gruppi e
Algebre di Lie semisemplici, risolubili e nilpotenti. Metriche Riemanniane invarianti su gruppi di Lie e
curvatura. Azioni di gruppi di Lie su varieta’; spazi omogenei; metriche invarianti su spazi omogenei.
TESTI
Dispense dei Docenti W.M. Boothby: An introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry,
Academic Press, 1975. R.W.Carter, I. McDonald, G. Segal: Lectures on Lie Groups and Lie Algebras, LMS,
Cambridge U.P. 1995. M.L.Curtis: Matrix Groups, Springer, 1984. F. Warner: Foundations of Differentiable
Manifolds and Lie Groups, Springer, 1983.
Informatica - a.a. 2008/09
Codice: M8608
Docente: Prof. Stefano Berardi (Titolare del corso), Prof. Ugo de’ Liguoro (Titolare del corso)
260
Anno: 1° anno
Crediti/Valenza: 10
SSD: INF/01 - informatica
Avvalenza: 5CFU Ambito A - 5CFU Ambito C
OBIETTIVI
Il corso è finalizzato all’apprendimento dei concetti basilari del calcolo scientifico automatico. Gli allievi
dovrebbero essere in grado di sviluppare programmi per risolvere problemi collegati alla loro attività di
matematici. Quindi il corso non mira né alla conoscenza approfondita di uno specifico linguaggio di
programmazione (anche se sarà necessario sceglierne uno), né ad introdurre alla programmazione in generale,
ma ad introdurre tecniche tipiche di programmi di calcolo. A questo scopo, senza affrontare problematiche
proprie di un corso di calcolo numerico, si esemplificheranno costrutti di programmazione e strutture dati con
algoritmi elementari il più possibile attinenti ai contenuti dei corsi del primo anno della laurea in Matematica.
PROGRAMMA
Variabili, espressioni assegnazioni
Controllo del flusso
Le funzioni
Strutture dati statiche: array e record
Tempo di calcolo
Iterazione
Ricorsione
Strutture dati dinamiche: liste ed alberi
Astrazione dei dati e classi
TESTI
John R. Hubbard, Programmare in C++, seconda ed. McGraw-Hill 2000.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Lunedì
8:00 - 11:00
Lunedì
11:00 - 13:00
Mercoledì
10:00 - 12:00
Venerdì
9:00 - 11:00
Lezioni: dal 02/03/2009 al 05/06/2009
ATTENZIONE: il lunedì il corso A fa lezione dalle 8.00 alle 11.00 nelle Aule Informatizzate 1-2-3, il corso B
dalle 11.00 alle 13.00 nell’ Aula 4 e Informatizzata n. 1-2-3
TUTORATO CORSO A: lunedì dalle 14.00 alle 16.00 nelle Aule Informatizzate 1-2-3.
TUTORATO CORSO B: giovedì dalle 14.00 alle 16.00 nelle Aule Informatizzate 2-3.
261
Informatica (DM 270)
Docente:
Recapito: []
Tipologia: D.M. 270
Anno: 1° anno
Crediti/Valenza: 9
OBIETTIVI
saper programmare in C++ in modo strutturato, usando funzioni e tipi di dato statici e dinamici
PROGRAMMA
Italiano
Il corso verte sulla programmazione, spiegata attraverso il linguaggio C++. L’oggetto del corso, tuttavia, non è il
linguaggio C++ in tutti i suoi dettagli, ma alcuni aspetti di base della programmazione. Gli argomenti del corso
includono (non necessariamente in ordine di presentazione): 1. Variabili, espressioni assegnazioni 2. Controllo
del flusso 3. Le funzioni 4. Strutture dati statiche: array e record 5. Tempo di calcolo 6. Iterazione 7. Ricorsione
8. Strutture dati dinamiche: liste 9. Astrazione dei dati e classi
English
The course is about programming, introduced throught the language C++. The goal of the course, however, is not
to explain the language C++ in all details, but to explain basic topics of programming. This is the list of topics
which are covered: 1. Variables, expressions and assignments 2. Flow control 3. Functions 4. Static data types:
arrayand records 5. Computation time 6. Iteration 7. Recursion 8. Dynamic data structurs: lists
9. Data abstractions and classes
.
TESTI
Hubbard Programmare in C++
Informatica I - Non attivato nell’a.a. 2008/09
Codice: M8507
Docente: Prof. Stefano Berardi
Tipologia: Di base
Anno: 1° anno
Crediti/Valenza: 7
OBIETTIVI
Insegnare a scrivere semplici programmi per risolvere problemi di calcolo matematico, e di raccolta e
manipolazione di dati
262
Apprendere parte del linguaggio di programmazione C: istruzioni di input/output, tipi, cicli for e while,
definizione di funzioni.
PROGRAMMA
Argomento
Ore
Lez.
Ore
Esercit.
Ore Laboratorio
Variabili, constanti, I/O.
2
1
2
5
Istruzione IF, istruzioni composte, IF annidati, espressioni, variabili carattere, switch.
2
1
2
5
Istruzione FOR, incrementi e decrementi, fattoriale, istruzioni WHILE, DO-WHILE, operatore virgola, cicli
annidati, salti condizionati e non, variabili in virgola mobile, operazioni in virgola mobile, zeri di una funzione.
2
1
2
5
Array, esempi di array, inizializzazione di array, matrici, esempi di matrici.
4
2
4
263
10
Ricerche di un elemento in un vettore, ricerca completa, ordinamenti, ricerca binaria, fusione.
2
1
2
5
Stringhe, esempi di stringhe, funzioni predefinite su stringhe.
4
2
4
10
Funzioni, concetto di sottoprogramma, in C, dichiarazione di una funzione, visibilità, istruzione RETURN,
chiamata di una funzione, passaggio dei parametri, il tipo VOID, la scomposizione funzionale, gestione di una
sequenza.
6
3
6
15
Preprocessore C, direttive, #define, #include. (sezioni 8.4-8.10 omesse).
2
1
2
5
Puntatori, definizione, array e puntatori, aritmetica dei puntatori, passaggio di parametri per indirizzo. (sezioni
9.5-9.7 omesse).
2
1
2
5
Totale
26
264
13
26
65
TESTI
Il testo base consigliato per il corso è: Alessandro Bellini, Andrea Guidi: Linguaggio C, guida alla
programmazione, Mc Graw-Hill, consultabile all’indirizzo web: http://www.hyperbook.it Per trovare dispense e
un compilatore C consultate la pagina del docente: http://www.di.unito.it/~stefano/Web-Teaching.htm#INFOI
Nella stessa pagina trovate tutti i programmi svolti nel corso del 2006-2007:
http://www.di.unito.it/~stefano/c-lezioni2006.rtf Il corso ha un Forum con ISCRIZIONE OBBLIGATORIA per
poter sostenere l’esame. Seguite il link "Altre Informazioni" in fondo alla pagina:
NOTA
Il corso ha un Forum con ISCRIZIONE OBBLIGATORIA per poter sostenere l’esame. Seguite il link "Altre
Informazioni" in fondo alla pagina.
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=a27f
Informatica II - a.a. 2008/09
Docente: Prof. Stefano Berardi (Titolare del corso), Prof. Ugo de’ Liguoro (Titolare del corso)
Anno: 2° anno
Crediti/Valenza: 3
SSD: ING-INF/05 - sistemi di elaborazione delle informazioni
Avvalenza: 3 CFU Ambito C
OBIETTIVI
Il corso si propone di introdurre le tecniche per la costruzione e l’analisi di algoritmi elementari, prendendo il
C++ come linguaggio base ed introducendo i concetti fondamentali della programmazione orientata agli oggetti.
L’enfasi è quindi posta sulle strutture dati, sulle tecniche di progettazione di algoritmi esemplificate attraverso lo
studio di algoritmi classici, e su quelle della strutturazione dei programmi.
L’allievo dovrà saper costruire funzioni C/C++ che implementino algoritmi elementari, saper realizzare e gestire
strutture dati di base statiche e, soprattutto, dinamiche. Avere un’idea di come realizzare procedure iterative e
ricorsive, controllandone correttezza e complessità in tempo. Dovrà inoltre acquisire competenze circa
l’organizzazione di un programma e l’astrazione procedurale e dei dati mediante l’uso delle classi, nonché circa
l’uso di librerie di codice standard. Note Modalità di verifica/esame
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso) Insegnamenti fornitori Programmazione imperativa in C (elementi di base) Informatica
I
265
Costruzione di cicli e di ricorsioni, gestione dinamica della memoria, uso delle classi e della STL
Analisi Numerica II, Crittografia e Codici Correttori
Programma:
Ricorsione
Strutture dati dinamiche: liste ed alberi
Astrazione dei dati e classi
Altro materiale didattico e il programma dettagliato del corso è reperibile sul sito:
TESTI
Testi consigliati e bibliografia J.R. Hubbard, Programmare in C++, seconda ed., McGraw-Hill, 2001 Dispense
disponibili alla pagina web del corso
NOTA
Il corso è mutuato da Informatica (ultimi 3 CFU) attivo nel presente a.a.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Lunedì
8:00 - 11:00
Lunedì
11:00 - 13:00
Mercoledì
10:00 - 12:00
Venerdì
9:00 - 11:00
Lezioni: dal 02/03/2009 al 05/06/2009
ATTENZIONE: il lunedì il corso A fa lezione dalle 8.00 alle 11.00 nelle Aule Informatizzate 1-2-3, il corso B
dalle 11.00 alle 13.00 nell’ Aula 4 e Informatizzata n. 1-2-3
TUTORATO CORSO A: lunedì dalle 14.00 alle 16.00 nelle Aule Informatizzate 1-2-3.
TUTORATO CORSO B: giovedì dalle 14.00 alle 16.00 nelle Aule Informatizzate 2-3.
Informatica II - Non attivato nell’a.a. 2008/09
Codice: M8517
Docente: Prof. Ugo de’ Liguoro (Titolare del corso)
Anno: 2° anno
Crediti/Valenza: 7
SSD: ING-INF/05 - sistemi di elaborazione delle informazioni
266
OBIETTIVI
Il corso si propone di introdurre le tecniche per la costruzione e l’analisi di algoritmi elementari, prendendo il
C++ come linguaggio base ed introducendo i concetti fondamentali della programmazione orientata agli oggetti.
L’enfasi è quindi posta sulle strutture dati, sulle tecniche di progettazione di algoritmi esemplificate attraverso lo
studio di algoritmi classici, e su quelle della strutturazione dei programmi.
L’allievo dovrà saper costruire funzioni C/C++ che implementino algoritmi elementari, saper realizzare e gestire
strutture dati di base statiche e, soprattutto, dinamiche. Avere un’idea di come realizzare procedure iterative e
ricorsive, controllandone correttezza e complessità in tempo. Dovrà inoltre acquisire competenze circa
l’organizzazione di un programma e l’astrazione procedurale e dei dati mediante l’uso delle classi, nonché circa
l’uso di librerie di codice standard.
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso) Insegnamenti fornitori Programmazione imperativa in C (elementi di base) Informatica
I
Costruzione di cicli e di ricorsioni, gestione dinamica della memoria, uso delle classi e della STL
Analisi Numerica II, Crittografia e Codici Correttori
Argomento
Ore
Lezione
Ore Laboratorio
Iterazione e ricorsione: metodo delle asserzioni, invarianti di ciclo, definizioni induttive e funzioni ricorsive.
20
8
28
Strutture informative: gestione dinamica della memoria, vettori, liste, alberi.
14
8
267
22
Tipi astratti di dato: classi, ereditarietà e polimorfismo.
7
6
13
Totale
41
22
63
Il corso prevede un laboratorio.
TESTI
J.R. Hubbard, Programmare in C++, seconda ed., McGraw-Hill, 2001 Dispense disponibili alla pagina web del
corso
NOTA
Modalità di verifica/esame L’esame si svolge, di norma, come segue: una prova pratica al calcolatore, in cui sarà
richiesto di completare il codice di alcuni piccoli programmi in base a determinati requisiti; una prova orale cui
si è ammessi previo superamento della prova pratica.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Lunedì
9:00 - 10:00
Martedì
9:00 - 11:00
Venerdì
11:00 - 13:00
Lezioni: dal 01/10/2007 al 18/01/2008
Nota: La lezione del venerdì utilizza anche le aule informatizzate.
TUTORATO: giovedì dalle 14.00 alle 16.00.
Informatica III - a.a. 2008/09
Docente: Prof. Ferruccio Damiani (Titolare del corso)
Crediti/Valenza: 7
Avvalenza: Cod. S8862 ambito C
268
OBIETTIVI
Il corso ha lo scopo di fornire gli strumenti metodologici di base per il progetto, l’analisi ed il confronto di
algoritmi e di introdurre alcuni algoritmi e strutture dati fondamentali. Le sperimentazioni hanno lo scopo di
presentare alcuni degli algoritmi e delle strutture dati fondamentali attraverso il linguaggio Java e di mostrare
come i linguaggi imperativi tipati object-oriented class-based, come Java, siano particolarmente indicati per
realizzare pacchetti software che implementino algoritmi e strutture dati.
Capacita’ di realizzare pacchetti software che supportino strutture dati e i relativi algoritmi sfruttando le
caratteristiche proprie dei linguaggi imperativi tipati object-oriented class-based e utilizzando, in modo
opportuno, classi e interfacce della libreria standard Java
PROGRAMMA
http://www.educ.di.unito.it/VisualizzaCorsi/corso.php?cod=I8031&codA=S8841&year=2005&orienta=T#
Argomento
Ore
Lezione
Ore Laboratorio
Analisi di algoritmi: correttezza
6
6
Analisi di algoritmi: complessita'
10
10
Tipi di dato e strutture dati
10
4
14
Metodi di risoluzione di problemi e progetto di algoritmi
6
4
269
10
Algoritmi sui grafi
12
4
16
Totale
44
12
56
Pre-requisiti (in ingresso)Insegnamenti fornitoriNozioni elementari di programmazione Nozioni elementari di
analisi matematica e calcolo combinatorio
Conoscenza elementare delle principali tecniche di analisi e progetto di algoritmi e strutture dati
Conoscenza elementare delle tecniche di analisi della complessità degli algoritmi
Capacita' di realizzare pacchetti software che supportino strutture dati e i relativi algoritmi sfruttando le
caratteristiche proprie dei linguaggi imperativi tipati object-oriented class-based e utilizzando, in modo
opportuno, classi e interfacce della libreria standard Java
NOTA
Corso mutuato da Algoritmi e Sperimentazioni - Laurea Triennale in Informatica Modalità di verifica/esame
L’esame si svolge, di norma, come segue: L’esame e’ diviso in tre parti: (1) una verifica scritta che riguarda gli
argomenti presentati durante le lezioni in aula, (2) una discussione dei progetti realizzati dai candidati durante le
lezioni in laboratorio, e (3) un breve colloquio che comprende una discussione della verifica scritta e dei
"compiti" assegnati dal docente durante le lezioni in aula. Le prove (1) e (2) possono essere superate (ottenendo
una valutazione sufficiente) in qualunque ordine (anche in appelli diversi). La validita’ di tali prove e’ limitata al
corrente anno accademico (ovvero le prove non valgono piu’ a partire dal primo appello del corso tenuto
nell’anno accademico successivo). Eventuali deroghe (in seguito a gravi e giustificati motivi) potranno essere
concordate con il docente prima dell’ultimo appello utile. Il colloquio (3) puo’ essere sostenuto solo DOPO
AVER SUPERATO entrambe le prove (1) e (2), subito prima della registrazione del voto d’esame. In linea di
massima, il voto d’esame è ottenuto come media pesata rispetto al numero dei crediti (6 per la prova (1), 3 per la
270
prova (2)) delle votazioni, entrambe sufficienti, conseguite nelle due prove. Tuttavia, l’esito del colloquio (3)
potrebbe influenzare, anche di molto, tale valore (al limite, potrebbe anche risultare nel non superamento
dell’esame). Esempi di testi di esame per la prova (1) ed esempi di esercizi da svolgere per la prova (2) sono
reperibili alle pagine web relative alle lezioni in aula e alle lezioni in laboratorio del corso.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Nota: Si veda l’orario indicato nel sito
http://www.educ.di.unito.it/VisualizzaCorsi/corso.php?cod=I8031&codA=S8841&year=2005&orienta=T#
Inglese (DM 509)
Codice: M8551
Docente:
Recapito: []
Tipologia: D.M. 509
Anno:
Crediti/Valenza: 4
Inglese - Modulo Base - a.a. 2008/09
Docente: Catherine Merrett (Titolare del corso)
Recapito: 011.670.7884 [[email protected]]
Tipologia: Per la prova finale e per la conoscenza della lingua straniera
Anno: 1° anno 2° anno 3° anno
Crediti/Valenza: 4
NOTA
Le lezioni si terranno dal 14 gennaio 2009 al 23 marzo 2009 ogni mercoledì con le seguenti modalità: Dalle
15.00 alle 16.00 tutorato individuale in Aula 5 (dal 4 marzo in Aula 1) Dalle 16.00 alle 18.00 lezione collettiva in
Aula 5 (dal 4 marzo in Aula 1) Per informazioni dettagliate sugli appelli vedere la voce Servizi on-line - Test
d’inglese.
Inglese - Modulo Intermediate - a.a. 2008/09
Docente: Jeanne Marie Griffin (Titolare del corso)
Recapito: [[email protected]]
Tipologia: Per la prova finale e per la conoscenza della lingua straniera
Crediti/Valenza: 0
271
NOTA
Le lezioni si terranno dal 12 gennaio 2009 al 25 marzo 2009 ogni lunedì con le seguenti modalità: Dalle 15.00
alle 16.00 tutorato individuale in Aula 1 (dal 2 marzo in aula 6) Dalle 16.00 alle 18.00 lezione collettiva in Aula
1 (dal 2 marzo in aula 6) Per informazioni dettagliate sugli appelli vedere la voce Servizi on-line - Test d’inglese.
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=9b9c
Inglese (DM 270)
Docente:
Recapito: []
Tipologia: D.M. 270
Anno: 1° anno
Crediti/Valenza: 4
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=eca8
Introduzione al Pensiero Matematico (IPM) - a.a. 2008/09
Codice: M8609
Docente: Prof. Ferdinando Arzarello (Titolare del corso), Prof. Ornella Robutti (Titolare del corso), Prof.
Francesca Ferrara (Esercitatore)
Anno: 1° anno
Crediti/Valenza: 6
OBIETTIVI
Fornire agli studenti strumenti concettuali ed operativi che collegano il più possibile quanto svolto alle superiori
con quanto si prevede di affrontare in forma più astratta nel Corso di Studi in Matematica, evitando così la
famosa parentesi di cui parlava Felix Klein. Esso propone infatti un ambiente di esplorazione e di creazione di
prototipi mentali per il discorso più astratto sviluppato in Geometria I e II e in Algebra I e II. L’aspetto
esplorativo, favorevole alla produzione/validazione di congetture e dimostrazioni, è stimolato e supportato anche
mediante l’uso di software opportuni. Offrire agli studenti un approccio al metodo ipotetico-deduttivo proprio
della matematica in un contesto (geometria e numeri naturali) in cui la funzione degli assiomi, dei teoremi e delle
dimostrazioni viene acquisita con il necessario rigore ma in forma non troppo astratta. Favorire un amichevole
collegamento tra le discipline geometriche ed algebriche così come sono insegnate all’Università e come sono
state apprese nella scuola pre-universitaria.
Gli studenti saranno in grado di: 1) Comprendere il significato logico-matematico dei sistemi ipotetico deduttivi.
2) Comprendere dimostrazioni di enunciati in cui sono usati sia argomenti diretti sia dimostrazioni per assurdo.
3) Comprendere dimostrazioni per induzione di semplici proprietà numeriche. 4) Comprendere definizioni per
ricorsione di semplici proprietà numeriche e di funzioni numeriche. 5) Comprendere quali ipotesi sono
necessarie e sufficienti per dimostrare un teorema. 6) Comprendere il significato dei rapporti tra i vari sistemi
geometrici sia secondo un’impostazione assiomatica (coerenza e indipendenza di assiomi, estensioni di sistemi)
sia secondo un’impostazione con le trasformazioni, nonché i legami concettuali tra le due. 7) Comunicare in
forma orale e scritta i concetti della geometria e dell’aritmetica e i loro metodi dimostrativi. 8) Produrre e
comunicare dimostrazioni in situazioni problematiche ’chiuse’ (con tesi esplicita) di geometria elementare e di
aritmetica. 9) Produrre e comunicare congetture e dimostrazioni in situazioni problematiche ’aperte’ (situazioni
272
da esplorare in cui ipotesi e tesi sono prodotte dall’allievo) di geometria e di aritmetica elementare. 10) Usare il
metodo per induzione per dimostrare semplici proprietà numeriche.
PROGRAMMA
Dagli Elementi di Euclide alla Geometria di Hilbert
Il metodo assiomatico in Euclide e ai giorni nostri.
Termini indefiniti e non: definizioni, assiomi, teoremi.
I primi quattro postulati di Euclide.
Il postulato delle parallele: tentativi di dimostrazione.
Dimostrazioni dirette e per assurdo.
La geometria di incidenza: modelli e isomorfismo tra modelli.
Il rischio delle 'proofs by picture': esempi di non-dimostrazioni.
'Errori' e 'buchi' in Euclide.
La geometria elementare moderna: introduzione al sistema assiomatico di Hilbert.
Assiomi di ordine, di congruenza, di continuità (varie forme più o meno forti), di parallelismo.
La Geometria euclidea piana
Teoremi della geometria euclidea dimostrabili senza l'assioma delle parallele (I. 1-28; III, 1-19, 25, 28-30;
IV, 4-9) o in cui l'assioma è necessario; in particolare enunciati e dimostrazioni di alcune proposizioni
riguardanti:
la geometria del triangolo
la geometria dei quadrilateri
il teorema di Talete
l'equiscomponibilità e l'area delle figure; teoremi di Pitagora e di Euclide
la geometria della circonferenza.
Considerazioni critiche sui sistemi assiomatici delle Geometrie piane
Sottosistemi della geometria euclidea:
Geometria ordinata (problema di Sylvester).
Geometria affine ed equiaffinità.
Geometria assoluta (teorema di Saccheri-Legendre; forme equivalenti dell'assioma delle parallele).
273
Introduzione ai Numeri naturali.
Dimostrazioni per induzione e definizioni per ricorsione, utilizzando esempi vari dell'aritmetica.
Formulazioni equivalenti dell'induzione (ad es. il principio del minimo, l'impossibilità della discesa
infinita).
Assiomi per l'Aritmetica.
TESTI
Materiale per lezioni e esercitazioni: Dispense del docente (disponibili su piattaforma Moodle). Gli esercizi sono
svolti in aula direttamente dal docente. Ulteriori esercizi sono lasciati a casa e sono affrontati nelle ore di
tutoraggio (gli esercizi affrontati sono disponibili direttamente su piattaforma Moodle, quelli lasciati agli studenti
con risoluzione annessa). Forum di discussione, per annunci di carattere generale ma anche per apprendimento
(accessibili in piattaforma). Bibliografia: Bonola, R., 1975: La geometria non euclidea. Bologna:Zanichelli (I
ediz. 1906). Cederberg, J.N., 1989: A Course in Modern Geometries. New York: Springer-Verlag. Childs, L.,
1983: ALGEBRA, un’introduzione concreta. Pisa: ETS Editrice; Coxeter, H.S.M., 1969: Introduction to
Geometry, second edition. New York: Wiley & Sons. Coxeter, H.S.M., Greitzer, S.L., 1967: Geometry revisited.
London: Random House. Di Sieno, S. & Levi, S., 2005: Aritmetica di base. Milano: McGraw-Hill. Euclide,
1970: Gli Elementi (traduz. italiana a cura di A. Frajese e L. Maccioni). Torino: UTET. Greenberg, M.J., 1974:
Euclidean and Non-Euclidean Geometries, second edition. New York: Freeman & Company. Kline, M., 1991:
Storia del pensiero matematico (traduzione italiana con appendice a cura di A. Conte). Torino: Einaudi (edizione
originale del 1972). Millman, R.S. & Parker, G.D., 1991: Geometry. A metric approach with models, New York:
Springer-Verlag. Moise, E.E., 1963: Elementary Geometry from an Advanced Standpoint. Reading (MASS):
Addison & Wesley.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Martedì
10:00 - 12:00
Giovedì
8:00 - 10:00
Giovedì
10:00 - 12:00
Aula
Lezioni: dal 29/09/2008 al 09/01/2009
ATTENZIONE: il giovedì il corso A fa lezione dalle 8.00 alle 10.00 in aula A o nelle Aule Informatizzate, il
corso B dalle 10.00 alle 12.00 in aula 4 o nelle Aule Informatizzate.
TUTORATO CORSO A: lunedì dalle 13.00 alle 15.00 in aula 6 a settimane alterne.
TUTORATO CORSO B: lunedì dalle 13.00 alle 15.00 in aula 1 a settimane alterne
Introduzione al Pensiero Matematico (DM 270)
Docente: Prof. Ferdinando Arzarello (Titolare del corso), Prof. Francesca Ferrara (Esercitatore)
Tipologia: D.M. 270
Anno: 1° anno
Crediti/Valenza: 6
274
OBIETTIVI
Collegare la geometria e l’aritmetica delle scuole superiori con quelle universitarie Conoscere l’approccio di
Hilbert alla geometria piana e quello di Peano ai numeri naturali Usare il metodo ipotetico-deduttivo in un
contesto (geometria e numeri naturali) per produrre dimostrazioni.
1) Comprendere il significato logico-matematico dei sistemi ipotetico deduttivi. 2) Comprendere dimostrazioni
di enunciati in cui sono usati sia argomenti diretti sia dimostrazioni per assurdo. 3) Comprendere dimostrazioni
per induzione di semplici proprietà numeriche. 4) Comprendere definizioni per ricorsione di semplici proprietà
numeriche e di funzioni numeriche. 5) Comprendere quali ipotesi sono necessarie e sufficienti per dimostrare un
teorema. 6) Comprendere il significato dei rapporti tra i vari sistemi geometrici sia secondo un’impostazione
assiomatica (coerenza e indipendenza di assiomi, estensioni di sistemi) sia secondo un’impostazione con le
trasformazioni, nonché i legami concettuali tra le due. 7) Comunicare in forma orale e scritta i concetti della
geometria e dell’aritmetica e i loro metodi dimostrativi. 8) Produrre e comunicare dimostrazioni in situazioni
problematiche ’chiuse’ (con tesi esplicita) di geometria elementare e di aritmetica. 9) Produrre e comunicare
congetture e dimostrazioni in situazioni problematiche ’aperte’ (situazioni da esplorare in cui ipotesi e tesi sono
prodotte dall’allievo) di geometria e di aritmetica elementare. 10) Usare il metodo per induzione per dimostrare
semplici proprietà numeriche.
PROGRAMMA
Italiano
Il metodo assiomatico in Euclide e Hilbert
I postulati di Euclide
Assiomi di incidenza, ordine, congruenza, continuità (varie forme), parallelismo
Geometria del triangolo, dei quadrilateri, teorema di Talete
I numeri naturali secondo Peano
Formulazioni equivalenti dell'induzione
Dimostrazioni per induzione e definizioni per ricorsione
English
Axiomatic method in Euclid and Hilbert
Euclid's postulates
Axioms of incidence, order, congruence, continuity (different formulations), parallelism
Geometry of triangle, quadrilaterals, Talete theorem
Natural numbers according to Peano
Equivalent formulations of induction
Proof by induction and definitions by recursion
.
TESTI
Materiale per lezioni e esercitazioni: Dispense del docente (disponibili su piattaforma Moodle). Gli esercizi sono
svolti in aula direttamente dal docente. Ulteriori esercizi sono lasciati a casa e sono affrontati nelle ore di
tutoraggio (gli esercizi affrontati sono disponibili direttamente su piattaforma Moodle, quelli lasciati agli studenti
275
con risoluzione annessa). Forum di discussione, per annunci di carattere generale ma anche per apprendimento
(accessibili in piattaforma). Bibliografia: Bonola, R., 1975: La geometria non euclidea. Bologna:Zanichelli (I
ediz. 1906). Cederberg, J.N., 1989: A Course in Modern Geometries. New York: Springer-Verlag. Childs, L.,
1983: ALGEBRA, un’introduzione concreta. Pisa: ETS Editrice; Coxeter, H.S.M., 1969: Introduction to
Geometry, second edition. New York: Wiley & Sons. Coxeter, H.S.M., Greitzer, S.L., 1967: Geometry revisited.
London: Random House. Di Sieno, S. & Levi, S., 2005: Aritmetica di base. Milano: McGraw-Hill. Euclide,
1970: Gli Elementi (traduz. italiana a cura di A. Frajese e L. Maccioni). Torino: UTET. Greenberg, M.J., 1974:
Euclidean and Non-Euclidean Geometries, second edition. New York: Freeman & Company. Kline, M., 1991:
Storia del pensiero matematico (traduzione italiana con appendice a cura di A. Conte). Torino: Einaudi (edizione
originale del 1972). Millman, R.S. & Parker, G.D., 1991: Geometry. A metric approach with models, New York:
Springer-Verlag. Moise, E.E., 1963: Elementary Geometry from an Advanced Standpoint. Reading (MASS):
Addison & Wesley.
Introduzione all’Analisi Armonica (DM 509)
Docente: Prof. Gianluca Garello (Titolare del corso)
Tipologia: D.M. 509
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 5
OBIETTIVI
Il corso si propone di introdurre dettagliatamente le proprietà fondamentali delle serie e della trasformata di
Fourier. Si presenteranno varie applicazioni, con particolare attenzione alla teoria dei segnali ed al principio di
Conoscenza degli strumenti base dell’Analisi Armonica e delle sue Applicazioni. Uno studente che abbia
acquisito le nozioni presentate nel corso sara’ in possesso, da un lato, delle basi teoriche necessarie per uno
studio piu’ avanzato dell’Analisi Armonica, dall’altro, avra’ una conoscenza qualitativa dei principali strumenti
matematici alla base della teoria dei segnali
PROGRAMMA
Italiano
- Cenni alla teoria degli spazi di Banach e Hilbert.
- Cenni all'integrazione secondo Lebesgue e spazi L^p.
- Serie di Fourier in L^2.
- Convergenza puntuale ed uniforme della serie di Fourier.
- Serie di Fourier in spazi di Hilbert
- Trasformata di Fourier su L^1.
- Lo spazio S delle funzioni a decrescenza rapida.
276
- Convoluzione.
- Trasformata di Fourier in S e L^2.
- Principio di Indeterminazione di Heisenberg.
- Elementi di teoria dei segnali (facoltativo): Segnali e frequenze, funzione di trasferimento, filtri di
convoluzione.
English
- Introduction to Banach and Hilbert Spaces,
- Introduction to Lebesgue integral, L^p spaces;
- Fourier expansions in L^2;
- pointwise and uniform convergence of Fourier expansions;
- Fourier expansions in Hilbert spaces;
- Fourier Transform in L^1,
- The function space S of rapidly decreasing functions;
- convolution;
- Fourier Transform on S and L^2;
- Heisenberg uncertainty principle;
- Introduction to signal theory (optional): signal frequences, transfer function, convolution filters
.
TESTI
C.Gasquet, P. Witomsky, Fourier Analysis and Applications, Ed. Springer.
Introduzione alla Fisica Matematica (DM 509)
Docente: Prof. Mauro Francaviglia (Titolare del corso)
Tipologia: D.M. 509
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 5
OBIETTIVI
Introduzione ai concetti matematici basilari delle teorie di campo e delle equazioni che le descrivono, esempi di
soluzioni che derivano da alcuni semplici problemi applicativi.
Saper trattare i modelli della realtà fisica fondati sulle teorie di campo.
277
PROGRAMMA
Italiano
- Funzioni armoniche, funzioni di variabile complessa, rappresentazioni conformi, problemi di Dirichlet e di
Neumann.
- Teoria del potenziale, campo elettromagnetico senza conduttori, campo elettromagnetico con conduttori,
dielettrici, sistemi di conduttori, cenni di magnetostatica.
- Campo magnetico delle correnti elettriche, induzione elettromagnetica, forze magnetiche sulle correnti
elettriche, onde elettromagnetiche, azioni meccaniche del campo elettromagnetico, potenziali elettromagnetici ed
applicazioni.
- Le equazioni a derivate parziali della fisica matematica.
- Teoria della relatività ristretta, fondamenti della teoria della teoria della relatività.
English
- Harmonic functions, complex functions, conformal representations, Dirichlet and Neumann problems.
- Potential theory, electromagnetic field with and without conductors, dielectrics, systems of conductor, brief
introduction to magnetostatics.
- Magnetic field of electrical currents, electromagnetic induction, magnetic forces on electric currents,
electromagnetic waves, action of electromagnetic field on charges, magnetic potentials and applications.
- Partial differential equations of mathematical physics.
- Special relativity and foundations of relativity.
.
TESTI
E. Persico, Introduzione alla fisica matematica. Seconda edizione riveduta. Nicola Zanichelli editore. Bologna,
1945. M. Göckler and T. Schücker: Differential Geometry, Gauge Theories, and Gravity (Cambridge University
Press, 1989)
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=1b4b
Introduzione alla Meccanica del Continuo (DM 509)
Docente: Prof. Marco Ferraris (Titolare del corso)
Tipologia: D.M. 509
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 5
OBIETTIVI
Partendo da esempi specifici provenienti da vari contesti, questo corso introduce le idee di base per la
comprensione della dinamica dei mezzi continui. Lo scopo del corso è quello di spiegare i principi fondamentali
e di fornire gli strumenti matematici necessari per affrontare lo studio di problemi concreti.
278
Conoscenza dei principali concetti della teoria dei mezzi continui, della teoria dell’elasticità, della conduzione e
della diffusione del calore.
PROGRAMMA
Italiano
Cinematica dei mezzi continui, campi scalari e vettoriali. Vibrazioni di corde e membrane: introduzione
matematica, vibrazione delle corde, vibrazioni delle membrane. Teoria dell’elasticità: le deformazioni, gli sforzi,
le costanti elastiche, i problemi dell’equilibrio elastico, le oscillazioni elastiche. Conduzione del calore e
diffusione.
English
Kinematics of continuum media, scalar and vector fields. Vibrations of strings and membranes: mathematical
introduction, string vibrations, membrane vibrations. Elasticity theory: deformations, strani, elastic constants,
elastic equilibrium problems, elastic oscillations. Heat conduction and diffusion.
.
TESTI
1. E. Persico, Introduzione alla fisica matematica. Seconda edizione riveduta. Nicola Zanichelli editore. Bologna,
1945. 2. D. E. Soper, Classical Field Theoriy, John Wyley & Sons Inc. (1976). 3. M. E. Gurtin, An Introduction
to Continuum Mechanics, Academic Press, New York (1981).
Introduzione alle Equazioni Differenziali alle Derivate Parziali - a.a.
2008/09
Codice: MFN0157
Docente: Prof. Paolo Caldiroli (Titolare del corso)
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 5
OBIETTIVI
Nozioni di base sulle equazioni differenziali alle derivate parziali del prim’ordine (lineari e quasilineari) e lineari
del II ordine da un punto di vista classico.
L’obiettivo del corso è fornire allo studente le nozioni e le abilità necessarie per studiare e risolvere le equazioni
alle derivate parziali fondamentali (esistenza, unicità/molteplicità, proprietà qualitative delle soluzioni, metodi
risolutivi classici).
PROGRAMMA
IVFondamenti di topologiaAnalisi Matematica I, II, III, Geometria IIIEquazioni differenziali ordinarieAnalisi
Matematica IV
279
Geometria I, II
Teoria classica per le equazioni alle derivate parziali fondamentali
Tutti i corsi della LM
Metodo di separazione delle variabili
Funzioni armoniche
Funzioni di Green, formule di rappresentazione integrale
Argomento
Ore
Lezione
Preliminari sulle equazioni alle derivate parziali
4
4
Equazioni quasilineari del I ordine (metodo delle caratteristiche)
6
6
Leggi di conservazione scalari unidimensionali (soluzioni deboli, onde d’urto)
4
4
Funzioni armoniche
280
8
8
Funzioni di Green per l'equazione di Laplace
6
6
Equazione del calore
10
10
Equazione delle onde
7
7
Totale
45
45
Preliminari sulle equazioni alle derivate parziali (classificazioni ed esempi).
Equazioni quasilineari del primo ordine. Metodo delle caratteristiche. Esistenza e unicità locale. Leggi di
conservazione scalari unidimensionali. Soluzioni in senso debole, onde d’urto.
Funzioni armoniche. Proprietà della media, principio del massimo, regolarità, teorema di Liouville. L’equazione
di Laplace sul disco bidimensionale col metodo di separazione delle variabili.
Equazione di Poisson. Indentità di Stokes. Funzione di Green e formule di rappresentazione delle soluzioni. Le
funzioni di Green nel semispazio e nella palla. Formula di Poisson per l’estensione armonica di una funzione
continua sul bordo di una palla. Cenni sui metodi variazionali.
Equazione del calore. Soluzione fondamentale. Il problema di Cauchy (caso omogeneo e caso non omogeneo).
Principio di massimo debole e unicità in aperti limitati. Principio di massimo e unicità per il problema di Cauchy.
Risultati di unicità tramite i metodi dell’energia.
Equazione delle onde. Formule risolutive per il problema di Cauchy in dimensione 1 e 3.
TESTI
L.C. Evans: Partial differential equations, Graduate Studies in Mathematics, vol. 19, AMS, 2002 (disponibile
presso la Biblioteca speciale di Matematica "G. Peano").
NOTA
Modalità di verifica/esame L’esame è orale e verte sulla discussione di alcuni argomenti scelti dai docenti tra
quelli presentati a lezione.
ORARIO LEZIONI
281
Giorni
Ore
Aula
Martedì
10:00 - 12:00
Venerdì
9:00 - 11:00
Lezioni: dal 29/09/2008 al 09/01/2009
Introduzione alle Equazioni Differenziali alle Derivate Parziali Complementi - a.a. 2008/09
Codice: MFN0158
Docente: Prof. Paolo Caldiroli (Titolare del corso)
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 2
OBIETTIVI
Lo scopo del corso è approfondire ed estendere alcuni argomenti introdotti nel corso di Introduzione alle
equazioni alle derivate parziali.
L’obiettivo principale del corso è fornire allo studente le nozioni e le abilità necessarie per studiare alcune
semplici equazioni alle derivate parziali non lineari (esistenza/non esistenza, unicità/molteplicità, proprietà
qualitative delle soluzioni).
PROGRAMMA
IVFondamenti di topologiaAnalisi Matematica I, II, III, Geometria IIIEquazioni differenziali ordinarieAnalisi
Matematica IV
Geometria I, II
Nozioni di base sulle equazioni alle derivate parziali
Introduzione alle equazioni alle derivate parziali
Problemi al contorno per le equazioni di Laplace e Poisson
282
Proprietà qualitative delle soluzioni dell'equazione delle onde
Argomento
Ore
Lez.
Problema di Dirichlet per l'equazione di Poisson
8
8
Problema di Neumann per l'equazione di Poisson
6
6
Complementi sull'equazione delle onde
4
4
Totale
18
18
Equazione delle onde. Formule risolutive per il problema di Cauchy in dimensione 2. Il problema non
omogeneo. Metodi dell’energia per unicità e dominio di dipendenza.
Equazione di Poisson con dato hölderiano. Esistenza della funzione di Green per l’equazione di Laplace su
dominio limitato sufficientemente regolare (metodo di Perron).
Problema di Neumann per l’equazione di Laplace. Potenziale di strato singolo. Funzione di Green per il
problema di Neumann sulla palla.
TESTI
L.C. Evans: Partial differential equations, Graduate Studies in Mathematics, vol. 19, AMS, 2002 (disponibile
presso la Biblioteca speciale di Matematica "G. Peano").
NOTA
L’esame è orale e verte sulla discussione di alcuni argomenti scelti dai docenti tra quelli presentati a lezione.
283
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Giovedì
9:00 - 11:00
Lezioni: dal 02/03/2009 al 31/03/2009
Nota: Il corso termina il 01/04/2009
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=5d9d
Istituzioni di Algebra (DM 509)
Tipologia: D.M. 509
Anno: 2° anno
Crediti/Valenza: 7
OBIETTIVI
L’allievo dovrà essere in grado di condurre lo studio della struttura di algebra associativa e delle rappresentazioni
dei gruppi, utilizzando sia i metodi che le proprietà dell’algebra moderna.
Calcoli delle rappresentazioni dei gruppi finiti, dei moduli semisemplici e degli anelli finitamente generati.
PROGRAMMA
Italiano
Il concetto di rappresentazione lineare. Rappresentazioni irriducibili. Decomponibilità e riducibilità completa
delle rappresentazioni. Gruppi riduttivi. Lemma di Schur. Il carattere di una rappresentazione. Proprietà di
ortogonalità dei caratteri.
Rappresentazioni indotte. Reciprocità di Frobenius.
Anelli, moduli e algebre finitamente generati. Radicali nilpotenti. Il Teorema di Witt.
Algebre centrali semisemplici. Il Teorema di Wedderburn e le applicazioni sulle rappresentazioni dei gruppi.
English
The concept of linear representation. Irreducible and completely reducible representations. Reductive groups.
Lemma di Schur. Characters of a representation. Orthogonality of characters. Induced representations. Frobenius
reciprocity. Finitely generated rings, modules and algebras. Nilpotent radicals, Witt's theorem.
Wedderburn's theorem on semisimple central algebras and its applications to representation theory.
.
284
TESTI
W. FULTON, J. HARRIS, Representation Theory, Springer GTM 129 J. Alperin, R. Bell, Groups and
representations, Springer GTM 162
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=fa03
Istituzioni di Algebra - a.a. 2008/09
Crediti/Valenza: 7
Avvalenza: Cod. MFN0068 Ambito A - Cod. MFN0069 Ambito B
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso) Insegnamenti fornitori Fondamenti di teoria dei gruppi e degli anelli Algebra I
Fondamenti di teoria dei campi e teoria di Galois Algebra II Elementi di algebra lineare Geometria II
Moduli su anelli commutativi noetheriani
Algebra commutativa
Algebra omologica
Topologia Algebrica
Rappresentazioni lineari di gruppi finiti
Algebra Superiore, Gruppi di Lie
Argomento
Ore
Lezione
Assiomi della teoria degli insiemi
5
285
5
Moduli su anelli commutativi
18
18
Anelli non commutativi
5
5
Rappresentazioni lineari di gruppi finiti
28
28
Totale
56
56
PARTE I: Rappresentazioni di gruppi finiti.Il concetto di rappresentazione lineare. Rappresentazioni
uno-dimensionali (caratteri). Restrizione al caso di un gruppo finito.Decomponibilità delle rappresentazioni.
Rappresentazioni irreducibili. Lemma di Schur. Il carattere di una rappresentazione. Proprietà di ortogonalità dei
caratteri. Decomposizione dlla rappresentazione regolare.Cenni al caso dei gruppi compatti.Rappresentazioni
indotte. Reciprocità di Frobenius. Criterio di irreducibilità di Mackey.Altri argomenti se il tempo permette:
Teorema di Artin, Teorema di Brauer, questioni di razionalità.
PARTE II: Algebre centrali semplici.Algebre di quaternioni. La conica associata ad un algebra di quaternioni. Il
Teorema di Witt.Algebre centrali semplici. Il Teorema di Wedderburn. Il gruppo di Brauer.Altri argomenti se il
tempo permette: tecniche coomologiche, il gruppo di Brauer coomologico, varietà di Severi-Brauer.
TESTI
Per la Parte I: W. FULTON, J. HARRIS, Representation Theory, Springer GTM 129 J.-P. SERRE, Linear
Representation of Finite Groups, Springer GTM 42 M.A. NAIMARK, A.I. TERN, Teoria delle rappresentazioni
dei gruppi, Editori Riuniti (in biblioteca c’è una copia della versione in inglese, Theory of group representations,
Springer GMW 246) Note ditribuite in classe. Per la Parte II: I.R. SHAFAREVICH, Basic Notions of Algebra
(in biblioteca c’è una copia sotto il nome di Algebra I, EMS vol. 11), Springer T.W. HUNGERFORD, Algebra,
Springer GTM 73 B. L. VAN DER WAERDEN, Algebra, vol. I e II, Springer P. GILLE e T:SZAMUELY,
Central simple algebras and Galois cohomology. Note ditribuite in classe.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Lunedì
9:00 - 11:00
Mercoledì
9:00 - 11:00
Giovedì
11:00 - 13:00
Lezioni: dal 29/09/2008 al 09/01/2009
286
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=3c4d
Istituzioni di Algebra (DM 270) - 9 cfu
Tipologia: D.M. 270
Anno: 1° anno
Crediti/Valenza: 9
OBIETTIVI
L’allievo dovrà essere in grado di condurre lo studio della struttura di algebra associativa e delle rappresentazioni
dei gruppi, utilizzando sia i metodi che le proprietà dell’algebra moderna.
Calcoli delle rappresentazioni dei gruppi finiti, dei moduli semisemplici e degli anelli finitamente generati.
PROGRAMMA
Italiano
Il concetto di rappresentazione lineare. Rappresentazioni irriducibili. Decomponibilità e riducibilità completa
delle rappresentazioni. Gruppi riduttivi. Lemma di Schur. Il carattere di una rappresentazione. Proprietà di
ortogonalità dei caratteri.
Rappresentazioni indotte. Reciprocità di Frobenius.
Anelli, moduli e algebre finitamente generati. Radicali nilpotenti. Il Teorema di Witt.
Algebre centrali semisemplici. Il Teorema di Wedderburn e le applicazioni sulle rappresentazioni dei gruppi.
Esempi.
English
The concept of linear representation. Irreducible and completely reducible representations. Reductive groups.
Lemma di Schur. Characters of a representation. Orthogonality of characters. Induced representations. Frobenius
reciprocity. Finitely generated rings, modules and algebras. Nilpotent radicals, Witt's theorem.
Wedderburn's theorem on semisimple central algebras and its applications to representation theory.
Examples.
.
TESTI
W. FULTON, J. HARRIS, Representation Theory, Springer GTM 129 J. Alperin, R. Bell, Groups and
representations, Springer GTM 162
287
Istituzioni di Analisi Matematica (DM 509)
Docente: Prof. Angelo Negro (Titolare del corso), Dott. Camillo Costantini (Esercitatore)
Tipologia: D.M. 509
Anno: 2° anno
Crediti/Valenza: 7
OBIETTIVI
Il corso si propone di fornire agli studenti una buona comprensione dei concetti, delle strutture e dei risultati
fondamentali dell’Analisi funzionale e della Teorie della misura, attraverso un’ampia ed articolata visione
panoramica dei numerosi temi principali e delle loro interconnessioni, accompagnata da dimostrazioni rigorose
di molti teoremi, selezionati sia per la loro importanza, sia per il valore paradigmatico delle dimostrazioni .
Queste conoscenze sono essenziali per uno studio di livello magistrale ed eventualmente successivo in molte
discipline matematiche. L’allievo dovrà essere in grado di esporre, collegare e confrontare i principali concetti e
risultati presentati nel corso, di dimostrare i teoremi fondamentali del programma d’esame con capacità critica di
analizzare sia il ruolo relativo delle ipotesi, sia la portata conseguente delle tesi.
Spazi di Banach. Operatori lineari continui. Spazi di Hilbert. Autovalori di operatori autoaggiunti compatti Spazi
di funzioni continue su compatti: Stone-Weierstrass, Equicontinuità e compattezza. Teoremi di Baire. Teoremi
fondamentali dell’Analisi funzionale.Covergenze forti e deboli. Teoremi di punto fisso. Teoremi di min-max.
Equilibri di Nash. Spazi di misura. Funzioni misurabili. Integrale di Lebesgue astratto.Spazi Lp
PROGRAMMA
Italiano
Funzioni continue: teorema di Stone-Weierstrass e teoremi di Ascoli su equicontinuità e compattezza.
Spazi di Banach, operatori lineari, equazioni integrali.
Teoria elementare degli spazi di Hilbert.
Cenni sugli autovalori e le autofunzioni degli operatori auto aggiunti compatti.
Punti fissi e punti di equilibrio di Nash.
I teoremi fondamentali dell’analisi funzionale.
Duale topologico, convergenza debole, compattezza sequenziale.
Spazi di misura. Funzioni misurabili. Misure prodotto. Completameto di misure. Misure regolari e misure di
Radon.
Integrale di Lebesgue astratto. Spazi Lp. Convergenza in norma, debole, debole*, q.o. , in misura.
English
Continuous functions: the theorem of Stone-Weierstrass and Ascoli's theorems on equicontinuity and
compactness.
Banach spaces, linear operators, integral equations.
Basic theory of Hilbert spaces.
Some results on eingenvalues and eigenfunctions of compact selfadjoint operators.
288
Fixed points and Nash equilibrium points.
The fundamental theorems of functional analysis.
Topological dual spaces, weak convergence, sequential compactness.
Measure spaces. Measurable functions. Product measures. Regular measures and Radon measures.
Abstract Lebesgue integral. Lp spaces. Study of different types of convergence: strong, weak, weak*, a.e., and in
measure.
.
TESTI
A.Negro Elementi di Analisi Funzionale, Aprile 2005, Quaderni del Dipartimento di Matematica, n.32 A.Negro
Teoria della misura, Giugno 2001, , Quaderni del Dipartimento di Matematica, n.7 e i testi citati in bibliografia.
Istituzioni di Analisi Matematica - a.a. 2008/09
Docente: Prof. Angelo Negro (Titolare del corso)
Crediti/Valenza: 7
OBIETTIVI
fondamentali dell’Analisi funzionale. Covergenze forti e deboli. Teoremi di punto fisso. Teoremi di min-max.
Equilibri di Nash. Spazi di misura. Funzioni misurabili. Integrale di Lebesgue astratto. Spazi L^p
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso)Insegnamenti fornitoriCalcolo differenziale ed integrale per funzioni di variabili
realiAnalisi Matematica I, II, III e IVQualche cenno sugli spazi di probabilità e sulle variabili aleatorieCalcolo
289
delle Probabilità IAlgebra lineare e Geometria EuclideaGeometria I e IIElementi di topologia generaleGeometria
III
Spazi di Banach. Operatori lineari continui. Spazi di Hilbert. Autovalori di operatori autoaggiunti compatti
Gran parte dei corsi della Laurea Magistrale, particolarmente quelli di Analisi Matematica
Spazi di funzioni continue su compatti: Stone-Weierstrass, Equicontinuità e compattezza. Teoremi di Baire.
Teoremi fondamentali dell'Analisi funzionale.
Covergenze forti e deboli.
Teoremi di punto fisso. Teoremi di min-max. Equilibri di Nash.
Spazi di misura. Funzioni misurabili. Integrale di Lebesgue astratto.
Spazi Lp
Argomento
Ore
Lezione
Spazi di Banach. Operatori lineari continui.
6
6
Spazi di Hilbert.
5
5
Autovalori di operatori autoaggiunti compatti.
4
4
Spazi di funzioni continue su compatti: Stone-Weierstrass, Equicontinuità e compattezza.
290
7
7
Teoremi di Baire.
2
2
Uniforme limitatezza, applicazione aperta e grafico chiuso.
4
4
Spazi localmente convessi. Hahn-Banach e sue prime conseguenze.
3
3
Covergenze forti e deboli.
2
2
Teoremi di punto fisso.
3
3
Cenni alla teoria dei giochi. Min-max. Equilibri di Nash.
5
5
Spazi di misura. Funzioni misurabili.
5
5
Integrale di Lebesgue astratto. Sigma additività, assoluta continuità, passaggio al limite sotto segno di integrale
7
7
Spazi Lp. Completezza. Cenni sulla dualità.
3
3
291
Totale
56
56
Cenni sugli autovalori e le autofunzioni degli operatori autoaggiunti.
Punti fissi e punti di equilibrio.
Radon.
Integrale di Lebesgue astratto. Spazi Lp. Convergenza in norma, debole, q.o. , in misura.
Programma d’esame: v.Materiale didattico
TESTI
A. NEGRO, Teoria della misura, Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica dell’Università di Torino n.
7, giugno 2001 A. NEGRO, Elementi di Analisi Funzionale, Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica
dell’Università di Torino n. 32, aprile 2005
NOTA
L’esame si svolge, di norma, come segue: Esame orale, durante il quale il candidato dovrà saper esporre i
concetti fondamentali e i risultati fondamentali con un’analisi critica dei loro collegamenti e del contesto nel
quale si collocano. Il candidato dovrà inoltre essere in grado di esporre in modo chiaro e convincente qualche
dimostrazione rigorosa.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Martedì
9:00 - 10:00
Giovedì
9:00 - 11:00
Venerdì
11:00 - 13:00
Lezioni: dal 29/09/2008 al 09/01/2009
Istituzioni di Analisi Matematica (DM 270) - 9 cfu
Tipologia: D.M. 270
Anno: 1° anno
Crediti/Valenza: 9
292
OBIETTIVI
PROGRAMMA
Italiano
Radon.
Esempi.
English
compactness.
measure.
Examples
293
.
TESTI
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=74bb
Istituzioni di Analisi Matematica (DM 270) - 6 cfu
Tipologia: D.M. 270
Anno: 1° anno
Crediti/Valenza: 6
OBIETTIVI
PROGRAMMA
Italiano
Radon.
English
compactness.
294
measure.
.
TESTI
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=ca53
Istituzioni di Analisi Numerica - a.a. 2008/09
Docente: Prof. Giampietro Allasia (Titolare del corso), Prof. Carla Giordano (Titolare del corso)
Crediti/Valenza: 7
OBIETTIVI
Il corso ha per oggetto argomenti avanzati di Analisi Numerica: equazioni differenziali ordinarie, con condizioni
iniziali o agli estremi, ed equazioni alle derivate parziali. L’analisi matematica necessaria allo sviluppo teorico
dei metodi numerici è trattata in modo approfondito, e contemporaneamente viene dato ampio spazio agli
algoritmi ed agli strumenti di calcolo. L’obiettivo è quello di illustrare come, perché e quando le tecniche di
approssimazione (metodi, algoritmi, codici) sono effettivamente operative, fornendo così una solida base per le
applicazioni del calcolo scientifico.
Le equazioni differenziali forniscono gli strumenti essenziali per modellare molte situazioni fisiche, economiche,
ecologiche, sociali, ecc. Poiché in moltissimi casi non è possibile pervenire ad una soluzione analitica delle
equazioni differenziali, diventa essenziale ottenere soluzioni numeriche. Gli studenti acquisiscono conoscenze
teoriche ed esperienza pratica per contribuire a risolvere, con l’impiego di potenti strumenti di calcolo, problemi
modellati da equazioni differenziali.
PROGRAMMA
295
Pre-requisiti (in ingresso) Insegnamenti fornitori Nozioni sulle equazioni differenziali ordinarie per problemi a
valori iniziali Analisi Numerica II Equazioni differenziali ordinarie Analisi Matematica II, III e IV
Conoscenze complementari sulla risoluzione numerica di equazioni differenziali ordinarie a valori iniziali
I corsi avanzati di Analisi Numerica della Laurea Magistrale e del Dottorato
Conoscenze di base e avanzate sulla risoluzione numerica di equazioni differenziali ordinarie a valori agli
estremi
Argomento
Ore
Lezione
Ore
Esercitazione
Ore Laboratorio
Complementi sui metodi discreti ad uno o più passi
9
2
3
14
Stabilità e convergenza
5
1
1
7
Equazioni stiff
4
296
1
2
7
Problemi con condizioni agli estremi
1
1
0
2
Metodi shooting
3
1
2
6
Metodi alle differenze
3
1
2
6
Metodi variazionali
5
2
2
9
Metodi spettrali
2
1
2
5
Totale
297
32
10
14
56
Equazioni differenziali ordinarie per problemi a valori iniziali: Complementi sui metodi discreti ad uno o più
passi, stabilità e convergenza, equazioni stiff.
Equazioni differenziali ordinarie per problemi a valori agli estremi: Metodi shooting, metodi alle differenze,
metodi variazionali, metodi spettrali, equazioni con ritardo.
Algoritmi: per ogni metodo studiato viene presentato e discusso il relativo algoritmo.
Package Maple: gli algoritmi considerati vengono implementati ed applicati nei calcoli utilizzando il package di
calcolo simbolico Maple.
Linguaggio C: gli algoritmi sono anche tradotti in programmi in linguaggio C, che vengono presentati, discussi
ed applicati nelle esercitazioni di laboratorio.
Software: viene anche esaminato e testato software di dominio pubblico, prevalentemente in linguaggio C, per la
risoluzione dei problemi considerati.
TESTI
BURDEN, R. S., and J. D. FAIRES, Numerical Analysis, 7th ed., Brooks/Cole, Pacific Grove, USA
DORMAND, I., Numerical methods for differential equations. A computational approach, CRC Press, Boca
Raton, 1996
NOTA
Modalità di verifica/esame L’esame si svolge, di norma, come segue: Quaderno di esercitazioni e elaborazioni
personali: lo studente è tenuto a presentare al momento della prova orale un quaderno contenente le esercitazioni
svolte in classe e le elaborazioni personali, sia quelle suggerite dal docente sia quelle lasciate alla libera
iniziativa. Il contenuto del quaderno viene commentato dallo studente e discusso con la commissione
esaminatrice. Vengono valutate positivamente la completezza del quaderno riguardo alle esercitazioni svolte e
alla presenza di elaborazioni personali
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Martedì
11:00 - 13:00
Mercoledì
9:00 - 11:00
Venerdì
9:00 - 11:00
Lezioni: dal 02/03/2009 al 05/06/2009
Nota: La lezione del venerdì si terrà anche in Aula Informatizzata n° 02
Istituzioni di Analisi Numerica (DM 509)
Docente: Prof. Giampietro Allasia (Titolare del corso), Prof. Carla Giordano (Esercitatore)
Tipologia: D.M. 509
298
Anno: 2° anno
Crediti/Valenza: 7
OBIETTIVI
Il corso si propone di illustrare importanti argomenti avanzati di Analisi numerica, completando le nozioni
introdotte nel corso di Analisi numerica II sulle equazioni differenziali ordinarie con condizioni iniziali e
trattando ampiamente le equazioni differenziali ordinarie con condizioni agli estremi. La presentazione teorica
dei metodi numerici è trattata in modo approfondito e, contemporaneamente, viene dato tutto lo spazio possibile
all’analisi degli algoritmi e alla loro implementazione su calcolatore. Gli studenti devono acquisire le conoscenze
teoriche e l’esperienza di calcolo per risolvere numericamente problemi modellati da equazioni differenziali
ordinarie. Trovare soluzioni approssimate di tali problemi e fornire stime delle approssimazioni ottenute è di
fondamentale importanza nelle applicazioni della matematica in vari settori scientifici.
estremi
PROGRAMMA
Italiano
Equazioni stiff
Metodi shooting
Metodi variazionali
English
Additions on one-step and multi-step methods
Stability and convergence
Stiff equations
Boundary value problems
Shooting methods
Finite defference methods
Variational methods
.
TESTI
I testi base consigliati per il corso sono: Burden; R. S., and J. D. Faires, Numerical Analysis, 8th ed.,
Brooks/Cole, Pacific Grove, USA, 2004. Il materiale didattico presentato a lezione, nelle esercitazioni e nel
laboratorio è disponibile presso: La Biblioteca del Dipartimento di Matematica per le lezioni e le esercitazioni
teoriche E’ fortemente consigliato l’utilizzo del seguente materiale per approfondimenti e integrazioni:
Quarteroni, A., R. Sacco, e F. Saleri, Matematica numerica, Springer, Milano, 1998. Davis, J. H., Differential
equations with Maple, Birkhäuser, Boston, 2001. Gautschi, W., Numerical analysis. An introduction, Birkhäuser,
Boston, 1997. Infine sono di seguito indicati siti internet di interesse:
299
http://archives.math.utk.edu/topics/ordinaryDiffEq.html
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=c5ae
Istituzioni di Analisi Numerica (DM 270) - 6 cfu
Tipologia: D.M. 270
Anno: 1° anno
Crediti/Valenza: 6
OBIETTIVI
estremi
PROGRAMMA
Italiano
Equazioni stiff
Metodi shooting
Metodi variazionali
Metodi spettrali
English
Stiff equations
Shooting methods
Variational methods
Spectral methods
300
.
TESTI
Istituzioni di Analisi Numerica (DM 270) - 9 cfu
Tipologia: D.M. 270
Anno: 1° anno
Crediti/Valenza: 9
OBIETTIVI
estremi
PROGRAMMA
Italiano
Equazioni stiff
Metodi shooting
Metodi variazionali
Metodi spettrali
Esempi
301
English
Stiff equations
Shooting methods
Variational methods
Spectral methods
Examples
.
TESTI
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=ecea
Istituzioni di Calcolo delle Probabilità (DM 509)
Docente: Prof. Maria Teresa Giraudo (Titolare del corso), Prof. Luigia Caputo (Titolare del corso)
Tipologia: D.M. 509
Anno: 2° anno
Crediti/Valenza: 7
OBIETTIVI
Il corso si propone di fornire agli studenti un approfondimento dei concetti fondanti del Calcolo delle
Probabilità, soffermandosi in particolare sulle proprietà delle variabili aleatorie e delle loro successioni. Si
intende fornire agli studenti una rivisitazione di alcuni degli argomenti principali del Calcolo delle Probabilità
utilizzando gli strumenti della Teoria della Misura e porli quindi in grado di trattare problemi probabilistici di
carattere sia teorico che applicativo con metodologie avanzate.
Al termine del corso gli studenti conoscono dettagliatamente i fondamenti del Calcolo delle Probabilità basati
sulla Teoria della Misura. Hanno acquisito abilità nell’impostare rigorosamente e risolvere problemi sia teorici
che applicativi che utilizzino strumenti avanzati quali le attese condizionali, le proprietà di convergenza, le
funzioni caratteristiche e le martingale.
PROGRAMMA
302
Italiano
Richiami di calcolo delle probabilità; Costruzione di misure di probabilità su R e variabili aleatorie; Integrazione
rispetto a misure di probabilità; Variabili aleatorie indipendenti; Distribuzioni su Rn; Somme di variabili
aleatorie.; Leggi 0-1; Variabili aleatorie Gaussiane multivariate, Convergenza di variabili aleatorie; Convergenza
debole e funzioni caratteristiche; Leggi dei grandi numeri e Teorema del limite Centrale (richiami); Attese
Condizionate; Martingale a tempo discreto, optional stopping e scomposizione di Doob.
English
Overview of elementary probability. Construction of probability measures on R and random variables. Integrals
over probability measures. Independent random variables. Distributions on Rn. Sums of random variables. 0-1
Laws. Multivariate Gaussian random variables. Convergence of sequences of random variables. Weak
convergence and characteristic functions. Laws of large numbers and central limit theorem. Conditional
expectations. Discrete time martingales, optional stopping and Doob decomposition.
.
TESTI
Jacod - Protter, Essentials in Probability Ulteriori letture: Williams, Probability with Martingales
Istituzioni di Calcolo delle Probabilità - a.a. 2008/09
Docente: Prof. Maria Teresa Giraudo (Titolare del corso), Prof. Laura Sacerdote (Titolare del corso)
Crediti/Valenza: 7
OBIETTIVI
Probabilità, soffermandosi in particolare sulle proprietà delle variabili aleatorie e delle loro successioni.
Il corso dovrebbe fornire agli studenti una panoramica su alcuni degli argomenti principali del Calcolo delle
Probabilità inteso come analisi matematica degli eventi aleatori e porli quindi in grado di trattare problemi di
carattere sia teorico che applicativo con strumenti avanzati dell’Analisi e della Probabilità.
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso)Insegnamenti fornitoriUtile, ma non indispensabile, il corso di Calcolo delle Probabilità
II della Laurea TriennaleCalcolo delle Probabilità 2
(utile, ma non richiesto)
Utili i corsi avanzati di Analisi MatematicaIstituzioni di Analisi Matematica
303
Fondamenti del Calcolo delle Probabilità per la modellizzazione di esperimenti con numero finito o infinito di
esiti
Processi Stocastici
Introduzione ai processi stocastici
Argomento
Ore
Lezione
Ore
Esercitazione
Spazi di misura
3
2
5
Eventi
2
2
Variabili aleatorie
3
2
5
Indipendenza
2
2
4
Integrazione in spazi di probabilità
2
2
Attesa di variabili aleatorie2
2
4
Leggi forti
2
1
3
Misure prodotto
2
2
Cenni al processo di Poisson
2
2
Attese condizionali
3
304
2
5
Martingale
3
2
5
Convergenza di martingale
3
2
5
Martingale limitate in spazi L2
3
3
Martingale uniformemente integrabili
3
1
4
Convergenze
3
2
5
Totale
38
18
56
Programma
Processi di diramazione e problemi di misura collegati
Spazi di misura. Eventi. Variabili aleatorie.
Indipendenza di variabili aleatorie.
Integrazione in spazi di probabilità. Attese di variabili aleatorie.
Leggi forti. Misure prodotto.
Attese condizionali.
Martingale; convergenza di martingale; martingale limitate in spazi L2; martingale uniformemente integrabili.
Convergenze.
Cenni al processo di Poisson.
TESTI
Testo principale: D. Williams Probability with Martingales Cambridge University Press Altri testi di
consultazione: SHIRYAEV, Probability, Springer Verlag ROSS, Stochastic Processes, Wiley Altri riferimenti
bibliografici verranno suggeriti di volta in volta Infine sono di seguito indicati siti internet di interesse:
http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Mathematics/18-175Spring-2005/CourseHome/index.htm corso in rete
http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Mathematics/18-366Spring-2005/CourseHome/index.htm corso in rete
http://www.statslab.cam.ac.uk/probweb/ informazioni e approfondimenti
305
NOTA
Modalità di verifica/esame L’esame si svolge, di norma, come segue: Si richiede agli studenti di svolgere durante
il corso alcuni esercizi in parallelo alle lezioni, da consegnare al docente entro quindici giorni dall’assegnazione.
In caso di mancata consegna verrà richiesto di risolvere alcuni esercizi in sede di esame. E’ prevista quindi una
prova orale sugli argomenti del corso.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Lunedì
14:00 - 16:00
Giovedì
11:00 - 13:00
Venerdì
11:00 - 13:00
Lezioni: dal 02/03/2009 al 05/06/2009
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=ad1c
Istituzioni di Calcolo delle Probabilità (DM 270) - 6 cfu
Tipologia: D.M. 270
Anno: 1° anno
Crediti/Valenza: 6
OBIETTIVI
PROGRAMMA
Italiano
English
306
.
TESTI
Istituzioni di Calcolo delle Probabilità (DM 270) - 9 cfu
Tipologia: D.M. 270
Anno: 1° anno
Crediti/Valenza: 9
OBIETTIVI
PROGRAMMA
Italiano
Proprietà di convergenza per Martingale a tempo discreto; Cenni alle martingale a tempo continuo; Teorema di
Radon-Nikodym.
English
307
Convergence properties of discrete time martingales. Introduction to continuous time martingales.
Radon-Nikodym theorem.
.
TESTI
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=3db1
Istituzioni di Fisica Matematica - a.a. 2008/09
Crediti/Valenza: 7
OBIETTIVI
Lo scopo del corso è quello di fornire una conoscenza di base degli strumenti matematici (algebrici, analitici e
geometrici) che sono necessari per affrontare da un punto di vista globale lo studio di una vasta classe di
equazioni differenziali della Fisica Matematica. Verranno sviluppati, in particolare, gli strumenti di geometria
differenziale che sono alla base del calcolo delle variazioni su varietà. Verranno forniti esempi di applicazioni a
sistemi dinamici ed a teorie di campo.
Terminato il corso, gli studenti dovranno essere in grado di applicare i teoremi dell’analisi matematica e gli
strumenti forniti dalla geometria differenziale e dalla geometria riemanniana allo studio di problemi governati da
equazioni di campo derivabili da un principio variazionale. Competenze minime in uscita: capacità lavorare con
campi di vettori, forme differenziali, campi di tensori, metriche, connessioni, densità tensoriali; capacità di
calcolare differenziali esterni, derivate di Lie, derivate covarianti, variazioni di lagrangiane e di altri oggetti.
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso)Insegnamenti fornitoriNozioni fondamentali di analisiAnalisi Matematica I, II, III,
IVNozioni fondamentali di geometriaGeometria I, II, III, IVNozioni fondamentali di fisicaFisica I, IINozioni
fondamentali di meccanicaFisica Matematica I, II
Capacità lavorare con campi di vettori, forme differenziali, campi di tensori, metriche, connessioni, densità
tensoriali.
Meccanica Analitica, Meccanica Superiore, Fisica Matematica, Metodi Geometrici per la Fisica Matematica
Capacità di calcolare differenziali esterni, derivate di Lie, derivate covarianti, variazioni di lagrangiane e di altri
oggetti.
308
Argomento
Ore
Lezione
Complementi di Analisi Matematica.
9
9
Algebra lineare, multilineare e tensori.
9
9
Geometria differenziale.
12
12
Geometria riemanniana.
8
8
Calcolo delle variazioni su varietà fibrate.
6
6
Meccanica Analitica: equazioni di Eulero Lagrange, simmetrie, leggi di conservazione, teorema di Noether.
6
6
Formulazione variazionale delle teorie del campo scalare, del campo elettromagnetico e del campo
gravitazionale.
6
6
Totale
56
309
56
Algebra lineare, multilineare e tensori.
Geometria differenziale.
Geometria riemanniana.
Calcolo delle variazioni su varietà fibrate.
Meccanica Analitica: equazioni di Eulero Lagrange, simmetrie, leggi di conservazione, teorema di Noether.
Formulazione variazionale delle teorie del campo scalare, del campo elettromagnetico e del campo
gravitazionale.
TESTI
I testi base consigliati per il corso sono:
J. Dieudonné, Élements d’analyse, Vol. 3, Gauthier-Villars
Y. Choquet-Bruhat, C. De Witt-Morette, M. Dillard-Bleick, Analysis, Manifolds and Physics, Part I: Basics,
North-Holland, 1989
B.A. Dubrovin, S.P. Novikov, A.T. Fomenko, Geometria delle superfici, dei gruppi di trasformazioni e dei
campi, Editori Riuniti.
E’ consigliato l’utilizzo del seguente materiale per approfondimenti e integrazioni:
W. Thirring, Classical Dynamical Systems and Classical Field Theory, Springer-Verlag.
R. D’Inverno, Introducing Einstein’s Relativity, Clarendon Press.
W.D. Curtis, F.R. Miller, Differential Manifolds and Theoretical Physics, Academic Press.
C.T.J. Dodson, T Potson, Tensor Geometry, Springer-Verlag.
R. Abraham, J.E. Marsden, Foundations of Mechanics, Benjamin
NOTA
Si tratta di un corso di tipo tradizionale che non richiede l’utilizzo di materiale particolare. L’esame è un esame
orale con appello da concordare col docente.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Martedì
14:00 - 16:00
Mercoledì
14:00 - 16:00
Giovedì
14:00 - 16:00
Lezioni: dal 02/03/2009 al 05/06/2009
Istituzioni di Fisica Matematica (DM 509)
Codice: MFN0076 / MFN0077 / S8513
Docente: Prof. Marco Ferraris (Titolare del corso), Prof. Marcella Palese (Esercitatore)
Tipologia: D.M. 509
Anno: 2° anno
Crediti/Valenza: 7
310
OBIETTIVI
sistemi dinamici ed a teorie di campo. Terminato il corso, gli studenti dovranno essere in grado di applicare i
teoremi dell’analisi matematica e gli strumenti forniti dalla geometria differenziale e dalla geometria
riemanniana allo studio di problemi governati da equazioni di campo derivabili da un principio variazionale.
tensoriali Capacità di calcolare differenziali esterni, derivate di Lie, derivate covarianti, variazioni di lagrangiane
e di altri oggetti.
PROGRAMMA
Italiano
Teoremi di esistenza ed unicità. Tensori, forme, calcolo differenziale esterno. Metriche, connessioni, calcolo
tensoriale. Principi variazionali, equazioni di Eulero Lagrange, simmetrie, leggi di conservazione, teorema di
Noether. Equazioni differenziali classiche della fisica matematica (Laplace, Poisson, d’Alembert, calore,
diffusione). Teoria dei campi: formulazione variazionale delle teorie del campo scalare, del campo
elettromagnetico del campo gravitazionale.
Struttura matematica dei principali modelli fisici: sistemi dinamici finito-dimensionali, sistemi continui, teorie di
campo, teorie relativistiche, modelli meccanico-statistici, teorie quantistiche.
English
Existence and uniqueness theorems. Tensors, differential forms, exterior differential calculus. Metrics
connections, tensor calculus. Variational principles, Euler-Lagrange equations, symmetries, conservation laws,
Nöther's theorems. Classical differential equations of mathematical physics (Poisson, Laplace, heat,
diffusion). Field theories: variational formulation of scalar field theories, of the electromagnetic and of the
gravitational field.
Mathematical structure of main physical models: finite dimensional dynamical systems, continuum systems,
field theories, relativistic theories, statistical mechanical systems, quantum theories.
.
TESTI
I testi base consigliati per il corso sono: 1. J. Dieudonné, Élements d’analyse, Vol. 3, Gauthier-Villars 2. Y.
Choquet-Bruhat, C. De Witt-Morette, M. Dillard-Bleick, Analysis, Manifolds and Physics, Part I: Basics,
North-Holland, 1989 3. B.A. Dubrovin, S.P. Novikov, A.T. Fomenko, Geometria delle superfici, dei gruppi di
trasformazioni e dei campi, Editori Riuniti. E’ consigliato l’utilizzo del seguente materiale per approfondimenti e
integrazioni: 4. W. Thirring, Classical Dynamical Systems and Classical Field Theory, Springer-Verlag. 5. R.
D’Inverno, Introducing Einstein’s Relativity, Clarendon Press. 6. W.D. Curtis, F.R. Miller, Differential
Manifolds and Theoretical Physics, Academic Press. 7. C.T.J. Dodson, T Potson, Tensor Geometry,
Springer-Verlag. 8. R. Abraham, J.E. Marsden, Foundations of Mechanics, Benjamin
311
Istituzioni di Fisica Matematica (DM 270) - 6 cfu
Tipologia: D.M. 270
Anno: 1° anno
Crediti/Valenza: 6
OBIETTIVI
e di altri oggetti.
PROGRAMMA
Italiano
English
.
TESTI
312
Istituzioni di Fisica Matematica (DM 270) - 9 cfu
Tipologia: D.M. 270
Anno: 1° anno
Crediti/Valenza: 9
OBIETTIVI
e di altri oggetti.
PROGRAMMA
Italiano
Struttura matematica dei principali modelli fisici: sistemi dinamici finito-dimensionali, sistemi continui, teorie di
campo, teorie relativistiche, modelli meccanico-statistici, teorie quantistiche.
English
Mathematical structure of main physical models: finite dimensional dynamical systems, continuum system, field
theories, relativistic theories, statistical mechanical systems, quantum theories.
.
TESTI
313
Istituzioni di Geometria (DM 509)
Tipologia: D.M. 509
Anno: 2° anno
Crediti/Valenza: 7
OBIETTIVI
L’allievo dovra’ essere in grado di padroneggiare le piu’ importanti tecniche geometriche per lo studio delle
varieta’ algebriche e differenziali e di conoscere i principali esempi di tali enti geometrici.
Teoria generale delle varieta’.
PROGRAMMA
Italiano
Elementi di algebra commutativa
Varieta' algebriche affini e proiettive. Morfismi e mappe razionali.
Varieta' differenziabili e loro spazi tangenti. Campi di vettori e loro indici. Forme differenziali, mappa di
Gauss e teorema di Gauss-Bonnet.
English
Elements of commutative algebra.
Affine and projective algebraic varieties. Morphisms and rational maps.
Differential varieties and their tangent spaces. Vector fields and their indices. Differential forms, Gauss map and
Gauss-Bonnet Theorem.
.
TESTI
Il materiale didattico presentato a lezione è disponibile presso il centro stampa del Dipartimento di Matematica. I
testi base consigliati per il corso sono: M. F. Atiyah, I. G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra,
Addison-Wesley Publishing Company, Menlo Park London Don Mills, 1969. M. C. Beltrametti, E. Carletti, D.
Gallarati, G. Monti Bragadin, Letture su curve, superficie e varieta’ proiettive speciali, Bollati Boringhieri,
Torino 2002. M. Cornalba, Lectures on Differentiable Manifolds, dispense.
314
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=07ea
Istituzioni di Geometria - a.a. 2008/09
Crediti/Valenza: 7
OBIETTIVI
Il corso si propone di fornire allo studente le nozioni di base concernenti le varietà (algebriche, differenziali e
analitiche complesse) e le loro principali proprietà geometriche.
L’allievo dovrà essere in grado di padroneggiare le più importanti tecniche geometriche per lo studio delle
varietà (algebriche, differenziali e analitiche complesse) e di conoscere i principali esempi di tali enti geometrici.
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso)Insegnamenti fornitoriTeoria elementare delle curve algebricheCurve algebricheCurve
e superficie differenziabiliGeometria IIISpazi topologici e loro principali proprietàTopologia algebricaGeometria
IVElementi di analisi complessaAnalisi Matematica IV
Teoria generale delle varietà
Geometria superiore, Geometria algebrica, Geometria differenziale, Geometria complessa
Argomento
Ore
Lezione
Ore
Esercitazione
315
4
0
4
Varietà algebriche affini
9
4
13
Varietà algebriche proiettive
9
4
13
Varietà differenziabili
9
4
13
Varietà analitiche complesse
9
4
13
Totale
40
16
56
Varietà algebriche affini e proiettive. Morfismi e mappe razionali. Spazio tangente, singolarità e dimensione.
Ordine di una varietà proiettiva, cono tangente e molteplicità. Ipersuperficie di uno spazio proiettivo e loro
sistemi lineari.
Prefasci e fasci. Spazi anellati. La nozione generale di varietà. Varietà algebriche, differenziali e analitiche
complesse. Geometria sopra una varietà.
Varietà differenziabili e loro spazi tangenti. Campi di vettori e loro indici. Forme differenziali, mappa di Gauss e
teorema di Gauss-Bonnet.
316
TESTI
Appunti forniti dal docente BELTRAMETTI, CARLETTI, GALLARATI e MONTI BRAGADIN, Letture su
curve, superficie e varietà proiettive speciali, Bollati Boringhieri GUILLEMIN, POLLACK, Differential
Topology, Prentice Hall CORNALBA Note di geometria differenziale (Centro Stampa)
NOTA
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Lunedì
11:00 - 13:00
Martedì
11:00 - 13:00
Mercoledì
11:00 - 13:00
Lezioni: dal 29/09/2008 al 09/01/2009
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=ba68
Istituzioni di Geometria (DM 270) - 6 cfu
Tipologia: D.M. 270
Anno: 1° anno
Crediti/Valenza: 6
OBIETTIVI
PROGRAMMA
Italiano
317
English
.
TESTI
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=b27b
Istituzioni di Geometria (DM 270) - 9 cfu
Tipologia: D.M. 270
Anno: 1° anno
Crediti/Valenza: 9
OBIETTIVI
PROGRAMMA
Italiano
Proprieta' delle varieta' algebriche affini e proiettive: spazio tangente, singolarita' e
dimensione. Ordine di una varieta' proiettiva, cono tangente e molteplicita'.
English
318
Properties of the affine and projective algebraic varieties: tangent space, singularities and dimension. Order of a
projective variety, tangent cone and multiplicity.
.
TESTI
Istituzioni di Logica Matematica (DM 509)
Codice: MFN0080 / MFN0081 / S8515
Tipologia: D.M. 509
Anno: 2° anno
Crediti/Valenza: 7
OBIETTIVI
dimostrazioni matematiche permette di ottenere informazioni sulle stesse. Informazioni positive riguardano ad
esempio la costruzione di strutture che sono modelli delle teorie, o la loro eventuale decidibilità e
meccanizzabilità delle dimostrazioni.
PROGRAMMA
Italiano
Elementi di teoria degli insiemi, sistemi formali e derivazioni, algebre di Boole e logica proposizionale, teoria
dei modelli.
English
Elements of set theory, formal systems and derivations, Boolean algebras and propositional logic, model theory.
.
319
TESTI
J.R. Shoenfield, Mathematical Logic, A.K. Peters 2001, (traduzione italiana edita da Boringhieri)
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=57fd
Istituzioni di Logica Matematica - a.a. 2008/09
Crediti/Valenza: 7
OBIETTIVI
meccanizzabilità delle dimostrazioni; quelle limitative riguardano risultati di incompletezza o indecidibilità, in
particolare dell’aritmetica e sue estensioni.
PROGRAMMA
Pre-requisiti in ingresso ecompetenze minime in uscita
Algebra I
Linguaggi del primo ordine
Tutti
Teoremi di compattezza e completezza
320
Teoria dei Modelli, Algebra II
Programma, articolazione e caricodidattico
Argomento
Ore
Lezione
Sistemi formali e derivazioni
22
22
Algebre di Boole e logica proposizionale
12
12
Modelli
22
22
Totale
56
56
TESTI
Materiale didattico Il materiale didattico presentato a lezione è disponibile sul sito del corso:
http://matematica.campusnet.unito.it/cgi-bin/corsi.pl Il testo seguito è: R.Kaye, The Mathematics of Logic,
Cambridge University Press 2007
NOTA
ORARIO LEZIONI
321
Giorni
Ore
Aula
Lunedì
14:00 - 16:00
Martedì
14:00 - 16:00
Venerdì
9:00 - 11:00
Lezioni: dal 29/09/2008 al 09/01/2009
Istituzioni di Logica Matematica (DM 270) - 6 cfu
Tipologia: D.M. 270
Anno: 1° anno
Crediti/Valenza: 6
OBIETTIVI
meccanizzabilità delle dimostrazioni.
PROGRAMMA
Italiano
dei modelli.
English
Elements of set theory, formal systems and derivations, Boolean algebras and propositional logic, model theory.
.
TESTI
Istituzioni di Logica Matematica (DM 270) - 9 cfu
Tipologia: D.M. 270
Anno: 1° anno
Crediti/Valenza: 9
322
OBIETTIVI
meccanizzabilità delle dimostrazioni; quelle limitative riguardano risultati di incompletezza o indecidibilità, in
particolare dell’aritmetica e sue estensioni.
PROGRAMMA
Italiano
dei modelli, incompletezza e indecidibilità
English
Elements of set theory, formal systems and derivations, Boolean algebras and propositional logic, model theory,
incompleteness and undecidability
.
TESTI
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=dd28
Istituzioni di Matematiche Complementari (DM 509)
Francesca Ferrara (Titolare del corso)
Tipologia: D.M. 509
Anno: 2° anno
Crediti/Valenza: 7
OBIETTIVI
a. Offrire agli studenti dell’indirizzo didattico una presentazione tecnica e culturale della Geometria aggiornata
alle tecnologie di oggi: le competenze acquisite nel percorso potranno essere utilizzate dai futuri insegnanti per
costruire nuovi e stimolanti percorsi didattici per l’apprendimento della geometria nella scuola secondaria; b.
Offrire agli studenti che seguono il percorso indirizzato alla computer vision una prima base tecnica per le
conoscenze necessarie ai corsi successivi del percorso, unitamente a una riflessione culturale sulla geometria
della visione.
Conoscere le tecniche della geometria proiettiva come geometria di base cui ridurre le altre geometrie
fondamentali: affine, euclidea, iperbolica, ellittica Sapere risolvere elementari problemi di geometria proiettiva.
Conoscere i primi elementi della geometria della visione. Conoscere alcuni algoritmi legati alla geometria della
323
visione.
PROGRAMMA
Italiano
Geometria proiettiva nel piano e nello spazio
Dalla geometria proiettiva alle geometrie (affine, euclidea, iperbolica, ellittica)
Trasformazioni proiettive e loro implementazione tramite algoritmi
Geometria per la "computer vision" (con uno, due, più punti di vista)
Conica per la calibrazione
Geometria epipolare e matrice fondamentale
Metodo di approssimazione di Sampson
Geometria affine epipolare
Tensore trifocale e sua computazione
Autocalibrazione
English
Projective geometry in the plane and in the space
From projective geometry to geometries (affine, euclidean, hyperbolic, elliptic)
Projective transformations and their implementation with algorithms
The geometry for the computer vision
.
TESTI
Dipartimento di Matematica e nel sito Moodle del corso Testi usati: Fishback,W.T., 1969, Projective and
Euclidean Geometry, Wiley & Sons: New York R. Hartley e A. Zisserman, 2003, Multiple View Geometry in
Computer Vision, CAMBRIDGE UNIVERSITY PRESS: Cambridge (UK), Second Edition.
Istituzioni di Matematiche Complementari - a.a. 2008/09
Docente: Prof. Ferdinando Arzarello (Titolare del corso), Prof. Francesca Ferrara (Titolare del corso)
Crediti/Valenza: 7
OBIETTIVI
Fornire conoscenze sui fondamenti della Geometria, sul suo sviluppo storico, sulle sue applicazioni e sulle
modalità del suo insegnamento nella scuola secondaria.
324
L’allievo conoscerà gli elementi fondamentali della Geometria proiettiva piana e sarà in grado di riconoscere le
varie geometrie (affine, euclidea, iperbolica, ellittica) come sottogeometrie di questa generate da opportuni
sottogruppi del gruppo delle trasformazioni proiettive; ciò nello spirito del programma di Erlangen.
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso)Insegnamenti fornitoriElementi di Analisi matematicaAnalisi Matematica I, IIElementi
di algebra lineareGeometria I, IIElementi di algebra (nozione di gruppo)Algebra I, II
Trasformazioni proiettive
I corsi di Geometria della Laurea Magistrale
Modelli delle varie geometrie nel piano proiettivo
Il programma di Erlangen
I corsi di Storia e di Didattica della Laurea Magistrale
Argomento
Ore
Lezione
Ore
Esercitazione
Ore Laboratorio
Trasformazioni proiettive
12
2
8
22
Programma di Erlangen
325
4
4
Geometria affine ed euclidea
5
2
3
10
Geometria iperbolica
5
3
3
11
Geometria ellittica
4
2
3
9
Totale
30
9
17
56
La geometria in Euclide: punti critici chiariti nel XIX secolo
La geometria delle trasformazioni nel piano euclideo: isometrie, similitudini, affinità; i gruppi di simmetria.
Geometria proiettiva nel piano: assiomi e dualità; teoremi di Desargues; punti armonici; prospettività e
proiettività; coniche nel piano proiettivo; un modello analitico del piano proiettivo; birapporti; collineazioni;
correlazioni e polarità.
Il programma di Erlangen.
Coniche assolute; le sottogeometrie della geometria proiettiva reale: geometria iperbolica, affine, delle
similitudini, delle equivalenze, euclidea, ellittica.
Durante il corso gli studenti seguiranno esercitazioni fatte in aula informatizzata con software di geometria
dinamica.
326
TESTI
CEDEBERG, J.N. (1989). A course in modern geometries. Berlin: Springer. FISHBACK, W.T. (1964).
Projective and Euclidean Geometry. New York: Wiley. Dispense del docente.
NOTA
Modalità di verifica/esame L’esame si svolge, di norma, come segue: durante il corso gli allievi devono risolvere
settimanalmente vari problemi (in media 5 alla settimana), comprensivi di preparazione di materiale informatico
prodotto col software usato nelle esercitazioni. Gli esami sono orali e prevedono anche la valutazione del lavoro
svolto dagli studenti durante il corso.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Mercoledì
14:00 - 16:00
Giovedì
14:00 - 16:00
Venerdì
14:00 - 16:00
Lezioni: dal 29/09/2008 al 09/01/2009
Nota: La lezione del venerdì si terrà anche in Aula Informatizzata n° 02
Istituzioni di Matematiche Complementari (DM 270)
Francesca Ferrara (Titolare del corso)
Tipologia: D.M. 270
Anno: 1° anno
Crediti/Valenza: 9
OBIETTIVI
a. Offrire agli studenti dell’indirizzo didattico una presentazione tecnica e culturale della Geometria aggiornata
alle tecnologie di oggi: le competenze acquisite nel percorso potranno essere utilizzate dai futuri insegnanti per
costruire nuovi e stimolanti percorsi didattici per l’apprendimento della geometria nella scuola secondaria; b.
Offrire agli studenti che seguono il percorso indirizzato alla computer vision una prima base tecnica per le
conoscenze necessarie ai corsi successivi del percorso, unitamente a una riflessione culturale sulla geometria
della visione.
Conoscere le tecniche della geometria proiettiva come geometria di base cui ridurre le altre geometrie
fondamentali: affine, euclidea, iperbolica, ellittica Sapere risolvere elementari problemi di geometria proiettiva.
327
Conoscere i primi elementi della geometria della visione. Conoscere alcuni algoritmi legati alla geometria della
visione.
PROGRAMMA
Italiano
Geometria proiettiva nel piano e nello spazio
Dalla geometria proiettiva alle geometrie (affine, euclidea, iperbolica, ellittica)
Trasformazioni proiettive e loro implementazione tramite algoritmi
Geometria per la "computer vision" (con uno, due, più punti di vista)
Conica per la calibrazione
Geometria epipolare e matrice fondamentale
Metodo di approssimazione di Sampson
Geometria affine epipolare
Tensore trifocale e sua computazione
Autocalibrazione
Esempi
English
Projective geometry in the plane and in the space
From projective geometry to geometries (affine, euclidean, hyperbolic, elliptic)
Projective transformations and their implementation with algorithms
The geometry for the computer vision
Examples
.
TESTI
Dipartimento di Matematica e nel sito Moodle del corso Testi usati: Fishback,W.T., 1969, Projective and
Euclidean Geometry, Wiley & Sons: New York R. Hartley e A. Zisserman, 2003, Multiple View Geometry in
Computer Vision, CAMBRIDGE UNIVERSITY PRESS: Cambridge (UK), Second Edition.
Laboratorio di Analisi Numerica (DM 509)
Codice: MFN0006
Docente: Prof. Catterina Dagnino (Titolare del corso), Prof. Isabella Cravero (Esercitatore), Prof. Paola
Lamberti (Esercitatore)
Tipologia: D.M. 509
Anno: 2° anno
Crediti/Valenza: 2
328
OBIETTIVI
Questo laboratorio si propone di introdurre gli studenti all’utilizzo di software scientifici in maniera critica,
abituandoli all’uso mirato degli strumenti di calcolo per la risoluzione numerica di problemi. Infatti nell’ambito
del calcolo scientifico risulterebbe pericoloso e culturalmente povero l’approccio di descrivere il software come
una ’scatola magica’ dalla quale aspettare fiduciosamente una risposta. In particolare, nel laboratorio, dopo una
presentazione del software scientifico Matlab, si svilupperanno progetti relativi alla modellazione e
manipolazione di oggetti elementari e alla modellizzazione di fenomeni fisici, rendendo esecutivi i relativi
algoritmi. Il laboratorio vuole dunque consentire agli studenti di acquisire competenze nell’utilizzo di software
scientifici, con particolare riferimento al software Matlab, e di avvicinarsi al mondo del Calcolo Scientifico ed
alle simulazioni numeriche di modelli matematici.
Dimestichezza nell’utilizzo di software scientifici per la risoluzione di problemi numerici
PROGRAMMA
Italiano
Matlab e le sue librerie.
Sviluppo di progetti in ambiente Matlab:
1) modellazione e manipolazione di oggetti elementari;
2) modellizzazione di fenomeni fisici.
Altri software scientifici.
English
Matlab and its tools.
Development of projects in Matlab environment:
1) modelling elementary objects;
2) modelling and simulation of physical phenomena.
Other scientific software.
.
TESTI
I testi base del corso sono: 1) R. S. Burden, J. D. Faires, Numerical Analysis, 8th ed., Brooks/Cole, Pacific
Grove, USA (2005) 2) C.Dagnino, P. Lamberti, Elementi di Matematica Numerica per la Grafica,
Levrotto&Bella (2008) 3) Matlab, The Language of Technical Computing, Version 7, The MathWorks, Inc.
(2005) Per approfondimenti ed integrazioni è inoltre consigliato l’utilizzo dei seguenti testi: 1) A.Quarteroni,
F.Saleri, Introduzione al Calcolo Scientifico, 3° edizione, Springer (2006) 2) G.Naldi, L. Pareschi, Matlab:
concetti e progetti, Apogeo (2002) Infine sono di seguito indicati siti internet di interesse:
http://www.netlib.org/liblist.html , http://www.netlib.org/numeralgo/index.html http://www.mathworks.it/ ,
http://www.mathworks.com/ http://www.maths.dundee.ac.uk/~ftp/na-reports/MatlabNotes.pdf
329
Laboratorio di Equazioni Differenziali per le Scienze Applicate - Non
attivato nell’a.a. 2008/09
Codice: M8599
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 3
PROGRAMMA
NOTA
Il corso è mutuato dal corso M8528 - Equazioni Differenziali Ordinarie. Per informazioni rivolgersi alla Prof.
Capietto
Laboratorio di Fisica (DM 270)
Docente:
Recapito: []
Tipologia: D.M. 270
Anno: 1° anno
Crediti/Valenza: 6
Avvalenza: SSD: 1 cfu MAT/04, 3 cfu FIS/08
OBIETTIVI
Comprensione del carattere sperimentale della Fisica e della sua metodologia. Apprendimento dei metodi per la
trattazione dei dati sperimentali, valutazione degli errori di misura per misure dirette ed indirette e verifica
empirica di dipendenza funzionale tra due osservabili fisiche. Capacità di effettuare semplici misure di
laboratorio nell’ambito della Fisica Classica (meccanica, termodinamica, elettromagnetismo, ottica), di elaborare
i dati ottenuti e di stendere la relativa relazione.
Saper effettuare semplici misure di Fisica, saper trattare i dati raccolti, saper redigere una relazione di
laboratorio.
PROGRAMMA
italiano
Lezioni in aula
Il metodo sperimentale: confronto teoria-esperimento. Errori sistematici ed errori casuali.
Valutazione dell'errore casuale nel caso di una singola misura. Variabili stocastiche,
misure ripetute e valor medio empirico. Valutazione dell'errore nel caso di poche misure e di molte
misure: distribuzione gaussiana e sue proprietà, distribuzione della variabile valor medio empirico.
330
Significato statistico dell'errore; cifre significative.
Test di confronto fra valore sperimentale e valore atteso e test di compatibilità fra misure sperimentali diverse
nel caso di campioni piccoli e grandi.
Correlazione fra grandezze fisiche e verifica dell'esistenza di una dipendenza funzionale: metodo dei
minimi quadrati e test del Chi-quadro.
Esercitazioni in laboratorio
Misure di grandezze fisiche e realizzazione di esperimenti di fisica classica con trattazione dei dati raccolti.
English
Physics as an experimental science: comparison between experimental results and theoretical predictions.
Systematics and statistical errors. Error in case of a single measurement. Stochastic variables, measurements
performed several times, mean value and calculation of the uncertainty.
Tests of compatibility between experimental and expected values and between results obtained in different
measurements. Correlation between physical quantities and related methods: least squares and Chi-square test.
Laboratory measurements and experiments (mechanics, thermodynamics, electromagnetism).
.
TESTI
Taylor Introduzione alla teoria dell’errore - Zanichelli
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=dc48
Laboratorio di LaTeX (DM 509)
Codice: M8616
Tipologia: D.M. 509
Anno:
Crediti/Valenza: 3
Avvalenza: SSD: MAT/01-02-03-04-05-06-07-08
OBIETTIVI
Illustrazione delle potenzialità del sistema di composizione testi LaTeX e confronto con altri sistemi di text
editing. Acquisire la capacità di utilizzare LaTeX per la stesura di documenti di carattere tecnico-scientifico e la
conoscenza ed utilizzazione dei siti web dedicati al suo sviluppo.
Capacità di comporre semplici testi a contenuto scientifico. Conoscenza dei siti web dedicati al LaTeX ed al suo
sviluppo. Capacità di utilizzo della documentazione del LaTeX.
331
PROGRAMMA
Italiano
Elementi di base del LaTeX. Scrittura di formule matematiche. Organizzazione del testo, strutture tabellari,
riferimenti incrociati, bibliografia, indici, intestazioni. Gestione di oggetti grafici. Cenni al pacchetto xypic ed
all’applicativo metapost. Presentazioni al computer con la classe beamer. Cenni a pacchetti ed estensioni di
LaTeX.
English
Basic elements of the LaTeX language. Writing mathematical formulae. Organizing text, tables,
cross-references, bibliographies, indexes, headings. Managing embedded graphics. Using the package xypic and
the program metapost. Computer presentations using beamer. Packages and extensions of LaTeX.
.
TESTI
I testi base consigliati per il corso sono: L. Lamport, LaTeX, a document preparation system, Addison-Wesley
(1994). T. Oetiker et al.. The not so short introduction to LaTeX2e (reperibile on-line) E’ consigliato anche
l’utilizzo del seguente materiale per approfondimenti e integrazioni: http://www.ctan.org/tex-archive/info/ Infine
sono di seguito indicati siti internet di interesse: www.guit.it, www.ctan.org
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=b50d
Laboratorio di Maple (DM 509)
Codice: MFN0084
Tipologia: D.M. 509
Anno: 2° anno
Crediti/Valenza: 3
OBIETTIVI
Il corso si propone di illustrare le potenzialità del sistema di calcolo scientifico Maple e di confrontarle con
quelle di altri sistemi di calcolo scientifico. Lo scopo del corso è quello di sviluppare la capacità di utilizzare
Maple per lo studio di problemi di carattere tecnico-scientifico-applicativo anche attraverso la conoscenza ed
utilizzazione dei siti web dedicati al suo sviluppo.
Capacità di scrivere semplici programmi Maple per affrontare problemi che richiedono l’utilizzazione della
matematica. Conoscenza dei siti web dedicati a Maple ed al suo sviluppo. Capacità di utilizzo della
documentazione di Maple.
PROGRAMMA
Italiano
Utilizzazione di Maple come foglio di calcolo interattivo. Maple come come linguaggio di programmazione per
la soluzione di problemi matematici. Grafica bidimensionale. Grafica tridimensionale. Animazioni. Cenni a
pacchetti ed estensioni varie di Maple.
332
English
Using Maple as an interactive mathematical worksheet. Using Maple as a programming language for solving
mathematical problems. 2-D graphics. 3-D graphics. Animations. Packages and extensions of Maple.
.
TESTI
I testi base consigliati per il corso sono: Manuali di Maple 12 (Getting Starter Guide, User Manual, Introductory
Programming Guide, Advanced Programming Guide). Infine sono di seguito indicati siti internet di interesse:
www.maplesoft.com, www.mapleprimes.com
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=e9a6
Laboratorio di Statistica Matematica (DM 509)
Codice: MFN0007
Docente: Prof. Laura Sacerdote (Titolare del corso), Prof. Cristina Zucca (Esercitatore), Prof. Roberta
Sirovich (Esercitatore)
Tipologia: D.M. 509
Anno: 2° anno
Crediti/Valenza: 2
OBIETTIVI
Il laboratorio si prefigge di far acquisire agli studenti le competenze necessarie alla trattazione di alcuni problemi
di analisi statistica che si presentano nelle applicazioni. Per l’analisi di set di dati di interesse applicativo
verranno utilizzati i software Excel e Statistica. Verranno riesaminate le metodologie statistiche apprese nel
corso di Calcolo delle Probabilità e Statistica collegandole anche all’utilizzo dei due software.
Lo studente dovrà essere in grado di effettuare un’analisi statistica completa di insiemi di dati, sapendo utilizzare
anche all’occorrenza con buona padronanza i software specifici presentati nel corso.
PROGRAMMA
Italiano
Introduzione all'uso dei software statistici; Statistica descrittiva e istogrammi; Test di ipotesi parametrici e
non parametrici; Regressione lineare; Analisi della varianza (ANOVA) a una via.
English
Introduction to the software Statistica Statsoft and to the statistical package of the software Excel; Descriptive
Statistics and Histograms; Parametric and Non Parametric Hypothesis Tests; Linear Regression; One Way
Analysis of Variance (ANOVA).
.
TESTI
1) Appunti del docente, disponibili per gli studenti nella pagina web del docente nel sito del CCS 2) Manuale di
Statistica 3) Middleton, "Analisi statistica con Excel", Apogeo (2004)
333
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=6fc4
Laboratorio di Tecniche Multimediali per la Comunicazione
Scientifica (DM 509)
Codice: M8617
Docente: Prof. Guido Magnano (Titolare del corso)
Tipologia: D.M. 509
Anno:
Crediti/Valenza: 3
OBIETTIVI
Saranno affrontate le questioni tecniche relative all’uso del software, ma soprattutto questioni più generali di
carattere comunicativo: organizzazione del materiale da presentare, griglia, uso delle immagini e delle
animazioni, coordinazione fra l’esposizione orale e il contenuto delle slides, errori più comuni. Nel corso del
laboratorio, i partecipanti dovranno realizzare (individualmente o a coppie) una presentazione PowerPoint su un
argomento di carattere matematico che sarà concordato con gli interessati, e che potrà anche (a scelta dello
studente) coincidere (in tutto o in parte) con l’argomento della tesi di laurea.
Saper realizzare una presentazione con PowerPoint o software equivalente. Prova finale Comprendere gli aspetti
comunicativi rilevanti ai fini delle scelte di stile e di impostazione grafica della presentazione Prova finale
Riconoscere pregi e difetti di una presentazione, e saper usare gli strumenti appropriati per migliorarne
l’efficacia comunicativa. Prova finale
PROGRAMMA
Italiano
Presentazione dell’attività. Prima esercitazione sull’impostazione del messaggio e del layout.
Griglia di impaginazione, scelta dei carattere e degli altri elementi grafici. Esempi ed esercizi.
Strategia generale di organizzazione della presentazione. Inserimento di immagini e formule matematiche.
Esame e discussione sui primi abbozzi prodotti dai partecipanti.
Tecniche per migliorare l'efficacia comunicativa. Uso delle animazioni e delle transizioni fra slides,
costruzione di mappe concettuali
Esame dei lavori prodotti e discussione sugli aspetti emersi
English
Introduction and scope of the laboratory. First examples and exercises on the graphical layout of a slide: choice
of the character font, the layout format, the images, according to the message content. Common errors to be
avoided.
Overall structure of a presentation. General reflections on communication processes; strategies to improve clarity
and efficiency of scientific communication to a non-expert audience.
334
Translating mathematical reasoning into maps and flow charts.
Insertion of math formulae and figures. Appropriate use of animations and slide transitions.
Discussion of the exercises made by the students.
.
TESTI
Il materiale didattico presentato a lezione è disponibile presso: piattaforma MOODLE http://math.i-learn.unito.it
E’ fortemente consigliato l’utilizzo del seguente materiale per approfondimenti e integrazioni: 1. Giovanni
Carrada, Comunicare la scienza. Kit di sopravvivenza per ricercatori, Sironi 2005 (testo disponibile anche
gratuitamente su Internet) Infine sono di seguito indicati siti internet di interesse:
http://www.mestierediscrivere.com http://it.wikipedia.org http://en.wikipedia.org
Laboratorio di Visualizzazione Geometrica (DM 509)
Codice: MFN0134
Tipologia: D.M. 509
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 2
OBIETTIVI
L’allievo dovra’ essere in grado di rappresentare, mediante i piu’ moderni sistemi di calcolo simbolico, curve e
superficie nello spazio in modo da poterle studiare, analizzare ed applicare.
Rappresentazione di curve e superficie nello spazio.
PROGRAMMA
Italiano
Visualizzazione e geometrizzazione in matematica.
Rappresentazione di curve e superficie dello spazio.
La visualizzazione geometrica nella comunicazione e nell'arte.
English
Visualization and geometrization in Mathematics.
Representation of curves and surfaces of the space.
Geometric visualization in arts and communication.
335
.
TESTI
H. C. Hege, K. Polthier (Eds.), Visualization and Mathematics, Springer-Verlag, Berlin 1997. G. Klimek, M.
Klimek, Discovering Curves and Surfaces with MAPLE, Springer-Verlag, New York 1997.
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=0cf9
Laboratorio Stage di Matematica a Pra Catinat (DM 509)
Codice: MFN0087 / 8123S
Tipologia: D.M. 509
Anno: 2° anno
Crediti/Valenza: 3
OBIETTIVI
Sapere trasporre un contenuto matematico tecnico in forma accessibile ai non specialisti.
Sapere trasporre e comunicare contenuti matematici in modo efficace usando strumenti diversi a un pubblico di
non specialisti.
PROGRAMMA
Italiano
1. Individuazione di alcuni temi di matematica di base da trasporre
2. Analisi dei contenuti matematici e della bibliografia
3. Montaggio delle situazioni di apprendimento
3. Stage di matematica con studenti delle superiori
English
1. Selection of some mathematical topics
2. Techical analysis of the topics and related bibliography
3. Building up the learning situations
4. Mathematical stage with higher school students
.
TESTI
Dipartimento di Matematica
336
Laboratorio: Algoritmi per il Calcolo Scientifico - a.a. 2008/09
Crediti/Valenza: 4
Avvalenza: Cod. MNF0085 ambito F
OBIETTIVI
Studio di algoritmi semplici per la risoluzione numerica di equazioni differenziali ordinarie e alle derivate
parziali. Classi di metodi affrontati: differenze finite, elementi finiti.
Pre-requisiti (in ingresso) Insegnamenti fornitori Corsi base di calcolo numerico Calcolo Numerico, Analisi
Numerica Competenze minime (in uscita) Insegnamenti fruitori Redazione di programmi per la discretizzazione
di problemi differenziali Insegnamenti di ambito numerico e simulativo successivi Criteri per la verifica della
correttezza dei programmi corsi di dottorato
PROGRAMMA
ArgomentoOreLez.OreEsercit.Ore LaboratorioTotale Ore di Car. DidatticoRichiami su sistemi di numerazione
ed errore, derivazione numerica, metodo coefficienti indeterminati6 6 12Metodi di Euler, Runge-Kutta,
Multistep per equazioni ordinarie4 4 8Equazione di diffusione: discretizzazione con differenze finite,
stabilità2 2 4Discretizzazione di un problema sul bordo ed equazione di Laplace4 4 8Cenni sugli elementi
finiti2 2 4
Totale 18 18
36
TESTI
Il materiale didattico presentato a lezione è disponibile presso: Centro Stampa o area comune teachers in
Laboratorio
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Venerdì 14:00 - 18:00
Aula
Lezioni: dal 02/03/2009 al 05/06/2009
Laboratorio: Analisi Numerica - a.a. 2008/09
Codice: MFN0006
Docente: Prof. Isabella Cravero (Titolare del corso), Prof. Paola Lamberti (Titolare del corso)
Anno: 2° anno
Crediti/Valenza: 2
337
Avvalenza: 2CFU Ambito F
OBIETTIVI
Questo laboratorio si propone di introdurre gli studenti all’utilizzo di software scientifici in maniera critica,
abituandoli all’uso mirato degli strumenti di calcolo per la risoluzione numerica di problemi. Infatti nell’ambito
del calcolo scientifico risulterebbe pericoloso e culturalmente povero l’approccio di descrivere il software come
una ’scatola magica’ dalla quale aspettare fiduciosamente una risposta. In particolare, nel laboratorio, dopo una
presentazione del software scientifico Matlab, si svilupperanno progetti relativi alla modellazione e
manipolazione di oggetti elementari e alla modellizzazione di fenomeni fisici, rendendo esecutivi i relativi
algoritmi.
Il laboratorio vuole consentire agli studenti di acquisire competenze nell’utilizzo di software scientifici, con
particolare riferimento al software Matlab, e di avvicinarsi al mondo del Calcolo Scientifico ed alle simulazioni
numeriche di modelli matematici.
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso) Insegnamenti fornitori Conoscenze e competenze di base di algebra lineare e di
geometria analitica Geometria Conoscenze e competenze di base di calcolo differenziale ed integrale Analisi
Matematica Conoscenze e competenze di base di tipo informatico Informatica
Dimestichezza nell'utilizzo di software scientifici
per la risoluzione di problemi numerici
Corsi del terzo anno della laurea triennale e corsi della laurea specialistica
Programma, articolazione e carico didattico.
Argomento
Ore Laboratorio
Matlab e le sue librerie
338
5 ore
5 ore
Sviluppo di progetti in ambiente Matlab:
1) Modellazione e manipolazione di oggetti elementari.
2) Modellizzazione di fenomeni fisici.
10 ore
10 ore
Altri software scientifici
1 ora
1 ora
Totale
16 ore
16 ore
TESTI
I testi base consigliati per il corso sono: 1) R. S. Burden, J. D. Faires, Numerical Analysis, 8th ed., Brooks/Cole,
Pacific Grove, USA (2005) 2) C.Dagnino, P. Lamberti, Elementi di Matematica Numerica per la Grafica,
Levrotto&Bella (2008) 3) Matlab, The Language of Technical Computing, Version 7, The MathWorks, Inc.
(2005) E’ consigliato l’utilizzo del seguente materiale per approfondimenti e integrazioni: 1) A.Quarteroni,
F.Saleri, Introduzione al Calcolo Scientifico, 3° edizione, Springer (2006) 2) G.Naldi, L. Pareschi, Matlab:
concetti e progetti, Apogeo (2002) Infine sono di seguito indicati siti internet di interesse:
http://www.netlib.org/liblist.html , http://www.netlib.org/numeralgo/index.html http://www.mathworks.it/ ,
http://www.mathworks.com/ http://www.maths.dundee.ac.uk/~ftp/na-reports/MatlabNotes.pdf
NOTA
L’esame si svolge, di norma, come segue: Prova di laboratorio in aula informatizzata sugli argomenti presentati
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Martedì
14:00 - 17:00
Mercoledì
14:00 - 17:00
Lezioni: dal 02/03/2009 al 05/06/2009
Nota: Le lezione si terranno anche in Aula Informatizzata n° 03
ORARI LEZIONI mese di aprile
- martedì 21 aprile ore 14-17 gruppo A
- mercoledì 22 aprile ore 14-17 gruppo B
- martedì 28 aprile ore 14-18 gruppo A
- mercoledì 29 aprile ore 14-18 gruppo B
NOTA. Nelle giornate del 21 e 22 aprile sarà possibile proseguire l’esercitazione Matlab nelle medesime aule
con assistenza qualificata.
339
Laboratorio: Biomatematica - Non attivato nell’a.a. 2008/09
Codice: 8120S
Crediti/Valenza: 3
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Mercoledì 14:00 - 17:00
Aula
Lezioni: dal 01/10/2007 al 18/01/2008
Laboratorio: Calcolo Parallelo - Non attivato nell’a.a. 2008/09
Codice: 8121S
Docente: Prof. Alessandra De Rossi
Crediti/Valenza: 3
OBIETTIVI
Il laboratorio si propone di introdurre gli studenti ai concetti base del calcolo parallelo, fornendo sia nozioni
teoriche che pratiche. Queste conoscenze possono essere utili al laureato in Matematica che si trova a gestire
elevate quantità di dati e informazioni e che ha a disposizione uno strumento di calcolo potente quale un super
computer.
Gli studenti devono acquisire le competenze teoriche e l’esperienza pratica di base per comprendere, analizzare,
implementare algoritmi paralleli di calcolo. Grazie all’attività di laboratorio sul cluster del Dipartimento devono
inoltre saper usare strumenti potenti di calcolo parallelo.
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso) Insegnamenti fornitori Conoscenze di base su calcolatori, algoritmi, linguaggio C
Informatica I Conoscenze di base di Analisi Numerica Analisi Numerica I
340
Algoritmi paralleli
Istituzioni di Analisi Numerica, Metodi di Approssimazione, Biomatematica
Argomento
Ore
Lezione
Ore
Esercitazione
Ore Laboratorio
Introduzione al calcolo parallelo, architetture parallele, modelli e complessità computazionale di un algoritmo
parallelo
4
4
Parametri di valutazione di un algoritmo parallelo, applicazioni del calcolo parallelo, evoluzione dei computer
paralleli
4
4
Analisi di algoritmi numerici
2
2
4
Librerie MPI
2
341
2
4
Esempi ed esercizi su cluster
8
8
Totale
12
4
8
24
L'attività del laboratorio consiste in alcune lezioni sugli aspetti teorici del calcolo parallelo e in alcune
esercitazioni pratiche sul cluster presente in Dipartimento (acquisito alla fine del 2005 con fondi DAQ della
facoltà di Scienze):
- introduzione al calcolo parallelo;
- architetture parallele;
- modelli e complessità computazionale;
- parametri di valutazione di un algoritmo parallelo;
- applicazioni del calcolo parallelo;
- evoluzione dei computer paralleli;
- analisi di alcuni algoritmi numerici paralleli;
- librerie MPI;
- esempi ed esercizi sul cluster.
TESTI
- L. R. Scott, T. Clark, B. Bagheri, Scientific Parallel Computing, Princeton University Press, 2005. - R. S.
Burden, J. D. Faires, Numerical Analysis, 8th edition, Brooks/Cole, Pacific Grove, USA, 2005. - V. Comincioli,
Analisi Numerica: metodi, modelli e applicazioni, McGraw-Hill, Milano, 1990.
NOTA
L’esame si svolge, di norma, come segue: un colloquio orale sugli argomenti svolti nel Laboratorio e su un
approfondimento a scelta dello studente concordato con il docente (studio di un argomento teorico, analisi di un
algoritmo parallelo, implementazione di un programma parallelo in C++ o Matlab).
ORARIO LEZIONI
Giorni Ore
Aula
Lunedì 14:00 - 16:00
Lezioni: dal 01/10/2007 al 18/01/2008
342
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=0adf
Laboratorio: Combinatorica - a.a. 2008/09
Codice: M8612
Docente: Prof. Daniela Romagnoli (Titolare del corso)
Crediti/Valenza: 3
OBIETTIVI
Essere in grado di manipolare gli strumenti teorici forniti per la risoluzione di problemi enumerativi.
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso)Insegnamenti fornitoriGli argomenti svolti nell'insegnamento del corso di
Algebra 1Algebra 1
Calcolo combinatorio.
Alcuni problemi di Eulero.
Funzioni tra insiemi finiti.
Algebra 2, Crittografia e Codici Correttori, Algebra Computazionale,Calcolo delleprobabilità e statistica
Argomento
Ore
Lezione
Il principio di induzione matematica e il metodo delle scelte .Funzioni tra insiemi finiti
Calcolo combinatorio
12
12
343
Relazioni ricorsive .Numeri di Fibonacci,di Catalan,di Stirling e di Bell
8
8
Funzioni moltiplicative e funzioni intere : la funzione di Eulero,la funzione di Gauss e applicazioni
4
4
Totale
24
24
TESTI
Dipartimento di Matematica e sul sito del corso http://matematica.campusnet.unito.it/cgi-bin/corsi.pl I testi base
consigliati per il corso sono: 1. D.Romagnoli.Algebra del calcolo combinatorio.Quaderno didattico #2 del
Dipartimento di Matematica di Torino. 2. D.Romagnoli.Elementi di Matematica Discreta .Quaderno didattico
#23 del Dipartimento di Matematica di Torino. 3. D.Romagnoli, Laboratorio di Combinatorica Dispense per il
laboratorio Nel laboratorio viene fornita un’ampia bibliografia di testi contenenti i temi trattati.
NOTA
Modalità di verifica/esame L’esame consiste nella presentazione di una tesina scritta individuale su temi inerenti
il programma o in un seminario.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Mercoledì
14:00 - 16:00
Lezioni: dal 02/03/2009 al 05/06/2009
Laboratorio: Dimostrazione Automatica in Geometria Elementare a.a. 2008/09
Crediti/Valenza: 3
Avvalenza: Cod. MFN0086 ambito F
OBIETTIVI
Tradurre enunciati della geometria elementare in forma algebrica usando polinomi a più indeterminate.
Comprendere il significato logico del Nullstellensatz di Hilbert e delle basi di un ideale nel contesto della
Geometria elementare. Implementare l’algoritmo di ricerca delle basi di Gröbner con un software opportuno
344
(CoCoA). Esplicitare via via, in base alle risposte del software, le ipotesi complete sotto le quali si riesce a
dimostrare un enunciato di geometria elementare.
Il laboratorio è finalizzato a una comprensione operativa di come il calcolo effettivo delle basi di Gröbner (per
ideali di polinomi in più indeterminate a coefficienti reali) produca la dimostrazione automatica di teoremi in
geometria elementare. Tale metodo è basato su tre punti: - la rappresentabilità in forma algebrica (con polinomi
in più indeterminate a coefficienti reali) di molti enunciati della geometria elementare; - il collegamento fornito
dal cosiddetto Nullstellensatz di Hilbert tra proprietà logiche degli enunciati di teorie geometriche elementari e
proprietà algebriche degli ideali generati dai polinomi che esprimono algebricamente tali enunciati; - l’esistenza
di algoritmi (implementabili concretamente su personal computer tramite un software libero, CoCoA) che
permettono di ridurre il problema della derivabilità di un enunciato geometrico (sotto certe ipotesi) a
computazioni sulle basi di Gröbner.
PROGRAMMA
Anelli e Ideali di polinomi a più indeterminate
Insegnamenti algebrico-geometrici della Laurea triennale in Matematica
Sapere trasporre un problema di geometria elementare in forma algebrica
Istituzioni di Matematiche Complementari; Didattica della Matematica; i corsi del sottoindirizzo
algebrico-geometrico nella laurea specialistica
Saper usare il software CoCoA per il calcolo delle basi di Gröbner
I corsi del sottoindirizzo algebrico-geometrico nella laurea specialistica
Metodologia didattica
La metodologia didattica impiegata consiste in:
Lezioni frontali 5 ore
Lavoro di gruppo in laboratorio 7 ore.
Argomento
Ore
Lez.
345
Ore Laboratorio
Nozioni di algebra (Nulstellensatz, basi di Gröbner)
5
5
Introduzione a CoCoA
2
2
Esempi di dimostrazioni automatiche
5
5
Totale
5
7
12
TESTI
I testi base consigliati per il corso sono: - Dispense fornite dal docente - Cox, D., Little, J. & O’Shea, D. (1991).
Ideals, Varieties, and Algorithms. Berlin: Springer. - Chou, S.C. (1988). Mechanical Geometry Theorem
Proving. Dordrecht: Reidel. Materiale per lezioni e esercitazioni: Personal Computer delle aule informatizzate
del Dipartimento di Matematica, per le esercitazioni in laboratorio, dotati di software opportuno (CoCoA).
Materiale didattico Il materiale didattico presentato a lezione è disponibile, in forma cartacea, presso il Centro
Stampa del Dipartimento di Matematica e sul sito del corso http://matematica.campusnet.unito.it/cgi-bin/corsi.pl
Ulteriori materiali sono reperibili nei seguenti siti: http://www-calfor.lip6.fr/~wang/GRBib/Welcome.html
http://cocoa.dima.unige.it/research/publications.html
NOTA
L’esame si svolge, di norma, come segue: Durante il periodo in cui si tiene il laboratorio gli studenti preparano
settimanalmente vari lavori. Il materiale prodotto viene valutato ed è oggetto di un colloquio finale. Il giudizio
per l’esame si basa su entrambi.
346
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Giovedì 11:00 - 13:00
Aula
Lezioni: dal 02/03/2009 al 05/06/2009
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=f34d
Laboratorio: Equazioni Differenziali e Modelli Matematici - Non
Codice: M8613
Docente: Prof. Walter Dambrosio (Titolare del corso)
Crediti/Valenza: 3
OBIETTIVI
Presentare alcuni modelli matematici di tipo deterministico per lo studio di problemi di natura biologica, chimica
o fisica. Discutere la risolubilità di tali modelli con l’utilizzo di software, integrando gli aspetti teorici con quelli
applicativi del calcolo esatto e approssimato tramite strumenti informatici, attraverso l’analisi critica dei concetti.
Costruire semplici modelli matematici deterministici per lo studio di problemi di tipo biologico, chimico o fisico.
Risolvere semplici equazioni differenziali e visualizzarne le soluzioni mediante l’uso di strumenti informatici.
Interpretare risultati di tipo matematico in termini di problemi di natura applicata. Valutare i limiti degli
strumenti tecnologici nella risoluzione di problemi matematici.
PROGRAMMA
Calcolo differenziale
Calcolo integrale
347
Interpretare modelli matematici di tipo deterministico per lo studio di problemi applicativi
Costruire semplici modelli matematici di tipo deterministico per lo studio di problemi applicativi
Risolvere equazioni differenziali in ambiente numerico, grafico o simbolico mediante software informatico
Argomento
Ore
Lez.
Ore
Esercit.
Ore Laboratorio
Studi qualitativi di equazioni differenziali del primo ordine
1
1
2
Modelli biologici o chimici (dinamica delle popolazioni, concentrazione di un farmaco nel sangue)
3
3
Sistemi conservativi ad un grado di libertà; piano delle fasi
1
1
348
2
Sistemi fisici (l'equazione del pendolo e discussione del suo isocronismo)
3
3
Sistemi di tipo preda-predatore
2
2
Totale
2
10
12
TESTI
Giordano-Weir "A first course in mathematical modeling" Brooks/Cole Publishing Company, Montery,
California Heck "Introduction to Maple", Springer-Verlag. Pagani-Salsa "Analisi Matematica 2" Zanichelli
Editore
NOTA
Modalità d’esame: prova scritta. Registrazione voti del I appello: Martedì 5 Febbraio - Aula Inf. 2 - dalle 9:30
alle 10:30 Mercoledì 6 Febbraio - Aula Magna - dalle 9:30 alle 10:30 Venerdì 22 Febbraio - Aula Inf. 2 - dalle
9:30 alle 10:30
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Giovedì
16:00 - 18:00
Venerdì
14:00 - 16:00
Lezioni: dal 22/11/2007 al 18/01/2008
Nota: Le lezioni si svolgeranno, secondo l’orario e nelle aule indicate, nei giorni 22-29 Novembre, 6-13-14
Dicembre, 11 Gennaio.
349
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=e2b6
Laboratorio: Fisica Matematica - a.a. 2008/09
Crediti/Valenza: 3
Avvalenza: Cod. MFN0088 ambito F
OBIETTIVI
Il corso si propone di mostrare come applicare semplici modelli fisico-matematici a problemi di interesse
’quotidiano’.
Capacità di rielaborare e confrontare testi e articoli scientifici su problemi illustrati a lezione utilizzando le
tecniche acquisite nei corsi precedenti di carattere fisico matematico.
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso) Insegnamenti fornitori Meccanica classica e Meccanica analitica Insegnamenti di
carattere fisico-matematico della Laurea Triennale
Saper applicare alcuni classici modelli fisico-matematici a problemi specifici
Corsi di carattere fisico-matematico della Laurea Specialistica
Argomento
Ore
Lez.
350
Ore
Esercit.
Ore Laboratorio
Richiami di Meccanica Newtoniana, Leggi di Keplero
2
2
Applicazioni alla determinazione delle orbite dei satelliti artificiali
2
2
Cenni al problema degli n-corpi, Problema ristretto dei tre corpi
2
2
Richiami di meccanica del corpo rigido, Applicazioni alla stabilità dei satelliti artificiali
2
2
Lavoro di gruppo di approfondimento sugli argomenti delle lezioni
16
16
351
Totale
8
16
24
- Richiami di meccanica Newtoniana. Le leggi di Keplero. Applicazioni alla determinazione delle orbite dei
satelliti artificiali. Problema degli n-corpi
- Richiami di meccanica del corpo rigido. Applicazioni alla stabilita’ dei satelliti artificiali.
TESTI
I testi base consigliati per il corso sono: Arnol’d V.I. "Metodi Matematici della Meccanica Classica", Editori
Riuniti, 1979 Pattan B. "Satellite systems : principles and technologies", Van Nostrand Reinhold, New York
1993. Pollard H. "Mathematical Introduction to Celestial Mechanics",1966 Thomson W.T., "Introduction to
space dynamics", Dover, New York, 1986
NOTA
Erogazione didattica tradizionale. Frequenza facoltativa. Orario di ricevimento: mercoledì dalle 10 alle 12
oppure su appuntamento. Modalità di verifica/esame: L’esame consiste nella discussione di un elaborato scritto
presentato dallo studente. Breve curriculum scientifico di Manuelita Bonadies Laureata in Matematica con lode a
Torino il 9.7.1975 Posizione attuale Ricercatore confermato presso il Dipartimento di Matematica
dell’Università di Torino. Periodi trascorsi all’estero - dal 15.10.1982 al 14.10.1983 presso il Department of
Mathematics University of Maryland ( USA) con Borsa di studio C.N.R. - dal 4.01.1985 al 24.02.1985 presso
l’Institute for Mathematics and its Applications, University of Minnesota (USA) in occasione dell’anno su
"Continuum Physics and P.D.E." Interessi di ricerca Meccanica dei continui con particolare riferimento ai
continui sottili, nell’ambito di teorie dirette alla Cosserat e con interesse specifico per problemi connessi alla
formulazione delle equazioni di moto sia nella teoria diretta che in quella dedotta dal caso tridimensionale,
problemi di equilibrio e stabilità per tali continui sottoposti a diverse condizioni di carico ai bordi mediante la
teoria delle biforcazioni, propagazione di onde di discontinuità in tali continui. I risultati di tali ricerche appaiono
in lavori a stampa e in comunicazioni a convegni. Membro del Comitato Organizzatore dei Convegni: - 4th
International Seminar on "Geometry, Continua and Microstructures", Torino, 26-28 ottobre 2000; - 11th
EUROMECH-MECAMAT Conference Mechanics of microstructured solids: cellular materials, fibre reinforced
solids and soft tissues, Torino, 10-14 marzo 2008.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Lunedì
8:00 - 10:00
Lezioni: dal 02/03/2009 al 05/06/2009
Laboratorio: LaTeX - a.a. 2008/09
Codice: M8616
CdL: Laurea in Matematica, Laurea Triennale Interfacoltà in Matematica per la Finanza e l’Assicurazione
352
Crediti/Valenza: 3.04
Avvalenza: Ambito F : 0.38CFU Settore MAT/01-- 0.38CFU Settore MAT/02--0.38CFU Settore
MAT/03--0.38CFU Settore MAT/04--0.38CFU Settore MAT/05--0.38CFU Settore MAT/06--0.38CFU Settore
MAT/07--0.38CFU Settore MAT/08
OBIETTIVI
Acquisire la capacità di utilizzare il LaTeX per la stesura di documenti di carattere tecnico-scientifico e la
Capacità di comporre semplici testi a contenuto scientifico e di utilizzare la documentazione (cartacea e on-line)
dei vari pacchetti disponibili.
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso) Insegnamenti fornitori Utilizzo di base del personal computer ?
Capacità di comporre semplici testi a contenuto scientifico
Potenzialmente tutti
Conoscenza dei siti web dedicati al LaTeX ed al suo sviluppo
Capacità di utilizzo della documentazione del LaTeX
Argomento
Ore di
Lezione
Ore di
353
Laboratorio
Totale ore di carico didattico
Elementi di base del LaTeX. Scrittura di formule.
3
3
6
Organizzazione del testo. Strutture tabellari.
Cross-reference. Bibliografia. Indici. Intestazioni.
4
4
8
Gestione di oggetti grafici.
Cenni al package xypic ed all’applicativo metapost.
2
2
4
Presentazioni al computer: la classe beamer.
2
2
4
Cenni a packages ed estensioni varie del LaTeX
1
1
2
Totale
12
12
24
Elementi di base del LaTeX. Scrittura di formule.
354
Organizzazione del testo. Scritture tabellari. Cross-reference. Bibliografia. Indici. Intestazioni.
Gestione di oggetti grafici. Cenni al package xypic e all’applicativo metapost.
Presentazioni al computer: la classe beamer.
Cenni a packages ed estensioni varie del LaTeX.
TESTI
L. Lamport, LaTeX, a document preparation system, Addison-Wesley (1994) T. Oetiker, et al., The not so short
introduction to LaTeX (manuale reperibile in rete) H. Kopka and P. W. Daly, A Guide to LaTeX, Document
Preparation for Beginners and Advanced Users, Addison-Wesley, 1993.
NOTA
Il Laboratorio di LaTeX è fruibile anche dagli studenti iscritti alla Laurea Triennale Interfacoltà in Matematica
per la Finanza e l’Assicurazione. L’esame è costituito da una prova pratica (composizione di due pagine A4 di
testo a contenuto matematico) e da una prova orale (discussione di quanto prodotto nella prova pratica). Gli
appelli si tengono in date da concordare con il docente.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Mercoledì
9:00 - 12:00
Lezioni: dal 12/11/2008 al 14/01/2009
Nota: ATTENZIONE: il corso non inizia il 5/11/2008, come precedentemente comunicato, ma inizia il
12/11/2008.
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=7dc1
Laboratorio: Maple - a.a. 2008/09
Avvalenza: Cod. MFN0084 ambito F : 0.38CFU settore MAT/01-- 0.38CFU settore MAT/02--0.38CFU settore
MAT/03--0.38CFU settore MAT/04--0.38CFU settore MAT/05--0.38CFU settore MAT/06--0.38CFU settore
MAT/07--0.38CFU settore MAT/08
OBIETTIVI
Acquisire la capacità di utilizzare Maple per lo studio di problemi di carattere tecnico-scientifico-applicativo e la
Capacità di scrivere semplici programmi Maple per affrontare problemi che richiedono l’utilizzazione della
matematica. Conoscenza dei siti web dedicati a Maple ed al suo sviluppo. Capacità di utilizzare la
documentazione di Maple.
PROGRAMMA
355
Pre-requisiti (in ingresso) Insegnamenti fornitori Utilizzo di base del personal computer ?
Capacità di scrivere semplici programmi Maple per affrontare problemi che richiedono l'utilizzazione
della matematica.
Potenzialmente tutti
Conoscenza dei siti web dedicati a Maple ed al suo sviluppo
Capacità di utilizzo della documentazione di Maple
Argomento
Ore di
Lezione
Ore di
Laboratorio
Totale ore di carico didattico
Utilizzazione di Maple come foglio di calcolo interattivo.
3
3
6
Utilizzazione di Maple come come linguaggio di programmazione.
3
3
356
6
Gestione grafica 2-D.
2
2
4
Gestione grafica 3-D e animazioni.
2
2
4
Cenni a packages ed estensioni varie di Maple
2
2
4
Totale
12
12
24
Il materiale didattico presentato a lezione è disponibile presso: la pagina web del docente
TESTI
Manuali di Maple 11 e/o 12 (Getting Starter Guide, User Manual, Introductory Programming Guide, Advanced
Programming Guide)
NOTA
L’esame è costituito da una prova pratica e da una prova orale (discussione di quanto prodotto nella prova
pratica)
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Martedì 14:00 - 17:00
Aula
Lezioni: dal 29/09/2008 al 18/11/2008
Nota: Il corso termina il 18/11/2008
357
Laboratorio: Software per il Calcolo Scientifico Avanzato (LABCS2)
- a.a. 2008/09
Codice: M8614
Crediti/Valenza: 3
OBIETTIVI
Il laboratorio è finalizzato a far acquisire conoscenze avanzate sull’elaborazione numerico-grafica in ambienti
Matlab e su altre librerie scientifiche, con particolare riferimento al software applicativo numerico-grafico.
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso) Insegnamenti fornitori Elementi di base dell'algebra lineare Scuole superiori
Geometria I
Buona conoscenza del linguaggio Matlab
Analisi Numerica I, II Metodi Numerici per la Grafica Computerizzata Complementi Algebra Lineare Numerica
e corsi vari in cui viene utilizzato questo linguaggio
Ore di lezione e di
laboratorio
Matlab: matrix laboratory
Help, memorizzazione dati e sessioni di lavoro
Costruire vettori e matrici e lavorare con le componenti
2
358
2
Scripts e funzioni
Debug
6
6
Iterazioni (for, while) e decisioni (if, switch)
4
4
Grafica
4
4
Comandi di input e output
2
2
Interfaccia grafica creata dall'utente
4
4
Link con programmi FORTRAN e C
2
2
Totale
24
24
TESTI
Dispense fornite dal docente
NOTA
L’esame consiste in una tesina da discutere in aula informatizzata, oppure in una prova scritta (a scelta dello
studente).
ORARIO LEZIONI
359
Giorni
Ore
Aula
Mercoledì
9:00 - 12:00
Lezioni: dal 05/11/2008 al 07/01/2009
Nota: Il corso inizia il 5/11/2008
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=0ed3
Laboratorio: Stage di Matematica a Pra Catinat - a.a. 2008/09
Crediti/Valenza: 3
Avvalenza: Cod. MFN0087 Ambito F
OBIETTIVI
Il laboratorio è finalizzato alla preparazione di interventi didattici degli studenti di matematica allo stage di
matematica di Pra Catinat. Gli studenti durante la prima parte del Laboratorio a Torino prepareranno delle
lezioni e dei problemi su argomenti vari di matematica, da presentare e sottoporre agli allievi delle superiori
coinvolti negli stage di matematica di Pra Catinat; la presentazione costituisce la seconda parte del Laboratorio
Apprendere come trasporre didatticamente un argomento di matematica. Imparare a produrre materiali di
supporto didattico per la presentazione di argomenti di matematica. Imparare a trasformare problemi esistenti in
nuovi problemi da sottoporre ad allievi della secondaria
PROGRAMMA
I corsi della Laurea triennale
Laurea triennale in Matematica
Sapere trasporre un argomento di matematica in forma accessibile a studenti delle superiori
I corsi dell'indirizzo storico-didattico-fondazionale, in particolare: il Corso di Istituzioni di Matematiche
Complementari e di Didattica della Matematica
Competenze in Problem Solving e in Problem Posing
360
Tutti i corsi di matematica
Argomento
Ore
Lez.
Ore Laboratorio
Nozioni ed esempi sulla teoria delle situazioni didattiche
4
4
Problem solving
4
4
Elaborazione di situazioni didattiche e di problemi
10
10
Presentazione di situazioni didattiche e di problemi
6
6
Totale
8
16
24
361
TESTI
Sono resi disponibili presso il centro stampa: - alcuni dei materiali prodotti negli anni precedenti - il CD
contenente l’illustrazione delle attività di Pra Catinat
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Mercoledì
11:00 - 13:00
Lezioni: dal 29/09/2008 al 09/01/2009
Laboratorio: Statistica Matematica - a.a. 2008/09
Codice: MFN0007
Docente: Prof. Maria Teresa Giraudo (Titolare del corso)
Anno: 2° anno
Crediti/Valenza: 2
OBIETTIVI
Il laboratorio si prefigge di far acquisire agli studenti le competenze necessarie alla trattazione di alcuni problemi
di analisi statistica che si presentano nelle applicazioni utilizzando i software Excel e Statistica. Verranno
riesaminate le metodologie statistiche apprese nel corso di Calcolo delle Probabilità e Statistica collegandole
all’utilizzo dei due software.
Lo studente dovrà raggiungere una buona padronanza dei software proposti e dovrà essere in grado di effettuare
un’analisi statistica completa di insiemi di dati.
PROGRAMMA
Argomento
Ore
Lez.
Ore
Esercit.
Ore Laboratorio
362
Introduzione all'utilizzo dei due software;
2
2
Statistica descrittiva e istogrammi;
4
6
Test di ipotesi parametrici e non parametrici;
4
10
Regressione lineare;
2
12
Analisi della varianza a una via;
2
14
Esercizi ricapitolativi
2
363
16
Totale
16
16
Ogni argomento verrà trattato tramite casi esemplificativi. Dopo una breve introduzione che collochi il problema
nel contesto dell’analisi statistica si presenteranno le tecniche automatiche da usarsi per i due software presentati
e si inviteranno quindi gli studenti ad impiegare le metodologie acquisite per l’analisi e l’interpretazione di dati
derivanti da situazioni di interesse applicativo.
TESTI
I testi base consigliati per il corso sono: 1) Appunti del docente, disponibili per gli studenti nella pagina web del
docente nel sito del CCS 2) Manuale di Statistica 3) Middleton, "Analisi statistica con Excel", Apogeo (2004) Il
testo è disponibile presso la Biblioteca "Peano" del Dipartimento di Matematica. Strumentazione: PC presenti
nelle aule informatizzate del Dipartimento di Matematica
NOTA
L’esame si svolge, di norma, come segue: Esame in aula informatizzata durante il quale verrà richiesto agli
studenti di eseguire un’analisi statistica completa di un set di dati fornito.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Martedì
14:00 - 17:00
Mercoledì 14:00 - 17:00
Lezioni: dal 02/03/2009 al 05/06/2009
Nota: Il corso utilizza anche l’Aula Informatizzata n° 03
Laboratorio: Statistica per le Applicazioni - a.a. 2008/09
Codice: M8615
Docente: Prof. Cristina Zucca (Titolare del corso)
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 3
364
OBIETTIVI
Il laboratorio si prefigge di far acquisire agli studenti le competenze di base necessarie per utilizzare il software
SAS nell’analisi statistica di dati di interesse applicativo. Verranno riesaminati i concetti di base riguardanti la
statistica. Le procedure di SAS verranno introdotte riferendosi ai diversi metodi di analisi già introdotti nel corso
di Statistica Matematica I, che sono già note agli studenti. Tale laboratorio dovrebbe trovare la sua collocazione
naturale al secondo o al terzo anno.
Al termine del laboratorio gli studenti dovranno essere in grado di gestire e analizzare statisticamente campioni
di taglia elevata utilizzando il software SAS. L’allievo dovrà raggiungere una buona padronanza del software e
dovrà essere in grado di gestire, modificare insiemi di dati e di svolgere le principali analisi statistiche mediante
la programmazione SAS.
PROGRAMMA
Introduzione all’utilizzo del software SAS;
Test di ipotesi;
Analisi della varianza a una o più vie;
Regressione lineare.
Ogni argomento verrà trattato tramite casi esemplificativi. Dopo una breve introduzione che collochi il problema
nel contesto dell’analisi statistica si presenteranno le tecniche automatiche da usarsi e si inviteranno quindi gli
studenti ad impiegare le metodologie acquisite per l’analisi e l’interpretazione di dati derivanti da situazioni di
interesse applicativo.
Pre-requisiti (in ingresso) Insegnamenti fornitori Conoscenze di base di statistica Statistica Matematica I
Analisi statistica di dati
Svolgimento di stage o tesi finale della Laurea Triennale
Gestione di dati
Corsi di tipo statistico nella Laurea Magistrale
Argomento
Ore
Lezione
365
Introduzione all'utilizzo del software SAS;
3
3
3
3
Test di ipotesi;
3
3
Analisi della varianza a una via e regressione lineare; utilizzo dell'analyst del SAS.
3
3
Totale
12
12
TESTI
Manuale del SAS e materiale fornito a lezione.
NOTA
Attenzione!!! Venendo incontro a una richiesta di competenze professionali giuntaci da varie aziende, il
Laboratorio di Statistica per le applicazioni utilizzerà il software SAS. Modalità di verifica/esame L’esame si
svolge, di norma, come segue: colloquio orale. Agli studenti (raggruppati in gruppi di max 2 persone) verrà
assegnato un file di dati relativi a un problema di interesse applicativo. Gli studenti dovranno impiegare le
metodologie apprese e il software SAS per l’analisi e l’interpretazione di tali dati. Gli studenti dovranno quindi
svolgere una breve relazione sul lavoro fatto evidenziando le problematiche, le metodologie utilizzate e le
conclusioni a cui sono giunti. La prova orale consisterà nella presentazione e discussione di tale relazione.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Mercoledì
9:00 - 12:00
Lezioni: dal 05/11/2008 al 07/01/2009
Nota: Il corso inizia il 5/11/2008
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=c15d
366
Laboratorio: Tecniche Multimediali in Comunicazione Scientifica a.a. 2008/09
Codice: M8617
Avvalenza: Ambito F : 0.38CFU Settore MAT/01-- 0.38CFU Settore MAT/02--0.38CFU Settore
MAT/03--0.38CFU Settore MAT/04--0.38CFU Settore MAT/05--0.38CFU Settore MAT/06--0.38CFU Settore
MAT/07--0.38CFU Settore MAT/08
OBIETTIVI
Far sperimentare le tecniche e i problemi specificamente connessi ad un uso efficace di computer e
videoproiettore nella presentazione di argomenti matematici, in situazioni caratterizzate da (a) pubblico
eterogeneo e occasionale (b) tempo ristretto (ad esempio nella discussione della tesi, in conferenze,
comunicazioni ecc.).
Saranno affrontate le questioni tecniche relative all’uso del software, ma soprattutto questioni più generali di
carattere comunicativo: organizzazione del materiale da presentare, griglia, uso delle immagini e delle
animazioni, coordinazione fra l’esposizione orale e il contenuto delle slides, errori più comuni. Nel corso del
laboratorio, i partecipanti dovranno realizzare (individualmente o a coppie) una presentazione PowerPoint su un
argomento di carattere matematico che sarà concordato con gli interessati, e che potrà anche (a scelta dello
studente) coincidere (in tutto o in parte) con l’argomento della tesi di laurea.
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso) Insegnamenti fornitori Uso a livello elementare di un word processor
Saper realizzare una presentazione con PowerPoint o software equivalente.
Prova finale
Comprendere gli aspetti comunicativi rilevanti ai fini delle scelte di stile e di impostazione grafica della
presentazione
Prova finale
Riconoscere pregi e difetti di una presentazione, e saper usare gli strumenti appropriati per migliorarne
l'efficacia comunicativa.
Prova finale
367
Argomento
Ore Laboratorio
Presentazione dell’attività. Prima esercitazione sull’impostazione del messaggio e del layout.
4
4
Griglia di impaginazione, scelta dei carattere e degli altri elementi grafici. Esempi ed esercizi.
4
4
Strategia generale di organizzazione della presentazione. Inserimento di immagini e formule matematiche.
4
4
Esame e discussione sui primi abbozzi prodotti dai partecipanti.
4
4
Tecniche per migliorare l'efficiacia comunicativa. Uso delle animazioni e delle transizioni fra slides,
costruzione di mappe concettuali
4
4
Esame dei lavori prodotti e discussione sugli aspetti emersi
4
4
Totale
24
24
TESTI
Giovanni Carrada, Comunicare la scienza. Kit di sopravvivenza per ricercatori, Sironi 2005 (testo disponibile
anche gratuitamente su Internet) http://www.mestierediscrivere.com http://it.wikipedia.org
http://en.wikipedia.org
368
NOTA
- LIMITAZIONI: Il laboratorio è accessibile a tutti gli studenti della laurea triennale, ma poiché il numero di
postazioni disponibili è limitato, se ci dovessero essere troppe richieste (più di 30) la precedenza sarà data agli
studenti del terzo anno della laurea triennale. - MODALITA’ DI ESAME: valutazione (senza voto) della
presentazione prodotta durante il laboratorio.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Venerdì 14:00 - 17:00
Aula
Lezioni: dal 02/03/2009 al 05/06/2009
Laboratorio: Teoria Algebrica degli Automi Cellulari (DM 509)
Codice: MFN0089
Tipologia: D.M. 509
Anno: 2° anno
Crediti/Valenza: 3
OBIETTIVI
La finalità principale è quella di presentare agli studenti, in modo organico e con particolare attenzione agli
aspetti algebrici e computazionali, un campo di ricerca ancora poco noto nell’ambito matematico: gli automi
cellulari (abbreviato AC). Il corso ha un obiettivo formativo essenziale: mostrare l’emegere della complessità a
partire da sistemi di enti assai semplici, che agiscono in parallelo, tutti allo stesso modo e con conoscenza
dell’ambiente limitata a un piccolo intorno.
Gli studenti saranno in grado di affrontare la vastissima letteratura esistente sugli AC. Sapranno utilizzare e
scrivere programmi per la creazione di sitemi dinamici basati sugli AC. Avranno compreso appieno l’importanza
della relazione LEGGE LOCALE - LEGGE GLOBALE. Avranno appreso importanti connessioni tra gli AC e
alcune notevoli strutture algebriche, per esempio l’algebra delle matrici circolanti.
PROGRAMMA
Italiano
Introduzione agli automi cellulari: topologia, legge locale e legge globale.
Le leggi di Wolfram.
Leggi totalistiche e semitotalistiche.
Life e gli automi bidimensionali.
Il DNA di un automa cellulare.
369
Automi additivi.
Studio approfondito dell'algebra delle matrici circolanti e delle sue relazioni con gli automi additivi.
Automi invertibili, giardini dell'Eden, periodi.
Evoluzione genetica di automi.
Applicazioni degli automi cellulari.
English
Cellular Automata: topology, local and global laws.
Wolfram laws.
Totalistic and semitotalistic laws.
Life and 2D automata.
The DNA of a cellular automata.
Additive automata.
Detailed study of the algebra of circulant matrices.
Invertible automata, Eden gardens, periods.
Automata genetic evolution.
Applications of cellular automata.
.
TESTI
Additive cellular automata: theory and applications, Parimal Pal Chaudhuri ... (et al.), 1997, Biblioteca Peano:
68Q 1997 CHAU A new kind of science, Stephen Wolfram, 2002, Biblioteca Peano : 37B 2002 WOLF
Laboratorio: Teoria Algebrica degli Automi Cellulari - a.a. 2008/09
Crediti/Valenza: 3
Avvalenza: Cod. MFN0089 Ambito F
OBIETTIVI
La finalità principale è quella di presentare agli studenti, in modo organico e con particolare attenzione agli
aspetti algebrici e computazionali, un campo di ricerca ancora poco noto nell’ambito matematico: gli automi
cellulari (abbreviato AC). Il corso ha un obiettivo formativo essenziale: mostrare l’emegere della complessità a
partire da sistemi di enti assai semplici, che agiscono in parallelo, tutti allo stesso modo e con conoscenza
dell’ambiente limitata a un piccolo intorno.
370
Gli studenti saranno in grado di affrontare la vastissima letteratura esistente sugli AC. Sapranno utilizzare e
scrivere programmi per la creazione di sitemi dinamici basati sugli AC. Avranno compreso appieno l’importanza
della relazione LEGGE LOCALE - LEGGE GLOBALE.
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso) Insegnamenti fornitori Nessuno E' sufficiente la Laurea Triennale
Teoria algebrica, logica ed evoluzione degli AC.
Ci sarà materiale per ricerche e tesi.
Argomento
Ore
Lez.
Ore
Esercit.
Ore
Carico Didattico
AC additivi, relazioni di ricorrenza, serie algebriche, sequenze automatiche.
6
371
Computazione universale negli AC.
6
Evoluzione di AC.
6
Modelli biologici e fisici basati sugli AC.
6
TOTALE
24
24
TESTI
Additive cellular automata : theory and applications, Parimal Pal Chaudhuri ... (et al.), 1997, Biblioteca Peano :
68Q 1997 CHAU A new kind of science, Stephen Wolfram, 2002, Biblioteca Peano : 37B 2002 WOLF N.B.
Durante il corso verrà fornita una vasta bibliografia sugli argomenti trattati.
NOTA
Il corso non richiede particolari prerequisiti, è sufficiente la Laurea in Matematica (o in Fisica, o in Informatica).
Quanto appreso potrà essere utilizzato in tesi di Laurea Magistrale.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Martedì
8:00 - 11:00
Aula
Lezioni: dal 02/03/2009 al 05/06/2009
Laboratorio: Teoria dei Numeri - Non attivato nell’a.a. 2008/09
Codice: M8618
372
Crediti/Valenza: 3
OBIETTIVI
Imparare ad utilizzare il programma di pubblico dominio PARI/Gp. Usare PARI/gp per una serie di esplorazioni
nel campo delle frazioni continue e di argomenti ad esse correlati.
Lo studente apprende l’uso di un formidabile strumento di ricerca (gratuito): PARI/Gp. Scopre alcune cose
fondamentali sulla approssimazione dei numeri reali, per esempio sulla particolarità delle irrazionalità
quadratiche.
PROGRAMMA
In ogni incontro si approfondisce la conoscenza di PARI/Gp.
Gli argomenti principali trattati sono tutti visti in rapporto alle frazioni continue:
Approssimazione dei numeri reali, irrazionalità quadratiche, equazione di Pell, ricorrenze lineari, fattorizzazione
di interi, approssimazione diofantea.
NOTA
Il corso inizia lunedì 28 aprile 2008.
ORARIO LEZIONI
Giorni Ore
Aula
Lunedì 9:00 - 11:00
Lezioni: dal 03/03/2008 al 13/06/2008
Laboratorio: Visualizzazione Geometrica-attivato nell’a.a 2009-2010
Codice: MFN0134
Docente:
Recapito: []
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 2
373
Letteratura Matematica (DM 509)
Docente: Prof. Clara Silvia Roero (Titolare del corso), Prof. Livia Giacardi (Titolare del corso)
Tipologia: D.M. 509
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 5
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=faf0
Logica Matematica (DM 509)
Codice: MFN0159
Docente: Prof. Domenico Zambella (Titolare del corso), Prof. Flavio Previale (Esercitatore)
Recapito: 0116702931 []
Tipologia: D.M. 509
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 5
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=59cc
Logica Matematica - a.a. 2008/09
Codice: MFN0159
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 5
OBIETTIVI
Per il corrispettivo di 2CFU (18 ore) il corso si propone di illustrare la natura e il ruolo della Logica, intesa come
principale strumento del ragionamento matematico. Viene messo in luce il duplice aspetto, intuitivo e formale, di
tale strumento, ossia come il naturale significato intuitivo (astratto) delle costanti logiche di base assicuri, di per
sè, il "rigore informale" del comune ragionamento matematico, ma, al tempo stesso, sia concretamente
rappresentabile attraverso un insieme di regole "formali" di inferenza, il cui utilizzo permette di trasformare il
ragionamento matematico in una sequenza di passaggi puramente formali (quindi, in linea di principio,
controllabili meccanicamente). Per i rimanenti 3 CFU (27 ore), il corso e’ dedicato a temi di base della Logica
Matematica, da intendersi come studio della Logica nei suoi aspetti matematici, con particolare riguardo per
quelli interagenti con la matematica nel suo complesso.
Gli obiettivi sono strettamente inerenti alle finalità. In particolare l’obiettivo principale e’ quello di far sì che gli
studenti acquistino familiarità con il metodo della "deduzione naturale", il quale, tra i vari formalismi logistici
esistenti, e’ quello che meglio permette il recupero del genuino significato intuitivo di una costante logica a
partire dalla sua rappresentazione mediante regole formali.
374
PROGRAMMA
astrattoAnalisi Matematica I e II, Algebra I, Fondamenti della Matematica
Sicurezza nell'uso del "rigore informale" nelle dimostrazioni matematiche
Conoscenza di alcuni elementi di Logica Matematica
Argomento
Ore
Lezione
Deduzione naturale e altri sistemi logistici
18
18
Linguaggi e teorie formali
12
12
Temi classici di Logica Matematica
8
8
Elementi di semantica
7
7
Totale
45
375
4
I PARTE
Primi elementi di formalizzazione del linguaggio matematico. Generalità sui sistemi formali. Significato degli
operatori logici fondamentali e regole logiche. Metodo della deduzione naturale. Il principio del TE e la logica
classica. Dimostrazione di relazioni logiche notevoli mediante il metodo della deduzione naturale. Altri sistemi
logistici e la loro equivalenza con la deduzione naturale.
Logica con uguaglianza. Morfologia e sintassi dei linguaggi del I e del II ordine (cenni). Teorie formali.
Estensioni per definizione di teorie e loro proprietà di conservatività (cenni della relativa dimostrazione).
Semantica della logica classica proposizionale. Tavole di verità. Forme normali disgiuntive e congiuntive.
Teorema di validità e completezza per la logica proposizionale (dimostrazione di Kalmar).
II PARTE
Proprietà sintattiche dei linguaggi del I ordine. Interpretazioni fra teorie e relativo teorema fondamentale.
Hauspatz di Gentzen sull’eliminabilità della regola di taglio dai sistemi analitici e sue prime conseguenze.
Teoremi di Hilbert-Ackermann e Herbrand. Trasformate di Skolem e Herbrand e le loro proprietà caratteristiche.
Semantica della logica classica del I e del II ordine. Valutazioni e valutazioni parziali. Strutture del i e del II
ordine. Teorema generale di validità e completezza. Teorema di compattezza.
Generalità sugli algoritmi di dimostrazione. Tavole analitiche.
TESTI
I Quaderni Didattici curati dal Docente sono disponibili presso il Centro Stampa del Dipartimento di
Matematica.
NOTA
Modalità di verifica/esame L’esame si svolge, di norma, come segue: in forma di prova orale.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Lunedì
10:00 - 12:00
Mercoledì
9:00 - 11:00
Giovedì
9:00 - 10:00
Lezioni: dal 29/09/2008 al 09/01/2009
Logica Matematica Complementi - a.a. 2008/09
Codice: MFN0160
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 2
376
OBIETTIVI
Gli obiettivi sono strettamente inerenti alle finalita’. I temi trattati hanno inoltre lo scopo indiretto di mostrare
come la Logica Matematica permetta di ottenere una rappresentazione generale e unitaria della Matematica,
particolarmente idonea per approfondimenti riguardanti i suoi aspetti strutturali
Il corso si propone di ampliare lo svolgimento di temi di base della Logica Matematica, iniziato nella seconda
parte del corso omonimo.
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso) Insegnamenti fornitori Nozioni logiche di base Logica Matematica
Conoscenza di alcuni dei principali sviluppi della Logica Matematica
Corsi piu' avanzati di Logica Matematica
Argomento
Ore
Lezione
Temi classici di Logica Matematica
8
8
Algoritmi di dimostrazione
10
10
Totale
18
18
377
Ulteriori conseguenze del teorema di eliminazione della regola di taglio dai sistemi analitici: teoremi di
interpolazione di Craig e di definibilità di Beth. Teorema di connessione. Eliminazione delle regole strutturali dai
sistemi analitici.
Algoritmi di dimostrazione classica: tavole analitiche e tavole analitiche connesse. Procedure di saturazione e
loro completezza. Lemma di unificazione. Confronto del metodo delle tavole analitiche connesse con il metodo
della trasformata di Herbrand e alcuni suoi raffinamenti.
TESTI
Dipartimento di Matematica.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Lunedì
10:00 - 12:00
Mercoledì
9:00 - 11:00
Giovedì
9:00 - 10:00
Lezioni: dal 29/09/2008 al 09/01/2009
Matematica Applicata alle Reti Neurali - a.a. 2008/09
Codice: MFN0161
Docente: Prof. Rossella Cancelliere (Titolare del corso)
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 5
Avvalenza: 5CFU Ambito G così suddivisi: 2CFU Settore MAT/06, 1CFU Settore MAT/02, 2CFU Settore
MAT/08
OBIETTIVI
L’obiettivo è quello di far raggiungere allo studente una conoscenza critica dei principali modelli di reti neurali e
di consentirgli il loro utilizzo per la risoluzione dei principali problemi in questo ambito.
Il corso di propone di far acquisire le competenze di base relative ai principali modelli di reti neurali sia dal
punto di vista teorico-matematico che dal punto di vista applicativo e del loro utilizzo.
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso)Insegnamenti fornitoriFondamenti di calcolo differenziale in più variabiliAnalisi
Matematica I, II, IIIFondamenti di interpolazione e approssimazioneAnalisi Numerica I, IIUso
dell'ambiente Matlab LaboratorioLabcs1
378
Uso delle reti neurali nell'ambito dell'approssimazione di funzioni
Biomatematica
Uso delle reti neurali in problemi di ottimizzazione
Labor. di eq. diff. per le scienze applicate
Metodi di Approssimazione
Argomento
Ore
Lezione
Ore
Esercitazione
Concetti introduttivi: definizione e significato di rete neurale, struttura dell'elemento base, il neurone.
Principali architetture di rete, principi basilari di rappresentazione della "conoscenza" e principali regole di
apprendimento, di tipo guidato o meno.
4
4
8
Percettrone e suo teorema di convergenza. Definizione di una rete neurale multilivello a propagazione in avanti,
teorema di uniforme convergenza a funzioni continue su un insieme compatto.
4
4
8
Algoritmo di addestramento di retropropagazione dell'errore, regola delta, regola delta generalizzata,
principali problemi inerenti l'ottimizzazione di una rete e dei suoi parametri, pregi e limiti di questo tipo di
approssimazione funzionale.
4
6
10
Definizione di una rete neurale a funzioni radiali, teorema di interpolazione di Micchelli, addestramento
attraverso la tecnica della matrice pseudoinversa, tecniche di clusterizzazione dei centri, tecniche di
apprendimento ibride, confronto tra reti neurali a funzioni radiali e reti neurali a propagazione in avanti.
379
4
1
5
Modello di Hopfield e suo funzionamento come memoria associativa, definizione della funzione "costo" o
"energia", teorema di convergenza della rete a stati stabili e dimostrazione; uso della rete neurale per la
risoluzione di problemi di ottimizzazione. Self Organizing Maps (SOM), loro struttura e relazione con le
tecniche di clustering.
4
4
8
4
2
6
Totale
24
21
45
Concetti introduttivi: definizione e significato di rete neurale, struttura dell'elemento base, il neurone;
principali architetture di rete, principi basilari di rappresentazione della "conoscenza" e principali regole di
apprendimento, di tipo guidato o meno; percettrone e suo teorema di convergenza. Definizione di una rete
neurale multilivello a propagazione in avanti, teorema di uniforme convergenza a funzioni continue su un
insieme compatto in Â , algoritmo di addestramento di retropropagazione dell'errore, regola delta, regola
delta generalizzata, principali problemi inerenti l'ottimizzazione di una rete e dei suoi parametri, pregi e
limiti di questo tipo di approssimazione funzionale. Definizione di una rete neurale a funzioni radiali, teorema di
interpolazione di Micchelli, addestramento attraverso la tecnica della matrice pseudoinversa, tecniche di
clusterizzazione dei centri, tecniche di apprendimento ibride, confronto tra reti neurali a funzioni radiali e reti
neurali a propagazione in avanti. Modello di Hopfield e suo funzionamento come memoria associativa,
definizione della funzione "costo" o "energia", teorema di convergenza della rete a stati stabili e dimostrazione;
uso della rete neurale per la risoluzione di problemi di ottimizzazione. Self Organizing Maps (SOM), loro
struttura e relazione con le tecniche di clustering.
TESTI
S. HAYKIN, Neural Networks: a Comprehensive Foundation, 2 ed., IEEE Press, 1999
NOTA
L’esame consiste in una prova orale integrata dalla discussione delle esercitazioni svolte in laboratorio
ORARIO LEZIONI
380
Giorni
Ore
Aula
Martedì
11:00 - 13:00
Mercoledì
16:00 - 18:00
Giovedì
16:00 - 18:00
Lezioni: dal 17/04/2008 al 12/06/2008
Nota: Le lezioni si terrano presso il Dip. di Informatica - Consultare il sito docente:
http://www.di.unito.it/~cancelli/Myteach.htm
Si possono contemplare inizi ritardati o termine anticipato per coloro che avesero lezione a Palazzo Campana il
martedì dalle 9 alle 11 o dalle 13 in poi.
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=3ca5
Matematica Applicata alle Reti Neurali Complementi - Non attivato
nell’a.a. 2008/09
Codice: M8586
Docente:
Recapito: []
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 2
Matematica Discreta - Non attivato nell’a.a. 2008/09
Codice: M8505
Docente: Prof. Margherita Roggero
Anno: 1° anno
Crediti/Valenza: 7
OBIETTIVI
Conoscere ed usare in modo appropriato il linguaggio della teoria degli insiemi per formulare affermazioni e
costruire in modo rigoroso semplici dimostrazioni. Saper riconoscere le principali strutture algebriche (gruppi,
campi, anelli, domini euclidei, domini di integrità) e le loro proprietà nei casi più concreti (campi numerici,
gruppi di funzioni biunivoche, l’anello degli interi, anelli di polinomi su un campo, anello di classi di resto).
Conoscere e utilizzare il linguaggio degli insiemi. Saper risolvere esercizi di calcolo combinatorio. Lavorare con
i vari anelli e campi numerici, in particolare in Z e in C. Eseguire calcoli in anelli di classi di resto e saper
risolvere congruenze e sistemi di congruenze. Conoscere i principali risultati relativi alla fattorizzazione dei
polinomi su Q, R e C.
PROGRAMMA
Il linguaggio degli insiemi: insiemi ed elementi; sottoinsiemi, unione intersezione, complementare, insiemi delle
parti e partizioni, prodotto cartesiano.Corrispondenze e relazioni: relazioni d’ordine e di equivalenza. I numeri
naturali e l’induzione. Generalità sulle funzioni. cardinalità di un insieme.Elementi di calcolo combinatorio:
381
permutazioni, disposizioni semplici e con ripetizione; combinazioni semplici e con ripetizione. I
binomiali.L’anello dei numeri interi: la divisione euclidea; il teorema fondamentale dell’aritmetica..Gli anelli
delle classi di resto; congruenze e sistemi di congruenze lineari; la funzione di Eulero. Il campo dei numeri
razionali e il campo dei numeri reali: notazione posizionale dei numeri; cardinalità; generalità sugli anelli di
polinomi; numeri algebrici e trascendenti. I numeri complessi: notazione algebrica e notazione trigonometrica o
polare. Il teorema fondamentale dell’algebra per i numeri complessi e per i numeri reali.; radici e potenze
n-esime.
TESTI
Appunti ed Esercizi di Matematica Discreta (a cura del docente) liberamente scaricabili (si veda Materiale
Didattico nella presente pagina).
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=ea64
Matematica Finanziaria e Attuariale - a.a. 2008/09
Codice: MFN0162
Docente: Prof. Giulio Diale (Titolare del corso)
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 5
SSD: SECS-S/06 - metodi matematici dell’economia e delle scienze att. e finanz.
OBIETTIVI
Nel corso si possono riconoscere due parti distinte e complementari. Nella prima parte, il corso si propone di
dare allo studente le conoscenze di base delle operazioni finanziarie, con applicazioni ai piani di ammortamento
e costituzione, ai contratti rateali e ai prestiti obbligazionari. Nella seconda parte si introduce lo studente ai
contratti assicurativi elementari legati alla durata di vita di un individuo, attraverso le definizioni di premio e di
riserva matematica.
Al termine del corso lo studente dovrebbe conoscere e saper dare le diverse definizioni del calcolo finanziario ed
attuariale, precisandone i contesti applicativi di riferimento, e sapere effettuare i calcoli relativi a semplici
problemi sia in forma analitica sia in forma numerica, avvalendosi di calcolatrice tascabile e tavole attuariali.
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso) Insegnamenti fornitori Progressioni aritmetiche e geometriche Analisi Matematica I
Serie numeriche Analisi Matematica II Relazioni di ricorrenza Matematica Discreta Calcolo delle Probabilità
Calcolo delle Probabilità I
Calcoli finanziari elementari
382
Matematica Finanziaria e Attuariale Complementi
Analisi contratti rateali e obbligazioni
Calcoli attuariali di premi e riserve matematiche
Argomento
Ore
Lezione
Ore
Esercitazione
Leggi finanziarie ad una variabile. Intensità istantanea di interesse. Scindibilità. Teorema di Cantelli.
5
3
8
Definizione di rendita e funzione valore W(t,i). Calcoli usuali sulle rendite.
3
2
5
Piani d'ammortamento e di costituzione di capitale.
3
2
5
Operazioni finanziarie e loro classificazione. Criteri di scelta tra investimenti: VAN, TIR, PBT, DPBT,Adjusted
Present Value (APV).
3
2
5
Vendite rateali e leasing, TAN e TAEG. Reddito fisso.
383
2
2
Variabile aleatoria durata di vita e probabilità di eventi collegati. Durata media di vita residua. Punto di Lexis.
3
2
5
Premio unico in caso di vita, in caso di morte e per assicurazioni miste. Premio annuo.
5
2
7
Riserva matematica in forma prospettiva e retrospettiva. Premio naturale e premio di riserva.
3
2
5
Formule di ricorrenza di Fouret, Kanner, Homans e scomposizione del premio in premio di risparmio e premio di
rischio.
2
1
3
Totale
27
18
45
TESTI
Dipartimento di Matematica e sul sito del corso http://matematica.campusnet.unito.it/cgi-bin/corsi.pl Il testo base
consigliato per il corso è: E. Pitacco, Elementi di Matematica delle Assicurazioni, Edizioni LINT, Trieste, 2002,
capp. 5-7 Corso on line di Matematica e Tecnica Attuariale disponibile al link:
http://www.farcampus.unito.it/matematica_attuariale/corso.aspx
NOTA
L’insegnamento di Matematica Finanziaria e Attuariale è mutuato dall’insegnamento di Matematica Finaziaria
INT0006 del Corso di Studi in Matematica per la Finanza e l’Assicurazione. E’ possibile ridurre a 5 CFU il
carico di lavoro del corso sia eventualmente sostituire una parte di calcoli finanziari con i concetti di base della
Matematica Attuariale. Per ulteriori informazioni scrivere a [email protected]
384
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Lunedì
8:00 - 10:00
Martedì
10:00 - 12:00
Mercoledì
8:00 - 9:00
Lezioni: dal 29/09/2008 al 09/01/2009
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=c777
Matematica Finanziaria e Attuariale Complementi - a.a. 2008/09
Codice: MFN0163
Docente: Prof. Giulio Diale (Titolare del corso)
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 2
SSD: SECS-S/06 - metodi matematici dell’economia e delle scienze att. e finanz.
OBIETTIVI
Il corso si propone di dare allo studente le abilità di base nell’impiego di excel per realizzare significative
applicazioni finanziarie ed attuariali, quali piani di ammortamento e costituzione, contratti rateali, calcolo di
premi e riserve dei principali contratti assicurativi.
Al termine del corso lo studente dovrebbe conoscere e saper realizzare in autonomia modelli excel su piani
d’ammortamento a tassi fissi e variabili, piani di costituzione, analisi di investimenti e finanziamenti in forma
numerica e grafica, calcolo di premi e riserve, gestione del fondo di un portafoglio di contratti assicurativi
omogenei, corredati di idonea documentazione.
PROGRAMMA
Pre-requisiti in ingresso e competenze minime in uscitaPre-requisiti (in ingresso)Insegnamenti fornitoriCalcoli
finanziari ed attuariali di baseMatematica Finanziarie e Attuariale
Funzioni finanziarie, matematiche e grafiche di Excel
Compilazione di Tesi di Laurea
Implementazione di modelli finanziari ed attuariali
385
Argomento
Ore
Lezione
Ore Laboratorio
Rendite a rate costanti e tavole finanziarie.
1
2
3
Piani d'ammortamento e di costituzione di capitale.
1
2
3
Criteri di scelta tra investimenti: VAN, TIR, PBT, DPBT,Adjusted Present Value (APV).
1
2
3
Vendite rateali e leasing, TAN e TAEG. Reddito fisso.
1
1
2
Durata media di vita residua. Punto di Lexis.
1
1
Premio unico in caso di vita, in caso di morte e per assicurazioni miste. Premio annuo.
1
2
386
3
Riserva matematica in forma ricorrente.
1
2
3
Totale
6
12
18
Realizzazione in excel, con eventuale impiego di macro, dei principali modelli finanziari ed attuariali, quali, ad
esempio: piani di ammortamento a tassi fissi e variabili, piani di costituzione di capitale, analisi di contratti di
leasing e di titoli obbligazionari, calcolo di premi assicurativi e di riserve matematiche.
TESTI
Appunti del docente, disponibili in formato elettronico come materiale didattico del corso.
NOTA
Modalità d’esame L’esame si svolge, di norma, come segue: realizzazione dei modelli impostati a lezione,
completa di documentazione e di alcuni elementi di generalità suggeriti, verificati in itinere dal docente,
attraverso un sistema di pianificazione e controllo adatto allo scopo. La valutazione terrà conto della completezza
del lavoro svolto, del livello di autonomia dimostrato, della tempestività nella consegna dei lavori.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Nota: Le lezioni iniziano al termine del corso Matematica Finanziaria e Attuariale negli stessi orari.
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=0acc
Matematiche Complementari (DM 509)
Docente: Prof. Ferdinando Arzarello (Titolare del corso), Dott. Cristina Sabena (Esercitatore)
Tipologia: D.M. 509
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 5
387
Matematiche Elementari p.v.s. (DM 509)
Codice: MFN0090 / MFN0091 / S8518
Tipologia: D.M. 509
Anno: 2° anno
Crediti/Valenza: 7
Matematiche Elementari p.v.s. - a.a. 2008/09
Crediti/Valenza: 7
OBIETTIVI
- Presentare gli aspetti teorici e fondazionali di alcuni importanti capitoli della teoria dei numeri mostrando le
connessioni con altri rami della matematica e delle scienze in genere - Illustrare l’evoluzione storica dei concetti
e dei metodi - Avviare alla ricerca attraverso lo studio e l’analisi di articoli e attraverso esercizi e problemi
L’allievo deve essere in grado di - padroneggiare dal punto di vista teorico gli argomenti di teoria elementare dei
numeri affrontati nel corso - usare le conoscenze acquisite per risolvere esercizi e problemi - conoscere
l’evoluzione storica dei principali concetti e metodi presentati
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso)Insegnamenti fornitoriConoscenze di base di algebra e di analisiAlgebra 1 Analisi 1
Conoscenza degli aspetti teorici, fondazionali e storici di alcuni importanti capitoli della teoria dei numeri
Storia delle matematiche
388
Fondamenti delle matematiche
Argomento
Ore
Lez.
Ore
Esercit.
Ore
Seminario
Le origini arcaiche; la Scuola pitagorica; La scoperta delle grandezze incommensurabili e il problema di Teodoro
di Cirene; Euclide: l’algoritmo euclideo; infinità dei numeri primi; numeri perfetti; Archimede e il problema dei
buoi; Diofanto: algebra sincopata, equazioni indeterminate; Aryabhata e le equazioni diofantee lineari; Bhaskara
II e il metodo ciclico per risolvere equazioni del tipo x2 =Ny2 + 1 ; Dagli arabi a Fibonacci; P. de Fermat:
metodo della discesa infinita, dai numeri perfetti al piccolo teorema di Fermat, lettere a Carcavi, a Mersenne e a
Frenicle de Bessy; Alcuni contributi di Lagrange, di Euler e di Gauss.
10
1
11
Introduzione alle frazioni continue. L'algoritmo di Euclide e le frazioni continue sviluppo di razionali.
Ridotte e loro proprietà. Equazioni diofantee lineari e frazioni continue. Sviluppo in frazioni continue di
irrazionali quadratici. Ridotte di una frazione continua illimitata. Teoremi di approssimazione. Interpretazione
geometrica delle frazioni continue. L’equazione x2 = ax + 1 , digressioni sulla sezione aurea. Frazioni continue
periodiche pure. Teoremi. Irrazionali quadratici ridotti. Rappresentazione grafica del carattere periodico dei
quozienti completi.Il teorema di Lagrange. La frazione continua sviluppo di √N (N >0, non quadrato perfetto).
L'equazione di Pell x2_ Ny2 = +- 1. Teorema di Legendre sull'equazione x2 - Ny2 = - 1. Come
ottenere le altre soluzioni dell'equazione di Pell a partire da quella minima.
8
4
389
2
14
Alcuni teoremi relativi all'approssimazione diofantea. Il teorema di Hurwitz.
4
1
1
6
Introduzione alle congruenze. Loro proprietà. Congruenze lineari. Il piccolo teorema di Fermat: la dimostrazione
di J. Ivory, la generalizzazione di Euler. Proprietà della funzione phi(m) di Euler. Il teorema cinese dei resti.
Teorema di Euler e teorema di Wilson. Le congruenze e i criteri di divisibilità. Congruenze algebriche.
Congruenze relative a un modulo primo. Residui k-esimi rispetto al modulo p, residui quadratici: generalità.
Radici primitive, indici e loro utilizzo. I residui quadratici, il simbolo di Legendre per la caratteristica quadratica
di un intero a rispetto a un primo p. Criterio di Euler per la caratteristica quadratica di a. Il lemma di Gauss. La
legge di reciprocità quadratica.
I fondamenti dell'aritmetica secondo Dedekind e Peano.
8
4
6
4
1
2
14
390
5
6
TESTI
I testi base consigliati per il corso sono: H. DAVENPORT, Aritmetica superiore. Un’introduzione alla teoria dei
numeri, Bologna, Zanichelli, 1994 C.D. OLDS, Frazioni continue, Bologna, Zanichelli, 1963 K. ROSEN,
Elementary Number Theory and its Applications, Addison-Wesley, 1993 A. WEIL, Number Theory. An
Approach through History from Hammurabi to Legendre, Boston, Birkhäuser 1983. È consigliato l’utilizzo del
seguente materiale per approfondimenti e integrazioni: G.H. HARDY, E. M. WRIGHT, An introduction to the
theory of numbers, Oxford, Clarendon Press, 1960 L. E. DICKSON, History of the theory of numbers,
Washington, Carnegie Institution of Washington, 1919-1923, 3 voll. C. BREZINSKI, History of Continued
Fractions and Padé Approximants, Springer-Verlag, 1991 Infine sono di seguito indicati siti internet di interesse:
http://www.numbertheory.org/ntw/ http://alpha01.dm.unito.it/personalpages/cerruti/
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Indexes/Number_Theory.html
NOTA
Modalità di esame: l’esame si svolge, di norma, come segue: Seminario tenuto dallo studente su temi
complementari alle lezioni scelti in accordo col docente Prova orale in cui si mira a valutare le competenze
teoriche sulla materia del corso, quelle storiche e la capacità di applicarle a esercizi o problemi.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Lunedì
11:00 - 13:00
Martedì
9:00 - 11:00
Giovedì
10:00 - 11:00
Lezioni: dal 02/03/2009 al 05/06/2009
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=ee6b
Meccanica Analitica - a.a. 2008/09
Docente: Prof. Sergio Benenti (Titolare del corso)
Crediti/Valenza: 7
391
PROGRAMMA
Elementi di calcolo sulle varietà differenziabili:
Campi vettoriali, sistemi dinamici, flussi.
Forme differenziali.
Varietà simplettiche e di Poisson.
Fibrati cotangenti.
Sistemi differenziali, distribuzioni, teoremi di Frobenius e Chow.
Connessioni.
Varietà riemanniane.
Meccanica lagrangiana:
Equazioni di Lagrange e applicazioni.
Meccanica hamiltoniana:
Equazioni di Hamilton.
Equazione di Hamilton-Jacobi.
Integrali completi. Sistemi integrabili. Teorema di Arnold-Liouville.
Separazione delle variabili.
Applicazioni alla meccanica classica e alla relatività generale.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Lunedì
16:00 - 18:00
Giovedì
14:00 - 16:00
Venerdì
14:00 - 15:00
Aula
Lezioni: dal 29/09/2008 al 09/01/2009
Nota: Le lezioni si terranno nella sudio del docente
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=02af
Meccanica Analitica (DM 509)
Codice: MFN0092 / MFN0093 / S8863
Docente: Prof. Marco Ferraris (Titolare del corso), Prof. Sergio Benenti (Titolare del corso)
Tipologia: D.M. 509
Anno: 2° anno
Crediti/Valenza: 7
392
Meccanica Analitica (DM 270)
Docente: Prof. Marco Ferraris (Titolare del corso), Prof. Sergio Benenti (Titolare del corso)
Tipologia: D.M. 270
Anno: 1° anno
Crediti/Valenza: 6
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=2a1c
Meccanica del Continuo (DM 509)
Codice: MFN0094 / MFN0095 / S8519
Tipologia: D.M. 509
Anno: 2° anno
Crediti/Valenza: 7
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=f6b6
Meccanica del Continuo - a.a. 2008/09
Docente: Prof. Franco Pastrone (Titolare del corso)
Crediti/Valenza: 7
OBIETTIVI
Estendere la formazione acquisita in fisica matematica I e II ai modelli continui di corpi, secondo la metodologia
della meccanica razionale, unendo il rigore necessario per la costruzione di modelli matematici alla capacità di
applicare la teoria a casi fisicamente significativi, quali i casi dei materiali linearmente elastici e delle strutture
complesse. Ampliare la propria formazione di matematici verso settori classici e nuovi della meccanica dei
solidi.
Essere in grado di costruire modelli semplici, analizzarli e interpretare i risultati alla luce delle più attuali teorie
della meccanica dei solidi, con competenze che consentano di collaborare con ingegneri matematici e con
analisti numerici, apportando le conoscenze acquisite nel campo della modellistica e dell’uso dello strumento
393
matematico rigoroso.
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso)Insegnamenti fornitoriCalcolo differenziale e integrale, equazioni differenziali
ordinarieAnalisi Matematica I, II, III, IVEquazioni alle derivate parzialiEquazioni differenziali alle derivate
parzialiAlgebra lineare e multilineareGeometria I, IITeoria dei gruppiAlgebra I
Risolvere problemi di equilibrio e stabilità di strutture elastiche con varie condizioni al contorno
Tesi di laurea
Saper affrontare lo studio della propagazione di onde non lineari in strutture complesse
Argomento
Ore
Lezione
Elementi di algebra multilineare e calcolo tensoriale
11
11
Geometria e cinematico di corpi continui: il tensore di strain
8
8
Equazioni di bilancio e costitutive: il tensore di stress
7
7
Teoria dell’elasticità
5
5
Sistemi dinamici, modelli in biomatematica
394
6
6
Biforcazioni e metodo di Poincarè: applicazioni all’elasticità
19
19
Totale
56
56
Definizione e proprietà di corpo continuo deformabile; deformazione e tensore di strain; forze esterne ed interne
e tensore di stress. Grandezze cinematiche, cinetiche e dinamiche. Le equazioni di campo in forma globale e
locale. Le relazioni costitutive. La teoria matematica dell’elasticità. I teoremi dell’elasticità lineare. Stabilità
strutturale; cenno di teoria delle biforcazioni, applicazioni all’elastostatica: l’elastica di Eulero. Continui con
struttura interna e microstrutture, strutture complesse. Propagazione di onde non lineari in solidi con strutture
interne.
TESTI
F. PASTRONE, Dispense di Meccanica dei Continui M.E. GURTIN, An Introduction to Continuum Mechanics,
Acad. Press, 1981
NOTA
La richiesta che il corso venga inserito al primo anno della laurea magistrale è fatta solo perchè il campo è
obbligatorio. In realtà si può inserire tanto al primo che al secondo anno. Erogazione didattica tradizionale.
Frequenza facoltativa. Ricevimento studenti: lu., me., ve. 9-12. Breve curriculm scientifico di Franco Pastrone
Laureato in Matematica con lode a Torino il 6/11/1968. Post Doctoral Fellow presso la J.Hopkins Univ. di
Baltimore (Maryland, USA) dal 1/7/1980 al 30/6/1981 Visiting Professor presso l’Università del Manitoba
(Winnipeg, Canada) dal 7/4/1984 al 15/8/1984; dal 15/6/1988 al 30/8/1988; dal 21/7/1993 al 15/8/1993
Posizione attuale : Professore Ordinario di Fisica Matematica - Facoltà di Scienze MFN - Università di Torino
Interessi scientifici. L’attivita‘ scientifica si e‘ prevalentemente svolta nell’area della teoria matematica
dell’elasticità, con particolare attenzione a problemi di statica e dinamica di continui elastici sottili, propagazione
di onde di discontinuita‘ in tali mezzi. Propagazione di onde non lineari in strutture complesse, microstrutture,
solidi granulari. I risultati di tali ricerche appaiono in lavori a stampa e comunicazioni a congressi, per un totale
di oltre sessanta pubblicazioni. Ha fatto parte del Comitato Organizzatore dei Congressi: -Simposio
IUTAM-ISIMM su "Modern Developments in Analytical Mechanics" Torino, 7/11 giugno 1982; -"Journèes
Relativistes 1983", Torino, 5/8 maggio 1983; -VIII Congresso Nazionale AIMETA, Torino, 29 settembre - 3
ottobre 1986; - XIII Congresso Naz. UMI, Torino, 3/9 settembre 1987; del comitato scientifico del Fifth
Intenational Sseminar on "Geometry, Continua and Microstructures", Sinaia (Romania), 26-28 settembre 2001
Ha organizzato i convegni: - 4th International Seminar on "Geometry, Continua and Microstructures", Torino,
26-28 ottobre 2000; - Remembering C. Truesdell (Convegno Internazionale con l’Acc delle Scienze di Torino),
Torino 20/11/2002; - Convegno conclusivo del Progetto COFIN-MIUR 2000: Modelli Matematici per la Scienza
dei Materiali, Torino, 21/23 novembre 2002 - 11th EUROMECH-MECAMAT Conference Mechanics of
microstructured solids: cellular materials, fibre reinforced solids and soft tissues to be held in Torino, Italy in
March 10-14, 2008. Responsabile locale di un progetto 40% fino al 2000, afferente a un Progetto Cofin MIUR
per i bienni 2000-02 e 02-04; dal 1985 membro del Selection Committee della Society for Natural Philosophy;
responsabile, a partire da date diverse, per parte italiana di un accordo culturale tra l’Universita‘ di Torino e: - la
Bulgarska Academia na Naukite di Sofia, relativo ad attività di cooperazione scientifica tra il Dipartimento di
Matematica di questa Universita‘ e il Department of Solid Mechanics- B.A.N. di Sofia; - la Technical University
395
di Tallinn, Estonia, via il CENS; - l’Universitè de Haute Alsace, Nancy, Francia, via il LEMTA-ENSEM.
coordinatore locale di un progetto INTAS per il 2001/03; dal 15/12/1994 al 30/09/2001 Direttore del
Dipartimento di Matematica dell’Università di Torino; dal 1/12/1993 presidente dell’Associazione Subalpina
Mathesis dal 15/05/2008 Socio corrispondente dell’Accademia delle Scienze di Torino
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Lunedì
16:00 - 18:00
Martedì
11:00 - 13:00
Aula B6 DBAU, P. Campana, via Carlo Alberto 10
Venerdì
8:00 - 9:00
Lezioni: dal 29/09/2008 al 09/01/2009
Meccanica del Continuo (DM 270)
Tipologia: D.M. 270
Anno: 1° anno
Crediti/Valenza: 6
Meccanica Quantistica (DM 509)
Codice: MFN0096
Docente:
Recapito: []
Tipologia: D.M. 509
Anno: 2° anno
Crediti/Valenza: 7
Meccanica Quantistica - a.a. 2008/09
Docente: Prof. Marco Billo’ (Titolare del corso)
Crediti/Valenza: 7
396
Avvalenza: Cod. MFN0096 Ambito C
OBIETTIVI
Questo corso è consigliato per coloro che sono interessati a una carriera nell’insegnamento, perché colma un
debito formativo e facilita l’accesso alla classe di insegnamento in Matematica e Fisica per le scuole superiori.
Naturalmente, è anche consigliato per tutti coloro che sono interessati a vedere come vengono applicate alcune
nozioni matematiche avanzate nel contesto della fisica moderna.
Il corso intende fornire una introduzione alla Meccanica Quantistica, descrivendone l’apparato concettuale e
matematico e svolgendo alcune semplici applicazioni. Si arriva tuttavia a derivare in dettaglio i livelli energetici
dell’atomo di idrogeno, una delle prime significative conquiste della fisica quantistica.
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso)Insegnamenti fornitoriAlgebra elementareAlgebra ICalcolo differenziale e integrale in
una variabileAnalisi Matematica I, IICalcolo in più variabiliAnalisi Matematica IIICenni di analisi complessa e
di analisi funzionale
Analisi Matematica IV e complementi, Istituzioni di Analisi Fisica classica (meccanica, termodinamica,
elettromagnetismo)Fisica I, II, III
Comprensione dei concetti base della Meccanica quantistica
Struttura della Materia, Fisica e L’Universo
Conoscenza della formulazione della M.Q. come meccanica ondulatoria alla Schrödinger
Struttura della Materia, Cristallografia
Risoluzione di semplici problemi di M.Q.
Argomento
Ore
Lezione
Ore
Esercitazione
397
La crisi della fisica classica: esperimenti che precorrono la meccanica quantistica.
4
4
Meccanica quantistica e probabilità: esperimenti ideali di diffrazione di onde e particelle.
6
6
Onde di probabilità; equazione di Schrödinger; valori medi; teorema di Ehrenfest.
8
8
Introduzione euristica all’apparato matematico della meccanica quantistica:
8
8
Esempi unidimensionali: buche di potenziale; oscillatore armonico
4
6
10
Gli operatori di momento angolare, loro algebra e spettro. Cenni sullo spin.
8
4
12
Risoluzione di problemi centrali; l’atomo di idrogeno.
6
6
398
Cenni al principio di esclusione di Pauli.
2
2
Totale
46
10
56
La crisi della fisica classica: esperimenti che precorrono la meccanica quantistica.
Meccanica quantistica e probabilità: esperimenti ideali di diffrazione di onde e particelle.
Onde di probabilità; equazione di Schrödinger; valori medi; teorema di Ehrenfest.
Introduzione euristica all’apparato matematico della meccanica quantistica:
spazio lineare degli stati fisici;
grandezze fisiche e operatori hermitiani;
algebra degli operatori;
stati non normalizzabili;
distribuzione delta di Dirac.
Esempi unidimensionali: buche di potenziale; oscillatore armonico con risoluzione analitica e algebrica.
Gli operatori di momento angolare, loro algebra e spettro. Cenni sullo spin.
Risoluzione di problemi centrali; l’atomo di idrogeno.
Cenni al principio di esclusione di Pauli.
TESTI
J. J . SAKURAI, Modern Quantum Mechanics, ed. Addison-Wesley L. I. SCHIFF, Quantum Mechanics, ed. Mc
Graw-Hill C. DESTRI, E. ONOFRI, Istituzioni di Fisica teorica, ed. Nuova Italia Sc C. ROSSETTI, Istituzioni di
Fisica teorica, ed. Levrotto & Bella
NOTA
L’esame consiste in una prova scritta in cui si richiede di svolgere due semplici problemi, articolati in alcune
domande, e di rispondere a una domanda di natura teorica, in un tempo che di solito si aggira sulle tre ore.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Lunedì
16:00 - 18:00
Martedì
16:00 - 19:00
Lezioni: dal 02/03/2009 al 05/06/2009
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=c7b5
399
Meccanica Razionale (DM 509)
Codice: MFN0131
Docente: Prof. Paolo Cermelli (Titolare del corso), Prof. Manuelita Bonadies (Esercitatore)
Tipologia: D.M. 509
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 12
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=d71a
Meccanica Razionale-attivato nell’a.a 2009-2010
Codice: MFN0131
Docente:
Recapito: []
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 12
Meccanica Superiore - a.a. 2008/09
Docente: Prof. Mauro Francaviglia (Titolare del corso)
Crediti/Valenza: 7
OBIETTIVI
geometrici) che sono necessari per affrontare da un punto di vista globale lo studio dei sistemi meccanici classici
e relativistici. Verranno sviluppati, in particolare, gli strumenti di geometria differenziale che sono alla base dello
studio dei sistemi dinamici con vincoli che possono dipendere anche dal tempo e dalle velocità. Si inizierà con la
formulazione lagrangiana (con vincoli) per passare poi allo studio della formulazione hamiltoniana.
Terminato il corso, gli studenti dovranno essere in grado di applicare i teoremi dell’analisi matematica e gli
strumenti forniti dalla geometria differenziale e dalla geometria riemanniana allo studio di sistemi dinamici,
possibilmente con vincoli dipendenti dal tempo e/o dalle velocità, governati da equazioni del moto derivabili da
un principio variazionale. Competenze minime in uscita: capacità lavorare con campi di vettori, forme
differenziali, campi di tensori, di calcolare differenziali esterni, derivate di Lie, derivate covarianti; capacità di
maneggiare lagrangiane per ottenere equazioni di Eulero-Lagrange, leggi di conservazione, trasformate di
Legendre, hamiltoniane, equazioni di Hamilton e di Hamilton-Jacobi.
400
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso) Insegnamenti fornitori Nozioni fondamentali di analisi Analisi Matematica I, II, III, IV
Nozioni fondamentali di geometria Geometria I, II, III, IV Nozioni fondamentali di fisica Fisica I, II Nozioni
fondamentali di meccanica Fisica Matematica I, II
Capacità lavorare con campi di vettori, forme differenziali, campi di tensori, di calcolare differenziali esterni,
derivate di Lie, derivate covarianti.
Meccanica Analitica, Fisica Matematica, Metodi Geometrici per la Fisica Matematica, Istituzioni di Fisica
Matematica
Capacità di maneggiare lagrangiane per ottenere equazioni di Eulero-Lagrange, leggi di conservazione,
trasformate di Legendre, hamiltoniane, equazioni di Hamilton e di Hamilton-Jacobi.
Argomento
Ore
Lezione
Strutture geometriche necessarie per descrivere correttamente l’evoluzione di sistemi meccanici con o vincoli
che possono dipendere anche dal tempo e dalla velocità
20
20
Fibrato delle configurazioni, equazioni del moto, leggi di conservazione. Sistemi lagrangiani, forma di
Poincaré-Cartan e sue applicazioni.
16
16
Fibrato delle fasi, trasformata di Legendre, sistemi Hamiltoniani. Trasformazioni canoniche, funzioni generatrici,
equazioni di Hamilton-Jacobi.
12
12
401
Simmetrie, leggi di conservazione, teorema di Noether.
8
8
Totale
56
56
Strutture geometriche necessarie per descrivere correttamente l’evoluzione di sistemi meccanici con o vincoli
che possono dipendere anche dal tempo e dalla velocità.
Fibrato delle configurazioni, equazioni del moto, leggi di conservazione.
Sistemi lagrangiani, forma di Poincaré-Cartan e sue applicazioni.
Fibrato delle fasi, trasformata di Legendre, sistemi Hamiltoniani. Trasformazioni canoniche, funzioni generatrici,
equazioni di Hamilton-Jacobi.
Simmetrie, leggi di conservazione, teorema di Noether.
TESTI
I testi base consigliati per il corso sono:
J. Dieudonné, Élements d’analyse, Vol. 3, Gauthier-Villars
Y. Choquet-Bruhat, C. De Witt-Morette, M. Dillard-Bleick, Analysis, Manifolds and Physics, Part I: Basics,
North-Holland, 1989
B.A. Dubrovin, S.P. Novikov, A.T. Fomenko, Geometria delle superfici, dei gruppi di trasformazioni e dei
campi, Editori Riuniti.
E’ consigliato l’utilizzo del seguente materiale per approfondimenti e integrazioni:
W. Thirring, Classical Dynamical Systems and Classical Field Theory, Springer-Verlag.
W.D. Curtis, F.R. Miller, Differential Manifolds and Theoretical Physics, Academic Press.
C.T.J. Dodson, T Potson, Tensor Geometry, Springer-Verlag.
R. Abraham, J.E. Marsden, Foundations of Mechanics, Benjamin
NOTA
Si tratta di un corso di tipo tradizionale che non richiede l’utilizzo di materiale particolare. L’esame è un esame
orale con appello da concordare col docente.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Lunedì
16:00 - 18:00
Giovedì
14:00 - 16:00
Venerdì
12:00 - 13:00
Lezioni: dal 29/09/2008 al 09/01/2009
402
Docente: Prof. Catterina Dagnino (Titolare del corso), Prof. Paola Lamberti (Titolare del corso)
Tipologia: D.M. 509
Anno: 2° anno
Crediti/Valenza: 7
Metodi di Approssimazione - a.a. 2008/09
Crediti/Valenza: 7
OBIETTIVI
Il corso fa parte dell’offerta formativa della Laurea Magistrale in Matematica. Esso si propone di far acquisire
agli studenti conoscenze e competenze su argomenti scelti nella teoria dell’approssimazione classica e moderna.
Le lezioni sono organizzate secondo il punto di vista di un analista numerico che ama la teoria, ma dà anche
notevole rilievo ai metodi e agli aspetti computazionali. Pertanto il corso può rientrare nell’ambito di un percorso
di studi sia di Matematica Applicata sia di Matematica Generale.
Il corso ha lo scopo di presentare argomenti scelti nella teoria dell’approssimazione classica ed in quella
moderna, con l’obiettivo di far acquisire agli studenti conoscenze sia teoriche sia procedurali, indispensabili nel
Calcolo Scientifico.
PROGRAMMA
Pre-requisiti in ingresso e competenze minime in uscita Pre-requisiti (in ingresso)Insegnamenti
fornitoriConoscenza dell'Analisi MatematicaCorsi di base di Analisi MatematicaConoscenza degli
elementi fondamentali di GeometriaCorsi di base di GeometriaConoscenze e competenze sia teoriche sia
computazionali di base di Analisi NumericaCorsi di base di Analisi Numerica
Insegnamenti fruitoriConoscenze e competenze su argomenti scelti nella teoria dell’approssimazione classica ed
in quella moderna.Corsi della Laurea MagistraleProgramma, articolazione e carico didattico
ArgomentoOreLezioneTotale Ore di Carico DidatticoApprossimazione di funzioni in spazi lineari normati.
Esistenza ed unicità di approssimazioni ottime.
Operatori di approssimazione.
Approssimazione minimax. Approssimazione ottima in Lp, p=1,2.88Basi totalmente positive.Approssimazione
polinomiale minimax.
Polinomi ortogonali ed approssimazione polinomiale ottima in L2.1010Interpolazione polinomiale e suoi
limiti.44Approssimazione polinomiale a tratti lineare. Interpolazione spline cubica.88Spazi di funzioni
polinomiali a tratti di grado assegnato e con prefissati vincoli di regolarità nei punti di raccordo. Basi di potenze
403
troncate, basi di B-spline.
Valutazione stabile di B-spline.
B-spline uniformi1212Approssimazione spline.
Spline interpolanti.
Spline quasi-interpolanti.1212Applicazioni 22Totale5656
TESTI
l testi base consigliati per il corso sono: 1. C. de BOOR, A Practical Guide to Splines, Revised Edition, Springer
(2001) 2. G. M. PHILLIPS, Interpolation and Approximation by Polynomials, CMS Books in Mathematics,
Springer (2003) 3. M. J. D. POWELL, Approximation Theory and Methods, Cambridge University Press (1981)
NOTA
L’esame consiste in una prova orale sugli argomenti del corso. E’ possibile, ma non obbligatorio,
l’approfondimento di un argomento e la relativa presentazione come prima domanda d’esame.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Martedì
16:00 - 18:00
Mercoledì
17:00 - 18:00
Giovedì
16:00 - 18:00
Lezioni: dal 29/09/2008 al 09/01/2009
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=f6bd
Tipologia: D.M. 270
Anno: 1° anno
Crediti/Valenza: 6
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=ff19
Metodi di Ottimizzazione (DM 509)
Codice: MFN0164
Docente: Prof. Vittoria Demichelis (Titolare del corso)
Tipologia: D.M. 509
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 5
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=2a9a
404
Metodi di Ottimizzazione - a.a. 2008/09
Codice: MFN0164
Docente: Prof. Giampietro Allasia (Titolare del corso), Prof. Alessandra De Rossi (Titolare del corso)
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 5
OBIETTIVI
Il corso ha per oggetto lo studio matematico della determinazione di soluzioni ottimali di vari problemi,
generalmente di notevole interesse applicativo. La programmazione lineare e l’ottimizzazione non-vincolata
vengono trattate con adeguato approfondimento teorico e con esercitazioni di laboratorio particolarmente
interessanti. Infatti lo sviluppo degli strumenti di calcolo ha reso possibile risolvere problemi di decisione sempre
più complessi, simili a quelli reali.
L’allocazione ottimale di fattori limitati (moneta, manodopera, energia, materie prime, ecc.) è rilevante per i
responsabili delle decisioni che operano nel campo di molte discipline sia tradizionali sia recenti. Con
l’apprendimento dei metodi di ottimizzazione e l’applicazione degli algoritmi relativi, da effettuare
necessariamente mediante calcolatori, gli studenti acquisiscono conoscenze teoriche ed esperienza pratica per
risolvere importanti problemi.
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso)Insegnamenti fornitoriConoscenza completa dei contenuti dei corsi di Analisi numerica
I e IIAnalisi numerica I e IIConoscenza di argomenti specifici di Analisi matematicaAnalisi matematica I, II e
IIIConoscenza di argomenti specifici di GeometriaGeometria I, II e IIIConoscenze di base su calcolatori,
algoritmi, linguaggio CInformatica I e II
Conoscenze di base di programmazione lineare
Convessità e programmazione lineare, Metodi di ottimizzazione (Complementi)
Conoscenze di base di ottimizzazione nonlineare senza vincoli
Metodi di ottimizzazione (Complementi)
Capacità di applicazione degli algoritmi e del software
Metodi di ottimizzazione (Complementi)
Argomento
405
Ore
Lezione
Ore
Esercitazione
Ore Laboratorio
Programmazione lineare: teoria delle soluzioni
3
1
1
5
metodo del simplesso
4
1
1
6
metodo del simplesso modificato
4
1
1
6
dualità
4
1
1
6
considerazioni computazionali
2
1
406
1
4
Ottimizzazione senza vincoli: metodo del punto fisso
2
1
1
4
metodi di Newton
3
1
1
5
metodi quasi-Newton
2
1
1
4
metodo di massima pendenza
3
1
1
5
Totale
27
9
9
45
Programmazione lineare: teoria delle soluzioni, metodo del simplesso, metodo del simplesso modificato, dualità,
considerazioni computazionali. Ottimizzazione senza vincoli: metodo del punto fisso, metodi di Newton, metodi
quasi-Newton, metodo della massima pendenza. Applicazioni.
Software: gli algoritmi considerati vengono implementati ed applicati utilizzando i package di calcolo simbolico
Maple e Excel. Viene inoltre esaminato e testato software di dominio pubblico, prevalentemente in linguaggio C,
407
per la risoluzione dei problemi considerati.
Calcolatori: vengono utilizzati i PC delle aule informatizzate ed, occasionalmente, gli strumenti più potenti a
disposizione del Centro di Calcolo (Alpha, cluster, supercomputers del CINECA)
TESTI
Hillier, F. S., and G. J. Lieberman, Introduction to operation research, 7th ed., McGraw-Hill, New York, 2001.
Burden, R. S., and J. D. Faires, Numerical Analysis, 7th ed., Brooks/Cole, Pacific Grove, USA.
NOTA
L’esame è costituito da una prova orale, finalizzata a verificare il livello di apprendimento teorico e pratico.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Lunedì
11:00 - 13:00
Giovedì 11:00 - 13:00
Venerdì 11:00 - 13:00
Lezioni: dal 02/03/2009 al 05/06/2009
Nota: il 6 aprile non si effettuerà lezione
Metodi di Ottimizzazione Complementi - a.a. 2008/09
Codice: MFN0165
Docente: Prof. Giampietro Allasia (Titolare del corso)
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 2
OBIETTIVI
Il corso ha per oggetto lo studio matematico della determinazione di soluzioni ottimali di vari problemi,
generalmente di notevole interesse applicativo. La programmazione lineare e l’ottimizzazione non-vincolata
vengono trattate con adeguato approfondimento teorico e con esercitazioni di laboratorio particolarmente
interessanti. Infatti lo sviluppo degli strumenti di calcolo ha reso possibile risolvere problemi di decisione sempre
più complessi, simili a quelli reali.
L’allocazione ottimale di fattori limitati (moneta, manodopera, energia, materie prime, ecc.) è rilevante per i
responsabili delle decisioni che operano nel campo di molte discipline sia tradizionali sia recenti. Con
l’apprendimento dei metodi di ottimizzazione e l’applicazione degli algoritmi relativi, da effettuare
necessariamente mediante calcolatori, gli studenti acquisiscono conoscenze teoriche ed esperienza pratica per
risolvere importanti problemi.
PROGRAMMA
408
Pre-requisiti (in ingresso)Insegnamenti fornitoriConoscenza completa dei contenuti dei corsi di Analisi numerica
I e IIAnalisi numerica I e IIConoscenza completa del contenuto del corso di Metodi di ottimizzazioneMetodo di
ottimizzazioneConoscenza di argomenti specifici di Analisi matematicaAnalisi matematica I, II e IIIConoscenza
di argomenti specifici di GeometriaGeometria I, II e IIIConoscenze di base su calcolatori, algoritmi, linguaggio
CInformatica I e II
Conoscenze complementari di programmazione lineare
Convessità e programmazione lineare
Conoscenze complementari di ottimizzazione nonlineare e nonvincolato
Modelli biomatematici
Capacità di applicazione degli algoritmi e del software
Modelli biomatematici (Complementi)
Argomento
Ore
Lezione
Ore
Esercitazione
Ore Laboratorio
Programmazione lineare: analisi di sensibilità
4
1
1
6
Considerazioni computazionali
1
1
1
409
3
Ottimizzazione senza vincoli: gradiente coniugato
3
1
1
5
Metodi di continuazione
2
1
1
4
Totale
10
4
4
18
Programmazione lineare: analisi di sensibilità, considerazioni computazionali. Ottimizzazione senza vincoli:
metodo del gradiente coniugato, metodi di continuazione. Applicazioni.
Software: gli algoritmi considerati vengono implementati ed applicati utilizzando i package di calcolo simbolico
Maple e Excel. Viene inoltre esaminato e testato software di dominio pubblico, prevalentemente in linguaggio C,
per la risoluzione dei problemi considerati.
Calcolatori: vengono utilizzati i PC delle aule informatizzate ed, occasionalmente, gli strumenti più potenti a
disposizione del Centro di Calcolo (Alpha, cluster, supercomputers del CINECA).
TESTI
Hillier, F. S., and G. J. Lieberman, Introduction to operation research, 7th ed., McGraw-Hill, New York, 2001.
Burden, R. S., and J. D. Faires, Numerical Analysis, 7th ed., Brooks/Cole, Pacific Grove, USA. E’ fortemente
consigliato l’utilizzo del seguente materiale per approfondimenti e integrazioni: Bazaraa, M. S., J. J. Jarvis and
H. D. Sherali, Linear programming and network flows, 2nd ed., Wiley, New York, 1990 Dantzig, G. B., and M.
N. Thapa, Linear programming, 1st vol. 1997, 2nd vol. 2003, Springer, Berlin. Dennis, J. E., and R. B. Schnabel,
Numerical methods for unconstrained optimization and nonlinear equations, SIAM, Philadelphia, 1996.
Deuflhard, P., Newton methods for nonlinear problems. Affine invariance and adaptive algorithms, Springer,
Berlin, 2004. Infine sono di seguito indicati siti internet di interesse: http://www.informs.org/
http://www.orsoc.org.uk http://www.euro-online.org
NOTA
L’esame è costituito da una prova orale, finalizzata a verificare il livello di apprendimento teorico e pratico.
L’esame si svolge, di norma, come segue: Quaderno di esercitazioni ed elaborazioni personali: lo studente è
tenuto a presentare una settimana prima della prova orale un quaderno contenente le esercitazioni svolte in classe
e le elaborazioni personali, sia quelle suggerite dal docente sia quelle lasciate alla libera iniziativa. Il contenuto
del quaderno viene poi commentato dallo studente e discusso con la commissione esaminatrice in sede di prova
orale. Vengono valutate positivamente la completezza del quaderno riguardo alle esercitazioni svolte e alla
410
presenza di elaborazioni personali. Colloquio orale: la prova orale è finalizzata a verificare il livello di
apprendimento con particolare riguardo alla parte teorica del corso.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Nota: Le lezioni iniziano al termine del corso Metodi di Ottimizzazione negli stessi orari.
Metodi e Modelli Matematici per le Applicazioni - Non attivato
nell’a.a. 2008/09
Codice: S8522
Docente: Prof. Paolo Cermelli (Titolare del corso)
Crediti/Valenza: 7
OBIETTIVI
Il corso si propone di fornire un’introduzione alla teoria dei giochi non cooperativi e della teoria evolutiva dei
giochi, con particolare riguardo alle applicazioni alle scienze sociali. Sono previsti seminari con esperti esterni su
applicazioni ad economia e finanza.
Capacità di formulare e analizzare problemi di decisione interattiva descrivibili mediante la teoria dei giochi.
PROGRAMMA
Teoria dei giochi
- Giochi in forma estesa e in forma normale e loro equivalenza.
- Giochi in forma normale: equilibrio per giochi a somma nulla. Calcolo degli equilibri col metodo del simplesso
- Giochi in forma normale: equilibrio di Nash. Pareto ottimalita’. Teorema di Nash.
- Giochi ad informazione incompleta: equilibri bayesiani.
- Raffinamenti della nozione di equilibrio di Nash: equilibrio perfetto e della mano tremante.
- Raffinamenti della nozione di equilibrio: stabilita’ evolutiva.
- Giochi dinamici: elementi di teoria dei sistemi dinamici discreti. Dinamica del replicatore, relazioni tra
stabilita’ evolutiva, stabilita’ asintotica ed equilibri di Nash. Teoremi di Samuelson sulla stabilità asintotica.
- Cenni di teoria dei giochi cooperativi.
- Giochi iterati: il dilemma del prigioniero iterato. Strategie tit for tat / lose-shift e win-stay. Il problema
dell’orizzonte finito o infinito.
411
- Giochi per popolazioni strutturate: giochi su reticoli, giochi sui grafi small world.
- Applicazioni alle scienze sociali e alla biologia: evoluzione del comportamento umano e animale, selezione
sessuale e selezione naturale. Evoluzione della cooperazione. Qualche applicazione all’economia.
TESTI
Roger B. Myerson. Game Theory: Analysis of Conflict. Harvard University Press Martin Osborne, Ariel
Rubinstein. A course in Game theory, the MIT Press
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Martedì
14:00 - 16:00
Giovedì
14:00 - 16:00
Venerdì
10:00 - 11:00
Lezioni: dal 01/10/2007 al 18/01/2008
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=adbc
Metodi e Modelli per la Pianificazione Economica - a.a. 2008/09
Codice: MFN0166
Docente: Prof. Beppe Scienza (Titolare del corso)
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 5
OBIETTIVI
Il corso insegna ad affrontare concrete situazioni di scelta di natura finanziaria, in particolare nell’ambito degli
impieghi del risparmio, individuando gli opportuni strumenti matematici e specificamente matematico-finanziari
da applicare ai casi concreti. Viene esaminata anche l’alternativa fra TFR e previdenza complementare.
Al termine del corso lo studente dovrà essere in grado di esaminare concrete alternative finanziarie e in
particolare i principali impieghi del risparmio nel reddito fisso. Per fare ciò dovrà sapere individuare le variabili
rilevanti dai regolamenti dei titoli, rilevare i prezzi di mercato dei medesimi, scegliere gli indicatori finanziari e i
criteri di scelta da utilizzare e applicarli, costruendo opportuni file in ambiente Excel.
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso)Insegnamenti fornitoriConoscenze di base di matematica finanziariaMatematica
finanziaria
412
Principali indicatori finanziari, conoscenza del principali tipi di titoli a reddito fisso, valutazioni in termini reali,
capacità di sviluppare valutazioni comparative di più alternative finanziarie in ambito obbligazionario.
Compilazione tesi di laurea, corsi avanzati sull'argomento
Argomento
Ore
Lezione
Ore Laboratorio
Strumenti teorici di base della matematica finanziaria e della teoria delle decisioni
3
2
5
I titoli a reddito fisso (obbligazioni, titoli di stato, buoni postali ecc.) e cenni sulle altre attività finanziarie
3
3
6
Il TFR e la legge di riforma del TFR in vigore dal 1-1-2007
2
0
2
Costruzione di fogli elettronici per analizzare investimenti, sviluppare simulazioni e in particolare confrontare
alternative in ambito obbligazionario in diversi scenari finanziari e inflazionistici.
5
27
32
Totale
13
413
32
45
Il corso affronta i principali problemi di decisione relativi all'impiego del risparmio anche a fini
previdenziali. Inizialmente si riprendono brevemente e si discutono alcuni concetti e strumenti teorici
tradizionali della matematica finanziaria, quali i regimi d’interesse, gl’indicatori finanziari ecc. Quindi
s'impara a costruire modelli e effettuare simulazioni per scegliere fra due o più soluzioni alternative.
In particolare verrà approfondito il cosiddetto reddito fisso, ovvero i titoli di stato, le obbligazioni, i buoni postali
ecc. Si prenderanno in esame concrete alternative d’investimento, ovvero strumenti finanziari effettivamente
trattati sui mercati ai prezzi del momento, e si vedrà come operare scelte, costruendo appositi fogli di lavoro
elettronici (in genere in ambiente Excel).
TESTI
Beppe Scienza, "Tempo & Denaro" - Guida alle scelte finanziarie, Edizioni del Sole 24 Ore, Milano, 1988, pp.
246 (testo esaurito presso l’editore, ma presente in Biblioteca Matematica, eventualmente contattare il docente)
Beppe Scienza, "Il risparmio tradito", Edizioni Libreria Cortina Torino, 2005, pp. 192, 12,40 Lorenzo Peccati,
Elisa Luciano, "Matematica per la gestione finanziaria", Editori Riuniti, Roma, terza ristampa, 2003, pp. 532, 30.
Se tale testo non è reperibile: Erio Castagnoli, Lorenzo Peccati, "Matematica in azienda, Vol. 1 - Calcolo
finanziario con applicazioni", edizioni Egea, Milano, 2002, 148 pag., 11 Andrea Ferrari, Elisabetta Gualandri,
Andrea Landi, Paola Vezzani, "Gli strumenti finanziari", Giappichelli, Torino, 2004, pp. VIII-168, 11 Beppe
Scienza, "La pensione tradita". Fazi Editore, Roma, 2007, 2a edizione 2007, pp. 232, 9,90 Infine sono di seguito
indicati siti internet di interesse: http://www.dt.tesoro.it/Aree-Docum/Debito-Pub/index.htm
http://www.borsaitaliana.it https://bancopostaonline.poste.it http://www.consob.it http://www.cassaddpp.it
http://www.mbres.it/ita/mb_pubblicazioni/indicatori.htm
NOTA
Prossimi appelli: dato l’esiguo numero di studenti che non hanno ancora sostenuto l’esame, si prega di
contattarmi per e-mail per concordare la data del prossimo appello. L’esame si svolge, di norma, come segue:
vengono forniti i regolamenti o le caratteristiche di diversi investimenti allo studente, che ha a disposizione un
computer, ed egli deve sviluppare uno o più file in Excel che permettano di individuare l’alternativa preferibile.
Una discussione orale degli elaborati completa la prova.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Martedì
16:00 - 19:00
Venerdì 16:00 - 19:00
Lezioni: dal 03/03/2009 al 05/06/2009
Metodi e Modelli per la Pianificazione Economica Complementi a.a. 2008/09
Codice: MFN0167
Anno: 3° anno
414
Crediti/Valenza: 2
OBIETTIVI
Nel corso si approfondiscono, con ulteriore casistica, le alternative finanziarie trattate nel Corso di Metodi e
Modelli per la Pianificazione Economica e in particolare le alternative previdenziali.
Gli studenti dovranno acquisire maggiore dimestichezza con le problematiche trattate nel Corso di Metodi e
Modelli per la Pianificazione Economica e in particolare affrontare i problemi di scelta in ambito previdenziale.
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso)Insegnamenti fornitori
Conoscenze di base di matematica finanziaria, principali indicatori finanziari, conoscenza del principali tipi di
titoli a reddito fisso e criteri di valutazione finanziaria.
Matematica finanziaria, Metodi e Modelli per la Pianificazione Economica.
Capacità di sviluppare valutazioni comparative di più alternative finanziarie in ambito obbligazionario, anche
con caratteristiche complesse, e in ambito previdenziale.
Compilazione tesi di laurea, corsi avanzati sull'argomento
Argomento
Ore Laboratorio
Titoli a reddito fisso con regolamenti particolari
4
4
Simulazioni per il TFR e la previdenza complementare
6
6
Costruzione di ordini di preferenza fra diverse alternative in ambito obbligazionario o previdenziale in diversi
scenari finanziari e inflazionistici.
415
8
8
Totale
18
18
Vengono affrontati problemi di scelta simili, ma più complessi di quelli del corso, in ambito obbligazionario,
riguardanti cioè prestiti dai regolamenti particolari. Inoltre vengono approfonditi le situazioni di scelta fra TFR e
previdenza complementare.
TESTI
Gli stessi del corso base di "Metodi e Modelli per la Pianificazione Economica", cui si rimanda.
NOTA
Prossimi appelli: dato l’esiguo numero di studenti che non hanno ancora sostenuto l’esame, si prega di
contattarmi per e-mail per concordare la data del prossimo appello. Modalità di verifica/esame L’esame si
svolge, di norma, come segue: vengono forniti i regolamenti o le caratteristiche di diversi investimenti allo
studente, che ha a disposizione un computer, ed egli deve sviluppare uno o più file in Excel che permettano di
individuare l’alternativa preferibile. Una discussione orale degli elaborati completa la prova.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Martedì
16:00 - 19:00
Venerdì 16:00 - 19:00
Lezioni: dal 03/03/2009 al 05/06/2009
Nota: Verranno concordate con gli studenti le ore dedicate al corso base e quelle invece ai complementi
Metodi e Modelli per la Pianificazione Finanziaria (DM 509)
Tipologia: D.M. 509
Anno: 2° anno
Crediti/Valenza: 7
SSD: SECS-P/06 - economia applicata
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=0cfb
Metodi Geometrici della Fisica Matematica (DM 509)
Codice: MFN0101 / MFN0102 / S8865
Docente: Prof. Mauro Francaviglia (Titolare del corso), Prof. Marcella Palese (Titolare del corso)
416
Tipologia: D.M. 509
Anno: 2° anno
Crediti/Valenza: 7
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=88bf
Metodi Geometrici della Fisica Matematica (DM 270)
Docente: Prof. Mauro Francaviglia (Titolare del corso), Prof. Marcella Palese (Titolare del corso)
Tipologia: D.M. 270
Anno: 1° anno
Crediti/Valenza: 6
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=13fb
Metodi Geometrici per la Fisica Matematica - a.a. 2008/09
Docente: Prof. Marcella Palese (Titolare del corso), Prof. Mauro Francaviglia (Titolare del corso)
Crediti/Valenza: 7
OBIETTIVI
Lo scopo del corso è quello di fornire una conoscenza di base degli strumenti geometrico-topologici che
permettono di affrontare da un punto di vista globale lo studio di una vasta classe di equazioni differenziali della
Fisica Matematica. Verranno studiati, in particolare, gli strumenti di geometria differenziale che sono alla base
del calcolo delle variazioni su varietà. In particolare, verrà data una presentazione del calcolo delle variazioni da
un punto di vista puramente differenziale, senza l’uso del calcolo integrale, che utilizza metodologie della Teoria
dei Fasci e dell’algebra coomologica.
Terminato il corso, gli studenti dovranno possedere una conoscenza di base delle piu’ importanti formulazioni
moderne delle teorie fisiche classiche e quantistiche
PROGRAMMA
F
Pre-requisiti (in ingresso)Insegnamenti fornitoriNozioni fondamentali di analisi e geometriaAnalisi Matematica e
Geometria I, II, III, IVNozioni fondamentali di fisicaFisica I, IINozioni fondamentali di meccanica e fisica
matematicaFisica Matematica I, IIIstituzioni di Fisica Matematica
417
Conoscenza degli strumenti geometrico-topologici di base e capacita’ di applicazione in diversi ambiti della
fisica matematica e teorica
Meccanica Analitica, MeccanicaSuperiore, Fisica Matematica, Fisica Teoricai
Argomento
Ore
Lezione
Ore
Esercitazione
Fibrati, fibrati naturali e gauge-naturali.
10
5
15
Formulazione geometrica del calcolo delle variazioni e leggi di conservazione. Sequenze variazionali.
6
10
16
Relatività generale e teorie di gauge Teorie spinoriali.
10
5
15
Cenni di topologia algebrica e applicazioni alla fisica matematica
4
6
10
Totale
418
30
26
56
FIbrati, fibrati naturali e gauge-naturali.
Formulazione geometrica del calcolo delle variazioni
Leggi di conservazione
Relatività generale e teorie di gauge
Teorie spinoriali
Cenni di topologia algebrica e applicazioni alla fisica matematica
TESTI
L. FATIBENE, M. FRANCAVIGLIA, Natural and gauge natural formalism for classical field theories. A
geometric perspective including spinors and gauge theories. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2003 D. J.
SAUNDERS, The geometry of jet bundles. London Mathematical Society Lecture Note Series 142, Cambridge
University Press, Cambridge, 1989 I. KOLAR, P.W. MICHOR, J. SLOVAK, Natural operations in differential
geometry, Spriger, Berlin, 1993 BREDON, E. GLEN, Sheaf theory, Second editino, Graduate Texts in
Mathematics, 170, Springer-Verlag, New York, 1997
NOTA
9. Modalità di verifica/esame Seminario su argomento concordato.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Lunedì
10:00 - 11:00
Mercoledì
16:00 - 18:00
Giovedì
16:00 - 18:00
Lezioni: dal 02/03/2009 al 05/06/2009
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=f8b6
Metodi Geometrici per la Grafica - Non attivato nell’a.a. 2008/09
Codice: M8532
Docente: Prof. Sergio Console (Titolare del corso)
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 5
OBIETTIVI
Fornire le nozioni su curve, superfici nello spazio e di geometria proiettiva utili ai fini della grafica.
Conoscenza dei concetti e i metodi geometrici utilizzati nella grafica computerizzata. Familiarità con l’utilizzo di
alcuni pacchetti grafici (in particolare Maple) per la scrittura di alcuni programmi per la risoluzione di problemi
geometrici.
419
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso) Insegnamenti fornitori Nozioni di base di geometria analitica nello spazio e di algebra
lineare Geometria I e II Nozioni di base di topologia e della teoria delle curve e superfici Geometria III Nozioni
di base sul calcolo differenziale delle funzioni di una e due variabili Analisi Matematica I e II
Aspetti teorici delle rappresentazioni di curve e superfici
Metodi numerici per la grafica
Corsi di Geometria della LS
Argomento
Ore
Lezione
Ore Laboratorio
Teoria delle curve e loro costruzione
6
4
10
Teoria delle superfici e loro costruzione
13
12
25
Rotazioni e quaternioni
4
2
6
420
Elementi di geometria proiettiva e proiezioni
4
4
Totale
27
18
45
Teoria delle curve e loro costruzione
Teoria delle superfici e loro costruzione
Rotazioni e quaternioni
Elementi di geometria proiettiva e proiezioni
Laboratorio al computer (tenuto da Luigi Vezzoni)
TESTI
Parte del materiale didattico presentato a lezione sarà disponibile sulla pagina web del docente
http://www.dm.unito.it/~console/met-geom-graf0607.html I testi base consigliati per il corso sono: A. Gray, E.
Abbena, S. Salamon, Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, third edition,
CRC Press, 2006. J. Gallier, Geometric Methods and Applications For Computer Science and Engineering,
Springer Texts in Applied Mathematics , Vol. 38, 2001 E’ fortemente consigliato l’utilizzo del seguente
materiale per approfondimenti e integrazioni: J. Gravesen: Differential Geometry and Design of Shape and
Motion Department of Mathematics, Technical University of Denmark - disponibili alla pagina web
http://www2.mat.dtu.dk/people/J.Gravesen/cagd.pdf M. do Carmo: Differential Geometry of Curves and
Surfaces, Prentice-Hall, 1976. B. O’Neill: Elementary Differential Geometry, Academic Press, 1997. J. Oprea:
Differential Geometry and its Applications, Second ed., Pearson, Prentice Hall, 2004. S. Wolfram: The
Mathematica Book 5, Ed. Wolfram Media, 2003. Infine sono di seguito indicati siti internet di interesse:
http://www2.mat.dtu.dk/people/J.Gravesen/cagd/ http://rsp.math.brandeis.edu/3D-XplorMath/
http://www.gang.umass.edu/ http://www.maplesoft.com/applications/index.aspx/ http://www.uv.es/~montesin/
http://mathforum.org/library/topics/projective_g/
NOTA
La prima lezione (1 ottobre) sara’ alle ore 14 precise. Si pregano gli studenti interessati al corso di contattare il
docente e iscriversi al corso da questo sito9. Modalità di verifica/esame L’esame si svolge, di norma, come
segue: prova orale sugli argomenti svolti e consegna di esercizi sia di tipo tradizionale sia da risolversi in
laboratorio.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Lunedì
14:00 - 16:00
Martedì
14:00 - 16:00
Mercoledì 14:00 - 16:00
Lezioni: dal 01/10/2007 al 18/01/2008
421
Metodi Geometrici per la Grafica Complementi - Non attivato
nell’a.a. 2008/09
Codice: M8555
Docente:
Recapito: []
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 2
Metodi Matematici per le Applicazioni - a.a. 2008/09
Codice: MFN0168
Docente: Prof. Ernesto Buzano (Titolare del corso)
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 5
Avvalenza: 5CFU Ambito G così suddivisi: 3CFU Settore MAT/05, 2CFU Settore MAT/08
OBIETTIVI
Il corso si propone di fornire un’introduzione all’Analisi Complessa e all’Analisi di Fourier.
Padronanza degli argomenti sopra esposti e loro utilizzo in problemi applicativi.
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso) Insegnamenti fornitori Analisi Matematica di base Analisi Matematica I, II, III
Insegnamenti fruitori Conoscenze di base dell'analisi complessa, delle serie di Fourier e della trasformata
di Fourier per funzioni in 1 variabile. Analisi Armonica Teoria delle Distribuzioni ed Applicazioni Analisi di
Fourier
Argomento
Ore
422
Lezione
Funzioni analitiche:definizione, equazioni di Cauchy-Riemann
5
5
Teorema e formula integrale di Cauchy.
5
5
Sviluppo in serie di Taylor e di Laurent.
5
5
Teorema dei residui e calcolo d'integrali definiti.
5
5
Serie di Fourier. Convergenza puntuale ed uniforme.
4
4
Convergenza delle serie di Fourier in L^2
4
4
Integrali di funzioni che decadono moderatamente all'infinito e loro trasformata di Fourier.
4
4
Formula d'inversione nella classe di Schwartz.
5
5
Distribuzioni temperate.
4
4
423
Trasformata di Fourier in L^2.
4
4
Totale
45
45
Funzioni di Variabile Complessa.
Serie e trasformata di Fourier.
TESTI
Conway: Functions of one complex variable I, Springer. Stein-Shakarchi: Fourier Analysis, Princeton University
Press.
NOTA
Modalità di verifica/esame Prova orale.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Lunedì
9:00 - 11:00
Mercoledì
9:00 - 11:00
Lezioni: dal 01/04/2009 al 05/06/2009
Nota: L’inizio delle lezioni è stato spostato al 1/4/2009, in quanto il Prof. Buzano è in congedo sabbatico fino
al 31/3/2009.
Metodi Matematici per le Applicazioni Complementi - Non attivato
nell’a.a. 2008/09
Codice: M8556
Docente:
Recapito: []
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 2
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Nota: Le lezioni iniziano al termine del corso Metodi Matematici per le Applicazioni negli stessi orari.
424
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=dc0d
Metodi Numerici per l’Ottimizzazione - Non attivato nell’a.a. 2008/09
Codice: S8523
Docente:
Recapito: []
Crediti/Valenza: 7
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=43ba
Metodi Numerici per la Grafica (DM 509)
Codice: MFN0169
Docente:
Recapito: []
Tipologia: D.M. 509
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 5
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=be40
Metodi Numerici per la Grafica Computerizzata - a.a. 2008/09
Codice: MFN0169
Docente: Prof. Catterina Dagnino (Titolare del corso)
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 5
OBIETTIVI
La Grafica Computerizzata è impiegata in diversi settori della realtà, quali l’ingegneria, la medicina, l’istruzione,
l’arte, ecc. Per generare modelli realistici di oggetti si utilizzano rappresentazioni che realizzino accuratamente le
peculiari caratteristiche degli oggetti stessi. Alla base di tali rappresentazioni vi sono metodi che permettono di
descrivere un oggetto mediante opportune curve o superfici. Il corso si propone di far acquisire agli studenti
conoscenze e competenze sui metodi numerici di base finalizzati alla costruzione di curve e superfici in forma
parametrica e impiegati nel CAGD (Computer Aided Geometric Design).
Il corso ha come obiettivo formativo principale l’analisi di metodi numerici di base finalizzati alla costruzione di
curve e superfici in forma parametrica e impiegati nella grafica computerizzata.
425
PROGRAMMA
fornitoriConoscenze e competenze di base del calcolo differenziale per le funzioni di una e più variabili
reali.Analisi Matematica Conoscenze e competenze di base di Geometria.Geometria Conoscenze e competenze
di base di Analisi Numerica.Analisi Numerica
Insegnamenti fruitoriConoscenze e competenze di base di Matematica Numerica per la grafica.Metodi numerici
per la grafica (complementi),Metodi di Approssimazione Programma, articolazione e carico didattico
ArgomentoOreLezioneTotale Ore di Carico DidatticoIntroduzione alla matematica numerica per la grafica ed
alle sue applicazioni.11Oggetti elementari: rette, coniche, superconiche, superfici poligonali, superfici quadriche,
superquadriche.55Metodi di rappresentazione di curve polinomiali: curve di Bézier, forma di Bernstein di una
curva di Bézier e sue proprietà, algoritmo di de Casteljau.88Superfici di Bézier di tipo tensore prodotto:
interpolazione bilineare ed algoritmo di de Casteljau.44Patch triangolari di Bézier: coordinate baricentriche ed
interpolazione lineare, polinomi di Bernstein su un dominio triangolare, triangoli di Bézier ed algoritmo di de
Casteljau.66Metodi di rappresentazione di curve spline: curve spline di Bézier, curve spline interpolanti cubiche
di Hermite, spline cardinali, spline cubiche C^2. Curve spline chiuse.88Curve B-spline e loro
proprietà.77Superfici B-spline di tipo tensore prodotto.22Metodi per la realizzazione di trasformazioni
geometriche 2D e 3D.44Totale4545
TESTI
Il testo consigliato per il corso è: DAGNINO, P. LAMBERTI: Elementi di Matematica Numerica per la Grafica,
Levrotto&Bella, (2008). E’ fortemente consigliato l’utilizzo del seguente testo per approfondimenti ed
integrazioni: G. FARIN, Curves and Surfaces for computer aided geometric design: a practical guide, Fifth
edition, Morgan Kaufmann Publishers (2002).
NOTA
- Metodi Numerici per la Grafica Computerizzata (5 CFU) è un corso caratterizzante dell’orientamento
numerico-grafico della Laurea Triennale, ma puo’ anche essere inserito come corso a scelta in un qualsiasi altro
orientamento. - L’esame consiste in una prova orale sugli argomenti del corso.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Martedì
11:00 - 13:00
Mercoledì
11:00 - 13:00
Lezioni: dal 02/03/2009 al 05/06/2009
Metodi Numerici per la Grafica Computerizzata Complementi - a.a.
2008/09
Codice: MFN0170
Docente: Prof. Paola Lamberti (Titolare del corso)
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 2
426
OBIETTIVI
Il corso si propone di approfondire le tematiche svolte nell’omonimo corso di 5CFU, analizzando in particolare
gli aspetti algoritmici e computazionali dei vari metodi studiati.
Principale obiettivo formativo del corso è l’analisi degli aspetti algoritmici e computazionali dei metodi numerici
presentati in Metodi Numerici per la Grafica Computerizzata.
PROGRAMMA
fornitoriConoscenze e competenze sulla teoria dei metodi numerici di base per la grafica
computerizzata.Conoscenza del software scientifico Matlab.Metodi Numerici per la Grafica Computerizzata e un
qualunque corso/laboratorio che fornisca competenze su Matlab (Analisi Numerica I, Analisi Numerica II,
LABCS2, ...)
Insegnamenti fruitoriConoscenze e competenze sia teoriche sia computazionali di Matematica Numerica per la
Grafica.Corsi della Laurea Magistrale
Programma, articolazione e carico didattico ArgomentoOre LezioneOre LaboratorioTotale Ore di Carico
DidatticoAlgoritmi, in ambiente Matlab, per la generazione di curve di Bézier.123Algoritmi, in ambiente Matlab,
per la generazione di superfici di Bézier di tipo tensore prodotto.123Algoritmi, in ambiente Matlab, per la
generazione di patch triangolari di Bézier. 123Algoritmi, in ambiente Matlab, per la generazione di curve spline
nella forma di Bézier e di curve spline interpolanti cubiche.123Algoritmi, in ambiente Matlab, per la generazione
di curve B-spline.123Algoritmi, in ambiente Matlab, per la generazione di superfici B-spline di tipo tensore
prodotto.123Totale61218
TESTI
Il testo base consigliato per il corso è: DAGNINO, P. LAMBERTI: Elementi di Matematica Numerica per la
Grafica, Levrotto&Bella (2008).
NOTA
- Valutazione tramite prova di laboratorio in aula informatizzata sugli argomenti presentati. - Modalità di
erogazione tradizionale.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Giovedì 14:00 - 16:00
Aula
Lezioni: dal 02/03/2009 al 05/06/2009
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=73df
Metodi Numerici per la Modellizzazione e il CAD (NON ATTIVATO
NELL’A.A. 2008-2009)
Codice: M8535
Docente:
Recapito: []
Anno: 3° anno
427
Crediti/Valenza: 5
Metodi Numerici per la Modellizzazione e il CAD Complementi (NON
ATTIVATO NELL’A.A. 2008-2009)
Codice: M8558
Docente:
Recapito: []
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 2
Metodi Numerici per le Applicazioni (NON ATTIVATO NELL’A.A.
2008-2009)
Codice: M8536
Docente:
Recapito: []
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 5
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=30da
Metodi Numerici per le Applicazioni Complementi (NON ATTIVATO
NELL’A.A. 2008-2009)
Codice: M8559
Docente:
Recapito: []
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 2
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=d8cf
Metodi Numerici per le Equazioni Differenziali - a.a. 2008/09
Docente: Prof. Giampietro Allasia (Titolare del corso), Prof. Alessandra De Rossi (Titolare del corso)
Crediti/Valenza: 7
428
OBIETTIVI
Gli studenti devono acquisire le conoscenze teoriche e l’esperienza di calcolo per risolvere numericamente
problemi modellati da equazioni alle derivate parziali. Trovare soluzioni approssimate di tali problemi e fornire
stime delle approssimazioni ottenute è di fondamentale importanza nelle applicazioni della matematica in vari
settori scientifici.
Il corso si propone di illustrare il trattamento numerico dei principali tipi di equazioni a derivate parziali, un
argomento di grande importanza nella matematica applicata. La presentazione teorica dei metodi numerici è
trattata in modo approfondito e, contemporaneamente, viene dato ampio spazio possibile all’analisi degli
algoritmi e alla loro implementazione su calcolatore.
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso)Insegnamenti fornitoriMetodi numerici per le equazioni differenziali ordinarieAnalisi
numerica IIEquazioni differenziali ordinarieAnalisi matematica II, III e IVRisoluzione di sistemi di equazioni
lineariAnalisi numerica II
Conoscenze dei principali metodi per la risoluzione numerica di equazioni alle derivate parziali
Equazioni differenziali alle derivate parziali
Biomatematica
Esperienza di calcolo nella risoluzione di equazioni alle derivate parziali (analisi degli algoritmi,
implementazione di codici, prove su calcolatore seriale e parallelo, supercalcolo)
Biomatematica
Laboratorio di calcolo parallelo
Argomento
Ore
429
Lez.
Ore
Esercit.
Ore Laboratorio
Cenni di teoria delle equazioni a derivate parziali
5
1
0
6
Equazioni alle derivate parziali di tipo ellittico
9
3
5
17
Equazioni alle derivate parziali di tipo parabolico
9
3
4
16
Equazioni alle derivate parziali di tipo iperbolico
9
3
5
17
430
Totale
32
10
14
56
Cenni di teoria delle equazioni a derivate parziali. Metodo alle differenze finite per equazioni alle derivate
parziali di tipo ellittico, parabolico, iperbolico. Metodo agli elementi finiti.
TESTI
Brooks/Cole, Pacific Grove, USA, 2004. Gerald, C. F., and P. O. Wheatley, Applied Numerical Analysis, 5th
ed., Addison-Wesley, 1994. Il materiale didattico presentato a lezione, nelle esercitazioni e nel laboratorio è
disponibile presso: La Biblioteca del Dipartimento di Matematica per le lezioni e le esercitazioni teoriche E’
fortemente consigliato l’utilizzo del seguente materiale per approfondimenti e integrazioni: Greespan, D., and V.
Casulli, Numerical analysis for Applied Mathematics, Science, and Engineering, Addison-Wesley, New York,
1988. Morton, K. W., and D. F. Mayers, , Numerical Solution of Partial Differential Equations: An Introduction,
Cambridge Univ. Press, new York, 1994.
431
NOTA
L’esame si svolge, di norma, come segue: Lo studente è tenuto a presentare al momento della prova orale un
quaderno contenente le esercitazioni svolte in classe e le elaborazioni personali, sia quelle suggerite dal docente
sia quelle lasciate alla libera iniziativa. Il contenuto del quaderno viene commentato dallo studente e discusso
con la commissione esaminatrice. Vengono valutate positivamente la completezza del quaderno riguardo alle
esercitazioni svolte e alla presenza di elaborazioni personali. La prova orale è finalizzata a verificare il livello di
apprendimento con particolare riguardo alla parte teorica del corso.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Martedì
11:00 - 13:00
Mercoledì 9:00 - 11:00
Venerdì
9:00 - 11:00
Lezioni: dal 29/09/2008 al 09/01/2009
Nota: LE LEZIONI DEL CORSO AVRANNO INIZIO IL GIORNO 8/10/08
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=67dc
Metodi Numerici per le Equazioni Differenziali (DM 509)
Codice: MFN0103 / MFN0104 / S8524
Docente: Prof. Alessandra De Rossi (Titolare del corso)
Tipologia: D.M. 509
Anno: 2° anno
Crediti/Valenza: 7
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=cf09
Metodi Numerici per le Equazioni Differenziali (DM 270)
Docente: Prof. Alessandra De Rossi (Titolare del corso)
Tipologia: D.M. 270
Anno: 1° anno
Crediti/Valenza: 6
432
Metodi Statistici per l’Analisi della Serie Temporali - a.a. 2008/09
Crediti/Valenza: 7
Avvalenza: Cod. MFN0105 Ambito A - Cod. MFN0106Ambito G
OBIETTIVI
Il corso si propone di sviluppare negli studenti le capacità necessarie per analizzare serie temporali sia nel
dominio del tempo sia nel dominio della frequenza. Inoltre verranno introdotte metodologie che permettano di
simulare equazioni differenziali stocastiche per generare tali serie. Infine verrà dato un rapido accenno all’analisi
in tempo frequenza di serie storiche.
L’allievo dovrà essere in grado analizzare le serie temporali sia nel dominio del tempo sia nel dominio della
frequenza e dovrà essere in grado di identificare i vari modelli attraverso le relative proprietà e stimarne i
parametri. Inoltre lo studente dovrà riuscire a generare numericamente le serie temporali e ad analizzarle
utilizzando il software SAS.
PROGRAMMA
Prerequisiti in ingresso
Caratterizzazione di variabili aleatorie tramite distribuzioni e momenti,
Calcolo delle probabilità 1
Teorema del limite centrale legge dei grandi numeri
Stimatori, stime, intervalli di confidenza, test di ipotesi
Statistica Matematica
Serie di Fourier, trasformata di Fourier
Utile ma non indispensabile
Competenze minime in uscita
Studio di serie storiche nel dominio temporale e spaziale
Attività di tesi, inserimento nel mondo del lavoro
Discretizzazione di EDS
433
Utilizzo del SAS per l'analisi di serie storiche
Argomento
OreLez.
OreEsercit.
Ore Laboratorio
Introduzione alle serie storiche modelli ARMA e ARIMA
3
3
Analisi e stima di serie storiche nel dominio del tempo
7
4
11
Equazioni differenziali stocastiche. Generazione di serie storiche.
8
2
10
Analisi spettrale e filtraggio di serie storiche
10
10
Metodi statistici nel dominio della frequenza
10
434
4
14
Analisi in tempo frequenza di serie storiche
8
8
Totale
46
10
56
TESTI
I testi base consigliati per il corso sono: 1)R.H. Shumway, D.S. Stoffer: Time series analysis and its applications,
Springer (2000) 2)P.E. Kloeden, E. Platen: Numerical solution of stochastic differential equations, Springer
(1999) 3)L. Cohen: Time-frequency analysis, Prentice Hall (1995) Materiale on line utile: Ipertesto
http://www.statsoft.nl/uk/textbook/sttimser.html#index Dati relativi a serie temporali:
http://robjhyndman.com/TSDL/ I testi sono disponibili presso la Biblioteca "Peano" del Dipartimento di
Matematica.
NOTA
La prova orale prevede un colloquio volto a verificare la conoscenza dei teoremi e dei metodi introdotti nel corso
e discussione di una relazione su un’analisi di dati.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Lunedì
11:00 - 13:00
Mercoledì
11:00 - 13:00
Giovedì
9:00 - 11:00
Lezioni: dal 02/03/2009 al 05/06/2009
Metodi Statistici per l’Analisi di Serie Temporali (DM 509)
Docente: Prof. Roberta Sirovich (Titolare del corso), Prof. Cristina Zucca (Titolare del corso)
Tipologia: D.M. 509
435
Anno: 2° anno
Crediti/Valenza: 7
Modelli Biomatematici - a.a. 2008/09
Codice: MFN0171
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 5
MAT/02
OBIETTIVI
Gli studenti al termine del corso dovranno aver familiarità con i modelli fondamentali della materia, retti da
equazioni differenziali ordinarie. Lo studente dovrà anche aver acquisito nozioni sul contesto biologico in cui si
studiano questi modelli, principalmente dato dai seguenti argomenti. L’evoluzione temporale di popolazioni
singole e interagenti, il chemostato e la cinetica delle reazioni chimiche, i modelli epidemiologici. Lo studente
dovra’ conoscere ed essere in grado di analizzare i modelli fondamentali in biomatematica.
Il corso si propone di affrontare lo studio dei principali modelli matematici rilevanti per le applicazioni, con
particolare riguardo al campo della biologia matematica, un’area di ricerca in fase di espansione.
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso)Insegnamenti fornitoriFondamenti del calcolo differenziale e delle equazioni
differenziali ordinarie;Analisi Matematica I, II, III, IVFondamenti sui sistemi dinamiciEquazioni Differenziali
Ordinarie, Equazioni Differenziali Ordinarie e Sistemi DinamiciFondamenti di algebra lineareGeometria I, II
Informatica I
Se qualcuno di questi prerequisiti mancasse, si ovvierà al problema durante il corso stesso.
Analisi del piano delle fasi,
Modelli Biomatematici Complementi, Biomatematica
Determinazione di equilibri
436
Argomento
Ore
Lezione
Ore Laboratorio
Dinamica di una popolazione
3
6
9
Dinamica di popolazioni interagenti
15
6
21
Dinamica di epidemie
6
4
10
Modelli a compartimento
3
2
5
Totale
27
18
45
437
particolare riguardo al campo della biologia matematica.
I modelli fondamentali che si vogliono prendere in esame sono costituiti dalle equazioni differenziali ordinarie e
alle derivate parziali, dalle equazioni integrali e dalle equazioni integro-differenziali.
Il contesto biologico in cui si studieranno questi modelli e’ principalmente dato da: l’evoluzione temporale di
popolazioni singole e interagenti, le popolazioni strutturate, il chemostato e la cinetica delle reazioni chimiche, i
meccanismi di reazione e diffusione, le onde biologiche, i fenomeni di formazione di pattern, la teoria di
TESTI
F. BRAUER, C. CASTILLO-CHAVEZ, Mathematical Models in Population Biology and Epidemiology,
Springer. J.D. MURRAY, Mathematical Biology, Springer. J. CRONIN, Mathematical Aspects of
Hodgkin-Huxley neural theory, Cambridge Univ. Press. B. CHARLESWORTH, Evolution in age-structured
populations, Cambridge Univ. Press. H. SMITH, P. WALTMAN, The theory of the Chemostat, Cambridge
Univ. Press. E. RENSHAW, Modelling Biological Populations in Space and Time, Cambridge Univ. Press. V.
COMINCIOLI, Problemi e Modelli Matematici nelle Scienze Applicate, Ambrosiana. A. OKUBO, S. LEVIN,
Diffusion and Ecological Problems: Modern Perspectives, Springer, 2001. S. J. FARLOW, Partial Differential
Equations for Scientists and Engineers, Dover. D. L. POWERS, Boundary value problems, Academic Press.
Jeffery M. COOPER, Introduction to Partial Differential Equations with Matlab, Birkhaeuser. Tyn MYINT-U,
Partial Differential Equations of Mathematical Physics, North Holland. R. B. GUENTHER, J. W. LEE, Partial
Differential Equations of Mathematical Physics and Integral Equations, Prentice Hall. G. A. SOD, Numerical
Methods in Fluid Dynamics, Initial and Boundary Value Problems, Cambridge Univ. Press.
NOTA
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Martedì
10:00 - 12:00
Giovedì 10:00 - 12:00
Venerdì 10:00 - 12:00
Lezioni: dal 29/09/2008 al 09/01/2009
Modelli Biomatematici Complementi - Non attivato nell’a.a. 2008/09
Codice: M8560
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 2
OBIETTIVI
Obiettivi Gli studenti al termine del corso dovranno aver familiarità con modelli più avanzati della materia, retti
da equazioni differenziali alle derivate parziali, da equazioni integrali e da equazioni integro-differenziali. Lo
studente dovrà anche aver acquisito nozioni sul contesto biologico in cui si studiano questi modelli,
principalmente dato dai seguenti argomenti. L’evoluzione temporale di popolazioni strutturate, i meccanismi di
438
reazione e diffusione, le onde biologiche, i fenomeni di formazione di pattern, la teoria di trasmissione neurale.
Fornire agli studenti uno strumento per descrivere in modo quantitativo alcuni aspetti di alcuni fenomeni naturali
delle scienze della vita.
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso) Insegnamenti fornitori Fondamenti del calcolo differenziale e delle equazioni
differenziali ordinarie Analisi Matematica I, II, III, IV Fondamenti sui sistemi dinamici Equazioni Differenziali
Ordinarie, Equazioni Differenziali Ordinarie e Sistemi Dinamici Fondamenti di algebra lineare Geometria I, II
Informatica I e/o corso di Modelli Biomatematici Se qualcuno di questi prerequisiti mancasse, si ovvierà al
problema durante il corso stesso.
Argomento
Ore
Lezione
Ore Laboratorio
Dinamica di popolazioni strutturate
3
3
Diffusione di popolazioni
3
2
439
5
Onde biologiche
3
2
5
Equazioni di reazione diffusione
3
2
5
Totale
12
6
18
particolare riguardo al campo della biologia matematica.
I modelli fondamentali che si vogliono prendere in esame sono costituiti dalle equazioni differenziali ordinarie e
alle derivate parziali, dalle equazioni integrali e dalle equazioni integro-differenziali.
Il contesto biologico in cui si studieranno questi modelli e’
principalmente dato da una scelta di alcune tematiche più avanzate, eventualmente anche a richiesta da parte
degli studenti
interessati, nei seguenti campi: l’evoluzione temporale di popolazioni
singole e interagenti, le popolazioni strutturate, il chemostato e la
cinetica delle reazioni chimiche, i meccanismi di reazione e diffusione,
le onde biologiche, i fenomeni di formazione di pattern, la teoria di
TESTI
F. BRAUER, C. CASTILLO-CHAVEZ, Mathematical Models in Population Biology and Epidemiology,
Springer. J.D. MURRAY, Mathematical Biology, Springer. J. CRONIN, Mathematical Aspects of
Hodgkin-Huxley neural theory, Cambridge Univ. Press. B. CHARLESWORTH, Evolution in age-structured
populations, Cambridge Univ. Press. H. SMITH, P. WALTMAN, The theory of the Chemostat, Cambridge
Univ. Press. E. RENSHAW, Modelling Biological Populations in Space and Time, Cambridge Univ. Press. V.
COMINCIOLI, Problemi e Modelli Matematici nelle Scienze Applicate, Ambrosiana. A. OKUBO, S. LEVIN,
Diffusion and Ecological Problems: Modern Perspectives, Springer, 2001. S. J. FARLOW, Partial Differential
Equations for Scientists and Engineers, Dover. D. L. POWERS, Boundary value problems, Academic Press.
Jeffery M. COOPER, Introduction to Partial Differential Equations with Matlab, Birkhaeuser. Tyn MYINT-U,
Partial Differential Equations of Mathematical Physics, North Holland. R. B. GUENTHER, J. W. LEE, Partial
Differential Equations of Mathematical Physics and Integral Equations, Prentice Hall. G. A. SOD, Numerical
Methods in Fluid Dynamics, Initial and Boundary Value Problems, Cambridge Univ. Press.
NOTA
440
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Nota: Le lezioni iniziano al termine del corso Modelli Biomatematici negli stessi orari.
Modelli Fisico-Matematici
Codice: MFN0172
Docente: Prof. Marco Ferraris (Titolare del corso), Prof. Marcella Palese (Titolare del corso)
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 5
OBIETTIVI
Il corso di propone di fornire agli studenti una panoramica delle tecniche e degli strumenti
geometrico-differenziali che sono alla base di modelli fisico-matematici (meccanici e cosmologici).
Gli studenti dovranno essere in grado di mostrare padronanza degli aspetti di base dei vari argomenti trattati.
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso)Insegnamenti fornitoriConoscenze di base di Analisi MatematicaAnalisi Matematica
I,II, IIIConoscenze di base di GeometriaGeometria I, II, IIIConoscenze di base di Fisica MatematicaFisica
Matematica I, II
Insegnamenti fruitoriPadronanza degli argomenti presentati nel corsoModelli Fisico-Matematici Complementi
Argomento
Ore
Lezione
Elementi di calcolo differenziale sulle varietà
9
441
9
Varietà simplettiche
9
9
Fibrati cotangenti
9
9
Distribuzioni e connessioni
9
9
Varietà Riemanniane
9
9
Totale
45
45
Verranno studiate alcune strutture e nozioni matematiche innovative, in genere non ancora diffuse nella didattica,
che non solo rendono più facilmente accessibili alcuni argomenti di matematica (tra i quali, p.es. la teoria delle
catastrofi), ma ne estendono anche l'applicabilità.
Mentre il matematico utilizza diffusamente il concetto di applicazione (o funzione) tra due insiemi, qui
baseremo le nostre considerazioni sul concetto di relazione (binaria, tra due insiemi: sottoinsieme del prodotto
cartesiano di due insiemi). In particolare, tratteremo il caso di relazioni canoniche fra varietà di tipo particolare: i
fibrati cotangenti. Basilari saranno anche le nozioni di varietà lagrangiana, di insieme lagrangiano (oggetto da
poco introdotto nella letteratura) e di famiglia generatrice (oggetto abbastanza sofisticato introdotto dalla illustre
scuola di Hormander nei primi anni '70, ma qui abbordato in maniera molto semplice).
Con questi utensili potremo affrontare con facilità vari argomenti, finora ritenuti accessibili solo agli specialisti,
non secondari per la cultura di un matematico. Un ridotto elenco è il seguente:
(1) Varietà integrabili.
(2) Teoremi di integrabilità per i sistemi differenziali (Teorema di Frobenius etc.) con applicazioni ai
(3) Problemi di accessibilità.
TESTI
S. BENENTI, Hamiltonian Optics and Generating Families (ed. Bibliopolis). Saranno disponibili copie di questo
libro e, possibilmente, di una sua traduzione in italiano.
NOTA
Modalità di verifica/esame L’esame si svolge, di norma, come segue: colloquio orale sugli argomenti del corso.
442
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Lunedì
16:00 - 18:00
Martedì
16:00 - 18:00
Lezioni: dal 02/03/2009 al 05/06/2009
Modelli Fisico-Matematici Complementi - Non attivato nell’a.a.
2008/09
Codice: M8561
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 2
OBIETTIVI
Il corso si propone di presentare alcuni modelli fisico matematici (meccanici e cosmologici).
Gli studenti dovranno essere in grado di mostrare padronanza nei vari argomenti trattati.
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso) Insegnamenti fornitori Elementi di calcolo differenziale sulle varietà Modelli
Fisico-Matematici Varietà simplettiche e Riemanniane
Insegnamenti fruitori Padronanza degli argomenti presentati nel corso Corsi della LM di argomento fisico
matematico
Argomento
Ore
Lezione
Modelli cosmologici
443
9
9
Sistemi meccanici con vincoli anolonomi
9
9
Totale
18
18
(1) Teoremi di integrabilità per l'equazione di Hamilton-Jacobi (equazione differenziale alle derivate
parziali del primo ordine) con applicazioni agli argomenti:
(2) Meccanica e ottica hamiltoniana.
(3) Controllo dei sistemi statici e termostatica.
(4) Geometrie non euclidee a curvatura costante di dimensione 2.
TESTI
S. BENENTI, Hamiltonian Optics and Generating Families (ed. Bibliopolis). Saranno disponibili copie di questo
libro e, possibilmente, di una sua traduzione in italiano.
NOTA
Modalità di verifica/esame L’esame si svolge, di norma, come segue: colloquio orale sugli argomenti del corso.
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=82ac
Modelli Matematici per le Applicazioni (DM 509)
Docente: Prof. Paolo Cermelli (Titolare del corso)
Tipologia: D.M. 509
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 5
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=1f8c
Multidisciplinary Lab (DM 270)
Docente: Prof. Paolo Cermelli (Titolare del corso), Prof. Cristina Zucca (Titolare del corso), Prof. Luigia
Caputo (Titolare del corso)
Tipologia: D.M. 270
Anno: 1° anno
Crediti/Valenza: 3
Avvalenza: SSD: MAT/05-06-07
444
Operatori Lineari e Analisi Microlocale (DM 270)
Docente: Prof. Ernesto Buzano (Titolare del corso)
Tipologia: D.M. 270
Anno: 1° anno
Crediti/Valenza: 6
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=c57f
Precorso di Matematica
Docente: Prof. Ornella Robutti (Titolare del corso), Dott. Luigi Vezzoni (Titolare del corso), Dott. Cristina
Sabena (Tutor)
Tipologia: D.M. 270
Anno: 1° anno
Crediti/Valenza:
Precorso di Matematica - a.a. 2008/09
Docente: Prof. Ornella Robutti (Titolare del corso), Prof. Sergio Console (Titolare del corso)
Tipologia: --- Nuovo Ordinamento --Anno: 1° anno
Crediti/Valenza:
PROGRAMMA
ORARIO LEZIONI
445
Giorni
Ore
Lunedì
9:00 - 13:00
Martedì
9:00 - 13:00
Mercoledì
9:00 - 13:00
Giovedì
9:00 - 13:00
Venerdì
9:00 - 13:00
Aula
Lezioni: dal 15/09/2008 al 26/09/2008
Nota: Il corso A fa lezione dalle 9.00 alle 11.00 in Aula 4, dalle 11.00 alle 13.00 in Aula Informatizzata n° 02.
Il corso B fa lezione dalle 9.00 alle 11.00 in Aula 5, dalle 11.00 alle 13.00 in Aula Informatizzata n° 01.
TUTORATO CORSO A: dalle 14.00 alle 17.00 in aula 1
TUTORATO CORSO B: dalle 14.00 alle 17.00 in aula 3
Precorso lungo - a.a. 2008/09
Tipologia: --- Nuovo Ordinamento --Anno: 1° anno
Crediti/Valenza:
PROGRAMMA
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Lunedì
16:00 - 18:00
Lezioni: dal 06/10/2008 al 15/12/2008
Nota: Le lezioni del lunedì si terranno solo dal 6/10/2008 al 15/12/2008
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=17ea
Docente: Prof. Laura Sacerdote (Titolare del corso), Prof. Luigia Caputo (Titolare del corso)
Tipologia: D.M. 509
Anno: 2° anno
Crediti/Valenza: 7
446
Processi Stocastici - Non attivato nell’a.a. 2008/09
Codice: S8525
Crediti/Valenza: 7
OBIETTIVI
Far conoscere le principali metodologie utili per lo studio di alcune classi di processi stocastici. Il corso si
propone anche di aiutare lo studente a sviluppare le capacità necessarie per formulare modelli probabilistici di
interesse applicativo, per studiarli ed eventualmente per affrontare la soluzione di problematiche non ancora
presenti in letteratura.
Capacità nell’utilizzo delle metodologie collegate allo studio dei processi stocastici e acquisizione di competenze
utili per lo sviluppo di modelli che utilizzino di diffusione.
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso) Insegnamenti fornitori Conoscenza di variabili aleatorie e relative proprietà Calcolo
delle Probabilità I ( e se possibile Calcolo delle Probabilità 2) Conoscenze preliminari sulle catene di Markov
Istituzioni di Calcolo delle Probabilità Attese condizionate e relative proprietà Istituzioni di Calcolo delle
Probabilità Competenze di calcolo integrale e differenziale Analisi Matematica I, II, III Competenze di tipo
numerico Analisi Numerica I, II
Conoscenza delle principali proprietà di: moto Browniano, processi stazionari e processi di diffusione. Prime
conoscenze su equazioni differenziali stocastiche ed integrazione secondo Ito
Metodi statistici per lo studio di serie storiche
Conoscenza delle metodologie utili per effettuare limiti diffusivi su modelli a tempo e spazio degli stati discreti.
Svolgimento delle tesi finale o per stages
Capacità di studiare modelli stocastici di interesse applicativo
Argomento
447
Ore
Lezione
Ore
Esercitazione
Classificazione dei processi stocastici e metodi per lo studio
5
2
Martingale e principali teoremi relativi
6
2
7
Moto Browniano
10
4
22
Processi stazionari
2
1
5
Processi di diffusione
18
8
20
Totale
41
15
56
448
Classificazione dei processi stocastici e metodi per lo studio delle diverse classi;
Martingale e principali teoremi relativi
Moto Browniano: proprietà delle realizzazioni e di importanti funzionali
Processi stazionari: metodi utili per lo studio
Processi di diffusione: proprietà, equazioni relative e studio di importanti funzionali.
TESTI
1. Karlin, S. and Taylor H.M. A first course in stochastic processes Academic Press 2.Karlin, S. and Taylor H.M.
A second course in stochastic processes Academic Press 3. Karatzas, I. and Shreve, S.E. Brownian motion and
stochastic calculus Springer-VerlagNOTA
ATTENZIONE: IL CORSO VIENE OFFERTO AD ANNI ALTERNI. SARA’ QUINDI ATTIVATO
NUOVAMENTE NELL’A.A. 2009/2010 Modalità d’esame: l’esame è orale e la prima domanda può venir
scelta dallo studente. I contenuti del corso sono utili per svolgere la tesi finale in ambito probabilistico-statistico.
La conoscenza dei processi stocastici puo’ anche risultare di grande importanza per lo svolgimento di stages
presso istituti bancari, assicurazioni o industrie. Attenzione: a causa di mancanza di personale del settore il corso
potrebbe venir attivato ad anni alterni.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Lunedì
11:00 - 13:00
Mercoledì
8:00 - 10:00
Giovedì
9:00 - 11:00
Lezioni: dal 03/03/2008 al 13/06/2008
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=c9ef
Docente: Prof. Laura Sacerdote (Titolare del corso), Prof. Luigia Caputo (Titolare del corso)
Tipologia: D.M. 270
Anno: 1° anno
Crediti/Valenza: 6
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=e94d
Sistemi Dinamici e Introduzione alla Teoria del Caos - a.a. 2008/09
Codice: MFN0173
449
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 5
Avvalenza: 5CFU Ambito G così suddivisi: 2.5CFU Settore MAT/05, 2.5CFU Settore MAT/07
OBIETTIVI
Il corso si propone di fornire agli studenti le conoscenze di base della teoria dei sistemi dinamici, sia nel discreto
che nel continuo, con particolare attenzione ai metodi e agli strumenti matematici necessari per trattare modelli
rigorosi e nello stesso tempo utilizzabili nelle applicazioni, ad esempio in fisica, economia, dinamica delle
popolazioni.
Saper impostare e risolvere problemi di base tipici della disciplina, specificamente l’analisi qualitativa di sistemi
dinamici continui in dimensione uno e due. Conoscere i principali aspetti della teoria dei sistemi dinamici
continui e discreti, in modo da poter affrontare, nel seguito degli studi, tematiche inerenti più avanzate.
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso)Insegnamenti fornitoriCalcolo differenziale per funzioni di una variabile. Equazioni
differenziali elementariAnalisi Matematica ICalcolo integrale per funzioni di una variabileAnalisi Matematica
IICalcolo differenziale e integrale per funzioni di più variabiliAnalisi Matematica IIIGeometria
analiticaGeometria IAlgebra lineareGeometria II
Il problema di Cauchy per equazioni differenziali ordinarie
Corsi della LT e della LM di carattere analitico e fisico-matematico
Sistemi lineari e loro classificazione
Problemi ai limiti per equazioni differenziali del secondo ordine
Argomento
Ore
Lezione
Ore
Esercitazione
450
Presentazione del corso. Spazi metrici. Successioni di Cauchy. Spazi metrici completi.
1
1
Completezza di C(K). Teorema delle contrazioni. Il Problema di Cauchy. Teorema di esistenza e unicita’ della
soluzione. Approssimazioni successive.
2
2
Lemma di Gronwall. Dipendenza continua della soluzione del problema di Cauchy dai dati in ipotesi di
Lipschitz.
2
2
Dipendenza derivabile della soluzione del problema di Cauchy dai dati. Equazione alle variazioni. Esercizi.
1
1
2
Ulteriori teoremi di dipendenza continua. Esercizi.
1
1
2
Esistenza globale della soluzione del problema di Cauchy. Corollari ed esercizi.
1
1
2
Esercizi sul problema di Cauchy. Equazioni differenziali autonome: prime proprieta’.
1
451
1
Sistemi dinamici nel continuo. Esempi. Il sistema dinamico di Bebutov.
1
1
2
Orbite di un sistema dinamico. Ritratti di fase. Richiami su sistemi di equazioni differenziali lineari del primo
ordine.
1
Esponenziale di una matrice. Definizione e prime proprieta'.
1
1
Calcolo dell'esponenziale di una matrice in forma canonica. Esempi ed esercizi.
1
1
2
Equivalenza lineare ed equivalenza topologica di sistemi lineari piani a coefficienti costanti. Enunciato dei
teoremi di classificazione topologica.
2
2
Dimostrazione del teorema di equivalenza topologica di sistemi iperbolici.
1
1
Problemi ai limiti nonlineari
2
2
452
Introduzione ai sistemi discreti (mappe iterate): discretizzazione alla Eulero, mappa di Poincaré. Che domande ci
poniamo in relazione a un sistema
dinamico: studio qualitativo come analisi delle proprietà dell’insieme delle soluzioni.
2
2
Inizio studio della mappa logistica. Definizione di punti fissi, stabilità, stabilità asintotica. Criterio di
stabilità per punti iperbolici di una mappa iterata in una dimensione reale.
2
2
Studio al computer del comportamento della mappa logistica per diversi valori del parametro.
Biforcazioni. Confronto con l’equazione logistica (continua) e le sue soluzioni. Enunciato del teorema di
Sharkowski.
2
2
Studio della mappa logistica (con lambda > 4) con la dinamica simbolica. Definizione di sistema caotico.
2
2
Dinamica simbolica per la mappa logistica con lambda=4. Coniugazione topologica con ua mappa sul cerchio.
Esempi di mappe iterate in R^2 (horseshoe map, caso invertibile di Bernoulli shift) e nel piano complesso (z ->
z^2 + c, insieme di Julia e insieme di Mandelbrot).
2
2
I frattali. Costruzione, proprietà, dimensione.
2
2
453
Sistemi lineari continui nel piano. Generalità, importanza dei cambiamenti di coordinate, definizione di costanti
del moto. Pendolo e oscillatore armonico.
2
2
Teorema del flow-box. Motivazioni per lo studio dei sistemi lineari. Studio dei sistemi lineari, caso
diagonalizzabile sui reali.
2
2
Sistemi lineari nel piano: caso di autovalori complessi e caso non diagonalizzabile. Stabilità di un punto critico.
Teorema di Liapunov.
2
2
Stabilità per sistemi nonlineari nel piano con il teorema di Liapunov. Punti a sella: varietà stabile e
instabile. Orbite omocline e eterocline.
2
2
Teorema di Poincaré-Bendixson. Cenni alla stabilità strutturale.
2
2
TOTALE
40
5
45
Il corso e’ rivolto a studenti di TUTTI gli orientamenti.
Il programma che segue potrà essere parzialmente modificato sulla base degli interessi degli studenti. Saranno
possibili lezioni su aspetti applicativi e computazionali dei sistemi dinamici.
454
Presentazione del corso. Quali domande ci poniamo in relazione a un sistema
dinamico: studio qualitativo come analisi delle proprietà dell’insieme delle soluzioni. Sistemi dinamici continui e
discreti. Richiami sulle equazioni differenziali ordinarie autonome. Esempi. Orbite di un sistema dinamico.
Ritratti di fase. Teorema del flow-box.
Motivazioni per lo studio dei sistemi lineari. Sistemi lineari nel piano: caso di autovalori complessi e caso non
diagonalizzabile. Stabilità di un punto critico. Teorema di Liapunov. Stabilità per sistemi nonlineari nel piano
con il teorema di Liapunov. Punti a sella: varietà stabile e instabile. Orbite omocline e eterocline.
Teorema di Poincaré-Bendixson. Cenni alla stabilità strutturale. Esempi di biforcazioni per sistemi continui in
una e due dimensioni.
Introduzione ai sistemi discreti (mappe iterate): discretizzazione alla Eulero, mappa di Poincaré. Studio della
mappa logistica. Definizione di punti fissi, stabilità, stabilità asintotica. Criterio di stabilità per punti iperbolici di
una mappa iterata in una dimensione reale. Studio del comportamento della mappa logistica per diversi valori del
parametro. Biforcazioni. Confronto con l’equazione logistica (continua) e le sue soluzioni. Enunciato del
teorema di Sharkowski.
Studio della mappa logistica (con lambda > 4) con la dinamica simbolica. Definizione di sistema caotico.
Dinamica simbolica per la mappa logistica con lambda=4. Coniugazione topologica con ua mappa sul cerchio.
Esempi di mappe iterate in R^2 (horseshoe map, caso invertibile di Bernoulli shift) e nel piano complesso (z ->
z^2 + c, insieme di Julia e insieme di Mandelbrot).
I frattali. Costruzione, proprietà, dimensione.
TESTI
1. J. Hale - H. Koçak, Dynamics and Bifurcations, Springer Verlag 1991, ISBN 0-387-97141-6. 2. R. Devaney,
An Introduction to Chaotic Dynamical System, Perseus Publishing Co. 1989, ISBN 0-201-13046-7. 3. M. Hirsch
- S. Smale, Differential Equations, Dynamical Systems and Linear Algebra, Academic Press 1974, ISBN
0-12-349550-4. 4. E. Beltrami, Mathematics for Dynamical Modeling, Academic Press 1987, ISBN
0-12-085555-0
NOTA
MODALITA’ D’ESAME: presentazione orale di un approfondimento concordato. Appelli in date da concordare
con il docente.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Martedì
8:00 - 10:00
Venerdì
8:00 - 10:00
Lezioni: dal 29/09/2008 al 09/01/2009
Sistemi Dinamici e Introduzione alla Teoria del Caos Complementi Non attivato nell’a.a. 2008/09
455
Codice: M8588
Docente:
Recapito: []
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 2
OBIETTIVI
Apprendere i contenuti del programma del corso.
Il programma del corso.
PROGRAMMA
Approfondimenti dei contenuti di "Sistemi dinamici e introduzione alla teoria del caos", concordati sulla base
degli interessi degli studenti.
NOTA
Appelli in date da concordare con il docente.
Sistemi Dinamici e Teoria del Caos (DM 270)
Tipologia: D.M. 270
Anno: 1° anno
Crediti/Valenza: 6
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=1ecb
Sistemi Dinamici ed Equazioni di Evoluzione v
Docente: Prof. Paolo Caldiroli (Titolare del corso), Prof. Walter Dambrosio (Titolare del corso)
Tipologia: D.M. 509
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 5
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=77da
Statistica dei Processi Stocastici (DM 270)
Docente: Prof. Roberta Sirovich (Titolare del corso), Prof. Cristina Zucca (Titolare del corso)
456
Tipologia: D.M. 270
Anno: 1° anno
Crediti/Valenza: 6
Statistica II - Non attivato nell’a.a. 2008/09
Codice: M8540
Docente:
Recapito: []
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 5
OBIETTIVI
Fornire le alcune metodologie utili per studiare fenomeni casuali in evoluzione temporale (serie temporali),
presentando sia i fondamenti teorici che gli aspetti applicativi dei metodi analizzati.
Sviluppo di abilità e competenze utili allo studio statistico di variabili in evoluzione temporale.
PROGRAMMA
Cenni: processi stocastici e processo di Poisson
Processi stazionari: serie storiche relative a tali processi
Stima nel dominio del tempo e analisi di dati con SAS
Analisi di serie temporali determinate da processi di punto
TESTI
1. Priestley M.B. Spectral Analysis and Time Series Academic Press (cap. 1-3; 5) 2. CoxD.R. and Lewis P.A.W.
The statistical analysis of series of events Metheuen and Co. LTD
NOTA
Le conoscenze sviluppate in questo corso possono risultare particolarmente utili per lo svolgimento di stages in
ambito statistico. La conoscenza delle serie storiche è di interesse per attività lavorative in ambito statistico
finanziario, medico, biologico...
Statistica II Complementi - Non attivato nell’a.a. 2008/09
Codice: M8564
Docente:
Recapito: []
457
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 2
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=f50e
Statistica Matematica - a.a. 2008/09
Anno: 2° anno
Crediti/Valenza: 5
Avvalenza: 5 CFU Ambito B
PROGRAMMA
definzione di campione casuale estratto da una popolazione. Statistiche e momenti campionari. Media e Varianza
dei momenti campionari. Caso particolare della media campionari. Legame tra la media campionaria e la media
della popolazione. varianza campionaria e sua media e varianza. Distribuzione dei momenti campionari. Stima
puntuale, definizione di stimatore. Metodi per la ricerca degli stimatori: metodo dei momenti e metodo della
massima verosimiglianza. Proprietà degli stimatori: correttezza, errore quadratico medio. Stimatori lineari e
stimatore lineare a varianza minima. Stimatori corretti a varianza minima (UMVU). Teorema di Cramer-Rao.
Proprietà asintotiche degli stimatori: correttezza asintotica, consistenza. Sufficienza. Teorema di fattorizzazione
e teorema di Blackwell-Rao. Stima intervallare: definizione di intervallo di confidenza. Metodo della quantità
pivotale per la ricerca degli IC. Test di ipotesi: definizione di ipotesi statistica, regione critica, errore di prima e
seconda specie, potenza del test e ampiezza del test. Lemma di Neyman-Pearson. Ipotesi composte e rapporto
generalizzato delle verosimiglianze. Modelli lineari generali. Stima nei modelli lineari generali: caso normale e
caso scorrelato. Teorema di gauss-Markov.
TESTI
P. J. Doksum, K. A. Bickel, Mathematical Statistics A. M. Mood, F. A. Graybill, D. C. Boes, Introduzione alla
statistica A. Di Crescenzo, L. M. Ricciardi, Elementi di Statistica
NOTA
Il corso è mutuato dagli ultimi 5 CFU Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Lunedì
11:00 - 13:00
Mercoledì
11:00 - 13:00
Giovedì
11:00 - 13:00
Venerdì
9:00 - 11:00
Lezioni: dal 29/09/2008 al 09/01/2009
458
Statistica Matematica - Non attivato nell’a.a. 2008/09
Codice: M8514
Docente: Prof. Laura Sacerdote (Titolare del corso), Prof. Luigia Caputo (Esercitatore)
Tipologia: Di base
Anno: 2° anno
Crediti/Valenza: 7
OBIETTIVI
Apprendimento dei fondamenti teorici della statistica matematica e dei principali metodi di analisi. Sviluppo di
capacità di analisi di semplici situazioni di interesse applicativo.
Capacità di analisi di problemi reali per cui siano disponibili dati anche con l’utilizzo di software dedicato.
Capacità ad affrontare teoricamente problemi statistici riconoscendo i mezzi più idonei per lo studio teorico e
pratico del problema.
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso) Insegnamenti fornitori Probabilità di eventi, variabili aleatorie, distribuzioni continue e
discrete con le relative proprietà, teoremi limite del calcolo delle probabilità Calcolo delle Probabilità I Studio
di funzioni, derivazione e integrazione Analisi Matematica I, II
Capacità di effettuare un'analisi statistica per grandi campioni
Statistica II
Conoscenza delle metodologie standard per problemi di stima
Calcolo delle Probabilità II
Capacità di confrontare campioni e fare semplici previsioni statistiche
Argomento
Ore
Lezione
Ore
459
Esercitazione
Ore Laboratorio
Introduzione e campionamento statistico
3
1
4
Principali distribuzioni di interesse statistico
3
3
6
Stimatori, relative proprietà e metodi per determinarli
8
3
11
Stime intervallari
4
2
6
Test di ipotesi parametrici e non parametrici
8
6
2
16
Modelli lineari: regressione e analisi della varianza
460
8
6
14
Fondamenti teorici della statistica descrittiva
2
4
6
Totale
36
15
12
63
Statistica descrittiva: principali strumenti di descrizione di dati e relativa interpretazione
Stime puntuali: metodi per determinare gli stimatori; proprietà degli stimatori puntuali: sufficienza; correttezza;
invarianza di posizione e di scala per uno stimatore. Stimatori UMV, diseguaglianza di Cramer Rao, famiglie
esponenziali.
Stime intervallari per i parametri: intervalli di confidenza; esempio: campionamento dalla distribuzione normale;
metodi per determinare un intervallo di confidenza; caso particolare: grandi campioni; carte di controllo come
esempio di intervallo di confidenza.
Tests di ipotesi: ipotesi nulla e alternativa semplici; lemma di Neyman-Pearson; ipotesi composte, metodo del
rapporto di verosimiglianza generalizzato; campionamento dalla distribuzione normale; tests del Chi-quadro.
Modelli lineari: definizione di modello lineare; esempi di applicazioni; stime puntuali e intervallari dei parametri
del modello; analisi della varianza a una via e analisi della varianza a due o più vie; regressione lineare e stima
dei parametri di regressione.
Metodi non parametrici: inferenze relative alla distribuzione cumulativa; test di Kolmogorov-Smirnov per la
bontà di un fit; tabelle di contingenza e relativi tests (indipendenza); inferenze relative ai quantili. Fondamenti
teorici per l’analisi statistica di dati.
Il corso è completato con esercitazioni alla lavagna relative ad applicazioni della teoria e da esercitazioni in aula
informatizzata impiegando software dedicato che gira in ambiente Windows: Statistica e Excel.
TESTI
DI CRESCENZO RICCIARDI, Elementi di statistica, Liguori, (2000). Altro libro consigliato per ulteriori
consultazioni: MOOD, GRAYBILL, BOES, Introduzione alla statistica, McGraw Hill, (1997). I lucidi delle
lezioni sono scaricabili da questo sito. Il materiale delle esercitazioni sarà via via scaricabile da questo sito (viene
inserito col procedere di lezioni ed esercitazioni).
NOTA
Modalità d’esame: l’esame si svolge in aula informatizzata ed è scritto. Non è possibile sostenere la prova
oralmente. Dettagli relativi alla struttura del compito sono disponibili nelle prime slides del corso. Inotre sarà
fornito un fac-simile di prova insieme al materiale didattico del corso.
461
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Lunedì
8:00 - 10:00
Mercoledì
11:00 - 13:00
Venerdì
10:00 - 11:00
Lezioni: dal 03/03/2008 al 13/06/2008
Nota: La lezione del mercoledì utilizza anche le aule informatizzate.
ATTENZIONE: Il 6/06/2008 e il 13/06/2008 non si terrà la lezione.
TUTORATO: lunedì dalle 14.00 alle 16.00.
Storia delle Matematiche (DM 509)
Codice: MFN0174
Docente: Prof. Clara Silvia Roero (Titolare del corso)
Tipologia: D.M. 509
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 5
Storia delle Matematiche (DM 509)
Tipologia: D.M. 509
Anno: 2° anno
Crediti/Valenza: 7
Storia delle Matematiche - a.a. 2008/09
Codice: MFN0174
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 5
462
OBIETTIVI
Fornire le conoscenze basilari sul percorso compiuto dall’antichità all’epoca moderna nell’ambito del pensiero
matematico, mostrando l’evoluzione di alcuni concetti fondamentali della geometria, dell’algebra, dell’analisi e
del calcolo delle probabilità, in modo da evidenziare la ricchezza degli approcci utilizzati e far percepire le
difficoltà epistemologiche incontrate, i successi ottenuti e gli sviluppi successivi.
Il corso presenta caratteristiche un po’ diverse dall’insegnamento tradizionale della matematica, intesa come
scienza astratta, perfetta e rigorosa. Esso offre infatti la possibilità di conoscere i retroscena: l’evoluzione delle
idee, dei metodi e delle teorie, elaborate nel corso dei millenni dai matematici più geniali, e anche di cogliere gli
errori e i limiti di certe impostazioni. È un invito alla creatività e alla fecondità degli approcci, ai punti di vista
differenti su uno stesso tema o problema, che stimolarono idee nuove e originali. I personaggi che dall’antica
Grecia fino all’epoca moderna hanno contribuito allo sviluppo del pensiero matematico sono qui inseriti nel
contesto storico e filosofico dell’epoca in cui vissero e la loro produzione è analizzata relativamente alla
rilevanza dei concetti, dei metodi e delle teorie da essi introdotti o elaborati.
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso)Insegnamenti fornitoriConoscenze di base di Algebra, Analisi e GeometriaAnalisi
Matematica I, II Algebra II Geometria I
acquisizione di capacità critiche nello studio di testi matematici
Fondamenti della matematica
Conoscenza dei principali sviluppi del pensiero matematico dall'antichità all'epoca moderna.
Storia della matematica,Didattica della matematica,Matematiche elementari p.v.s.Istituzioni di Matematiche
Complementari
Argomento
Ore
Lezione
La matematica nelle civiltà arcaiche: Egitto, Mesopotamia.
2
2
La geometria e l'aritmetica in Grecia: Talete, la scuola pitagorica, la scuola eleatica: Parmenide e Zenone,
i problemi classici. Democrito, Anassagora, Empedocle, Archita, i sofisti e l’infinito in Grecia (potenziale ed
attuale). La scuola di Atene.
463
6
6
La teoria delle proporzioni di Eudosso e il confronto con i numeri reali di Dedekind. La Scuola di Alessandria:
Euclide, Archimede, Apollonio.
6
6
L'epoca dei commentatori. La matematica medioevale nei paesi arabi e in Occidente: Merton College e
Oresme sul concetto di funzione.
1
1
Storia dell'algebra islamica dal IX al XVI secolo. La risoluzione delle equazioni di terzo e di quarto grado:
Dal Ferro, Tartaglia, Cardano, Ferrari. Il caso irriducibile e i numeri immaginari: Bombelli. F. Viète e
l'introduzione delle notazioni in algebra.
5
5
Gli indivisibili in J. Kepler, L. Valerio, G. Galilei, B. Cavalieri e E. Torricelli. Le critiche di P. Guldin. Il
Dialogo e i Discorsi di G. Galilei.
5
5
Il metodo degli indivisibili e altri metodi di integrazione in Francia: G. P. de Roberval, B. Pascal, P. Fermat.
3
3
Problemi di calcolo delle probabilità sul lancio di dadi e sulla divisione della posta.
2
2
Descartes: la Géométrie, il problema di Pappo, il metodo per la determinazione della normale. P. Fermat:
massimi, minimi e tangenti. I metodi di Roberval, I. Barrow, I. Newton e G. W. Leibniz per la tangente.
5
5
Il teorema fondamentale del calcolo integrale in Barrow, Newton, Leibniz e Cauchy.
2
2
464
Il calcolo differenziale e integrale di Leibniz (1684, 1686, 1693) e le equazioni differenziali nell'indirizzo
leibniziano. Euler, D'Alembert e Lagrange.
4
4
L'analisi classica nell'opera di A.-L. Cauchy.
1
1
L'analisi nell'Ottocento: Weierstrass, Riemann.
1
1
I fondamenti della matematica: Dedekind, Cantor, Hilbert, Peano.
2
2
Totale
45
45
La matematica nelle civiltà arcaiche. Il miracolo greco: dalla filosofia alla scienza. Le Scuole di Mileto, Crotone,
Elea, Taranto, Atene, Cizico e Alessandria. I tre problemi classici: soluzioni antiche e moderne. L’infinito in
Grecia. La teoria delle proporzioni di Eudosso e il confronto con la teoria dei numeri reali di Dedekind. Gli
Elementi di Euclide. Le opere di Archimede. Il metodo di esaustione e il metodo meccanico. Le Coniche di
Apollonio. I procedimenti dell'Analisi e della Sintesi.
La nascita dell'algebra e la teoria delle equazioni da al-Khwarizmi a O. al-Khayyam. Gli arabi e il
postulato delle parallele. Leonardo Pisano e la rinascita della matematica in Occidente. Grandezze, variabilità,
infinito nel Medioevo. L'algebra in Italia e in Francia nel XVI secolo. Le soluzioni delle equazioni di terzo
e di quarto grado: N. Tartaglia, G. Cardano, L. Ferrari, R. Bombelli e F. Viète.
Galileo e la scienza del moto. Gli indivisibili in J. Kepler, L. Valerio, G. Galilei, B. Cavalieri, E. Torricelli, G. P.
de Roberval, B. Pascal. Altri metodi di integrazione in Roberval, Pascal, Fermat, Wallis. Descartes: filosofia e
matematica. Metodi per la determinazione della retta tangente in Descartes, Fermat, Roberval, Barrow, Newton e
Leibniz. Il calcolo differenziale di Leibniz e i metodi infinitesimali di Newton. Il teorema fondamentale del
calcolo integrale.
Lettura di testi opportunamente scelti
TESTI
C. BOYER, Storia della matematica, Mondadori, Milano 1980. M KLINE, Storia del pensiero matematico,
Torino, Einaudi, 1972. Appunti delle lezioni.
NOTA
L’esame si svolge, di norma, come segue: colloquio orale.
ORARIO LEZIONI
465
Giorni
Ore
Aula
Mercoledì
11:00 - 12:00
Giovedì
10:00 - 12:00
Venerdì
9:00 - 11:00
Lezioni: dal 29/09/2008 al 09/01/2009
Storia delle Matematiche - a.a. 2008/09
Crediti/Valenza: 7
OBIETTIVI
Mostrare l’evoluzione della ricerca matematica soprattutto nei campi dell’analisi e dei fondamenti, sottolineando
gli aspetti interni e esterni che hanno contribuito alla definizione di alcuni concetti e teorie.
Acquisizione di conoscenze storiche e di capacità critiche sulla matematica, sul suo rigore e sulle formulazioni
delle sue teorie, con presa di coscienza di vari approcci metodologici ai problemi scientifici e apprendimento dei
canali per il reperimento di fonti di bibliografia primaria e secondaria.
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso) Insegnamenti fornitori Corsi di base nella laurea triennale in Matematica Analisi
Matematica I, II Geometria I, II Logica Matematica
acquisizione di capacità critiche nello studio di testi matematici
Conoscenza dei mutamenti del pensiero matematico nell'epoca moderna e contemporanea
Istituzioni di Matematiche complementari
466
Matematiche elementari p.v.s.
Argomento
Ore
Lezione
Le rivoluzioni nel percorso storico della matematica. Il concetto di dimostrazione e l'evoluzione storica
dei fondamenti e del significato di rigore. Metodi analitici e sintetici.
20
20
Metodi infinitesimali prima della nascita del calcolo leibniziano e newtoniano
2
2
Metodo differenziale di Leibniz e i suoi sviluppi nella matematica del XVIII secolo (Bernoulli, Euler,
D'Alembert)
10
10
Metodo dei primi e ultimi rapporti di Newton
5
5
Metodo delle flussioni di Newton
5
5
Le serie nei calcoli di Leibniz e di Newton
2
2
L'opera scientifica di Lagrange e di Cauchy
4
4
467
L'aritmetizzazione dell'analisi nel XIX secolo
2
2
I fondamenti della matematica in Hilbert e nella scuola di Peano
6
6
Totale
56
56
TESTI
Dipartimento di Matematica e sul sito del corso http://matematica.campusnet.unito.it/cgi-bin/corsi.pl I testi base
consigliati per il corso sono: 1. Dupont P., Roero C. S., Leibniz 84. Il decollo enigmatico del calcolo
differenziale, Mediterranean Press, Rende 1992. 2. Enciclopedia di Storia della scienza, vol. V, VI, VII,
Enciclopedia Treccani, 2000-2005 3. M Kline, Storia del pensiero matematico, vol. 2: Dal Settecento al
Novecento, Einaudi, Torino 1996 4. E. Hairer, G. Wanner, Analysis by its history, Berlin, Springer 1996. 5. D.
Hilbert, Ricerche sui fondamenti della matematica, a cura di V. M. Abrusci, Napoli, Bibliopolis 1984. E’
fortemente consigliato l’utilizzo del seguente materiale per approfondimenti e integrazioni: Collana di cd-rom
sulla matematica antica, disponibili presso la Biblioteca. Infine sono di seguito indicati siti internet di interesse:
www.dm.unito.it/sism/index.html
NOTA
L’esame si svolge, di norma, come segue: colloquio orale.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Mercoledì
11:00 - 13:00
Giovedì
8:00 - 10:00
Venerdì
8:00 - 9:00
Lezioni: dal 02/03/2009 al 05/06/2009
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=ab44
Storia delle Matematiche 1 (DM 270)
Tipologia: D.M. 270
Anno: 1° anno
Crediti/Valenza: 6
468
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=adc2
Storia delle Matematiche Complementi - a.a. 2008/09
Codice: MFN0175
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 2
OBIETTIVI
Acquisizione di capacità critiche nello studio di testi matematici antichi e moderni e orientamento nelle fonti
bibliografiche.
Mostrare direttamente, attraverso la lettura dei testi originali, l’evoluzione di alcuni concetti fondamentali della
geometria, dell’algebra, dell’analisi e del calcolo delle probabilità.
PROGRAMMA
Argomento
Ore
Lezione
Ore
Esercitazione
Ore Laboratorio
Letture commentate di passi tratti dai classici della scienza: I paradossi di Zenone: Aristotele, Fisica, Lib. VI,
8-9, 239b-240a; Lib. VI, 2, 233a-b; Lib. VII, 5, 249b-250a; Lib. VIII, 8, 263a-b; La duplicazione del quadrato:
Platone, Menone 73e-85b; il ruolo della matematica nell'educazione: Repubblica, Lib. VI, 508d-511e;
Repubblica, Lib. VII, 521c-541b; il numero nuziale: Repubblica, Lib. VIII, 546b-d; le proporzioni continue:
Timeo, 31b-32c; i cinque poliedri regolari: Timeo, 52d-56c.
4
L'applicazione delle aree e le equazioni di secondo grado: Euclide, Elementi Lib. VI.27 e Lib. VI.28;
Infinito attuale e infinito potenziale: Aristotele, Fisica, Lib. III, 3-4, 202b- Lib. III, 6-7, 207°; Archimede, Il
Metodo sui teoremi meccanici: area del segmentodi parabola.
469
2
I paradossi dell'infinito e il moto dei proiettili: Galilei, Discorsi e dimostrazioni, 1638
1
R. Descartes, Géométrie, scritti di Fermat, Leibniz, Newton
3
Scritti sui giochi di dadi e sulla divisione della posta: Galilei 1610, Pascal- Fermat 1654, Huygens 1657, Jac.
Bernoulli 1713
2
Testi sui Fondamenti: Dedekind, Peano, Russell, Hilbert
2
Organizzazione e creazione di testi o prodotti multimediali. Presentazioni in Power point. Criteri per
l'esecuzione di traduzioni di testi di storia della matematica o di opere classiche. Guida alla decifrazione di
carteggi e manoscritti (dal XV al XIX secolo) e alla trascrizione dei medesimi.
2
470
Utilizzo dei CD-rom sulla matematica antica e Ricerche storiche con mezzi multimediali. Utilizzazione di File
Maker pro 5, di Excell e di altri programmi per l'archiviazione di dati inerenti manoscritti, carteggi,
ritratti, strumenti, necrologi, biografie, pubblicazioni, riviste, ecc. Principali siti internet di storia delle
matematiche.
2
Totale
4
12
2
18
Pre-requisiti (in ingresso)Insegnamenti fornitoriConoscenze di storia della matematicaStoria della Matematica
Comprensione di testi originali
Storia della Matematica
Orientamento nella bibliografia matematica primaria e secondaria
Organizzazione di dati di archivio
Matematiche elementari p.v.s.
Utilizzo di Power Point, Excell, File Maker, Access
Istituzioni di Matematiche Complementari
Redazione di tesi di laurea (inquadramento storico del tema trattato)
471
NOTA
L’esame si svolge, di norma, come segue: relazione in .ppt e presentazione orale.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Venerdì
11:00 - 12:00
Lezioni: dal 17/10/2008 al 30/01/2009
Nota: Il corso terminerà al completamento delle ore previste
Strutture Algebriche - a.a. 2008/09
Codice: MFN0176
Recapito: 0116702931 []
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 5
MAT/01
OBIETTIVI
Trattare argomenti che sono preliminari ai corsi della laurea magistrale che trattano di algebra commutativa,
geometria algebrica, da un lato, la teoria dei modelli dall’altro. Lo studente, al termine del corso, deve essere in
grado di inquadrare alcune strutture algebriche e combinatorie all’interno della classe delle strutture del
prim’ordine. Deve essere capace di formalizzare in un linguaggio del prim’ordine alcune semplici proprietà
algebriche e combinatorie. Deve avere una discreta intuizione sulle capacità e i limiti espressivi dei linguaggi del
prim’ordine. Deve essere in grado di lavorare con il concetti di saturazione e compattezza.
Il corso si propone due obiettivi. Trattare argomenti che sono preliminari ai corsi della laurea magistrale che
trattano di algebra commutativa, geometria algebrica, e teoria dei modelli. Questi corsi non possono, per motivi
di tempo, dedicare l’attenzione che questi fondamenti meritano. In secondo luogo si vuole gettare un ponte tra i
linguaggi e le tecniche dell’algebra e la geometria da un lato, la teoria dei modelli dall’altro.
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso)Insegnamenti fornitoriAlgebraAlgebra I e IIMatematica DiscretaMatematica
DiscretaGeometriaGeometria I, II
Familiarità con le strutture del prim’ordine e con alcune applicazioni dell’omega-saturazione nell’algebra e la
geometria.
472
Algebra Commutativa, Istituzioni di Logica
Argomento
Ore
Lezione
Strutture, termini, formule, insiemi definibili, isomorfismi e omomorfismi tra strutture.
5
5
Esempi: campi, anelli, moduli, l’anello dei polinomi.
5
5
Esempi: ordini lineari. Grafi aleatori. Proprieta’ di universalita’ e di omogeneita’.
5
5
Omega saturazione, eliminazione dei quantificatori.
15
15
Campi algebricamente chiusi: insiemi costruibili topologia di Zariski, spettro di Zariski, Nullstellensatz.
15
15
Totale
45
45
Il seguente e’ approssimativamente il programma delle lezioni.
Strutture, termini, formule, insiemi definibili, morfismi.
Esempi: campi, anelli, moduli, ordini lineari, grafo aleatorio reticoli.
Strutture omega-sature e omega omogenee.
473
Eliminazione dei quantificatori.
Campi algebricamente chiusi: insiemi costruibili, topologia di Zariski, spettro di Zariski.
Teorema di costruibilità di Chevalley (ovvero: eliminazione dei quantificatori nei campi algebricamente chiusi).
Alcune applicazioni, ad esempio il Nullstellensatz.
TESTI
1. Appunti del docente distribuiti a lezione.
NOTA
L’esame e scritto. Parte delle ore di lezione sono dedicate ad esercitazioni in cui gli studenti risolvono esercizi.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Lunedì
8:00 - 10:00
Martedì
10:00 - 12:00
Ufficio del docente Dipartimento di Matematica via Carlo Alberto 10
Giovedì
10:00 - 12:00
Ufficio del docente Dipartimento di Matematica via Carlo Alberto 10
Lezioni: dal 06/10/2008 al 09/01/2009
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=c19a
Teoria degli Insiemi - a.a. 2008/09
Docente: Prof. Alessandro Andretta (Titolare del corso), Prof. Matteo Viale (Titolare del corso)
Crediti/Valenza: 7
OBIETTIVI
L’allievo dovrà essere in grado di mostrare padronanza tecnica degli aspetti di base dei vari argomenti trattati tra
cui: l’assioma di Martin, il principio-diamond, gli insiemi costruibili, il forcing etc.
Il corso si propone di fornire agli studenti una solida preparazione in teoria degli insiemi. Particolare enfasi verrà
data alle tecniche insiemistiche più importanti, quali: la combinatorica infinita, la costruibilità ed il forcing.
PROGRAMMA
474
Conoscenze di base di Logica Matematica
Istituzioni di Logica Matematica
Assiomi, ordinali, cardinali, assioma di scelta, ipotesi del continuo
Teoria degli Insiemi
Linguaggi, modelli, teoremi di compattezza e completezza
Teoria dei Modelli
Funzioni ricorsive
Argomento
Ore
Lezione
Ore
Esercitazione
Metamatematica di ZFC
10
10
Combinatorica
22
475
22
Costruibilità
10
10
Forcing
24
24
Totale
56
56
TESTI
Il testo base consigliato per il corso e’: K.Kunen, Set Theory, North Holland, 1980
NOTA
modalità d’esame: Colloquio orale.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Lunedì
9:00 - 11:00
Martedì
9:00 - 11:00
Mercoledì
16:00 - 18:00
Lezioni: dal 02/03/2009 al 05/06/2009
Nota: Il 1/4/2009 la lezione si terra’ nell’ufficio del prof. Andretta
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=b8a3
Teoria degli Insiemi (DM 509)
Docente: Prof. Matteo Viale (Titolare del corso), Prof. Alessandro Andretta (Titolare del corso)
476
Tipologia: D.M. 509
Anno: 2° anno
Crediti/Valenza: 7
Teoria degli Insiemi (DM 270)
Docente: Prof. Matteo Viale (Titolare del corso), Prof. Alessandro Andretta (Titolare del corso)
Tipologia: D.M. 270
Anno: 1° anno
Crediti/Valenza: 6
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=b7db
Teoria dei Campi (DM 509)
Tipologia: D.M. 509
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 5
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=9dbd
Teoria dei Grafi - a.a. 2008/09
Codice: MFN0177
Docente: Prof. Marco Burzio (Titolare del corso)
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 5
OBIETTIVI
La teoria dei grafi, pur essendo una branca della matematica pura, ha numerose applicazioni nei più disparati
settori della scienza e della tecnologia (ottimizzazione dei trasporti e delle risorse, architettura dei circuiti
stampati, ecc.). Il corso si propone di fornire agli studenti le conoscenze di base della teoria dei grafi e di renderli
in grado di studiare e risolvere le problematiche collegate anche utilizzando gli algoritmi introdotti durante il
corso.
477
L’allievo dovrà ottenere padronanza con gli argomenti, le tecniche e gli algoritmi introdotti durante il corso. In
particolare dovrà dimostrare di saper risolvere, utilizzando le tecniche proprie della teoria dei grafi, vari problemi
di tipo combinatorio che nascono tanto in ambito teorico quanto nelle applicazioni. Dovrà dimostrare di saper
maneggiare concetti quali la traversabilità, la planarità, le diverse colorazioni ed etichettatura dei grafi.
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso)Insegnamenti fornitoriFondamenti di combinatoricaAlgebra
Fondamenti di algebra lineare e teoria delle matriciGeometria I
Argomenti di base della teoria dei grafi.
Principali tecniche ed algoritmi della teoria dei grafi.
La maggior parte dei corsi di Istituzione della LM, in particolare: Istituzioni di Algebra, Istituzioni di Logica
Matematica.
Argomento
Ore
Lezione
Ore
Esercitazione
Grafi. Sottografi. Operazioni. Successione dei gradi.
4
2
6
Connessione. Grafi euleriani ed hamiltoniani.
8
4
12
Matrici. Alberi. Alberi ricoprenti.
478
6
2
8
Grafi planari.
5
3
8
Colorazioni
3
2
5
Digrafi. Networks. Flussi.
4
2
6
Totale
30
15
45
Grafi e sottografi: grafi, sottografi, grafi speciali, operazioni sui grafi, successioni dei gradi.
Grafi connessi e sconnessi: cammini e cicli, complemento di un grafo e grafi autocomplementari, vertici
separanti e ponti, grafi euleriani, grafi hamiltoniani, blocchi.
Matrici e alberi: grafi e matrici, alberi, il numero degli alberi non identici, alberi ricoprenti e teorema degli alberi
e delle matrici.
Grafi planari e non planari: la formula di Eulero, condizioni algebriche necessarie planarità, grafi planari e
poliedri, omeomorfismo, caratterizzazione dei grafi planari.
Colorazioni sui grafi: il numero cromatico, l’algoritmo k-colorabile, il teorema dei quattro colori, il polinomio
cromatico, colorazioni sui lati.
Digrafi e networks: digrafi e tornei, networks e cammini critici, flussi e tagli.
TESTI
M. BEHZAD - G. CHARTRAND - L. LESNIAK-FOSTER, Graphs & Digraphs, Prindle, Weber & Schmidt.
S.B. MAURER - A. RALSTON - Discrete Algorithmic Mathematics, Addison-Wesley. Dispense disponibili
presso il Centro Stampa e in rete.
NOTA
Prova orale preceduta, nello stesso giorno, da una breve prova scritta.
479
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Martedì
9:00 - 11:00
Venerdì
11:00 - 13:00
Lezioni: dal 03/03/2009 al 05/06/2009
Teoria dei Grafi Complementi - Non attivato nell’a.a. 2008/09
Codice: M8565
Docente:
Recapito: []
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 2
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=b59c
Teoria dei Gruppi - a.a. 2008/09
Codice: MFN0178
Docente: Prof. Mario Valenzano (Titolare del corso)
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 5
OBIETTIVI
L’obiettivo del corso è quello di dare una panoramica generale della Teoria dei Gruppi, illustrando le tecniche e
gli esempi fondamentali caratteristici di questa teoria matematica, e offrire un approfondimento su alcuni aspetti
quali gruppi finiti, presentazione di gruppi, gruppi abeliani finitamente generati.
Al termine del corso lo studente deve dare prova di avere acquisito i concetti e i risultati basilari relativi ai
gruppi, in modo tale da consentirgli di risolvere esercizi relativi agli argomenti trattati. Inoltre deve essere in
grado di affrontare applicazioni e sviluppi della teoria che incontrerà nel proseguimento degli studi.
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso)Insegnamenti fornitoriInsiemi, relazioni, funzioni, insiemi numerici, classi di
restoMatematica DiscretaFondamenti di algebra: gruppi, anelli e campiAlgebra ICalcolo matricialeGeometria I
480
Insegnamenti fruitoriConoscere i risultati e le proprietà fondamentali dei gruppi e saper risolvere esercizi
standard di Teoria dei GruppiAlgebra II, Istituzioni di Algebra, Gruppi di Lie, Topologia Algebrica
Argomento
Ore
Lezione
Ore
Esercitazione
Definizioni, costruzioni, proprietà ed esempi base
4
3
7
Prodotti e limiti di gruppi
4
2
6
Gruppi finiti: il Teorema di Lagrange e i Teoremi di Sylow
8
4
12
Azioni di gruppi su insiemi
4
2
6
Presentazione di un gruppo con generatori e relazioni
4
2
6
481
Gruppi abeliani finitamente generati
6
2
8
Totale
30
15
45
Verranno trattati i seguenti argomenti:
- Definizioni e costruzioni fondamentali: gruppi, sottogruppi, omomorfismi, sottogruppi normali, gruppi
quozienti.- Azioni di gruppi su insiemi. Alcune azioni notevoli.- Esempi notevoli di gruppi: gruppi ciclici, gruppi
lineari, gruppi simmetrici, gruppi diedrali.- Prodotto diretto di gruppi.
- Gruppi finiti: il Teorema di Lagrange, il problema di invertire il Teorema di Lagrange, i Teoremi di Sylow.Gruppi risolubili e gruppi nilpotenti.
- Gruppi liberi. Presentazione di un gruppo con generatori e relazioni.
- Gruppi abeliani finitamente generati: il Teorema di struttura.- La classificazione dei gruppi finiti di ordine
basso.
TESTI
I.N. HERSTEIN, Algebra, Editori Riuniti. A. MACHI’, Introduzione alla teoria dei gruppi, Ed. Feltrinelli. Note
del corso a cura del docente (disponibili alla voce Materiale Didattico di questa pagina). Materiale reperibile su
web: http://www.math.uiuc.edu/~r-ash/Algebra.html
NOTA
Modalità di esame: esercizi da svolgere in itinere e un colloquio orale al termine del corso.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Martedì
8:00 - 10:00
Venerdì
9:00 - 12:00
Lezioni: dal 29/09/2008 al 09/01/2009
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=e2cf
Teoria dei Gruppi Complementi - Non attivato nell’a.a. 2008/09
Codice: M8590
Docente:
Recapito: []
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 2
482
Codice: MFN0120 / MFN0121 / S8528
Recapito: 0116702931 []
Tipologia: D.M. 509
Anno: 2° anno
Crediti/Valenza: 7
Teoria dei Modelli - a.a. 2008/09
Recapito: 0116702931 []
Crediti/Valenza: 7
Avvalenza: Cod. MFN0120 Ambito A - Cod. MFN0121Ambito G
OBIETTIVI
Introdurre lo studente alla teoria dei modelli classica ed ai principali strumenti che questa usa.
Oltre all’arrichhimento culturale lo studente acquisirà la abilità manuale necessaria per dimostrare semplici
proprieà model-teoretico: in particolare quelle proprietà che fanno uso dei concetti di saturazione e compattezza.
PROGRAMMA
Conoscenze di base di Logica Matematica
Istituzioni di Logica Matemati
Algebra 1, 2
483
Argomenti di compattezza/saturazione
Teoria dei modelli
Linguaggi, modelli, teoremi di compattezza e completezza
Teoria degli Insiemi
Definibilità ed algebricità del prim’ ordine espressa sia in termi sintattici che in termini di orbite secondo
automorfismi.
Algebra (teoria di Galois)
Programma dettagliato
Morfismi: immersioni parziali, mappe elementari.
Test di Tarski-Vaught e teorema di Lówenheim-Skolem all'ingiù
Propietà di amalgamazione e strutture generiche (omogenee-universali). Esempi.
Teorema di compattezza.
Saturazione. Il modello mostro. Esempi di argomenti per saturazione.
Eliminazione dei quantificatori.
Strutture ω-categoriche. Teorema di Engler, Ryll-Nardzewski e Svenonius.
Strutture fortemente minimali. Dimensione.
La non finita assiomatizzabilità delle strutture fortemente minimali ω-categoriche.
Modelli atomici e modelli primi. Modelli strettamente primi
Gli immaginari. Definibilità e Galois-definibilità per i reali e gli immaginari.
Algebricità e Galois-algebricità per i reali e gli immaginari (equivalenze finite).
Eliminazione degli immaginari, eliminazione uniforme.
TESTI
Dispense del docente
NOTA
Il corso richiede una discreta maturità matematica ed una buona capacità di astrazione (nonche il piacere per
l’astrazione). L’esame e’ scritto.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Lunedì
9:00 - 11:00
Mercoledì
9:00 - 10:00
Venerdì
14:00 - 16:00
Lezioni: dal 06/10/2008 al 09/01/2009
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=a4d5
484
Recapito: 0116702931 []
Tipologia: D.M. 270
Anno: 1° anno
Crediti/Valenza: 6
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=1dce
Teoria dei Numeri - a.a. 2008/09
Docente: Prof. Andrea Mori (Titolare del corso)
Crediti/Valenza: 7
OBIETTIVI
Il corso si propone di fornire agli studenti alcune idee e tecniche di base della moderna teoria algebrica dei
numeri, con particolare riguardo a problemi di risoluzione di equazione diofantee e ai legami con la geometria.
Oltre a fornire una motivazione concreta profonda per l’introduzione di strutture algebriche astratte, queste
nozioni sono indispensabili per la comprensione dei correnti indirizzi di ricerca e di alcune applicazioni
commerciali della teoria dei numeri.
Lo studente dovrà essere in grado di risolvere problemi riguardanti la risoluzione di congruenze polinomiali, la
struttura del campo dei numeri p-adici, la classificazione delle forme quadratiche sul campo razionale, la
rappresentabilità di numeri interi mediante forme quadratiche. Inoltre, dovrà acquisire una certa dimestichezza
con alcune proprietà aritmetiche fondamentali delle curve ellittiche.
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso) Insegnamenti fornitori Strutture matematiche fondamentali Matematica Discreta
Proprietà elementari di gruppi, anelli, campi Algebra Algebra lineare Geometria II Spazi metrici e loro topologia
Geometria III
Struttura dei campi p-adici
485
Preparazione Tesi di Laurea
Teoria aritmetica delle forme quadratiche
Fondamenti dell'aritmetica delle curve ellittiche
Argomento
Ore
Lezione
Preliminari Algebrici
6
6
Numeri p-adici. Costruzione e proprietà
11
11
Forme quadratiche: caso locale
12
12
Forme quadratiche: caso globale
11
11
Introduzione alle curve ellittiche
16
16
Totale
56
56
486
TESTI
J.-P- SERRE: A Course in Arithmetic, Springer GTM 5 Verranno distribuite note del corso
NOTA
L’esame consiste in una prova scritta. L’elaborato verrà discusso in sede di registrazione del voto.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Martedì
15:00 - 16:00
Mercoledì
10:00 - 12:00
Venerdì
8:00 - 10:00
Lezioni: dal 29/09/2008 al 09/01/2009
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=fc82
Teoria del Linguaggio - Non attivato nell’a.a. 2008/09
Codice: S8790
Docente:
Recapito: []
Crediti/Valenza: 7
Teoria delle Distribuzioni e Applicazioni - Non attivato nell’a.a.
2008/09
Codice: M8591
Docente: Prof. Sandro Coriasco (Titolare del corso)
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 5
OBIETTIVI
Il corso propone agli studenti un concetto di funzione generalizzato (distribuzione), adatto ad applicazioni di tipo
fisico ed ingegneristico, di particolare utilità nello studio delle equazioni alle derivate parziali.
Si attende una conoscenza operativa della teoria delle distribuzioni, indirizzata in particolare allo studio delle
equazioni alle derivate parziali ed all’analisi di Fourier.
487
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso) Insegnamenti fornitori Calcolo differenziale ed integrale in Rn Analisi Matematica I,
II, III
Concetto di distribuzione, operazioni con le distribuzioni
Analisi superiore (LM in Matematica)
Trasformata di Fourier in S(Rn) e S'(Rn)
Analisi di Fourier (LM in Matematica)
Elementi della teoria delle EDP lineari in D'(A), A aperto Rn
Argomento
Ore
Lezione
Ore
Esercitazione
Elementi della Teoria dell'integrazione secondo Lebesgue
9
9
Funzioni test e distribuzioni
14
-
488
14
Operazioni con le distribuzioni
10
4
14
Trasformata di Fourier di funzioni L1(Rn) e distribuzioni
4
1
5
Esempi di risoluzione di EDP lineari.Soluzioni fondamentali
2
1
3
Totale
39
6
45
Elementi della Teoria dell'integrazione secondo Lebesgue.
Funzioni test e distribuzioni.
Operazioni con le distribuzioni.
Trasformata di Fourier di funzioni L^1(R^n) e distribuzioni.
Esempi di risoluzione di EDP lineari. Soluzioni fondamentali.
TESTI
G. Gilardi, Analisi 3, McGrawHill (1994). L.Hormander, The analysis of linear partial differential operators I :
Distribution theory and Fourier analysis, Springer (1983). Sono inoltre disponibili degli appunti presso il Centro
Stampa del Dipartimento di Matematica.
NOTA
L’esame consiste in un colloquio sugli argomenti del corso. Gli appelli si tengono in date da concordare con il
docente.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Mercoledì
9:00 - 11:00
Giovedì
14:00 - 16:00
Lezioni: dal 03/03/2008 al 13/06/2008
489
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/corsi.pl/Show?_id=0caa
Teoria delle Distribuzioni e Applicazioni Complementi - Non attivato
nell’a.a. 2008/09
Codice: M8592
Docente:
Recapito: []
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 2
Teoria delle Funzioni di Variabile Reale a Applicazioni Complementi
- Non attivato nell’a.a. 2008/09
Codice: M8594
Docente:
Recapito: []
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 2
Teoria delle Funzioni di Variabile Reale ed Applicazioni - Non
Codice: M8593
Docente:
Recapito: []
Anno: 3° anno
Crediti/Valenza: 5
Teorie Relativistiche (DM 270)
Docente:
Recapito: []
Tipologia: D.M. 270
Anno: 1° anno
Crediti/Valenza: 6
490
Topologia - Non attivato nell’a.a. 2008/09
Codice: S8531
Docente: Prof. Pier Mario Gandini (Titolare del corso)
Crediti/Valenza: 7
OBIETTIVI
Lo studente deve acquistare dimestichezza con tecniche avanzate di topologia generale quali quelle necessarie
per lo studio della Compattizzazione di Stone- Cech e per lo studio della dualità di Stone.
Lo studente dovrà impadronirsi dei meccanismi dimostrativi propri della Topologia generale in modo da saper
risolvere in modo autonomo i problemi di carattere abbastanza avanzato che gli saranno proposti. I risultati sono
ottimi, sia per il numero di studenti frequentanti che per i risultati degli esami
PROGRAMMA
Anelli di funzioni continue. Compattizzazione di Stone-Cech.
Spazi realcompatti e realcompattizzazione di Hewitt.
Algebre di Boole e teoremi di Stone.
Argomento
Ore
Lezione
Premesse su spazi completamente regolari, assiomi di numerabilità, numeri cardinali
16
16
Compattizzazione di Stone -Cech
20
20
C-immersione e realcompattizzazione di Hewitt
12
491
12
Dualità di Stone
8
8
Totale
56
56
Pre-requisiti (in ingresso) Insegnamenti fornitori Fondamenti di Topologia generale Geometria III Algebra
lineare ed algebra Geometria II, Matematica discreta, Algebra
Anelli di funzioni continue
Analisi funzionale
TESTI
L. Gillman-M.Jerison, Rings of continuous functions, Princeton, Van Nostrand, 1960. D.C. Demaria , Topologia
Generale, vol. II, Spazi Topologici Torino, Tirrenia, 1984-86. P.M.Gandini- S.Bianco, Appunti di topologia,
Quaderno didattico n. 41 del Dipartimento di Matematica , Università di Torino, novembre 2006.
NOTA
Modalità di verifica/esame L’esame consiste di una prova orale.
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Lunedì
10:00 - 11:00
Martedì
16:00 - 18:00
Giovedì
16:00 - 18:00
Lezioni: dal 01/10/2007 al 18/01/2008
Topologia Algebrica - a.a. 2008/09
Codice: S8530
Docente: Prof. Sergio Console (Titolare del corso)
492
Crediti/Valenza: 7
OBIETTIVI
Presentare alcuni concetti fondamentali di topologia algebrica quali l’omologia e la coomologia simpliciale, e
loro applicazioni alla varietà topologiche (come ad esempio la dualità di Poincaré).
L’allievo dovrà essere in grado di padroneggiare le tecniche di topologia algebrica (successioni esatte, escissione
etc) e di approfondire numerosi esempi di applicazioni geometriche di tali tecniche..
PROGRAMMA
Pre-requisiti (in ingresso)Insegnamenti fornitoriConoscenze di base di topologia generale ed algebrica, di algebra
e di geometriaCorsi della laurea triennale e Geometria IV,Istituzioni di Geometria
Teoria dell'omologia e coomologia e loro applicazioni
Corsi avanzati di geometria come Geometria algebrica, Geometria differenziale, Geometria Complessa. Corsi di
analisi sulle varietà
Argomento
Ore Lezione
Rivestimenti.
10
10
Omologia simpliciale
4
4
Omologia singolare
16
16
493
Coomologia singolare e di de Rham
18
18
Prodotti e dualità
8
8
Totale
56
56
Esame orale, seminario facoltativo ---------------------------------------Proposte di argomenti per seminari:
1 OMOLOGIA E COOMOLOGIA
1.1 Teorema di Borsuk-Ulam.
Programma minimo d'esame: Bredon, Topology and Geometry, Cap. IV §20, oppure Hatcher, Cap 2B,
pagine 174–176
1.2 Teorema del punto fisso di Lefschetz.
Programma minimo d'esame: Hatcher, Cap 2B, pagine 179–181
1.3 Successioni spettrali.
Programma minimo d'esame: Bott-Tu, Differential Forms in Algebraic Topology, Capitolo III §14.
2 OMOTOPIA
2.1 Gruppi di omotopia di ordine superiore e teorema di
Whitehead.
Programma minimo d'esame: Hatcher, Cap 4.1.
2.2 Omotopia razionale.
Programma minimo d'esame: Bott-Tu, Differential Forms in Algebraic Topology, Capitolo III §19.
3 TOPOLOGIA DIFFERENZIALE
3.1 Basi di teoria di Morse.
Programma minimo d'esame: Milnor, Morse Theory, Parte I, §1-4.
3.2 Teorema di Poincare’-Hopf.
Programma minimo d'esame: Milnor, Topology from the Differentiable Viewpoint, capitolo 6.
3.3 Isomorfismo di Thom.
Programma minimo d'esame: Bott-Tu, Differential Forms in Algebraic Topology, Capitolo I §6.
3.4 Mayer-Vietoris in coomologia di de Rham
Programma minimo d'esame: Bott-Tu, Differential Forms in Algebraic Topology, Capitolo I §2 e §5.
TESTI
GREENBERG & HARPER, Algebraic Topology, Benjamin
HATCHER, Algebraic Topology, Cambridge University Press
FULTON, Algebraic Topology - a first course, Springer
494
MUNKRES, Elements of Algebraic Topology, Benjamin/Cummings
BREDON, Topology and Geometry, Springer GTM 139
BOTT & TU, Differential Forms in Algebraic Topology, Springer GTM 82
NOTA
SI INVITANO GLI STUDENTI INTERESSATI A CONTATTARE IL DOCENTE E/O REGISTRARSI AL
CORSO DA QUESTO SITO
sito web del corso
ORARIO LEZIONI
Giorni
Ore
Aula
Lunedì
11:00 - 13:00
Mercoledì
11:00 - 13:00
Giovedì
9:00 - 11:00
Lezioni: dal 02/03/2009 al 05/06/2009
Nota: Vedere anche avvisi e Notizie al sito web del corso
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495

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