moltiplicazioni impossibili o no

Scienza under 18
MOLTIPLICAZIONI IMPOSSIBILI… O NO?
… Voglio vedere se so ancora tutte le cose che sapevo.
Vediamo: quattro per cinque fa dodici, e quattro per sei fa tredici, e quattro per sette fa –
oh povera me, non arriverò mai a venti di questo passo!
Va bene, la Tavola Pitagorica non fa testo …
CAPITOLO 2
Indice
1. IL SISTEMA BINARIO
Gioco delle scatole convertitrici
La tabella magica
2. ALTRI SISTEMI DI NUMERAZIONE
Tabella multibase
3. OPERAZIONI IN BASI SUPERIORI A 10
4. BIT E COMPUTER
Combinazione di bit
5. IL GIOCO DEL NIM
Preparazione
Modalità di svolgimento
Strategia vincente
Spiegazione del trucco
6. PROPOSTE DI LAVORO
a cura di Daniela Folcio
Scienza under 18
1. IL SISTEMA BINARIO
Sembra che Alice stia dando i numeri e, in effetti, è così. Ma non sono numeri in libertà:
Carroll non le avrebbe mai fatto dire operazioni senza senso! I risultati di queste
moltiplicazioni un senso ce l’hanno anche se non è molto evidente: seguendo quanto
segue, giocando e riflettendo, arriveremo a comprendere quale è.
Devi sapere che, mentre il nostro sistema di numerazione decimale utilizza 10 cifre, il
sistema binario è un sistema di numerazione posizionale in cui le due uniche cifre
ammesse sono 0 e 1 e i valori delle cifre dipendono dalle potenze del 2.
Gottfried Leibniz (1646-1716) fu il precursore della logica matematica; ideò il
sistema di numerazione binario e anche altri sistemi di numerazione con basi sia
minori che superiori a 10, ma senza alcun progetto di applicazione pratica, solo
come gioco matematico! Nel 1671 costruì una macchina calcolatrice che eseguiva le
4 operazioni, di cui però non ne è rimasto alcun esemplare. E’ da ricordare che con
tale macchinetta le moltiplicazioni e le divisioni venivano eseguite come addizioni e
sottrazioni ripetute!
Gioco delle scatole convertitrici
Questo gioco permette di trasformare i numeri dal nostro sistema di numerazione
decimale nei corrispondenti numeri del sistema binario.
Materiale: Sei o più contenitori (scatolette, bicchieri, piattini…) e un buon numero di palline (o bottoni,
fagioli…)
Preparazione: Sul tavolo sono disposti dei contenitori (ad esempio 6) ciascuno dei quali contiene un
foglietto su cui è segnata una potenza del 2. I contenitori sono disposti in fila e così anche le
corrispondenti potenze del 2 sono via via crescenti; infatti da 20 (= 1), posto nel contenitore più a destra,
si passa successivamente a 21 (= 2), poi a 22 (= 4) e così via fino ad esaurimento dei contenitori.
Regole del gioco: Il conduttore consegna a ogni giocatore un certo numero di palline che devono essere
sistemate nei contenitori, in modo tale da mettere in ogni contenitore solo il numero di palline indicato
dalle corrispondenti potenze del 2 (non una di più né di meno), fino al completo esaurimento delle
palline. Quando il giocatore ha effettuato la distribuzione (non è detto che tutti i contenitori contengano
palline…), assegnerà ad ogni contenitore pieno il simbolo 1 e ad ogni contenitore vuoto il simbolo 0. Infine
si legge la successione dei simboli partendo dal contenitore pieno più a sinistra. In questo modo si ottiene
la conversione del numero naturale (la quantità iniziale delle palline) in un numero in base 2.
Vince: Chi riesce a trasformare correttamente nel minor tempo 5 (o più) numeri dati da chi conduce il
gioco.
Esempio
Vengono consegnate 20 palline che devono
essere distribuite nei contenitori delle potenze
del 2.
Si possono ripartire così: 16 nel contenitore del
24 e le 4 rimanenti nel ...
24 2³ 2² 2¹ 2º
Ricorda: contenitore pieno: 1
contenitore vuoto: 0
La successione dei contenitori pieni P e vuoti V
diventa:
P V P V V cioè: 1 0 1 0 0
Conclusione: la conversione binaria del numero
naturale 20 è: 1 0 1 0 0.
25
32
24
16
23
8
22
4
21
2
20
1
Scienza under 18
A
B
C
D
8
4
2
1
9
5
3
3
10
6
6
5
La tabella magica
11
7
7
7
Con questo gioco puoi stupire un amico
12
12
10
9
indovinando un numero che lui ha pensato
presentandogli semplicemente una serie di
13
13
11
11
colonne piene di numeri e facendoti dire in quali
14
14
14
13
colonne compare il numero prescelto. Osserva la
tabella accanto che contiene i numeri da 1 a 15.
15
15
15
15
Poni attenzione ai numeri in testa alle colonne: ti
fanno venire in mente qualcosa che abbiamo già visto? (Pensa ai contenitori!)
Ed ora ti svelerò il trucco per dare la risposta giusta: se il numero pensato compare
nelle colonne A, B e D, per trovarlo basta sommare i numeri in testa a queste
colonne!
Esempio
Pensa al numero 8. Esso compare solo nella colonna A, per cui l’unico numero da considerare è
proprio l’8. Se tu avessi pensato al numero 11, poiché esso compare nelle colonne A, C e D, avresti
dovuto sommare tra loro i numeri che compaiono in testa a queste colonne e cioè: 8 + 2 + 1 = 11.
Che te ne sembra? Come si può spiegare? Esiste una relazione tra questa tabella e i
numeri binari?
La spiegazione sta nel modo in cui è stata
costruita la tabella. I numeri non sono stati
disposti a caso: nelle colonne A, B, C e D sono
stati messi rispettivamente i numeri naturali
che, convertiti nella forma binaria, hanno un 1
nel quarto, terzo, secondo e primo posto a
partire da destra. Riscriviamo allora la tabella
sostituendo ai numeri naturali la loro
conversione in base 2.
A
Vuoi indovinare tu un numero pensato da altri?
B
C
D
1000
100
10
1
1001
101
11
11
1010
110
110
101
1011
111
111
111
1100
1100
1010
1001
1101
1101
1011
1011
1110
1110
1110
1101
1111
1111
1111
1111
Esempio
10 in base 10 (= 1010 in base 2) è stato scritto nelle colonne A e C, mentre il numero
15 in base 10 (= 1111 in base 2), essendo formato da tutti 1, compare in tutte le
colonne. Per ricomporre il numero da indovinare si procede inversamente: si ricava la
forma binaria del numero cercato sostituendo ad ogni colonna citata la cifra 1 e ad
ogni colonna non citata la cifra 0, poi si esegue le conversione; il che equivale, in
pratica, a sommare i numeri più piccoli di ogni colonna. Per facilitare il gioco, è bene
che questi ultimi siano posti in testa alle rispettive colonne.
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2. ALTRI SISTEMI DI NUMERAZIONE
Cerchiamo ora di capire meglio. Per spiegarti i risultati delle moltiplicazioni di Alice
incominciamo dai sistemi di numerazione con le basi più semplici.
Nel nostro sistema di numerazione in base 10 le cifre di un numero acquistano un
valore che è dato dalla loro posizione e che viene moltiplicato per una potenza di 10.
Esempio
1234 = 4x100 + 3x101 + 2x102 + 1x103 (partendo dalla cifra a destra, quella delle unità)
Analogamente, nel sistema di numerazione in base 2 (che utilizza le cifre 0 e 1) le cifre di un
numero acquistano un valore che è dato dalla loro posizione e che viene moltiplicato per una
potenza di 2.
Esempio
1001 (che si legge: uno zero zero uno) = 1x20 + 0x21 + 0x22 + 1x23 = 1 + 0 + 0 + 8 = 9
nel sistema in base 10
E ancora nello stesso modo, nel sistema di numerazione in base 5 (che utilizza le cifre 0, 1, 2,
3, 4) le cifre di un numero acquistano un valore che è dato dalla loro posizione e che viene
moltiplicato per una potenza di 5.
Esempio
1234 (che si legge: uno due tre quattro) = 4x50 + 3x51 + 2x52 + 1x53 = 4 + 15 + 50 + 125 = 194
nel sistema in base 10
Osserva la tabella dei primi numeri di numerazioni in basi diverse: nell’ultima colonna
trovi il corrispondente valore in base 10. Completa la tabella procedendo come negli
esempi. Non è difficile; è sufficiente conoscere somme e potenze. Scoprirai delle cose
veramente curiose!
BASE 2
BASE 4
BASE 5
BASE 8
BASE 10
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
10
2
2
2
2
11
3
3
3
3
100
10
4
4
4
101
11
10
5
5
12
11
6
6
111
13
12
7
7
1000
20= 0x40+2x41= 8
13
10 = 80+81 = 8
8
1001
21
14 = 4x50+1x51=9 11
9
1010
22
20
10
110 =
0x20 +1x21+1x22 = 6
12
Ora sei in grado di trasformare un numero da una base (minore di 10) alla base 10... e se
vuoi divertirti ancora di più puoi usare la... Tabella multibase.
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Tabella multibase
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
91
81
71
61
51
41
31
21
11
1
92
82
72
62
52
42
32
22
12
2
93
83
73
63
53
43
33
23
13
3
94
84
74
64
54
44
34
24
14
4
95
85
75
65
55
45
35
25
15
5
96
86
76
66
56
46
36
26
16
6
97
87
77
67
57
47
37
27
17
7
98
88
78
68
58
48
38
28
18
8
99
89
79
69
59
49
39
29
19
9
Questa tabella serve per ottenere rapidamente tutti
i numeri di una o due cifre scritte da una base
minore di 10 a base 10: proprio una bella
invenzione!
Per utilizzarla è sufficiente posizionare una squadra
di cartone in modo da appoggiare l'angolo retto
sulle cifre "gemelle" corrispondenti alla base
prescelta
Esempio:
Se si vuol contare in base 3, occorre appoggiare l'angolo retto della squadra sul 33
coprendo anche la riga e la colonna corrispondenti; si osserva che così rimangono
scoperti solo 9 numeri.
20 21 22
10 11 12
0 1 2
Corrispondenze:
0-->0 1-->1 2-->2 10-->3 11-->4 12-->5 20-->6 21-->7 22-->8
Essi corrispondono ai numeri che, in base 10, vanno dallo 0 all'8.
6
3
7
4
8
5
0
1
2
E il 9? Il 9 in base 10 diventa 100 in base 3 (perché, come abbiamo visto prima, 100
in base 3 = 0x30 +0x31 +1x32). Ma occorrono tre cifre e quindi non può essere incluso
nella tabella.
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Ora prova a ragionare in modo analogo sulla base 6:
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
80 81 82 83 84 85 86 87 88 89
70 71 72 73 74 75 76 77 78 79
67 68 69
50 51 52 53 54 55
57 58 59
40 41 42 43 44 45
47 48 49
30 31 32 33 34 35
37 38 39
20 21 22 23 24 25
27 28 29
10 11 12 13 14 15
17 18 19
0 1 2 3 4 5
7 8 9
50
40
30
20
10
0
51
41
31
21
11
1
52
42
32
22
12
2
53
43
33
23
13
3
54
44
34
24
14
4
55
45
35
25
15
5
30
24
18
12
6
0
31
25
19
13
7
1
32
26
20
14
8
2
33
27
21
15
9
3
34
28
22
16
10
4
35
29
23
17
11
5
I numeri della tabella sopra a sinistra in base 6 corrispondono ai numeri della tabella
accanto in base 10.
E poi si possono fare anche le operazioni e costruire la relativa tabellina: guarda un po'
qui!
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3. OPERAZIONI IN BASI SUPERIORI A 10
Ora che hai preso un po’ confidenza con queste "nuove" basi, puoi anche sperimentare le
operazioni in esse. Cominciamo dalla più facile: l’addizione! Per aiutarti a capire i
risultati che ti possono sembrare ‘strani’ sappi che il meccanismo di calcolo è lo stesso
dell’addizione in base 10, soltanto che hai meno cifre a disposizione! Facciamo un
esempio: nella tabella di addizione in base 8 c’è scritto che 7 + 7 fa 16 ... sembrerebbe
"sbagliato" se tu ragionassi in base 10, ma prova ad effettuare contando la conversione
del risultato decimale (14) in base 8 e vedrai: 0-1-2-3-4-5-6-7-10-12-13-14-15-16
Oppure puoi pensare di suddividere quattordici unità in gruppi di 8... cosa ottieni? 1
gruppo da 8 e restano escluse 6 unità); 14:8 = 1 con resto 6.
Se hai capito come funzionano, prova a capire a quale base appartengono queste
stravaganti tabelline del 4 di cui Alice parlava: cinque per quattro fa dodici, sei per
quattro fa tredici... sette per quattro fa quattordici… Vediamole una per una e per
capirci meglio, in analogia con le 10ine, chiamiamo confidenzialmente 11ine, 12ine,
13ine i gruppetti delle basi superiori a 10.
cinque per quattro fa dodici
che in realtà bisognerebbe leggere: cinque per quattro fa uno due
Nel sistema in base 10, 5 x 4 = 20 e allora quale numero sta una volta nel 20 dando resto
2? Ma è il 18! (20:18 = 1 con resto 2): una 18ina e 2 unità.
sei per quattro fa tredici
che bisognerebbe leggere: sei per quattro fa uno tre
Nel sistema in base 10, 6 x 4 = 24 e allora quale numero sta una volta nel 24 dando resto
3? E’ il 21! (24:21 = 1 con resto 3): una 21ina e 3 unità.
sette per quattro fa quattordici
che analogamente bisognerebbe leggere: sette per quattro fa uno quattro
Nel sistema in base 10, 7 x 4 = 28 e allora quale numero sta una volta nel 28 dando resto
4? E’ il 24! (28:24 = 1 con resto 4): una 24ina e 4 unità.
A questo punto avrai capito che le basi aumentano di tre ad ogni passaggio e quindi
possiamo proseguire sinteticamente dicendo che:
4 x 8 = 15 in base 27
4 x 9 = 16 in base 30
4 x 10 = 17 in base 33
4 x 11 = 18 in base 36
4 x 12 = 19 in base 39
E sembrerebbe quindi che 4 x 13 = 20 in base 42. Ma Alice dice: Povera me! In questo
modo a venti non ci arriverò mai! Forse si sta sbagliando?
Ancora un ultimo ragionamento: 20 in base 42 significa due 42ine e 0 unità che in base
10 corrispondono a 84 e non a 42. ma allora qual è il risultato della moltiplicazione
4 x 13 in base 42? Esattamente una 42ina e 0 unità cioè 10 (leggi: uno zero).
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4. BIT E COMPUTER
Il sistema di numerazione in base 2 studiato da Leibniz
ha avuto nel tempo delle applicazioni insospettabili!
Infatti dopo circa 150 anni, il matematico inglese
George Boole (1815-1864) ha ripreso in considerazione il
sistema binario e ha ideato le variabili binarie o BIT.
Esse si chiamano così perché possono assumere solo due
valori. Per esempio, un rubinetto è una variabile binaria
perché può avere solo due possibilità: aperto (ON -->1)
o chiuso (OFF --> 0); una lampadina può essere accesa
(ON -->1) o spenta (OFF --> 0) ; un interruttore può
essere chiuso ( ON -->1) o aperto (OFF -->0).
E’ come trasformare in numeri in luce!
0 --> Lampadina spenta
1 --> Lampadina accesa
Combinazione di bit
Con l’avvento dell’elettricità, è stato possibile disporre gli interruttori in due modi
diversi:
•
in serie (cioè uno di seguito all'altro);
•
in parallelo (cioè uno sotto l'altro)
e così i giochi e le combinazioni si sono fatti sempre più interessanti e sempre più
complessi.
Tieni presente che:
Ogni segnale nel gergo dei computer si chiama bit (binary digit)
1 interruttore a 1 Bit --> 2 possibilità: ON/OFF --> 0/1
Circuito in serie
Interruttore A aperto
Interruttore B aperto Lampadina spenta
Circuito in parallelo
Interruttore A aperto
Interruttore B aperto Lampadina spenta
Interruttore A chiuso
Interruttore B aperto Lampadina spenta
Interruttore A chiuso
Interruttore B aperto Lampadina accesa
Interruttore A aperto
Interruttore B chiuso Lampadina spenta
Interruttore A aperto
Interruttore B chiuso Lampadina accesa
Interruttore A chiuso
Interruttore B chiuso Lampadina accesa
Interruttore A chiuso
Interruttore B chiuso Lampadina accesa
Scienza under 18
Riassumendo
Operazione*
Operazione°
A
B
A*B
A
B
A°B
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
Quali operazioni matematiche ti farebbero ottenere lo stesso risultato?
E se mettessimo più interruttori, cosa succederebbe?
1 BIT
1 interruttore a 1 Bit
0
2 interruttori a2 Bit
3 interruttori a 3 Bit
1
Otterremmo dei circuiti sempre più complessi e potremmo
ottenere delle combinazioni sempre più numerose; infatti..."
Quante combinazioni? Contale!
1 Bit --> 2 = 2¹
2 Bit --> 4 = 2²
3 Bit --> 8 = 2³
4 Bit --> ?
2 BIT 3 BIT 4 BIT
00
000
01
001
10
010
11
100
011
101
110
111
E’ sufficiente conoscere le potenze del 2! Sono sempre le potenze del 2 che spuntano da
ogni parte!
A forza di 0 e 1, di circuiti accesi e spenti, di tasti ON/OFF, dagli anni intorno al 1940 a
tutt’oggi, gli scienziati sono riusciti a costruire delle macchine stupende, supersoniche
che fanno i calcoli a velocità strabilianti e che risolvono contemporaneamente più
problemi e che tutti conosciamo come COMPUTER!
•
Da:
http://www.homolaicus.com/scienza/alice/bit.htm
Scienza under 18
5. IL GIOCO DEL NIM
Una prima e seria analisi del gioco, da un punto di vista prettamente matematico, fu
avanzata dal professor Charles Leonard Bouton, docente di matematica alla Harvard
University, nel suo "Nim, a game with a complete mathematical theory" Ann. Math.
1901.
A Bouton si deve il nome che è oggi attribuito al gioco. Il matematico prese il nome dal
verbo tedesco nehmen, il cui imperativo è nimm. Il significato del verbo è prendere,
prelevare cioè l'azione che è alla base del gioco. Si pensa che sia solo una coincidenza il
fatto che in cinese il termine nian -che si pronunzia nim in cantonese- significhi proprio
prendere.
Ci risulta che il gioco sia conosciuto anche con il nome Tactix, e anche con il nome
Marienbad.
•
Da:
http://xoomer.virgilio.it/giocolab/Strategia/Nim.htm
Preparazione
Procuratevi una discreta quantità di oggetti di modeste dimensioni, tutti
dello stesso tipo, ad esempio: monete, sassolini, fiammiferi, bastoncini,
conchiglie… In mancanza di tale materiale, potete tracciare
semplicemente delle lineette su un foglio o sulla sabbia bagnata.
Modalità di svolgimento
1. Si dispone su una superficie piana un insieme di oggetti, distribuito in
maniera arbitraria su più righe orizzontali parallele;
2. Poi, a turno, ciascuno dei due contendenti toglie quanti oggetti
desidera, ma tutti da una stessa riga (non può saltare la mossa, cioè non
può togliere zero oggetti);
3. Quando sul tavolo non ci sono più oggetti da prelevare, la partita termina e vince il
giocatore che è riuscito a compiere l’ultima mossa.
Se conoscete il meccanismo di gioco, consegnate una certa quantità di oggetti al vostro
sfidante e lasciatelo libero di ripartirli nel modo che più ritiene opportuno (stabilendo,
cioè, quante righe formare e quanti oggetti mettere in ciascuna di esse).
Indipendentemente da come ha disposto gli oggetti, date inizio al gioco effettuando voi
la prima mossa: al termine della partita (se non vi sarete distratti...), avrete
sicuramente vinto.
A titolo di esempio, riportiamo il possibile svolgimento di una partita, supponendo che
abbiate consegnato 37 oggetti al vostro sfidante e che questo li abbia disposti sul
tavolo, nel seguente modo.
Scienza under 18
0. Situazione iniziale
1. Voi effettuate la prima mossa, togliendo un oggetto dalla prima riga.
2. L’avversario elimina tutti i 10 oggetti dell’ultima riga.
3. Voi togliete 4 oggetti dalla quarta riga.
4. L’avversario toglie 4 oggetti dalla terza riga.
Scienza under 18
5. Voi togliete 4 oggetti dalla seconda riga.
6. L’avversario elimina tutti i 3 oggetti della quarta riga.
7. Voi eliminate tutti i tre oggetti della terza riga.
8. L’avversario toglie due oggetti dalla seconda riga.
9. Voi togliete due oggetti dalla prima riga.
A questo punto, il vostro sfidante ha perso sicuramente. Infatti, potendo prelevare uno
solo dei due oggetti rimasti (posti su due righe orizzontali diverse), sarà costretto a
lasciarvi il privilegio di togliere l’ultimo.
Scienza under 18
Strategia vincente
La strategia vincente si basa sulla numerazione binaria.
Qui proponiamo un metodo pratico per riuscire ad applicare tale strategia, senza fare
ricorso alla codifica binaria e senza utilizzare carta e penna, sempre che la quantità
iniziale di oggetti non sia eccessivamente elevata…
I passi da effettuare sono essenzialmente i seguenti.
1. All’inizio, dovete consegnare al vostro sfidante una quantità dispari di oggetti
(senza rivelare necessariamente questo particolare…).
2. Analizzate la situazione impostata sul
tavolo, senza prendere in considerazione
eventuali coppie di righe di uguale
numerosità.
Osservando la situazione iniziale dell’esempio
precedente, si può notare che la seconda e la
terza riga (evidenziate, con dei cerchietti
vuoti) contengono la stessa quantità di
oggetti; queste, quindi, possono essere ignorate.
3. Scomponete mentalmente l’insieme degli oggetti contenuto in ciascuna delle righe
rimanenti, in uno o più gruppi di numerosità corrispondente a una potenza di 2
(ovvero: 1 = 20; 2 = 21; 4 = 22; 8 = 23; 16 = 24, ...), tutti diversi tra loro. A tale scopo,
conviene iniziare la suddivisione, procedendo in ordine decrescente, a partire dalla
potenza di 2 più grande tra quelle possibili.
Per semplicità, chiameremo gruppo binario un
gruppo di oggetti la cui numerosità
corrisponde a una potenza di 2.
Nel nostro esempio (continuando a trascurare
le due righe composte dallo stesso numero di
oggetti), sono stati evidenziati in rosso i
gruppi binari da 8, in marrone quelli da 4, in
verde quelli da 2 e in blu quelli da 1.
4. Individuate mentalmente tutte le eventuali coppie di gruppi binari uguali che
possono essere formate. Osservate, poi, in quale riga si trova il più grande gruppo
binario non abbinabile a un altro di pari
valore (che non sia stato già accoppiato).
Nel nostro esempio, gli unici due gruppi binari
accoppiabili sono quelli da 8, contenuti nella
quarta e nella quinta riga. Non sono
accoppiabili invece: quello da 4 nella prima,
quello da 1 nella quarta e quello da 2 nella
quinta. Il più grande di questi, quindi, è
quello da 4 contenuto nella prima riga.
Scienza under 18
5. Dalla riga individuata al passo precedente, togliete il numero di oggetti necessario a
farne restare una quantità uguale alla somma di tutti gli eventuali altri gruppi binari
non accoppiati (se, come nel nostro caso, il numero totale degli oggetti è dispari, una
mossa del genere è sempre possibile).
Sempre nel nostro esempio, gli oggetti
appartenenti agli altri gruppi binari non
accoppiati sono rispettivamente: 2 e 1.
Siccome la loro somma è: 2+1 = 3, la mossa
da effettuare consiste nel far restare 3
oggetti nella prima riga (togliendo uno dei
4 presenti), come qui di seguito
evidenziato.
6. Da questo momento in poi, per procedere con maggiore speditezza, vi conviene
applicare la successione dei precedenti punti 2, 3, e 4, solo se non è possibile
effettuare nessuna delle seguenti due semplici mosse:
- 6a: togliere N oggetti da una riga che ne contiene M (con
≥ N),
M se alla mossa
precedente l’avversario ne ha tolti N da un’altra riga che ne conteneva M (si vedano le
figure 5, 7 e 9 dell’esempio precedente);
- 6b: togliere una quantità di oggetti che consente di lasciare sul tavolo solo coppie di
righe di uguale numerosità (si veda la figura 3 dell’esempio precedente).
Spiegazione del trucco
Ogni gioco di competizione a due che, come il Nim, non preveda mosse nascoste o
affidate al caso, termini sempre con un preciso risultato e non contempli il risultato di
pareggio, ammette sempre una strategia vincente per uno e uno solo dei due giocatori.
Per poter individuare una strategia vincente bisogna essere in grado di riconoscere
quali configurazioni, ottenibili nel corso di una partita, debbano considerarsi vincenti e
quali perdenti, in base alle seguenti definizioni:
una configurazione è perdente se determina la sconfitta immediata del giocatore
di turno o se gli consente di effettuare solo mosse che generano configurazioni
favorevoli all’avversario;
una configurazione è vincente, se
determina la vittoria immediata del
giocatore di turno o se gli consente di
effettuare almeno una mossa che
generi una configurazione sfavorevole
all’avversario.
La
figura
seguente
illustra
le
connessioni esistenti tra i due diversi
insiemi di configurazioni
(dove V = vincenti e P = perdenti).
Un tale schema evidenzia come l’esecuzione corretta di una strategia vincente (per un
giocatore che parta da una configurazione vincente) consista nel compiere sempre e
solo mosse che generino configurazioni perdenti per l’avversario. Potrebbe costituire,
infatti, un fatale errore l’effettuazione di una mossa che, ribaltando la situazione,
offrisse all’avversario una configurazione vincente (cosa sempre possibile, in teoria).
Scienza under 18
Per riconoscere se al gioco del Nim una determinata configurazione è perdente o
vincente, si può applicare il seguente sistema pratico, ricavato dal metodo binario di
Bouton.
a) Si scompone l’insieme degli oggetti contenuti in ciascuna riga in uno o più gruppi,
di numerosità corrispondente a una potenza di 2, tutti diversi tra loro (come
indicato al punto 3 del paragrafo precedente).
b)
La figura evidenzia, nel nostro
esempio, la ripartizione completa in
gruppi binari della configurazione
generata dopo l’effettuazione della
prima mossa.
b) Si verifica se è possibile abbinare
ognuno dei gruppi binari così ricavati a
un altro di uguale numerosità, non
ancora accoppiato (come accade, ad
esempio, nella situazione della figura). In caso affermativo, la configurazione è
perdente; altrimenti è vincente.
A conferma di ciò, si può constatare che non è possibile passare, in una sola mossa, da
una configurazione composta solo da coppie di gruppi binari uguali, a un’altra dello
stesso tipo. Infatti, in qualsiasi modo si può pensare di prelevare gli oggetti da una
stessa riga, si finisce inevitabilmente per eliminare almeno uno dei gruppo binari delle
varie coppie presenti.
Invece, partendo da una configurazione in cui almeno un gruppo binario non è
accoppiato, è sempre possibile, con una sola mossa, generare una configurazione
composta solo da coppie di gruppi binari uguali. Un tale risultato si può ottenere
facilmente, togliendo dalla riga che contiene il più grande gruppo binario non
accoppiabile, una quantità di oggetti necessario a farne restare una quantità uguale
alla somma di tutti gli altri eventuali gruppi binari non accoppiati (è sempre possibile
effettuare un’operazione del genere, perché 2X è sicuramente maggiore della somma di
tutte le potenze di 2 con esponente inferiore a X). Ovviamente, se c’è un solo gruppo
binario non accoppiabile, la mossa da effettuare consiste nel togliere tutti gli oggetti
di tale gruppo.
Da quanto esposto, si possono trarre in particolare, le seguenti conclusioni.
• Una configurazione formata da una quantità dispari di oggetti è sicuramente
vincente, perché non può essere scomposta in alcun modo in coppie di gruppi binari
uguali (questo giustifica il punto 1 del paragrafo precedente).
• Ogni coppia di righe uguali è necessariamente formata da coppie di gruppi binari
uguali (questo giustifica il punto 2 del paragrafo precedente).
• Se si toglie lo stesso numero di oggetti da due righe uguali di una configurazione
perdente, si eliminano solo coppie di gruppi binari uguali e, quindi, si ottiene di nuovo
una configurazione perdente (questo giustifica il punto 6a del paragrafo precedente).
• Ogni configurazione composta solo da coppie di righe uguali (compresa quella finale,
vuota) è sicuramente perdente (questo giustifica il punto 6b del paragrafo
precedente).
Nota - Potete avere la garanzia di vincere sempre, solo se ogni volta vi riservate il
diritto di scegliere la quantità di oggetti con cui giocare (per essere certi che siano
dispari) e di effettuare la prima mossa (per partire da una configurazione sicuramente
Scienza under 18
vincente). L’imposizione di queste due condizioni, però, appanna un po’ il livello di
spettacolarità della vostra performance, senza contare che, alla lunga, potrebbe
insospettire il pubblico.
Se desiderate esibirvi nella maniera più limpida possibile (anche a costo di rischiare un
po’...), potete lasciare al vostro sfidante la facoltà di scegliere sia con quanti oggetti
giocare, sia a chi spetta compiere la prima mossa. Potreste avere ugualmente
l’opportunità di vincere, se il vostro avversario non dovesse conoscere la strategia
vincente (o non fosse in grado di applicarla bene...).
Infatti, se la prima configurazione che vi capita di affrontare è:
- vincente, avete la possibilità di iniziare ad applicare la strategia vincente, senza
ricorrere ad alcun sotterfugio preparatorio;
- perdente, potete sempre effettuare una mossa a caso, sperando che vi capiti
una configurazione vincente in seguito.
Bibliografia
F. Agostini, N.A. De Carlo, Giochi della intelligenza, Arnoldo Mondadori, Milano 1985
F. Eugeni, R Mascella, D. Tondini, Un’applicazione del calcolo binario: il gioco del Nim,
dal «Periodico di Matematiche - Serie VIII - vol. I - n. 4», Mathesis, Barletta BA 2001.
M. Gardner, Enigmi e giochi matematici - vol. I, Sansoni, Firenze, 1967.
•
Da:
•
In questo sito, una spiegazione analoga: http://it.wikipedia.org/wiki/Nim
•
In questo sito, oltre ad alcuni approfondimenti con spiegazioni un po’ più
complesse, avrete la possibilità di giocare contro il computer
http://utenti.quipo.it/base5/jsnim/jsnim.htm
•
Esiste anche una variante del Nim, secondo la quale chi toglie l'ultimo elemento
perde. Questa variante si chiama Marienbad. Qui potete giocare col computer:
http://digilander.libero.it/basecinque/jsmarienbad/jsmarienbad.htm
http://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/probegio/Mathema
gica/IlMagodelNIM/IlMagodelNIM.htm
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6. PROPOSTE DI LAVORO
Dopo aver capito come funzionano i sistemi di numerazione con basi diverse da 10, a
seconda dell’interesse del docente, della collaborazione con colleghi con competenze
diverse, delle risorse economiche e di tempo, della maturazione e della preparazione
degli studenti… si potrà realizzare:
•
un breve filmato / un cortometraggio (o anche solo la sceneggiatura) che
rappresenti un dialogo / una lezione tra Carroll e una o più allievi in Wonderland
•
uno slogan pubblicitario per un prodotto legato ai BIT
•
una animazione con palline / bottoni / stecchini che rappresenti in modo chiaro
alcuni aspetti di una particolare numerazione
•
un nuovo gioco basato sulla numerazione binaria
•
la rappresentazione di una partita a Nim tra Carrol e Alice, con un sonoro in
sottofondo che espliciti i loro pensieri/ragionamenti
•
la realizzazione di un breve filmato, magari di animazione, sui circuiti elettrici
•
…
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…
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…