Raccolta di problemi di geometra solida sulla piramide

3D Geometria solida – Piramide - 1
Raccolta di problemi di geometra solida sulla piramide con risoluzione
Problema 1.
Una piramide retta a base quadrangolare ha il perimetro di base di 120 cm e
ha una altezza di 20 cm. Sapendo che la piramide è di alluminio (ps = 2,7
g/cm3), calcolane la sua superficie totale, il volume e il peso.
Problema 2.
Lo spigolo laterale di una piramide quadrangolare regolare misura 41 cm e il
perimetro di base è di 72 cm. Calcola la misura della superficie totale della
piramide e il suo peso sapendo che la sua altezza è di 15 cm e che è fatta di
vetro (ps = 2,5 g/cm3).
Problema 3.
Il perimetro di base e l’altezza di una piramide che ha per base un triangolo
equilatero misurano rispettivamente 81 cm e 21 cm. Calcola la superficie
totale della piramide.
Problema 4.
Una piramide quadrangolare regolare è alta 52 cm e ha un’apotema di 48
cm. Calcola la misura dell’area totale della piramide, il suo volume e il suo
peso sapendo che è fatta di gesso (ps 2,3 g/cm3).
Problema 5.
Una piramide quadrangolare regolare, la cui apotema è 13/24 dello spigolo
di base, ha l’area di base pari a 2304 cm2. Calcola la misura dell’area totale
della piramide, il suo volume e il suo peso sapendo che il peso specifico del
materiale di cui è fatta è di 9 g/cm3.
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Suite 330, Boston, MA 02111-1307 USA
3D Geometria solida – Piramide - 2
Soluzioni della raccolta di problemi di geometra solida sul prisma
Una piramide retta a base quadrangolare ha il perimetro di base di
120 cm e ha una altezza di 20 cm. Sapendo che la piramide è di
alluminio (ps = 2,7 g/cm3), calcolane la sua superficie totale, il
volume e il peso.
l = 2p_base/4 = 120 / 4 = 30 cm
S_base = l2 = 302 = 900 cm2
2
2
1 
1

a = h +  l  = 20 2 +  ⋅ 30  = 20 2 + 15 2 = 400 + 225 = 625 = 25 cm
2 
2

l ⋅a
30 ⋅ 25
= 4⋅
= 15 ⋅ 100 = 1500 cm2
S_laterale = S _ lat = 4 ⋅
2
2
S_totale = S_base + S_lat= 900+1500 = 2400 cm2
S _ base ⋅ h 900 ⋅ 20
V=
=
= 300 ⋅ 20 = 6000 cm3 = 6 dm3
3
3
2
Essendo il peso specifico dell’alluminio pari a 2,7 kg/dm3
peso = ps * V = 2,7 * 6 = 16,2 kg
Lo spigolo laterale di una piramide quadrangolare regolare misura 41 cm e il
perimetro di base è di 72 cm. Calcola la misura della superficie totale della
piramide e il suo peso sapendo che la sua altezza è di 15 cm e che è fatta di
vetro (ps = 2,5 g/cm3).
SpigoloLaterale = 41cm
2pbase = 72 cm
SupTotale = ?
LatoBase = 2pbase/4 = 72/4 = 18 cm
LatoBase/2= 18/2 = 9 cm
2
1

a = SpigoloLaterale −  LatoBase  = 412 − 9 2 = 1681 − 81 = 1600 = 40 cm
2

2
SupBase = LatoBase2 = 182 = 324 cm2
l ⋅a
18 ⋅ 40
= 2⋅
= 1440 cm2
2
1
SupTotale = Supbase + SupLaterale = 324 + 1440 = 1764 cm2
S _ base ⋅ h 324 ⋅ 15
V=
=
= 324 ⋅ 5 = 1620 cm3
3
3
SupLaterale = 4 * SupFaccia = 4 ⋅
Essendo il peso specifico del vetro pari a 2,5 g/cm3
peso = ps * V = 2,5 * 1620 = 4050 g
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3D Geometria solida – Piramide - 3
Il perimetro di base e l’altezza di una piramide che ha per base un triangolo
equilatero misurano rispettivamente 81 cm e 21 cm. Calcola la superficie
totale della piramide.
DATI:
2pbase = 81 cm
a = 21 cm
Sl=?
St=?
spigolo_base = 2pbase/3 = 81/3 = 27 cm
2
 27 
htriangolo_base = 27 −   = 27 2 − 13,5 2 = 729 − 182,25 = 546,75 ≅ 23,38 cm
 2 
b * h 27 * 23,38 621,26
=
=
= 315,63 cm2
S_base=
2
2
2
2
2
Apotema = a =
h

 23,38 
h +  triangolo _ base  = 212 + 

3
 3 


2
2
2
= 22,40 cm
2
h

 23,38 
Apo = h +  triangle _ base  = 212 + 
 = 22, 40cm
3
3




spigolo _ base ⋅ apotema 27 ⋅ 22,40
Atriangolo_laterale =
=
= 302,40 cm2
2
2
2
S_laterale = 3* Atriangolo_laterale = 3*302,40 = 907,20 cm2
S_totale = S_laterale + S_base = 907,20 + 315,63 = 1222,83 cm2
Una piramide quadrangolare regolare è alta 48 cm e ha un’apotema di 52
cm. Calcola la misura dell’area totale della piramide, il suo volume e il suo
peso sapendo che è fatta di gesso (ps 2,3 g/cm3).
l
= a 2 − h 2 = 52 2 − 48 2 = 2704 − 2304 = 400 = 20 cm
2
l
l = * 2 = 20 * 2 = 40 cm
2
b*h l *a
S_faccia =
=
=
2
2
20
2
4/ 0/ * 52
= 1040 cm2
2/ 1
S_base = l 2 = 40 2 = 1600 cm2
S_laterale = S_faccia * 4 = 1040 * 4 = 4160 cm 2
S_totale = Sl + Sb = 4160 + 1600 = 5760 cm 2
V=
S _ base ⋅ h 1600 ⋅ 48
=
= 1600 ⋅ 16 = 26.688 cm3
3
3
Essendo il peso specifico del gesso pari a 2,3 g/cm3
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3D Geometria solida – Piramide - 4
peso = ps * V = 2,3 * 2668 = 61382,4 g = 61,38 kg
Una piramide quadrangolare regolare, la cui apotema è 13/24 dello spigolo
di base, ha l’area di base pari a 2304 cm2. Calcola la misura dell’area totale
della piramide, il suo volume e il suo peso sapendo che il peso specifico del
materiale di cui è fatta è di 9 g/cm3.
l=
Aquadrato = 2304 = 48 cm
2p = 4*l = 4 * 48 = 192 cm
13
= 26 cm
24
l⋅a
S_laterale = S_faccia * 4 =
⋅ 4 = 2 ⋅ l ⋅ a = 2*48*4 = 384 cm 2
2
Apotema = a = 48 ⋅
S_totale = Sl + Sb = 4160 + 1600 = 5760 cm 2
2
2
l
 48 
Alt_piramide = a −   = 26 2 −   = 26 2 − 24 2 = 676 − 576 = 100 = 10 cm
2
 3 
S _ base ⋅ alt _ pir 2304 ⋅ 10 768 ⋅ 10
V=
=
=
= 7680 cm3
3
3
1
2
Essendo il peso specifico del gesso pari a 9 g/cm3
peso = ps * V = 9 * 7680 = 69120 g = 69,12 kg
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3D Geometria solida – Piramide - 5
Altri problemi
Problema 6.
Una piramide regolare quadrangolare ha lo spigolo di base lungo 20 cm e
l’altezza misura 24 cm. Calcola l’area della superficie totale e il volume.
Problema 7.
Una piramide retta ha per base un trapezio isoscele il cui perimetro è 200
cm. Il trapezio è circoscritto ad un circonferenza lunga 150,72 cm. Sapendo
che l’area della superficie totale della piramide è 5000 cm2, calcola il volume
del solido.
[8000 cm3]
Problema 8.
Un solido è composto da due piramidi rette aventi la base in comune; questa
è un rombo che ha il perimetro di 180 cm e una diagonale lunga 72 cm.
Sapendo che gli apotemi delle due piramidi misurano rispettivamente 36 cm
e 23,4 cm calcola l’area ed il volume del solido.
[5346 cm2; 24494,4 cm3]
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