campionamento_1 - cine-tv

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TEOREMA DEL CAMPIONAMENTO
nota per il corso di Telecomunicazioni a cura di
F. Benedetto G. Giunta
1.
Introduzione
Il processo di campionamento è di enorme importanza ai fini della realizzazione dei
dispositivi digitali per le telecomunicazioni. Il contenuto del segnale campionato
risultante dipende dalla relazione fra la frequenza di campionamento impiegata e le
componenti minime e massime di frequenza del segnale analogico in ingresso.
I segnali a tempo discreto spesso sono una versione campionata di segnali a tempo
continuo; analogamente i segnali e dati numerici derivano da una quantizzazione di
campioni. Ciò è dovuto al fatto che l’elaborazione di segnali analogici si può eseguire
vantaggiosamente operando preventivamente una conversione analogica/numerica o,
sinteticamente conversione A/D, sulle forme d’onda, elaborando poi numericamente le
sequenze così ottenute ed effettuando infine, se necessario, una conversione
numerico/analogica o sinteticamente conversione D/A.
In ipotesi molto bene approssimate in pratica, una forma d’onda è adeguatamente
rappresentata dai suoi campioni: nel prosieguo si stabilirà innanzi tutto quali debbano
essere tali ipotesi e si mostrerà come la forma d’onda possa essere ricostruita a
partire dai propri campioni (Teorema del campionamento).
2.
Campionamento e Ricostruzione
Si consideri una forma d’onda xa(t), vediamo di stabilire se e in quali ipotesi la
sequenza dei suoi campioni x(n)=xa(nTc), con -∞<n<∞, rappresenti il segnale tempo
continuo xa(t) senza alcuna perdita di informazione; ovvero, in modo equivalente, se
ed in quali condizioni sia possibile ricostruire esattamente xa(t) a partire da x(n): Tc e
detto periodo
di campionamento ed il suo reciproco fc=1/Tc è la frequenza di
campionamento.
Campionamento ideale: la versione campionata idealmente di una forma d’onda
xa(t) è il segnale:
2
xδ ( t ) =
+∞
∑ x ( nT ) ⋅ δ ( t − nT )
n =−∞
a
c
c
(1)
e che il campionamento ideale è schematizzabile come il prodotto di xa(t) per il
treno periodico di impulsi di Dirac (o impulsi matematici):
δT (t ) =
+∞
∑ δ ( t − nT )
n =−∞
c
(2)
come illustrato in fig.1.
Figura 1: Campionamento ideale uniforme
Ricordando inoltre che, per le proprietà della trasformata di Fourier, ad un
campionamento nel dominio del tempo corrisponde una replicazione (periodizzazione)
in frequenza, si ha che lo spettro di xδ (t) vale:
Xδ ( f ) =
+∞
⎛
1 +∞
k ⎞
⋅ ∑ X a ⎜ f − ⎟ = fc ⋅ ∑ X a ( f − k ⋅ fc )
Tc k =−∞ ⎝
Tc ⎠
k =−∞
(3)
3
Dunque lo spettro del segnale campionato idealmente è costituito da repliche dello
spettro di xa(t) traslate di kfc=k/Tc e scalate in ampiezza secondo il fattore 1/ Tc=fc.
La fig. 2 fornisce l’interpretazione grafica della precedente relazione: precisamente
la fig. 2a mostra lo spettro di un segnale xa(t) con banda B, la fig. 2b rappresenta lo
spettro del segnale campionato nel caso che le repliche di Xa(f) non si sovrappongono
(sovracampionamento), essendo soddisfatta entro un certo margine la condizione di
Nyquist:
1
1
= Tc ≤
fc
2B
ovvero
fc ≥ 2B
ovvero
B≤
1
2Tc
(4)
Figura 2: Analisi del campionamento nel dominio della frequenza
La fig. 2c si riferisce invece al caso di campionamento a frequenza di Nyquist fc=2B,
mentre la fig. 2d è relativa al caso in cui tale condizione non sia soddisfatta
(sottocampionamento).
4
Dall’analisi in frequenza del campionamento segue che, se il segnale è a banda
limitata ed è soddisfatta la condizione di Nyquist, allora xa(t) può essere ricostruito
dalla sua versione campionata xδ (t). Se invece il segnale non è a banda limitata o se,
pur essendolo, le disuguaglianze espresse dalla (4) non sono soddisfatte, allora le
repliche di Xa(f) si sovrappongono, come mostrato in fig. 2d, e quindi la ricostruzione
non è più possibile: si dice allora che il segnale campionato è affetto da aliasing. La
minima frequenza di campionamento per cui un segnale con banda B può essere
ricostruitosenza dar luogo ad aliasing è pari a fc=2B e viene detta frequenza o
cadenza di Nyquist.
In conclusione sussiste il seguente:
Teorema del Campionamento Uniforme (o di Shannon):
un segnale analogico xa(t) è rappresentato dai suoi campioni presi con passo
costante Tc, ovvero con cadenza fc=1/Tc, se:
- il segnale xa(t) è a banda rigorosamente limitata, ovvero se il suo spettro soddisfa
la condizione X a ( f ) = 0, → ∀ f ≥ B ;
- la cadenza di campionamento è maggiore o uguale a quella di Nyquist, cioè fc≥2B.
Pertanto, se x(t) è un segnale con spettro con banda B limitata (diverso da zero per le
frequenze entro [-B, B]), allora per ogni scelta del passo di campionamento Tc≤1/2B,
x(t) ammette lo sviluppo in serie:
⎛ t − nTc ⎞
x ( t ) = ∑ x(nTc ) ⋅ sinc ⎜ π
⎟
Tc ⎠
n
⎝
(5)
Il risultato espresso dalla (5) è il medesimo al quale eravamo giunti in precedenza
potendosi la (5) riscrivere nel modo seguente:
⎛ t ⎞
⎡
⎤
⎢ x ( t ) ⋅ ∑ δ (t − nTc ) ⎥ ⊗ sinc ⎜ π T ⎟
n
⎣
⎦
⎝ c⎠
(6)
che, nel dominio di Fourier la precedente diventa:
⎡
1 ⎛
k ⎞⎤
⎢ X ( f ) ⊗ ∑ δ ⎜ f − ⎟ ⎥ ⋅ Tc rect1 2Tc ( f )
Tc ⎠ ⎦
k Tc
⎝
⎣
(7)
5
avendo definito la rect nel modo seguente:
Tc
Tc ⋅ rect1 2Tc ( f )
f
-1/2Tc
0
1/2Tc
Tc=1
⎛ t ⎞
sinc ⎜ π ⎟
⎝ Tc ⎠
3Tc
-3Tc
-Tc
Tc
Ovvero, dalla (7) si ottiene uno spettro periodico (termine a sinistra in parentesi
quadre), periodico di periodo 1/ Tc ovvero fc , limitato nell’intervallo [-fc/2, fc/2] dal
prodotto per la funzione
1
⋅ rect fc
fc
2
(f)
ovvero Tc ⋅ rect1 2Tc ( f ) .
*) Esempi di segnali, banda occupata e minima frequenza di campionamento:
a.
segnale vocale telefonico:
B=4 KHz,
fc=8 KHz
b.
segnale audio qualità CD:
B=22 KHz, fc=44.1 KHz
6
3.
Considerazioni conclusive.
In conclusione, il teorema del campionamento impone che la frequenza utilizzata per
il campionamento debba essere pari al doppio rispetto alla massima frequenza del
segnale analogico da campionare 2 fmax, il che assicura la perfetta ricostruzione del
segnale analogico a partire dai singoli campioni. La frequenza 2 fmax è chiamata
frequenza di Nyquist. E’ importante che la frequenza di campionamento abbia sempre
un valore superiore rispetto alla frequenza di Nyquist in modo tale da evitare il noto
problema dell’aliasing, ossia della sovrapposizione delle repliche dello spettro, che
comporta un’aberrazione irreversibile sul segnale campionato.
Nelle applicazioni pratiche, essendo assai raro il caso di segnali rigorosamente
limitati in banda, il campionamento viene effettuato utilizzando una misura di banda
efficace tale che l’errore di ricostruzione dai campioni (aliasing) sia trascurabile in
quanto comparabile con le altre forme di errore di approssimazione (esempio:
quantizzazione e codifica dei campioni con un numero finito di bit), i disturbi additivi
(esempio: l’interferenza con segnali utili di altri utenti) ed il rumore termico e di
antenna.