Applicazione al calcolo della viscosita` (note di E. Grossi)

Appunti Viscosità
Eduardo Grossi
8 gennaio 2015
La formula di Kubo per la viscosità di taglio η è:
η=
12 12
1
d
lim 0 ImGTR T (q)
β q→0 dq
(1)
dove si è indicato la trasformata di foureier della funzione ritardata con G̃R (q). Prima di dare la definizione
di funzione ritardata, è utile definire le seguenti quantità:
Z
>
Gαβ (q) =
d4 xeiq·x hφα (x)φ†β (0)i
(2)
Z
G<
d4 xeiq·x hφ†β (0)φα (x)i
(3)
αβ (q) =
Z
Aαβ (q) =
d4 xeiq·x h[φα (x), φ†β (0)]i
(4)
Z
∆αβ (q) =
d4 xeiq·x h{φα (x), φ†β (0)}i
(5)
dove G> , G> sono le funzioni di Wightman, A è la funzione spettrale e ∆ il correlatore classico. Gli operatori
φα e φβ sono due operatori qualsiasi costruibili in termini di campi. La funzione ritardata e anticipata è
definita invece:
Z
R
Gαβ (q) = i d4 xeiq·x h[φα (x), φ†β (0)]iθ(t)
(6)
Z
GA
d4 xeiq·x h−[φα (x), φ†β (0)]iθ(−t)
(7)
αβ (q) = i
D’altro canto si può definire il correlatore euclideo:
Z β
Z
Gαβ (iωn , q) ≡
dτ d3 xeiωn τ −iq·x hφα (iτ, x)φ†β (0)i
(8)
0
La ciclicità della traccia permette di collegare facilmente le due funzioni di Wightman grazie alla relazione
di Kubo-Martin-Schwinger (KMS), infatti:
hφα (t − iβ, x)φ†β (0)i =
i
1 h −β Hb β Hb
b
tr e
e φα (x)e−β H φ†β (0) = hφ†β (0)φα (x)i
Z
è facile rendersi conto che
(9)
0
−βq
G<
G>
αβ (q) = e
αβ (q)
grazie a questa relazione è possibile collegare tutte le le funzioni di correlazione precedentemente definite ed
esprimerle ad esempio in funzione di A, la funzione spettrale:
0
0
<
βq
−βq
Aαβ (q) = G>
− 1)G<
)G>
αβ (q) − Gαβ (q) = (e
αβ (q) = (1 − e
αβ (q)
1
le relazioni inverse sono semplicemente esprimibili in termine della distribuzione di Bose
nB (q) =
1
eβq0 − 1
infatti:
0
G<
αβ (q) = nB (q )A(q)αβ
(10)
G>
αβ (q)
(11)
0
= (nB (q ) + 1)A(q)αβ
0
∆αβ (q) = (1 + 2nB (q ))A(q)αβ
(12)
(13)
Per quanto riguarda le funzioni ritardate e anticipate facendo uso della rappresentazione integrale della θ :
Z ∞
dω e−iωt
θ(t) = i
+
−∞ 2π ω + i0
e inserendola nelle definizione di funzione ritardata si ottiene:
Z
Z
d4 p −ix·p
4
ix·q
GR
(q)
=
i
d
xe
θ(t)
e
A(p)
αβ
(2π)4
Z
Z
Z
0
0
dω
dp0 ei(q −p −ω)t
= − dt
A(p0 , q)
2π
2π ω + i0+
Z ∞
dp0 A(p0 , q)
=
0
0
+
−∞ 2π p − q − i0
(14)
(15)
(16)
e similmente per la funzione anticipata:
GA
αβ (q)
Z
∞
=
−∞
Dato il denominatore e la relazione
dp0 A(p0 , q)
2π p0 − q 0 + i0+
(17)
1
1
= PV − iπδ(x)
+
x + i0
x
è semplice rendersi conto che
A
ImGR
αβ (q) = −ImGαβ (q) =
1
Aαβ (q)
2
(18)
A
ReGR
αβ (q) = ReGαβ (q)
Il correlatore euclideo invece è ottenibile facendo la continuazione analitica nel tempo:
Z
Z β
Z
E
3
4 ip·x >
Gαβ (iωn , q) =
dτ
d x d pe G (p)
0
Z
it→τ
∞
=
−∞
dq 0 A(q)
(2π) q 0 − iωn
(19)
questa relazione è chiamata rappresentazione spettrale della funzione a due punti. Come conseguenza di
queste relazioni è possibile calcolare la funzione ritardata facendo la continuazione analitica dalla frequenza
iωn ad un valore reale q 0 :
0
E
0
+
GR
(20)
αβ (q , q) = Gαβ (iωn → q + i0 , q)
quindi per calcolare funzione ritardata e in ultima istanza la viscosità è possibile utilizzare le normali tecniche
di teoria di campo a tempo immaginario e successivamente fare la continuazione analitica della frequenza.
2
Consideriamo come esempio un semplice calcolo per una campo scalare, la lagrangiana per il campo scalare
carico è:
L(x) =
1 µ
1
∂ φ(x)∂µ φ(x) − m2 φ2 (x)
2
2
(21)
che definisce il segente tensore energia impulso canonico:
Tbµν = ∂ µ φ(x)∂ ν φ(x) − g µν L
(22)
La versione euclidea può essere ottenuta sostituendo a t → −iτ , quindi le differenti componenti del tensore
energia impulso sono:
Tbij = ∂ i φ(τ, x)∂ j φ(τ, x)
1
1
1
Tb00 = − ∂τ φ(τ, x)∂τ φ(τ, x) − ∂k φ(τ, x)∂ k φ(τ, x) + m2 φ2 (τ, x)
2
2
2
1
1
1
Tbii = ∂ i φ(τ, x)∂ i φ(τ, x) − ∂τ φ(τ, x)∂τ φ(x) + ∂k φ(τ, x)∂ k φ(τ, x) − m2 φ2 (τ, x)
2
2
2
(23)
(24)
(25)
Il correlatore Euclideo da calcolare per ottenere la viscosità di taglio è:
12
T
GE
T 12
(τ, x) = hTb12 (τ, x)Tb12 (0)i
(26)
e in particolare la sua trasformata di fouirier:
Z β
Z
T 12 T 12
GE
(ωn , q) =
dτ d3 x e−iωn τ +iq·x hTb12 (τ, x)Tb12 (0)i
(27)
0
Inserendo nell’espressione (27), l’espressione dei in campi in trasformata di Fourier :
Z
Z
X
1X
d3 p iωn τ −ip·x
e
φ(ω
,
p)
=
eiP ·X φ(P )
φ(τ, x) =
n
β ω
(2π)3
n
(28)
P
dove, per semplificare la notazione si usano le seguenti convenzioni: : P = (p4 , p) = (2πnT, p), X = (τ, x)
R
P R d3 p
P
and P = β1 ωn (2π)
3 . L’espressione (27) diventa :
Z
X
12 12
GTE T (X − Y ) =
ei(P1 +P2 )·X ei(P3 +P4 )·Y C 12 (P1 , P2 )C 12 (P3 , P4 )hφ(P1 )φ(P2 )φ(P3 )φ(P4 )i (29)
P1 P2 P3 P4
definendo C 12 come:
C 12 (P, K) = (iP1 )(iP2 ) = −P1 P2
(30)
Usando il teorema di Wick è possibile scrivere la funzione a 4 punti come prodotto delle funzioni a 2 punti :
hφ(P1 )φ(P2 )φ(P3 )φ(P4 )i = hφ(P1 )φ(P3 )ihφ(P2 )φ(P4 )i+hφ(P1 )φ(P4 )ihφ(P2 )φ(P3 )i+hφ(P1 )φ(P2 )ihφ(P1 )φ(P2 )i
(31)
l’ultimo termine della somma corrisponde alla contrazione tra i campi che costituiscono le componenti del
tensore energia impulso con se stesso, questo temine una volta integrato produrrebbe il prodotto tra due
delta di Dirac valutate nello stesso argomento e di conseguenza infinito, quindi per ottenere un risultato
finito deve essere escluso. Grazie all’invarianza per traslazioni la funzione a due punti hφ(P1 )φ(P2 )i è :
hφ(P1 )φ(P2 )i = δ(P1 + P2 )G(P1 ) = βδω1n +ω2n ,0 (2π)3 δ 3 (p1 + p2 )G(ω1n , p1 )
(32)
dove G(iω, p) è il propagatore della teoria scalare, vale a dire:
G(iω, p) =
ωn2
3
1
+ |p|2 + m2
(33)
Con queste espressioni si ha:
12
T
GE
T 12
Z
X
ei(P1 +P2 )·X ei(P3 +P4 )·Y C 12 (P1 , P2 )C 12 (P3 , P4 )
(34)
δ(P1 + P3 )G(P1 )δ(P2 + P4 )G(P2 ) + δ(P1 + P4 )G(P1 )δ(P2 + P3 )G(P2 )
(35)
(X − Y ) =
P1 P2 P3 P4
che usando le due delta di Dirac può essere ulteriormente semplificata:
Z
X
12 12
GTE T (X − Y ) =
ei(P1 +P2 )·(X−Y ) G(P2 )G(P1 ) C 12 (P1 , P2 )C 12 (−P1 , −P2 ) + C 12 (P1 , P2 )C 12 (−P2 , −P1 ) (36)
P1 P2
Dalla definizione del vertice C 12 (30) quest’ultima espressione può essere scritta come:
Z
X
ei(P1 +P2 )·(X−Y ) G(P2 )G(P1 )C 12 (P1 , P2 )C 12 (P1 , P2 )
Gρρ (X − Y ) = 2
(37)
P1 P2
La trasformata di Fourier di (37) risulta quindi:
Z β
Z
12 12
T 12 T 12
GE
(Q) =
dτ d3 x e−iQ·X GTE T (X)
(38)
0
Z
=
2
β
Z
dτ
0
d3 x
Z
X
ei(P1 +P2 −Q)·X G(P2 )G(P1 )C 12 (P1 , P2 )C 12 (P1 , P2 )
(39)
P1 P2
Usando la rappresentazione della delta di Dirac:
δ(Q) = βδqn ,0 (2π)3 δ 3 (q) =
Z
β
Z
dτ
d3 x eiQ·X
(40)
0
l’equazione (38) diventa:
12
T
GE
T 12
(Q)
Z
X
C 12 (P, Q − P )C 12 (P, Q − P )G(P )G(Q − P )
=
2
=
Z
2X
d3 p 12
C (P, Q − P )C 12 (P, Q − P )G(P )G(Q − P )
β p
(2π)3
(41)
P
(42)
n
questa espressione è il punto di partenza del calcolo della viscosità di taglio. Per semplificare ulteriormente le
notazioni definiamo la funzione f (P, Q) = 2C 12 (P, Q − P )C 12 (P, Q − P ) che esprime l’azione dell’inserzione
dell’operatorte composto nel correlatore. Restaurando la dipendenza esplicita delle frequenze e indicando
con ωm la frequenza esterna, e ωn la frequenza interna su cui si somma, cambiando il segno della variabile
di integrazione somma, si può scrivere :
Z
1X
d3 p
T 12 T 12
GE
(iωm , q) =
fAB (ωn + ωm , ωn )G(iωn + iωm , p + q)G(iωn , p)
(43)
β ω
(2π)3
n
Una espressione di questo tipo si può ottenere anche per gli altri correlatori tra le differenti componenti del
tensore energia impulso, cambiando adeguatamente il polinomio C. Prima di fare la continuazione analitica
e quindi ottenere la funzione ritardata è necessario effettuare la somma sulle frequenze. Esistono differenti
metodi per valutare la somma di seguito verrà illustrato un metodo che riconduce la somma in un integrale nel
piano complesso che può essere abbastanza utile se il termine generico ha una struttura analitica abbastanza
semplice, come nel caso del propagatore. Prima di procedere però è utile sostituire al propagatore G la sua
rappresentazione spettrale:
Z
dε A(ε, q)
(44)
GE (iωm , q) =
2π iωm − ε
4
(a) Cammino di integrazione C
(b) Cammino d integrazione C’
Figura 1: Cammini di integrazione per valutare la somma sulle frequenze
Utilizzando questa rappresentazione spettrale è possibile isolare la dipendenza della frequenza nel propagatore
e quindi facilitare la valutazione della somma. Consideriamo quindi l’espressione:
Z
Z
Z
1X
dε
dε0
A(ε, p) A(ε0 , p + q)
d3 p
f
(p,
q)
(45)
β ω
(2π)3
(2π)
(2π)
iωn − ε iωn + iωm − ε0
n
In questo modo la parte da sommare è semplicemente ωn = 2πT :
∞
1
1 X
1X
1
=
f (z = iωn = 2πT i)
β ω iωn − ε iωn + iωm − ε0
β n=−∞
(46)
n
In generale una somma di questo tipo può essere espressa come un integrale su un cammino nel piano
complesso, infatti se consideriamo la funzione 12 coth( 12 βz), questa ha poli del primo ordine con residuo β1
per z = 2πT i, quindi considerando come cammino C un insieme (infinito ) di cerchi attorno ad ogni polo
(Figura ), si può scrivere
Z
∞
1
1 X
1
1
f (z = iωn = 2πT i) =
dzf (z) coth
βz
(47)
β n=−∞
2πi C
2
2
Se la funzione f non ha altre discontinuità nell’asse immaginario , il contorno può essere deformato in due
rette parallele all’asse immaginario orientate in verso opposto cammino C 0 (Figura ), ottenendo:
Z −i∞−
Z i∞+
1
1
1
1
1
1
dzf (z) − − −βz
+
dzf (z)
+ βz
(48)
2πi i∞−
2 e
−1
2πi −i∞+
2 e −1
ponendo nel primo integrale z → −z unendo conseguentemente i due termini e chiamando con
nB (z) =
1
eβz − 1
(49)
la funzione di distribuzione di Bose-Einstein si può ottenere la formula (abbastanza generale in quanto l’unica
approssimazione fatta è che f non abbia discontinuità lungo l’asse immaginario):
Z i∞
Z i∞+0+
∞
1
1 X
1
1
f (z = iωn = 2πT i) =
dz (f (z) + f (−z)) +
dz (f (z) + f (−z)) nB (z) (50)
βn
2πi −i∞ 2
2πi −i∞+0+
−∞
5
Con questa formula ora è possibile sostituire la somma con un integrale, nel nostro caso abbiamo
1
1X
β n (iωn − ε)(iωn − ε̄)
(51)
(52)
con ε0 − iωm = ε̄:
Z i∞
Z i∞+0+
1
1
1
1
1
1
1
dz
+
+
dz
+
nB (z) (53)
2πi −i∞ 2 (z − ε)(z − ε̄) (z + ε)(z + ε̄)
2πi −i∞+0+
(z − ε)(z − ε̄) (z + ε)(z + ε̄)
Il primo termine è il contributo del correlatore a zero temperatura ed è possibile trascurarlo, mentre il
secondo termine è il contributo dovuto alla temperatura. L’integrale lungo l’asse immaginario è calcolabile
chiudendo il cammino nel semipiano con parte reale positivo del piano complesso, in quanto la funzione di
distribuzione di Bose, fa si che il contributo dell’arco all’infinito si annulli. Di conseguenza utilizzando il
teorema dei residui l’integrale è la somma dei residui dei poli, che nel semipiano Re > 0 sono ε e ε0 quindi:
Z i∞+0+
X
1
1
1
dz
+
nB (z) = −
Res [(f (z) + f (−z))nB (z))]
(54)
2πi −i∞+0+
(z − ε)(z − ε̄) (z + ε)(z + ε̄)
ε,ε̄
= −nB (ε)
1
1
1
nB (ε0 ) − nB (ε)
− nB (ε̄)
=
[nB (ε̄) − nB (ε)] =
ε − ε̄
ε̄ − ε
ε − ε̄
iωm + ε − ε0
(55)
Quindi:
1
nB (ε0 ) − nB (ε)
1X
=
β n (iωn − ε)(iωn + iωm − ε0 )
iωm + ε − ε0
(56)
In questo modo il correlatore euclideo
Z
Z
Z
12 12
dε
dε0 A(ε, p)A(ε0 , p + q)
d3 p
GTE T (iωm , q) =
(nB (ε0 ) − nB (ε)) f (p, q)
3
(2π)
(2π)
(2π)
iωm + ε − ε0
Adesso è possibile continuare analiticamente iωm → ω + i0+ ottenendo così la funzione ritardata:
Z
Z
Z
d3 p
dε
dε0 A(ε, p)A(ε0 , p + q)
T 12 T 12
GR
(q, ω) =
(nB (ε0 ) − nB (ε)) f (p, q)
3
(2π)
(2π)
(2π) ω + ε − ε0 + i0+
Grazie a questa espressione è possibile riconoscere facilmente la parte immaginaria e quella reale, sfruttando
la relazione:
1
1
= PV − iπδ(x)
x + i0+
x
(57)
che permette di eliminare una integrazione sull’energia, ad esempio ε0 :
Z
Z
1
d3 p
dε
T 12 T 12
ImGR
(q, ω) = −
ρ(ε, p)ρ(ω + ε, p + q) (nB (ω + ε) − nB (ε)) f (p, q)
3
2
(2π)
(2π)
La derivata rispetto all’energia esterna ω e il conseguente limite di ω → 0, q → 0 possono essere fatti
ottenendo:
Z
Z
T 12 T 12
dImGR
(0, ω) 1
d3 p
dε
dnB (ε)
η=
= −
ρ(ε, p)ρ(ε, p)
f (p, 0)
dω
2
(2π)3
(2π)
dε
ω=0
Z
Z
d3 p
dε
dnB (ε)
= −
A(ε, p)A(ε, p)
(p1 p2 )2
3
(2π)
(2π)
dε
6
dove si è fatto uso del fatto che nB (ε + ω) − nB (ε) va a zero per ω → 0. Per una teoria libera la la funzione
spettrale A è :
A(ε, p) = 2πsig(ε)δ(ε2 − |p|2 − m2 )
(58)
di conseguenza l’integrale diverge data la presenza del quadrato della Delta. Questa singolarità può essere
interpretata semplicemente considerando che per una teoria libera non essendoci collisioni, il libero cammino
medio diverge e di conseguenza anche la viscosità. Per ottenere un risultato finito si deve tenere di conto
delle interazioni, in particolare. Il modo più semplice è considerare la auto energia nel propagatore libero Σ.
Quest’ultima può essere definita tramite l’equazione:
G−1 = G−1
0 +Σ
(59)
dove G0 è il propagatore della teoria libera 1/(p2n + |p|2 + m2 ) e G è il propagatore risommato. Grazie a
questa equazione si ottiene il propagatore risommato.
G(ipn , p) =
1
p2n + |p|2 + m2 + Σ(ipn , p)
(60)
la self-energy ritardata e anticipata sono definite a partire da quella a tempo immaginario:
ΣR/A (p0 , p) = Σ(ipn → p0 ± i0+ , p)
ΣR (p0 , p) = ΣA (p0 , p)∗
(61)
che permette di scrivere le funzione a due punti ritardata e anticipata come:
GR (p0 , p) =
−1
p20 − |p|2 − m2 − ΣR (p0 , p)
GA (p0 , p) =
−1
p20 − |p|2 − m2 − ΣR (p0 , p)∗
(62)
La funzione spettrale può essere ricavata dalla differenza tra le due funzioni (ricordo che la funzione ritardata
e anticipata hanno la stessa parte reale ma parte immaginaria opposta):
iA(p0 , p) = GR (p0 , p) − GA (p0 , p)
(63)
usando (62) si ottiene:
A(p0 , p) =
(p20
−
|p|2
−
m2
−2ImΣR (p0 , p)
− ReΣR (p0 , p))2 + (ImΣR (p0 , p))2
(64)
Per una teoria libera, come abbiamo detto, se l’interazione va a zero l’espressione sopra ottenuta si riduce a
una delta di Dirac. Nel caso sia presente una interazione (piccola) il picco della delta di Dirac si mantiene
ma con una larghezza finita, vale a dire si approssima con una distribuzione di Breit-Wigner. Supponendo
che il picco sia per p0 = Ep soluzione dell’equazione Ep = |p|2 + m2 + ReΣR (p0 , p) la larghezza del picco (a
mezza altezza) è Γp = −ImΣR (Ep , p)/2Ep , in questo modo la funzione spettrale (64) è approssimata da:
A(p0 , p) =
4Γp Ep
(p20 − Ep2 )2 + (2Ep Γp )2
(65)
che chiaramente restituisce una delta per piccoli valori della larghezza1 .
(p20
−
4Γp Ep
−→ 2πsig(p0 )δ(p20 − Ep )
+ (2Ep Γp )2
Ep2 )2
Con questa approssimazione l’integrale che determina la viscosità da un risultato finito infatti:
Z
Z
1
d3 p
dε 2πsig(ε)δ(ε20 − Ep ) dnB (ε) 1 2 2
η=−
(p p )
β
(2π)3
(2π)
4Γp Ep
dε
1 Remember
that lim→0
x2 +2
= πδ(x)
7
(66)
(67)
che in prima approssimazione, integrando rispetto alla variabile ε:
Z
1 dnB (Ep ) 1 2 2
1
d3 p
η=−
(p p )
3
β
2Ep (2π) 2Γp Ep
dε
Z
1
d3 p
=
nB (Ep )(nB (Ep ) + 1)(p1 p2 )2
3
2Ep (2π) 2Γp Ep
Z ∞
p6
1
dp
nB (Ep )(nB (Ep ) + 1)
=
2
30π 0
4Γp Ep2
(68)
(69)
(70)
dove nell’ultimo passaggio si è integrato nelle variabili angolari e indicato con p il modulo dell’impulso.
La viscosità di taglio è controllata dall’inverso della parte immaginaria della self-energy, che può essere
interpretata come il tempo di vita medio di una quasi particella nel plasma, quindi tanto più l’interazione è
debole tanto la viscosità sarà grande.
k2
q
λ
λ
k1
q
k1 + k2 − q
Figura 2: Contributo alla vita media delle quasi particelle
1
Considerando una teoria con interazione del tipo 4!
λφ4 il primo termine diverso da zero che contribuisce
alla parte immaginaria della self-energy Σ corrisponde al diagramma in figura:
Z 4
λ
d k1 d4 k2
−βq 0
R
A(k1 )A(k2 )A(q − k1 − k2 )
(71)
ImΣ (q) = − (1 − e
)
12
(2π)4 (2π)4
(1 + nB (k10 ))(1 + nB (k20 ))(1 + nB (q 0 − k10 − k20 ))
(72)
Valutare esplicitamente questo integrale è una operazione non banale [3, 2], tuttavia ad alta temperatura
T m e a momento esterno si ottiene:
Γ0 = −
ImΣ(m, 0)
λ2 T 2
=
2m
1536πm
(73)
Si vede da questa espressione che Γ è proporzionale ad il quadrato della costante di accoppiamento λ e di
conseguenza proporzionale alla sezione d’urto tra le particelle.
Riferimenti bibliografici
[1] J. I. Kapusta and C. Gale, Finite-temperature field theory: Principles and applications, Cambridge, UK:
Univ. Pr. (2006) .
[2] N. P. Landsman and C. G. van Weert, Real and Imaginary Time Field Theory at Finite Temperature
and Density, Phys. Rept. 145 (1987) 141.
[3] S. Jeon, Phys. Rev. D 52, 3591 (1995) [hep-ph/9409250].
[4] A. Hosoya, M. -a. Sakagami and M. Takao, Annals Phys. 154, 229 (1984).
8