PDF v2014

Appunti sulle turbine ad azione
Giulio Cazzoli
versione 1.0 – Maggio 2014
Indice
1 Scelta del tipo di turbina
1.1 Azione o reazione . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Turbina a salti di velocità o salti di pressione
1.3 Scelta del numero di stadi . . . . . . . . . .
1.3.1 Condizione di massimo rendimento .
1.3.2 Limiti strutturali . . . . . . . . . . .
1.3.3 Massima velocità del vapore . . . . .
1.3.4 Numero di stadi . . . . . . . . . . . .
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2 Lavoro e rendimento teorici di una turbina ad azione
2.1 Singola girante ad azione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Lavoro ottenuto da una girante ad azione . . . . . . . . . .
2.2 Turbina pluristadio a salti di velocità . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Caratteristiche costruttive . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Lavoro specifico di uno stadio in relazione al primo stadio .
2.2.3 Lavoro specifico della turbina . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Rendimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Lavoro e rendimento teorici di una turbina a salti di pressione . .
2.3.1 Caratteristiche costruttive . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Lavoro specifico di uno stadio . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Lavoro specifico della turbina . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.4 Rendimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Dimensionamento dei triangoli di velocità
velocità
3.1 Distributore . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Ingresso . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Uscita . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Velocità di rotazione della girante . .
3.2 Stadio ad azione . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Perdite energetiche . . . . . . . . . .
3.2.2 Girante . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Raddrizzatore . . . . . . . . . . . . .
1
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3
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4
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5
5
5
6
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8
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9
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10
per una macchina a salti di
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Appunti sulle turbine ad azione
4 Rendimento di una turbina a salti di velocità
4.1 Energia dissipata nel distributore . . . . . . .
4.1.1 Efficienza del distributore . . . . . . .
4.2 Energia dissipata nella girante . . . . . . . . .
4.3 Energia dissipata nel raddrizzatore . . . . . .
4.4 Energia dissipata allo scarico . . . . . . . . . .
per via
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“termica”
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5 Lavoro utile e rendimento reali di una turbina Curtis a due salti di velocità
5.1 Lavoro utile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Rendimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Condizione di massimo rendimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2 Ottimizzazione dei triangoli di velocità . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Rendimento per via “termica” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
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20
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21
6 Dimensionamento degli stadi ad azione
6.1 Diametro medio delle giranti . . . . . . . . .
6.2 Dimensionamento del diffusore . . . . . . . .
6.2.1 Sezioni di passaggio . . . . . . . . . .
6.2.2 Forma e dimensione delle sezioni . .
6.2.3 Altezza del diffusore e accoppiamento
6.2.4 Numero di ugelli . . . . . . . . . . .
6.2.5 Lunghezza del tratto divergente . . .
6.2.6 Dimensione assiale del diffusore . . .
6.3 Forma e dimensione delle palette . . . . . .
6.3.1 Passo e numero di pale . . . . . . . .
6.3.2 Canale palare . . . . . . . . . . . . .
6.3.3 Limiti . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.4 Altezza delle pale . . . . . . . . . . .
21
21
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22
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29
2
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con la prima girante
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Appunti sulle turbine ad azione
1
1.1
Scelta del tipo di turbina
Azione o reazione
La scelta tra una macchina a reazione od azione viene eseguita a priori in base alla potenza
richiesta. La complessità delle macchine a reazione le rendono interessanti per impianti ad
elevata potenza (decine/centinaia di mega watt, vedi centrale di Porto Tolle).
1.2
Turbina a salti di velocità o salti di pressione
Le turbine a salti pressione presentano maggiori rendimenti rispetto a quelle a salti di velocità
per effetto del recupero da frazionamento. Per contro sono più ingombranti e sono soggette
a perdite per fughe di vapore attraverso le tenute tra statore e albero che diminuiscono il
rendimento complessivo della macchina e che devono essere limitate mediante opportune
tenute.
Tra una macchina a salti di velocità e di pressione, si tende a preferire la soluzione a
salti di velocità quando le prestazioni non sono tali da giustificare una scelta più complessa
e quindi costosa.
1.3
Scelta del numero di stadi
La scelta del numero di stadi dipende dalla architettura scelta, dal salto entalpico a disposizione e da condizioni di sicurezza per il rotore.
1.3.1
Condizione di massimo rendimento
Nel caso di macchine ad azione, è possibile ottenere una relazione tra tra la velocità tangenziale (u) e la componente tangenziale in ingresso alla prima girante (cin cos αin ). La relazione,
ottenuta derivando l’espressione del rendimento interno della turbina in condizioni ideali,
dipende dal numero e tipo di giranti ad azione, ed assume forma:
1
u
=
cin cos αin ηmax
2k
con k funzione del numero di salti e della architettura della turbina:
turbina ad azione semplice k = 1
turbina a n salti di velocità k = n
turbina a n salti di pressione k =
1.3.2
√
n
Limiti strutturali
La velocità periferica (tangenziale) di una girante è limitata dalla massima forza centrifuga
che la girante stessa può sopportare, per i materiali di uso corrente vale:
umax = 300 m/s
3
Appunti sulle turbine ad azione
1.3.3
Massima velocità del vapore
La velocità di ingresso alla prima girante c1 , supposta uguale a quella di uscita dal diffusore,
dipende esclusivamente, a meno delle perdite, dal salto entalpico a disposizione. Applicando
l’equazione di conservazione dell’energia tra le sezioni in e us del diffusore:
c2in
c2
+ hin = us + hus
2
2
si ottiene, trascurando cin rispetto a cus , si ha:
p
cin = cus = 2(hin − hus )
1.3.4
Numero di stadi
Definito il salto entalpico a disposizione, vista la piccola variazione dell’angolo di ingresso
(αin = 15 ÷ 20), la scelta del tipo di macchina ricade sulla cifra k (architettura e numero di
stadi) che soddisfi il vincolo sulla massima velocità periferica.
Per una macchina a salti di velocità il numero di stadi varrà:
cin cos αin
nv =
2 umax
mentre per una a salti di pressione:
np =
cin cos αin
2 umax
2
Si nota che per smaltire un dato salto entalpico una turbina a salti di pressione richieda un
maggior numero di stadi rispetto ad una turbina a salti di velocità.
2
Lavoro e rendimento teorici di una turbina ad azione
2.1
Singola girante ad azione
Per una generica girante (individuata dall’apice (i)) si definiscono le sezioni di ingresso
ed uscita con i pedici 1 e 2. Su ciascuna sezione (k) viene definito, sotto le ipotesi della
(i)
teoria monodimensionale, un triangolo di velocità formato dalla velocità assoluta (ck ), dalla
(i)
(i)
velocità relativa (wk ) e dalla velocità di trascinamento (uk ), secondo le usuali convenzioni.
Per la girante assumeremo:
1. azione, funzionante in condizioni ideali:
(i)
(i)
w1 = w2
2. costruita con criterio simmetrico
(i)
(i)
β2 = π − β1
3. flusso assiale:
(i)
(i)
u1 = u2 = u(i)
4
Appunti sulle turbine ad azione
2.1.1
Lavoro ottenuto da una girante ad azione
Sotto queste ipotesi, il lavoro specifico ottenuto dalla girante, vale, in accordo con la formula
di Eulero:
(i)
(i)
(i)
(i)
(i)
(i)
l =u
c1 cos α1 − c2 cos α2
Da una semplice analisi dei triangoli di velocità si ha:
(i)
(i)
(i)
(i)
c2 cos α2 = w2 cos β2 + u(i)
(i)
(i)
= w1 cos π − β1 + u(i)
(i)
(i)
= −w1 cos β1 + u(i)
(i)
(i)
= − c1 cos α1 − u + u(i)
(i)
(i)
= 2u(i) − c1 cos α1
Sostituendo nella equazione di Eulero, si ottiene la nota formula:
(i)
(i)
l(i) = 2u(i) c1 cos α1 − u(i)
(1)
(i)
Introducendo il parametro Θ(=) u/c1 cos α1 , il lavoro specifico può essere riscritto come:
(i)
l(i) = 2 cos2 α1 Θ(i) 1 − Θ(i)
2.2
Turbina pluristadio a salti di velocità
Una macchina a salti di velocità (turbina Curtis) è costituita da una successione di stadi.
Ciascuno stadio è costituito da una girante seguita da un raddrizzatore:
• la girante è una macchina ad azione ed ha il compito di convertire parte della energia
cinetica del vapore in lavoro;
• il raddrizzatore è un componente statico che devia la vena fluida in uscita dalla turbina
per portarla ad una direzione compatibile con la successiva girante.
Ovviamente l’ultimo stadio è privo del raddrizzatore.
Una turbina costituita dalla sola prima girante prende il nome di turbina de Laval.
2.2.1
Caratteristiche costruttive
Per ciascuno stadio (individuato dall’apice (i)), si definiscono le sezioni di ingresso ed uscita
dalla girante con i pedici 1 e 2, le sezioni di ingresso ed uscita dal raddrizzatore con i pedici
3 e 4. Su ciascuna sezione (k) viene definito un triangolo di velocità formato dalla velocità
(i)
(i)
(i)
assoluta (ck ), dalla velocità relativa (wk ) e dalla velocità di trascinamento (uk ), secondo
le usuali convenzioni.
5
Appunti sulle turbine ad azione
Raddrizzatore A flusso assiale:
(i)
(i)
u3 = u4 = u(i)
non converte entalpia in velocità e funziona in condizioni ideali:
(i)
(i)
c3 = c4
è costruito con criterio simmetrico
(i)
(i)
α4 = π − α3
Stadio Assumeremo ideale sia il passaggio tra girante e statore:
(i)
(i)
(i)
c2 = c3
(i)
α2 = α3
che il passaggio tra due stadi successivi:
(i)
(i+1)
(i)
c4 = c1
(i+1)
α4 = α1
Infine il flusso di vapore rimane sempre assiale:
u(i) = u(i+1) = u
2.2.2
Lavoro specifico di uno stadio in relazione al primo stadio
Il lavoro utile raccolto dal generico stadio ((i)):
(i)
(i)
l(i) = 2u c1 cos α1 − u
può essere espresso in funzione delle condizioni di ingresso dello stadio precedente ((i − 1)).
Infatti:
(i)
(i)
(i−1)
(i−1)
c1 cos α1 = c4
cos α4
(i−1)
(i−1)
= c3
cos π − α3
(i−1)
(i−1)
= c2
cos π − α2
(i−1)
= −c2
(i−1)
= c1
(i−1)
cos α2
(i−1)
cos α1
− 2u
Sostituendo nella espressione del lavoro:
(i)
(i)
l(i) = 2u c1 cos α1 − u
(i−1)
(i−1)
= 2u c1
cos α1
− 2u − u
Riordinando:
(i−1)
(i−1)
l(i) = 2u c1
cos α1
− 3u = l(i−1) − 4u2
6
Appunti sulle turbine ad azione
Il lavoro specifico prodotto dall i-esima girante può essere scritto per via ricorsiva in
funzione del lavoro prodotto dalla prima girante:
l(i) = l(1) − 4(i − 1)u2
(1)
(1)
oppure, ricordando il parametro Θ(1) = u/c1 cos α1 e la definizione di l(1) :
l(i) = l(1) − 4(i − 1)u2
(1)
(1)
= 2u c1 cos α1 − u − 4(i − 1)u2
(1)
(1)
= 2 c1 cos α1 u 1 − Θ(1) − 2(i − 1)Θ(1)
riordinando:
l
2.2.3
(i)
=2
(1)
c1
(1)
cos α1
2
Θ(1) 1 − Θ(1) (2i − 1)
Lavoro specifico della turbina
Considerando una macchina composta da n stadi, tutti perfetti, il lavoro specifico complessivo
sarà pari alla somma dei lavori specifici:
l=
n
X
l(i)
i=1
sostituendo e semplificando:
l=
n
X
l(1) − 4(i − 1)u2
i=1
= nl(1) − 4u2
= nl(1) − 4u2
n
X
i=1
n−1
X
(i − 1)
i
i=0
n−1
n
= nl(1) − 4u2
2
riordinando
l = nl(1) − 2n(n − 1)u2
o
(1)
(1)
l = 2nu c1 cos α1 − nu
e ricordando il parametro Θ(1) :
2
(1)
(1)
l = 2 c1 cos α1
nΘ(1) 1 − nΘ(1)
La condizione di fuga vale:
1
Θ(1) l=0 =
n
7
Appunti sulle turbine ad azione
2.2.4
Rendimento
Il salto entalpico a disposizione (∆h) rappresenta la massima energia disponibile, pertanto
il rendimento della turbina viene definito come:
η=
l
∆h
Il salto entalpico a disposizione viene convertito in energia cinetica esclusivamente nel diffusore a monte della prima girante, assumendo una trasformazione ideale, trascurando il salto
geodetico e la velocità in ingresso al diffusore, dalla equazione di conservazione della energia
in forma energetica si ha:
(1)
√
c1 =
(1)
2∆h ⇒ ∆h =
sostituendo:
η=
2l
(1)
c1
4
2 =
(1)
c1
(1)
cos α1
2
c1
2
2
(1)
c1
nΘ (1 − nΘ)
2
riordinando:
(1)
η = 4 cos2 α1 nΘ (1 − nΘ)
Condizione di massimo rendimento Il valore di Θ che assicura il massimo rendimento
si ottiene differenziando ed eguagliando a zero:
∂η
(1)
= 4 cos2 α1 n (1 − 2nΘ) = 0
∂Θ
Pertanto il valore di Θ che assicura (in condizioni teoriche) il massimo rendimento vale:
u
1
=
Θ|ηmax = (1)
(1) 2n
c1 cos α1 ηmax
Nel caso di turbina ideale alla condizione di massimo rendimento corrisponde sempre lo
stesso valore di rendimento, infatti sostituendo e risolvendo:
(1)
ηmax = cos2 α1
2.3
Lavoro e rendimento teorici di una turbina a salti di pressione
Una macchina a salti di pressione (turbina Rateau) è una macchina ad azione (o piccolo
grado di reazione), composta da una successione di stadi. Ciascuno stadio è costituito da
una corona di pale statoriche (distributore) seguita da una girante:
• il distributore è un componente statico che provvede a trasformare l’energia di pressione
in energia cinetica e devia la vena fluida per portarla ad una direzione compatibile con
la successiva girante.
8
Appunti sulle turbine ad azione
• la girante è una macchina ad azione ed ha il compito di convertire l’energia cinetica
del vapore in lavoro;
Nella turbina Rateau si assiste quindi ad una diminuzione della pressione passando da
uno stadio al successivo, da cui il nome di turbina a salti di pressione, ovviamente una turbina
Rateau composta da un solo stadio è una turbina de Laval.
2.3.1
Caratteristiche costruttive
Per ciascuno stadio (individuato dall’apice (i)), si definiscono le sezioni di ingresso ed uscita
dalla girante con i pedici 1 e 2, le sezioni di ingresso ed uscita dal distributore con i pedici
3 e 4. Su ciascuna sezione (k) viene definito un triangolo di velocità formato dalla velocità
(i)
(i)
(i)
assoluta (ck ), dalla velocità relativa (wk ) e dalla velocità di trascinamento (uk ), secondo
le usuali convenzioni, come riportato in figura.
Distributore A flusso assiale:
(i)
(i)
u3 = u4 = u(i)
converte parte del salto entalpico in velocità e funziona in condizioni ideali:
r
2
(i)
(i)
(i)
c4 = 2∆h − c3
Stadio Assumeremo ideale sia il passaggio tra girante e diffusore:
(i)
(i)
(i)
c4 = c1
(i)
α1 = α4
che il passaggio tra due stadi successivi:
(i)
(i−1)
(i)
c3 = c2
(i−1)
α3 = α2
Infine il flusso di vapore rimane sempre assiale:
u(i) = u(i+1) = u
2.3.2
Lavoro specifico di uno stadio
Per valutare le condizioni di lavoro di massimo rendimento di una turbina Rateau, basta
considerare che ogni singolo stadio può essere trattato come uno stadio De Laval. Quindi,
per lo stadio i-esimo:
(i)
(i)
l(i) = 2u(i) c1 cos α1 − u(i)
e la condizione ottimale vale:
Θ((i)) ηmax
u
= (i)
(i) c1 cos α1
9
=
ηmax
1
2
Appunti sulle turbine ad azione
2.3.3
Lavoro specifico della turbina
Considerando una macchina composta da n stadi, il lavoro specifico complessivo sarà pari
alla somma dei lavori specifici:
n
X
l=
l(i)
i=1
Considerando tutti gli stadi perfetti, è lecito supporre che tutti gli stadi siano progettati
in maniera identica:
(i)
(1)
(i)
c1 = c1
(1)
α1 = α1
quindi
l=
n
X
2u
(i)
c1
(i)
cos α1
−u =
n
X
i=1
i=1
((1))
riscrivendo in funzione di Θ
:
l=n2
2.3.4
(1)
(1)
2u c1 cos α1 − u = nl(1)
(1)
c1
(1)
cos α1
2
Θ((1)) 1 − Θ((1))
Rendimento
Il salto entalpico a disposizione (∆h) rappresenta la massima energia disponibile, pertanto
il rendimento della turbina viene definito come:
η=
l
nl(1)
l(1)
=
= ∆h
∆h
∆h
n
il salto entalpico viene convertito mediante gli n diffusori, se si assume che il salto entalpico
totale venga equiripartito tra gli n stadi:
∆h(i) =
∆h
n
allora il rendimento della turbina Rateau è pari al rendimento del primo stadio:
η=
l(1)
∆h(1)
Condizione di massimo rendimento Se si trascura il recupero di energia (che caratterizza le turbine Rateau), si suppone, quindi, che ciascuno stadio sia preceduto da una
camera di calma, la velocità in ingresso ad ogni stadio dipende solamente dal salto entalpico
disponibile:
r
(t)
√
∆h
c
(i)
c1 = 2∆h(i) = 2
= √1
n
n
(t)
dove con c1 si è indicata la velocità in ingresso nel caso ci fosse un solo diffusore.
10
Appunti sulle turbine ad azione
Sostituendo nella condizione di massimo rendimento del primo stadio (valida per tutti
gli stadi) si ottiene:
u
1
u
=
=
(t)
(1)
(1) c1
(1) 2
c1 cos α1 ηmax
√ cos α
1
n
ηmax
quindi, sotto le ipotesi fatte
T hi(1)ηmax per queste turbine vale:
1
Θ((1))
ηmax = √
2 n
si riduce in ragione inversa della radice quadrata del numero degli stadi, quindi meno
velocemente che nel caso delle turbine Curtis
3
Dimensionamento dei triangoli di velocità per una macchina a salti di velocità
Nel proseguo saranno sempre valide la seguenti ipotesi:
1. Tutti gli stadi sono assiali
2. Tutti gli stadi hanno la stessa velocità tangenziale
3. La velocità ingresso in uno stadio coincide in modulo, direzione e verso con la velocità
in uscita dallo stadio precedente
3.1
Distributore
In una macchina ad azione il distributore ha il compito di convertire interamente il salto
entalpico in energia cinetica e indirizzare il flusso verso la girante.
3.1.1
Ingresso
La velocità in ingresso al distributore viene, solitamente, trascurata in quanto notevolmente
inferiore a quella in uscita.
La direzione è solitamente scelta come equilibrio tra la minimizzazione delle perdite
(minimizzando la deviazione) e la semplicità costruttiva. Per macchine di taglia non piccola
e ad ammissione parziale è solitamente ortogonale alla girante, per macchine piccole può
essere tale da rendere il diffusore rettilineo.
3.1.2
Uscita
La scelta della direzione della velocità in uscita (αus ) deve essere un equilibrio tra la necessità
di far entrare il vapore nella successiva girante (αus ↑) e di massimizzare il lavoro raccolto
(αus ↓). Di norma si sceglie:
αus = 15◦ ÷ 30◦
11
Appunti sulle turbine ad azione
Figura 1: Cifra di perdita per il distributore
Noto il salto entalpico teorico a disposizione, si può stimare la velocità di uscita dal distributore cus,teo applicando l’equazione di conservazione dell’energia tra le sezioni di ingresso
(in) e uscita (us):
c2us,teo
c2in
+ hin =
+ hus,teo
2
2
da cui, trascurando cin rispetto a cus,teo , si ha:
q
cus,teo = 2(hin − hus,teo )
Durante l’attraversamento del diffusore il flusso dissipa inevitabilmente energia a causa
dell’attrito con le pareti e, in seconda battuta, di fenomeni turbolenti. Questa dissipazione,
oltre a rendere la trasformazione non isoentropica, si traduce in una riduzione della velocità
in uscita dal componente, pertanto:
cus = ϕd cus,teo
avendo introdotto il coefficiente di perdita ϕd , definito come rapporto tra la velocità reale e
quella teorica:
cus
ϕd =
cus,teo
Il valore di ϕd , se non sono presenti distacchi di vena nel distributore, è funzione della
velocità, quindi del rapporto pin /pus , e dalla deviazione del flusso, quindi dell’angolo αus ,
mediamente assume valore ϕd = 0.94 ÷ 0.98 e può essere ottenuto mediante correlazioni
semi-empiriche o da grafici come quello di figura 1.
3.1.3
Velocità di rotazione della girante
Nota la velocità di uscita dal diffusore si può scegliere la velocità di periferica (u) della
girante in modo da massimizzare il rendimento. Nel caso teorico per una turbina ad azione
a n giranti la velocità u che massimizza il rendimento vale:
cus cos αus
uηmax =
2n
12
Appunti sulle turbine ad azione
con n funzione del numero di salti.
È noto che nel caso reale la condizione di massimo rendimento è leggermente inferiore alla
teorica appena calcolata, in prima approssimazione trascureremo questa differenza, quindi
la velocità periferica varrà:
u = uηmax
sarà poi necessario valutare quanto distanti dalla condizione di massimo rendimento questa
scelta porta.
Alternativamente si può scegliere di ridurre la velocità di primo tentativo dell’8 ÷ 10% in
maniera cautelativa.
3.2
Stadio ad azione
Ogni stadio di una turbina ad azione a salti di velocità è composto da due schiere palari
poste in successione, la prima, mobile (girante), converte parte della energia cinetica in
lavoro meccanico, la seconda, fissa (raddrizzatore), inverte la direzione del flusso per renderla
compatibile con la successiva girante. Ovviamente l’ultimo stadio non prevede la presenza
del raddrizzatore.
Entrambe le schiere palari sono componenti ad azione pura, durante l’attraversamento
non si ha conversione di entalpia in velocità, la pressione a monte e valle della schiera è
la medesima e la velocità teorica con cui il vapore percorre il canale palare non subisce
variazioni di modulo.
3.2.1
Perdite energetiche
Le inevitabili dissipazioni, dovute sia all’attrito con le pale che ad altri fenomeni di natura
fluidodinamica, vengono ricondotte ad una riduzione della velocità in uscita dalla schiera.
A tal fine si definisce il coefficiente di perdita ψg come rapporto tra la velocità reale e
quella teorica:
wus
ψg =
wus,teo
Il coefficiente di perdita dipende principalmente dalla entità della deviazione cui il vapore
è sottoposto, viene definito per mezzo di grafici o correlazioni semi-empiriche, quale quella
proposta da Vavra che ha forma (semplificata):
ψg = 0.99 −
4, 97
2.283 ε
−
4
10
180 − ε
dove ε è l’angolo di deviazione, definito come differenza degli angoli di uscita ed ingresso
espressi in gradi sessagesimali:
ε = βus − βin
La correlazione di Vavra è a rigore valida solo per le giranti, nel seguito la utilizzeremo
anche per le schiere raddrizzatrici
3.2.2
Girante
Con riferimento alla figura 2, per la generica girante si determinano i triangoli di velocità
sulle sezioni di ingresso ed uscita.
13
Appunti sulle turbine ad azione
u
uscita teorico
c in
win
u
c us
wus
β us
α us
β in
α in
Figura 2: Triangoli di velocità nelle
sezioni di ingresso ed uscita
Sezione di ingresso La velocità assoluta con cui il vapore entra nella girante è noto in
modulo, direzione e verso:
cin
αin
essendo nota la velocità di trascinamento (u), mediante l’applicazione del teorema di Carnot
è immediato calcolare il modulo della velocità relativa (win ):
q
win = c2in + u2 − 2ucin cos αin
inoltre, dalla uguaglianza delle componenti normali alla velocità di trascinamento, la direzione βin si calcola con:
cin sin αin
βin = arcsin
win
Sezione di uscita Per definizione di “macchina ad azione” durante l’attraversamento della
girante non si ha trasformazione di entalpia in velocità, pertanto la velocità relativa teorica,
velocità con cui il vapore percorre il canale palare, non subisce variazioni di modulo. Per tener
conto delle inevitabili dissipazioni, si introduce il coefficiente di perdita (ψg < 1), pertanto
si avrà:
wus,teo = win =⇒ wus = ψg wus,teo = ψg win
La scelta della deviazione da imprimere alla vena fluida è un equilibrio tra il lavoro
raccoglibile, le perdite generate e il costo di realizzazione. Una scelta conservativa è quella
di imprimere al vapore una deviazione simmetrica, pertanto l’angolo di uscita (βus ) vale:
βus = 180 − βin
Il modulo della velocità assoluta in uscita si ricava, analogamente a quanto visto per il
triangolo in ingresso,mediante il teorema di Carnot, avendo cura di controllare il valore degli
angoli usati1 :
p
2 + u2 − 2uw cos(180 − β )
cus = wus
us
us
1
Il termine 180 − βus deriva dalla enunciazione del teorema di Carnot in cui è richiesto usare l’angolo
compreso tra i due lati adiacenti e dalla definizione degli angoli caratteristici, sempre misurati a partire dalla
direzione di u.
14
Appunti sulle turbine ad azione
Sempre dalla uguaglianza delle componenti ortogonali alla velocità di trascinamento,
l’angolo di uscita αus varrà2 :
wus sin βus
αus = 180 − arcsin
cus
3.2.3
Raddrizzatore
Il raddrizzatore è un palettamento fisso (quindi la velocità di attraversamento è la velocità
assoluta), interposto tra due giranti, il cui compito è deviare il vapore in modo da fargli
assumere una direzione coerente con la rotazione della macchina.
La velocità assoluta con cui il vapore entra nella girante è nota in modulo, direzione e
verso:
cin
αin
definita dalla uscita della girante immediatamente a monte.
Essendo una schiera fissa non viene definita alcuna velocità relativa w.
Anche nel raddrizzatore, per la definizione di macchina ad azione, non si ha conversione di
entalpia in velocità, si ha al più una perdita energetica dovuta all’attrito con le pareti e alla
deviazione della vena, quindi la velocità in uscita sarà minore della teorica. Per quantificare
la riduzione si introduce un coefficiente di perdita (ϕr ), pertanto:
cus,teo = cin =⇒ cus = ϕr cus,teo = ϕr cin
Per l’angolo di uscita si possono effettuare due scelte progettuali distinte. Il raddrizzatore
può essere realizzato in deviazione simmetrica, quindi:
αus = 180 − αin
Oppure può venire progettato in modo tale che il flusso in ingresso alla successiva girante
g,monte
abbia la stessa direzione dell’ingresso alla girante a monte (αin
), quindi:
g,valle
(αin
)
g,valle
g,monte
g,monte
αin
= αin
=⇒ αus = αin
4
Rendimento di una turbina a salti di velocità per via
“termica”
Considerando la macchina in maniera del tutto generica, si può definire il rendimento come
rapporto tra il salto entalpico effettivamente utilizzato e il massimo disponibile:
ηis =
h0 − hsca
∆h
=
∆hteo
h0 − hsca,teo
Sotto l’ipotesi di macchina adiabatica, le perdite energetiche si tramutano in un aumento di
entalpia:
X
hsca = hsca,teo +
∆hp
p=perdite
2
In questo caso è necessario tenere conto della definizione dell’arcoseno per ottenere la corretta direzione
di cus
15
Appunti sulle turbine ad azione
Quindi il rendimento si può calcolare con:
P
ηis = 1 −
p=perdite
∆hp
∆hteo
Le perdite energetiche conteggiate sono quelle dovute al diffusore, alle giranti, ai raddrizzatori e la perdita energetica allo scarico.
4.1
Energia dissipata nel distributore
Dalla equazione di generalizzata in forma meccanica, scritta per un osservatore fisso:
cdc + gdz + dh = dQe
considerando il sistema adiabatico, trascurando la variazione geodetica (se presente è minima,
se la macchina è ad asse orizzontale è assente):
cdc + dh = 0
integrando tra la sezione di uscita e quella di ingresso
c2us,teo c2in
−
= hin − hus,teo
2
2
La velocità di efflusso varrà (indicando con hTin l’entalpia totale all’ingresso):
q
cus,teo = 2 (hTin − hus,teo )
In un diffusore reale parte della energia cinetica viene dissipata in attrito, ma avendo
considerato il sistema adiabatico, questa resta nel sistema, aumentandone la temperatura,
pertanto l’entalpia in uscita risulta maggiore di quella teorica (hus > hus,teo ).
Alternativamente le perdite possono essere viste come un non completo utilizzo del salto
entalpico disponibile (hus > hus,teo ) che porta ad una riduzione della velocità di efflusso,
ancora definita con:
q
cus = 2 (hTin − hus )
Se si indica con ∆hd la differenza:
∆hd = hus − hus,teo
questa rappresenta l’energia non utilizzata o le perdite subite dal fluido.
Ricordando la definizione di coefficiente di perdita ϕd , è immediato scrivere la differenza
in funzione della velocità teorica di efflusso:
c2us,teo
c2us
T
T
∆hd = hin −
− hin −
2
2
2
2
2
cus,teo cus
cus,teo (ϕd cus,teo )2
=
−
=
−
2
2
2
2
2
cus,teo
=
1 − ϕ2d
2
16
Appunti sulle turbine ad azione
4.1.1
Efficienza del distributore
Si osservi come il coefficiente ϕd sia è direttamente legato alla efficienza del diffusore definita
come:
hT − hus
d = T in
hin − hus,teo
infatti, ricordando l’equazione di conservazione della energia in cui si trascura il termine
cinetico all’ingresso, si ha:
d =
hus +
hus,teo +
c2us
2
− hus
c2us,teo
2
− hus,teo
c2
2
= us 2
=
2 cus,teo
cus
cus,teo
2
= ϕ2d
Il valore dell’entalpia all’uscita del distributore, note le condizioni iniziali e l’efficienza
del distributore, vale:
hus = hTin − d hTin − hus,teo = d hus,teo + (1 − d ) hTin
4.2
Energia dissipata nella girante
Dalla equazione di generalizzata in forma meccanica, scritta per un osservatore mobile:
wdw + gdz − udu + dh = dQe
considerando il sistema adiabatico, trascurando la variazione geodetica (se presente è minima,
se la macchina è ad asse orizzontale è assente) e nel caso di macchina assiale:
wdw + dh = 0
integrando tra la sezione di uscita e quella di ingresso
2
2
win
wus
−
= hin − hus
2
2
nel caso di macchina ideale la velocità relativa non subisce variazioni, quindi l’entalpia non
cambia attraversando la girante. Nel caso di macchina reale si ha:
hin − hus =
2
ψg2 win
w2
w2
− in = in (ψg2 − 1)
2
2
2
osservando che ψg ≤ 1, le dissipazioni energetiche “finiscono” in entalpia:
hus − hin =
4.3
2
win
(1 − ψg2 )
2
Energia dissipata nel raddrizzatore
Dalla equazione di generalizzata in forma meccanica, scritta per un osservatore fisso:
cdc + gdz + dh = dQe
17
Appunti sulle turbine ad azione
considerando il sistema adiabatico, trascurando la variazione geodetica (se presente è minima,
se la macchina è ad asse orizzontale è assente) e nel caso di macchina assiale:
cdc + dh = 0
integrando tra la sezione di uscita e quella di ingresso
c2us c2in
−
= hin − hus
2
2
nel caso di macchina ideale la velocità assoluta non subisce variazioni, quindi l’entalpia non
cambia attraversando il raddrizzatore. Nel caso di macchina reale si ha:
c2in 2
ϕ2r c2in c2in
−
=
(ϕ − 1)
hin − hus =
2
2
2 r
osservando che ϕr ≤ 1, le dissipazioni energetiche “finiscono” in entalpia:
hus − hin =
4.4
c2in
(1 − ϕ2r )
2
Energia dissipata allo scarico
Il vapore allo scarico (anche in condizioni ideali) deve possedere una certa velocità per poter
abbandonare la turbina. Supponendo di convertire interamente questa energia in entalpia
(fermando la vena fluida), nel caso di sistema adiabatico, trascurando ancora una volta i
termini geodetici si ha:
c2
∆hs = sc
2
5
Lavoro utile e rendimento reali di una turbina Curtis
a due salti di velocità
Una turbina Curtis è una macchina assiale ad azione, costituita da due ruote entrambe
progettate con criterio di deviazione simmetrica.
5.1
Lavoro utile
Il lavoro specifico utile l è pari alla somma dei lavori utili ottenuti da ciascuna girante:
li = li2 + li2
il lavoro utile della generica girante si ottiene dalla manipolazione della equazione di Eulero,
sotto le usuali ipotesi:
wout,j = ψg,j win,j
=⇒ li,j = u (1 + ψg,j ) (cin,j cos αin,j − u)
βout,j = π − βin,j
Pertanto si indicando con 1 le condizioni in ingresso alla prima girante e con 3 quelle
della seconda si avrà:
li1 = u (1 + ψg1 ) (c1 cos α1 − u)
li2 = u (1 + ψg2 ) (c3 cos α3 − u)
18
Appunti sulle turbine ad azione
Tra le due giranti è interposto un raddrizzatore, una “macchina” ad azione, quindi la
velocità di attraversamento non cambia a meno delle perdite:
c3 = ϕr c2
anche per il raddrizzatore si suppone la deviazione simmetrica:
α3 = π − α2
Il lavoro ottenuto dalla seconda girante è riconducibile alle condizioni di uscita della
prima girante. Sostituendo le relazioni per il raddrizzatore:
li2 = u (1 + ψg2 ) [ϕr c2 cos (π − α2 ) − u] = u (1 + ψg2 ) (−ϕr c2 cos α2 − u)
Ricordando che per il generico triangolo di velocità vale sempre:
ci cos αi = wi cos βi + u
e che anche la prima girante è una macchina ad azione con deviazione simmetrica, sostituendo
e semplificando:
li2 = u (1 + ψg2 ) [−ϕr (w2 cos β2 + u) − u]
= u (1 + ψg2 ) [−ϕr w2 cos β2 − (1 + ϕr ) u]
= u (1 + ψg2 ) [−ϕr ψg1 w1 cos (π − β1 ) − (1 + ϕr ) u]
= u (1 + ψg2 ) [ϕr ψg1 w1 cos β1 − (1 + ϕr ) u]
= u (1 + ψg2 ) [ϕr ψg1 (c1 cos α1 − u) − (1 + ϕr ) u]
si ottiene quindi:
li2 = u (1 + ψg2 ) [ϕr ψg1 c1 cos α1 − (1 + ϕr + ϕr ψg1 ) u]
Per la prima girante vale semplicemente:
li1 = u (1 + ψg1 ) (c1 cos α1 − u)
Sommando i due lavori:
li =u (1 + ψg1 ) (c1 cos α1 − u) + u (1 + ψg2 ) [ϕr ψg1 c1 cos α1 − (1 + ϕr + ϕr ψg1 ) u]
=u [(1 + ψg1 ) c1 cos α1 − (1 + ψg1 ) u+
+ (1 + ψg2 ) ϕr ψg1 c1 cos α1 − (1 + ψg2 ) (1 + ϕr + ϕr ψg1 ) u]
=u {[1 + ψg1 + (1 + ψg2 ) ϕr ψg1 ] c1 cos α1 − [(1 + ψg1 ) + (1 + ψg2 ) (1 + ϕr + ϕr ψg1 )] u}
=u {[1 + ψg1 + (1 + ψg2 ) ϕr ψg1 ] c1 cos α1 − [1 + ψg1 + (1 + ψg2 ) ϕr ψg1 + (1 + ψg2 ) (1 + ϕr )] u}
Pertanto il lavoro utile di una Curtis con raddrizzatore a deviazione simmetrica si può
esprimere con:
li = u [Ac1 cos α1 − (A + B) u]
avendo raccolto i coefficienti di perdita nei simboli:
A = 1 + ψg1 + (1 + ψg2 ) ϕr ψg1 B = (1 + ψg2 ) (1 + ϕr )
19
Appunti sulle turbine ad azione
5.2
Rendimento
L’espressione del rendimento interno della macchina vale, come noto:
ηi =
li
2
c1 /2ϕ2d
Ricorrendo alla espressione del lavoro appena trovata:
ηi =
u
2ϕ2d 2
c1
[Ac1 cos α1 − (A + B) u] =
2ϕ2d
u
u
cos α1
A − (A + B)
c1 cos α1
c1 cos α1
2
introducendo il parametro
u
c1 cos α1
si ottiene l’espressione del rendimento nella nota forma:
Θ=
ηi = 2ϕ2d cos2 α1 Θ [A − (A + B)Θ]
5.2.1
Condizione di massimo rendimento
Sotto l’ipotesi di costanza dei coefficienti di perdita, per ottenere il valore di Θ nella condizione di massimo rendimento, coincidente con quella di massimo lavoro utile, è sufficiente
derivare l’espressione del rendimento:
∂ηi
= 2ϕ2r cos2 α1 [A − 2(A + B)Θ]
∂Θ
risolvendo l’uguaglianza a zero si ottiene:
Θηmax
5.2.2
u
A
=
=
c1 cos α1 ηmax
2(A + B)
Ottimizzazione dei triangoli di velocità
La procedura di dimensionamento dei triangoli di velocità, note le condizioni in uscita dal diffusore (c1 e α1 ), inizia con l’assunzione della velocità di trascinamento in condizioni teoriche
di massimo lavoro rendimento e passo a passo definisce moduli ed angoli di ciascuna velocità
e i coefficienti di perdita di ciascuno stadio.
Giunti a termine del progetto sono quindi noti A e B, quindi è immediato verificare se:
Θ = Θηmax
o meglio se
uη = Θηmax c1 cos α1 = u
Se l’uguaglianza non è soddisfatta, si può procedere in maniera iterattiva:
1. si assume u = uη
2. si calcolano i triangoli di velocità (c1 e α1 rimangono invariati in quanto definiti dal
diffusore)
20
Appunti sulle turbine ad azione
3. si calcola la nuova uη
si ripete sino a quando la variazione di velocità tangenziale non diventa accettabilmente
piccola, indice di raggiungimento della condizione di massimo rendimento.
Il risultato ovviamente si scosta dal caso ideale, in è sarebbe sufficiente minimizzare la c4
mediante uno scarico perfettamente assiale a causa delle perdite.
Nel caso reale, si devono minimizzare gli effetti combinati di due tipologie di perdite:
energia cinetica associata alla c4 , perdite per attrito attraverso i canali palari. La soluzione
è un compromesso che porta ad avere, in condizioni di massimo rendimento, uno scarico con
c4 deviata dalla parte di u, anziché perfettamente assiale.
5.3
Rendimento per via “termica”
Il rendimento è esprimibile anche per via “termica” con:
P
p=d,g1,r,g2,s ∆hp
ηis = 1 −
∆hteo
Dove le perdite che interessano una turbina Curtis a due salti di velocità valgono:
Diffusore : ∆hd = (1 − ϕ2d )
c2us,teo
2
= (1 − ε)
2
Prima girante : ∆hg1 = (1 − ψg1
)
c2us,teo
2
w12
2
c2
Raddrizzatore : ∆hr = (1 − ϕ2r ) 22
2
)
Seconda girante : ∆hg2 = (1 − ψg2
Scarico : ∆hs =
6
6.1
w32
2
c24
2
Dimensionamento degli stadi ad azione
Diametro medio delle giranti
Per definizione di macchina assiale, il diametro medio (Dm ) di ciascuno stadio (fisso o mobile)
rimane costante tra tutti gli stadi.
La velocità periferica (u) è limitata, come noto, da considerazioni di natura strutturale,
pertanto detta ntu la velocità di rotazione della turbina (in giri al minuto), dovrà essere:
2πntu
u
=
60
Dm /2
La necessità di accoppiare la turbina ad un generatore elettrico introduce un vincolo di
tipo economico (oltre che di efficienza) al numero di giri.
Come noto, la velocità di rotazione all’albero di un generatore sincrono per la produzione
di corrente alternata (nal , espressa in numero di giri al minuto) dipende dalla frequenza
21
Appunti sulle turbine ad azione
della corrente prodotta (f , 50 Hz per la rete europea) e dal numero di coppie polari (p) che
compongono il rotore della macchina elettrica, secondo la relazione:
nal =
60 f
p
Visto che il costo del generatore cresce al cresce del numero di coppie polari, si preferisce
utilizzare macchine a basso numero di coppie.
Per ridurre al minimo le perdite energetiche, si tende a preferire l’accoppiamento diretto
turbina–generatore senza l’interposizione di riduttori o moltiplicatori di velocità:
ntu = nal
In questo caso, quindi, il diametro medio è immediatamente definito:
Dm =
60 u
π nal
Nel caso l’altezza o l’arco di ammissione risultino troppo piccoli, si può ricorrere alla
interposizione di un moltiplicatore tra turbina e alternatore, in modo da poter utilizzare per
la turbina una velocità di rotazione maggiore e dunque un diametro medio inferiore. Questa
scelta è lecita se la macchina è di piccola taglia, quindi caratterizzata da piccole potenze.
6.2
Dimensionamento del diffusore
In qualunque qualunque punto del diffusore vale la conservazione della massa:
ṁv = cost ⇒
S i · ci
= cost
νi
essendo Si la sezione di passaggio, ci la velocità di attraversamento e νi il volume specifico
in corrispondenza dell i-esima sezione.
6.2.1
Sezioni di passaggio
La generica sezione del distributore si calcola dall’equazione di bilancio dell’energia applicata tra la sezione di ingresso e la sezione corrente e dalla applicazione del principio di
conservazione della massa:
p
νi
ci = 2(h0 − hi )
−→ Ai = ṁv ·
ci
ṁv = Ai · νi
ci
L’entalpia in ingresso al diffusore si ottiene direttamente dalle condizioni di progetto. Il valori
del volume specifico (νi ) si ricava dalle tabelle o diagrammi, solitamente in funzione della
entalpia e della pressione nella zona.
22
Appunti sulle turbine ad azione
Modello di conversione entalpia-velocità L’evoluzione dell’entalpia all’interno del condotto non è definita, sono note solamente le condizioni iniziali e finali.
Un metodo semplificato per rappresentare l’evoluzione del salto entalpico è
considerare la trasformazione tra ingresso ed uscita lineare
Le sezioni di cui si calcolerà l’area di passaggio vengono individuate sulla curva di espansione
con qualunque criterio.
Scelta delle sezioni Nel caso in cui le caratteristiche del fluido vengano ottenute mediante
il un diagramma di Mollier, è comodo suddividere l’espansione in salti di pressione costanti
o comunque in base alle isobare incontrate (se si utilizzano le tabelle termodinamiche non in
funzione della pressione, il “costo” operativo sarà leggermente superiore).
Lo schema logico risulta quindi:

¯
(s0 , h0 ) → (s1 , h1 ) lineare = 01

¯
su Diag. Mollier, pi ∩ 01 → hi , νi
pi
→ Ai

ṁv
Conviene considerare la prima sezione immediatamente entro il diffusore, quindi riducendo leggermente la pressione rispetto a quella di progetto, per evitare di ottenere una sezione
infinita a causa della velocità nulla.
Visto che una sezione di estremo interesse e importanza è la sezione critica, è utile calcolare il valore della pressione critica ed aggiungerlo, se necessario, alla lista delle pressioni
considerate.
Sezione critica diffusore La forma del diffusore cambia a seconda si raggiunga o meno
in un suo punto la condizione sonica. Come noto, tale condizione è definibile mediante il
rapporto critico tra le pressioni di uscita ed ingresso del diffusore:
k
k−1
2
pout
=
rcr =
pin cr
k+1
il valore del rapporto critico dipende dal rapporto k = cp /cv per un vapore varia con il grado
di surriscaldamento e si può assumere nell’intorno di rcr = 0.55, mentre per un gas perfetto
vale rcr = 0.528. Si definisce pressione critica la pressione in cui si raggiunge la sonicità, dalla
definizione di rapporto critico è immediato scrivere:
pcr = rcr pin
Se il rapporto tra le pressioni di valle e monte del distributore è inferiore al rapporto
critico, o se la pressione di valle è inferiore alla pressione critica:
pout
< rcr
o
pout < pcr
pin
allora in una sezione del condotto si raggiungono le condizioni critiche, quindi per accelerare ulteriormente la vena in condizioni controllate, la forma del condotto sarà convergentedivergente.
23
Appunti sulle turbine ad azione
6.2.2
Forma e dimensione delle sezioni
Ciascuna sezione può essere quadrangolare o circolare, due sezioni consecutive, inoltre, possono essere, ma non necessariamente, coassiali e concentriche. Sicuramente è necessario che
la transizione tra una sezione e la successiva avvenga nella maniera più uniforme possibile,
senza brusche variazioni o punti cuspidali. Le sezioni quadrangolare presentano in corrispondenza degli spigoli delle zone sottoutilizzate, può convenire, quindi, realizzare una sezione
comunque arrotondata, compatibilmente con i costi di realizzazione.
La sezione di passaggio si può definire, genericamente, mediante il prodotto di due dimensioni caratteristiche, una lungo il raggio delle ruote (altezza Hi ) e una ortogonale allo
stesso (larghezza li ):
Ai = k Hi li
Le forme “classiche” delle sezioni sono:
Sezione circolare La dimensione caratteristica è il diametro:
π
li = Hi = di =⇒ Ai = d2i
4
Sezione quadrata La dimensione caratteristica è il lato:
li = Hi =⇒ Ai = li2 = Hi2
Sezione rettangolare La dimensioni caratteristiche sono la larghezza (li ) e l’altezza (Hi ):
Ai = li Hi
in questo caso è necessario definire il rapporto tra le due grandezze caratteristiche.
Alcune scelte possibili sono:
• tutte le sezioni hanno la stessa altezza, pari a quella della sezione di uscita: Hi =
Hu = H0 , quindi Ai = H0 li
• tutte le sezioni hanno lo stesso rapporto di forma della sezione di uscita Hi /li =
Hu /lu , quindi Ai = Hu /lu li2
6.2.3
Altezza del diffusore e accoppiamento con la prima girante
Sezione frontale La sezione di uscita del diffusore (Au ), ortogonale all’asse del diffusore
stesso, per la conservazione della portata vale:
Au = ṁv ·
νu
cu
dove νu e cu sono, rispettivamente il volume specifico e la velocità assoluta nella sezione di
uscita.
Visto che l’asse del diffusore è inclinato di α1 rispetto alla direzione della velocità tangenziale, la superficie frontale Af necessaria allo smaltimento della portata vale
Af =
Au
sin α1
24
Appunti sulle turbine ad azione
Per permettere al vapore di entrare nella girante, caratterizzata da palette di altezza H0
poste a cavallo del diametro medio Dm , anche la sezione di uscita del diffusore avrà diametro
medio Dm e, altezza Hu .
In prima istanza consideriamo la sezione frontale libera da nervature e di altezza pari
alla altezza della prima pala (Hu = H0 ), in tal modo la sezione assume la forma di corona
circolare.
Altezza del diffusore e della prima girante Noto il diametro medio Dm , l’altezza di
riferimento delle pale (e del diffusore) si ottiene semplicemente con:
H0 =
Af
σπDm
Per, ovvi, motivi fluidodinamici, l’altezza delle pale non può essere troppo piccola sia in
senso assoluto che in relazione al diametro medio. In caso di necessità è possibile definire
una ammissione parziale per aumentarne il valore.
H0 =
Af 360
σπDm θd
Coefficiente di ingombro palare Per quanto riguarda la sezione, frontale, della girante,
non è possibile ignorare la presenza delle pale. Definiremo il coefficiente di ingombro palare
σ come rapporto tra la sezione lasciata libera dalle pale (At e l’area della corona circolare
corrispondente.
At
σ=
πDm H0
Ammissione totale La soluzione concettualmente più semplice, prevede che la sezione
di uscita dal diffusore interessi tutta la sezione frontale della turbina (ammissione totale),
quindi:
Af = At =⇒ Af = σπDm H0
Ammissione parziale Nel caso di giranti ad azione è possibile che il flusso di vapore non
interessi interamente la girante, in tal caso indicato con θd l’angolo (in sessagesimali) coperto
dal diffusore, l’area frontale varrà:
Af = σπDm H0
θd
360
l’ammissione parziale deve coprire una estensione sufficientemente grande per non incorrere
in elevate perdite per ventilazione, solitamente si cerca di avere almeno θd > 100◦ .
6.2.4
Numero di ugelli
Per motivi di controllo o semplice resitenza strutturale può essere conveniente dividere il
diffusore in due o più parti.
25
Appunti sulle turbine ad azione
Il numero di ugelli si può fissare mediante considerazioni sulla forma e dimensione della
sezione di uscita, ad esempio se si vuole un condotto a sezioni circolari (di più semplice
realizzazione), dovrà essere:
Ad,u =
π 2
π
du = H02 =⇒ i∗d = Au /Ad,u
4
4
Oppure ricorrendo alla relazione empirica:
i∗d = (0.25 ÷ 0.33)
θd
Dm sin αout
360
con Dm diametro medio della girante affacciata al distributore, espresso in millimetri, θd arco
di ammissione in sessagesimi, αout inclinazione del flusso di vapore in uscita dal diffusore.
Scelto come numero di ugelli (id ) l’intero più prossimo al valore calcolato (i∗d ), supporremo
che il flusso di vapore si spartisca uniformemente tra gli ugelli stessi, quindi ciascuno sarà
interessato da una portata ṁd :
ṁv
ṁd =
id
supporremo anche che le perdite in ciascun ugello siano tra loro uguali, quindi anche le
sezioni di passaggio si ripartiranno uniformemente:
Ad,i =
Ai
id
Passo dei condotti Se ora si fissa la minima distanza ortogonale all’asse tra due condotti
(s), misurata sull’arco mediano, il passo pd degli ugelli diffusori vale:
p = lf + sf =
lu + s
sin α1
Arco di ammissione effettivo L’arco di ammissione effettivo quindi risulta:
360 id · p
θ¯d =
·
π Dm
6.2.5
Lunghezza del tratto divergente
Nella parte divergente occorre prestare attenzione a non scegliere l’angolo di divergenza ϑ
troppo elevato, così da scongiurare pericoli di distacchi di vena. Solitamente si fissa ϑ = 10◦ .
La lunghezza del tratto divergente si calcola con semplici considerazioni geometriche. Se
le sezioni di uscita ed ingresso sono concentriche e di uguale forma, indicando con cu e cg le
dimensioni trasversali caratteristiche dell’uscita e della gola, rispettivamente, sarà
L=
cu − cg
2 tan(ϑ/2)
nel caso di sezioni circolari le dimensioni caratteristiche saranno i diametri delle rispettive
sezioni, per quelle quadrangolari le diagonali.
26
Appunti sulle turbine ad azione
Figura 3: Schema del distributore della turbina
6.2.6
Dimensione assiale del diffusore
L’inclinazione della parte convergente non risulta critica per il flusso e si è soliti raccordare
in maniera dolce la parte frontale di ingresso del distributore con la sezione di gola. Occorre
infine scegliere la lunghezza assiale del diffusore. Per esso si utilizza in genere un valore di
circa 0.7 volte il passo dei condotti:
ld = 0.7p
6.3
Forma e dimensione delle palette
Il dimensionamento dei palettamenti sia della girante che del raddrizzatore viene effettuato
in maniera semplificata sulla base della teoria monodimensionale.
6.3.1
Passo e numero di pale
Uno schema di base del palettamento è riportato in figura 4.
La procedura semplificata prevede di fissare la lunghezza assiale del palettamento lg
(nel caso del raddrizzatore si assume la lunghezza pari a 1.5 volte la lunghezza dello stadio
immeditamente precedente), successivamente si assumono passo (p∗ ) e spessore frontale delle
pale (s) come percentuale della lunghezza assiale:
p∗ = 0.75 lg
s = 0.025 lg
cf
s
c
βin
rd
rv
βout
βin
u
lg
βout
Figura 4: Schema del palettamento della girante
27
Appunti sulle turbine ad azione
Noto il passo e il diametro è immediato calcolare il numero di pale:
n∗p =
πDm
p
il numero di pale (np ) verrà assunto pari all’intero immediatamente superiore al valore
calcolato, cui corrisponde un passo effettivo (p):
p=
πDm
np
La larghezza frontale del condotto interpalare (cf ) sulla sezione di ingresso varrà:
cf = p − s
e la larghezza nella direzione del flusso (c)
c = cf sin βin
6.3.2
Canale palare
Il canale palare è individuato dai profili di ventre e del dorso di ciascuna pala. Il canale
palare dovrà:
• deviare la vena fluida con continuità senza bruschi cambi di direzione;
• accogliere il fluido sulla sezione di ingresso senza urti, quindi sulla sezione i profili di
ventre e dorso devono essere caratterizzati da una tangente inclinata di βin ;
• per guidare il fluido e raccogliere il lavoro previsto, i profili di ventre e dorso devono
essere caratterizzati da una tangente inclinata di βus sulla sezione di uscita.
• tutte le sezioni di passaggio hanno la stessa superficie, essendo la macchina ad azione
pura, in particolare la larghezza del condotto palare (c) si manterrà costante per tutta
l’estensione.
Visto che la macchina è stata disegnata con gli angoli β complementari, la soluzione più
semplice ed immediata è tracciare la parte ventrale con un arco di circonferenza centrato sulla
mezzeria della lunghezza assiale e con raggio (rv ) ottenibile mediante semplici considerazioni
geometriche:
lg
rv =
2 cos βin
La linea dorsale sarà composta da due segmenti inclinati degli angoli β e raccordati da un
arco di circonferenza di raggio:
ρd = ρv − c
28
Appunti sulle turbine ad azione
6.3.3
Limiti
È evidente che lo spessore assiale minimo che garantisca la larghezza c è:
lg = 2 c cos βin
usando questo valore si ottiene una forma a cuspide (rd = 0) che a sua volta mal guida il
fluido, quindi per lo spessore assiale si preferiscono valori nettamente superiori:
lg >> 2 c cos βin
Per la scelta del valore dello spessore frontale delle pale s si può osservare che il coefficiente
di ingombro palare σ è stato definito come rapporto tra la superficie di effettivo efflusso,
quindi non occupata dalle pale, e la superficie frontale della ruota:
σ=
Af
πDm Hin
la sezione di passaggio è data da:
Af = cf Hin np
sostituendo e usando la definizione di passo e numero di pale precedentemente vista:
σ=
cf
cf Hin np
cf
=
=
πDm Hin
p
s + cf
quindi:
s=
6.3.4
1
− 1 cf
σ
Altezza delle pale
Per qualunque punto del condotto interpalare vale la conservazione della massa:
ṁv = cost ⇒
Si · vi
= cost
νi
essendo Si la sezione di passaggio, vi la velocità di attraversamento (c nel caso di palettamenti
fissi, w per quelli mobili) e νi il volume specifico in corrispondenza dell i-esima sezione. In
ogni punto del condotto la sezione Si avrà forma rettangolare e dimensioni ci (larghezza del
condotto) e Hi (altezza della palettatura).
Stadio teorico In condizioni teoriche, la sezione Si non subisce variazioni, essendo costante
sia la velocità di attraversamento (non dovendo raccogliere lavoro per reazione, cioè mediante
incremento della velocità relativa del flusso), che il volume specifico (non avvenendo variazioni
di entalpia o pressione). Per uno stadio ad azione non c’è motivo di sagomare i condotti
interpalari con rapporto di forma variabile (a parità di sezione), quindi se la larghezza del
canale (c in figura 4) è costante, sarà costante anche la altezza del palettamento (H), per
facilitare l’imbocco del vapore si sceglie di maggiorare leggermente l’altezza della sezione di
ingresso rispetto al valore della stessa all’uscita dello stadio precedente.
29
Appunti sulle turbine ad azione
Stadio reale Se si considera lo stadio reale, il vapore “vede” un incremento di entalpia,
dovuto alle dissipazioni che si traducono in un aumento di temperatura del fluido (non
dissipato verso l’esterno avendo considerato il sistema adiabatico), questo porta ad una
variazione di volume specifico in ogni sezione del canale interpalare. La conservazione della
portata in massa richiede, quindi, di variare la sezione di efflusso (gli effetti di calo della
velocità e aumento del volume specifico non sono in rapporto costante).
Per semplicità costruttiva, si assume costante la larghezza del canale (c in figura 4),
pertanto la variazione di sezione (di forma quadrilatera) viene demandata alla altezza del
palettamento (Hi non costante).
Il modello di perdite semplificato adottato non permette di conoscere l’andamento delle
perdite durante l’attraversamento, ma solo l’effetto sulla sezione di uscita. Indicando con Hin
e Hout , l’altezza delle sezioni di passaggio rispettivamente in ingresso e in uscita, l’equazione
di conservazione della massa può essere riscritta come:
Hout · vout
Hin · vin
=
νin
νout
Fissata la larghezza in ingresso ad un valore leggermente superiore a quella di uscita dello
stadio precedente, per garantire un buon imbocco del flusso, l’altezza della sezione di uscita
si calcola immediatamente con:
vin νout
Hout = Hin
νin vout
Nel caso di palettamento mobile, per ridurre la complessità costruttiva, si preferisce
considerare l’altezza costante, scegliendo un valore medio tra i valori di ingresso ed uscita.
Nel caso di palettamento fisso si considera una variazione lineare di altezza tra ingresso ed
uscita.
30