Questionario

1) Si calcoli
La funzione è definita per x
Dividendo numeratore e denominatore per
Il primo risultato è dedotto dal limite fondamentale
Ovvero applicando la regola di De L’Hospital
Pertanto
2) Una moneta di 1 euro( il suo diametro è 23,25 mm) viene lanciata su un pavimento ricoperto con
mattonelle esagonali di lato 10 cm. Quale è la probabilità che la moneta vada a finire internamente
ad una mattonella? (cioè non tagli i lati dell’esagono)
La probabilità è uguale al rapporto tra l’area dell’esagono interno alla
mattonella, con i lati paralleli ai lati di questa e a distanza pari al raggio r
della moneta e l’area della mattonella.
Il lato dell’esagono interno è
√
Area esagono regolare in funzione del lato l
√
Rapporto tra le aree dei due esagoni rappresentati in figura
3) ( )
4)L’insieme dei numeri naturali e l’insieme dei numeri razionali sono insiemi equipotenti? Si giustifichi la risposta.
Soluzione di Adriana Lanza
Immaginiamo di disporre tutte le coppie di N×{N \ 0} su una tabella e associamo ad ogni elemento
della tabella un numero naturale seguendo il percorso indicato (procedimento diagonale di Cantor).
1/1
2/1
3/1
4/1
5/1
6/1
7/1
1/2
2/2
3/2
4/2
5/2
6/2
7/2 ...
1/3
2/3
3/3
4/3
5/3
6/3
7/3 ...
1/4
2/4
3/4
4/4
5/4
6/4
7/4 ...
1/5
2/5
3/5
4/5
5/5
6/5
7/5 ...
1/6
2/6
3/6
4/6
5/6
6/6
7/6 ...
1/7
2/7
3/7
4/7
5/7
6/7
...
E' chiaro che la corrispondenza tra i punti della tabella e i naturali sarà biunivoca. concludere,
L’’insieme dei razionali è un sottoinsieme di Nx(N\0) , poiché tutte le coppie di numeri razionali
tra loro proporzionali, corrispondono allo stesso numero razionale. ,ma non uò avere una potenza
inferiore a quella di N poiché non esiste una potenza inferiore a quella del numerabile
5) Siano dati nello spazio n punti
. Quanti sono i segmenti che li congiungono a due a
due?Quanti i triangoli che hanno per vertici questi punti( supposto che nessuna terna sia allineata)? Quanti
i tetraedri (supposto che nessuna quaterna sia complanare)?
Poiché un segmento è univocamente determinato dai suoi estremi, un triangolo o un tetraedro è
univocamente determinato dai suoi vertici

il numero di segmenti che si possono costruire dati n punti corrisponde al numero
di coppie di punti che si possono scegliere dagli n dati
(

)
il numero di triangoli che si possono costruire dati n punti(supposto che nessuna terna sia
allineata) corrisponde al numero di terne di punti che si possono scegliere dagli n dati
(

)(
)
il numero di tetraedri che si possono costruire dati n punti (supposto che nessuna quaterna sia
complanare ) corrisponde al numero di quaterne di punti che si possono scegliere dagli n
dati
(
)(
)(
)
6 ) Si dimostri che la curva di equazione y = x3 + ax + b ha uno ed un solo punto di
flesso rispetto a cui `e simmetrica.
Soluzione di Adriana Lanza
( )
Si c o n si d e ri la f u n zi o n e
P o i c hé
( )
Si d e d u c e c h e l a c u r v a c o r ris p o n d e n t e c a m b i a
c o n c a v i t à n e l l ’i n t o r n o d e l p u n t o F ( 0 ; c ) c h e è p e r t a n t o
p u n t o di fless o.
P e r v e rific a r e c h e è c e n t r o d i si m m e t ri a,
a p plic hia m o la trasf or m a zio n e {
a l l’ e q u a z i o n e
O s s e r v a n d o c h e l’ e q u a z i o n e s i
m u t a i n se st essa
7.E’ dato un tetraedro regolare di spigolo l e altezza h. Si
determini l’ampiezza dell’angolo formato da l e da h.
̅̅̅̅
̅̅̅̅
√
√
8)Un’azienda industriale possiede tre stabilimenti (A, B e C).
Nello stabilimento A si produce la metà dei pezzi, e di questi il 10% sono difettosi. Nello
stabilimento B si produce un terzo dei pezzi, e il 7% sono difettosi. Nello stabilimento C si
producono i pezzi rimanenti, e il 5% sono difettosi.
Sapendo che un pezzo è difettoso, con quale probabilità esso proviene dallo stabilimento A?
Indichiamo con A l’evento “il pezzo proviene dallo stabilimento A” e con B e C gli altri eventi analoghi.
Sia D l’evento “il pezzo è difettoso”.
( )
( )
( )
Inoltre
P(D\A)=
essendo
P(D\B)=
(
)
( )
P(D\C)=
(
)
( )
Soluzione di Adriana Lanza
( )
(
( )
)
( )
(
)
(
)
( )
(
)
( )
9) Il problema di Erone (matematico alessandrino vissuto probabilmente nella seconda metà del I secolo
d.C.) consiste, assegnati nel piano due punti A e B, situati dalla stessa parte rispetto ad una retta r, nel
determinare il cammino minimo che congiunge A con B toccando r.
Si risolva il problema nel modo che si preferisce.
Per trovare il percorso più breve ricorriamo a una costruzione geometrica.
Si costruisce il punto A’ simmetrico di A rispetto alla retta r.,
. Poiché A’C è congruente ad AC , il problema si riduce a trovare il percorso più breve per andare
da A’ fino a B. In questo caso il percorso più breve è il segmento A’B che incontra in C la retta r.
In figura si può osservare come il cammino ADB è affettivamente maggiore di ACB
La figura dinamica, costruita con Geogebra, permette di effettuare ulteriori verifiche.
Il punto C, così definito, è l'unico punto della retta tale che i segmenti AC e CB formano angoli uguali con la
retta r
Se AC rappresenta un raggio di luce incidente su una superficie piana riflettente, CB sarà il raggio
riflesso
Poiché le rette AC e CB sono simmetriche rispetto alla normale in C alla retta r, si deduce la nota
legge:
L’angolo di incidenza è uguale all’angolo di
riflessione.
10. Si provi che fra tutti i coni circolari retti circoscritti ad una sfera di raggio r, quello
di minima area laterale ha il vertice che dista rp2 dalla superficie sferica.
Soluzione di Adriana Lanza
Posto̅̅̅̅̅
√ (
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
√(
)
)
dalla similitudine dei triangoli VDF e VBO
√ (
)
√
√
√
√
√
√
S(x) =
)
√(
√
√
(
)
(
)
√
( )
Osserviamo che
( )
( )
0-------------------- √ ----------------------------
Segno di S’(x
-
-----------
+++++++++++++
S(x) decresce a sinistra di √ e cresce a destra, pertanto assume il valore minimo per x= √
Soluzione di Adriana Lanza