Esame scritto 06.02: testo e soluzioni

Calcolo delle Probabilità , Anno Accademico 2016/17, 6 Febbraio 2017
• L’uso di testi, appunti, formulari, calcolatrici e gadget elettronici non è autorizzato.
• Motivare chiaramente i procedimenti e i risultati proposti.
• Tempo a disposizione: 2 ore .
• Quando richiesto di calcolare esplicitamente una valore atteso, una varianza
o una probabilità, la soluzione deve essere data come numero frazionario a/b, a
meno di indicazione contraria
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FORMULARIO
Se X è v.a. binomiale di parametri n, p, allora E(X) = np, V ar(X) = np(1 − p).
Se X è v.a. geometrica di parametro p, allora E(X) = 1/p, V ar(X) = (1 − p)/p2 .
Se X è v.a. di Poisson con parametro λ, allora E(X) = λ, V ar(X) = λ.
Se X è v.a. ipergeometrica di parametri n, N, m (tipo: estraggo senza rimpiazzo n
palline da un’urna con m palline bianche e N − m palline nere e X è il numero di palline
−n
bianche estratte) allora E(X) = nm/N e V ar(X) = N
N −1 np(1 − p) dove p = m/N .
Se X è v.a. binomiale negativa di parametri r, p, allora E(X) = r/p e V ar(X) =
r(1 − p)/(p2 ).
ESERCIZIO 1. Vi sono 4 bambini: Lorenzo, Pierpaolo, Giulio e Giovanni. Abbiamo un mazzo
di carte da 40 ed estraiamo senza rimpiazzo 12 carte, più precisamente 3 che diamo a Lorenzo,
3 che diamo a Pierpaolo, 3 che diamo a Giulio e 3 che diamo a Giovanni.
(a) Determinare la probabilità che tra le 12 carte date ai bimbi non ve ne sia alcuna di
bastoni.
(b) Determinare la probabilità che via sia almeno un bambino che ha ricevuto solo carte di
coppe.
(c) Calcolare esplicitamente il valore atteso del numero di bambini che hanno ricevuto solo
carte di coppe.
ESERCIZIO 2. Lorenzo e Pierpaolo stanno già pensando ai giocattoli che chiederanno a Babbo
Natale per Natale 2017. Sono super appassionati di giochi lego e adorano le linee “Star Wars”
e “Nexo Knights”.
Pierpaolo è indeciso anche se ha una leggera preferenza per la linea Star Wars. Quindi
decide di lanciare un dado: se esce 1,2,3 o 4 chiederà a Babbo Natale un gioco della linea Star
Wars, altrimenti chiederà a Babbo Natale un gioco della linea Nexo Knights. Lorenzo è molto
influenzato da quello che fa Pierpaolo e di solito, con probabilità 80%, copia la decisione di
Pierpaolo.
(a) Calcolare esplicitamente la probabilità che Lorenzo chieda a Babbo Natale un gioco della
linea Star Wars
(b) Calcolare esplicitamente la probabilità che al lancio del dado sia uscito 1 sapendo Lorenzo ha chiesto a Babbo Natale un gioco della linea Nexo Knights.
ESERCIZIO 3. Nella classe di Pierpaolo ci sono 20 bambini in tutto. La maestra compra 20
confezioni di penne e consegna una confezione ad ogni bimbo. Ciascuna confezione contiene 3
penne: una penna rossa, una blu e una nera. La probabilità che una penna sia difettosa è pari
1
al 10% indipendentemente dallo stato delle altre penne. I bambini che ricevono una confezione
con le 3 penne funzionanti sono felici, gli altri scontenti.
(a) Calcolare esplicitamente il valore atteso del numero di bambini felici della confezione di
penne ricevute.
(b) Chiamato B il numero di penne blu funzionanti (tra quelle regalate dalla maestra ai
bambini) e R il numero di penne rosse funzionanti (tra quelle regalate dalla maestra ai
bambini), calcolare esplicitamente E((B + 2R)2 ).
(c) Chiamiamo N0 il numero di confezioni (tra quelle consegnate ai bambini) con zero penne
difettose e chiamiamo N1 il numero di confezioni (tra quelle consegnate ai bambini) con
esattamente 1 penna difettosa. Determinare la densità congiunta di N0 , N1 .
Traccia delle soluzioni
ESERCIZIO 1. Numero i bimbi da 1 a 4.
(a) Consideriamo l’insieme delle 12 carte estratte (dimenticandoci l’informazione di chi riceve
(30)
cosa). Allora la probabilità richiesta è 12
(estraggo12 carte e calcolo la probabilità che siano
(40
12)
tra le 30 non di bastoni).
Metodo alternativo. Se si tiene memoria delle 3 carte date al bimbo 1, delle 3 carte date a
bimbo 2, delle 3 carte date al bimbo 3 e delle 3 carte date a bimbo 4, abbiamo che la probabilità
27 24 21
(30
3 )( 3 )( 3 )( 3 )
richiesta è 40
34 31 .
( 3 )(37
3 )( 3 )( 3 )
(b) Sia Ei l’evento che il bimbo i–esimo ha ricevuto solo carte di coppe. Dobbiamo calcolare
P (E1 ∪ E2 ∪ E3 ∪ E4 ). Applico principio di inclusione–esclusione:
P (E1 ∪E2 ∪E3 ∪E4 ) =
4
X
i=1
P (Ei )−
X
P (Ei1 Ei2 )+
1≤i1 <i2 ≤4
X
P (Ei1 Ei2 Ei3 )−P (E1 E2 E3 E4 ) .
1≤i1 <i2 <i3 ≤4
(1)
)
(10
3
(mi concentro sulle 3 carte assegnate al bimbo i–esimo). Ho 4 di
Per simmetria P (Ei ) = 40
(3)
questi addenti in (1).
(10)(73)
Per simmetria, per 1 ≤ i1 < i2 ≤ 4, abbiamo P (Ei1 Ei2 ) = 403 37
(prendo 3 carte che do al
( 3 )( 3 )
bimbo i1 e poi dalle restanti 37 carte prendo 3 carte che do al bimbo i2 ). Ho 42 di questi
addendi in (1)
(10)(7)(4)
Per simmetria, per 1 ≤ i1 < i2 < i3 ≤ 4, abbiamo P (Ei1 Ei2 Ei3 ) = 403 373 334 (prendo 3 carte
( 3 )( 3 )( 3 )
che do al bimbo i1 , e poi dalle restanti 37 carte prendo 3 carte
che
do
al bimbo i2 , e poi dalle
restanti 34 carte prendo 3 carte che do al bimbo i3 ). Ho 43 di questi addendi in (1).
Infine osservo che P (E1 E2 E3 E4 ) = 0 essendo l’evento impossibile.
Assemblando il tutto ottengo
10 7
10 7 4
10
4
4
3
3
3
3
37 +
3 3 P (E1 ∪ E2 ∪ E3 ∪ E4 ) = 4 40 −
40
40 37 34 .
2
3
3
3
3
3
3
3
Metodo alternativo. Nel calcolare P (Ei1 Ei2 ) possiamo concentrarci sulle 6 carte date complessivamente al bimbo i1 e al bimbo i2 . L’evento Ei1 Ei2 corrisponde a richiedere che queste 6
2
(10
(10
9)
6)
)
=
E
E
.
Analogamente
P
(E
. Con tale
i
i
i
3
2
1
(40
(40
6)
9)
calcolo e con il principio di inclusione–esclusione (come sopra) otteniamo
10 10
10
4 6
4 9
3
+
.
P (E1 ∪ E2 ∪ E3 ∪ E4 ) = 4 40 −
40
2 6
3 40
3
9
carte siano di coppe. Quindi P (Ei1 Ei2 ) =
(c) Considero le variabili di Bernoulli definite come Xi = 1 se il bimbo i–esimo ha ricevuto
solo carte di coppe, e Xi = 0 altrimenti. Chiamo X il numero di bimbi che hanno ricevuto solo
carte di coppe. Allora X = X1 + X2 + X3 + X4 e per linearità e poi simmetria abbiamo
EX =
4
X
EXi = 4E(X1 ) = 4P (X1 = 1) .
i=1
P (X1 = 1) è la probabilità che il bimbo 1 abbia solo carte di coppe, quindi
10
10 · 9 · 8
9·8
3·4
12
3
=4
=
=
=
.
EX = 4 40
40 · 39 · 38
39 · 38
13 · 19
247
3
Si noti che X non è v.a. binomiale e che le variabili Xi non sono indipendenti!
ESERCIZIO 2. Considero gli eventi F=”esce 1,2,3,4, E=Lorenzo chiede gioco di star wars,
A=esce 1.
(a) Dobbiamo calcolare P (E). Per legge della probabilità totale abbiamo
1 2
18
2 8
+
=
= 0.6
P (E) = P (F )P (E|F ) + P (F c )P (E|F c ) =
3 10 3 10
30
c
(b) Per il calcolo sopra abbiamo P (E c ) = 1 − P (E) = 12
30 . Dobbiamo calcolare P (A|E ). Per il
teorema di Bayes abbiamo
P (E c |A)P (A)
(2/10)(1/6)
1
P (A|E c ) =
=
=
P (E c )
12/30
12
ESERCIZIO 3.
(a) La probabilità che una confezione abbia le tre penne funzionanti è (0.9)3 = 0.729. Chiamo
X il numero delle confezioni perfette (=numero bimbi felici), ho X =Bin(20, 0.729). Quindi
E(X) = 20 · 0.729 = 14.58.
(b) B e R sono indipendenti, ciascuna è Bin(20, 0.9). Quindi E(B) = E(R) = 20 · 0.9 = 18.
Mentre V ar(B) = V ar(R) = 20 · 0.9 · 0.1 = 1.8. Otteniamo che E(B 2 ) = E(R2 ) = V ar(R) +
E(R)2 = 1.8 + 182 = 325.8. Concludo che
E(B+2R)2 ) = E(B 2 )+4E(B)E(R)+4E(R2 ) = 5·235.8+4·182 = 1629+4·324 = 1629+1296 = 2925
(c) La probabilità per una confezione di avere zero penne difettose è p0 = (0.9)3 . La probabilità
per una confezione di avere esattamente 1 penna difettosa è p1 = 3(0.9)2 (0.1). Abbiamo quindi
( 20 20−a a b
p0 p1 (1 − p0 − p1 )20−a−b if a, b interi ≥ 0 con a + b ≤ 20
a
b
pN0 ,N1 (a, b) =
0
altrimenti
20−a
20
Infatti ho 20
= a,b,20−a−b
modi per scegliere quali devono essere le a confezioni con zero
a
b
penne difettose e le b confezioni con esattamente una penna funzionante. Per ognuna di questa
scelte la probabilità che le a confezioni scelte siano con zero penne difettose e le b confezioni
scelte siano con esattamente una penna funzionante è pari a pa0 pb1 (1 − p0 − p1 )20−a−b .
3