Alcuni metateoremi
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Alcuni metateoremi
Part 1 Alcuni metateoremi 0.1. Correttezza I punti I-VII di p. 68 del Mendelson sono abbastanza ovvi e facili da dimostrare, mentre la dimostrazione di XI è piuttosto dettagliata. Dimostriamo dunque solo i punti VIII-X. Theorem 0.1.1. Se le variabili libere di una fbf α sono tra le le successioni s e s' hanno i medesimi elementi nei posti per 1 ≤ j ≤ k ), allora s soddisfa α sse s' soddisfa i1 , ..., ik xi1 , ..., xik e se 0 sij = sij (ossia α. Per prima cosa bisogna dimostrare il seguente Lemma 0.1.2. Se un termine t ha le variabili tra le xi1 , ..., xik e se le successioni 0 i1 , ..., ik . allora s∗ (t) = s ∗ (t). s e s' hanno i medesimi elementi nei posti Proof. La dimostrazione è per induzione sul numero dei funtori contenuti in t. Base. t contiene 0 funtori. Se t = cn allora è evidente che vale s∗ (t) = s ∗ (t), dal momento che tutte le funzioni s∗ determinate da una qualsiasi successione s coincidono per quel che riguarda le costanti. Se t = xij per 1 ≤ j ≤ k, allora per ipotesi s∗ (t) = 0 0 sij = sij = s ∗ (t). 0 Passo. Sia t = f (t1 , ..., tn ) un termine che contiene m funtori e sia g l'operazione assegnata dall'interpretazione al funtore f . Allora s∗ (f (t1 , ..., tn )) = g(s∗ (t1 ), ..., s∗ (tn )) 0 0 0 s ∗ (f (t1 , ..., tn )) = g(s ∗ (t1 ), ..., s ∗ (tn )) Per ipotesi d'induzione il teorema vale per tutti0 i termini che contengono meno di m funtori e quindi per 1 ≤ j ≤ n vale s∗ (tj ) = s ∗ (tj ). Ne consegue 0 0 g(s∗ (t1 ), ..., s∗ (tn )) = g(s ∗ (t1 ), ..., s ∗ (tn )) e quindi 0 s∗ (f (t1 , ..., tn )) = s ∗ (f (t1 , ..., tn )). Passiamo ora alla dimostrazione del teorema. Proof. La dimostrazione è per induzione sul numero di operatori logici contenuti nella formula α. Base. Se α non contiene operatori logici, ossia è una formula atomica, allora il teorema segue immediatamente dalla denizione di soddisfacibilità da parte di una successione s e da quanto abbiamo appena dimostrato a proposito dei termini. Passo. Se αcontiene n operatori logici, i casi corrispondenti alle clausole 2 e 3 della denizione di soddisfacibilità da parte di una successione s sono immediati. Il caso interessante è il 4. Sia α = ∀xq β . I casi sono due: o le variabili libere contenute in β sono esattamente quelle contenute in ∀xq β , ossia sono tra le xi1 , ..., xik e q 6= i1 , ..., ik 0.1. CORRETTEZZA 3 (per l'esattezza è necessario che xq sia diverso solo dalle variabili libere eettivamente contenute in β , ma per semplicità diciamo che è diverso da tutte le variabili xi1 , ..., xik ); oppure le variabili libere di β comprendono anche xq . Nel primo caso supponiamo che s soddis ∀xq β e che quindi ogni successione che dierisce da s al massimo per il q -esimo0 posto soddis β . Dunque s soddisfa β , e quindi, per ipotesi d'induzione, anche s , che coincide con s nei posti i1 , ..., ik , 0 soddisfa β ; inoltre ogni successione che dierisce da s per il q -esimo posto coincide 0 con s nei posti i1 , ..., ik (ricordiamo che nel primo caso q 6= i1 , ..., ik ) e quindi, sempre per ipotesi d'induzione, soddisfa β : ne consegue che ogni successione che 0 0 dierisce da s al massimo per il q -esimo posto soddisfa β , e quindi che s soddisfa 0 ∀xq β . Analogamente si dimostra che se s soddisfa ∀xq β , allora s soddisfa ∀xq β . Nel secondo caso supponiamo ancora che s soddis ∀xq β . D'altra parte ogni 0 successione che dierisce da s al massimo per il q -esimo posto coinciderà nei posti i1 , ..., ik , q con una delle successioni che dieriscono da s al massimo per lo stesso posto: poiché queste ultime soddisfano 0 tutte β , allora, per ipotesi d'induzione, anche ogni successione che dierisce da s al massimo per il q -esimo posto soddisfa β , e quindi s0 soddifa ∀xq β. Theorem vera o ¬α 0.1.3. Se α è una fbf chiusa, allora, in ogni interpretazione, o α è è vera. Proof. Poiché una formula chiusa α non contiene variabili libere tutte le successioni coincidono sulle variabili libere di α. Quindi, per 0.1.1se una successione soddisfa α, allora tutte le successioni soddisfano α, se una successione non la soddisfa, allora nessuna la soddisfa: dunque α o è vera o è falsa (vera la sua negazione). Dimostriano ora la correttezza del quarto assioma. Lemma 0.1.4. Se 0 t = t [xi /u] - ossia t0 è il termine che si ottiene da 0 xi con il termine u - e s è 0 0 s∗ (u), allora s∗ (t ) = s ∗ (t). tituendo in ogni occorrenza la variabile libera sione che si ottiene da Proof. s sostituendo si con t sos- la succes- Per induzione sul numero dei funtori contenuti in t. Base Se il numero dei funtori è 0, i casi sono tre: (i) t è una costante ck : allora t = t e 0 0 quindi s∗ (t ) = s ∗ (t) perché tutte le successioni coincidono sulle costanti; (ii) t 0 0 è una variabile xk per k 6= i: allora t = t = xk e quindi s∗ (t ) = sk , ma, per 0 0 0 0 0 denizione di s , sk = sk = s ∗ (xk ) = s ∗ (t); (iii) t è xi : allora s∗ (t ) = s∗ (u), ma, 0 0 0 0 per denizione di s , s∗ (u) = si = s ∗ (xi ) = s ∗ (t). Passo 0 Se t = f (t1 , . . . , tn ), allora t = f (t1 [xi /u] , . . . , tn [xi /u]). Per ipotesi d'induzione, per 1 ≤ k ≤ n 0 0 s∗ (tk [xi /u]) = s ∗ (tk ) Quindi, se g è l'operazione assegnata dall'interpretazione al funtore f , s∗ (f (t1 [xi /u] , . . . , tn [xi /u])) = g (s∗ (t1[xi /u]), . . . , s∗ (tn [xi /u])) = = 0 0 g s ∗ (t1 ), . . . , s ∗ (tn ) 0 ∗ s (f (t1 , . . . , tn )) 0.2. LOWENHEIM - SKOLEM 0.1.5. 4 u è un termine libero per xi nella fbf α (xi ) e α (u) = α (xi /u), 0 s soddisfa α (u) sse la successione s ottenuta da s sostituendo ∗ s (u) soddisfa α (xi ). Lemma Se allora la successione si con Proof. α (xi ), Per induzione sul numero di connettivi e quanticatori contenuti in Base α (xi ) = Anj (t1 , . . . , tn ). Allora α (u) =Anj (t1 [xi /u]), . . . , (tn [xi /u]). Allora, posto che0 l'interpretazione sia < D,0 I >, 0 s soddisfa α (xi ) sse < s ∗ (t1 ), . . . , s ∗ (tn ) >∈ I Anj per 0.1.4 sse < s∗ (t1 [xi /u]), . . . , s∗ (tn [xi /u]) >∈ I Anj sse s soddisfa α (u) Passo Come al solito il caso interessante è α (xi ) = ∀xq β(xi ) dove, 0in generale, i 6= q e, essendo per ipotesi 0 u libero per xi , u 0non contiene xq . s soddisfa ∀xq β(xi ) sse ogni successione S che dierisce da s al massimo per il q -esimo posto (ed ha perciò la forma < s1 , s2 , . . . , si−1 , s∗ (u) , . . . , dq , . . . >) soddisfa β(xi ). D'altra parte, ad ogni S che dierisce da s al massimo per il q esimo posto (ossia tale che S =< s1 , s2 , . . . , si−1 , si , . . . , dq , . . . >) corrisponde una successione < s1 , s2 , . . . , si−1 , S ∗ (u) , . . . , dq , . . . > che sta con S nello stesso rap0 porto in cui s sta con s. S ∗ (u) = s∗ (u): infatti S e s dieriscono al massimo per il q -esimo posto, ossia per il valore che S ∗ e s∗ assegnano a xq e quindi, se u non contiene xq , allora, per 0.1.2, S ∗ (u) = s∗ (u). Dunque ogni succes0 sione < s1 , s2 , . . . , si−1 , S ∗ (u) , . . . , dq , . . . > coincide con una successione S =< 0 s1 , s2 , . . . , si−1 , s∗ (u) , . . . , dq , . . . > che dierisce da s al massimo per il q -esimo 0 posto. Ora, poiché ogni S soddisfa β(xi ), per ipotesi d'induzione ogni S soddisfa β(u): quindi ogni successione S che dierisce da s al massimo per il q -esimo posto soddisfa β (u), e di conseguenza s soddisfa ∀xq β (u). Theorem 0.1.6. (= Corollario di p. 70) Nell'ipotesi che u sia un termine libero per xi , ∀xi α(xi ) → α (u) è una formula logicamente valida. Proof. Data una qualunque interpretazione, ∀xi α(xi ) → α (u) è vero per tutte le successioni. Infatti se una successione s soddisfa ∀xi α(xi ), allora la successione 0 s con s∗ (u) al posto di si soddisfa α (xi ). Poiché u è un termine libero per xi , per 0.1.5 s soddisfa α (u). 0.2. Lowenheim - Skolem Theorem 0.2.1. Se κ e λsono numeri cardinali κ, allora T ha un modello un modello di cardinalità tali che κ≤λ di cardinalità e la teoria T ha λ. Sia M =< D, I > un modello di T avente cardinalità κ e sia M =< 0 D , I > una struttura tale che D ⊆ D , la sua cardinalità sia λ e 0 0 Proof. 0 < d1 , . . . , dn >∈ I 0 Anj sse < u1 , . . . , un >∈ I Anj dove, contrassegnato un elemento c di D, per 1 ≤ i ≤ n ui = di ui = c se di ∈ D 0 se di ∈ D − D 0.2. LOWENHEIM - SKOLEM 5 Analogamente 0 I (cn ) = I (cn ) 0 I fjn (d1 , . . . , dn ) = I fjn (u1 , . . . , un ) dove, se c è lo stesso elemento di D già contrassegnato, per 1 ≤ i ≤ n ui = di se di ∈ D 0 ui = c se di ∈ D − D Si dimostra per induzione sul numero di connettivi e quanticatori contenuti in α 0 che se M |= α allora M |= α. Base Sia α la formula Anj (t1 , . . . , tn ). Supponiamo che M |= α. Se S è una successione 0 denita su M , allora esisterà una successione s denita su M tale che si = Si se Si ∈ D, altrimenti si = c. Allora, per 1 ≤ i ≤ n, s∗ (ti ) = c, se ti = xj e Sj ∈ / D, altrimenti S ∗ (ti ) = s∗ (ti ). Dimostriamo questo fatto. S ∗ (ti ) = s∗ (ti ) vale ovviamente se ti è una costante oppure una variabile xk tali che Sk ∈ D; per quel che riguarda i termini funzionali lo si può dimostrare con un'induzione sul numero dei funtori contenuti in essi. Per non complicare eccessivamente l'esposizione mostriamo come funziona la base in un caso semplice. Sia ti = f (xj ) e Sj ∈/ D. Allora 0 0 s∗ (ti ) = I (f ) (sj ) = I (f ) (c); ma I (f ) (c) = I (f ) (d) per ogni d ∈ D − D e quindi 0 anche per Sj : ne consegue s∗ (ti ) = I (f ) (c)= I (f ) (Sj ) = S ∗ (ti ). Per ipotesiogni successione denita su M soddisfa α e quindi < s∗ (t1 ) , . . . , s∗ (tn ) >∈ I Anj . In base a quanto abbiamo appena dimostrato s∗ (ti ) = c se ti = xj e Sj ∈/ D; se in < s∗ (t1 ) , . . . , s∗ (tn ) > sostituiamo tutti questi s∗ (ti ) con i corrispondenti Sj 0 otteniamo la sequenza < S ∗ (t1 ) , . . . , S ∗ (tn ) > che, in base alla denizione di I , ap 0 partiene a I Anj : quindi S soddisfa α. Poiché questo vale per tutte le successioni 0 S , M |= α. Passo Sia α = ∀xi β . Se M |= α, allora M |= β e quindi, per ipotesi d'induzione, M |= β . 0 Ma in tal caso M rende vera la chiusura universale di β e quindi anche ∀xi β (infatti o la chiusura universale di β è ∀xi β stessa, oppure quest'ultima segue logicamente dalla chiusura universale di β ). 0